Capitulo i (edos)

UNIVERSIDAD CESAR VALLEJO
Escuela de Ingeniería Civil
INTRODUCCION A LAS ECUACIONES DIFERENCIALES
ECUACIONES DIFERENCIALES es una rama muy importante de las matemáticas, pues proporciona
el medio para las formulaciones matemáticas y soluciones de múltiples fenómenos de la ciencia y la
ingeniería (ya sean económico, biológicos, físico, químicos, etc.) con la finalidad de comprender mejor el
comportamiento de la naturaleza y mundo que nos rodea.
Un objeto se libera desde una altura determinada (por encima del nivel del suelo) y cae bajo la fuerza de
la gravedad. (en este caso supondremos que la gravedad es la única fuerza que actúa sobre el objeto, y
que esta fuerza es constante).
Otros modelos más generales considerarían otras fuerzas, como la resistencia del aire.
Podemos aplicar al objeto que cae la 2ª Ley de Newton, la cual establece que la masa de un objeto por su
aceleración es igual a la fuerza total que actúa sobre él. amF =
Esto lleva a la siguiente ecuación:
)1(..........gmam −=
Sea )(th una función que representa la altura del objeto en el tiempo t . Luego al derivar la función
altura, )(' th obtenemos la velocidad con que el objeto cae en un instante t . Finalmente al derivar por
segunda vez )('' th obtenemos la aceleración con el objeto cae en un instante t .
Por notación utilizamos 2
2
)(''
dt
hd
th = ; luego al reemplazar la aceleración en la ecuación ( 1 ) obtenemos
la siguiente ecuación diferencial: g
dt
hd
−=
2
2
Definamos ahora una Ecuación Diferencial
Definición.- Una ECUACION DIFERENCIAL es una ecuación que contiene derivadas de una
función desconocida o variable dependiente con respecto a una o más variables independientes.
Ejemplos.
1.- 2
3
3
58 xx
dx
dy
dx
yd
x =−+ 6.- ),(
2
2
txQ
x
u
t
u
+
∂
∂
=
∂
∂
β
2.-
dt
dy
kmg
dt
yd
m −=2
2
7. senxy
dx
dy
2=− -
3.- 02
2
2
2
2
=
∂
∂
−
∂
∂
x
u
c
t
u
8.- 02
23
=+





dx
yd
dx
dy
4.- 52)1( 2
2
2
−+=+
∂
−+ xxy
x
dy
x
dx
yd
x 9.- xexyyx x
cos'''2
=++
Docentes: Lic. Carlos Javier Ramírez Muñoz – Lic. Victoria de los Ángeles Agustín Díaz

5.- tx
dt
xd
=−





42
10.- ky
dt
yd
m −=2
2
NOTA
Siempre que un modelo matemático implique la “razón de cambio de una variable con respecto de otra”,
es probable que aparezca una ECUACION DIFERENCIAL.
Ejemplos:
1.- ( ) 2/32/3
1
2
yy
dx
dy
−=
η
ρ
; Modelo del aprendizaje de una tarea en este caso la función incógnita
)(xy ϕ= representa el nivel de habilidad del estudiante como función del tiempo, las constantes
ηρ, dependen del individuo y la naturaleza de la tarea.
2.- WW
dx
dW
24 −= ; modelo sencillo de la forma de un tsunami o maremoto, 0)( >tW es la altura
de la ola en función de su posición relativa a un punto determinado en alta mar.
3.- Se estima que dentro de t meses la población de cierta ciudad cambiará a una razón de 3/254 t+
personas por mes; la razón de cambio de la población queda escrita de la forma
dt
dP
, por lo tanto la
ecuación diferencial que describe este fenómeno es:
3/2
54 t
dt
dP
+=
4.- Un objeto se mueve de manera que su velocidad después de t minutos es 2341)( tttv ++= metros
por minuto; debido a que la velocidad es la razón de cambio de la distancia con respecto del tiempo
dt
dD
v = , entonces la ecuación diferencial que describe este fenómeno será:
2341 tt
dt
dD
++=
5.- ),(
2
2
txQ
x
u
t
u
+
∂
∂
=
∂
∂
β ; ecuación de calor de una barra delgada
Para comenzar nuestro estudio de las Ecuaciones Diferenciales necesitamos cierta terminología común. Si
una ecuación implica la derivada de una variable con respecto de otra, entonces la primera se llama
variable dependiente y la segunda variable independiente.
CLASIFICACION DE LAS ECUACIONES DIFERENCIALES

Las ecuaciones diferenciales se clasifican en ORDINARIAS y PARCIALES:
a) Una ecuación diferencial que solo tiene derivadas ordinarias de una variable dependiente con
respecto a una sola variable independiente se llama ECUACIÓN DIFERENCIAL ORDINARIA.
(EDO).
Ejemplo:
1.- ;2
2
kx
dt
xd
m −=
2.-
2341 tt
dt
dD
++=
3.- )(
1
2
2
tE
Cdt
dq
R
dt
qd
L q
=++
4.- senxy
dx
dy
2=−
5.- 0
5
2
2
=+





+ x
dt
dx
dt
xd
Las Ecuaciones Diferenciales Ordinarias (EDO), se representan:
0),...,,,,( 2
2
=n
n
dx
yd
dx
yd
dx
dy
yxF ó 0),...,''','',',,( )(
=n
yyyyyxF
Donde F indica la relación de x é y , de igual manera sus derivadas.
b) ECUACIONES DIFERENCIALES PARCIALES (EDP), se llama así a las ecuaciones
diferenciales que implican derivadas parciales de una variable dependiente con respecto a mas de
una variable independiente.
Ejemplos:
1.- 02
2
2
2
2
2
=
∂
∂
+
∂
∂
+
∂
∂
z
w
y
w
x
w
, Ecuación Diferencial de Laplace.
2.- 2
2
2
2
2
2
2
2
2
t
w
z
w
y
w
x
w
a
∂
∂
=





∂
∂
+
∂
∂
+
∂
∂
, Ecuación Diferencial de la Onda
3.- 2
2
2
x
u
h
t
u
∂
∂
=
∂
∂
, Ecuación Diferencial Térmica Unidimensional
4.- ),(2
2
2
2
yxf
y
u
x
u
=
∂
∂
+
∂
∂
, Ecuación Diferencial Bidimensional de Poisson
5.- 02
2
2
2
2
=
∂
∂
−
∂
∂
x
y
a
t
y
, Ecuación Diferencial de la Onda Unidimensional.

6.-
t
w
z
w
y
w
x
w
a
∂
∂
=





∂
∂
+
∂
∂
+
∂
∂
2
2
2
2
2
2
2
, Ecuación Diferencial del Calor
ORDEN Y GRADO DE UNA ECUACION DIFERENCIAL
- El ORDEN de una Ecuación Diferencial Ordinaria es el mayor orden de la derivada que aparece en la
ecuación.
- El GRADO de una Ecuación Diferencial Ordinaria es el exponente de la derivada de mayor orden.
Ejemplos Explicativos
1.- 05 3
3
=++ x
dt
xd
a
dt
dx
, Orden:
Grado:
2.- y
dx
dy
dx
yd
=





+
5
4
4
, Orden:
Grado:
3.- 1352
2
+=++ tx
dt
dx
dt
xd
, Orden:
Grado:
4.- vu
du
vd
=+





4
2
2
, Orden:
Grado:
5.- 0
5
2
2
=+





+ x
dt
dx
dt
xd
, Orden:
Grado:
Ejemplos para el aula
1.- 52
2
23
−=++





txt
dt
xd
dt
dx
Orden:
Grado:
2. 05
5
2
2
=++
dt
dx
k
dt
xd
a
dt
xd
Orden:
Grado:
3. t
dt
d
t
dt
d
=





+







 43
2
2
6
θθ
Orden:
Grado:
4. )1(
2
xx
dx
dy
−=





Orden:
Grado:
5. C
dx
yd
y =














+
2
3
3
1 Orden:
Grado:
6. x
dx
dy
senx
dx
yd
ex
=





+





52
2
2
Orden:

Grado:
7. x
dx
dy
dx
yd
dx
yd
tan2
3
2
2
3
3
=+








+ Orden:
Grado:
8. )()(
2
xqyxp
dx
dy
=+





Orden:
Grado:
9. 042
4
5
52
7
7
=+





−





x
dx
yd
dx
yd
Orden:
Grado:
10. 02
23
=+





dx
yd
dx
dy
Orden:
Grado:
ECUACIÓN DIFERENCIAL LINEAL
Una Ecuación Diferencial Ordinaria es Lineal si su variable dependiente "" y y sus derivadas sólo
aparecen en combinaciones aditivas de sus primeras potencias
Una Ecuación Diferencial Ordinaria Lineal (EDOL) se representa como
)()()(...)()( 011
1
1 xFyxa
dx
dy
xa
dx
yd
xa
dx
yd
xa
n
n
nn
n
n =++++
−
−
−
donde )(,)(,...,)(,)( 01 xFxaxaxa nn − , son funciones que dependen sólo de la variable
independiente x .
Si una EDO no es lineal, entonces se conoce como ecuación no lineal.
Ejemplos
Clasificar las siguientes ecuaciones diferenciales ordinarias en lineales o no lineales
1. xy
dx
dy
x cos=+
2. 0652
2
=++ y
dx
dy
dx
yd
3. 0
4
2
22
3
3
=+





−





vw
dv
wd
dv
wd
4. x
xe
dx
dy
x
dx
yd
x
dx
yd
=+





+ 3
2
3
3
2
4
4
5. 6=+ sentA
dt
dA
6. 02
2
=++
C
Q
dt
dQ
R
dt
Qd
L
7. 123
2
2
−=+ xxy
dx
yd

