Explicación y ejercicios solucionados y propuestos sobre Ecuaciones Diferenciales Lineales de primer orden

1. ECUACIONES DIFERENCIALES ORDINARIAS
DE PRIMER ORDEN
Notas de Clase
DIEGO SANDOVAL
Universidad de la Sabana
8 de junio de 2017

2. Ecuaciones Lineales
Son aquellas que se pueden escribir de la forma:
y + p(x)y = q(x)
Los terminos p(x) y q(x) deben ser funciones continuas de
variable x.
Algunas formas alternas de este tipo de ecuaciones son:
dy
dx + p(x)y = q(x)
a(x)y + b(x)y + c(x) = 0 ⇐= En este caso se divide toda
la ecuaci´on por a(x) y se re-
definen:
p(x) = b(x)
a(x) , q(x) = −c(x)
a(x)

3. M´etodo de Soluci´on
se calcula la integral:
p(x)dx
para formar el factor integrante:
µ(x) = e p(x)dx
Se multiplica toda la ecuaci´on por µ(x):
µ(x)y + µ(x)p(x)y = µ(x)q(x)
Por la regla del producto para derivadas podemos escribir:
d
dx
{µ(x)y} = µ(x)q(x)

4. Integramos a ambos lados
d
dx
{µ(x)y}dx = µ(x)q(x)dx
Utilizando el teorema fundamental del c´alculo, reescribimos el
lado izquierdo como:
µ(x)y = µ(x)q(x)dx + C
Por ´ultimo despejamos y de la ecuaci´on:
y =
µ(x)q(x)dx + C
µ(x)
Y se ha solucionado la ecuaci´on diferencial.

5. Ejemplo:
Solucionar la EDO: dy
dx + 3x2y = x2
identificamos las partes de la ecuaci´on:
p(x) = 3x2
, q(x) = x2
calculamos el factor integrante
µ(x) = e 3x2dx
= ex3
multiplicamos toda la ecuaci´on por el factor integrante
dy
dx
ex3
+ 3x2
yex3
= x2
ex3

6. reescribimos usando derivada de un producto
d
dx
{ex3
y} = x2
ex3
integramos a ambos lados
ex3
y =
1
3
ex3
+ C
por ultimo despejamos y
y =
1
3
+ Ce−x3

7. Ejemplo:
Solucionar la EDO: (x2 + 16)y − xy = x
identificamos las partes de la ecuaci´on:
p(x) =
−x
(x2 + 16)
, q(x) =
x
(x2 + 16)
calculamos el factor integrante
µ(x) = e
−x
(x2+16)
dx
=
1
√
x2 + 16
multiplicamos toda la ecuaci´on por el factor integrante
dy
dx
1
√
x2 + 16
+
−x
(x2 + 16)
1
√
x2 + 16
=
x
(x2 + 16)
1
√
x2 + 16

8. reescribimos usando derivada de un producto
d
dx
{
1
√
x2 + 16
y} =
x
(x2 + 16)
1
√
x2 + 16
integramos a ambos lados
1
√
x2 + 16
y = −
1
√
x2 + 16
+ C
por ultimo despejamos y
y = −1 + C x2 + 16

9. Ejercicios:
Solucionar la EDO:
x
dy
dx
− 4y = x6
ex
Soluci´on:
y = x5
ex
− x4
ex
+ Cx4
Solucionar la EDO:
x2
y + x(x + 2)y = ex
Soluci´on:
y =
1
2
x−2
ex
+ Cx−2
e−x