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Departamento de Ciencias B´asicas
Gu´ıa de C´alculo Diferencial e Integral II
Por
Jaime Cruz Sampedro
Divisi´on de CBI
C´alculo Integral
Gu´ıa del Trimestre 12P
Por
S. Arellano, A. Castellanos, J. Cruz y J. Grabinsky
1
´Indice
Informaci´on important´ısima 3
¡Bienvenido al SAI! . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
¿Qu´e es el SAI? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
¿Qu´e no es el SAI? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
¿C´omo se aprende c´alculo en el SAI? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
Gu´ıa y libro de texto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
C´alculo Integral. Informaci´on 12P . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
Diez recomendaciones importantes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
1. Integral indefinida e integral definida 10
Objetivo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
Contenido . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
Indicadores de evaluaci´on . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
Actividades . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
Tarea de la unidad 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
Ejercicios complementarios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
2. El teorema fundamental del c´alculo y el m´etodo de sustituci´on 13
Objetivo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
Contenido . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
Indicadores de evaluaci´on . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
Actividades . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
Tarea de la unidad 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
Ejercicios complementarios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
3. ´Area entre curvas, trabajo e integraci´on por partes 16
Objetivo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
Contenido . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
Indicadores de evaluaci´on . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
Actividades . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
Tarea de la unidad 3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
Ejercicios complementarios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
4. Primer examen integrador 18
Objetivo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
Contenido . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
Indicadores de evaluaci´on . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
Actividades y tarea . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
5. Integrales trigonom´etricas 20
Objetivo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
Contenido . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
Indicadores de evaluaci´on . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
Actividades . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
Tarea de la unidad 5 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
2
Ejercicios complementarios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
6. Integraci´on por fracciones parciales 22
Objetivo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
Contenido . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
Indicadores de evaluaci´on . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
Actividades . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
Tarea de la unidad 6 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
Ejercicios complementarios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
7. Segundo examen integrador 24
Objetivo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
Contenido . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
Indicadores de evaluaci´on . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
Actividades y tarea . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
8. Integrales impropias 25
Objetivo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
Contenido . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
Indicadores de evaluaci´on . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
Actividades . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
Tarea de la unidad 8 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
Ejercicios complementarios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
9. Aplicaciones de la integral 28
Objetivo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
Contenido . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
Indicadores de evaluaci´on . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
Actividades . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
Tarea de la unidad 9 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
Ejercicios complementarios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
10. Evaluaci´on global 30
Objetivo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30
Contenido . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30
Indicadores de evaluaci´on . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30
Actividades y tarea . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30
Ventajas del SAI 31
Formulario de c´alculo del SAI 33
Per´ımetros, ´areas y vol´umenes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34
Trigonometr´ıa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35
Propiedades de logaritmos y exponenciales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37
Reglas b´asicas de derivaci´on . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37
F´ormulas b´asicas de integraci´on . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38
3
Informaci´on important´ısima
“No hay genios en este mundo, todo es trabajo tenaz,
el uno por ciento es de inspiraci´on y el noventa y nueve de transpiraci´on.”
Thomas Alva Edison (1847-1931)
¡Bienvenido al SAI!
Los profesores y tutores de c´alculo del Sistema de Aprendizaje Individualizado (SAI) te damos
la m´as cordial bienvenida y te deseamos una placentera y provechosa experiencia en este sistema
de ense˜nanza. Todos en el SAI tenemos el compromiso de que tu aprendizaje de c´alculo en este
sistema se desarrolle en un ambiente de trabajo cordial, responsabilidad y respeto mutuo. En
el SAI, todos queremos que te sientas con plena libertad y confianza de trabajar e interactuar
activamente con nosotros: dialogando, haciendo preguntas y resolviendo tus dudas.
¿Qu´e es el SAI?
El SAI es una modalidad de ense˜nanza fundada en la fuerte y constante interacci´on entre los
alumnos y los instructores (profesores y tutores). En este sistema, es crucial la combinaci´on del
trabajo constante del alumno con la permanente asesor´ıa individual por parte de los instructores.
En el SAI los alumnos no asisten a clases y disponen de gran flexibilidad para progresar en su
aprendizaje, a su ritmo y bajo su propio estilo; pero ¡cuidado!, el SAI no es para que
vengas cuando quieras y dejes todo para el final del trimestre. Es muy importante
que desde un inicio te mantengas en constante contacto con tus instructores y desarrolles el
h´abito de trabajar asiduamente.
¿Qu´e no es el SAI?
El SAI no es un sistema para autodidactas, ni de ense˜nanza abierta ni de educaci´on a
distancia
El SAI tampoco es un sistema de cursos en l´ınea ni de educaci´on virtual.
El SAI no es una reguladora ni un sistema de clases particulares.
¿C´omo se aprende c´alculo en el SAI?
En el SAI aprendes c´alculo realizando las actividades que se especifican en esta gu´ıa, con
asesor´ıa y apoyo permanente de un grupo de competentes y amigables instructores. La gu´ıa
te indica paso a paso qu´e materiales debes estudiar y qu´e ejercicios debes resolver hasta cubrir
todos los temas del curso. Los instructores supervisan tus avances y te brindan toda la asesor´ıa
4
que necesites para resolver tus dudas hasta que asimiles, entiendas y domines cada tema y te
sientas listo para presentar tus ex´amenes. En los cursos de c´alculo del SAI
¡la estrella de la pel´ıcula eres t´u!, no el profesor.
Por esta raz´on, para que tengas buenas expectativas de ´exito, es important´ısimo que no
desaparezcas y te presentes regularmente a asesor´ıa.
Nuestro m´etodo de ense˜nanza se funda esencialmente en:
1. Darte mucha asesor´ıa individual para que resuelvas tus dudas, profundices en los
temas, fortalezcas tu independencia y prepares tus ex´amenes.
2. Calificarte tus tareas y ex´amenes en tu presencia para que detectes y corrijas inmediata y
oportunamente tus errores y tus dudas.
3. Darte muchas oportunidades para pasar los ex´amenes. En lugar de reprobarte, te
asignamos tareas para que repases, superes tus debilidades y presentes nuevamente los
ex´amenes, una y otra vez, hasta que los apruebes.
4. Permitirte aprender y progresar a tu propio ritmo; puedes terminar un curso y empezar
con el siguiente o puedes reanudar el curso en donde te quedaste y completarlo en dos
trimestres:
Estudiar c´alculo en el SAI puede ser lento, ¡pero es seguro!
Una de nuestras metas fundamentales es que desarrolles tu autodisciplina, seguridad e inde-
pendencia para alcanzar tus metas acad´emicas y profesionales.
Si deseas conocer las ventajas y beneficios de estudiar c´alculo en el SAI, consulta la secci´on
Ventajas del SAI al final de esta gu´ıa.
Si has decidido tomar c´alculo en el SAI:
Descarga e imprime esta gu´ıa porque aqu´ı encontrar´as los objetivos y contenidos, as´ı como
todas las actividades que debes realizar para aprobar el curso.
Lee cuidadosamente la informaci´on del curso para el Trimestre 12P que se da en esta gu´ıa.
Consigue el libro de texto y empieza a estudiarlo de acuerdo al plan trazado en la gu´ıa.
Si tienes dudas ¡ven al SAI a asesor´ıa tantas veces como quieras! La atenci´on a los alumnos
de c´alculo del SAI se da en el Aula E204, todos los d´ıas h´abiles de 13:00 a 16:00 horas.
Cuando apruebes tu primer examen te haremos un expediente para registrar tus avances.
Gu´ıa y libro de texto
“Sin entusiasmo nunca se logr´o nada grandioso”
Emerson (1803-1882)
Para tener ´exito en las matem´aticas necesitas entusiasmo, dedicaci´on y organizaci´on; sobre
todo si has decidido cursar esta disciplina en el SAI. El entusiasmo y la dedicaci´on son tu
responsabilidad pero una buena organizaci´on requiere de una gu´ıa, un libro de texto y supervisi´on,
orientaci´on y apoyo por parte de tus instructores.
El prop´osito de esta gu´ıa es proveerte un plan de trabajo para que estudies organizadamente
y asimiles en un trimestre los contenidos del curso: C´alculo Integral.
El libro de texto es:
5
C´ALCULO una variable, de G. B. Thomas, Pearson; 2010, decimosegunda edici´on.
Para que tu aprendizaje progrese de manera ordenada y sistem´atica, as´ı como para facilitar
la supervisi´on de tus avances, el curso se ha dividido en diez unidades. Cada unidad establece su
contenido, sus objetivos y las actividades que debes realizar para preparar los correspondientes
ex´amenes. En cada unidad se detallan los indicadores de evaluaci´on, es decir, los temas y habil-
idades relevantes en las evaluaciones de la unidad. Presta especial atenci´on a esos indicadores
porque te sugieren el tipo de problemas y preguntas que encontrar´as en los ex´amenes.
¡Imprime la gu´ıa y adquiere el libro de texto! Es muy importante que dispongas de
estos materiales durante todo el trimestre porque –sumados a tu dedicaci´on y al apoyo de tus
instructores– ser´an los principales soportes de tu aprendizaje de c´alculo en el SAI.
C´alculo Integral. Informaci´on 12P
“Donde se cuentan mil zarandajas, tan impertinentes como necesarias
para el entendimiento de esta grande historia”
Miguel de Cervantes (1547-1616)
Objetivos
En este curso estudiar´as los conceptos y m´etodos esenciales del c´alculo integral de funciones
de una variable. Los objetivos generales son:
Aplicar t´ecnicas de integraci´on para calcular integrales.
Aplicar la integral para resolver problemas de inter´es en ingenier´ıa.
Instructores
1. Profesores Titulares:
Dr. Arellano Balderas Salvador, sab@correo.azc.uam.mx
Dr. Cruz Sampedro Jaime, jacs@correo.azc.uam.mx
Mtro. Grabinsky y Steider Jaime, jags@correo.azc.uam.mx
2. Tutores:
Barrag´an Trinidad Melesio,
melesiobarragan@gmail.com
Casero Esteva V´ıctor Manuel,
manuelhooker@hotmail.com
Garc´ıa Santiago Eloy
egas88@gmail.com
L´opez Elisea Jovana,
jack smill@hotmail.com
L´opez Leyva Erika,
erika.lopezleyva@hotmail.com
Meza Mart´ınez Karen Atzin,
atzin kammak@hotmail.com
Osorio Infante Arturo
ioan.osorio@gmail.com
Palacios Serrano Gabriel
butcher pro@hotmail.com
Parra Meneses ´Angel,
alelic.parra@gmail.com
Perea Alvarado Francisco,
creep 2@hotmail.com
Pinto Barrera Jos´e Francisco,
pinto258578@hotmail.com
Portillo Ch´avez Roberto,
mx rpc@yahoo.com.mx
Ram´ırez Ram´ırez Filiberto,
mayor filiberto@hotmail.com
6
Gu´ıa del curso y Libro de texto
Es indispensable que dispongas de una impresi´on o de una copia de la gu´ıa del curso y de
una copia del siguiente libro de texto en el cual se basa la gu´ıa:
C´ALCULO una variable, de G. B. Thomas, Pearson; 2010, decimosegunda edici´on.
Horario de atenci´on en el SAI
De lunes a viernes (inclusive martes) de 13:00 a 16:00 hrs, en el Aula E204.
Tareas y ex´amenes
Para solicitar la evaluaci´on de cada unidad es necesario que:
1. Hayas aprobado todas las unidades anteriores.
2. Presentes correctamente resuelta la tarea de la unidad correspondiente: completa, bien
escrita, engrapada y en limpio.
3. Dispongas de TRES hojas engrapadas tama˜no carta para realizar el examen.
Para que confirmes tus aciertos y detectes tus errores, todos tus ex´amenes se calificar´an en
tu presencia. En caso de que no apruebes alg´un examen, nos olvidaremos de ese examen y te
asignaremos una tarea para que repases, superes tus debilidades y presentes otro examen de
la unidad correspondiente. A este procedimiento del SAI se le denomina reciclar y deber´as
repetirlo hasta que apruebes la unidad.
Calificaciones
1. Para pasar el curso debes aprobar las diez unidades.
2. Las calificaciones de las unidades 1, 2, 3, 5, 6, 8 y 9 ser´an cualitativas (A o R).
3. Las calificaciones de las unidades: 4, 7 y 10 ser´an num´ericas (de 0 a 10).
4. Los ex´amenes de las unidades integradoras (4, 7 y 10) solamente los podr´an calificar los
profesores titulares. Para mejorar tus calificaciones aprobatorias de estas unidades puedes
tomar nuevamente el examen, antes de presentar el examen de la siguiente unidad.
5. Tu calificaci´on final se basar´a en el promedio de tus calificaciones de las unidades inte-
gradoras y se determinar´a como sigue:
MB: 9.0-10.0, B: 7.5-8.9, S: 6.0-7.4.
6. Puedes mejorar tu calificaci´on final someti´endote a un examen global o a un examen oral.
7. Si para la semana 13 del trimestre no has aprobado el curso tu calificaci´on final ser´a NA,
pero podr´as avanzar o terminar en la semana de ex´amenes de recuperaci´on.
8. Si no terminas el curso en la semana de recuperaci´on podr´as continuarlo (pero deber´as
concluirlo) en el trimestre siguiente, reanudando en donde te quedaste.
9. Copiar ´o dejar copiar en los ex´amenes es un delito acad´emico grave porque
fomenta la mediocridad y la corrupci´on. Por esta raz´on, si se te sorprende copiando
(o dejando copiar) reciclar´as el examen y si reincides recibir´as NA en el curso, sin opci´on
para concluirlo en el SAI.
10. En los ex´amenes no se permite usar el libro de texto pero, si te hace falta, puedes
solicitar al supervisor de ex´amenes el Formulario de c´alculo del SAI.
7
Asesor´ıas
Para recibir asesor´ıa es necesario que hayas estudiado el material correspondiente con an-
ticipaci´on, que hayas intentado los ejercicios muchas veces y que tus preguntas sean concretas
y bien formuladas. Si necesitas asesor´ıa adicional, p´ıdela a tu instructor favorito o acude al
Centro de Matem´aticas: E201.
Comportamiento
Por respeto a tu Alma Mater y al trabajo de los dem´as:
No da˜nes el mobiliario. El estudiante de c´alculo que sea sorprendido da˜nando el mobiliario
recibir´a NA en el curso y ser´a reportado al Coordinador del SAI.
En el sal´on de ex´amenes y en el ´area de atenci´on del SAI, controla tu lenguaje, modera el
volumen de tu voz y apaga tu celular, tu iPod, tu iPad y/o tu iPhone.
Diez recomendaciones importantes
1. ¡Comprom´etete con tu educaci´on, asumiendo tu papel de estudiante con responsabilidad,
entusiasmo y dedicaci´on!
2. Adquiere la disciplina de trabajar al menos dos horas diarias para este curso. Te recomen-
damos hacerlo en las instalaciones del SAI. Aprende a trabajar solo y en equipo.
3. Antes de intentar los ejercicios, estudia detenidamente en tu libro de texto los temas que
se indican en la gu´ıa.
4. Esfu´erzate por aprender a manipular expresiones algebraicas y a calcular correctamente
con rapidez, precisi´on e ingenio.
5. Aprende a distinguir las ideas importantes en las soluciones de los problemas y ejercicios
y a reproducirlas sin ayuda.
