Campo Eléctrico Distribuciones

Presentación basada en el material contenido en:
R. Serway,; Physics for Scientists and Engineers,
Saunders College Publishers, 3rd edition.
Campo Eléctrico

Campo Eléctrico
La fuerza eléctrica ejercida por una carga sobre otra es un
ejemplo de acción a distancia.
“acción a distancia” se refiere a que la acción de la fuerza
ocurre aún cuando no exista contacto físico entre los objetos.
Ejemplo: fuerza gravitatoria ejercida
por una masa sobre otra.

Campo Eléctrico
Para evitar el problema de acción a distancia, Michael
Faraday (1791-1867) desarrolló el concepto de campo.
La región del espacio que rodea a una carga u objeto cargado
(la fuente de carga) tiene una propiedad que se conoce como
campo eléctrico.
Una fuente de carga (carga) crea un campo eléctrico E en todo
el espacio y este campo ejerce una fuerza sobre cualquier otra
carga (u objeto cargado) en la posición de esta segunda carga,
no en la de la fuente que se encuentra a cierta distancia.

Campo Eléctrico
Cuando otro objeto, también cargado, entra en la región
de un campo eléctrico, una fuerza actúa sobre él.
Entonces, si consideramos una carga q0 (carga de prueba o
testigo) suficientemente pequeña (¡en magnitud!), de tal
manera que sea despreciable su efecto sobre cualquier
distribución de carga en sus alrededores, podemos estudiar el
campo eléctrico creado por otras cargas (u objeto cargados)
sin perturbarlas.

¿Por qué la carga de prueba o testigo tiene que ser
pequeña (¡en magnitud!)?
(a) para una carga de prueba q0 suficientemente pequeña, la
distribución de carga en la esfera no es perturbada. (b) cuando
la carga de prueba q´0 es mayor, la distribución de carga en la
esfera se ve perturbada debido a la proximidad de q´0.
Campo Eléctrico

Campo Eléctrico
Por ejemplo, una carga de prueba pequeña y positiva, q0,
se coloca cerca de un segundo objeto con una carga
positiva mucho más grande, Q.
Definimos el campo eléctrico
en la posición de la carga
testigo debido a la fuente
de carga, como la fuerza
eléctrica que actúa sobre la
carga testigo por unidad de
carga.

Campo Eléctrico
En física, la fuerza del campo eléctrico en un punto dado
(posición) se define como la fuerza que ejercería sobre
una carga de prueba positiva de +1 C, colocada en dicho
punto; la dirección del campo eléctrico está dada por la
dirección de dicha fuerza.
el vector del campo eléctrico E, en un
punto en el espacio se define como la
fuerza eléctrica Fe que actúa sobre una
carga de prueba q0 colocada en dicho
punto, dividida entre la carga de prueba.

Campo Eléctrico
La dirección de E es la dirección de la fuerza ejercida
sobre una carga de prueba positiva debido al campo
eléctrico.
Sus unidades SI son: N/C
Podemos decir que un campo eléctrico existe en un punto
si una carga de prueba colocada en dicho punto
experimenta un fuerza eléctrica.

Campo Eléctrico
Se debe entender que E es el campo eléctrico generado por
alguna carga o distribución de carga separada de la carga de
prueba, no es el campo eléctrico producido por la propia carga
de prueba.
Se debe entender que la existencia de un campo eléctrico es una
propiedad de su fuente (la fuente de carga), la presencia de la
carga de prueba no es necesaria para que el campo eléctrico
exista.
La carga de prueba sirve como un detector del campo eléctrico.

Campo Eléctrico
La fuerza eléctrica es una
fuerza de campo, i.e. puede
actuar a través del espacio.

El campo eléctrico E es un vector que describe la
condición en el espacio creada por un sistema de cargas
puntuales.
Desplazando la carga de prueba q0 de un punto a otro,
podemos determinar E (i.e. Ei) en todos los puntos del
espacio (excepto el ocupado por la carga q).
El campo eléctrico E es, por tanto, una función
vectorial de la posición.
Campo Eléctrico → Vector

Campo Eléctrico → Vector
Principio de Superposición
El campo eléctrico E es un vector que obedece al
principio de superposición.
El campo eléctrico E resultante producido por un
sistema de cargas se determina calculando, por
separado, el campo eléctrico Ei debido a cada carga del
sistema y después sumando estos vectores para obtener
el E resultante.

