Cap 11-ca 205-231

Cuaderno de Actividades: Física II

11) CORRIENTE ALTERNA
11.1) Generadores

 6θ 8 
 7 
ε ≡ ε ( t ) ≡ ε m sen ωt + ϕ 

 

⇒ CORRIENTES
ALTERNAS

Se pueden producir con un sistema de
bobinas en la región de B debido a inducción Faraday.
**La f.e.m. alterna la circulación de las corrientes.
11.2) Circuitos resistivos, capacitivos e
inductivos
i) Circuito Resistivo
i = i( t) = ?
ε ( t ) ≡ ε M sen { ωt}
ε( t) 2ªLey de Kirchhoff :
ε - Ri ≡ 0

ε εM
i( t) ≡ ≡ sen { ωt} ≡ I M sen { ωt}
R R
ε
i ( t ) ≡ I M sen { ωt} → I M = M
R
ε ( t ) ≡ ε M sen { ωt} ⇒ i ( t ) ≡ I M sen { ωt}

205
Lic. Percy Víctor Cañote Fajardo


→ FASE :
ε (≡ v) − i
USANDO FASORES ( =“VECTORES”), para describir las
relaciones v-i

ω
v( t)
VM
t
i( t)
IM

θ

Los FASORES son especies de vectores de intensidad igual a los valores
máximos (o valores pico) de las CF asociadas. Se les representa girando con
frecuencia angular ω en un plano, de tal manera que los valores instantáneos
de las CF se obtienen mediante su proyección en el eje vertical.

Para el circuito resistivo:
ε ( t ) ≡ v (t ) = ε M sen { θ } = ε M sen { ω t} i ( t ) ≡ I M sen { θ } ≡ I M sen { ω t}
Graficando las ecuaciones para v(t) y i(t)

206


ii) Circuito Capacitivo

De 2ªLey de Kirchhoff :
ε( t) q
ε - ≡0
C

ε ( t ) ≡ VM sen { ωt} ⇒ q ≡ CVM sen { ωt}
dq
⇒i ≡ ≡ ωCVM cos { ωt}
dt
→ i ( t ) ≡ ωCVM cos { ωt}
 π
 π i ( t ) ≡ I M sen ω t + 
i ( t ) ≡ ωCVM sen ωt +   2
 2
 1 
I M ≡ { ω C} VM → VM ≡   IM ⇒ VM ≡ X C I M
 ωC 
1
XC ≡ , X C : Re acatrancia
ωC
Capacitiva
Con lo que las ecuaciones para V e i, resultan,
 π
ε ( t ) ≡ v (t ) = VM sen { ω t } i ( t ) ≡ I M sen ω t + 
 2
Como puede apreciarse de las ecuaciones v(t) e i(t), la corriente en el capacitor
adelanta en (π/2) al voltaje, en el “lenguaje” de fasores tendríamos la siguiente
representación,

VM
IM

De igual forma en el “lenguaje” grafico, las curvas v-i muestran el mismo
adelanto de la corriente frente al voltaje,

207


iii) Circuito Inductivo
i ≡ i( t) = ?
De la 2ªLey de Kirchhoff :
di
ε( t) ε - L ≡0
dt

 π
ε (t ) = v ( t ) ≡ VM sen { ωt} i ( t ) ≡ I M sen ωt − 
 2
En la ecuación de corrientes,
VM
IM ≡ → VM ≡ { ω L} I M
ωL
VM ≡ X L I M ⇒ X L ≡ ω L
X L : Re ac tan cia inductiva
Las ecuaciones v(t) e i(t) asociadas muestran, ahora, un retraso de (π/2) de la
corriente frente al voltaje,
 π
ε (t ) = v ( t ) ≡ VM sen { ω t } i ( t ) ≡ I M sen ω t − 
 2
Este retraso es claramente descrito por los fasores,

VM

IM
208


La información contenida en la gráfica V-t muestra claramente este retraso de
la corriente,

iv)

Observaciones
j) Grafico de reactancias
La influencia opositora de la resistencia, R, y de las reactancias χc y χL, en
función de la ω,

R ≠ R (ω )