6. Razona detenidamente todos los problemas que se te asignan en la gu´ıa; int´entalos muchas
veces y ¡no tengas miedo a equivocarte! Se aprende mucho de los errores; ¡lo malo es
quedarse con la duda!
7. La mejor manera de averiguar si est´as entendiendo un tema de matem´aticas es tratando
de resolver los problemas sin ayuda. Int´entalos y si tienes dificultades, disc´utelas con tus
compa˜neros o ¡ve a asesor´ıa al SAI o al Centro de Matem´aticas! Los instructores est´an
para ayudarte a resolver tus dudas, ¡pi´erdeles el miedo!
8. Es muy importante para tu formaci´on profesional que adquieras el h´abito de reportar tu
trabajo en limpio y bien presentado; escrito en forma clara, concisa y ordenada, con tus
propias palabras, con buena ortograf´ıa, utilizando correctamente la notaci´on matem´atica y
con diagramas y gr´aficas bien hechas.
9. Adquiere el h´abito de criticar tu mismo tu trabajo y de mejorarlo siempre que le encuentres
fallas.
10. Aprende a usar el formulario, tu calculadora, Maple, SAGE, Matlab o Mathematica (Maple
5 y SAGE son software libre; Mathematica est´a disponible en el Edif. T).
8
“El gran libro de la naturaleza permanece siempre abierto
ante nuestros ojos y en sus p´aginas se encuentra la ver-
dadera filosof´ıa ... Pero no nos es posible leerlo a menos
que conozcamos los caracteres y el lenguaje en el que
est´a escrito ... Est´a escrito en lenguaje matem´atico y los
caracteres son tri´angulos, c´ırculos y otras figuras ge-
om´etricas.”
Galileo Galilei (1564-1642)
“A esa lista de caracteres, hoy en d´ıa le agregar´ıamos las
derivadas y las integrales.”
Peter Lax (1926-)
9
Unidad 1
Integral indefinida e integral
definida
Objetivo
Usar un formulario para calcular antiderivadas y utilizar sumas de Riemann para calcular
integrales definidas de funciones sencillas.
Contenido
1. Integrales indefinidas.
2. Estimaci´on de ´areas con sumas finitas.
3. Sumas de Riemann.
4. La integral definida.
Indicadores de evaluaci´on
1. Usar un formulario para calcular integrales indefinidas y verificar el resultado mediante
derivaci´on.
2. Utilizar sumas inferiores para obtener valores aproximados del ´area de una regi´on debajo
de la gr´afica de una funci´on no negativa.
3. Utilizar sumas superiores para obtener valores aproximados del ´area de una regi´on debajo
de la gr´afica de una funci´on no negativa.
4. Usar ´areas de figuras conocidas para evaluar integrales sencillas.
5. Utilizar simetr´ıas para simplificar el c´alculo de integrales definidas.
6. Utilizar las propiedades de la integral para simplificar el c´alculo de integrales.
7. Utilizar sumas de Riemann para calcular integrales definidas de funciones sencillas.
8. Utilizar integrales definidas para calcular ´areas de regiones debajo de la gr´afica de una
funci´on no negativa.
10
Actividades
1. Estudia las secciones 4.7, 5.1, 5.2 y 5.3 de la Decimosegunda edici´on del Thomas y resuelve
ejercicios diversos que cubran todos los indicadores de evaluaci´on de esta unidad. Te sug-
erimos iniciar con ejercicios sencillos y aumentar paulatinamente el grado de dificultad
hasta alcanzar el nivel de los ejercicios de la tarea.
2. Entrega la tarea de la unidad 1, bien hecha y en limpio, antes de solicitar tu examen de
esta unidad.
3. Se recomienda aprobar la unidad 1 antes de finalizar la Semana 1.
Tarea de la unidad 1
“S´olo se aprende haciendo las cosas; porque
aunque creas saberlas, nunca tendr´as la certeza
hasta que lo intentes.”
S´ofocles (496 a. C. – 406 a. C.)
1. Calcula las siguientes integrales y verifica tu respuesta mediante derivaci´on:
(a) (2x3
+ 7x − 2)dx, (b) x1/3
−
2
√
x
dx.
2. Eval´ua las siguientes integrales y verifica tu respuesta mediante derivaci´on:
(a) 5 cos x + sec2
x dx, (b) 4eθ
− 3 sec θ tan θdθ.
3. Estima el ´area debajo de la gr´afica de y = 4x − x2
en intervalo [0,4]:
a) Utilizando una suma inferior con ocho rect´angulos del mismo ancho.
b) Utilizando una suma superior con ocho rect´angulos del mismo ancho.
4. Bosqueja la gr´afica de los integrandos y usa ´areas de figuras conocidas para evaluar:
(a)
3
0
(2x + 2)dx, (b)
2
−2
4 − x2dx.
5. Bosqueja la gr´afica de los integrandos y usa simetr´ıas para evaluar:
(a)
1
−1
xdx, (b)
2
−2
x3
dx.
6. Bosqueja la gr´afica de los integrandos y usa simetr´ıas para evaluar:
(a)
1
−1
(1 + x3
)dx, (b)
1
−1
(x3
− 3x + 2)dx
7. Considera la funci´on y = 9 − x2
y encuentra una f´ormula para la suma inferior In que se
obtiene al dividir [0, 3] en n partes iguales. Luego calcula l´ım
n→∞
In.
11
8. Si
2
3
f(x)dx = 2, eval´ua
5
2
πf(x)dx +
3
5
f(x)dx +
2
5
(πf(x) − f(x))dx.
9. Usa sumas de Riemann para calcular las ´areas de las regiones debajo de las siguientes
curvas sobre el intervalo [0, 3]:
(a) y = 3 − x; (b) y = 9 − x2
.
10. Inscribe un pol´ıgono regular de n lados en una circunferencia de radio 1 y nota que
est´a formado por n tri´angulos is´osceles. Usa trigonometr´ıa para verificar que todos esos
tri´angulos tienen base igual a 2 sen(π/n) y altura igual a cos(π/n). Calcula el ´area An del
pol´ıgono y encuentra l´ım
n→∞
An. ¿Obtienes un resultado conocido?
Ejercicios complementarios
Si requieres pr´actica adicional, te sugerimos elegir en tu libro de texto algunos de los ejercicios
que te proponemos a continuaci´on:
Secci´on 4.7: 1, 5, 9, 13, ..., 61.
Secci´on 5.1: 1, 3, 5, 7, 9, 11, 13, 15, 21 y 22.
Secci´on 5.2: 39, 41, 43 y 56.
Secci´on 5.3: 15, 17, 22, 23, 25, 27, 31, 35, 37, 41, 45, 49, 51, 54, 63, 66, 69.
12
Unidad 2
El teorema fundamental del
c´alculo y el m´etodo de sustituci´on
Objetivo
Aplicar las propiedades de la integral y el teorema fundamental del c´alculo en el c´alculo de
derivadas e integrales. Evaluar integrales por el m´etodo de sustituci´on.
Contenido
1. El teorema fundamental del c´alculo.
2. El teorema del valor medio para integrales definidas.
3. El m´etodo de sustituci´on.
Indicadores de evaluaci´on
1. Enunciar e interpretar el teorema del valor medio para integrales definidas.
2. Enunciar la parte 1 del teorema fundamental del c´alculo y utilizarla para calcular derivadas
de funciones definidas por integrales con l´ımites variables.
3. Enunciar la parte 2 del teorema fundamental del c´alculo y utilizarla para evaluar integrales
definidas.
4. Utilizar el m´etodo de sustituci´on o cambio de variables para calcular integrales.
13
Actividades
1. Estudia las secciones 5.4 y 5.5 de la Decimosegunda edici´on del Thomas y resuelve ejercicios
diversos que cubran todos los indicadores de evaluaci´on de esta unidad. Te sugerimos iniciar
con ejercicios sencillos y aumentar paulatinamente el grado de dificultad hasta alcanzar el
nivel de los ejercicios de la tarea.
2. Resuelve y entrega la tarea de la unidad 2, bien hecha y en limpio, antes de solicitar tu
examen de esta unidad.
3. Es muy recomendable aprobar la unidad 2 antes de finalizar la Semana 2.
Tarea de la unidad 2
“S´olo se aprende haciendo las cosas; porque
aunque creas saberlas, nunca tendr´as la certeza
hasta que lo intentes.”
S´ofocles (496 a. C. – 406 a. C.)
1. Deriva la siguiente funci´on como se indica a continuaci´on:
y =
x2
0
(t3
− 1)dt.
a) Calcula la integral y deriva el resultado.
b) Usa la parte 1 del teorema fundamental del c´alculo para derivar la integral directa-
mente.
2. Calcula la derivada de
y =
ex2
1
sen t
t
dt.
3. Calcula la derivada de
y =
√
x
sen x
2x
et2
dt.
4. Usa la parte 2 del TFC para evaluar las siguientes integrales:
(a)
2
−2
(2x3
− x − 2)dx, (b)
1
0
(5 + 2
√
x − 3x2/3
)dx.
5. Usa la parte 2 del TFC para calcular las siguientes integrales:
(a)
π/2
0
(sen x + cos x)dx, (b)
e
1
4ex
−
3
x
dx.
6. Usa la regla de sustituci´on para calcular:
(a) 2x(1 + x2
)1/2
dx, (b) ex
(1 − ex
)3/5
dx.
7. Usa la regla de sustituci´on para calcular:
(a)
dr
r − 2r1/4
, (b)
dr
r ln r ln(ln r)
.
14
8. Usa la regla de sustituci´on para evaluar:
(a) sec2
(4 − 5ez
)ez
dz, (b)
π/8
0
cos4
(2r) sen(2r)dr.
9. Eval´ua las siguientes integrales:
(a)
π/4
0
tan x sec2
x dx, (b)
π/2
0
esen z
cos zdz.
10. En un tramo recto de 1 km de una carretera en construcci´on, se han dejado montones
de grava cuyo perfil est´a dado en metros por f(x) = (1/2) sen2
(πx/5), 0 ≤ x ≤ 1000.
Determina el n´umero de mont´ıculos de grava que hay en ese tramo de la carretera y
encuentra todos los valores de x para los cuales f(x) proporcionar´a la altura de la carretera
cuando la grava se extienda y se nivele.
Ejercicios complementarios
Si requieres pr´actica adicional, te sugerimos elegir en tu libro de texto algunos de los ejercicios
que te proponemos a continuaci´on:
Secci´on 5.4: 3, 7, 11, 15, 19, 23, 27, 28, 31, 33, 37, 39, 43, 45 y 48.
Secci´on 5.5: 2, 5, 8, 11, ..., 51.
15
Unidad 3
´Area entre curvas, trabajo e
integraci´on por partes
Objetivo
Utilizar integrales para calcular ´areas de regiones limitadas por curvas y el trabajo realizado
por una fuerza variable. Usar el m´etodo de integraci´on por partes para calcular integrales.
Contenido
1. ´Area entre curvas.
2. Trabajo.
3. Integraci´on por partes.
Indicadores de evaluaci´on
1. Utilizar integrales para calcular ´areas de regiones limitadas por curvas.
2. utilizar integrales para calcular el trabajo realizado por una fuerza variable sobre un objeto
con movimiento rectil´ıneo.
3. Justificar el m´etodo de integraci´on por partes.
4. Usar el m´etodo de integraci´on por partes para calcular integrales.
Actividades
1. Estudia las secciones 5.6, 6.5 y 8.1 de la Decimosegunda edici´on del Thomas y resuelve
ejercicios diversos que cubran todos los indicadores de evaluaci´on de esta unidad. Te sug-
erimos iniciar con ejercicios sencillos y aumentar paulatinamente el grado de dificultad
hasta alcanzar el nivel de los ejercicios de la tarea.
2. Entrega la tarea de la unidad 3, bien hecha y en limpio, antes de solicitar tu examen de
esta unidad.
3. Es recomendable aprobar la unidad 3 antes de finalizar la Semana 3.
16
Tarea de la unidad 3
“S´olo se aprende haciendo las cosas; porque
aunque creas saberlas, nunca tendr´as la certeza
hasta que lo intentes.”
S´ofocles (496 a. C. – 406 a. C.)
1. Dibuja las regiones limitadas por las curvas dadas y calcula sus ´areas:
(a) y = x2
/2, y = 2x; (b) y = 4x − x2
, y = 3.
2. Dibuja las regiones limitadas por las curvas dadas y calcula sus ´areas:
(a) y = 4 − x2
, y = x2
− 4x + 4; (b) y2
= x x + 3y2
= 8.
3. Dibuja las regiones limitadas por las curvas dadas y calcula sus ´areas:
(a) x = y3
− 2y, x = 2y; (b) y = x3
− x, y = x2
.
Reto: Sin usar tu calculadora, muestra que la respuesta del inciso (b) es 13/12.
4. Dibuja las regiones limitadas por las curvas dadas y calcula sus ´areas:
(a) y = x4
− 4x2
+ 4, y = x2
; (b) y = xex
, y = ex.
5. Una cisterna cil´ındrica circular de 1 m de radio y 3 m de altura est´a llena de agua y
se encuentra en posici´on horizontal. Determina el trabajo realizado para bombear las dos
terceras partes del agua a una altura de 4 m por arriba de la parte superior de esa cisterna.
6. Usa integraci´on por partes para calcular:
(a)
1
0
x
√
1 − xdx; (b) x2
e−3x
dx.
7. Usa integraci´on por partes para calcular:
(a) x cos(2x)dx; (b)
π
0
x2
sen(2x)dx.
8. Usa integraci´on por partes para calcular:
(a)
π/2
−π/2
ex
sen xdx; (b)
e
1/e
x ln x dx.
9. Usa integraci´on por partes para calcular:
(a)
1
0
arctan(5x)dx; (b) sen−1
(3x)dx.
10. Dibuja las regiones limitadas por las curvas dadas y calcula sus ´areas:
(a) y = x/2, y = xe−x
; (b) y = x, y = x cos x, 0 ≤ x ≤ 2π.
Ejercicios complementarios
Si necesitas pr´actica adicional, te sugerimos elegir en tu libro de texto algunos de los ejercicios
que te proponemos a continuaci´on:
Secci´on 5.6: 1, 5, 9, ..., 77.
Secci´on 6.5: 1, 6, 9, 11, 15, 17 y 20.
Secci´on 8.1: 2, 5, 8, 11,..., 50.
17
Unidad 4
Primer examen integrador
Objetivo
Reafirmar, unificar e integrar los temas, conceptos y m´etodos estudiados en las primeras tres
unidades del curso.
Contenido
El contenido de esta unidad es el de las tres unidades anteriores.
Indicadores de evaluaci´on
1. Utilizar un formulario para calcular integrales indefinidas b´asicas.
2. Calcular sumas de Riemann de una funci´on en un intervalo finito para aproximar ´areas o
integrales.
3. Usar sumas de Riemann para evaluar integrales definidas sencillas.
4. Usar ´areas de figuras conocidas para evaluar integrales sencillas.
5. Utilizar simetr´ıas para simplificar el c´alculo de integrales definidas.
6. Utilizar la parte 1 del teorema fundamental del c´alculo para derivar funciones definidas
por integrales con l´ımites variables.
7. Utilizar la parte 2 del teorema fundamental del c´alculo para evaluar integrales definidas.
8. Utilizar la regla de sustituci´on o cambio de variables para calcular integrales.
9. Utilizar integrales para calcular ´areas de regiones limitadas por curvas.
10. utilizar integrales para calcular el trabajo realizado por una fuerza variable sobre un objeto
con movimiento rectil´ıneo.