8. 0=−kP
dt
dP
9. mkTkT
dt
dT
−=−
10. txx
dt
dx
t
dt
xd
dt
xd
cos5 2
2
3
3
=+−+
SOLUCIÓN DE UNA ECUACIÓN DIFERENCIAL ORDINARIA
Recordemos que nuestro objetivo, ahora, es determinar la solución de una ecuación diferencial, en
particular, de una Ecuación Diferencial Ordinaria EDO.
Consideremos la Ecuación Diferencial Ordinaria en su forma general:
0,...,,,, 2
2
=








n
n
dx
yd
dx
yd
dx
dy
yxF
- Solución Explícita: Se denomina solución explícita de una EDO a toda función )(xuy = de valor
real, definida en un intervalo I, tal que satisfaga idénticamente la EDO
- Solución Implícita: Diremos que una relación 0),( =yxϕ es una solución implícita de la EDO
en el intervalo I, si define una o mas soluciones explícitas en I
1. Demuestre que
x
senx
y = es una solución explícita de xyxy cos' =+
2. Mostrar que Cyx =− 22
4 , donde C es una constante arbitraria proporciona una familia de
soluciones implícitas de la ecuación 04 =− x
dx
dy
y .
3.- Demuestre que xx
ececxf 2
21)( += −
es una solución explícita de 02''' =−− yyy
4.- Demostrar que 0=++ xy
eyx es solución implícita de 01)1( =+++ xyxy
ey
dx
dy
ex
5.- Demuestre que 08),( 32
=+−= xyyxf es una solución implícita de 0
2
3 2
=−
y
x
dx
dy
en
∞= ,2I
Ejemplos para el Aula
1.- Demuestre que xsenxxf cos32)( += es una solución explícita para todo real de:
02
2
=+ y
dx
yd
2.- Pruebe que 2
12 xcy −+= es solución de xxyyx 2')1( 2
=+−
3.- Pruebe que )ln( x
ecy += es una solución explícita de yx
ey −
='

4.- Demuestre que 2
1 xxy −= es una solución explícita de 3
2' xxyy −=
5.- Demuestre que
x
C
y
cos
= es una solución explícita de 0.tan' =− yxy
6.- Demuestre que 12
)( −
−= xxxg es una solución explícita de 0
2
22
2
=−
x
y
dx
yd
7- Probar que 02522
=−+ yx es una solución implícita de 0=+
dx
dy
yx en .55 <<−= xI
8.- Demostrar que ,622
=+ yx es solución implícita de
y
x
='
y
9.- Demostrar que ,13 23
=+ xyx es solución implícita de 10,02xyy 22'
<<==++ xIyx
10. Demostrar que Cyx =− 22
4 , es solución implícita de 04 =− x
dx
dy
y
PROBLEMAS CON VALORES INICIALES
Por un problema con valores iniciales para una ecuación diferencial de orden n :
0,...,,,, 2
2
=








n
n
dx
yd
dx
yd
dx
dy
yxF
Se debe entender: “Hallar una solución de la EDO en un intervalo I, que satisfaga en 0x , las n
condiciones iniciales:”
10
)1(
10
00
)(
)('
)(
−
−
=
=
=
n
n
yxy
yxy
yxy

Donde Ix ∈0 y 1210 ,...,,, −nyyyy son constantes dadas.
1.- Mostrar que xxsenxy cos)( −= es una solución del problema con valores iniciales









=
−=
=+
1)0('
1)0(
0
2
2
y
y
y
dx
yd

2.- Verifique que la función xx
ececx 2
21)( −
+=φ es una solución de 02
2
2
=−+ y
dx
dy
dx
yd
para
cualquier 21 , cc . Determine 21 , cc de modo que se satisfagan las siguientes condiciones iniciales.
1)1(';1)1( == yy
3.- Verifique si la función xxxy cos)( = es una solución del problema con valor inicial
24
)4/(;tancos'
π
π =−= yxyxy
Ejemplos para el Aula
1.- Verifique que la función xCCx ln)( 21 +=φ es una solución del problema con valor inicial
1)2(';1)2(;0''' =−=−=+ yyyxy
2.- Verifique que la función ( ) 12
22)(
−
+++= x
cexxxφ es una solución del problema con valor inicial
( ) 1)0(;/'
2
==+ yyxyy
3.- Verifique que la función 2
)( xCeBeAx xx
+++= −
φ es una solución del problema con valor inicial
2)0('';1)0(';0)0(;2'''' ===−=− yyyxyy
4.- Determine el valor de m para que la función m
xx =)(φ sea una solución de la ecuación dada
05
2
2
2
=−− y
dx
dy
x
dx
yd
x
ececx 2
21)( −
2
2
=−+ y
dx
dy
dx
yd
para
cualquier 21 , cc . Determine 21 , cc de modo que se satisfagan las siguientes condiciones iniciales.
3)0(';2)0( −== yy
HOJA DE PRÁCTICA 1
I.- Clasificar las siguientes ecuaciones diferenciales, proporcionar el orden, grado, además identificar sus
variables independientes y dependientes:
1.-
)31(
)32(
yx
xy
dx
dy
−
−
= 11.- )1(3 2
5
5
xx
dx
yd
−=
2.- 02
2
2
=
∂
∂
−
∂
∂
x
u
a
x
u
12.- 2
2
x
U
x
U
∂
∂
=
∂
∂

3.- tx
dt
dx
dt
xd
dt
xd
cos45 2
2
3
3
=−+ 13.- kN
r
N
rr
N
t
N
+
∂
∂
+
∂
∂
=
∂
∂ 1
2
2
4.- 02
2
=++ xt
dt
dy
dx
yd
x 14.- 05)'(2''3)'''( 43
=−+− yyyxyy
5.- yx
dx
yd
dx
yd 2
4
4
43
2
2
=





−





15.- 2
2
+=





y
dx
dy
6.- tx
dt
dx
dt
xd
3cos2943
2
2
=++ 16.- )1(8
4
4
xx
dx
yd
−=
7.- 0
2
2
2
2
=
∂
∂
+
∂
∂
y
u
x
u
17.- 0)cos( =−+ dxxxydy
8.- 0
2
2
=++
C
Q
dt
dQ
R
dt
Od
L 18.- ;0222
2
=+− y
dt
dx
x
dx
yd
9.- 0
4
2
22
3
3
=+








−








vw
dv
wd
dv
wd
19.- ),1)(4( xx
dt
dy
−−=
10.- ;0)( 22
2
2
2
=−++ px
dx
dy
x
dx
yd
x 20.- ;09)1(1.0 2
2
2
=+−− y
dt
dx
y
dx
yd
II.- Verificar si las siguientes funciones son solucione de las ecuaciones diferenciales que los acompaña:
1.- 013'4''33cos 2
2
2
1 =+−+= yyyxseneCxeCy xx
2.- )1(22''' 22
21
2
xxyyyeCeCxy xx
−+=−+++= −
3.- 0)(ln =+−=+ y
dx
dy
xyC
y
x
y
4.-
2
3'
3
1
yy
Cx
y =
+
−=
5.- 0'2'')cos()(cos =+−−++= xyyxyxxsenxBxsenxxAy
6.- 1cos' +=++= −
xsenyyyCexseny x
7.- 2
xxseny += 22
2
2
+=+ xy
dx
yd
8.-
x
x
y
cos
= , .sectan' xxyy =−
9.- xxx
Ceey += + 2 2
2' xx
xeyy +
=−
10.- ( )122
4
1 22
−++= −
xxCey x
xxyy 22' 2
+=+
11.- xx
Ceey 2−−
+= x
eyy −
=+2'
12.- ( ) 24cos2'2'' 22
21 +−+−=+−+++= tttxxxtsentetccx t
13.- senxy = xsenxxxyy 2cos2' −=−
14.- tx 2cos= tsentx
dt
dx
2=+

15.- ( ) 2
2 x
eCxy +=
2
22' x
xexyy =−
16.- ,13 23
=+ xyx 10,02xyy 22'
<<==++ xIyx
17.- 1=−−
Cxe y y
exy =+1'
18.- Pruebe que
3
)( 2
x
x e
cexf += −
es una solución explícita de x
eyy =+2'
19.- mx
exf =)( , hallar el valor de m para que la función sea solución de ,056y '''
=++ yy
20.- Hallar el valor de m para que la función ,)( m
xxf = sea solución de ,023y ''''''
=++ yy
III Dadas las funciones analizar si )(xf es solución del PVI dado
ececx 2
21)( −
2
2
=−+ y
dx
dy
dx
yd
para
cualquier elección de las constantes 21 , cc . Determine 21 , cc de modo que se satisfagan las
siguientes condiciones iniciales. 2)1(';1)1( =−=− yy
2.- ,24)( 32 xx
eexf −
+= es solución del PVI: ,2)0(y6;y(0)0,6y-yy ''''
===+
IV.- En los siguientes problemas escriba una ecuación diferencial que se ajuste a la descripción.
1. La velocidad en el instante t de una partícula que se mueve a lo largo de una línea recta es proporcional a la
cuarta potencia de su posición x .
2. La población P de una ciudad aumenta a una velocidad proporcional al producto de la población y la
diferencia entre la población y 100 000
3. Se estima que dentro de t meses la población de cierta ciudad cambiará a una razón de 3/254 t+ personas
por mes. Determinar la ecuación diferencial que describe este fenómeno.
4. Un objeto se mueve de manera que su velocidad después de t minutos es 2341)( tttv ++= metros por
minuto Determinar la ecuación diferencial que describe el desplazamiento del objeto.
5. La razón a la que las personas oyen hablar acerca de un nuevo aumento en los alimentos en un país es
proporcional al número de personas que no ha oído hablar al respecto.
6. La razón a la que se propaga una epidemia en una comunidad es conjuntamente proporcional a la cantidad de
residentes que han sido infectados y al número de residentes propenso a la enfermedad que no han sido
infectados. Expresar la ecuación diferencial que modela el fenómeno.
7. El modelo de Mitsherlich, es un modelo útil de producción agrícola, especifica que el tamaño )(tQ de un
cultivo cambia de modo que la razón de cambio es proporcional a )(tQB − , donde B es el tamaño
máximo del cultivo. Escribir esta relación como una ecuación diferencial.
8. La razón de cambio de masa de una partícula en un instante t es proporcional al cociente entre la cantidad
de masa presente y la cantidad de masa inicial.
9. La razón de cambio de una población en el instante t es proporcional al cuadrado de la población en el
instante t