1
XC ≡
ωC

X L ≡ ωL

jj)Corriente y voltaje eficaz,Ief, Vef
Las cantidades eficaces son cantidades que representan al circuito de CA, se
determinan usando criterios energéticos, como por ejemplo, a un circuito
resistivo puro de CA, se le asocia otro de CC de tal forma que la potencia
disipada por R sea la misma,
PI

Pi
i(t) R
209
I


 π  π
i ( t ) ≡ I M sen ω t +  ≡ I P sen ω t + 
 2  2
I P ≡ I " pico " o max ima
Cuando la potencia generada por el circuito alterno es igual a la potencia del
circuito continuo, I=Ief. Se encuentra experimentalmente que la corriente i(t)
genera la mitad de potencia que Im ( o Ip),
1 I
Pi( t ) ≡ PI P ≡ PIe f → I e f ≡ P
2 2
VP
Razonamiento análogo conduce a, Vef ≡
2
11.3) Circuitos RLC en serie
i ≡ i( t) = ?

De la 2da de Kirchhoff,

i( t)
R
ε(t) q di
ε( t) i ε ( t ) − Ri −
−L ≡0
C dt
C R 1
→q+ q+
&& & q ≡ ε ( t)
L LC
L → resolviendola E C Diferencial...

Resolviendo usando Fasores…
El diagrama de fasores se muestra en la siguiente figura,

210


( VL − VC )
2
+ VR2 ≡ VM , ← VM = V0
2

y con las E CS ,
VL = χ L I M , VC = χ C I M y VR = RI M
→ {( χ L
2 2
}
− χ C ) + R 2 I M = VM F
2

1

Definiendo : Z = {( χ L − χC ) + R
2 2
} 2

Z :Im pedancia del circuito deCA

→ VM = ZI M → Vef = ZI ef

VM
→ IM =
Z
Con lo que si,
v ( t ) ≡ VM sen { ω t} → i (t ) ≡ I M sen { ω t − φ }

Donde φ ,
χ L − χC
tan(φ ) =
R
Depende de la intensidad de los χs,

X L Xc X L = Xc X L Xc

R R R
R

X L X* L X *C

X C
X*
La tensión total La tensión total
Tensión total y
estará adelantado estará retrasado
corriente
menos de 90 grados menos de 90 grados
en fase
respecto a la respecto a la
corriente corriente
X L X C R
X L Φ
Z X* L
R X *c
Φ Z
R X C
X C X L

Observaciones:
i) Usando el plano complejo
Supongamos que la impedancia, Z, se defina sumando
complejamente R y las χ s,

211


Z = R + χC + χ L
transformando a impedancias complejas,
→ Z R ≡ R, Z C ≡ − χ C i y Z L ≡ χ L i

→ Z = Z R + ZC + Z C ≡ R + ( χ L − χ C )i
Esto es, si consideramos a las Zs, fasores en un plano complejo,

1

{ }
n
( χ L − χC ) + R 2 → Z = ∑ Zi ?
2
→Z = Z = 2

i =1

ii) Circuitos RLC en paralelo

La Z del circuito se obtendrá usando fasores de corriente, puesto que ahora se
aplica el mismo voltaje a todos los Zs,

IC IM VM

IR

IL 212


1

VM  VM   VM VM  
2 2 2
 
=   + −  
Z  R   χ C χ L  
 
1

1  1   1 1  
2 2 2
 
→ =   +  −  
Z  R   χ C χ L  
 
También podríamos asumir impedancias en paralelo, usando
1 1 1 1 1 1 ( χ L − χC ) i
= + + → = +
Z R − χC i χ Li Z R χC χ L
1 χC χ L + R ( χ L − χC ) i RχC χ L
→ = →Z =
Z RχC χ L ( χC χ L + R ( χ L − χC ) i )
R χC χ L ( χC χ L − R ( χ L − χC ) i )
→Z =
( χC χ L ) +  R ( χ L − χC ) 
2 2
 
1

1  1   1 1  
2 2 2
  1 n
1
→ =   +  −   → =∑ ?
Z  R   χ C χ L   Z i =1 Zi
 
11.4) Potencia de un circuito de CA
i) P instantanea,P(t)
P ≡ v ( t ) i (t )
P ≡ VM sen { ω t}   I M sen { ω t − φ }  ...
  