11. Utilizar el m´etodo de integraci´on por partes para calcular integrales.
Actividades y tarea
1. Revisa el material de las tres unidades anteriores, de acuerdo a lo que te se˜nalan los
indicadores de evaluaci´on de esta unidad, especialmente el que no te haya quedado claro.
¡Esta es una excelente oportunidad para que revises a profundidad los temas
que a´un no has entendido y resuelvas todas tus dudas! ¡Asiste a asesor´ıa
tantas veces como te haga falta! Recuerda que la calificaci´on que obtengas en esta
unidad ser´a tu primera calificaci´on parcial.
18
2. Para presentar el examen de esta unidad debes entregar un ensayo sobre Bernhard Riemann
(1826–1866), en el que expliques brevemente su m´etodo para calcular sumas de Riemann.
Tu ensayo debe ser de una cuartilla y debes escribirlo a mano, con tus propias palabras,
de manera clara y con buena ortograf´ıa. Copiar textualmente de tu fuente de informaci´on
sin dar el cr´edito correspondiente es un plagio.
3. Te recomendamos aprobar la unidad 4 antes de finalizar la Semana 4.
19
Unidad 5
Integrales trigonom´etricas
Objetivo
Utilizar identidades trigonom´etricas y sustituciones trigonom´etricas para calcular integrales.
Contenido
1. Integrales trigonom´etricas.
2. Integraci´on por sustituciones trigonom´etricas.
Indicadores de evaluaci´on
1. Usar identidades trigonom´etricas para calcular integrales trigonom´etricas.
2. Utilizar el m´etodo de substituci´on trigonom´etrica para calcular integrales.
Actividades
1. Estudia las secciones 8.2 y 8.3 de la Decimosegunda edici´on del Thomas y resuelve ejercicios
diversos que cubran todos los indicadores de evaluaci´on de esta unidad. Te sugerimos iniciar
con ejercicios sencillos y aumentar paulatinamente el grado de dificultad hasta alcanzar el
nivel de los ejercicios de la tarea.
2. Entrega la tarea de la unidad 5, bien hecha y en limpio, antes de solicitar tu examen de
esta unidad.
3. Procura aprobar la unidad 5 antes de finalizar la Semana 5.
Tarea de la unidad 5
“S´olo se aprende haciendo las cosas; porque
aunque creas saberlas, nunca tendr´as la certeza
hasta que lo intentes.”
S´ofocles (496 a. C. – 406 a. C.)
20
1. Calcula las siguientes integrales:
(a)
π
0
cos2
x sen xdx; (b)
π/6
0
tan x sec3
xdx.
2. Usa una identidad trigonom´etrica para calcular:
(a)
π
0
cos2
xdx; (b) tan2
xdx.
3. Usa una identidad trigonom´etrica para calcular:
(a)
π/2
0
sen3
xdx; (b) sen2
x cos2
xdx.
4. Usa una identidad trigonom´etrica para calcular:
(a)
π
0
cos x cos(2x)dx; (b)
π
0
sen 3x cos(5x)dx.
5. Usa una identidad trigonom´etrica para calcular:
(a)
π/4
0
tan3
xdx; (b) sec2
x tan2
xdx.
6. Calcula las siguientes integrales:
(a) x2
cos2
xdx; (b)
1
x
tan2
(ln x)dx.
7. Utiliza una sustituci´on trigonom´etrica para calcular las siguientes integrales:
(a) 4 − x2 dx; (b) 9 + 4x2 dx.
8. Utiliza una sustituci´on trigonom´etrica para calcular las siguientes integrales:
(a)
x2
dx
√
25 − 9x2
; (b)
xdx
√
1 + 2x2
.
9. Utiliza una sustituci´on trigonom´etrica para calcular las siguientes integrales:
(a)
xdx
√
9x2 − 1
; (b)
x2
dx
(x2 − 25)5/2
.
10. Realiza las siguientes integrales:
(a)
sen rdr
1 + sen r
; (b)
ln π
ln(π/2)
ex
sen4
ex
dx; (c)
sec3
(arctan t)
t2 + 1
dt.
Ejercicios complementarios
Si requieres pr´actica adicional, te sugerimos elegir en tu libro de texto algunos de los ejercicios
que te proponemos a continuaci´on:
Secci´on 8.2: 3, 6, 9, 12,..., 66.
Secci´on 8.3: 1, 4, 7, 10, 13,..., 46.
21
Unidad 6
Integraci´on por fracciones
parciales
Objetivo
Utilizar el m´etodo de fracciones parciales para calcular integrales.
Contenido
1. Integraci´on de funciones racionales por fracciones parciales.
Indicadores de evaluaci´on
1. Utilizar el m´etodo de fracciones parciales para calcular integrales de funciones racionales.
Actividades
1. Estudia la secci´on 8.4 de la Decimosegunda edici´on del Thomas y resuelve ejercicios di-
versos que cubran todos los indicadores de evaluaci´on de esta unidad. Te sugerimos iniciar
con ejercicios sencillos y aumentar paulatinamente el grado de dificultad hasta alcanzar el
nivel de los ejercicios de la tarea.
2. Entrega la tarea de la unidad 6, bien hecha y en limpio, antes de solicitar tu examen de
esta unidad.
3. Te recomendamos aprobar la unidad 6 antes de finalizar la Semana 6.
Tarea de la unidad 6
“S´olo se aprende haciendo las cosas; porque
aunque creas saberlas, nunca tendr´as la certeza
hasta que lo intentes.”
S´ofocles (496 a. C. – 406 a. C.)
1. Decide si los siguientes polinomios son reducibles y en caso afirmativo factor´ızalos:
(a) x2
+ 2x + 5; (b) x2
+ 4x + 12; (c) x2
+ 7x + 12.
22
2. Calcula las siguientes integrales:
(a)
x dx
x2 + 2x + 2
; (b)
x dx
x2 + x + 1
.
3. Usa fracciones parciales para calcular las siguientes integrales:
(a)
2
0
dx
x2 − 16
; (b)
1
0
xdx
x2 − x − 6
.
4. Usa fracciones parciales para calcular las siguientes integrales:
(a)
dx
x(x − 1)2
; (b)
xdx
x4 + 2x3 + x2
.
5. Usa fracciones parciales para calcular las siguientes integrales:
(a)
5
4
x2
− 1
x2 − 2x − 3
dx; (b)
x3
4x − x3
dx.
6. Usa fracciones parciales para calcular las siguientes integrales:
(a)
3
2
dx
x3 + x
dx; (b)
x3
(x2 + 1)(x2 − 1)
dx.
7. Sin calcular las constantes, prop´on una expansi´on en fracciones parciales para cada una
de las siguientes funciones racionales:
(a) f(x) =
x + 1
(x3 − x2)(x2 + 4)2
; (b) f(x) =
x3
(x4 + 1)2(x2 − 4)3
.
8. Sin calcular las constantes, prop´on una expansi´on en fracciones parciales para cada una
de las siguientes funciones racionales:
(a) f(x) =
x2
− 5
(x − 1)2(x2 − 1)2(x2 + x − 1)(x2 + x + 1)
; (b) f(x) =
x − 7
(x2 − 9)(x3 − 27)(x + 5)
.
9. Utiliza el m´etodo de Heaviside para encontrar una expansi´on en fracciones parciales de la
funci´on racional
f(x) =
x2
+ 5
(x + 1)(x − 1)(x + 2)
.
Ejercicios complementarios
Si requieres pr´actica adicional, te sugerimos elegir en tu libro de texto algunos de los ejercicios
que te proponemos a continuaci´on:
Secci´on 8.4: 2, 5, 8, 11,..., 50.
23
Unidad 7
Segundo examen integrador
Objetivo
Reafirmar, unificar e integrar los temas, conceptos y m´etodos estudiados en las primeras seis
unidades del curso.
Contenido
El contenido de esta unidad es el de las seis unidades anteriores.
Indicadores de evaluaci´on
1. Usar identidades trigonom´etricas para calcular integrales trigonom´etricas.
2. Utilizar el m´etodo de substituci´on trigonom´etrica para calcular integrales.
3. Utilizar el m´etodo de fracciones parciales para calcular integrales de funciones racionales.
Actividades y tarea
1. Revisa el material de las seis unidades anteriores, de acuerdo a lo que te se˜nalan los
indicadores de evaluaci´on de esta unidad, especialmente el que no te haya quedado claro.
¡Esta es otra gran oportunidad para que revises a profundidad los temas
que a´un no has entendido y resuelvas todas tus dudas! ¡Asiste a asesor´ıa
tantas veces como te haga falta! Recuerda que la calificaci´on que obtengas en esta
unidad ser´a tu segunda calificaci´on parcial.
2. Para presentar el examen de esta unidad debes entregar un ensayo sobre Leonhard Eu-
ler (1707–1783), en el que discutas brevemente su obra y sus contribuciones el c´alculo
diferencial e integral. Tu ensayo debe ser de una cuartilla y debes escribirlo a mano, con
tus propias palabras, de manera clara y con buena ortograf´ıa. Copiar textualmente de tu
fuente de informaci´on sin dar el cr´edito correspondiente es un plagio.
3. Es recomendable que apruebes la unidad 7 antes de finalizar la Semana 7.
24
Unidad 8
Integrales impropias
Objetivo
Evaluar integrales impropias y usar los criterios b´asicos para determinar la convergencia
´o divergencia de este tipo de integrales.
Contenido
1. Integrales impropias con l´ımites de integraci´on infinitos.
2. Integrales impropias de integrandos con as´ıntotas verticales.
3. Criterios de convergencia.
4. Criterios de divergencia.
5. Aplicaciones.
Indicadores de evaluaci´on
1. Evaluar integrales impropias con l´ımites de integraci´on infinitos.
2. Evaluar integrales impropias cuyos integrandos poseen as´ıntotas verticales.
3. Utilizar el m´etodo de comparaci´on directa para determinar la convergencia o divergencia
de una integral impropia.
4. Utilizar el m´etodo de comparaci´on del l´ımite para determinar la convergencia o divergencia
de una integral impropia.
5. Calcular ´areas de regiones no acotadas limitadas por curvas.
Actividades
1. Estudia la secci´on 8.7 de la Decimosegunda edici´on del Thomas y el material sobre poli-
nomios de Taylor que se te entregar´a en el SAI. Resuelve ejercicios diversos que cubran
todos los indicadores de evaluaci´on de esta unidad. Te sugerimos iniciar con ejercicios
sencillos y aumentar paulatinamente el grado de dificultad hasta alcanzar el nivel de los
ejercicios de la tarea.
2. Entrega la tarea de la unidad 8, bien hecha y en limpio, antes de solicitar tu examen de
esta unidad.
3. Procura aprobar la unidad 8 antes de finalizar la Semana 8.
25
Tarea de la unidad 8
“S´olo se aprende haciendo las cosas; porque
aunque creas saberlas, nunca tendr´as la certeza
hasta que lo intentes.”
S´ofocles (496 a. C. – 406 a. C.)
1. Eval´ua las siguientes integrales impropias con l´ımites infinitos:
(a)
∞
1
dx
x2
; (b)
∞
−∞
dt
4 + t2
.
2. Eval´ua las siguientes integrales impropias con l´ımites infinitos:
(a)
∞
0
te−3t
dt; (b)
∞
0
e−x
sen xdx
3. Eval´ua las siguientes integrales impropias cuyos integrandos poseen as´ıntotas verticales:
(a)
1
0
dx
√
x
; (b)
4
0
dt
3
√
4 − t
.
4. Eval´ua las siguientes integrales impropias cuyos integrandos podr´ıan poseer as´ıntotas ver-
ticales:
(a)
1
0
ln xdx; (b)
e
0
x ln(x2
)dx.
5. Determina los valores de α y β ∈ R para los cuales convergen las siguientes integrales:
(a)
1
0
dx
xα
; (b)
∞
1
dx
xβ
.
6. Determina la convergencia o divergencia de las siguientes integrales:
(a)
1
0
sen xdx
x3/2
; (b)
1
0
dx
x(1 − x)
.
7. Determina la convergencia o divergencia de las siguientes integrales:
(a)
∞
−∞
e−x2
dx; (b)
∞
0
dx
x4 + 1
.
8. Muestra que la siguiente integral impropia es convergente:
∞
−∞
sen x
x
dx.
Sugerencia: Primero explica porqu´e el hecho de que el integrando es una funci´on par y que
su discontinuidad en x = 0 es removible, reducen el problema a establecer la convergencia
de
∞
1
sen x
x
dx. Luego, integra por partes y verifica que
M
1
sen x
x
dx = −
cos x
x
M
1
−
M
1
cos x
x2
dx.
Finalmente, usa el criterio de comparaci´on para deducir la convergencia del lado derecho
de esta ´ultima identidad.
9. Encuentra el ´area de la regi´on del primer cuadrante limitada por y = xe−x
y y = e−x
.
10. Encuentra el ´area de la regi´on limitada por y = x y y = x ln x.
26
Ejercicios complementarios
Si requieres pr´actica adicional, te sugerimos elegir en tu libro de texto algunos de los ejercicios
que te proponemos a continuaci´on:
Secci´on 8.7: 1, 6, 11, 16, 21,..., 61.
27
Unidad 9
Aplicaciones de la integral
Objetivo
Aplicar la integral definida para calcular vol´umenes de s´olidos y longitudes de curvas.
Contenido
1. Vol´umenes por secciones transversales.
2. Vol´umenes de revoluci´on por el m´etodo de discos.
3. Vol´umenes de revoluci´on por el m´etodo de arandelas.
4. Vol´umenes de revoluci´on por el m´etodo de casquillos.
5. Longitudes de curvas.
Indicadores de evaluaci´on
1. Calcular vol´umenes de s´olidos a partir de sus secciones transversales.
2. Calcular vol´umenes de s´olidos de revoluci´on con el m´etodo de discos.
3. Calcular vol´umenes de s´olidos por medio de casquillos cil´ındricos.
4. Calcular longitudes de curvas planas.
Actividades
1. Estudia las secciones 6.1, 6.2 y 6.3 de la Decimosegunda edici´on del Thomas y resuelve
ejercicios diversos que cubran todos los indicadores de evaluaci´on de esta unidad. Te sug-
erimos iniciar con ejercicios sencillos y aumentar paulatinamente el grado de dificultad
hasta alcanzar el nivel de los ejercicios de la tarea.
2. Entrega la tarea de la unidad 9, bien hecha y en limpio, antes de solicitar tu examen de
esta unidad.
3. Procura aprobar la unidad 9 antes de finalizar la Semana 9.
28
Tarea de la unidad 9
“S´olo se aprende haciendo las cosas; porque
aunque creas saberlas, nunca tendr´as la certeza
hasta que lo intentes.”
S´ofocles (496 a. C. – 406 a. C.)
1. La base de un s´olido es un disco de radio 1 y las secciones transversales del s´olido son
cuadrados. Si las bases de esos cuadrados son cuerdas del disco, perpendiculares a un
di´ametro fijo del mismo, dibuja el s´olido y calcula su volumen.
2. Dibuja el s´olido que se obtiene al girar alrededor del eje y la regi´on determinada y = 2x,
y = 0 y x = 10 y calcula el volumen del s´olido generado (a) por el m´etodo de arandelas
y (b) por el m´etodo de casquillos. Confirma que el volumen resultate es el mismo por los
dos m´etodos.