10. Después de aplicar los frenos, la aceleración de un automóvil disminuye una razón constante de 10 2/ sm .
Determinar la ecuación diferencial que describe este fenómeno
11. La razón de cambio de la producción de cierto artículo es proporcional a la diferencia de la producción en ese
instante y la producción inicial.
12. La razón de cambio de la masa A de sal en el instante t es proporcional al cuadrado de la masa de sal
presente en el instante t .
13. . La variación de cantidad de sal x que hay en un recipiente en relación al tiempo es igual a la a la cantidad
de sal que entra en el recipiente menos la cantidad de sal que sale.
14. El ritmo de crecimiento de una población de bacterias es proporcional a su población en ese instante.
METODOS DE SOLUCION DE UNA EDO
I.- METODO DE SEPARACION DE VARIABLES:
Definición.- Una ecuación diferencial ordinaria ( )yxf
dx
dy
,= , se llama Ecuación Diferencial de
Variables Separables, si ),( yxf se puede expresar como el producto de dos funciones )(xM
que solo depende de x y )( yN que solo depende de y .
En otras palabras una EDO de Primer Orden es Separable si se puede escribir de la forma:
)()( yNxM
dx
dy
=
Si la EDO de primer orden y de primer grado ),( yxf
dx
dy
= se puede expresar de la forma:
0)()( =+ dyyNdxxM
Donde M es una función que depende solo de x y N solo de y , entonces la solución
general de la ecuación diferencial se obtienen por integración directa:
CdyyNdxxM =+∫∫ )()(
Donde C es la constante de integración.
Resolver las siguientes ecuaciones diferenciales:
1.
2
3xt
dt
dx
=

2. 2)0(;022
==+ yydydxx
3. 0)1(;
3
1
=−
+
−
= y
x
y
dx
dy
4. 0)2(,1 223
=+=+ yxyx
dx
dy
x
5. ,0)(
2
2
=++ ydyedxxyx x
Ejemplos de Aula
1.- 0)1(;
4
2
=
+
= y
y
xyx
dx
dy
6.- 3)0();1(3
=−= yyx
dx
dy
2.- 0)43()32( =−−+ dyxdxy 7.- xx
dx
dy
=+ 2
3.-
y
x
dx
dy
−
+
=
2
12
8.- 1)0(;
12
243 2
−=
+
++
= y
y
xx
dx
dy
4.- y
x
ey
ex
dx
dy
+
−
=
−
9.- 0)12(
2
=++ −+
dyeysenxdxe yyx
5.- 0)( 2222
=−++ yxx
dx
dy
xyy 10.-
1
2
2
+
+
=
y
xyx
dx
dy
II.- REDUCCION A VARIABLES SEPARABLES
Las ecuaciones diferenciales de la forma:
)( cbyaxf
dx
dy
++=
donde cba y, son constantes no se pueden resolver por variables separables.
Para resolver esta ecuación, hacemos el cambio:
cbyaxz ++= ,
de donde tenemos que:






−= a
dx
dz
bdx
dy 1
Y al remplazar en la ecuación diferencial, ésta se convierte en una EDO de variables separables.
1. yx
dx
dy
+=
2. xy
yx
y
+
++
=
1
'
3. 2
)128(' ++= yxy
4. )1(2
+−= yxsen
dx
dy
5.- )cos(1 yx
dx
dy
+=+

Ejemplos de Aula
1.- ayyx =+ ')( 2
5.- 0)564()132( =−++−+ dyyxdxyx
2.- 0)324()2( =+−+− dyyxdxyx 6.- 5
1
+−
+−
=
xy
xy
dx
dy
3.- 1
'
−−
−
=
xy
xy
y 7.-( ) ( ) 0)0(;03221 ==+++++ ydyyxdxyx
4.- pn
m
yxyx
yx
y
)()(
)(
'1
+++
+
=+ 8.- 2++
+
=
yx
yx
td
dx
III. ECUACIONES HOMOGENEAS
Definición. Una función ),( yxf se llama homogénea de grado n respecto a las variables x
e y , si para todo Rr ∈ , se tiene:
),(),( yxfrryrxf n
=
1. xyyxf 2),( = es homogénea?
2. yyxyxf 53),( 22
−+= es homogénea?
3.- yxyxyxf −++= 3 33
),( es homogénea?
Ejemplos de aula
1.- 3),( 22
22
+
+
−
=
yx
yx
yxf es homogénea?
2.- 





−
+
=
yx
xy
xyxf
5
23
ln),( es homogénea?
3.-
yx
yx
yxf
+
−
=
22
),( es homogénea?
4.- xyyxyxf 258),( 22
−+−= , es homogénea?
5.-
2
tan),( y
y
x
xyyxf −





= es homogénea?
Definición: Una ecuación diferencial ),( yxf
dx
dy
= es homogénea, si al expresarlo de la forma
0),(),( =+ dyyxNdxyxM , ),( yxM y ),( yxN son homogéneas del mismo grado.

Ejemplos
1.-La ecuación diferencial
y
yx
dx
dy 22
−
= es homogénea?
2.
xy
xyyx
dx
dy 352 22
−+
= es homogénea?
3. yyxyx +−= 22
'
4. 0)( 222
=−− dyxydxyxx , es homogénea?
5. yx
yx
dx
dy
+
−
= es homogénea?
Teorema
Si 0),(),( =+ dyyxNdxyxM es una ecuación diferencial homogénea, entonces el cambio de
variable vxy = , transforma a la ecuación diferencial homogénea en una ecuación diferencial
separable con variables v y x .
Demostración:
Como 0),(),( =+ dyyxNdxyxM es homogénea, entonces se puede escribir 





=
x
y
g
dx
dy
, si
hacemos el cambio v
dx
dv
x
dx
dy
vxy +=⇒= , esto en la ecuación diferencial homogénea dada:
)(vg
x
vx
g
dx
dy
=





= , es decir )(vg
dx
dv
xv =+
Luego:
0)( =+− xdvdxvgvdx ⇒ 0))(( =+− xdvdxvgv
Por lo tanto:
0
))((
=
−
+
vgv
dv
x
dx
, es una ecuación diferencial separable.
La solución se determina integrando directamente la E DOS,
C
vgv
dv
x
dx
=
−
+∫∫ )(
, si hacemos ∫ −
=
)(
)(
vgv
dv
vF , xvy = , se tiene que la solución a
la EDOS será:
Cx
x
y
F =+





ln
1.
xy
yx
dx
dy 22
+
=
2.-
tx
xt
dt
dx
2
2
−
+
=
3.- 222
274' yxyxyx ++=
4.- 0)( =−+ xdydxyx

5.- 0)( 233
=+− dyxydxyx
Ejemplos para el aula
1.- 0)23( 22
=−+ xydydxyx 5.-
xy
xyyx
dx
dy
8
22
−+
=
2.- 03)2( 222
=−++ dyxdxyxyx 6.- yx
yx
dx
dy
+
−
=
3.- yx
yx
dx
dy
+
+
=
3
3
7.- 0)(2 332
=−+ dxyxdyxy
4.-
xt
xt
dt
dx
+
−
=
8
5
8.- 0)()( =−





+ dy
x
y
xsendx
x
y
ysenx
HOJA DE PRÁCTICA 4
I.- Resolver las siguientes Ecuaciones Diferenciales:
1) 0)0(),1(' =−= yyy 16) 2++
+
=
yx
yx
dx
dy
2) 0)(;cos12 =+= πyxy
dx
dy
17) 1)( −+= yxsen
dx
dy
3) yxy
dx
dy
x 2
=− 18) x
y
xeyxy
−
+= 2' ,
4) 0')( 222
=−+ vtvtvv 19) 0cos1
=+−
dxsenxyedyy x
5) 011 22
=′+++ yxyyx 20) 0)223()346( =+++++ dyyxdxyx
6) 2)2/(;03cos2 ==+ πysenxdyxdxy 21) y
x
x
y
dx
dy
+=
7) 0.' 2
=− + yx
esenxyy 22) 2
2
yxy
yxxyx
dx
dy
−
+−−
=
8) 0cos)1( 2
=++ ydyxxsenydx 23) 0)25()34( 2222
=++−+−+ dyyxyxdxyxyx
9) 1)0(;0ln ==+ ydxtdtxx 24) 0)2( =−+ dyxyxdx
10)
θ
θθ
θ 2
2
cos3 rr
r
ee
senesen
d
dr
+
+
= 25) 0
4
cos 2
=−−
dy
y
dxexx y
11) 3)0(;tan)1( 2
=+= yxy
dx
dy
26) 0)1(;8 23
== −
yex
dx
dy y
12) 323
665
.
.cos6
ysenxxy
yxyx
dx
dy
+
−
= 27) 22
1' xyyxy +++=
13)
θ
θθ
θ 2
2
cos3 rr
r
ee
senesen
d
dr
+
+
= 28) ( ) ayyx =+ '
2
14)
22
yxy
dx
dy
x ++= 29) 1)0(;')1( ==+ yeyye xx
15) 022
=+ −−
dyedxe xyyx
30) ,)( 22
dyxyxydx −+=

