¡Saludos! Gracias por revisar este material dedicado a los que con gusto desean obtener mas información en el área de la matemática, esta vez se trata de una introducción a las Ecuaciones Diferenciales, esperamos lo disfruten...

1. REPÚBLICA BOLIVARIANA DE VENEZUELA
MINISTERIO DEL PODER POPULAR PARA LA
EDUCACIÓN UNIVERSITARIA
UNIVERSIDAD PEDAGÓGICA EXPERIMENTAL LIBERTADOR
INSTITUTO DE MEJORAMIENTO PROFESIONAL DEL MAGISTERIO
NÚCLEO PORTUGUESA – EXTENSIÓN ACARIGUA
ABRIL, 2015
LAS ECUACIONES DIFERENCIALES
ORDINARIAS
PARTICIPANTES:
DURÁN LUIS C.I. 13.585.386
LOZADA JOSÉ C.I. 24.022.883
VARGAS MARETZY C.I. 20.156.123
PROF.: RENZO BRICEÑO
ECUACIONES DIFERENCIALES
ORDINARIAS
EMAT025

2. BREVE HISTORIA DE LAS ECUACIONES DIFERENCIALES
Los primeros intentos para resolver problemas físicos mediante el cálculo diferencial a finales del siglo XVII
llevaron gradualmente a crear una nueva rama de las matemáticas, a saber, las ecuaciones diferenciales.
Newton (1642-1727) observó que si
𝑑 𝑛 𝑦
𝑑𝑥 𝑛 = 0, entonces y(x) es un polinomio de grado n − 1, en particular, y
depende de n constantes arbitrarias, aunque esta afirmación tuvo que esperar hasta el siglo XIX para poder ser
demostrada con rigor.
En 1690, Jacques Bernouilli planteó el problema de encontrar la curva que adopta una cuerda flexible, inextensible
y colgada de dos puntos fijos, que Leibniz llamó catenaria (del latín cadena). En 1691, Leibniz, Huygens y Jean
Bernouilli publicaron soluciones independientes para dicho problema.
En 1693 Huygens habla explícitamente de ecuaciones diferenciales y en el mismo año, Leibniz dice que las
ecuaciones diferenciales son funciones de elementos del triángulo característico.

3. En 1694, Leibniz y Jean Bernouilli estudiaron el problema de encontrar la familia de curvas que
cortan con un ángulo dado a una familia de curvas dadas. (determinación de las trayectorias de los
rayos de luz que recorren un medio no uniforme).
Jean Bernouilli en 1724, planteo y resolvió la ecuación
𝑑2 𝑦
𝑑𝑥2 = 𝑘2
. (Ecuación diferencial de segundo
grado).
Euler en 1734 se dio cuenta que el factor de integración proporcionaba un método de integración e
introdujo las expresiones que actualmente se usan. Clairaut amplio la teoría poco más tarde.
El estudio de funciones minimizantes llevó al descubrimiento del cálculo de variaciones por Euler a
mediados del siglo XVIII y Lagrange a finales del siglo XVIII mejoró y amplió los métodos de Euler.
BREVE HISTORIA DE LAS ECUACIONES DIFERENCIALES

4. Lagrange y Laplace para el 1774 y 1775 estudiaron y elaboraron métodos para resolver sistemas de ecuaciones
diferenciales ordinarias.
Entre 1820-1890 Cauchy y Picard fueron los matemáticos más notables en cuanto a ecuaciones diferenciales, el
primero probo la existencia de soluciones de la ecuación diferencial y´ = f(t, y) bajo ciertas condiciones, el
segundo estableció el teorema de existencia y unicidad de las ecuaciones diferenciales de orden n.
Luego muchos han sido los matemáticos que han estudiado y aportado a las ecuaciones diferenciales; Cayley,
Poincaré, Jacobi, Jordan, Bendixson, Liapunov, entre otros.
Las ecuaciones diferenciales son una parte muy importante del análisis matemático y modelan innumerables
procesos de la vida real.
BREVE HISTORIA DE LAS ECUACIONES DIFERENCIALES