3. Dibuja los s´olidos que se obtienen al girar alrededor del eje x las regiones determinadas
por las siguientes curvas y calcula sus vol´umenes usando el m´etodo de discos:
(a) y = x3
, y = 0, x = 2; (b) y − x2
= x, y = 0.
4. Dibuja los s´olidos que se obtienen al girar alrededor del eje x las regiones determinadas
por los siguientes curvas y calcula sus vol´umenes usando el m´etodo de arandelas:
(a) y = x2
+ 1, y = x + 3; (b) y = 4 − x2
, y + x = 2.
5. Dibuja los s´olidos que se obtienen al girar alrededor del eje y las regiones determinadas
por los siguientes curvas y calcula sus vol´umenes usando el m´etodo de casquillos:
(a) y2
= x, y = x/2; (b) y = x2
, y = 4x − x2
.
6. Dibuja el s´olido que se obtiene al girar la regi´on limitada por x2
+ (y − 4)2
= 1 alrededor
del eje x y encuentra su volumen.
7. Determina el volumen del s´olido que se obtiene al girar alrededor del la recta y = 2 la
regi´on del primer cuadrante limitada por x = 2y − y2
.
8. Calcula el volumen del s´olido que se obtiene al girar alrededor del la recta x = −1 la regi´on
limitada por y + x2
= 2x y y = x.
9. Determina la longitud de las siguientes curvas:
(a) x = cos t, y = t + sen t, 0 ≤ t ≤ π, (b) x = (y3
/3) + (1/4y), 1 ≤ y ≤ 3.
10. Dibuja y calcula el volumen de la intersecci´on de dos cilindros, de radio a > 0, cuyos ejes
se intersecan perpendicularmente.
11. Dibuja los s´olidos que se obtienen al girar alrededor del eje x las regiones determinadas
por las siguientes curvas y calcula sus vol´umenes:
(a) xy = 1, y = 0, x ≥ 1; (b) y = x ln x2
, y = 0.
Ejercicios complementarios
Si requieres pr´actica adicional, te sugerimos elegir en tu libro de texto algunos de los ejercicios
que te proponemos a continuaci´on:
Secci´on 6.1: 1, 3, 5, 8, 10, 13, 15, 17, 21, 27, 31, 35, 41, 45, 47, 49 y 53.
Secci´on 6.2: 1, 5, 13, 15, 17, 21, 23, 25, 28, y 32.
Secci´on 6.3: 1, 3, 5, 7, 9, 11 y 13.
29
Unidad 10
Evaluaci´on global
“Un caminar de r´ıo que se curva,
avanza, retrocede, da un rodeo
y llega siempre: ...”
Octavio Paz (1914–1998)
Objetivo
Reafirmar, unificar e integrar todos los temas, conceptos y m´etodos estudiados en el curso.
Contenido
Todos los temas del curso.
Indicadores de evaluaci´on
1. Utilizar un formulario para calcular integrales indefinidas.
2. Usar sumas de Riemann para evaluar integrales definidas sencillas.
3. Utilizar la parte 1 del teorema fundamental del c´alculo para derivar funciones definidas
por integrales con l´ımites variables.
4. Utilizar la parte 2 del teorema fundamental del c´alculo para evaluar integrales definidas.
5. Utilizar las t´ecnicas de cambio de variables, integraci´on por partes para calcular integrales.
6. Utilizar identidades trigonom´etricas y sustituci´on trigonom´etrica para calcular integrales.
7. Utilizar el m´etodo de fracciones parciales para calcular integrales de funciones racionales.
8. Decidir si una integral impropia es convergente o divergente.
9. Usar integrales para calcular longitudes de curvas planas, ´areas de regiones planas y
vol´umenes de s´olidos.
10. utilizar integrales para calcular el trabajo realizado por una fuerza variable sobre un objeto
con movimiento rectil´ıneo.
30
Actividades y tarea
1. Revisa cuidadosamente el material del curso siguiendo lo que te se˜nalan los indicadores de
evaluaci´on de esta unidad, especialmente el que a´un no dominas. ¡Aprovecha esta ´ulti-
ma oportunidad para revisar a profundidad los temas que no te quedaron
claros en el curso y resuelve todas tus dudas! ¡Asiste a asesor´ıa tantas veces
como te haga falta! Recuerda que la calificaci´on que obtengas en esta unidad ser´a tu
tercera calificaci´on parcial.
2. El requisito para presentar el examen de esta unidad es que entregues un ensayo sobre
Arqu´ımedes (287 a. C. – 212 a. C.), en el que examines brevemente su obra y expliques
su m´etodo para calcular el volumen de una esfera. Tu ensayo debe ser de una cuartilla
y debes escribirlo a mano, con tus propias palabras, de manera clara y con buena or-
tograf´ıa. Recuerda que copiar textualmente de tu fuente de informaci´on sin dar el cr´edito
correspondiente es un plagio.
3. Procura aprobar el examen de la unidad 10 antes de finalizar la Semana 10.
31
Ventajas del SAI
A continuaci´on encontrar´as algunas de las ventajas y beneficios de estudiar c´alculo en el
SAI:
¡La estrella de la pel´ıcula eres t´u, no el profesor!
Puedes asistir a asesor´ıa y a ex´amenes tantas veces como quieras, todos los d´ıas h´abiles
del trimestre, de 13:00 a 16:00 hrs.
Puedes consultar a cualquiera de nuestros instructores de c´alculo, que tienen el compromiso
profesional de supervisar tus avances y ayudarte a resolver todas tus dudas del curso.
Puedes solicitar asesor´ıas adicionales a cualquiera de los instructores.
Todas tus tareas y ex´amenes se califican en tu presencia, para que confirmes tus aciertos,
detectes tus errores y adquieras seguridad acerca de lo que sabes.
Todos tus ex´amenes se califican en el d´ıa que los tomas o en la siguiente sesi´on que lo
solicites. De este modo, dispones de retroalimentaci´on inmediata para proseguir con tu
aprendizaje.
En vez de reprobarte en tus tareas y ex´amenes, te mostramos tus errores y te asesoramos
para que te prepares mejor y te sometas nuevamente a evaluaci´on, hasta que apruebes. A
este proceso del SAI le llamamos reciclar.
Puedes mejorar tus calificaciones aprobatorias parciales (de las evaluaciones integradoras),
tomando nuevamente el examen, a m´as tardar dos sesiones despu´es.
Tu calificaci´on final es el promedio de tus calificaciones parciales; siempre es aprobatoria
y la puedes mejorar someti´endote a un examen oral.
No pierdes los esfuerzos realizados. Si trabajando a tu ritmo no concluyes el curso, puedes
reanudarlo en el trimestre siguiente a partir de donde te quedaste, siempre y cuando hayas
aprobado al menos CINCO unidades.
Puedes adelantar materias. Si concluyes el curso antes de terminar el trimestre, puedes
iniciar el curso siguiente y se te toman en cuenta todos tus avances.
Puedes aprovechar la semana de ex´amenes de recuperaci´on para avanzar en el curso.
Siempre se cubre el cien por ciento del programa del curso.
Te das cuenta que lo m´as importante es aprender y que pasar los ex´amenes es una conse-
cuencia.
Si apruebas nuestros cursos, ¡nunca volver´as a tener problemas con c´alculo ni te dejar´as
vencer f´acilmente por la flojera!
Descubres que hay una inmensidad de retos que puedes vencer sin ayuda.
El placer de hacer las cosas por ti mismo te da motivaci´on y car´acter para dejar de ser
espectador y convertirte en actor.
32
Adquieres una actitud reflexiva, cr´ıtica y edificante de tu propio conocimiento.
Adquieres seguridad, independencia y disciplina para continuar en tus estudios con may-
ores posibilidades de ´exito.
Debido al vertiginoso avance de la ciencia y tecnolog´ıa de nuestro tiempo, es important´ısimo
actualizarse constantemente. Por esta raz´on, en los cursos de c´alculo del SAI nos parece im-
prescindible conferirte un buen grado de responsabilidad para que ¡tomes la iniciativa de tu
propio aprendizaje! Hay evidencias que los alumnos que asumen esta responsabilidad y adoptan
una conducta activa hacia su educaci´on, aprenden m´as y mejor que aquellos que pasivamente
esperan que sus profesores les ense˜nen.
Est´a probado que la experiencia de tomar cursos en el SAI te da seguridad y desarrolla
tus habilidades para adquirir nuevos conocimientos por ti mismo; as´ı como para enfrentar los
desaf´ıos de tu profesi´on de manera independiente. Sin duda, estas aptitudes har´an de ti un
profesional mucho m´as competitivo en el mercado laboral y en el postgrado.
33
Formulario de c´alculo del SAI
Per´ımetros, ´areas y vol´umenes
1. Per´ımetro
Rect´angulo de base b y altura a:
P = 2a + 2b.
Pol´ıgono regular de n lados de longitud l:
P = nl.
C´ırculo de radio r:
P = 2πr, con π = 3,14159...
2. ´Area
Tri´angulo de base b y altura a:
A =
ba
2
.
Tri´angulo de lados a, b y c, F´ormula de Her´on de Alejandr´ıa:
A = S(S − a)(S − b)(S − c).
S = (a + b + c)/2 se llama semiper´ımetro del tri´angulo.
Rect´angulo de base b y altura a:
A = ab.
Trapecio de base mayor B, base menor b y altura a:
A =
(B + b)a
2
.
Pol´ıgono regular de n lados de longitud l y apotema de longitud a:
A =
nla
2
=
Pa
2
.
El apotema de un pol´ıgono regular es la distancia entre el centro y cualquiera de sus
lados.
C´ırculo de radio r:
A = πr2
.
Elipse de semiejes a y b:
A = πab.
34
Esfera de radio r:
A = 4πr2
.
´Area lateral de un cono de radio r y altura a:
A = πr r2 + a2.
3. Volumen
Caja de altura a y base rectangular de lados b y c:
V = abc.
Esfera de radio r:
V =
4
3
πr3
.
Cilindro de radio r y altura a:
V = πr2
a.
Cono de radio r y altura a:
V =
1
3
πr2
a.
Trigonometr´ıa
Teorema de Pit´agoras.
En un tri´angulo rect´angulo de catetos a y b e hipotenusa h (Figura 1) se cumple la relaci´on
h2
= a2
+ b2
.
Rec´ıprocamente, si en un tri´angulo de lados a, b y h se cumple la relaci´on anterior, entonces
es un tri´angulo rect´angulo de catetos a y b e hipotenusa h.
Funciones trigonom´etricas del ´angulo θ (Figura 1):
sen θ =
a
h
, cos θ =
b
h
, tan θ =
a
b
.
b
ah
θ
Figura 1: Tri´angulo rect´angulo
35
Las funciones trigonom´etricas de los ´angulos de 45◦
, 30◦
y 60◦
se calculan f´acilmente
usando los tri´angulos de la Figura 2.
1
1
√
2
45◦
√
3
1
2
60◦
30◦
Figura 2: Tri´angulos especiales
Funciones trigonom´etricas del ´angulo t (Figura 3):
sen t = y, cos t = x, tan t =
y
x
.
x
y
t
(x, y)
(1, 0)
t radianes
Figura 3: C´ırculo trigonom´etrico
Conversi´on de grados a radianes. Si la medida de un ´angulo en grados es A y en radianes
θ, entonces,
θ =
π
180
A.
Longitud l de un arco de θ radianes de un c´ırculo de radio r:
l = θr.
´Area de un sector de θ radianes de un c´ırculo de radio r:
A =
1
2
θr2
.
Identidades trigonom´etricas b´asicas:
tan θ =
sen θ
cos θ
, cot θ =
cos θ
sen θ
, sec θ =
1
cos θ
csc θ =
1
sen θ
.
36
Identidades pitag´oricas:
sen2
θ + cos2
θ = 1, 1 + tan2
θ = sec2
θ, 1 + cot2
θ = csc2
θ.
F´ormulas para la suma:
sen(A ± B) = sen A cos B ± sen B cos A, cos(A ± B) = cos A cos B sen A sen B.
F´ormulas para el ´angulo doble:
sen(2u) = 2 sen u cos u, cos 2u = cos2
u − sen2
u.
F´ormulas para el ´angulo medio:
sen2
u =
1 − cos 2u
2
, cos2
u =
1 + cos 2u
2
.
Ley de los senos. En un tri´angulo de lados a, b y c, cuyos ´angulos opuestos respectivos
son A, B y C, se satisface la relaci´on
sen A
a
=
sen B
b
=
sen C
c
.
Ley de los cosenos. En un tri´angulo de lados a, b y c, en el que C es el ´angulo opuesto
a c, se satisface la relaci´on
c2
= a2
+ b2
− 2ab cos C.
Otras f´ormulas:
tan(A ± B) =
tan A ± tan B
1 tan A tan B
sen(−u) = − sen u
cos(−u) = cos u
tan(−u) = − tan u
−|θ| ≤ sen θ ≤ |θ|.
Propiedades de logaritmos y exponenciales
1. ln(ex
) = x, x ∈ R.
2. eln x
= x, x > 0.
3. ln(xy
) = y ln x, x > 0, y ∈ R.
4. ax
= ex ln a
, a > 0.
5. loga x =
ln x
ln a
, x > 0, a > 0, a = 1.
6. ln(xy) = ln x + ln y, x > 0, y > 0.
7. ln
x
y
= ln x − ln y, x > 0, y > 0.
8. loga x =
logb x
logb a
, a > 0, b = 1, b > 0.
Reglas de derivaci´on
Notaci´on: u =
du
dx
Linealidad
(cu) = cu , (u ± v) = u ± v .
Regla del producto
(uv) = uv + vu .
37
Regla del cociente
u
v
=
vu − uv
v2
.
Regla de la cadena
dy
dx
=
dy
du
du
dx
.
Diferenciaci´on logar´ıtmica
(ln µ) =
µ
µ
.
Otras f´ormulas
1. Si c es una constante, (c) = 0
2. (|u|) =
u
|u|
(u )
3. (un
) = nun−1
u
4. (au
) = (ln a)au
u
5. (eu
) = eu
u
6. (loga u) =
u
(ln a)u
7. (sen u) = (cos u)u
8. (cos u) = −(sen u)u
9. (tan u) = (sec2
u)u
10. (cot u) = −(csc2
u)u
11. (sec u) = (sec u tan u)u
12. (csc u) = −(csc u cot u)u
13. (arc sen u) =
u
√
1 − u2
14. (arc cos u) = −
u
√
1 − u2
15. (arctan u) =
u
1 + u2
16. (arccot u) = −
u
1 + u2
17. (arcsec u) =
u
|u|
√
u2 − 1
18. (arccsc u) = −
u
|u|
√
u2 − 1
F´ormulas b´asicas de integraci´on
Linealidad
kf(u)du = k f(u)du, k ∈ R; (f(u) ± g(u)) du = f(u)du ± g(u)du.
F´ormula de integraci´on por partes
f(x)g (x)dx = f(x)g(x) − f (x)g(x)dx o bien udv = uv − vdu.
Regla de sustituci´on o de cambio de variables. Si u = g(x), entonces
f(g(x))g (x)dx = f(u)du o
b
a
f(g(x))g (x)dx =
g(b)
g(a)
f(u)du.
38
Otras f´ormulas:
1. du = u + C
2. un
du =
un+1
n + 1
+ C, n = −1
3.