ECUACIONES DIFERENCIALES ORDINARIAS EXACTAS
Definición: La ecuación diferencial 0),(),( =+ dyyxNdxyxM se dice que es exacta en una
región R , si existe una función ),( yxF tal que:
RyxdyyxNdxyxMyxdF ∈∀+= ),(;),(),(),(
Luego la solución general, tiene la forma CyxF =),( ; donde C es una constante.
Teorema:
Si ),( yxM y ),( yxN son continuas en R . Entonces la ecuación diferencial
0),(),( =+ dyyxNdxyxM es exacta en R si y sólo si
Ryx
x
yxN
y
yxM
∈∀
∂
∂
=
∂
∂
),(;
),(),(
Determinar si las siguientes ecuaciones diferenciales son exactas:
1.- 0)22()22( 22
=+++ dyxyxdxyxy
2.- 0)cos2cos()2( =++− dyxyedxysenxsenye xx
3.- ( ) 43 22
+=− xy
dx
dy
yx
4.- ( ) ( ) 0212 22
=++ dyyxdxxy
5.- 0)()( 2
=+++++ dyyxedxyxyeexe xxxx
Ejemplos de Aula
1.- 0)3()cos2( 223
=+++ dysenxyxdxxyxy
2.- ( ) ( ) 0222 222
=++++ dyxyxdxxyx
3.- 0)
1
coscos()
1
( =+−+++ dy
y
xyxdx
x
ysenxseny
4.- ( ) ( ) 02sec2 22
=++− dyyxdxxxy
5.-
rsen
r
d
dr
+
−
=
θ
θθ
θ
cos

Teorema
Si 0),(),( =+ dyyxNdxyxM es exacta, entonces existe una función ),( yxF , tal que:
),(
),(
yxM
x
yxF
=
∂
∂
y ),(
),(
yxN
y
yxF
=
∂
∂
¿COMO RESOLVER UNA ECUACIÓN DIFERENCIAL EXACTA?
ALGORITMO
1º Verificar que la ecuación diferencial ordinaria dada es exacta
2º Como es exacta, verifica: ),( yxM
x
F
=
∂
∂
, luego integramos con respecto a x para obtener
),( yxF .
3º Derivamos la función ),( yxF , obtenida, con respecto a y .
4º Al derivar obtenemos y
F
∂
∂
, y como la ecuación diferencial dada es exacta esto debe ser igual
a ),( yxN , luego igualamos a ),( yxN con este último resultado.
5º Finalmente integramos con respecto a y para obtener la función ),( yxF ; de esta manera la
solución está dada en forma implícita por CyxF =),(
Resolver las siguientes ecuaciones diferenciales exactas:
1.- 0')2()2( 2222
=+++ yyxyyxx
2.- 0)46()63( 3222
=+++ dyyyxdxxyx
3.- 0)cos2cos()2( =++− dyxyedxysenxsenye xx
4.- dy
xy
yx
dx
yx
yx
x 2
22
2
22
)2(
+
=
+
+
5.- 0
2
2
2
=





−+





+ dy
y
xsen
ydxx
y
xsen
6.-
rsen
r
d
dr
+
−
=
θ
θθ
θ
cos
Ejemplos de Aula
1.- 0)3()cos2( 223
=+++ dysenxyxdxxyxy

2.- 0)22()22( 22
=+++ dyxyxdxyxy
3.- 0)
1
coscos()
1
( =+−+++ dy
y
xyxdx
x
ysenxseny
4.- 0)2()1( =++++ θθθ detdtete ttt
5.- 0)
3
4sec()
2
tan3( 2
2
322
3
3
2
=+++− dy
x
y
yyxdx
x
y
yx
Ejemplo:
Resolver la ecuación diferencial: θ
θ
θ cos21
2
r
senr
d
dr
−
=
Solución
En primer lugar debemos verificar si la ecuación es exacta, para esto identificamos las funciones
),( rM θ y ),( rN θ , luego las derivamos
θ
θ
θθ rsen
r
rM
senrrM 2
),(
),( 2
=
∂
∂
⇒=
θ
θ
θ
θθ rsen
rN
rrN 2
),(
1cos2),( −=
∂
∂
⇒−=
Como podemos ver la ecuación no es exacta, motivo por el cual necesitamos de otra técnica para
poder solucionar la ecuación, la cual estudiaremos a continuación
FACTOR DE INTEGRACIÓN
Si la ecuación diferencial 0),(),( =+ dyyxNdxyxM ; no es exacta, es posible a veces elegir
una función ),( yxµ tal que si multiplicamos todos los términos de la ecuación por está
función, ésta se convierte en una ecuación diferencial exacta.
La solución general de la ecuación así obtenida coincide con la solución general de la ecuación
inicial.
A la función ),( yxµ , se le conoce como factor integrante de la ecuación
0),(),( =+ dyyxNdxyxM
Es decir:
0),(),(),(),( =+ dyyxNyxdxyxMyx µµ
Cumple con el criterio de exactitud
( ) ( )),(),(),(),( yxNyx
x
yxMyx
y
µµ
∂
∂
=
∂
∂
Al realizar las derivadas parciales obtenemos las siguientes ecuaciones
),(),(),(),(),(),(),(),( yxN
x
yxyx
x
yxNyxM
y
yxyx
y
yxM
∂
∂
+
∂
∂
=
∂
∂
+
∂
∂
µµµµ
µ
µµ
µ
µ
µ
µ






∂
∂
−
∂
∂
=
∂
∂
−
∂
∂
⇒
∂
∂
+
∂
∂
=
∂
∂
+
∂
∂
x
N
y
M
y
M
x
N
x
N
x
N
y
M
y
M
De donde obtenemos una ecuación en derivadas parciales para hallar la función integrante:
*).........(
lnln
x
N
y
M
y
M
x
N
∂
∂
−
∂
∂
=
∂
∂
−
∂
∂ µµ
MÉTODO PARA HALLAR FACTORES INTEGRANTES

Dada la ecuación )1(..........0),(),( =+ dyyxNdxyxM
a) En forma particular si la función ),( yxµ , es una función que depende sólo de la variable
independiente x , podemos utilizar la ecuación (*) para determinar la función integrante
)(xµ .
Si la siguiente expresión
N
x
N
y
M
f
∂
∂
−
∂
∂
=
esta expresada sólo términos de la variable
independiente x , entonces ∫=
dxf
ex)(µ es un factor integrante para la ecuación (1).
b)En forma particular si la función ),( yxµ , es una función que sólo depende de la variable
dependiente y , podemos utilizar la ecuación (*) para determinar la función integrante )( yµ .
Si la siguiente expresión
M
y
M
x
N
g
∂
∂
−
∂
∂
=
está expresada sólo en términos de la variable
dependiente y , entonces ∫=
dyg
ey)(µ es un factor integrante para la ecuación (1).
c) Si la función tiene la forma ba
yxyx =),(µ ; éste método se emplea generalmente cuando
los términos de M y N de la ecuación diferencial (1) son expresiones algebraicas.
PROCEDIMIENTO: Si la ecuación (1) no es exacta y si se desea encontrar un factor
integrante de la forma
ba
yxyx =),(µ , multiplicamos la ecuación por
ba
yx
0),(),( =+ dyyxNyxdxyxMyx baba
luego aplicando la condición de exactitud
( ) ( )Nyx
x
Myx
y
baba
∂
∂
=
∂
∂
Como ésta igualdad es una identidad se procede a igualar los coeficientes de los términos
semejantes con la finalidad de encontrar los valores de las constantes ba , las cuales hacen
exacta a la ecuación. Una vez hallado el factor integrante, multiplicamos a la ecuación (1), con
dicho factor integrante para finalmente utilizar el método de solución de una ecuación exacta.
OBSERVACIÓN: Hay muchas ecuaciones diferenciales que no quedan cubiertas con estos
casos, aunque para ellas exista un factor integrante. Sin embargo, la principal dificultad consiste
en hallar una fórmula explícita para estos factores integrantes, que en general dependerán de x
e y .
Ejemplo 1:
Resolver la ecuación ( ) ( ) 02 22
=−++ dyxyxdxyx
Solución
En el ejemplo 4.6, se probó que está ecuación no era exacta, debido a que ),(),( yxNyxM ≠
( ) 1
),(
2).( 2
=
∂
∂
⇒+=
y
yxM
yxyxM

( ) 12
),(
).( 2
−=
∂
∂
⇒−= xy
x
yxN
xyxyxN
En este caso debemos encontrar su factor integrante:
a) En primer lugar comprobamos si la expresión
N
x
N
y
M
f
∂
∂
−
∂
∂
=
, depende sólo de x .
En efecto:
( )
( ) xxyx
xy
xyx
xy
N
x
N
y
M
f
2
1
12121
2
−=
−
−
=
−
+−
=
∂
∂
−
∂
∂
=
podemos ver que f está expresado sólo en términos de x . Por lo tanto la ecuación tiene un
factor integrante de la forma )(xµ .
Paso siguiente determinamos el factor integrante: ∫=
dxf
ex)(µ
2lnln2
2
2
2
)( −−
−−
===
∫
=
∫
=
−
xeeeex xxx
dx
xd
xµ
Ahora multiplicamos la ecuación diferencial por el factor integrante 2
)( −
=xxµ , obteniendo la
siguiente ecuación
( ) ( ) 02 2222
=−++ −−
dyxyxxdxyxx
( ) ( ) 02 12
=−++ −−
dyxydxyx
Donde:
( ) ( ) 12
,;2, −−
−=+= xyyxNyxyxM
Debido a que esta nueva ecuación es exacta podemos utilizar el método para resolver ecuaciones
exactas.
a) Calculamos la siguiente integral
)(),(),( ygdxyxMyxF +=
∫
)()2(),( 2
ygdxyxyxF ++=
∫
−
)(2),( 1
ygyxxyxF +−= −
b) Derivamos parcialmente ),( yxF respecto a la variable y , y sustituimos
),(),( yxNyxF
y
=
∂
∂
( ))(2),( 1
ygyxx
y
yxF
y
+−
∂
∂
=
∂
∂ −
)('),( 1
ygxyxN +−= −
)('11
ygxxy +−=− −−
yyg =)('
c) Ahora Integramos )(' yg
2
)()('
2
y
ygdyydyyg =⇒=
∫∫
d) Finalmente la solución de la ecuación diferencial es C
y
yxx =+− −
2
2
2
1
Ejemplo 2:

