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Universidad Politécnica Salesiana
Tarea Remedial sobre el
resumen de las Ecuaciones
Diferenciales
Ecuaciones
Diferenciales
𝑑ℎ
𝑑𝑡
,
𝑑2ℎ
𝑑𝑡2 , … .
𝑑 𝑛ℎ
𝑑𝑡 𝑛
𝑑ℎ2
𝑑𝑡
-2x
𝑑2 𝑦
𝑑𝑥2 = 𝑡 + 1
Ejemplo
y‘= 𝑥 + 𝑦
UNIDAD I
Clasificación de las Ecuaciones Diferenciales
Ecuaciones Diferenciales Ordinarias (EDO): Son
las que presentan una sola variable
dependiente e independiente.
Ejemplo:
Ecuaciones Diferenciales Parciales (EDP): Son las
que presentan 2 o más variables dependientes e
independientes.
Ejemplo:
𝑑2 𝑦
𝑑𝑥2 -
𝑑𝑦
𝑑𝑥
= 1
𝑦‘‘−𝑦‘=1 𝑑2 𝑥
𝑑𝑦2 -
𝑑2 𝑧
𝑑𝑡2 = 1+t-y
ORDEN
El orden de una ecuación diferencial
esta dado por la mayor derivada
presente.
Ejemplo:
𝑑4 𝑦
𝑑𝑥4 -
𝑑𝑦
𝑑𝑥
= 𝑦4 = 3𝑥7+1 Cuarto Orden 𝑦‘= -
𝑦
𝑥
Primer Orden
Linealidad
Una ecuación diferencial ordinaria es lineal si tiene la
forma:
𝑎 𝑛 𝑋 . 𝑦(𝑛)
+ 𝑎 𝑛−1(x). 𝑦(𝑛−1)
+... 𝑎1(x). 𝑦‘+𝑎0(x).y=g(x)
Una ecuación diferencial ordinaria no es lineal si tiene
la forma anterior.
Ejemplo:
(𝑥2+1) y.y‘- (y‘)2
= 1
Campos Direccionales
Implícita: f(y‘,y,x)=0
Ejemplo:
Explícita: y‘(x)=f(y(x),x)
Ejemplo:
y‘-x-y=0
y‘=x+y
Solución de una Ecuación Diferencial:
Una función y=d(x) es una solución de una E.D.O.
de orden “n” en un intervalo I, si sus “n” derivadas
existen en el intervalo I y al reemplazarlas en las
E.D. se obtiene una identidad.
 Ejemplo:
𝒚 =
𝟏
𝒙
𝑦‘= −
1
𝑥2
𝑦‘‘=
1
𝑥3
𝑦‘‘= 𝑦3
𝒚‘ =
𝟏
𝒙
𝒆𝒔 𝒔𝒐𝒍𝒖𝒄𝒊ó𝒏 𝒅𝒆𝑦‘‘= 𝑦3
en (- ∞,0) o (0+ ∞)
X=(- ∞,0) u (0+ ∞)
X=(- ∞,0) u (0+ ∞)
Ecuaciones Diferenciales Ordinarias (EDO)
𝐹(𝑥, 𝑦, 𝑦‘, 𝑦‘‘, … 𝑦(𝑛)) = 0 Forma General EDO orden “n”
𝑦 𝑛 𝑥 = 𝑓(𝑥, 𝑦, 𝑦‘, 𝑦‘‘,…𝑦 𝑛−1 Forma Normal EDO orden “n”
𝑑𝑦
𝑑𝑥
=f( x, y) Forma Normal EDO
Primer orden 𝑑2 𝑦
𝑑𝑥2=f( x, y, 𝑦‘)
Forma Normal EDO
Segundo orden
 N( x, y).dy=-M( x, y))dx
 M( x, y).dx+ N(x,y)dy=0
Forma Diferencial
EDO Primer Orden
Problemas con Valores Iniciales (PVI)
Consiste en encontrar
una solución particular y
(x) que cumple ciertas
condiciones dadas:
𝑅𝑒𝑠𝑜𝑙𝑣𝑒𝑟:
𝑑 𝑛 𝑦
𝑑𝑥 𝑛 = 𝐹(𝑥, 𝑦, 𝑦‘,𝑦‘‘, … 𝑦 𝑛−1 )
Sujeto a:
𝑦(𝑥0) = 𝑦0, 𝑦‘(𝑥0) = 𝑦1,𝑦‘‘(𝑥0) = 𝑦2, … 𝑦 𝑛−1 (𝑥0) = 𝑦 𝑛−1
Procedimiento:
1.- Encontrar la solución n- paramétrica.