1
u
du = ln |u| + C, u = 0
4. au
du =
au
ln a
+ C, a > 0, a = 1
5. eu
du = eu
+ C
6. sen u du = − cos u + C
7. cos u du = sen u + C
8. tan u du = − ln | cos u| + C
= ln | sec u| + C
9. cot u du = ln | sen u| + C
10. sec u du = ln | sec u + tan u| + C
11. sec2
u du = tan u + C
12. csc u du = − ln | csc u + cot u| + C
13. csc2
u du = − cot u + C
14.
du
a2 + u2
=
1
a
arctan
u
a
+ C, a = 0
15. csc u cot u du = − csc u + C
16.
du
√
a2 − u2
= arcsen
u
a
+ C, a = 0
17. sec u tan u du = sec u + C
18.
du
u
√
a2 − u2
=
1
a
arcsec
|u|
a
+ C, a = 0.
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  • 1. Departamento de Ciencias B´asicas Gu´ıa de C´alculo Diferencial e Integral II Por Jaime Cruz Sampedro Divisi´on de CBI C´alculo Integral Gu´ıa del Trimestre 12P Por S. Arellano, A. Castellanos, J. Cruz y J. Grabinsky 1
  • 2. ´Indice Informaci´on important´ısima 3 ¡Bienvenido al SAI! . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4 ¿Qu´e es el SAI? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4 ¿Qu´e no es el SAI? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4 ¿C´omo se aprende c´alculo en el SAI? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4 Gu´ıa y libro de texto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5 C´alculo Integral. Informaci´on 12P . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6 Diez recomendaciones importantes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8 1. Integral indefinida e integral definida 10 Objetivo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10 Contenido . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10 Indicadores de evaluaci´on . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10 Actividades . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10 Tarea de la unidad 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11 Ejercicios complementarios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12 2. El teorema fundamental del c´alculo y el m´etodo de sustituci´on 13 Objetivo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13 Contenido . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13 Indicadores de evaluaci´on . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13 Actividades . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14 Tarea de la unidad 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14 Ejercicios complementarios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15 3. ´Area entre curvas, trabajo e integraci´on por partes 16 Objetivo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16 Contenido . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16 Indicadores de evaluaci´on . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16 Actividades . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16 Tarea de la unidad 3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16 Ejercicios complementarios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17 4. Primer examen integrador 18 Objetivo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 Contenido . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 Indicadores de evaluaci´on . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 Actividades y tarea . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 5. Integrales trigonom´etricas 20 Objetivo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 Contenido . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 Indicadores de evaluaci´on . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 Actividades . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 Tarea de la unidad 5 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 2
  • 3. Ejercicios complementarios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 6. Integraci´on por fracciones parciales 22 Objetivo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 Contenido . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 Indicadores de evaluaci´on . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 Actividades . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 Tarea de la unidad 6 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 Ejercicios complementarios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 7. Segundo examen integrador 24 Objetivo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 Contenido . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 Indicadores de evaluaci´on . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 Actividades y tarea . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 8. Integrales impropias 25 Objetivo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 Contenido . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 Indicadores de evaluaci´on . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 Actividades . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 Tarea de la unidad 8 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 Ejercicios complementarios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 9. Aplicaciones de la integral 28 Objetivo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 Contenido . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 Indicadores de evaluaci´on . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 Actividades . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 Tarea de la unidad 9 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 Ejercicios complementarios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 10. Evaluaci´on global 30 Objetivo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 Contenido . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 Indicadores de evaluaci´on . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 Actividades y tarea . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 Ventajas del SAI 31 Formulario de c´alculo del SAI 33 Per´ımetros, ´areas y vol´umenes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 Trigonometr´ıa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 Propiedades de logaritmos y exponenciales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 Reglas b´asicas de derivaci´on . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 F´ormulas b´asicas de integraci´on . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38 3
  • 4. Informaci´on important´ısima “No hay genios en este mundo, todo es trabajo tenaz, el uno por ciento es de inspiraci´on y el noventa y nueve de transpiraci´on.” Thomas Alva Edison (1847-1931) ¡Bienvenido al SAI! Los profesores y tutores de c´alculo del Sistema de Aprendizaje Individualizado (SAI) te damos la m´as cordial bienvenida y te deseamos una placentera y provechosa experiencia en este sistema de ense˜nanza. Todos en el SAI tenemos el compromiso de que tu aprendizaje de c´alculo en este sistema se desarrolle en un ambiente de trabajo cordial, responsabilidad y respeto mutuo. En el SAI, todos queremos que te sientas con plena libertad y confianza de trabajar e interactuar activamente con nosotros: dialogando, haciendo preguntas y resolviendo tus dudas. ¿Qu´e es el SAI? El SAI es una modalidad de ense˜nanza fundada en la fuerte y constante interacci´on entre los alumnos y los instructores (profesores y tutores). En este sistema, es crucial la combinaci´on del trabajo constante del alumno con la permanente asesor´ıa individual por parte de los instructores. En el SAI los alumnos no asisten a clases y disponen de gran flexibilidad para progresar en su aprendizaje, a su ritmo y bajo su propio estilo; pero ¡cuidado!, el SAI no es para que vengas cuando quieras y dejes todo para el final del trimestre. Es muy importante que desde un inicio te mantengas en constante contacto con tus instructores y desarrolles el h´abito de trabajar asiduamente. ¿Qu´e no es el SAI? El SAI no es un sistema para autodidactas, ni de ense˜nanza abierta ni de educaci´on a distancia El SAI tampoco es un sistema de cursos en l´ınea ni de educaci´on virtual. El SAI no es una reguladora ni un sistema de clases particulares. ¿C´omo se aprende c´alculo en el SAI? En el SAI aprendes c´alculo realizando las actividades que se especifican en esta gu´ıa, con asesor´ıa y apoyo permanente de un grupo de competentes y amigables instructores. La gu´ıa te indica paso a paso qu´e materiales debes estudiar y qu´e ejercicios debes resolver hasta cubrir todos los temas del curso. Los instructores supervisan tus avances y te brindan toda la asesor´ıa 4
  • 5. que necesites para resolver tus dudas hasta que asimiles, entiendas y domines cada tema y te sientas listo para presentar tus ex´amenes. En los cursos de c´alculo del SAI ¡la estrella de la pel´ıcula eres t´u!, no el profesor. Por esta raz´on, para que tengas buenas expectativas de ´exito, es important´ısimo que no desaparezcas y te presentes regularmente a asesor´ıa. Nuestro m´etodo de ense˜nanza se funda esencialmente en: 1. Darte mucha asesor´ıa individual para que resuelvas tus dudas, profundices en los temas, fortalezcas tu independencia y prepares tus ex´amenes. 2. Calificarte tus tareas y ex´amenes en tu presencia para que detectes y corrijas inmediata y oportunamente tus errores y tus dudas. 3. Darte muchas oportunidades para pasar los ex´amenes. En lugar de reprobarte, te asignamos tareas para que repases, superes tus debilidades y presentes nuevamente los ex´amenes, una y otra vez, hasta que los apruebes. 4. Permitirte aprender y progresar a tu propio ritmo; puedes terminar un curso y empezar con el siguiente o puedes reanudar el curso en donde te quedaste y completarlo en dos trimestres: Estudiar c´alculo en el SAI puede ser lento, ¡pero es seguro! Una de nuestras metas fundamentales es que desarrolles tu autodisciplina, seguridad e inde- pendencia para alcanzar tus metas acad´emicas y profesionales. Si deseas conocer las ventajas y beneficios de estudiar c´alculo en el SAI, consulta la secci´on Ventajas del SAI al final de esta gu´ıa. Si has decidido tomar c´alculo en el SAI: Descarga e imprime esta gu´ıa porque aqu´ı encontrar´as los objetivos y contenidos, as´ı como todas las actividades que debes realizar para aprobar el curso. Lee cuidadosamente la informaci´on del curso para el Trimestre 12P que se da en esta gu´ıa. Consigue el libro de texto y empieza a estudiarlo de acuerdo al plan trazado en la gu´ıa. Si tienes dudas ¡ven al SAI a asesor´ıa tantas veces como quieras! La atenci´on a los alumnos de c´alculo del SAI se da en el Aula E204, todos los d´ıas h´abiles de 13:00 a 16:00 horas. Cuando apruebes tu primer examen te haremos un expediente para registrar tus avances. Gu´ıa y libro de texto “Sin entusiasmo nunca se logr´o nada grandioso” Emerson (1803-1882) Para tener ´exito en las matem´aticas necesitas entusiasmo, dedicaci´on y organizaci´on; sobre todo si has decidido cursar esta disciplina en el SAI. El entusiasmo y la dedicaci´on son tu responsabilidad pero una buena organizaci´on requiere de una gu´ıa, un libro de texto y supervisi´on, orientaci´on y apoyo por parte de tus instructores. El prop´osito de esta gu´ıa es proveerte un plan de trabajo para que estudies organizadamente y asimiles en un trimestre los contenidos del curso: C´alculo Integral. El libro de texto es: 5
  • 6. C´ALCULO una variable, de G. B. Thomas, Pearson; 2010, decimosegunda edici´on. Para que tu aprendizaje progrese de manera ordenada y sistem´atica, as´ı como para facilitar la supervisi´on de tus avances, el curso se ha dividido en diez unidades. Cada unidad establece su contenido, sus objetivos y las actividades que debes realizar para preparar los correspondientes ex´amenes. En cada unidad se detallan los indicadores de evaluaci´on, es decir, los temas y habil- idades relevantes en las evaluaciones de la unidad. Presta especial atenci´on a esos indicadores porque te sugieren el tipo de problemas y preguntas que encontrar´as en los ex´amenes. ¡Imprime la gu´ıa y adquiere el libro de texto! Es muy importante que dispongas de estos materiales durante todo el trimestre porque –sumados a tu dedicaci´on y al apoyo de tus instructores– ser´an los principales soportes de tu aprendizaje de c´alculo en el SAI. C´alculo Integral. Informaci´on 12P “Donde se cuentan mil zarandajas, tan impertinentes como necesarias para el entendimiento de esta grande historia” Miguel de Cervantes (1547-1616) Objetivos En este curso estudiar´as los conceptos y m´etodos esenciales del c´alculo integral de funciones de una variable. Los objetivos generales son: Aplicar t´ecnicas de integraci´on para calcular integrales. Aplicar la integral para resolver problemas de inter´es en ingenier´ıa. Instructores 1. Profesores Titulares: Dr. Arellano Balderas Salvador, sab@correo.azc.uam.mx Dr. Cruz Sampedro Jaime, jacs@correo.azc.uam.mx Mtro. Grabinsky y Steider Jaime, jags@correo.azc.uam.mx 2. Tutores: Barrag´an Trinidad Melesio, melesiobarragan@gmail.com Casero Esteva V´ıctor Manuel, manuelhooker@hotmail.com Garc´ıa Santiago Eloy egas88@gmail.com L´opez Elisea Jovana, jack smill@hotmail.com L´opez Leyva Erika, erika.lopezleyva@hotmail.com Meza Mart´ınez Karen Atzin, atzin kammak@hotmail.com Osorio Infante Arturo ioan.osorio@gmail.com Palacios Serrano Gabriel butcher pro@hotmail.com Parra Meneses ´Angel, alelic.parra@gmail.com Perea Alvarado Francisco, creep 2@hotmail.com Pinto Barrera Jos´e Francisco, pinto258578@hotmail.com Portillo Ch´avez Roberto, mx rpc@yahoo.com.mx Ram´ırez Ram´ırez Filiberto, mayor filiberto@hotmail.com 6