5. ECUACIONES DIFERENCIALES
(Concepto)
Dependiendo del número de
variables independientes
respecto de las que se
deriva, las ecuaciones
diferenciales se dividen en:
Ecuaciones diferenciales
ordinarias: aquellas que
contienen derivadas respecto
a una sola variable
independiente.
Ecuaciones en derivadas
parciales: aquellas que
contienen derivadas respecto
a dos o más variables.
Es una ecuación que relaciona de manera no
trivial a una función desconocida y una o más
derivadas de esta función desconocida con
respecto a una o más variables
independientes.
Es decir que, es una ecuación en la que
se establece una relación entre una o
más variables independientes y una
función incógnita y sus derivadas.

6. EJEMPLO DE ECUACIONES
DIFERENCIALES
Ecuaciones diferenciales Parciales (EDP):
𝜕2
𝑦
𝜕𝑡2
= 𝑎2
𝜕2
𝑦
𝜕𝑥2
Ecuaciones Diferenciales Ordinarias (EDO):
𝑑𝑦
𝑑𝑥
+ 𝑦 = 𝑒 𝑥

7. Según orden: El orden de una EDO esta representado por la
derivada más alta presente en la ecuación.
Ejemplos:
4𝑥
𝑑𝑦
𝑑𝑥
+ 𝑦 = 𝑥 ; Ecuación diferencial de Primer orden
𝑑2 𝑦
𝑑𝑥2 + 5
𝑑𝑦
𝑑𝑥
3
− 4𝑦 = 𝑒 𝑥 ;Ecuación diferencial de Segundo orden
Según grado: Se le llama grado de una ecuación diferencial al grado
de la derivada de mayor orden que aparezca en ella.
Ejemplos:
𝑑𝑦
𝑑𝑥
= 𝑥2 + 3𝑥 + 1 ; Ecuación diferencial de Primer grado y primer
orden.
𝑑2 𝑦
𝑑𝑥2
3
+ 3𝑦
𝑑𝑦
𝑑𝑥
7
+ 𝑦3 𝑑𝑦
𝑑𝑥
2
= 5 𝑥 ;Ecuación diferencial de Segundo
orden y tercer grado.
Según linealidad: Se dice que una ecuación diferencial ordinaria de n-ésimo orden es lineal si F es lineal en 𝑦, 𝑦´, . . . , 𝑦(𝑛) . Esto significa que una
EDO de n-ésimo orden es lineal cuando es 𝑎 𝑛 𝑥 𝑦 𝑛 + 𝑎 𝑛−1 𝑥 𝑦 𝑛−1 + ⋯ + 𝑎1 𝑥 𝑦´ + 𝑎0 𝑥 𝑦 − 𝑔 𝑥 = 0 lo cual se puede representar así : 𝑎 𝑛 𝑥
𝑑 𝑛 𝑦
𝑑𝑥 𝑛 +
𝑎 𝑛−1 𝑥
𝑑 𝑛−1 𝑦
𝑑𝑥 𝑛−1 + ⋯ + 𝑎1 𝑥
𝑑𝑦
𝑑𝑥
+ 𝑎0 𝑥 𝑦 = 𝑔 𝑥 . Además cumple con las siguientes características:
I) la variable dependiente y todas sus derivadas son de 1° grado, esto es, la potencia de todo término donde aparece y es 1.
II) cada coeficiente sólo depende de x que es la variable independiente.
Ejemplos:
(𝑦 − 𝑥)𝑑𝑥 + 4𝑥𝑑𝑦 = 0 ; Lineal
(1 + 𝑦)𝑦´ + 2𝑦 = 𝑒 𝑥 ; No lineal (el coeficiente 1+y, depende de y).
CLASIFICACIÓN DE LAS ECUACIONES
DIFERENCIALES

