Este documento presenta una introducción al cálculo proposicional. Explica que el cálculo proposicional estudia las relaciones entre proposiciones y su veracidad mediante el uso de conectivos lógicos. Define los componentes del cálculo proposicional como variables y operadores lógicos, y explica cómo se construyen fórmulas mediante reglas de formación. Finalmente, introduce las tablas de verdad como una herramienta para evaluar la veracidad de proposiciones compuestas.

1. República bolivariana de Venezuela
Ministerio del poder popular para la educación superior
Universidad politécnica agroindustrial del Táchira
Sede Rubio- Municipio Junín.
CALCULO PROPOSICIONAL
Autor (a): Mariany Sánchez
CI: 30.434269
.PNF informática “A”
Tutor:
José Hormiga
Rubio, Mayo del 2021

2. INTRODUCCIÓN
En principio, es indispensable reconocer que en forma natural, el ser humano
representa el conocimiento simbólicamente a través de: imágenes, lenguaje
hablado y lenguaje escrito, de manera alterna, ha desarrollado otros sistemas de
representación del conocimiento: literal, numérico, estadístico, estocástico y
lógico; para sus fines y entendimiento individual. Usualmente en los organismos
biológicos se estima que el conocimiento es almacenado como estructuras
complejas de neuronas interconectadas; por su parte en las computadoras, el
conocimiento se almacena como estructuras simbólicas, pero en forma de
estados eléctricos y magnéticos.
Cabe destacar que el Cálculo proposicional es la forma más antigua y simple
de la lógica individual del hombre, utilizando una representación muy primitiva
del lenguaje, esta permite representar y manipular afirmaciones sobre el mundo
que nos rodea. Sin embargo, a través de la investigación que se plasmara a
continuación se dispondrán conceptos de razonamiento, a través de un
mecanismo que evalúa situaciones mediante el uso de conectivos
proposicionales, adquiriendo un mecanismo de veracidad y afirmación lógica.
Esta clase de cálculo y razonamiento esta entrelazado con la informática,
considerándose un sistema de comunicación más adecuado entre el hombre y
las maquinas.
Motivo por el cual, se desea establecer un vínculo con dicha investigación
permitiendo establecer un entendimiento más adecuado, y entender así las
maravillas del campo de la informática y sus diferentes potenciales, muchas
veces pensamos que un sistema computarizado es más inteligente que el
hombre, pero justo este tema nos demuestra como el hombre plasma su
entendimiento a través de una máquina y como nuestro cerebro está dotado de
entendimiento tanto así que se dio la tarea de establecer un lenguaje adecuado
en la nueva era digital y proveer la humanidad de una gran evolución tecnológica.

3. CALCULO PROPOSICIONAL
Este surge como una disciplina matemática cuyo objeto de estudio es la lógica
del razonamiento matemático humano, estableciendo actualmente también de
otras formas de razonamiento; permite expresar la lógica en términos
susceptibles para ser presentados y manejados por un computador. Conocido
también como lógica proposicional, se encarga de estudiar las diversas formas
en que se relacionan una proposición con otras y, la relación que se da entre las
proposiciones que componen el razonamiento. En general, se define como la
ciencia que trata los principios válidos del razonamiento y la argumentación,
permitiendo pasar de una proposición dada, llamadas premisas, a una
conclusión que se deriva de aquellas.
Sin embargo, según García. 1990, el cálculo proposicional estudia las
operaciones proposicionales y la deducción proposicional; considerada como la
más antigua y simple de las formas de lógica, que permite representar y
manipular aserciones sobre el mundo que nos rodea, a través del razonamiento,
primeramente evaluando sentencias simples y luego sentencias complejas,
formadas mediante el uso de conectivos proposicionales. De manera que, está
diseñada para analizar ciertos tipos de argumentos, llevándolos de una
estructura simple a una estructura compleja.
CONSTRUCCIÓN DEL CÁLCULO PROPOSICIONAL
Proposiciones están definidas, como un pensamiento completo, para nuestro
propósito las proposiciones pueden ser tentativamente igual a una sentencia; es
decir, son una sentencia declarativa, la cual tiene valores de verdad, una
proposición puede tener dos valores, verdadero o falso, pero no ambos y
tampoco pueden no tomar ningún valor. Sin embargo, se puede decir que una
proposición es un hecho, portador de veracidad y falsedad. Es por ello que,
Mientras las proposiciones son expresadas en sentencias, la rama de la lógica
se conoce como símbolos lógicos empleando letras de variables minúsculas, o
variables de sentencias o variables proposicionales, tal como: p, q, r, s,...; de
esta forma se expresan las proposiciones.