Campo Eléctrico
La fuerza eléctrica ejercida sobre una carga de prueba q0
en cualquier punto está relacionada con el campo
eléctrico E en dicho punto.
Y, por lo tanto, podemos calcular la fuerza eléctrica sobre
una partícula de carga q colocada en un campo eléctrico.

Campo Eléctrico
Por lo tanto, una vez que se conoce la magnitud y
dirección del campo eléctrico E, generado por una carga
o una distribución de carga, en algún punto del espacio
(para lo cual utilizamos la carga de prueba q0), a partir de
esta ecuación se puede calcular la fuerza eléctrica
ejercida sobre cualquier partícula cargada en ese mismo
punto del espacio.

Campo Eléctrico
Esta ecuación es válida únicamente para cargas puntuales
(partículas cargadas de tamaño cero), pues estas no
perturban la carga o distribución de carga responsable del
campo eléctrico.
Si q es positiva, la Fe y el E apuntan en la misma dirección;
Si q es negativa, la Fe y el E apuntan en direcciones opuestas.

Campo Eléctrico
¿Cómo se determina la dirección de un campo eléctrico?
Considere una carga puntual qi como la fuente de carga; esta
carga genera un campo eléctrico en todos los puntos del
espacio que la rodea.
Un carga de prueba q0 se coloca en el punto P, a una distancia
ri0 de la fuente de carga.

Campo Eléctrico
OJO: utilizamos la carga de prueba para determinar la
dirección de la fuerza eléctrica y, por lo tanto, la dirección del
campo eléctrico; sin embargo, el campo eléctrico no depende
de la existencia de la carga de prueba (q0), pues el campo
eléctrico es establecido únicamente por la fuente de carga (qi).

El campo eléctrico debido a una sola carga puntual qi en
la posición ri puede calcularse a partir de la ley de
Coulomb.
Si la carga de prueba q0 se encuentra en el punto P a una
distancia ri0, la fuerza eléctrica
que ejerce qi sobre ella es:
Campo Eléctrico

Campo Eléctrico
donde es el vector unitario que apunta de qi a q0.
En la figura (a), qi es positiva (q0 siempre es positiva
y pequeña), entonces la fuerza eléctrica
que ejerce qi sobre q0 es repulsiva y
apunta en dirección opuesta a qi.

Campo Eléctrico
El campo eléctrico (Ei) en el punto P (la posición de la
carga de prueba q0) debido a la carga qi es (E = Fe/q0):

Campo Eléctrico
donde ri0 es la distancia de la carga al punto
P (conocido como punto del campo) y
es un vector unitario que apunta, desde la
fuente de carga qi, en dirección de P
(posición de la carga de prueba)
Esta es la ley de Coulomb referida al campo eléctrico (E)
creado por una sola carga puntual.

Campo Eléctrico
Si la fuente de carga qi es positiva,
establece un campo eléctrico en el punto
P que apunta en dirección opuesta a la
posición de qi, en la misma dirección de
la fuerza eléctrica de repulsión que
ejerce sobre la carga de prueba positiva
q0 en el mismo punto P.

Campo Eléctrico
Si la fuente de carga qi es negativa,
ejerce, sobre la carga de prueba positiva
q0 en el punto P, una fuerza eléctrica de
atracción que apunta hacia qi, de tal
manera que el campo eléctrico en el
punto P apunta también en dirección de qi

Campo Eléctrico
Para calcular el campo eléctrico E resultante en un punto
del campo P debido a una distribución de cargas puntuales
Principio de Superposición
se calcula el vector del campo eléctrico Ei originado por cada
carga qi en el punto P y entonces se suman vectorialmente para
obtener el E resultante

Campo Eléctrico
donde ri0 es la distancia de la i-ésima
fuente de carga qi al punto P y es un
vector unitario que apunta, desde qi, en
dirección de P
En cualquier punto P, el campo eléctrico resultante E
debido a un grupo o conjunto de fuentes de carga es igual a
la suma vectorial de los campos eléctricos individuales de
todas las cargas.