Resolver la ecuación ( ) 0cos =+++ θθθ ddrsensenrr
Solución
Verificamos si la ecuación es exacta
θ
θ
θ
θθ cos
),(
),( =
∂
∂
⇒++=
rM
sensenrrrM
0
),(
cos),( =
∂
∂
⇒=
r
rN
rN
θ
θθ
Por lo tanto la ecuación no es exacta debido a que ),(),( yxNyxM ≠
En este caso debemos encontrar su factor integrante
N
r
NM
f ∂
∂
−
∂
∂
= θ , depende sólo de r .
En efecto:
1
cos
cos
==∂
∂
−
∂
∂
=
θ
θθ
N
r
NM
f
podemos ver que f está expresado sólo en términos de r . Por lo tanto la ecuación tiene un
factor integrante de la forma )(rµ .
Paso siguiente determinamos el factor integrante: ∫=
drf
er)(µ
rrd
eer =∫=)(µ
Ahora multiplicamos la ecuación diferencial por el factor integrante r
er =)(µ , obteniendo la
siguiente ecuación
( ) 0cos =+++ θθθ dedrsensenrre rr
Donde:
( ) ( ) θθθθ cos,;, rrrr
erNsenesenrererM =++=
exactas. Al analizar las funciones que vamos a integrar, podemos notar que nos será mucho más
fácil integrar la función ),( θrN que la función ),( θrM , por tal motivo empleamos el
siguiente método de solución
)(),(),( rgdrNrF +=
∫ θθθ
)(cos),( rgderF r
+=
∫ θθθ
)(),( rgsenerF r
+= θθ
b) Derivamos parcialmente ),( θrF respecto a la variable r , y sustituimos
),(),( θθ rMrF
r
=
∂
∂
( ))(cos),( rge
r
rF
r
r
+
∂
∂
=
∂
∂
θθ
)('cos),( rgerM r
+= θθ
)('coscos rgeesenrere rrrr
+=++ θθ
senrererg rr
+=)('
c) Ahora Integramos )(' rg
)
2
cos
1()()()('
xsenx
rergdrsenreredrrg rrr −
+−=⇒+=
∫∫
Finalmente la solución de la ecuación diferencial es C
xsenx
resene rr
=
−
+−+ )
2
cos
1(θ

Ejemplo 3:
Resolver la ecuación ( ) 032
=+− dyyyxdxx
Solución
0
),(
).( =
∂
∂
⇒=
y
yxM
xyxM
xy
x
yxN
yyxyxN 2
),(
).( 32
−=
∂
∂
⇒−−=
N
x
N
y
M
f
∂
∂
−
∂
∂
=
En efecto:
2232
22
yx
x
yyx
xy
N
x
N
y
M
f
−−
=
−−
=
∂
∂
−
∂
∂
=
podemos ver que f no se puede expresar sólo en términos de x . Por lo tanto la ecuación no
tiene un factor integrante de la forma )(xµ .
b) En segundo lugar comprobamos si la función
M
y
M
x
N
g
∂
∂
−
∂
∂
=
, depende sólo de y .
En efecto:
y
x
xy
M
y
M
x
N
g 2
2
−=
−
=
∂
∂
−
∂
∂
=
podemos ver que g queda expresado sólo en términos de y . Por lo tanto la ecuación tiene un
factor integrante de la forma )( yµ .
El siguiente paso es determinar el factor integrante: ∫=
dyg
ey)(µ
22
)( yydy
eey =∫=
−
µ
Ahora multiplicamos la ecuación diferencial por el factor integrante
2
)( y
ey =µ , obteniendo la
siguiente ecuación
( ) 03222
=+− dyyyxedxxe yy
Donde:
( ) ( ) ( )3222
,;, yyxeyxNxeyxM yy
+==
exactas.
∫
)(),(
2
ygdxxeyxF y
+=
∫
)(
2
),(
22
yg
x
eyxF y
+=

),(),( yxNyxF
y
=
∂
∂








+
∂
∂
=
∂
∂
)(
2
),(
22
yg
x
e
y
yxF
y
y
)('),(
2
2
ygeyxyxN y
+=
)('232 222
ygyxeeyyxe yyy
+=+
2
3
)(' y
eyyg =
2
)1(
)()('
2
3
2
2 −
=⇒=
∫∫
ye
ygdyeydyyg
y
y
yx
e y
=







 −+
2
1222
Ejemplo 4:
Resolver la ecuación diferencial: 0)cos( 2
=−+ θθθθ dtsendtsen
Solución
θ
θ
θ
θθ cos
),(
),( =
∂
∂
⇒=
tM
sentM
θ
τ
θ
θθθ cos
),(
cos),( 2
−=
∂
∂
⇒−=
tN
tsentN
N
t
NM
f ∂
∂
−
∂
∂
= θ , depende sólo de t .
En efecto:
θθ
θθ
cos
cos2
2
tsenN
t
NM
f
−
=∂
∂
−
∂
∂
=
podemos ver que f no se puede expresar sólo en términos de t . Por lo tanto la ecuación no
tiene un factor integrante de la forma )(tµ .
b) En segundo lugar comprobamos si la función
M
M
t
N
g θ∂
∂
−
∂
∂
=
, depende sólo de θ.
En efecto:
θ
θ
θθ cot2
cos2
−=
−
=∂
∂
−
∂
∂
=
senM
M
t
N
g
podemos ver que g queda expresado sólo en términos de θ. Por lo tanto la ecuación tiene un
factor integrante de la forma )(θµ .
El siguiente paso es determinar el factor integrante: ∫=
θ
θµ
dg
e)(
θθµ θθθ 2)ln(2cot2
)( −−−
==∫= senee send

Ahora multiplicamos la ecuación diferencial por el factor integrante
θ
θµ
2
1
)(
sen
= , obteniendo
la siguiente ecuación
0)cos(
11 2
2
=−+ θθθ
θθ
dtsen
sen
dt
sen
Donde:
( ) ( ) θθθθθ csccot1,;csc, ttNtM −==
exactas.
)(),(),( θθθ gdttMtF +=
∫
)(csc),( θθθ gdttF +=
∫
)(csc),( θθ gtyxF +=
b) Derivamos parcialmente ),( θtF respecto a la variable θ, y sustituimos
),(),( θθ
θ
tNtF =
∂
∂
( ))(csc),( θθ
θ
θ
θ
gttF +
∂
∂
=
∂
∂
)('cotcsc),( θθθθ gttN +−=
)('cotcsccotcsc1 θθθθθ gtt +−=−
1)(' =θg
c) Ahora Integramos )(' θg
θθθθθ =⇒=
∫∫ )()(' gddg
Finalmente la solución de la ecuación diferencial es Ct =+θθcsc
Ejemplo 5:
Resolver la ecuación diferencial ( ) ( ) 032 3342
=+++ dyxyxdxyyx .
Solución
( ) 3242
8
),(
2).( yx
y
yxM
yyxyxM +=
∂
∂
⇒+=
( ) 3233
33
),(
3).( yx
x
yxN
xyxyxN +=
∂
∂
⇒+=
a) En Primer lugar comprobamos si la expresión
N
x
N
y
M
f
∂
∂
−
∂
∂
=
En efecto:
( )32
32
33
3232
3
52
3
338
yxx
yx
xyx
yxyx
N
x
N
y
M
f
+
+−
=
+
−−+
=
∂
∂
−
∂
∂
=
podemos ver que f no se puede expresar sólo en términos de x . Por lo tanto la ecuación no
tiene un factor integrante de la forma )(xµ .

b) En segundo lugar comprobamos si la expresión
M
y
M
x
N
g
∂
∂
−
∂
∂
=
, depende sólo de y .
En efecto:
( )32
32
42
3232
2
52
2
833
yxy
yx
yyx
yxyx
M
y
M
x
N
g
+
−
=
+
−−+
=
∂
∂
−
∂
∂
=
podemos ver que g no se puede expresar sólo en términos de y . Por lo tanto la ecuación no
tiene un factor integrante de la forma )( yµ .
c) Finalmente examinaremos si ésta ecuación admite un factor integrante de la forma
ba
yxyx =),(µ , entonces multiplicamos todos los términos de la ecuación por el factor
ba
yx
( ) ( ) 032 3342
=+++ dyxyxyxdxyyxyx baba
( ) ( ) 032 313412
=+++ ++++++
dyyxyxdxyxyx babababa
Por la condición de exactitud se debe cumplir
x
yxN
y
yxM
∂
∂
=
∂
∂ ),(),(
313412
3),(;2),( ++++++
+=+= babababa
yxyxyxNyxyxyxM
( ) ( ) 32
421
),( ++
+++=
∂
∂ baba
yxbyxb
y
yxM
( ) ( ) 32
133
),( ++
+++=
∂
∂ baba
yxayxa
x
yxN
Luego
( ) ( ) ( ) ( ) 3232
133421 ++++
+++=+++ babababa
yxayxayxbyxb
Igualando los coeficientes de los términos semejantes tenemos el siguiente sistema de ecuaciones
119
3382
31
=∧=⇒



+=+
+=+
ba
ab
ab
Por consiguiente, la ecuación admite un factor integrante de la forma 119
),( yxyx =µ .
Ahora multiplicamos la ecuación diferencial por el factor integrante 119
),( yxyx =µ ,
obteniendo la siguiente ecuación
( ) ( ) 032 141011121591211
=+++ dyyxyxdxyxyx
Donde:
141011121591211
3),(;2),( yxyxyxNyxyxyxM +=+=
exactas.
∫
)()2(),( 1591211
ygdxyxyxyxF ++=
∫