8. SOLUCIONES DE UNA ECUACIÓN
DIFERENCIAL
•Toda función f, definida sobre un intervalo I y que posea al menos n derivadas continuas sobre I, y que al ser sustituida en una
ecuación diferencial ordinaria de n-ésimo orden reduzca la ecuación a una identidad, se dice que es una solución de la
ecuación sobre el intervalo.
•Ejemplo:
•Verificar si 𝑦 =
𝑥4
16
es una solución para la ecuación diferencial dy/dx=x𝑦
1
2 en el intervalo (−∞, ∞).
•Solución:
•Una forma de verificar que la función indicada representa una solución es revisar, después de sustituir, si cada extremo de la
ecuación es igual para cada x localizada dentro del intervalo.
•
𝑑𝑦
𝑑𝑥
= 4.
𝑥3
16
=
𝑥3
4
; Extremo izquierdo
•x𝑦
1
2 = 𝑥 .
𝑥4
16
1
2
= 𝑥 .
𝑥2
4
=
𝑥3
4
; Extremo derecho
•Así como los extremos coindicen 𝑦 =
𝑥4
16
es solución general de la ecuación diferencial Dy/dx=x𝑦
1
2 en el intervalo (−∞, ∞).
Solución general

9. SOLUCIONES DE UNA ECUACIÓN
DIFERENCIAL
•Se dice que una relación del tipo G(x, y) = 0 es una solución implícita de una ecuación diferencial ordinaria sobre un intervalo I
siempre que exista al menos una función f que satisfaga la relación así como a la ecuación diferencial sobre I.
•Ejemplo:
•Verificar si 𝑥2
+ 𝑥2
= 25 es una solución implícita para la ecuación diferencial
𝑑𝑦
𝑑𝑥
= −
𝑥
𝑦
en el intervalo −5 < 𝑥 < 5.
•Solución:
•Al diferenciar de forma implícita obtenemos:
•
𝑑
𝑑𝑥
𝑥2
+
𝑑
𝑑𝑥
𝑦2
=
𝑑
𝑑𝑥
25 o 2𝑥 + 2𝑦
𝑑𝑦
𝑑𝑥
= 0
•Al resolver la última ecuación para el símbolo dy/dx obtenemos
𝑑𝑦
𝑑𝑥
= −
𝑥
𝑦
Además, al resolver 𝑥2
+ 𝑦2
= 25 para y en términos de
x obtenemos 𝑦 = ± 25 − 𝑥2. Las dos ecuaciones 𝑦 = 𝜃1 = 25 − 𝑥2 𝑒 𝑦 = 𝜃2 = − 25 − 𝑥2 , satisfacen la relación 𝑥2
+ 𝜃1
2
= 25 y
𝑥2
+ 𝜃2
2
= 25 y en efecto representan soluciones implícitas para la ecuación diferencial
𝑑𝑦
𝑑𝑥
= −
𝑥
𝑦
sobre el intervalo −5 < 𝑥 < 5.
Solución implícita

10. SOLUCIONES DE UNA ECUACIÓN
DIFERENCIAL
•Una solución en la que la variable dependiente se expresa tan sólo en términos de la variable independiente y constantes, se llama
solución explícita.
•Ejemplo:
•Verificar que 𝑦 = 2𝑥3
es una solución explicita de x
𝑑𝑦
𝑑𝑥
= 3𝑦 en el intervalo (−∞, ∞).
•Solución:
• x
𝑑𝑦
𝑑𝑥
= 3𝑦 → 𝑥𝑦´ = 3𝑦 ;(1)
• 𝑦 = 2𝑥3
;(2)
• 𝑦´ = 6𝑥2
;(3)
•Al sustituir (2) y (3) en (1) se obtiene:
• 𝑥 . 6𝑥2
= 3 . 2𝑥3
• 6𝑥3
= 6𝑥3
•Al cumplirse la igualdad anterior, en efecto 𝑦 = 2𝑥3
es una solución explicita de x
𝑑𝑦
𝑑𝑥
= 3𝑦 en el intervalo (−∞, ∞).
Solución Explícita

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DIFERENCIALES de Dennis Zill, cliquea el link para irte a la pagina de descarga:
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