  • 7. Gu´ıa del curso y Libro de texto Es indispensable que dispongas de una impresi´on o de una copia de la gu´ıa del curso y de una copia del siguiente libro de texto en el cual se basa la gu´ıa: C´ALCULO una variable, de G. B. Thomas, Pearson; 2010, decimosegunda edici´on. Horario de atenci´on en el SAI De lunes a viernes (inclusive martes) de 13:00 a 16:00 hrs, en el Aula E204. Tareas y ex´amenes Para solicitar la evaluaci´on de cada unidad es necesario que: 1. Hayas aprobado todas las unidades anteriores. 2. Presentes correctamente resuelta la tarea de la unidad correspondiente: completa, bien escrita, engrapada y en limpio. 3. Dispongas de TRES hojas engrapadas tama˜no carta para realizar el examen. Para que confirmes tus aciertos y detectes tus errores, todos tus ex´amenes se calificar´an en tu presencia. En caso de que no apruebes alg´un examen, nos olvidaremos de ese examen y te asignaremos una tarea para que repases, superes tus debilidades y presentes otro examen de la unidad correspondiente. A este procedimiento del SAI se le denomina reciclar y deber´as repetirlo hasta que apruebes la unidad. Calificaciones 1. Para pasar el curso debes aprobar las diez unidades. 2. Las calificaciones de las unidades 1, 2, 3, 5, 6, 8 y 9 ser´an cualitativas (A o R). 3. Las calificaciones de las unidades: 4, 7 y 10 ser´an num´ericas (de 0 a 10). 4. Los ex´amenes de las unidades integradoras (4, 7 y 10) solamente los podr´an calificar los profesores titulares. Para mejorar tus calificaciones aprobatorias de estas unidades puedes tomar nuevamente el examen, antes de presentar el examen de la siguiente unidad. 5. Tu calificaci´on final se basar´a en el promedio de tus calificaciones de las unidades inte- gradoras y se determinar´a como sigue: MB: 9.0-10.0, B: 7.5-8.9, S: 6.0-7.4. 6. Puedes mejorar tu calificaci´on final someti´endote a un examen global o a un examen oral. 7. Si para la semana 13 del trimestre no has aprobado el curso tu calificaci´on final ser´a NA, pero podr´as avanzar o terminar en la semana de ex´amenes de recuperaci´on. 8. Si no terminas el curso en la semana de recuperaci´on podr´as continuarlo (pero deber´as concluirlo) en el trimestre siguiente, reanudando en donde te quedaste. 9. Copiar ´o dejar copiar en los ex´amenes es un delito acad´emico grave porque fomenta la mediocridad y la corrupci´on. Por esta raz´on, si se te sorprende copiando (o dejando copiar) reciclar´as el examen y si reincides recibir´as NA en el curso, sin opci´on para concluirlo en el SAI. 10. En los ex´amenes no se permite usar el libro de texto pero, si te hace falta, puedes solicitar al supervisor de ex´amenes el Formulario de c´alculo del SAI. 7
  • 8. Asesor´ıas Para recibir asesor´ıa es necesario que hayas estudiado el material correspondiente con an- ticipaci´on, que hayas intentado los ejercicios muchas veces y que tus preguntas sean concretas y bien formuladas. Si necesitas asesor´ıa adicional, p´ıdela a tu instructor favorito o acude al Centro de Matem´aticas: E201. Comportamiento Por respeto a tu Alma Mater y al trabajo de los dem´as: No da˜nes el mobiliario. El estudiante de c´alculo que sea sorprendido da˜nando el mobiliario recibir´a NA en el curso y ser´a reportado al Coordinador del SAI. En el sal´on de ex´amenes y en el ´area de atenci´on del SAI, controla tu lenguaje, modera el volumen de tu voz y apaga tu celular, tu iPod, tu iPad y/o tu iPhone. Diez recomendaciones importantes 1. ¡Comprom´etete con tu educaci´on, asumiendo tu papel de estudiante con responsabilidad, entusiasmo y dedicaci´on! 2. Adquiere la disciplina de trabajar al menos dos horas diarias para este curso. Te recomen- damos hacerlo en las instalaciones del SAI. Aprende a trabajar solo y en equipo. 3. Antes de intentar los ejercicios, estudia detenidamente en tu libro de texto los temas que se indican en la gu´ıa. 4. Esfu´erzate por aprender a manipular expresiones algebraicas y a calcular correctamente con rapidez, precisi´on e ingenio. 5. Aprende a distinguir las ideas importantes en las soluciones de los problemas y ejercicios y a reproducirlas sin ayuda. 6. Razona detenidamente todos los problemas que se te asignan en la gu´ıa; int´entalos muchas veces y ¡no tengas miedo a equivocarte! Se aprende mucho de los errores; ¡lo malo es quedarse con la duda! 7. La mejor manera de averiguar si est´as entendiendo un tema de matem´aticas es tratando de resolver los problemas sin ayuda. Int´entalos y si tienes dificultades, disc´utelas con tus compa˜neros o ¡ve a asesor´ıa al SAI o al Centro de Matem´aticas! Los instructores est´an para ayudarte a resolver tus dudas, ¡pi´erdeles el miedo! 8. Es muy importante para tu formaci´on profesional que adquieras el h´abito de reportar tu trabajo en limpio y bien presentado; escrito en forma clara, concisa y ordenada, con tus propias palabras, con buena ortograf´ıa, utilizando correctamente la notaci´on matem´atica y con diagramas y gr´aficas bien hechas. 9. Adquiere el h´abito de criticar tu mismo tu trabajo y de mejorarlo siempre que le encuentres fallas. 10. Aprende a usar el formulario, tu calculadora, Maple, SAGE, Matlab o Mathematica (Maple 5 y SAGE son software libre; Mathematica est´a disponible en el Edif. T). 8
  • 9. “El gran libro de la naturaleza permanece siempre abierto ante nuestros ojos y en sus p´aginas se encuentra la ver- dadera filosof´ıa ... Pero no nos es posible leerlo a menos que conozcamos los caracteres y el lenguaje en el que est´a escrito ... Est´a escrito en lenguaje matem´atico y los caracteres son tri´angulos, c´ırculos y otras figuras ge- om´etricas.” Galileo Galilei (1564-1642) “A esa lista de caracteres, hoy en d´ıa le agregar´ıamos las derivadas y las integrales.” Peter Lax (1926-) 9
  • 10. Unidad 1 Integral indefinida e integral definida Objetivo Usar un formulario para calcular antiderivadas y utilizar sumas de Riemann para calcular integrales definidas de funciones sencillas. Contenido 1. Integrales indefinidas. 2. Estimaci´on de ´areas con sumas finitas. 3. Sumas de Riemann. 4. La integral definida. Indicadores de evaluaci´on 1. Usar un formulario para calcular integrales indefinidas y verificar el resultado mediante derivaci´on. 2. Utilizar sumas inferiores para obtener valores aproximados del ´area de una regi´on debajo de la gr´afica de una funci´on no negativa. 3. Utilizar sumas superiores para obtener valores aproximados del ´area de una regi´on debajo de la gr´afica de una funci´on no negativa. 4. Usar ´areas de figuras conocidas para evaluar integrales sencillas. 5. Utilizar simetr´ıas para simplificar el c´alculo de integrales definidas. 6. Utilizar las propiedades de la integral para simplificar el c´alculo de integrales. 7. Utilizar sumas de Riemann para calcular integrales definidas de funciones sencillas. 8. Utilizar integrales definidas para calcular ´areas de regiones debajo de la gr´afica de una funci´on no negativa. 10
  • 11. Actividades 1. Estudia las secciones 4.7, 5.1, 5.2 y 5.3 de la Decimosegunda edici´on del Thomas y resuelve ejercicios diversos que cubran todos los indicadores de evaluaci´on de esta unidad. Te sug- erimos iniciar con ejercicios sencillos y aumentar paulatinamente el grado de dificultad hasta alcanzar el nivel de los ejercicios de la tarea. 2. Entrega la tarea de la unidad 1, bien hecha y en limpio, antes de solicitar tu examen de esta unidad. 3. Se recomienda aprobar la unidad 1 antes de finalizar la Semana 1. Tarea de la unidad 1 “S´olo se aprende haciendo las cosas; porque aunque creas saberlas, nunca tendr´as la certeza hasta que lo intentes.” S´ofocles (496 a. C. – 406 a. C.) 1. Calcula las siguientes integrales y verifica tu respuesta mediante derivaci´on: (a) (2x3 + 7x − 2)dx, (b) x1/3 − 2 √ x dx. 2. Eval´ua las siguientes integrales y verifica tu respuesta mediante derivaci´on: (a) 5 cos x + sec2 x dx, (b) 4eθ − 3 sec θ tan θdθ. 3. Estima el ´area debajo de la gr´afica de y = 4x − x2 en intervalo [0,4]: a) Utilizando una suma inferior con ocho rect´angulos del mismo ancho. b) Utilizando una suma superior con ocho rect´angulos del mismo ancho. 4. Bosqueja la gr´afica de los integrandos y usa ´areas de figuras conocidas para evaluar: (a) 3 0 (2x + 2)dx, (b) 2 −2 4 − x2dx. 5. Bosqueja la gr´afica de los integrandos y usa simetr´ıas para evaluar: (a) 1 −1 xdx, (b) 2 −2 x3 dx. 6. Bosqueja la gr´afica de los integrandos y usa simetr´ıas para evaluar: (a) 1 −1 (1 + x3 )dx, (b) 1 −1 (x3 − 3x + 2)dx 7. Considera la funci´on y = 9 − x2 y encuentra una f´ormula para la suma inferior In que se obtiene al dividir [0, 3] en n partes iguales. Luego calcula l´ım n→∞ In. 11
  • 12. 8. Si 2 3 f(x)dx = 2, eval´ua 5 2 πf(x)dx + 3 5 f(x)dx + 2 5 (πf(x) − f(x))dx. 9. Usa sumas de Riemann para calcular las ´areas de las regiones debajo de las siguientes curvas sobre el intervalo [0, 3]: (a) y = 3 − x; (b) y = 9 − x2 . 10. Inscribe un pol´ıgono regular de n lados en una circunferencia de radio 1 y nota que est´a formado por n tri´angulos is´osceles. Usa trigonometr´ıa para verificar que todos esos tri´angulos tienen base igual a 2 sen(π/n) y altura igual a cos(π/n). Calcula el ´area An del pol´ıgono y encuentra l´ım n→∞ An. ¿Obtienes un resultado conocido? Ejercicios complementarios Si requieres pr´actica adicional, te sugerimos elegir en tu libro de texto algunos de los ejercicios que te proponemos a continuaci´on: Secci´on 4.7: 1, 5, 9, 13, ..., 61. Secci´on 5.1: 1, 3, 5, 7, 9, 11, 13, 15, 21 y 22. Secci´on 5.2: 39, 41, 43 y 56. Secci´on 5.3: 15, 17, 22, 23, 25, 27, 31, 35, 37, 41, 45, 49, 51, 54, 63, 66, 69. 12
  • 13. Unidad 2 El teorema fundamental del c´alculo y el m´etodo de sustituci´on Objetivo Aplicar las propiedades de la integral y el teorema fundamental del c´alculo en el c´alculo de derivadas e integrales. Evaluar integrales por el m´etodo de sustituci´on. Contenido 1. El teorema fundamental del c´alculo. 2. El teorema del valor medio para integrales definidas. 3. El m´etodo de sustituci´on. Indicadores de evaluaci´on 1. Enunciar e interpretar el teorema del valor medio para integrales definidas. 2. Enunciar la parte 1 del teorema fundamental del c´alculo y utilizarla para calcular derivadas de funciones definidas por integrales con l´ımites variables. 3. Enunciar la parte 2 del teorema fundamental del c´alculo y utilizarla para evaluar integrales definidas. 4. Utilizar el m´etodo de sustituci´on o cambio de variables para calcular integrales. 13
  • 14. Actividades 1. Estudia las secciones 5.4 y 5.5 de la Decimosegunda edici´on del Thomas y resuelve ejercicios diversos que cubran todos los indicadores de evaluaci´on de esta unidad. Te sugerimos iniciar con ejercicios sencillos y aumentar paulatinamente el grado de dificultad hasta alcanzar el nivel de los ejercicios de la tarea. 2. Resuelve y entrega la tarea de la unidad 2, bien hecha y en limpio, antes de solicitar tu examen de esta unidad. 3. Es muy recomendable aprobar la unidad 2 antes de finalizar la Semana 2. Tarea de la unidad 2 “S´olo se aprende haciendo las cosas; porque aunque creas saberlas, nunca tendr´as la certeza hasta que lo intentes.” S´ofocles (496 a. C. – 406 a. C.) 1. Deriva la siguiente funci´on como se indica a continuaci´on: y = x2 0 (t3 − 1)dt. a) Calcula la integral y deriva el resultado. b) Usa la parte 1 del teorema fundamental del c´alculo para derivar la integral directa- mente. 2. Calcula la derivada de y = ex2 1 sen t t dt. 3. Calcula la derivada de y = √ x sen x 2x et2 dt. 4. Usa la parte 2 del TFC para evaluar las siguientes integrales: (a) 2 −2 (2x3 − x − 2)dx, (b) 1 0 (5 + 2 √ x − 3x2/3 )dx. 5. Usa la parte 2 del TFC para calcular las siguientes integrales: (a) π/2 0 (sen x + cos x)dx, (b) e 1 4ex − 3 x dx. 6. Usa la regla de sustituci´on para calcular: (a) 2x(1 + x2 )1/2 dx, (b) ex (1 − ex )3/5 dx. 7. Usa la regla de sustituci´on para calcular: (a) dr r − 2r1/4 , (b) dr r ln r ln(ln r) . 14
  • 15. 8. Usa la regla de sustituci´on para evaluar: (a) sec2 (4 − 5ez )ez dz, (b) π/8 0 cos4 (2r) sen(2r)dr. 9. Eval´ua las siguientes integrales: (a) π/4 0 tan x sec2 x dx, (b) π/2 0 esen z cos zdz. 10. En un tramo recto de 1 km de una carretera en construcci´on, se han dejado montones de grava cuyo perfil est´a dado en metros por f(x) = (1/2) sen2 (πx/5), 0 ≤ x ≤ 1000. Determina el n´umero de mont´ıculos de grava que hay en ese tramo de la carretera y encuentra todos los valores de x para los cuales f(x) proporcionar´a la altura de la carretera cuando la grava se extienda y se nivele. Ejercicios complementarios Si requieres pr´actica adicional, te sugerimos elegir en tu libro de texto algunos de los ejercicios que te proponemos a continuaci´on: Secci´on 5.4: 3, 7, 11, 15, 19, 23, 27, 28, 31, 33, 37, 39, 43, 45 y 48. Secci´on 5.5: 2, 5, 8, 11, ..., 51. 15
  • 16. Unidad 3 ´Area entre curvas, trabajo e integraci´on por partes Objetivo Utilizar integrales para calcular ´areas de regiones limitadas por curvas y el trabajo realizado por una fuerza variable. Usar el m´etodo de integraci´on por partes para calcular integrales. Contenido 1. ´Area entre curvas. 2. Trabajo. 3. Integraci´on por partes. Indicadores de evaluaci´on 1. Utilizar integrales para calcular ´areas de regiones limitadas por curvas. 2. utilizar integrales para calcular el trabajo realizado por una fuerza variable sobre un objeto con movimiento rectil´ıneo. 3. Justificar el m´etodo de integraci´on por partes. 4. Usar el m´etodo de integraci´on por partes para calcular integrales. Actividades 1. Estudia las secciones 5.6, 6.5 y 8.1 de la Decimosegunda edici´on del Thomas y resuelve ejercicios diversos que cubran todos los indicadores de evaluaci´on de esta unidad. Te sug- erimos iniciar con ejercicios sencillos y aumentar paulatinamente el grado de dificultad hasta alcanzar el nivel de los ejercicios de la tarea. 2. Entrega la tarea de la unidad 3, bien hecha y en limpio, antes de solicitar tu examen de esta unidad. 3. Es recomendable aprobar la unidad 3 antes de finalizar la Semana 3. 16