)(
512
),( 15
10
12
12
ygy
x
y
x
yxF ++=
),(),( yxNyxF
y
=
∂
∂








++
∂
∂
=
∂
∂
)(
512
),( 15
10
12
12
ygy
x
y
x
y
yxF
y
)('3),( 14101112
ygyxyxyxN ++=
)('33 1410111214101112
ygyxyxyxyx ++=+
0)(' =yg
Cygdydyyg =⇒=
∫∫ )(0)('
yxyx
=+
512
15101212
HOJA DE PRÁCTICA 5
I. Resolver las siguientes ecuaciones exactas
1. 1)0(;
2
12
2
2
=
+
−= y
yx
xy
dx
dy
2. ( ) ( ) 02sec2 22
=++− dyyxdxxxy
3. ( ) ( ) 021 =++++ dPtedtPtePe ttt
4. ( ) ( ) 1)0(;022 ==−++ ydyyxdxyx
5. ( ) 054cos2
=++ dtysentdtty
6. ( ) 022'2 2222
=+++ xx
eyxyyyex
7.
( )
xye
eyy
dx
dy
x
x
2−
−
=
8. 0)(;
cos
=
+
−
= pir
rsen
r
d
dr
θ
θθ
θ
9. ( ) 43 22
+=− xy
dx
dy
yx
10. ( ) ( ) 01 =++− dxedttxe xt

II. Resolver las siguientes ecuaciones diferenciales.
1. 32
yyx
x
dx
dy
+
=
2.
y
xsenxxy
dx
dy
2
coscot3 2
+
=
3. ( ) 02331
=−−
dyxdxyyx
4. ( ) 033 32
=+++ xdydxyxyx
5. ( ) ( ) 03222 322
=++++ dyyyyxdxxyx
6. ( ) 02cos
2
2
=








−+− dy
y
xsenx
y
x
dxxxsenx
7. ( ) ( ) 022522 32
=++++ dvuuduvvu
8. ( ) ( ) 075233
=+−+ xdyydxxdyydxyx
9. ( ) ( ) 02322 223
=+++ dyxyxydxyy
10. ( ) ( ) 012 1
=−++ −
dyxydxyxx
11. ( ) 02 22
=−+ dyxdxxyy
12. 05 5362
=− dyyxdxyx
13. ( ) 0223 2
=++ xydydxyx
14. ( ) ( ) 0cos 22
=++− dyyxdxyxy
15. ( ) ( ) 022 =−++ dyyxdxyx
16. ( ) 0223
=−+ ydxdyysenxx
17. ( ) ( ) 04362 22
=−+− dyxxydxxyy
18. ( ) 02 2
=+− xdydxyxy
19. 2/)0(;
cos 2
π=
−
= Q
QsenQt
senQ
dt
dQ
20. ( ) drdrsen θθθθ coscos2 2
+−
21. ( ) 042
=++ xdydxysenxx

22. 0)0(;
12
=
+
+
= I
t
tIt
dt
dI
23. ( ) ( ) 032 23
=+++ dyyedxyey xx
24. ( ) ( ) 0/11 =+++ dvuvuduuv
25. ( ) ( ) 012 =+++ dyxyxdxxyy
26. ( ) 0'1 232
=++ yyxyx
27. ( ) 02 2
=−+ −
dyexyydx y
28. ( ) ( ) 03 22
=−++ dyxyxdxyx
29. ( ) ( ) 032 22
=−+ dyxydxxy
30. ( ) 0csc2cot =++ dyyyyedxe xx
31. ( ) ( ) 0/3//63 2
=+++ dyxyyxdxyx
32. ( ) ( ) 02422 22
=++++ dyxxydxxyy
33. ( ) ( ) 033 4334
=−++− dyxxydxyxy
34. ( ) 04
=−+− xdydxyxx
35. ( ) 02 22
=−+ dyxdxxyy
36. ( ) ( ) 0ln11 22
=−++ dyxyxdxyy
37. ( ) ( ) 036512 21
=+++ −
dyxxydxxy
ECUACIONES DIFERENCIALES ORDINARIAS LINEALES DE
PRIMER ORDEN
Un tipo de ecuación diferencial de primer orden que aparece con frecuencia en las
aplicaciones es la ecuación lineal..
Definición: La ecuación diferencial de la forma:
)()( xQyxP
dx
dy
=+ ,………………… (1)

donde )(xP y )(xQ son funciones continuas de x , se llama “ECUACION
DIFERENCIAL LINEAL DE PRIMER ORDEN”
Observaciones:
1º Si 0)( =xQ , la ecuación (1) recibe el nombre de Ecuación Diferencial Lineal
Homogénea, y su solución está dada por:
∫=
− dxxP
eCxy
)(
)(
2º Si 0)( ≠xQ , la ecuación (1) recibe el nombre de Ecuación Diferencial Lineal no
Homogénea, y su solución está dada por:



 +∫∫= ∫
−
CdxxQeeCxy
dxxPdxxP
)(.)(
)()(
Determinar la solución de las siguientes ecuaciones diferenciales lineales de primer orden:
1.- senxy
dx
dy
=+ 2.- 2
2
3
x
xy
dx
dy +
=
3.- xxyy 22' 2
+=+ 4.-
2
22' x
xexyy =−
5.- 0])1(2[)1( 4
=++−+ dxxydyx
Ejemplos de Aula
1.- x
eyy 7
2' =− 2.- 2
13
x
y
xdx
dy
=





+
3.- senx
exyy −
=+ cos' 4.-
t
te
t
Q
dt
dQ
=−´ 5.-
x
y
xsenx
dx
dy
=+
ECUACIÓN DE BERNOULLI
La ecuación diferencial de Bernoulli, es de la forma
n
yxQyxP
dx
dy
)()( =+ , 0≠n …………………….(2)
Para desarrollar esta ecuación la transformamos en una ecuación diferencial lineal de
primer orden, siguiendo los siguientes pasos:
1º Multiplicar la ecuación diferencial ordinaria (2) por
n
y−
:

)()( 1
xQyxP
dx
dy
y nn
=+ −−
2º Multiplicamos por )1( n−
)()1()()1()1( 1
xQnyxPn
dx
dy
yn nn
−=−+− −−
3º Hacemos el cambio:
dx
dy
yn
dx
dz
yz nn −−
−=⇒= )1(,1
4º Remplazamos el cambio de variable en la ecuación diferencial ordinaria
La nueva ecuación diferencial, será una ecuación diferencial lineal de primer orden.
1.- 2
3
23
y
x
y
dx
dy
x =−
2.- 02)2( 3
=+− xdydxyxy
3.- 222
')1( yxxyyx +=+
Ejemplos de Aula
1.-
22
3
1
yxydx
x
dy =+
2.- 0
1
' 2
=+
+
+ y
x
y
y
3.- )21(2' 2232
xyyxyx +=+
4.-
23
)1(
2
1
1
' yx
x
y
y +
−
=
+
+
5.- yxy
xdx
dy
)2(5
2
1
−=
−
+
HOJA DE PRÁCTICA 6
1.- 0)2()12( 22
=++ dyyxdxxy
2.-
xye
eyy
dx
dy
x
x
2
)(
−
−
=

3.- 0)ln1(2
1
22
2
=−+++







−+
+
dyxxxdx
x
y
xy
x
xy
4.- 0
32
4
22
3
=
−
+ dy
y
xy
dx
y
x
5.- 0)3()3( 2332
=+++ dyxyxdxyyx
6.- 0)2()1( 222
=+++++ dyxyyyxdxxyy
7.- 0)2(ln)6( =−++ dyxdxx
x
y
8.- 1)0(;
2
12
2
2
=
+
−= y
yx
xy
dx
dy
9.- ( ) ( ) 02sec2 22
=++− dyyxdxxxy
10.- ( ) 0)sec(tan2 22
=−+− dyyxxdxyxy
11.- 0
111
22222
=








−+
+
+








++
+
dy
y
x
yyx
y
dx
yxyx
x
12.- 0
11 22
=





+
+
+





+
+
dyxarctg
y
x
dxyarctg
x
y
13.- 0)cos()cos( =+++ dyxyxxdxxyyy
14.- 0)()( 2
=+++++ dyyxedxyxyeexe xxxx
15.- 0)2( =++ dPtedtet PP
16.- ( ) 022'2 2222
=+++ xx
eyxyyyex
17.- ( ) ( ) 1)0(;022 ==−++ ydyyxdxyx
18.- ( ) ( ) 03223
=+++ dhhhtdttht
19.- ( ) 1)0(;022'2 2222
==+++ xextxxxet tt
20.- 0)
cos
(
cos
cos
22
2
=++
+
dyseny
xy
x
dx
xy
xysenxy
II.- Resolver las siguientes Ecuaciones Diferenciales:
1. 0' =−+ x
eyxy 15.- xyxx
dx
dy
x 412)1( 22
−−+=+
2. 2
cos2
x
x
y
xdx
dy
=+ 16. θθθ
θ
θ senr
d
dr
sen =+ cos
3.
x
ey
x
x
dx
dy 212 −
=




 +
+ 17. 1)2(;
11
4
22
=
+
=





+
+ y
x
x
y
x
x
dx
dy
4. [ ] 0)1(2)1( 4
=++−+ dxxydyx 18.
44
2
3
3 yxy
xdx
dy
=+
5. 1)1(')12( 2
−=+−−+ xyxyxx 19.
2
2' xx
xeyy +
=−
6. senxxyxy 2
' += 20. xxyy sectan' =−
7. xyyxx ln3'.ln =− 21.
23
)1(
2
1
1
yx
x
y
dx
dy
+−=
+
+
8. 2
3'2 xyxy =− 22. 02)2( 3
=+− xdydxyxy