2.- Usar los valores iniciales para hallar los “n” parámetros.
3.- Escribir la solución particular.
Ejemplo:
Si se sujeta un objeto
a 300 metros de
altura, encontrar su
posición a los 5
segundos.
X(o)=300 ; x‘(0)=0
X=(0) t +
𝟏
𝟐
(-9,8) 𝑡2
+300 ----- Solución Particular
X(5)=
𝟏
𝟐
(-9,8). (5)2
+300
F= m . g ; x(0)=300
a=g ; x‘(0)=0
𝑑2 𝑥
𝑑𝑡2 = g ;
𝑑𝑥
𝑑𝑡
= g.t+𝐶1
X=
𝟏
𝟐
. g . 𝑡2
+ 𝐶1. t + 𝐶2 ----- Solución General
0=g(0) + 𝐶1
𝐶1=0
300=
𝟏
𝟐
. g. (0)2
+ 𝐶1 (0) + 𝐶2
𝐶2= 300 ; (𝑉0)
X=
𝟏
𝟐
. g. 𝑡2
+ (0) t + 300
X =
𝟏
𝟐
g . 𝑡2
+ 300 --- Solución Particular
X(5)=
𝟏
𝟐
(-9,8). (5)2
+ 300
X(5)= 177,5 m.
Fracciones Parciales

𝒇(𝒙)
𝑨𝒙+𝑩 (𝑪𝒙+𝒅)
=
𝒂
(𝑨𝒙+𝑩)
+
𝒃
(𝑪𝒙+𝑫)

𝒇(𝒙)
(𝐴𝑥+𝐵)2 =
𝒂
(𝑨𝒙+𝑩)
+
𝒃
(𝐴𝑥+𝐵)2

𝒇(𝒙)
(𝐴𝑥+𝐵)(𝐶𝑥2+𝐷𝑥+𝐸)
=
𝒂
(𝑨𝒙+𝑩)
+
𝒃𝒙+𝑪
(𝐶𝑥2+𝐷𝑥+𝐸)

𝒇(𝒙)
(𝐴𝑥2+𝐵𝑥+𝐶)2 =
𝒂𝒙+𝒃
(𝐴𝑥2+𝑩𝒙+𝑪)
+
𝑪𝒙+𝒅
(𝐴𝑥2+𝐵𝑥+𝐶)2
El método de las fracciones parciales consiste en reducir un cociente de polinomios en
fracciones más simples, que permitan obtener de manera inmediata una integral.
UNIDAD II
Ecuaciones Diferenciales de Variables Separables
Dada la E.D.
𝒅𝒚
𝒅𝒙
= f x, y , si f x, y
Se puede separar en dos factores g(x) y
h(y), entonces se habla de una E.D. de
variables separables.
𝒅𝒚
𝒅𝒙
= 𝒇 𝒙, 𝒚 −−−− −
𝒅𝒚
𝒅𝒙
= 𝒈 𝒙 . 𝒉(𝒙)
Ejemplo:
(1+x) . dy - y . dx =0
(1+x) dy = y. dx
∫
𝒅𝒚
𝒚
= ∫
𝒅𝒙
(𝟏+𝒙)
lnIyI= ln(1+x) + 𝐶1
𝑒ln I 𝑦I= 𝑒ln (1+x)+ 𝐶1
IyI= 𝑒ln (1+x) . 𝑒 𝐶1
IyI= I1+xI . 𝐶2
Y=C (1+x) ----- Solución General
𝑥.
𝑑𝑣
𝑑𝑥
=
1−2𝑣2
𝑣
; u= 1 − 2𝑣2 ; du = -4v.dv ; -du/4= v.dv
= ∫
𝒗.𝒅𝒗
1−2𝑣2 = ∫
𝒅𝒙
𝒙
= ∫
−du/4
𝒖
= ∫
dx
𝒙
= −
1
𝟒
lnIuI = lnIxI+ln𝐶1
lnI1 − 2𝑣2I= ln I𝐶1xI = ln (I1 − 2𝑣2I)
−
1
𝟒 = ln I𝐶1xI
ln (I1 − 2𝑣2
I)
−
1
𝟒 = I𝐶1. xI =
1
ln (I1−2𝑣2I)
−
1
𝟒
= 𝐶1. X
𝐶1. X (I1 − 2𝑣2I)
1
𝟒 = 1 = 𝐶1. X (1 − 2𝑣2)
1
𝟒 = 1 ------ Solución General
= (- ∞,0) ó (0,+ ∞)
Ejemplo:
Método del Factor Integrante para EDO‘s
(Lineales Orden 1)
𝑢 = 𝑒∫ 𝑃 𝑥 .𝑑𝑥
factor
integrante.