E: Distribuciones Continuas de Carga
Frecuentemente, las distancias entre las cargas de un grupo
de cargas son mucho más pequeñas que la distancia entre el
grupo de cargas y algún punto de interés (v. gr. un punto
donde el campo eléctrico se tenga que calcular).
En estas situaciones, el sistema de cargas se puede modelar
o considerar como un continuo.
El sistema de cargas poco separadas es equivalente a una carga
total distribuida continuamente a lo largo de una línea, sobre
una superficie o a través de un volumen.

Procedimiento para evaluar el E:
1) divida la distribución de carga en
pequeños elementos, cada uno de los
cuales contiene una pequeña carga Δq
2) calcule el campo eléctrico debido a
uno de estos elementos en el punto P
3) Evalúe el campo eléctrico total
sumando las contribuciones de todos
los elementos de carga (Δq)

El campo eléctrico en el punto P
debido a cada uno de los elementos
de carga individuales es:

El campo eléctrico total en el punto
P debido a todos los elementos en
la distribución de carga es,
aproximadamente:
donde el subíndice i se refiere al i-ésimo
elemento en la distribución

Como la distribución de carga se modela o considera como
continua, el campo eléctrico total en el punto P en el límite
Δqi → 0 es:
donde la integración es sobre toda la distribución de carga. Ésta es una
operación vectorial y debe tratarse apropiadamente

Ilustraremos este tipo de cálculos con varios ejemplos, en los
cuales se debe asumir que la carga está distribuida
uniformemente a lo largo de una línea, sobre una superficie,
o a través de un volumen.
Al hacerlo, es conveniente utilizar el concepto de una
densidad de carga

Definiciones para la densidad de carga
densidad de carga volumétrica si la carga Q está distribuida
uniforme u homogéneamente a través de un volumen V
donde ρ tiene unidades de coulombs por
metro cúbico (C/m3)
densidad de carga superficial si la carga Q está distribuida
uniforme u homogéneamente sobre una superficie de área A
donde σ tiene unidades de coulombs por
metro cuadrado (C/m2)

Definiciones para la densidad de carga
densidad de carga lineal si la carga Q está distribuida uniforme
u homogéneamente a lo largo de una línea de longitud l
donde λ tiene unidades de coulombs por
metro (C/m)
Elementos de carga para las diferentes distribuciones: las cantidades
de carga dq en un pequeño elemento de volumen (dV) , de superficie
(dA) o de longitud (dl) son, respectivamente:

E: Pistas para resolver problemas
Unidades: en cálculo en los que se utilice la contante de
Coulomb (ke = 1/4πε0), las cargas deben expresarse en C
(coulombs) y las distancias en m (metros)
Cálculo del campo eléctrico de cargas puntuales: para
determinar el campo eléctrico total (E)en un punto dado, primero
se debe calcular el campo eléctrico en ese punto debido a cada
carga individual (Ei) El campo eléctrico resultante en dicho
punto es la suma vectorial de los campos eléctricos debido a las
cargas individuales.

Distribuciones de carga continuas: cuando se enfrenta
problemas que implican distribuciones de carga continuas, las
sumas vectoriales `para evaluar el campo eléctrico total (E) en
algún punto debe reemplazarse por integrales vectoriales.
Se divide la distribución de carga en pedazos infinitesimales,
y se calcula la suma vectorial integrando sobre toda la
distribución de carga.

Simetría: tanto con las distribuciones de cargas puntuales como
con las distribuciones continuas de carga, se debe aprovechar
cualquier elemento de simetría en el sistema para simplificar los
cálculos.

El E de un anillo cargado uniformemente
Un anillo de radio a tiene una carga total
positiva Q distribuida uniformemente.
Calcule el campo eléctrico debido al
anillo en el punto P que se encuentra a
una distancia x del centro del anillo sobre
el eje perpendicular al plano del anillo.

El E de un disco cargado uniformemente
Un disco de radio R tiene una densidad
de carga superficial σ uniforme. Calcule
el campo eléctrico en un punto P que se
encuentra sobre el eje perpendicular al
centro del disco y a una distancia x de
dicho centro.

El E de un debido a una barra cargada
Un barra de longitud l tiene una carga
uniforme positiva por unidad de longitud
(densidad de carga lineal) λ y una carga
total Q. Calcule el campo eléctrico en un
punto P que se encuentra sobre el eje
largo de la barra y a una distancia a
desde uno de sus extremos.