9. xsenxxyy coscos' =+ 23. '6)( 23
yxyyx ++
10. xsenxxxyy 2cos2' −=− 24. 0)1(8
1
3
3
2
=+−
+
+ x
x
y
dx
dy
y
11. QQt
dt
dQ
t −=+ )1( 2
25.-
3
22 xyy
dx
dy
x =+
12. θθ
θ
sectan =+ r
d
dr
13. xxxy
dx
dy
x 423 32
+=++
14. 10
52
10
=
+
+
t
x
dt
dx
ECUACIONES DIFERENCIALES ORDINARIAS DE ORDEN
SUPERIOR HOMOGENEAS CON COEFICIENTES
CONSTANTES
Las ecuaciones diferenciales lineales homogéneas de orden n con coeficientes
constantes son de la forma:
0... 011
1
1 =++++ −
−
− ya
dx
dy
a
dx
yd
a
dx
yd
a n
n
nn
n
n
donde 01 ,....,, aaa nn − son constantes
Busquemos la solución de la ecuación en forma de exponencial:
kxnnkxkxkx
ekyekykeyey =⇒=⇒=⇒= )(2
...'',',
Remplazando en el EDO, tenemos:
0... 01
1
1 =++++ −
−
kxkxkxn
n
kxn
n eakeaekaeka
( ) 0... 01
1
1 =++++ −
− akakakae n
n
n
n
kx

0... 0
1
1
1
1 =++++⇔ −
− akakaka n
n
n
n …… Polinomio Característico
El problema ahora es hallar las n raíces del polinomio característico 0)( =kP , de
donde se pueden considerar los siguientes casos:
CASO 1
Si las raíces nkkk ,...,, 21 son reales y diferentes, el sistema fundamental de
soluciones esta dado por:
{ }xkxkxk n
eeeSFS ,...,,... 21
=
Luego, la solución general está dada por:
xkxkxk n
ecececxy 221 ..)( 21
+++= ;
donde ncccc ,...,,, 321 son constantes arbitrarias.
CASO 2
Si las raíces kkkk m ==== ...21 son reales e iguales y las )( mn − raices
restantes son reales y diferentes, el sistema fundamental de soluciones esta dado por:
{ }xkxkkxmkxkx nm
eeexxeeSFS ,...,,,...,,... )1(1 +−
=
xk
n
xk
m
kxm
m
kxkx nm
ececexcxececxy ++++++= +
+
−
......)( )1(
1
1
21
;
CASO 3
Cuando una de las raíces de 0)( =kP son complejas, es decir:
biakbiak −=+= 21 ,
y nkkk ...,, 43 son reales y diferentes, tenemos:
{ }xkxkxkaxax n
eeesenbxebxeSFS ,...,,,,cos... 43
=

xk
n
xkxkaxax n
ecececsenbxecbxecxy +++++= ...cos)( 43
4321 ;
1.- 02
2
=− y
dx
yd
2.- 04'4'' =+− yyy
3.- 02'''2''' =+−− yyyy 4.- 0'' =+yy
5.- 0'3''3''' =+++ yyyy 6.- 0'''''' =−+− yyyy
Ejemplos de Aula
1.- 0232
2
=+− y
dx
dy
dx
yd
2.- 0222
2
=++ y
dx
dy
dx
yd
3.- 0''' =++ yyy 4.- 05'4'' =++ yyy
5.- 0)(
=− yy iv
6.- 09'9'' =+− yyy
7.- 0''' =−yy 8.- 022 2
2
3
3
=+−− y
dx
dy
dx
yd
dx
yd
9.- 032 2
2
3
3
=−−
dx
dy
dx
yd
dx
yd
10.- 0'3'''4 =+− yyy
HOJADE PRÁCTICA 7
1. 0232
2
=+− y
dx
dy
dx
yd
21.- 0'''3'''2 =+− yyy
2. 0'3''2 =+− yyy 22.- 06'7''' =−− yyy
3. 1)2/('0)0(05'2'' ===++ πyyyyy 23.-
02'''4'''22 =−+−+− yyyyyy ivv
4. 02''' =−+ yyy 24.- 02 =++ ivvvi
yyy
5. 3)0('5)0(0'2'' −===++ yyyyy 25.-
3)0('0)0(02'2'' ===−− yyyyy
6. 09'6'' =+− yyy 26.- 08'8''4''' =+++ yyyy
7. 09'' =+ yy 27.-
1)1('1)1(04'4'' ===+− yyyyy
8. 1)0('2)0(0''' ===+ yyyy 28.- 010'6'' =+− yyy

9. 09'8'' =−+ yyy 29.-
05'12''10'''4 =++++ yyyyyiv
10. 04'' =+ yy 30.-
07'16''12'''4 =++++ yyyyyiv
11. 4)0('3)0(04'6''9 ===++ yyyyy
12. 0)0('1)0(02'3''4 =−==+− yyyyy
13. 0'13''4''' =++ yyy
14. 0'3''3''' =−+− yyyy
15. 0'4''6'''4)(
=+−+− yyyyy iv
16. 0'6'''''6 =−+− yyyy
17. 05'2''4'''2 =−−++ yyyyyiv
18. 026'10'' =+− yyy
19. 3/1)0('1)0(03'4'' ===+− yyyyy
TRANSFORMADA DE LAPLACE
DEFINICIÓN: Sea )(tf una función en ),0[ ∞ . La Transformada de Laplace
de f es la función F definida mediante la integral:
∫
∞
−
=
0
)(:)( dttfesF st
El dominio de )(sF está formado por todos los valores de s para los que la integral
existe.
Denotaremos a la transformada de Laplace de f como: }{; fLF
Como tratamos con una integral impropia, tenemos que:
∫∫
−
∞→
=
∞ − b
dttfste
b
Limdttfste
0
)(:
0
)(
Ejemplo Explicativos
Hallar la Transformada de Laplace de las siguientes funciones:

1 0;01)( ≥= ttf
2.- ttf =)(
3.- ttf 5)( =
4.- 2)( ttf =
5.-
2
5
4
)( ttf =
6.- at
etf =)(
7.- btsentf =)(
Observación:
Puesto que la Trasformada de Laplace es una integral, cumplirá con las propiedades
básicas de la integral:
)}({)}({)}()({ tgbLtfaLtbgtafL +=+
PRINCIPALES TRANSFORMADAS DE LAPLACE
)(tf )}({)( sfLsF =
1
0,
1
>s
s
ate as
as
>
−
,
1
,...2,1, =nnt
0,
1
!
>
+
s
ns
n
btsen
0,
22
>
+
s
bs
b
btcos
0,
22
>
+
s
bs
s
)(atsenh
22
as
a
−
)cosh(at
22
as
s
−
ntate
as
nas
n
>
+−
,
1)(
!
Hallar la Transformada de Laplace de las siguientes funciones:

1.- }3{ 62
tetL t
−+
2.- }5cosh2{ ttsenL +
3.- }264511{ tsenteL −+
4.- }4cos{ teL t
+
5.- }4cos4{cosh ttL −
Ejemplos de Aula
Hallar la Transformada de LAplace de las siguientes funciones:
1.- })13{( 2
+tL
2.- }168{ 32
++ ttL
3.- }{ 2
tsenL
4.- }2{ 599
ttsenhL +
5.- }22cos2{ 2t
etsenL ++
PROPIEDADES DE LA TRANSFORMADA DE LAPLACE
1. TRASLACIÓN: Si la transformada de Laplace )()}({ sFsfL = existe para
α>s , entonces )())}(({ asFstfateL −= para as +> α
2. DERIVADA DE LA TRANSFORMADA DE LAPLACE: Sea
)}({)( sfLsF = y suponga que )(tf es continua por partes en ),0[ ∞ , y de
orden exponencial α . Entonces para α>s se cumple:
( ) )(1)}()({
)(
s
ds
Fd
stftL n
n
nn
−=
Ejemplos Explicativos:
Hallar la transformada de Laplace de:
1.- )5()( 2
tsenttf = 2.- t
ettf 5
)2()( +=
3.- tsenttf =)( 4.- )8()( 3
ttsenetf t
+= −
5.- tttf 2
cos)( =
Ejemplos para el aula:
Hallar la transformada de Laplace de:

1.- tttf 5cos)13()( −= 2.- 107
)( tetf t
=
3.- tetf t
9cosh)( 6
= 4.- tsenhttf =)(
5.- tetf t
4cos)( =
HOJADE PRÁCTICA 8
I.- Hallar las siguientes Transformadas de Laplace :
15. tsenetf t−
=)( 19.- ttsen 3cos3
16. t
tetf 3
)( = 20.- 2)1( te−+
17. 22
)1()( t
etf +=
18. tttf cos)( =
19. )3cos()( 2
tetf t
=
20. )2()( tsenetf t−
=
21. tsenetttf t
323)( 2 −
−−=
22. tsenttttf 2)( 24
+−−=
23. tt
ettetf 222
3cos)( −−
−=
24. tsenhetsenhtf t
+=)(
25. tsenttf 354)( 2
−=
26. 3
)1()( −= ttf
27. atsentf 2
1)( −=
28. tsenttf 25cos)( +=
29. teettf tt
7cos)( 54
−=
30. ttettf t
4cos2)( 2
++= −
31. 232
2)( tetsenetf tt
+= −
32. tsenhetf t
3)( 5
=