Procedimiento:
1.- Escribir la E.D. en su forma estándar.
𝑑𝑦
𝑑𝑥
+ 𝑃 𝑥 . 𝑦 = 𝑓 𝑥
2.- Encontrar el factor integrante 𝑢 = 𝑒∫ 𝑃 𝑥 .𝑑𝑥
3.- Escribir 𝑢. 𝑦 = ∫u. f(x).dx
4.- Resolver integral y despejar “y”.
Ejemplo:

𝒅𝒗
𝒅𝒙
- 5y= 10 P(x)=-5 ; f(x)=10
𝑢 = 𝑒∫ 𝑃 𝑥 .𝑑𝑥 ; 𝑢 = 𝑒∫ 𝑃 −5 .𝑑𝑥 ; 𝑢 = 𝑒 −5𝑥+𝐶
𝑢. 𝑦 = ∫u. f(x).dx
𝑒 −5𝑥-y = ∫ 𝑒 −5𝑥 (10). dx
𝑒 −5𝑥.y=(10∫ 𝑒 −5𝑥.dx) ∫𝑒 −5𝑥.dx ; u=-5x ; dx=
𝑑𝑢
−5
𝑒 −5𝑥
.y=10 -
𝑒 −5𝑥
5
+ C
𝑒 −5𝑥.y = -2𝑒 −5𝑥+C
Y=
−2 𝑒 −5𝑥
𝑒 −5𝑥 + C
Y= -2+C 𝑒 5𝑥 -------- Solución General
x= (- ∞,+ ∞)
Diferenciales y derivadas parciales
 f( x, y)= 𝟐𝒙 𝟐 𝒚 + 𝒙𝒆 𝒚
𝑑𝑓
𝑑𝑥
= 4𝑥𝑦 + 𝑒 𝑦 (Tomo “y” constante)
𝑑𝑓
𝑑𝑦
= 2𝑥 2
+𝑥𝑒 𝑦
(Tomo “x” constante)
df=
𝑑𝑓
𝑑𝑥
.dx +
𝑑𝑓
𝑑𝑦
. dy
df= (y-4xy+𝑒 𝑦).dx+(2𝑥 2+x. 𝑒 𝑦).dy
Ecuaciones Diferenciales Exactas
En matemáticas, una ecuación
diferencial exacta es una ecuación
diferencial ordinaria de primer
orden que se presenta de la
forma:
Una Ecuación Diferencial M( x,
y).dy=0, es exacta si existe una
función f( x, y)=0, tal que
𝑑𝑓
𝑑𝑦
=M(x , y)
y
𝑑𝑓
𝑑𝑥
=N( x, y)
Criterio de
Exactitud:
Una E.D. exacta
cumple que:
𝒅𝑴
𝒅𝒚
=
𝒅𝑵
𝒅𝒙
Ecuaciones Diferenciales Exactas
Procedimiento:
1.- Verificar que M( x, y)dx + N( x ,y) dy=0
Es exacta si:
𝑑𝑀
𝑑𝑦
=
𝑑𝑁
𝑑𝑥
2.- f( x, y)= ∫M( x, y)dx+ g(y)
3.-
𝑑
𝑑𝑦
𝑓 𝑥, 𝑦 =
𝑑
𝑑𝑦
∫M( x, y)dx+ g‘(y)
4.- Despejar g(y)
5.- Reemplazar en 2 “f( x, y)=C”
Ejercicios:
 (2𝑥𝑦 − 𝑠𝑒𝑐 2
𝑥)𝑑𝑥 + 𝑥 2
+ 2𝑦)𝑑𝑦 = 0
𝑑𝑀
𝑑𝑦
=2x=
𝑑𝑁
𝑑𝑥
=2x : Es exacta
2) f( x, y)= ∫(2𝑥𝑦 − 𝑠𝑒𝑐 2
𝑥)𝑑𝑥+g(y)
F( x, y)=2y
𝑥 2
2
- tan x + g(y)
3)
𝑑𝑓
𝑑𝑦
= 𝑥 2
+g‘(y)
4) g‘(y)=
𝑑𝑓
𝑑𝑦
− 𝑥 2
g‘(y)= (𝑥 2
+2y) -𝑥 2
g‘(y)=2y
g(y)= ∫ 2y.dy
g(y)= 2
𝑦 2
2
; g(y)=𝑦 2
F( x, y) = 𝑥 2
y-tan x + 𝑦 2
; f( x, y)=c ; 𝑥 2
y – tan x + 𝑦 2
= C
Variación de la constante
Procedimiento:
1.- Escribir E.D. en su forma estándar
𝑑𝑦
𝑑𝑥
+ 𝑃 𝑥 𝑦 =f(x)
2.- Resolver la E.D. homogénea por variables separables
𝑑𝑦
𝑑𝑥
+ 𝑃 𝑥 𝑦=0
Y=f( C , x) ---- Solución Homogénea
3.- Tomar C como C(x), derivar “y” y reemplazar en 2.