  • 17. Tarea de la unidad 3 “S´olo se aprende haciendo las cosas; porque aunque creas saberlas, nunca tendr´as la certeza hasta que lo intentes.” S´ofocles (496 a. C. – 406 a. C.) 1. Dibuja las regiones limitadas por las curvas dadas y calcula sus ´areas: (a) y = x2 /2, y = 2x; (b) y = 4x − x2 , y = 3. 2. Dibuja las regiones limitadas por las curvas dadas y calcula sus ´areas: (a) y = 4 − x2 , y = x2 − 4x + 4; (b) y2 = x x + 3y2 = 8. 3. Dibuja las regiones limitadas por las curvas dadas y calcula sus ´areas: (a) x = y3 − 2y, x = 2y; (b) y = x3 − x, y = x2 . Reto: Sin usar tu calculadora, muestra que la respuesta del inciso (b) es 13/12. 4. Dibuja las regiones limitadas por las curvas dadas y calcula sus ´areas: (a) y = x4 − 4x2 + 4, y = x2 ; (b) y = xex , y = ex. 5. Una cisterna cil´ındrica circular de 1 m de radio y 3 m de altura est´a llena de agua y se encuentra en posici´on horizontal. Determina el trabajo realizado para bombear las dos terceras partes del agua a una altura de 4 m por arriba de la parte superior de esa cisterna. 6. Usa integraci´on por partes para calcular: (a) 1 0 x √ 1 − xdx; (b) x2 e−3x dx. 7. Usa integraci´on por partes para calcular: (a) x cos(2x)dx; (b) π 0 x2 sen(2x)dx. 8. Usa integraci´on por partes para calcular: (a) π/2 −π/2 ex sen xdx; (b) e 1/e x ln x dx. 9. Usa integraci´on por partes para calcular: (a) 1 0 arctan(5x)dx; (b) sen−1 (3x)dx. 10. Dibuja las regiones limitadas por las curvas dadas y calcula sus ´areas: (a) y = x/2, y = xe−x ; (b) y = x, y = x cos x, 0 ≤ x ≤ 2π. Ejercicios complementarios Si necesitas pr´actica adicional, te sugerimos elegir en tu libro de texto algunos de los ejercicios que te proponemos a continuaci´on: Secci´on 5.6: 1, 5, 9, ..., 77. Secci´on 6.5: 1, 6, 9, 11, 15, 17 y 20. Secci´on 8.1: 2, 5, 8, 11,..., 50. 17
  • 18. Unidad 4 Primer examen integrador Objetivo Reafirmar, unificar e integrar los temas, conceptos y m´etodos estudiados en las primeras tres unidades del curso. Contenido El contenido de esta unidad es el de las tres unidades anteriores. Indicadores de evaluaci´on 1. Utilizar un formulario para calcular integrales indefinidas b´asicas. 2. Calcular sumas de Riemann de una funci´on en un intervalo finito para aproximar ´areas o integrales. 3. Usar sumas de Riemann para evaluar integrales definidas sencillas. 4. Usar ´areas de figuras conocidas para evaluar integrales sencillas. 5. Utilizar simetr´ıas para simplificar el c´alculo de integrales definidas. 6. Utilizar la parte 1 del teorema fundamental del c´alculo para derivar funciones definidas por integrales con l´ımites variables. 7. Utilizar la parte 2 del teorema fundamental del c´alculo para evaluar integrales definidas. 8. Utilizar la regla de sustituci´on o cambio de variables para calcular integrales. 9. Utilizar integrales para calcular ´areas de regiones limitadas por curvas. 10. utilizar integrales para calcular el trabajo realizado por una fuerza variable sobre un objeto con movimiento rectil´ıneo. 11. Utilizar el m´etodo de integraci´on por partes para calcular integrales. Actividades y tarea 1. Revisa el material de las tres unidades anteriores, de acuerdo a lo que te se˜nalan los indicadores de evaluaci´on de esta unidad, especialmente el que no te haya quedado claro. ¡Esta es una excelente oportunidad para que revises a profundidad los temas que a´un no has entendido y resuelvas todas tus dudas! ¡Asiste a asesor´ıa tantas veces como te haga falta! Recuerda que la calificaci´on que obtengas en esta unidad ser´a tu primera calificaci´on parcial. 18
  • 19. 2. Para presentar el examen de esta unidad debes entregar un ensayo sobre Bernhard Riemann (1826–1866), en el que expliques brevemente su m´etodo para calcular sumas de Riemann. Tu ensayo debe ser de una cuartilla y debes escribirlo a mano, con tus propias palabras, de manera clara y con buena ortograf´ıa. Copiar textualmente de tu fuente de informaci´on sin dar el cr´edito correspondiente es un plagio. 3. Te recomendamos aprobar la unidad 4 antes de finalizar la Semana 4. 19
  • 20. Unidad 5 Integrales trigonom´etricas Objetivo Utilizar identidades trigonom´etricas y sustituciones trigonom´etricas para calcular integrales. Contenido 1. Integrales trigonom´etricas. 2. Integraci´on por sustituciones trigonom´etricas. Indicadores de evaluaci´on 1. Usar identidades trigonom´etricas para calcular integrales trigonom´etricas. 2. Utilizar el m´etodo de substituci´on trigonom´etrica para calcular integrales. Actividades 1. Estudia las secciones 8.2 y 8.3 de la Decimosegunda edici´on del Thomas y resuelve ejercicios diversos que cubran todos los indicadores de evaluaci´on de esta unidad. Te sugerimos iniciar con ejercicios sencillos y aumentar paulatinamente el grado de dificultad hasta alcanzar el nivel de los ejercicios de la tarea. 2. Entrega la tarea de la unidad 5, bien hecha y en limpio, antes de solicitar tu examen de esta unidad. 3. Procura aprobar la unidad 5 antes de finalizar la Semana 5. Tarea de la unidad 5 “S´olo se aprende haciendo las cosas; porque aunque creas saberlas, nunca tendr´as la certeza hasta que lo intentes.” S´ofocles (496 a. C. – 406 a. C.) 20
  • 21. 1. Calcula las siguientes integrales: (a) π 0 cos2 x sen xdx; (b) π/6 0 tan x sec3 xdx. 2. Usa una identidad trigonom´etrica para calcular: (a) π 0 cos2 xdx; (b) tan2 xdx. 3. Usa una identidad trigonom´etrica para calcular: (a) π/2 0 sen3 xdx; (b) sen2 x cos2 xdx. 4. Usa una identidad trigonom´etrica para calcular: (a) π 0 cos x cos(2x)dx; (b) π 0 sen 3x cos(5x)dx. 5. Usa una identidad trigonom´etrica para calcular: (a) π/4 0 tan3 xdx; (b) sec2 x tan2 xdx. 6. Calcula las siguientes integrales: (a) x2 cos2 xdx; (b) 1 x tan2 (ln x)dx. 7. Utiliza una sustituci´on trigonom´etrica para calcular las siguientes integrales: (a) 4 − x2 dx; (b) 9 + 4x2 dx. 8. Utiliza una sustituci´on trigonom´etrica para calcular las siguientes integrales: (a) x2 dx √ 25 − 9x2 ; (b) xdx √ 1 + 2x2 . 9. Utiliza una sustituci´on trigonom´etrica para calcular las siguientes integrales: (a) xdx √ 9x2 − 1 ; (b) x2 dx (x2 − 25)5/2 . 10. Realiza las siguientes integrales: (a) sen rdr 1 + sen r ; (b) ln π ln(π/2) ex sen4 ex dx; (c) sec3 (arctan t) t2 + 1 dt. Ejercicios complementarios Si requieres pr´actica adicional, te sugerimos elegir en tu libro de texto algunos de los ejercicios que te proponemos a continuaci´on: Secci´on 8.2: 3, 6, 9, 12,..., 66. Secci´on 8.3: 1, 4, 7, 10, 13,..., 46. 21
  • 22. Unidad 6 Integraci´on por fracciones parciales Objetivo Utilizar el m´etodo de fracciones parciales para calcular integrales. Contenido 1. Integraci´on de funciones racionales por fracciones parciales. Indicadores de evaluaci´on 1. Utilizar el m´etodo de fracciones parciales para calcular integrales de funciones racionales. Actividades 1. Estudia la secci´on 8.4 de la Decimosegunda edici´on del Thomas y resuelve ejercicios di- versos que cubran todos los indicadores de evaluaci´on de esta unidad. Te sugerimos iniciar con ejercicios sencillos y aumentar paulatinamente el grado de dificultad hasta alcanzar el nivel de los ejercicios de la tarea. 2. Entrega la tarea de la unidad 6, bien hecha y en limpio, antes de solicitar tu examen de esta unidad. 3. Te recomendamos aprobar la unidad 6 antes de finalizar la Semana 6. Tarea de la unidad 6 “S´olo se aprende haciendo las cosas; porque aunque creas saberlas, nunca tendr´as la certeza hasta que lo intentes.” S´ofocles (496 a. C. – 406 a. C.) 1. Decide si los siguientes polinomios son reducibles y en caso afirmativo factor´ızalos: (a) x2 + 2x + 5; (b) x2 + 4x + 12; (c) x2 + 7x + 12. 22
  • 23. 2. Calcula las siguientes integrales: (a) x dx x2 + 2x + 2 ; (b) x dx x2 + x + 1 . 3. Usa fracciones parciales para calcular las siguientes integrales: (a) 2 0 dx x2 − 16 ; (b) 1 0 xdx x2 − x − 6 . 4. Usa fracciones parciales para calcular las siguientes integrales: (a) dx x(x − 1)2 ; (b) xdx x4 + 2x3 + x2 . 5. Usa fracciones parciales para calcular las siguientes integrales: (a) 5 4 x2 − 1 x2 − 2x − 3 dx; (b) x3 4x − x3 dx. 6. Usa fracciones parciales para calcular las siguientes integrales: (a) 3 2 dx x3 + x dx; (b) x3 (x2 + 1)(x2 − 1) dx. 7. Sin calcular las constantes, prop´on una expansi´on en fracciones parciales para cada una de las siguientes funciones racionales: (a) f(x) = x + 1 (x3 − x2)(x2 + 4)2 ; (b) f(x) = x3 (x4 + 1)2(x2 − 4)3 . 8. Sin calcular las constantes, prop´on una expansi´on en fracciones parciales para cada una de las siguientes funciones racionales: (a) f(x) = x2 − 5 (x − 1)2(x2 − 1)2(x2 + x − 1)(x2 + x + 1) ; (b) f(x) = x − 7 (x2 − 9)(x3 − 27)(x + 5) . 9. Utiliza el m´etodo de Heaviside para encontrar una expansi´on en fracciones parciales de la funci´on racional f(x) = x2 + 5 (x + 1)(x − 1)(x + 2) . Ejercicios complementarios Si requieres pr´actica adicional, te sugerimos elegir en tu libro de texto algunos de los ejercicios que te proponemos a continuaci´on: Secci´on 8.4: 2, 5, 8, 11,..., 50. 23
  • 24. Unidad 7 Segundo examen integrador Objetivo Reafirmar, unificar e integrar los temas, conceptos y m´etodos estudiados en las primeras seis unidades del curso. Contenido El contenido de esta unidad es el de las seis unidades anteriores. Indicadores de evaluaci´on 1. Usar identidades trigonom´etricas para calcular integrales trigonom´etricas. 2. Utilizar el m´etodo de substituci´on trigonom´etrica para calcular integrales. 3. Utilizar el m´etodo de fracciones parciales para calcular integrales de funciones racionales. Actividades y tarea 1. Revisa el material de las seis unidades anteriores, de acuerdo a lo que te se˜nalan los indicadores de evaluaci´on de esta unidad, especialmente el que no te haya quedado claro. ¡Esta es otra gran oportunidad para que revises a profundidad los temas que a´un no has entendido y resuelvas todas tus dudas! ¡Asiste a asesor´ıa tantas veces como te haga falta! Recuerda que la calificaci´on que obtengas en esta unidad ser´a tu segunda calificaci´on parcial. 2. Para presentar el examen de esta unidad debes entregar un ensayo sobre Leonhard Eu- ler (1707–1783), en el que discutas brevemente su obra y sus contribuciones el c´alculo diferencial e integral. Tu ensayo debe ser de una cuartilla y debes escribirlo a mano, con tus propias palabras, de manera clara y con buena ortograf´ıa. Copiar textualmente de tu fuente de informaci´on sin dar el cr´edito correspondiente es un plagio. 3. Es recomendable que apruebes la unidad 7 antes de finalizar la Semana 7. 24
  • 25. Unidad 8 Integrales impropias Objetivo Evaluar integrales impropias y usar los criterios b´asicos para determinar la convergencia ´o divergencia de este tipo de integrales. Contenido 1. Integrales impropias con l´ımites de integraci´on infinitos. 2. Integrales impropias de integrandos con as´ıntotas verticales. 3. Criterios de convergencia. 4. Criterios de divergencia. 5. Aplicaciones. Indicadores de evaluaci´on 1. Evaluar integrales impropias con l´ımites de integraci´on infinitos. 2. Evaluar integrales impropias cuyos integrandos poseen as´ıntotas verticales. 3. Utilizar el m´etodo de comparaci´on directa para determinar la convergencia o divergencia de una integral impropia. 4. Utilizar el m´etodo de comparaci´on del l´ımite para determinar la convergencia o divergencia de una integral impropia. 5. Calcular ´areas de regiones no acotadas limitadas por curvas. Actividades 1. Estudia la secci´on 8.7 de la Decimosegunda edici´on del Thomas y el material sobre poli- nomios de Taylor que se te entregar´a en el SAI. Resuelve ejercicios diversos que cubran todos los indicadores de evaluaci´on de esta unidad. Te sugerimos iniciar con ejercicios sencillos y aumentar paulatinamente el grado de dificultad hasta alcanzar el nivel de los ejercicios de la tarea. 2. Entrega la tarea de la unidad 8, bien hecha y en limpio, antes de solicitar tu examen de esta unidad. 3. Procura aprobar la unidad 8 antes de finalizar la Semana 8. 25
  • 26. Tarea de la unidad 8 “S´olo se aprende haciendo las cosas; porque aunque creas saberlas, nunca tendr´as la certeza hasta que lo intentes.” S´ofocles (496 a. C. – 406 a. C.) 1. Eval´ua las siguientes integrales impropias con l´ımites infinitos: (a) ∞ 1 dx x2 ; (b) ∞ −∞ dt 4 + t2 . 2. Eval´ua las siguientes integrales impropias con l´ımites infinitos: (a) ∞ 0 te−3t dt; (b) ∞ 0 e−x sen xdx 3. Eval´ua las siguientes integrales impropias cuyos integrandos poseen as´ıntotas verticales: (a) 1 0 dx √ x ; (b) 4 0 dt 3 √ 4 − t . 4. Eval´ua las siguientes integrales impropias cuyos integrandos podr´ıan poseer as´ıntotas ver- ticales: (a) 1 0 ln xdx; (b) e 0 x ln(x2 )dx. 5. Determina los valores de α y β ∈ R para los cuales convergen las siguientes integrales: (a) 1 0 dx xα ; (b) ∞ 1 dx xβ . 6. Determina la convergencia o divergencia de las siguientes integrales: (a) 1 0 sen xdx x3/2 ; (b) 1 0 dx x(1 − x) . 7. Determina la convergencia o divergencia de las siguientes integrales: (a) ∞ −∞ e−x2 dx; (b) ∞ 0 dx x4 + 1 . 8. Muestra que la siguiente integral impropia es convergente: ∞ −∞ sen x x dx. Sugerencia: Primero explica porqu´e el hecho de que el integrando es una funci´on par y que su discontinuidad en x = 0 es removible, reducen el problema a establecer la convergencia de ∞ 1 sen x x dx. Luego, integra por partes y verifica que M 1 sen x x dx = − cos x x M 1 − M 1 cos x x2 dx. Finalmente, usa el criterio de comparaci´on para deducir la convergencia del lado derecho de esta ´ultima identidad. 9. Encuentra el ´area de la regi´on del primer cuadrante limitada por y = xe−x y y = e−x . 10. Encuentra el ´area de la regi´on limitada por y = x y y = x ln x. 26
  • 27. Ejercicios complementarios Si requieres pr´actica adicional, te sugerimos elegir en tu libro de texto algunos de los ejercicios que te proponemos a continuaci´on: Secci´on 8.7: 1, 6, 11, 16, 21,..., 61. 27
  • 28. Unidad 9 Aplicaciones de la integral Objetivo Aplicar la integral definida para calcular vol´umenes de s´olidos y longitudes de curvas. Contenido 1. Vol´umenes por secciones transversales. 2. Vol´umenes de revoluci´on por el m´etodo de discos. 3. Vol´umenes de revoluci´on por el m´etodo de arandelas. 4. Vol´umenes de revoluci´on por el m´etodo de casquillos. 5. Longitudes de curvas. Indicadores de evaluaci´on 1. Calcular vol´umenes de s´olidos a partir de sus secciones transversales. 2. Calcular vol´umenes de s´olidos de revoluci´on con el m´etodo de discos. 3. Calcular vol´umenes de s´olidos por medio de casquillos cil´ındricos. 4. Calcular longitudes de curvas planas. Actividades 1. Estudia las secciones 6.1, 6.2 y 6.3 de la Decimosegunda edici´on del Thomas y resuelve ejercicios diversos que cubran todos los indicadores de evaluaci´on de esta unidad. Te sug- erimos iniciar con ejercicios sencillos y aumentar paulatinamente el grado de dificultad hasta alcanzar el nivel de los ejercicios de la tarea. 2. Entrega la tarea de la unidad 9, bien hecha y en limpio, antes de solicitar tu examen de esta unidad. 3. Procura aprobar la unidad 9 antes de finalizar la Semana 9. 28