TRANSFORMADA DE LAPLACE INVERSA
Habiendo estudiado, ya, el caso de hallar la transformada de Laplace de la función
)(tf es decir hallar )(sF . Ahora consideraremos el problema inverso, es decir, el de
hallar la función )(tf conociendo su transformada de Laplace )(sF . Es decir
buscamos una Transformada Inversa para la transformada de Laplace.
Ejemplos:
1. Si
s
sF
12
)( = , hallar )(tf
2. Si
16
3
)( 2
+
=
s
sF , hallar )(tf
3. Hallar )(tf , si 4
6
)(
s
sF =
4. Hallar )(tf , si
1
5
)( 2
−
=
s
sF
5. Hallar )(tf , si
1
1
)( 2
+
+
=
s
s
sF
PROPIEDADES DE LA TRANSFORMADA INVERSA DE LAPLACE
1.- Sean )(;)( sGsF las transformadas de Laplace de las funciones )(;)( tgtf y
IR∈βα , entonces: )}({)}({)}()({ 111 sGLsFLsGsFL −−− +=+ βαβα
2.- TRASLACIÓN:
A) Si )()}({)()}({ 11 tfeasFLtfsFL at=−⇒= −−
B) Si



<
>−
=⇒= −−−
at
atatf
sFeLtfsFL as
,0
,)(
)}({)()}({ 11
C) Si )(
1
)}({)()}({ 11
k
t
f
k
ksFLtfsFL =⇒= −−
Ejemplos

1.-
54
2
)( 2
+−
−
=
ss
s
sF , hallar )(tf
2.-
54
1
)( 2
++
=
ss
sF , hallar )(tf
3.-
106
103
)( 2
++
−
=
ss
s
sF , hallar )(tf
4.- 4
)33(
24
)(
+
=
s
sF , hallar )(tf
5.- 3
)5(
3
)(
+
=
s
sF , hallar )(tf
MÉTODO DE LAS FRACCIONES PARCIALES PARA HALLAR LA
TRANSFORMADA INVERSA DE LAPLACE
La función racional
)(
)(
sQ
sP
, donde )(sP y )(sQ son polinomios donde el grado del
polinomio )(sP es menor que el grado del polinomio )(sQ , tiene un desarrollo en
fracciones parciales cuya forma se basa en los factores lineales y cuadráticos de )(sQ .
Podemos considerar tres casos.
1. FACTORES LINEALES NO REPETIDOS
Si )(sQ se puede factorizar como un producto de factores lineales distintos, es decir
)).......()()(()( 321 nrsrsrsrssQ −−−−=
Entonces el desarrollo en fracciones parciales tiene la forma
n
n
rs
A
rs
A
rs
A
rs
A
sQ
sP
−
++
−
+
−
+
−
= ....
)(
)(
3
3
2
2
1
1
2. FACTORES LINEALES REPETIDOS
Sea rs − un factor lineal de )(sQ y supongamos que éste factor se repite m veces, es
decir tenemos m
rs )( − . Entonces la parte del desarrollo en fracciones parciales que
corresponde al término rs − , es el siguiente
m
m
rs
A
rs
A
rs
A
rs
A
)(
....
)()( 3
3
2
21
−
++
−
+
−
+
−

3. FACTORES CUADRÁTICOS
Sea 22
)( βα +−s un factor cuadrático de )(sQ que no se puede reducir a factores
lineales con coeficientes reales. Supongamos que éste factor se repite m veces, es decir
tenemos [ ]m
s 22
)( βα +− . Entonces la parte del desarrollo en fracciones parciales que
corresponde al término 22
)( βα +−s , es el siguiente
[ ] [ ] [ ]m
mm
s
BsA
s
BsA
s
BsA
s
BsA
22322
33
222
22
22
11
)(
....
)()()( βαβαβαβα +−
+
++
+−
+
+
+−
+
+
+−
+
Pero es más conveniente expresar 11 BsA + en la forma 11 )( BsA βα +− así tendremos
[ ] [ ] [ ]m
mm
s
BsA
s
BsA
s
BsA
s
BsA
22322
33
222
22
22
11
)(
)(
....
)(
)(
)(
)(
)(
)(
βα
βα
βα
βα
βα
βα
βα
βα
+−
+−
++
+−
+−
+
+−
+−
+
+−
+−
EJEMPLO
1.- Determinar






−+
−−
)1)(2(
251
sss
s
L
2.- Determinar






++−
+−
)3)(1)(2(
37191
sss
s
L
3.- Determinar






+−
−−
1042
153
2
1
ss
s
L
4. Determinar






++
+++−
)2)(1(
2
22
23
1
ss
sss
L
5.- Determinar






++
+−
134
162
2
1
ss
s
L
6.- Determinar






++++
+−−
1632248
13
234
2
1
ssss
ss
L
7.- Determinar






++
++−+−
)1)((
128
32
234
1
sss
ssss
L
8.- Determinar






++
+++−
23
2
24
23
1
ss
sss
L
9.- Determinar






−+
+−−
10
43
3
2
1
ss
ss
L

10.- Determinar






++
+−
33
2
2
1
ss
s
L
HOJA DE PRÁCTICA 9
Hallar la transformada inversa de:
1.-
10
3
2
+s
16.-
23116
17
23
−−+
−
sss
s
2.-
52
1
−s
17.-
)3)(1(
3
−+
+
ss
s
3.-
9
4
2 +s
18.-
6116
17
23
+++
−
sss
s
4.-
102
1
2 ++
+
ss
s
19.-
8
123
2 +
−
s
s
5.-
652
13
23
2
+−−
+−
sss
ss
20.- 4)1(
6
−s
6.-
16
244
4
83
22 −
−
+
+
−
s
s
s
s
21.-
102
23
2 ++
+
ss
s
7.-
84
1
2 ++ ss
22.-
ss
s
−
−
3
62
8.-
133
17
23
+++
−
sss
s
23.- 22
3
)2(
1
+
−+
s
ss
9.-
9
32
2 +
+
s
s
24.- 2
2
)1)(3(
29
−+
++
ss
ss
10.-
)2()1(
2
3
2
−+
+
ss
s
25.- 22
23
)4(
42
+
++
s
ss
11.- 5
1
s
26.-
54
13
2
++
−
ss
s
12.- 22
3
)1)(1(
42
++
−
ss
s
27.-
9686
23
234
−−++
+
ssss
s
13.-
1
5
+s
28.-
6116
17
23
+++
−
sss
s
14.-
1
23
2
−
+
s
s
29.-
62
1
2
++
−
ss
s
15.-
84
1
2
++ ss
30.-
12
52
2
++
+
ss
s

SOLUCION DE UNA EDO APLICANDO
TRANSFORMADA DE LAPLACE
Transformada de Transformada
Laplace Inversa de Laplace
TRANSFORMADA DE LAPLACE DE LA DERIVADA ( { } )()( sFtfL = )
i) { } { } )0()()0()()(' ysFsftfLstfL −=−=
ii) { } { } )0(')0(.)()0(')0()()('' 22
yyssFsfsftfLstfL −−=−−=
iii)
{ } { } )0('')0(')0(.)()0('')0(')0()()(''' 2323
yysyssFsfsffstfLstfL −−−=−−−=
Generalizando:
{ } { }
)0()0(...)0(')0(.)(
)0()0(...)0(')0()()(
)1()2(21
)1()2(21)(
−−−−
−−−−
−−−−−=
−−−−−=
nnnnn
nnnnnn
yysysyssFs
ffsfsfstfLstfL
Ejemplos:
1) 4)0(y;2y(0);052 =′==+′−′′ yyy
2) 2''4 =+yy ,
2
1
)0(',0)0( == yy
3) ;7)0(y;2y(0);454 3
=′==+′−′′ t
eyyy
4) ;9)0(y;1-y(0);2165 =′==−′+′′ t
eyyy
5) 0)0(y;0y(0); =′==+′′ tyy
6) 0)0(y;1y(0);2cos82 =′=−−=−′−′′ senttyyy
7) 12)0(',2)0(;85'2'' ==−=+− −
yyeyyy t
HOJA DE PRÁCTICA 10
EDO SOLUCION
PROBLEMA
ALGEBRAICO
SOLUCION
ALGEBRAICA
SOLUCION

Con ayuda de la Transformada de Laplace, resolver los siguientes problemas de valor
inicial:
1.- tyy 24'' =+ , 7)0(',0)0( == yy
2.- 5)0(y;0y(0);844 2
=′=−=−′′ − t
etyy
3.- 3)0(;1)0(y;0y(0);03 =′′=′==−′+′′+′′′ yyyyy
4.- ;7)0(y;1y(0);1256 =′−==+′+′′ t
eyyy
5.- 4)0(y;5y(0);7cos9107 −=′=+=+′−′′ senttyyy
6.- t
eyy 2
3' =− , 1)0( =y
7.- 1)0(y;1y(0).;22
−=′=+=+′′ tyy
8.- 3)0(y;0y(0);10444 2
=′=+−=+′′ ttyy
9.- teyyy t
cos24'4'' 2
+=+−
25
4
)0(',
25
3
)0(
−
== yy
10. 5)0(y;2-y(0);02 =′==−′−′′ yyy
11. 0)0(y;3y(0);2 =′=−=−′′ tyy
12.- ;7)0(y;3y(0);262 =′=−=+′−′′ tyyy
13.- 2
1255'4'' tyyy =+− , 0)0(',0)0( == yy
14.- t
etyyy −
+=+− 1242'3'' , 1)0(',6)0( −== yy
15.- 2)0(;4)0(y;1y(0);1264 −=′′=′==−′+′′+′′′ yyyyy
16.- 6)0(y;1y(0);096 =′−==+′+′′ yyy
17.- 3)0(;1)0(y;0y(0);04 =′′=′==−′+′′−′′′ yyyyy
18.- 2)0(;4)0(y;4y(0);033 −=′′=′−==+′+′′+′′′ yyyyy
19.- 4)0(;2)0(y;0y(0);1653 −=′′=′==−′+′′+′′′ −
yeyyyy t
20.- 14)0(;1)0(y;0y(0);464 =′′=′==−′+′′+′′′ −
yeyyyy t
21.- 4)0(;2)0(y;0y(0);10824 −=′′=′==−′+′′−′′′ −
yeyyyy t

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