4.- Despejar C(x) y reemplazar en 2.
Ejercicios:

𝒅𝒚
𝒅𝒙
+y= 𝒆 𝟑𝒙
2) y= C. 𝑒 −𝑥
---- Solución Homogénea
𝑑𝑦
𝑑𝑥
+y=0 ----- Solución Homogénea
𝑑𝑦
𝑑𝑥
=
𝑑
𝑑𝑥
= (C. 𝑒 −𝑥
)
𝑑𝑦
𝑑𝑥
= - y
𝑑𝑦
𝑑𝑥
=
𝑑𝐶
𝑑𝑥
. 𝑒 −𝑥
+ 𝐶.
𝑑
𝑑𝑥
(𝑒 −𝑥
)
𝑑𝑦
𝑦
= −𝑑𝑥 3)
𝑑𝑦
𝑑𝑥
=
𝑑𝐶
𝑑𝑥
. 𝑒 −𝑥 - C. 𝑒 −𝑥 ---- 2 y 3 en 1
ln I y I= -x + 𝐶1 (
𝑑𝐶
𝑑𝑥
. 𝑒 −𝑥- C 𝑒 −𝑥) + C 𝑒 −𝑥= 𝑒 3𝑥
𝑒 𝑙𝑛𝐼𝑦𝐼
= 𝑒 −𝑥+𝐶1
𝑑𝐶
𝑑𝑥
. 𝑒 −𝑥
=𝑒 3𝑥
;
𝑑𝐶
𝑑𝑥
= 𝑒 4𝑥
I y I= 𝑒 𝐶1. 𝑒 −𝑥
4) C= ∫𝑒 4𝑥
.dx=
1
4
𝑒 4𝑥
+ 𝐶1 ---- 4 en 2
y= C. 𝑒 −𝑥
y=
1
4
. 𝑒 3𝑥
+ 𝐶1. 𝑒 −𝑥
C Función
Aplicaciones de E.D.O de Primer Orden
 Ejemplo:
 Crecimiento Poblacional:
𝑑𝑃
𝑑𝑡
= 𝐾. 𝑃 𝑃 − −𝑃𝑜𝑏𝑙𝑎𝑐𝑖ó𝑛
 Reacción de Primer Orden:
𝑑𝐴
𝑑𝑡
= 𝐾. 𝐴 𝐴 − −𝐶𝑎𝑛𝑡𝑖𝑑𝑎𝑑 𝑑𝑒 𝑢𝑛 𝑒𝑙𝑒𝑚𝑒𝑛𝑡𝑜
Vida Media: Es el tiempo que tarda en
desintegrarse o transformarse en otro elemento, la
mitad de los átomos de una muestra inicial 𝐴0
Ra226 Rn222
Radio radiactivo 1700 Radón
U-238 Pb-206
(uranio) 4.5 miles de millones de años (plomo)
Sustituciones y Transformaciones
1) Ecuaciones Homogéneas
2) Ecuaciones de la forma
𝑑𝑦
𝑑𝑥
= 𝐺 𝑎𝑥 + 𝑏𝑦
3) Ecuaciones de Bernoulli
4) Ecuaciones de Riccati
Ecuaciones Homogéneas
𝑑𝑦
𝑑𝑥
= f( x, y) ----
𝑑𝑦
𝑑𝑥
= G(
𝑦
𝑥
)
F. Normal Ec. Homogénea
Z=
𝑦
𝑥
; z . x
𝑑𝑦
𝑑𝑧
= 𝑥.