Líneas de Campo Eléctrico
El campo eléctrico se ha definido matemáticamente mediante la
ecuación:
Existe un método para representar pictóricamente el campo
eléctrico.
Una manera de visualizar patrones de campo eléctrico es
dibujando líneas curvas que sean paralelas al vector campo
eléctrico en cualquier punto en el espacio.

Estas líneas, introducidas inicialmente por Faraday, están
relacionadas con el campo eléctrico establecido en una región del
espacio de la siguiente manera:
El vector campo eléctrico E es tangente en cada punto a la línea
de campo eléctrico; esta línea tiene una dirección que es la
misma que la dirección del vector campo eléctrico, por lo tanto,
indica la dirección del E en dicho punto.
Las líneas de campo eléctrico también se conocen como líneas
de fuerza, ya que muestran la dirección de la fuerza eléctrica
que se ejercería sobre una carga testigo positiva en dicho punto.

El número de líneas por unidad de área que pasan a través de
una superficie perpendicular es proporcional a la magnitud del
campo eléctrico en esa región.

Para una fuente de carga positiva,
las líneas de campo eléctrico
apuntan radialmente alejándose de
la carga (en todas direcciones).
En tres dimensiones la distribución de
las líneas de campo eléctrico es
esférica (en la figura sólo se representa
el plano xy)
Una carga de prueba positiva sería
repelida lejos de la fuente de carga
positiva
Líneas de Campo Eléctrico: Carga +

Líneas de Campo Eléctrico: Carga +
Las líneas de campo
eléctrico divergen
desde un punto
ocupado por una
carga positiva

Para una fuente de carga negativa, las
líneas de campo eléctrico apuntan
radialmente hacia esta carga (las
líneas de campo eléctrico siempre
apuntan hacia una carga negativa)
En tres dimensiones la distribución de
las líneas de campo eléctrico es esférica
(en la figura sólo se representa el plano
xy)
Una carga de prueba positiva sería
atraída hacia la fuente de carga negativa
Líneas de Campo Eléctrico: Carga −

En ambos casos, las líneas de campo eléctrico se
disponen a lo largo de direcciones radiales y se extienden
o prolongan hasta el infinito.
Nótese que las líneas de campo eléctrico se aproximan
unas a otras conforme se acercan a la carga; esto indica
que la magnitud del campo eléctrico aumenta conforme
uno se acerca a la fuente de carga.
O bien, a medida que uno se aleja de la fuente de carga,
el campo eléctrico se debilita y las líneas se separan.
Existe una conexión entre el espaciado de las líneas y
la intensidad del campo eléctrico.

Superficies esféricas con carga en el
centro.
¿número de líneas por unidad de área de
la esfera?
Densidad superficial de líneas.
Si r aumenta, aumenta A (superficie)
de la esfera, pero el mismo número de
líneas pasan a través de ella.
Por lo tanto, el número de líneas por
unidad de área o superficie disminuye
cuando r aumenta.
q

Superficies esféricas con carga en el
centro.
Para la esfera: A = 4πr2
La densidad superficial de líneas que
atraviesan la esfera decrece en razón
inversa con el cuadrado de la distancia
a la carga puntual.
Es decir, lo mismo que ocurre con la
intensidad o magnitud del campo
eléctrico E = keq/r2, que también
disminuye en razón inversa con el
cuadrado de esta distancia.
q

Las líneas de campo eléctrico están más juntas donde el campo eléctrico es
fuerte y más separadas donde el campo eléctrico es débil.
Es decir, cuanto más próximas se
encuentran las líneas de campo
eléctrico, más intenso es el campo
eléctrico

Las líneas de campo eléctrico están más juntas donde el campo eléctrico es
fuerte y más separadas donde el campo eléctrico es débil.
La densidad de línea a través de la
superficie A es mayor que la densidad de
líneas a través de la superficie B.
Por lo tanto, la magnitud del campo
eléctrico es mayor sobre la superficie A
que sobre la superficie B
El hecho de que las líneas en cada punto
apunten en diferentes direcciones indica
que el campo eléctrico no es uniforme