4. Alfabeto del cálculo proposicional
El cálculo proposicional se encarga del estudio de las proposiciones como
objetos matemáticos, para ello lo primero que se define es un alfabeto
compuesto por símbolos de constantes, variables, operaciones y agrupación.
Los símbolos de constantes proposicionales son solo dos (0 y 1) componentes
binarios, donde, el cero representa el valor falso, mientras el uno representa el
valor verdadero. Para conocer el alfabeto de cálculo proposicional, se
determinan los siguientes símbolos de operaciones de lógica proposicional, los
cuales son:
1. Negación (¬). Representa el “no” del lenguaje natural, también
expresiones como “es falso que”, “no se cumple que”, entre otros.
2. Conjunción (ᴧ). Representa expresiones como: “y”, “pero”, “aunque”,
“sin embargo” entre otros.
3. Disyunción (V). Representa expresiones como: “o”, “al menos uno”,
entre otros.
4. Condicional (⇒). Representa expresiones como: “si A entonces B”,
“cuando A, B”, “B, siempre que A”, entre otros.
5. Bicondicional (⇔). Representa expresiones más complejas, donde se
expresa que dos proposiciones tienen la misma veracidad.
Así mismo, se establecen los símbolos de agrupación tales como: paréntesis,
llaves, corchetes, entre otros.
Formulas del cálculo proposicional
Generalmente todo cálculo tiene sus fórmulas y casos, en referencia al cálculo
proposicional tenemos las siguientes reglas:
1. Una constante proposicional es una fórmula.
2. Una variable proposicional es una fórmula.
3. Si A es una fórmula, entonces (A), {A} y [A] también son fórmulas.
4. Si A es una fórmula, entonces ¬ A es una fórmula.
5. Si A y B son fórmulas, entonces A ᴧ B, A ⅴ B, A ⇒ B, A ⇔ B también son
fórmulas.
6. Toda fórmula del cálculo proposicional obedece a las reglas de formación
antes expuestas.

5. Ejemplos:
0 es una fórmula según la regla 1
p es una fórmula según la regla 2
(p) es una fórmula según las reglas 3 y 2
¬(p) es una fórmula según las reglas 4, 3 y 2
p ᴧ q es una fórmula según las reglas 5, 4, 3 y 2
p + q no es una fórmula pues “+” no es admitido por ninguna de las reglas
expuestas.
Dada una proposición, expresada en lenguaje natural, siempre será posible
representarla mediante una fórmula del cálculo proposicional, una manera muy
simple es a través de los siguientes pasos:
1. Se identifican las proposiciones elementales.
2. Se representa cada proposición elemental mediante una variable
proposicional.
3. Se identifican las negaciones y se le aplica el operador negación a la
proposición afectada.
4. Se identifican las expresiones del lenguaje natural que relacionan a las
proposiciones elementales y se representan por sus correspondientes
símbolos de operaciones.
Tipos de proposiciones
Las proposiciones se clasifican en dos tipos: Simples y Compuestas,
dependiendo de cómo estén conformadas.
Proposiciones Simples: son aquellas que no tienen oraciones componentes
afectadas por negaciones ("no") o términos de enlace como conjunciones ("y"),
disyunciones ("o") o implicaciones ("si . . . entonces"). Pueden aparecer términos
de enlace en el sujeto o en el predicado, pero no entre oraciones componentes.
Proposiciones Compuestas: una proposición será compuesta si no es simple.
Es decir, si está afectada por negaciones o términos de enlace entre oraciones
componentes.