𝑑𝑧
𝑑𝑥
+z
x.
𝑑𝑧
𝑑𝑥
+ 𝑧 = 𝐺 𝑧
x.
𝑑𝑧
𝑑𝑥
= G8z)=z
𝑑𝑧
𝐺 𝑧 −𝑧
=
𝑑𝑥
𝑥
−− −𝑉𝑎𝑟𝑖𝑎𝑏𝑙𝑒𝑠 𝑠𝑒𝑝𝑎𝑟𝑎𝑏𝑙𝑒𝑠
Ejercicios:
 (𝒙. 𝒚 + 𝒚 𝟐 + 𝒙 𝟐)𝒅𝒙 - 𝒙 𝟐dy=0 ------ F. Diferencial
(𝑥. 𝑦 + 𝑦 2 + 𝑥 2)𝑑𝑥= 𝑥 2.dy
𝑑𝑦
𝑑𝑥
=
𝑥.𝑦+𝑦 2+𝑥 2
𝑥 2 −−− −𝐹. 𝑁𝑜𝑟𝑚𝑎𝑙
𝑑𝑦
𝑑𝑥
=
𝑦
𝑥
+ (
𝑦
𝑥
) 2
+ 1 ------ Ec. Homogénea
Z=
𝑦
𝑥
;
𝑑𝑦
𝑑𝑥
= x.
𝑑𝑧
𝑑𝑥
+ 𝑧
x.
𝑑𝑧
𝑑𝑥
+ z = z + 𝑧 2
+ 1
x.
𝑑𝑧
𝑑𝑥
= 𝑧 2
+ 1
arctan z= ln I x I + C
arc
𝑦
𝑥
= ln I x I + C
Tan (arctan
𝑦
𝑥
) = tan ( ln I x I + C ;
𝑦
𝑥
= tan ( ln l x l + C
Y= x. tan ( ln I x I + C) ---- Solución General
Ecuaciones de la forma
𝑑𝑦
𝑑𝑥
= 𝐺 𝑎𝑥 + 𝑏𝑦
Z= ax+by ;
𝑑𝑧
𝑑𝑥
= 𝑎 + 𝑏
𝑑𝑦
𝑑𝑥
𝑑𝑦
𝑑𝑥
=
1
𝑏
.
𝑑𝑧
𝑑𝑥
-
𝑎
𝑏
1
𝑏
.
𝑑𝑧
𝑑𝑥
-
𝑎
𝑏
= G(z)
1
𝑏
.
𝑑𝑧
𝑑𝑥
= G(z) +
𝑎
𝑏
𝑑𝑧
𝐺 𝑧 +
𝑎
𝑏
= b. dx -------- Variables Separables
Ejercicios:

𝒅𝒚
𝒅𝒙
= (𝒙 + 𝒚 + 𝟐) 𝟐
Z= x + y ;
𝑑𝑧
𝑑𝑥
= 1 +
𝑑𝑦
𝑑𝑥
𝑑𝑦
𝑑𝑥
=
𝑑𝑧
𝑑𝑥
- 1
𝑑𝑧
𝑑𝑥
- 1 = (𝑧 + 2) 2
𝑑𝑧
𝑑𝑧
= (𝑧 + 2) 2
+1
∫
𝑧
(𝑧+2) 2 +1
= ∫dx u= z+2 ; du= dz
∫
𝑑𝑢
𝑢 2 +1
= ∫dx
arctan u= x + C ; arctan ( z+2) = x+ C ; arctan (x+y+z) = x + C
tan (arctan x+y+z) =tan ( x + C) ; y= tan( x + c) – x -z
Ecuación de Bernoulli
𝑑𝑦
𝑑𝑥
+ P(x) y= Q(x). 𝑦 𝑛
1)
V= 𝑦 1−𝑛 2) ;
𝑑𝑣
𝑑𝑥
= 1 − 𝑛 𝑦 −𝑛 .
𝑑𝑦
𝑑𝑥
3)
𝑦 −𝑛 𝑑𝑦
𝑑𝑥
=
1
1−𝑛
.
𝑑𝑣
𝑑𝑥
x. 𝑦 −𝑛
1)
𝑦 −𝑛 𝑑𝑦
𝑑𝑥
+ P(x) 𝑦 1−𝑛
= Q(x) 4)
2 y 3 en 4
1
1−𝑛
.