  • 29. Tarea de la unidad 9 “S´olo se aprende haciendo las cosas; porque aunque creas saberlas, nunca tendr´as la certeza hasta que lo intentes.” S´ofocles (496 a. C. – 406 a. C.) 1. La base de un s´olido es un disco de radio 1 y las secciones transversales del s´olido son cuadrados. Si las bases de esos cuadrados son cuerdas del disco, perpendiculares a un di´ametro fijo del mismo, dibuja el s´olido y calcula su volumen. 2. Dibuja el s´olido que se obtiene al girar alrededor del eje y la regi´on determinada y = 2x, y = 0 y x = 10 y calcula el volumen del s´olido generado (a) por el m´etodo de arandelas y (b) por el m´etodo de casquillos. Confirma que el volumen resultate es el mismo por los dos m´etodos. 3. Dibuja los s´olidos que se obtienen al girar alrededor del eje x las regiones determinadas por las siguientes curvas y calcula sus vol´umenes usando el m´etodo de discos: (a) y = x3 , y = 0, x = 2; (b) y − x2 = x, y = 0. 4. Dibuja los s´olidos que se obtienen al girar alrededor del eje x las regiones determinadas por los siguientes curvas y calcula sus vol´umenes usando el m´etodo de arandelas: (a) y = x2 + 1, y = x + 3; (b) y = 4 − x2 , y + x = 2. 5. Dibuja los s´olidos que se obtienen al girar alrededor del eje y las regiones determinadas por los siguientes curvas y calcula sus vol´umenes usando el m´etodo de casquillos: (a) y2 = x, y = x/2; (b) y = x2 , y = 4x − x2 . 6. Dibuja el s´olido que se obtiene al girar la regi´on limitada por x2 + (y − 4)2 = 1 alrededor del eje x y encuentra su volumen. 7. Determina el volumen del s´olido que se obtiene al girar alrededor del la recta y = 2 la regi´on del primer cuadrante limitada por x = 2y − y2 . 8. Calcula el volumen del s´olido que se obtiene al girar alrededor del la recta x = −1 la regi´on limitada por y + x2 = 2x y y = x. 9. Determina la longitud de las siguientes curvas: (a) x = cos t, y = t + sen t, 0 ≤ t ≤ π, (b) x = (y3 /3) + (1/4y), 1 ≤ y ≤ 3. 10. Dibuja y calcula el volumen de la intersecci´on de dos cilindros, de radio a > 0, cuyos ejes se intersecan perpendicularmente. 11. Dibuja los s´olidos que se obtienen al girar alrededor del eje x las regiones determinadas por las siguientes curvas y calcula sus vol´umenes: (a) xy = 1, y = 0, x ≥ 1; (b) y = x ln x2 , y = 0. Ejercicios complementarios Si requieres pr´actica adicional, te sugerimos elegir en tu libro de texto algunos de los ejercicios que te proponemos a continuaci´on: Secci´on 6.1: 1, 3, 5, 8, 10, 13, 15, 17, 21, 27, 31, 35, 41, 45, 47, 49 y 53. Secci´on 6.2: 1, 5, 13, 15, 17, 21, 23, 25, 28, y 32. Secci´on 6.3: 1, 3, 5, 7, 9, 11 y 13. 29
  • 30. Unidad 10 Evaluaci´on global “Un caminar de r´ıo que se curva, avanza, retrocede, da un rodeo y llega siempre: ...” Octavio Paz (1914–1998) Objetivo Reafirmar, unificar e integrar todos los temas, conceptos y m´etodos estudiados en el curso. Contenido Todos los temas del curso. Indicadores de evaluaci´on 1. Utilizar un formulario para calcular integrales indefinidas. 2. Usar sumas de Riemann para evaluar integrales definidas sencillas. 3. Utilizar la parte 1 del teorema fundamental del c´alculo para derivar funciones definidas por integrales con l´ımites variables. 4. Utilizar la parte 2 del teorema fundamental del c´alculo para evaluar integrales definidas. 5. Utilizar las t´ecnicas de cambio de variables, integraci´on por partes para calcular integrales. 6. Utilizar identidades trigonom´etricas y sustituci´on trigonom´etrica para calcular integrales. 7. Utilizar el m´etodo de fracciones parciales para calcular integrales de funciones racionales. 8. Decidir si una integral impropia es convergente o divergente. 9. Usar integrales para calcular longitudes de curvas planas, ´areas de regiones planas y vol´umenes de s´olidos. 10. utilizar integrales para calcular el trabajo realizado por una fuerza variable sobre un objeto con movimiento rectil´ıneo. 30
  • 31. Actividades y tarea 1. Revisa cuidadosamente el material del curso siguiendo lo que te se˜nalan los indicadores de evaluaci´on de esta unidad, especialmente el que a´un no dominas. ¡Aprovecha esta ´ulti- ma oportunidad para revisar a profundidad los temas que no te quedaron claros en el curso y resuelve todas tus dudas! ¡Asiste a asesor´ıa tantas veces como te haga falta! Recuerda que la calificaci´on que obtengas en esta unidad ser´a tu tercera calificaci´on parcial. 2. El requisito para presentar el examen de esta unidad es que entregues un ensayo sobre Arqu´ımedes (287 a. C. – 212 a. C.), en el que examines brevemente su obra y expliques su m´etodo para calcular el volumen de una esfera. Tu ensayo debe ser de una cuartilla y debes escribirlo a mano, con tus propias palabras, de manera clara y con buena or- tograf´ıa. Recuerda que copiar textualmente de tu fuente de informaci´on sin dar el cr´edito correspondiente es un plagio. 3. Procura aprobar el examen de la unidad 10 antes de finalizar la Semana 10. 31
  • 32. Ventajas del SAI A continuaci´on encontrar´as algunas de las ventajas y beneficios de estudiar c´alculo en el SAI: ¡La estrella de la pel´ıcula eres t´u, no el profesor! Puedes asistir a asesor´ıa y a ex´amenes tantas veces como quieras, todos los d´ıas h´abiles del trimestre, de 13:00 a 16:00 hrs. Puedes consultar a cualquiera de nuestros instructores de c´alculo, que tienen el compromiso profesional de supervisar tus avances y ayudarte a resolver todas tus dudas del curso. Puedes solicitar asesor´ıas adicionales a cualquiera de los instructores. Todas tus tareas y ex´amenes se califican en tu presencia, para que confirmes tus aciertos, detectes tus errores y adquieras seguridad acerca de lo que sabes. Todos tus ex´amenes se califican en el d´ıa que los tomas o en la siguiente sesi´on que lo solicites. De este modo, dispones de retroalimentaci´on inmediata para proseguir con tu aprendizaje. En vez de reprobarte en tus tareas y ex´amenes, te mostramos tus errores y te asesoramos para que te prepares mejor y te sometas nuevamente a evaluaci´on, hasta que apruebes. A este proceso del SAI le llamamos reciclar. Puedes mejorar tus calificaciones aprobatorias parciales (de las evaluaciones integradoras), tomando nuevamente el examen, a m´as tardar dos sesiones despu´es. Tu calificaci´on final es el promedio de tus calificaciones parciales; siempre es aprobatoria y la puedes mejorar someti´endote a un examen oral. No pierdes los esfuerzos realizados. Si trabajando a tu ritmo no concluyes el curso, puedes reanudarlo en el trimestre siguiente a partir de donde te quedaste, siempre y cuando hayas aprobado al menos CINCO unidades. Puedes adelantar materias. Si concluyes el curso antes de terminar el trimestre, puedes iniciar el curso siguiente y se te toman en cuenta todos tus avances. Puedes aprovechar la semana de ex´amenes de recuperaci´on para avanzar en el curso. Siempre se cubre el cien por ciento del programa del curso. Te das cuenta que lo m´as importante es aprender y que pasar los ex´amenes es una conse- cuencia. Si apruebas nuestros cursos, ¡nunca volver´as a tener problemas con c´alculo ni te dejar´as vencer f´acilmente por la flojera! Descubres que hay una inmensidad de retos que puedes vencer sin ayuda. El placer de hacer las cosas por ti mismo te da motivaci´on y car´acter para dejar de ser espectador y convertirte en actor. 32
  • 33. Adquieres una actitud reflexiva, cr´ıtica y edificante de tu propio conocimiento. Adquieres seguridad, independencia y disciplina para continuar en tus estudios con may- ores posibilidades de ´exito. Debido al vertiginoso avance de la ciencia y tecnolog´ıa de nuestro tiempo, es important´ısimo actualizarse constantemente. Por esta raz´on, en los cursos de c´alculo del SAI nos parece im- prescindible conferirte un buen grado de responsabilidad para que ¡tomes la iniciativa de tu propio aprendizaje! Hay evidencias que los alumnos que asumen esta responsabilidad y adoptan una conducta activa hacia su educaci´on, aprenden m´as y mejor que aquellos que pasivamente esperan que sus profesores les ense˜nen. Est´a probado que la experiencia de tomar cursos en el SAI te da seguridad y desarrolla tus habilidades para adquirir nuevos conocimientos por ti mismo; as´ı como para enfrentar los desaf´ıos de tu profesi´on de manera independiente. Sin duda, estas aptitudes har´an de ti un profesional mucho m´as competitivo en el mercado laboral y en el postgrado. 33
  • 34. Formulario de c´alculo del SAI Per´ımetros, ´areas y vol´umenes 1. Per´ımetro Rect´angulo de base b y altura a: P = 2a + 2b. Pol´ıgono regular de n lados de longitud l: P = nl. C´ırculo de radio r: P = 2πr, con π = 3,14159... 2. ´Area Tri´angulo de base b y altura a: A = ba 2 . Tri´angulo de lados a, b y c, F´ormula de Her´on de Alejandr´ıa: A = S(S − a)(S − b)(S − c). S = (a + b + c)/2 se llama semiper´ımetro del tri´angulo. Rect´angulo de base b y altura a: A = ab. Trapecio de base mayor B, base menor b y altura a: A = (B + b)a 2 . Pol´ıgono regular de n lados de longitud l y apotema de longitud a: A = nla 2 = Pa 2 . El apotema de un pol´ıgono regular es la distancia entre el centro y cualquiera de sus lados. C´ırculo de radio r: A = πr2 . Elipse de semiejes a y b: A = πab. 34
  • 35. Esfera de radio r: A = 4πr2 . ´Area lateral de un cono de radio r y altura a: A = πr r2 + a2. 3. Volumen Caja de altura a y base rectangular de lados b y c: V = abc. Esfera de radio r: V = 4 3 πr3 . Cilindro de radio r y altura a: V = πr2 a. Cono de radio r y altura a: V = 1 3 πr2 a. Trigonometr´ıa Teorema de Pit´agoras. En un tri´angulo rect´angulo de catetos a y b e hipotenusa h (Figura 1) se cumple la relaci´on h2 = a2 + b2 . Rec´ıprocamente, si en un tri´angulo de lados a, b y h se cumple la relaci´on anterior, entonces es un tri´angulo rect´angulo de catetos a y b e hipotenusa h. Funciones trigonom´etricas del ´angulo θ (Figura 1): sen θ = a h , cos θ = b h , tan θ = a b . b ah θ Figura 1: Tri´angulo rect´angulo 35
  • 36. Las funciones trigonom´etricas de los ´angulos de 45◦ , 30◦ y 60◦ se calculan f´acilmente usando los tri´angulos de la Figura 2. 1 1 √ 2 45◦ √ 3 1 2 60◦ 30◦ Figura 2: Tri´angulos especiales Funciones trigonom´etricas del ´angulo t (Figura 3): sen t = y, cos t = x, tan t = y x . x y t (x, y) (1, 0) t radianes Figura 3: C´ırculo trigonom´etrico Conversi´on de grados a radianes. Si la medida de un ´angulo en grados es A y en radianes θ, entonces, θ = π 180 A. Longitud l de un arco de θ radianes de un c´ırculo de radio r: l = θr. ´Area de un sector de θ radianes de un c´ırculo de radio r: A = 1 2 θr2 . Identidades trigonom´etricas b´asicas: tan θ = sen θ cos θ , cot θ = cos θ sen θ , sec θ = 1 cos θ csc θ = 1 sen θ . 36
  • 37. Identidades pitag´oricas: sen2 θ + cos2 θ = 1, 1 + tan2 θ = sec2 θ, 1 + cot2 θ = csc2 θ. F´ormulas para la suma: sen(A ± B) = sen A cos B ± sen B cos A, cos(A ± B) = cos A cos B sen A sen B. F´ormulas para el ´angulo doble: sen(2u) = 2 sen u cos u, cos 2u = cos2 u − sen2 u. F´ormulas para el ´angulo medio: sen2 u = 1 − cos 2u 2 , cos2 u = 1 + cos 2u 2 . Ley de los senos. En un tri´angulo de lados a, b y c, cuyos ´angulos opuestos respectivos son A, B y C, se satisface la relaci´on sen A a = sen B b = sen C c . Ley de los cosenos. En un tri´angulo de lados a, b y c, en el que C es el ´angulo opuesto a c, se satisface la relaci´on c2 = a2 + b2 − 2ab cos C. Otras f´ormulas: tan(A ± B) = tan A ± tan B 1 tan A tan B sen(−u) = − sen u cos(−u) = cos u tan(−u) = − tan u −|θ| ≤ sen θ ≤ |θ|. Propiedades de logaritmos y exponenciales 1. ln(ex ) = x, x ∈ R. 2. eln x = x, x > 0. 3. ln(xy ) = y ln x, x > 0, y ∈ R. 4. ax = ex ln a , a > 0. 5. loga x = ln x ln a , x > 0, a > 0, a = 1. 6. ln(xy) = ln x + ln y, x > 0, y > 0. 7. ln x y = ln x − ln y, x > 0, y > 0. 8. loga x = logb x logb a , a > 0, b = 1, b > 0. Reglas de derivaci´on Notaci´on: u = du dx Linealidad (cu) = cu , (u ± v) = u ± v . Regla del producto (uv) = uv + vu . 37
  • 38. Regla del cociente u v = vu − uv v2 . Regla de la cadena dy dx = dy du du dx . Diferenciaci´on logar´ıtmica (ln µ) = µ µ . Otras f´ormulas 1. Si c es una constante, (c) = 0 2. (|u|) = u |u| (u ) 3. (un ) = nun−1 u 4. (au ) = (ln a)au u 5. (eu ) = eu u 6. (loga u) = u (ln a)u 7. (sen u) = (cos u)u 8. (cos u) = −(sen u)u 9. (tan u) = (sec2 u)u 10. (cot u) = −(csc2 u)u 11. (sec u) = (sec u tan u)u 12. (csc u) = −(csc u cot u)u 13. (arc sen u) = u √ 1 − u2 14. (arc cos u) = − u √ 1 − u2 15. (arctan u) = u 1 + u2 16. (arccot u) = − u 1 + u2 17. (arcsec u) = u |u| √ u2 − 1 18. (arccsc u) = − u |u| √ u2 − 1 F´ormulas b´asicas de integraci´on Linealidad kf(u)du = k f(u)du, k ∈ R; (f(u) ± g(u)) du = f(u)du ± g(u)du. F´ormula de integraci´on por partes f(x)g (x)dx = f(x)g(x) − f (x)g(x)dx o bien udv = uv − vdu. Regla de sustituci´on o de cambio de variables. Si u = g(x), entonces f(g(x))g (x)dx = f(u)du o b a f(g(x))g (x)dx = g(b) g(a) f(u)du. 38
  • 39. Otras f´ormulas: 1. du = u + C 2. un du = un+1 n + 1 + C, n = −1 3. 1 u du = ln |u| + C, u = 0 4. au du = au ln a + C, a > 0, a = 1 5. eu du = eu + C 6. sen u du = − cos u + C 7. cos u du = sen u + C 8. tan u du = − ln | cos u| + C = ln | sec u| + C 9. cot u du = ln | sen u| + C 10. sec u du = ln | sec u + tan u| + C 11. sec2 u du = tan u + C 12. csc u du = − ln | csc u + cot u| + C 13. csc2 u du = − cot u + C 14. du a2 + u2 = 1 a arctan u a + C, a = 0 15. csc u cot u du = − csc u + C 16. du √ a2 − u2 = arcsen u a + C, a = 0 17. sec u tan u du = sec u + C 18. du u √ a2 − u2 = 1 a arcsec |u| a + C, a = 0. 39