La líneas de campo eléctrico sólo representan gráficamente el E en diferentes
puntos. Con excepción de algunos casos muy especiales, la líneas de campo
eléctrico NO representan la trayectoria de una partícula cargada
moviéndose en un campo eléctrico.
Las líneas de campo eléctrico no son objetos materiales. Se utilizan únicamente
como una representación pictórica que proporcione una descripción cualitativa
del E. Sólo un número finito de líneas se pueden dibujar, lo cual puede hacer
creer, erróneamente, que el campo eléctrico está cuantizado y sólo existe en
ciertas partes del espacio. De hecho, el campo eléctrico es continuo, i.e. existe
en todos los puntos. Se debe evitar quedar con la impresión incorrecta de un
dibujo bidimensional de líneas de campo eléctrico utilizado para describir una
situación tridimensional.

(a) Líneas de campo eléctrico para dos cargas puntuales positivas. (b) Pedazos de hilo suspendidos
en aceite, los cuales se alinean con el campo eléctrico establecido por dos cargas positivas de igual
magnitud.
Ordena las magnitudes del campo eléctrico en los puntos A, B y C.

Las cargas tienen igual magnitud y
signo (positivas).
El número de líneas de campo
eléctrico que salen de cada carga es el
mismo pues éstas tienen la misma
magnitud.
A una gran distancia, el campo
eléctrico es aproximadamente igual al
de una sola carga de 2q.

Relación de las líneas de campo eléctrico y la distancia a
la cual se encuentra el punto de medición:
En un punto próximo a una carga (o a un sistema cargado), las
líneas de campo eléctrico poseen la misma separación y según
el signo de la carga se alejan o se acercan a ella.
En un punto lejano de un sistema de cargas, la estructura
pormenorizada del sistema no es importante, y las líneas del
campo eléctrico son las mismas que las correspondientes al
sistema cargado con la carga neta del sistema.

La magnitud de la cargas positiva es el
doble de la magnitud de la carga negativa.
Dos líneas de campo eléctrico salen de la
carga positiva por cada línea de campo
eléctrico que termina en la carga negativa.
Es decir la mitad de la líneas que
comienzan en la carga positiva +2q entran
en la carga –q y la otra mitad divergen
hacia el infinito.

En una esfera de radio r, en donde r es
mucho mayor que la separación de las
cargas, las líneas que abandonan el
sistema están espaciadas de modo
aproximadamente simétrico y señalan
radialmente hacia fuera.
Es decir, a una gran distancia, el campo
eléctrico es aproximadamente igual al de
una sola carga de q.

Líneas de Campo Eléctrico: Reglas
Las líneas de campo eléctrico comienzan en las cargas
positivas y terminan en las negativas. En caso de un
exceso de un tipo de carga algunas líneas empezarán o se
acabarán en el infinito.
Las líneas se dibujan simétricamente saliendo o entrando
en la carga.
El número de líneas que abandonan una carga positiva o
entran en una carga negativa es proporcional a la
magnitud de la carga.

La densidad superficial de líneas (número de líneas por
unidad de área que cruzan una superficie perpendicular a
las mismas) en un punto es proporcional al valor del
campo en dicho punto.
A grandes distancias de un sistema de cargas, las líneas
de campo eléctrico están igualmente espaciadas y son
radiales como si procediesen de una línea, superficie o
volumen cargado con la carga neta del sistema.
Nunca se pueden cruzar o intersecar dos líneas de campo

Nunca se pueden cruzar o intersecar dos líneas de campo
Esta regla se deduce del hecho de que E tiene una dirección
única en cualquier punto del espacio (excepto en el punto o
espacio ocupado por una carga puntual o un sistema cargado,
o donde E = 0).
Si se cortasen o intersecasen dos líneas, existirían dos
direcciones para E en el punto de intersección.

Dipolo eléctrico: sistema de dos cargas iguales de signos
opuestos (+q y –q), separadas por cierta distancia L.
Característica fundamental: momento dipolar eléctrico (p)
Vector que apunta de la carga negativa
a la positiva y cuya magnitud es el
producto de la carga q por la separación
L.
Si L es el vector desplazamiento desde
la carga negativa hacia la carga positiva,
el momento dipolar es
p = qL
Dipolo Eléctrico

Dipolo Eléctrico: Problema
Una carga +q se encuentra en x = –a, y una segunda carga –q
en x = a.
Determinar el campo eléctrico resultante sobre el eje x en
un punto P muy alejado en comparación con la separación
de las cargas.
Determinar el momento dipolar eléctrico.