𝑑𝑣
𝑑𝑥
+ 𝑃 𝑥 𝑣 = 𝑄 𝑥 −−− −𝐸𝑐𝑢𝑎𝑐𝑖ó𝑛 𝐿𝑖𝑛𝑒𝑎𝑙 ∶ 𝑃𝑜𝑟 𝑓𝑎𝑐𝑡𝑜𝑟 𝐼𝑛𝑡𝑒𝑔𝑟𝑎𝑙 𝑜 𝑉𝑎𝑟𝑖𝑎𝑐𝑖ó𝑛 𝑑𝑒 𝑙𝑎 𝑐𝑜𝑛𝑠𝑡𝑎𝑛𝑡𝑒
𝑑𝑦
𝑑𝑥
- 5y= -
5
2
𝑦 3 ----- Ecuación Bernoulli n=3 Método del factor Integrante P(x)= 10 ; f(x)=5
𝑒 10𝑥
. 𝑣 = ∫ 𝑒 10𝑥
(5). dx
1) x. 𝑦 −3 𝑒 10𝑥. 𝑣= 5 ∫ 𝑒 10𝑥. dx
2) 𝑦 −3 𝑑𝑦
𝑑𝑥
- 5𝑦 −2
= -
5
2
𝑒 10𝑥
. 𝑣= 5
𝑒 10𝑥
10
+ C
3) V= 𝑦 1−3
= 𝑦 −2
;
𝑑𝑣
𝑑𝑥
= −2𝑦 −3 𝑑𝑦
𝑑𝑥
𝑒 10𝑥
. 𝑣=
𝑒 10𝑥
2
+ C
4) 𝑦 −3 𝑑𝑦
𝑑𝑥
= -
1
2
𝑑𝑣
𝑑𝑥
v=
𝑒 10𝑥+𝐶
2.𝑒 10𝑥
3 y 4 en 2 v=
1
2
+ C. 𝑒− 10𝑥
-
1
2
𝑑𝑣
𝑑𝑥
- 5v= -
5
2
“x-2” 𝑦− 2
=
1
2
+ C. 𝑒− 10𝑥
𝑑𝑣
𝑑𝑥
+ 10 v = 5 --- Forma Estándar o Canónica y= (
1
2
+ C. 𝑒− 10𝑥
)− 1/2
Ejercicios:
Ecuación de Riccati
𝑑𝑦
𝑑𝑥
= P(x) + Q(x) y +R(x) 𝑦2
Si se tiene una solución particular conocida 𝑦1
𝑦 = 𝑦1 + 𝑢
𝑦‘= 𝑦1‘+𝑢‘
Ejercicios:

𝒅𝒚
𝒅𝒙
= −
𝟒
𝒙 𝟐 -
𝒚
𝒙
+ 𝒚 𝟐
; 𝒚 𝟏 =
𝟐
𝒙
---- Solución Particular
Y=
2
𝑥
+ 𝑢
𝑦‘= -
2
𝑥 2 + 𝑢‘
-
2
𝑥 2 + 𝑢‘= −
4
𝑥 2 -
(
2
𝑥
+𝑢)
𝑥
+ (
2
𝑥
+𝑢) 2
𝑢‘= −
4
𝑥 2 -
2
𝑥 2 -
𝑢
𝑥
+
4
𝑥 2 +
4𝑢
𝑥
+ 𝑢 2 +
2
𝑥 2
𝑢‘=
3𝑢
𝑥
+ 𝑢 2
1) 𝑢‘ -
3𝑢
𝑥
= 𝑢 2
------ Ecuación de Bernoulli
V= 𝑢 1−𝑛
; v= 𝑢 1−2
; v= 𝑢 −1
; v‘= - 𝑢 −2
. u‘
𝑢 −2. 𝑢= - v‘
𝑥. 𝑢 −2 𝑢 = (−
𝒙
𝟒
+C𝑥 −3)
−1
𝑢 −2
. 𝑢‘ -
𝟑
𝒙
𝑢 −1
= 1 y-
𝟐
𝒙
= (
𝑪
𝑥3 −
𝒙
𝟒
)
−1
-v‘-
𝟑
𝒙
v =1 y-
𝟐
𝒙
= (
𝟒𝑪−𝑥4
4𝑥3 )
−1
v‘ +
𝟑
𝒙
v = -1 y-
𝟐
𝒙
=
𝟒𝑥3
𝐶−𝑥4
𝑧 = 𝑒∫ 𝟑
𝒙
.𝒅𝒙
= 𝑒3ln l x l = 𝑒ln l 𝑥 3l y=
𝟒𝑥3
𝐶−𝑥4 +
𝟐
𝒙
---- Solución General
Z= 𝑥 3
𝑥 3. v= ∫ 𝑥 3 (-1). dx
𝑥 3
. V= -
𝑥 4
𝟒
+ C
v= -
𝒙
𝟒
+ C. 𝑥 −3
𝑢 −1 = -
𝒙
+ C 𝑥 −3
Ecuaciones de Orden Superior