→ P ≡ VM I M sen { ω t} sen { ω t − φ}
ii) P Media, PM
Pm ≡ P(t ) T

1
P ≡ VM I M sen 2 { ω t} cos { φ } − sen { 2ω t} sen { φ}
2
→ P ≡ VM I M sen { ω t} sen { ω t − φ}
1
→ sen 2 { ω t} ≡ ∧ sen { 2ω t} ≡0
T 2 T

213


T T
1
→ sen { ω t}
2
≡ ∫ sen { ω t} dt ≡
2
∧ sen { 2 ω t} ≡ ∫ sen { 2 ω t} dt ≡ 0
T
0
2 T
0

1
→ P ≡ VM I M cos { φ } ≡ Vef I ef cos { φ }
2
→ Pm ≡ I ef R ?
2

Al factor cos(φ) se le llama FACTOR DE POTENCIA, describe la influencia de
las impedancias (reactancias) sobre la Pm.

11.5) Resonancia
Es un fenómeno en donde la I de un circuito de CA alcanza su valor máximo
(CCA serie, por ejemplo). Este valor extremo se alcanza bajo la condición,
1
ωres ≡
LC
En general:
Vef
I ef ≡ ≡ I ef (ω )
2
 1 
R2 +  ω L −
 ωC 

Pm ≡ I ef R
2

2
 
   
 Vef   Vef2 Rω 2 
Pm ( ω ) ≡   R → Pm ( ω ) ≡  2
 R ω + L ( ω − ωres ) 
2 2 2 2 2 2
 2  1    
 R +  ω L − ωC  
   
La grafica Pm-ω muestra la dependencia con ωres. A dicha frecuencia el
circuito se comportará como resistivo puro, ya que los efectos capacitivos e
inductivos se anulan mutuamente.

214


∆ω

En las curvas de Pm se define el factor de calidad, Q0, el cual se vincula a R,

ωres
Q0 ≡
∆ω

Donde ∆w se mide a
media altura,
Pm = (Pm,max /2)

¿Es curioso o no que en
los circuitos en paralelo
se obtenga?

215


Son dispositivos (maquinas eléctricas) que permiten controlar voltajes alternos,
así como impedancias, usando inducción Faraday. Están constituidos
básicamente por dos enrollados y un entrehierro como indica la figura,

Primario Secundario
εp − Np ε s − Ns
Rp Rs
Aplicando inducción Faraday a ambas bobinas, primaria y secundaria,
d φB , p
ε p ≡ Np ...1
dt

d φB , s
ε s ≡ Ns ...2
dt
De las ecuaciones 1 y 2 y asumiendo un entrehierro altamente colector de B
(ferromagnético),
dφB , p dφB , s
≡
dt dt
Entonces, en la aproximación de transmisión de flujo ideal,
εp Np
≡
ε s Ns
Esta expresión puede, por supuesto, extenderse a los V p (voltaje pico) o Vef ,
debido a que la señal en el secundario tiene la misma frecuencia que la del
primario,
ε p N p V pp Vefp
≡ ≡ ≡
ε s N s V ps Vefs
Ahora, asumiendo caso ideal para la potencia, esto es, la Pp ≡ Ps ,

216


Pp ≡ V p I p ≡ Ps ≡ Vs I s → V p I p ≡ Vs I s
En los casos reales se introduce un factor de potencia,ε,
Ps ≡ ε Pp ← ε : %
¿? Que importancia tecnológica tienen los transformadores.
¿? Que tipos de transformadotes existen y con que usos.
¿? Podría construir un transformador no convencional y darle aplicación.