Dipolo Eléctrico
(a) Líneas de campo eléctrico para dos cargas puntuales de igual magnitud y signo contrario (dipolo
eléctrico). (b) Pedazos de hilo suspendidos en aceite, los cuales se alinean con el campo eléctrico de
un dipolo.

Dipolo Eléctrico
Puesto que las cargas tienen la misma
magnitud pero signo contrario, el
número de líneas que empiezan en la
carga positiva es igual al número de
líneas que terminan en la carga
negativa.
En este caso el campo es más intenso
en la región entre las cargas, como lo
indica el hecho de que la densidad de
líneas de campo en esta región es muy
elevada.

Movimiento de cargas puntuales en
un campo eléctrico uniforme
Cuando una partícula de carga q y masa m se coloca en un
campo eléctrico E, experimenta la acción de una fuerza
eléctrica: Fe = qE
En general, las fuerzas gravitatorias que actúan sobre una partícula son
despreciables en comparación con las fuerzas eléctricas.
Si Fe es la única fuerza significativa que actúa sobre la
partícula, ésta es la fuerza neta y provoca que la partícula
se acelere según la segunda ley de Newton:
Fe = qE = ma

Por lo tanto la aceleración de la partícula es:
Si el campo eléctrico E es uniforme (i.e. constante en
magnitud y dirección), entonces la aceleración es
constante.
Como la aceleración es constante, las ecuaciones de la
cinemática son totalmente válidas y se pueden utilizar.

Si la partícula tiene una carga positiva, su aceleración
apunta en la dirección del campo eléctrico.
Si la partícula tiene una carga negativa, su aceleración
apunta en dirección opuesta a la del campo eléctrico

Si el campo eléctrico se conoce, puede determinarse la relación
carga/masa de una partícula a partir de la aceleración medida.
En el caso de un campo eléctrico uniforme, la trayectoria de la partícula es
una parábola semejante a la de un proyectil en un campo gravitatorio.
La medida de la desviación de los electrones en un campo eléctrico
uniforme fue utilizada por J.J. Thompson en 1897 para demostrar
la existencia de los electrones y para medir su relación carga/masa.

Carga positiva acelerada.
Una carga puntual positiva q y de masa m se coloca dentro
de un campo eléctrico E uniforme que apunta a lo largo
del eje x y se le suelta desde el reposo. Describa su
movimiento.
M. U. A.
Ecuaciones cinemáticas en una dimensión:

Carga positiva acelerada.
Una carga puntual positiva q en un campo
eléctrico E uniforme experimenta una
aceleración constante en la dirección del
campo eléctrico.

Placas cargadas.
El campo eléctrico en la región entre dos placas metálicas
con cargas opuestas es aproximadamente uniforme.
Consideren un electrón (q = –e) que se incide horizontalmente
en dicho campo desde el
origen con una velocidad
inicial vî (t = 0)
E con dirección y +
¿Dirección de a?

Placas cargadas.
¿Dirección de a?
Si E es contante (uniforme), a también es constante.
Ecuaciones cinemáticas
en dos dimensiones
(con aceleración
constante).

Placas cargadas.
Ecuaciones cinemáticas en dos dimensiones (con aceleración
constante).

Tubo de Rayos Catódicos (TRC)
Visualización de información electrónica en osciloscopios,
sistemas de radar, televisores, monitores.
El TRC es un tubo de vacío en el
cual un haz de electrones es
acelerado y desviado bajo la
influencia de campos eléctricos
y magnéticos.

El haz de electrones se produce en la pistola de electrones,
localizada en el cuello del tubo.
Si estos electrones no son perturbados
siguen una trayectoria rectilínea
hasta impactar en la “pantalla”,
la cual está recubierta con
un material fluorescente,
i.e. un material que emite
luz visible cuando absorbe
electrones.

En un osciloscopio, los electrones son desviados en diferentes
direcciones mediante dos conjuntos de placas (E y B)
colocadas en ángulo recto una respecto a la otra.
Si una de las placas horizontales
se carga positivamente y la
otra negativamente, se
establece un campo
eléctrico entre ellas
que permite dirigir el haz
de electrones de un lado a otro.

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