6. Ejemplos: se identificara con S para las simples y C para las compuestas:
Las medianas de un triángulo se
intersecan.
S
No existen negaciones, ni términos de
enlace
El 14 y el 7 son factores del 42. S
Aunque hay un término de enlace, éste
afecta al sujeto
El 14 es factor del 42 y el 7 también es
factor del 42.
C
Existen dos proposiciones enlazadas por
una conjunción
El 2 o el 5 son divisores de 48. S
Aunque hay un término de enlace, éste
afecta al sujeto
El 2 es divisor de 48 o el 5 es divisor de
48.
C
Existen dos proposiciones enlazadas por
una disyunción
No todos los números primos son
impares.
C
Existe una negación que afecta a una
proposición
Un entero no primo mayor de 1, es
divisible por un primo.
S
Aunque existe un no, éste afecta al
sujeto
Si sumamos dos primos, entonces la
suma es un primo.
C
Existe una implicación como término de
enlace.
La suma de dos primos es un primo. S
No existen negaciones, ni términos de
enlace.
En particular
Existen proposiciones, Simples o Compuestas, que están formuladas en
términos de una o más variables como por ejemplo:
1) Si x > 2, entonces 5x - 27 > 5.
2) sen(x) no es un número mayor que 0.5.
3) Si x > 5, entonces 2x - 3 > 16.
4) sen(x+y) = 2sen(x). cos(y).

7. A este tipo de proposiciones se les conoce como Abiertas dado que son
falsas o verdaderas, dependiendo del valor de la variable (o las variables).
Sin embargo algo muy importante al respecto, es que la o las variables
deben tener definido un Dominio que hagan que tales proposiciones sea
lógicas. Por ejemplo en la 1), no valdría sustituir x por un número complejo
o por una persona, donde el Dominio deben ser números reales.
Tabla de verdad es una tabla que muestra el valor de verdad de una
proposición compuesta, para cada combinación de verdad que se pueda
asignar; fue creada por Charles Sanders Peirce por los años 1880, pero el
formato más popular es el que introdujo Ludwig Wittgenstein en su
Tractatus logico-philosophicus,
publicado en el año 1921.
Verdad[editar]
El valor verdadero se representa con la
letra V; si se emplea notación numérica se
expresa con un uno: 1; en un circuito eléctrico,
el circuito está cerrado cuando esta presente
la afirmación de V.
Falso[editar]
El valor falso F; si se emplea notación
numérica se expresa con un cero: 0; en
un circuito eléctrico, el circuito está
abierto.
Variable[editar]
Para una variable lógica A, B, C, ...
pueden ser verdaderas V, o falsas F,
los operadores fundamentales se
definen así:
Negación[editar]
La negación operador que se
ejecuta, sobre un único valor de
verdad, devolviendo el
valor contradictorio de la
proposición considerada.

8. Conjunción[editar]
La conjunción es un operador, que actúa sobre dos valores de verdad,
típicamente los valores de verdad de dos proposiciones, devolviendo el
valor de verdad verdadero cuando ambas proposiciones son verdaderas,
y falso en cualquier otro caso. Es decir, es verdadera cuando ambas son
verdaderas.
En términos más simples, será verdadera cuando las dos proposiciones
son verdaderas.
La tabla de verdad de la conjunción es la siguiente:
Que se corresponde con la columna 8 del algoritmo fundamental.
en simbología
"∧" hace
referencia al
conector "y"
Disyunción[editar]
La disyunción es un operador lógico que actúa sobre dos valores de
verdad, típicamente los valores de verdad de dos proposiciones,
devolviendo el valor de verdad verdadero cuando una de las
proposiciones es verdadera, o cuando ambas lo son, y falso cuando
ambas son falsas.
En términos más simples, será verdadera cuando por lo menos una
de las proposiciones es verdadera de lo contrario será falsa.
La tabla de verdad de la disyunción es la siguiente:

9. Que se
corresponde con la columna 2 del algoritmo fundamental.
Implicación o Condicional[editar]
El condicional material es un operador que actúa sobre dos
valores de verdad, típicamente los valores de verdad de dos
proposiciones, devolviendo el valor de falso sólo cuando la
primera proposición es verdadera y la segunda falsa,
y verdadero en cualquier otro caso.
La tabla de verdad del condicional material es la siguiente:
Que se corresponde con la columna 5 del algoritmo
fundamental.
Equivalencia, doble implicación o
Bicondicional[editar]

10. La bicondicional es una operación binaria lógica que asigna el
valor verdadero cuando las dos variables son iguales y el
valor falso cuando son diferentes.
La tabla de verdad del bicondicional es la siguiente:
Que se corresponde con la columna 7 del algoritmo
fundamental.