11.7) Circuitos Filtro
Circuitos constituidos por R, C o L, capaces de atenuar señales eléctricas en
función de la frecuencia, es decir, pueden filtrar señales de baja frecuencia, alta
frecuencia o una banda determinada de frecuencias.
i) CF pasa bajas
La ganancia, g, es notable para señales de baja frecuencia.
La g se define de la siguiente manera,
V
g ≡ s , Vs : V en la salida yVe : V de entrada
Ve
Tenemos el siguiente circuito,
R1

1 2
V1 1.0kohm
1.0uF
1V 1000Hz
C1

0
El voltaje de salida se toma
en el condensador,
de tal forma que la ganancia es,
1
Vs χ c I M wC 1
g≡ ≡ ≡ ≡
Ve ZI M ( RwC )
2 2
 1  +1
R +
2

 wC 
donde la g es casi 1 para bajas ws, como se muestra en la grafica,

g
1

0 w

ii) CF pasa altas
La ganancia, g, es notable para señales de alta frecuencia.
Title: Circu

217


Usando el mismo circuito,
R1

1 2
V1 1.0kohm
1.0uF
1V 1000Hz
C1

0
El voltaje de salida se
toma en la resistencia, de tal forma que la ganancia es,
Vs RI M R 1
g≡ ≡ ≡ ≡
Ve ZI M  1 
2
 1 
2

R +
2
 1+  
 wC   RwC 
observamos que la g es casi 1 para altas ws, como se muestra en la grafica,

g
1

0 w

¿? Es posible construir otros circuitos filtro usando L.
¿? Como se construiría un circuito pasa banda, (w1, w2).
¿? Si estos CF son pasivos, cuales son los activos.
¿? Aplicaciones tecnológicas del los CF.
Title: C
Aplicaciones:
S6P5) Un generador de ca y frecuencia variable se conecta a un circuito
LCR serie con R = 1 kΩ, L = 50 mH y C = 2,5 µF.
a) ¿Cuál es la frecuencia de resonancia del circuito?
b) ¿Cuál es el valor de Q?
c) ¿A qué frecuencia el valor de la potencia media suministrada por el
generador es la mitad de su valor máximo?
SOLUCION:
a) CA, RCL ene serie: R ≡ 103 , C ≡ 2,5 × 10−6 y L ≡ 50 ×10−3
1 1
w0 ≡ wres ≡ ≡ ≡?
LC ( 50 ×10−3 ) ( 2,5 ×10−6 )
1
b) y c) Q ≡ ? y ws ≡ ? / Pm ( w) ≡ Pm ,max
2
El factor de calidad Q, se obtiene por,
218


wres χ L ( wres ) Lwres
Q≡ ≡ ≡ ≡?
∆w R R
donde, ∆w es el ancho de frecuencias a media altura, como muestra la
figura, ∆w ≡ w2 − w1 ,
Pm

Pm,max

(1/2)Pm,max

0 w
w1 wres w2

1
∆w ≡ ?, w1 ∧ w2 ≡ ? / Pm ( w1 ) ≡ Pm ( w2 ) ≡ Pm ,max
2
yendo a la ecuacion de Pm − w , e imponiendo la condición de ws,

 Vef2 Rω 2 
 
Pm ( ω ) ≡  2
 R ω + L ( ω − ωres ) 
2 2 2 2 2
 

 Vef2 Rω 2  2
  1 Vef
Pm ( ω ) ≡  2
≡
 R ω + L ( ω − ωres )  2 R
2 2 2 2 2
 
R
L2 ( ω 2 − ωres ) ≡ R 2ω 2 → w2 − wres ≡ ± w
2 2 2

L
R R
w2 − wres ≡ ± w → w2 + w − wres ≡ 0...I
2 2

L L

R
→ w2 − w − wres ≡ 0...II
2

L
2 2
R R R R
− +   + 4wres
2
− −   + 4 wres
2

L L L L
De I : w1 ≡ ∧ w3 ≡
2 2
2 2
R R R R
+ +   + 4 wres
2
+ −   + 4 wres2

L L L L
De II : w2 ≡ ∧ w4 ≡
2 2
Las soluciones 3 y 4 se desestiman por ser negativas y de 1 y 2, resulta,

219


R w L
∆w ≡ → Q ≡ res ≡ ?
L R

w1 ≡ ?

w2 ≡ ?
S6P37)
En el circuito RLC en serie de la figura, tome R = 8
Ω, L = 40 mH, C = 20 µF, la diferencia de potencial i
pico de la fuente, v0 = 100 V y ν =( 200/π) Hz. R
a) Deduzca la impedancia del circuito +
b) ¿Cuál es el valor de la corriente? ∼ C
Halle la diferencia de potencial rms a través de -
c) R, C y L individualmente -
L
d) R y C combinados
e) C y L combinadas
SOLUCION:
−6
De los datos R ≡ 8, L ≡ 0, 04, C ≡ 20 ×10 , V p ≡ Vmax ≡ 100 y w ≡ 400 ,
1
a)… Z ≡ { ( χ L − χC ) + R 2
2
} 2
≡ ...?
VM 1
b) De las ecuaciones, I M ≡ , χC ≡ y χ L ≡ w L,
Z wC
1 1
χC ≡ ≡ ≡ 125
wC ( 400 ) ( 20 × 10−6 )
y χ L ≡ wL ≡ ( 400 ) ( 0, 04 ) ≡ 16
Calculando Z ≡ 109,3 y con Vmax ≡ 100 y R ≡ 8,
I M ≡ 0,92
c) Hallando los Vrms ≡ Vef ,
Vp
c1) VM , R ≡ I M R ≡ 0,92 × 8 ≡ 7, 4 → Vef ≡ ≡ 5,3
2
Vp
c2) VM ,C ≡ I M χ C ≡ 0,92 ×125 ≡ 115 → Vef ≡ ≡ 81, 6
2
Vp
c3) VM , L ≡ I M χ L ≡ 0,92 × 16 ≡ 14, 7 → Vef ≡ ≡ 10, 4
2
d) Ahora para la combinación RC,
χ RC ≡ R 2 + χ C ≡ 82 + 1252 ≡ 125,3
2

Vp
VM , RC ≡ I M χ RC ≡ 0,92 × 125,3 ≡ 115, 3 → Vef ≡ ≡ 81, 8
2
e) Combinación CL,

220


χ LC ≡ 109

Vp
VM , LC ≡ I M χ LC ≡ 0,92 ×109 ≡ 100, 3 → Vef ≡ ≡ 71,1
2

S6P25)
10 Ω
En relación al circuito mostrado,
a) Halle la resistencia equivalente. 150 V
b) Halle corriente por la resistencia. 20 µF
5mH
c) Halle la corriente por la inductancia. 60Hz
d) Si se toma una señal por la resistencia ¿Es un
filtro? Why.
SOLUCION:
Datos: ν ≡ 60, V p ≡ 150, R ≡ 10, L ≡ 5 × 10 , C ≡ 20 ×10 ,
−3 −6

a) La impedancia del sistema estaría dada por,
1

 
 χ L χC  
2


2

Z ≡ R2 +   

  ( χC − χ L ) 
  

1
Calculando para, χ C ≡ y χ L ≡ wL,
wC
1 1
χC ≡ ≡ ≡132, 7 y
wC ( 2π × 60 ) ( 20 × 10−6 )

χ L ≡ wL ≡ ( 2π × 60 ) ( 5 ×10−3 ) ≡ 1,9
Reemplazando en Z,
Z ≡ 10, 2
V
b) Usando I M ≡ M , resulta,
Z
150
IM ≡ ≡ 14, 7
10, 2
c) Determinando el voltaje en el inductor,
V p2 ≡ VR2 + VLC → ( 150 ) ≡ ( 10 ×14, 7 ) + VLC
2 2 2 2

→ VLC ≡ 29,8 → VL ≡ χ L I L → 29,8 ≡ ( 1, 9 ) I L → I L ≡ 15, 7
d) De la ecuación para la g,
V RI R w0 − w2
2

g≡ s ≡ M ≡ ≡ ... ?
Ve ZI M
(w ) + ( w / RC )
2 2 2 2
 χ L χC 
 
2
−w
R2 +  
0

 ( χC − χ L ) 
 

S6P6) Uno de los empleos de un transformador es el de ajuste de
impedancias. Por ejemplo, la impedancia de salida de un amplificador
estéreo se ajusta a la impedancia de un altavoz mediante un
transformador. En la ecuación V1ef I1,ef = V2,ef I2,ef pueden relacionarse
221


las corrientes I1 e I2 con la impedancia del secundarios ya que I2 = V2/
N2 ε
Z. Utilizando las ecuaciones V2 = V1 demostrar que I1 =
( N1 / N 2 ) Z
2
N1
y, por consiguiente, Zef = (N1/N2)2Z.
SOLUCION:…

222

Cap 11-ca 205-231

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