Existencia y unicidad de problemas con valores iniciales (n- esimo orden)
Sean 𝑎 𝑛 𝑥 , 𝑎 𝑛−1 𝑥 , … , 𝑎1 𝑥 , 𝑎0 𝑥 𝑦 𝑔(𝑥) funciones continuas en un intervalo I, entonces existe una
solución y(x)
Ejercicio:
3𝑦´´´
+ 5𝑦´´
− 𝑦´
+ 7𝑦 = 0
𝑦 1 = 0 𝑦´ 1 = 0 𝑦´´ 1 = 0
Solución trivial y=0
∴ 𝑒𝑠 ú𝑛𝑖𝑐𝑎 𝑠𝑜𝑙𝑢𝑐𝑖ó𝑛
Sean 𝑎 𝑛 𝑥 , 𝑎 𝑛−1 𝑥 , … , 𝑎1 𝑥 , 𝑎0 𝑥 𝑦 𝑔(𝑥) funciones continuas en un intervalo I y 𝑎 𝑛 𝑥 ≠ 0 en todo
el intervalo I. Entonces existe una única solución y(x).
Problemas con valores de
frontera
Las condiciones se especifican en distintos puntos
Resolver:
𝑎 𝑛 𝑥
𝑑 𝑛 𝑦
𝑑𝑥 𝑛 + 𝑎 𝑛−1 𝑥
𝑑 𝑛−1 𝑦
𝑑𝑥 𝑛−1 + ⋯ + 𝑎1 𝑥
𝑑𝑦
𝑑𝑥
+ 𝑎0 𝑥 y= g(x)
Sujeto a:
𝛼1 𝑦(𝑎) + 𝛽1 𝑦´
𝑎 = 𝛿1
Condiciones Generales en la frontera
𝛼2 𝑦(𝑏) + 𝛽2 𝑦´
𝑏 = 𝛿2
Ejercicio
Dada la solución general 𝑦 = 𝐶1 + 𝐶2 𝑥2
1
𝑥𝑦´´
− 𝑦´
= 0
a) Demostrar que (1) es solución de (2)
𝑦´
= 0 + 2𝑥𝐶2
𝑦´´
= 2𝐶2
𝑥 𝐶 − 2𝑥𝐶 = 0
2𝑥𝐶 − 2𝑥𝐶 = 0
0=0
b) Determinar la solución para el PVF con y(o)=1 , 𝑦´
1 = 6
𝑦(0)=1 𝑦´ 1 = 6
1=𝐶1 + 𝐶2 0 6=0 + 2(1)𝐶2
1=𝐶1 6=2𝐶2
𝐶2= 3
𝑦 = 1 + 3𝑥2
Ecuaciones Diferenciales Homogéneas
𝑎 𝑛 𝑥
𝑑 𝑛 𝑦
𝑑𝑥 𝑛 + 𝑎 𝑛−1 𝑥
𝑑 𝑛−1 𝑦
𝑑𝑥 𝑛−1 + ⋯ + 𝑎1 𝑥
𝑑𝑦
𝑑𝑥
+ 𝑎0 𝑥 y= 0 𝐿 𝑦 = 0
Principio de superposición
Sean 𝑦1, 𝑦2, 𝑦3, … , 𝑦 𝑛 soluciones de una ED homogénea definida en un intervalo I.
Cualquier combinación lineal de ellas, también es solución.
𝑦 = 𝐶1 𝑦1 + 𝐶2 𝑦2+𝐶3 𝑦3+…+𝐶 𝑛 𝑦 𝑛
Donde 𝐶𝑖, i= 1,2,3,n; son constantes
𝑦 = 3𝑥2
𝑙𝑛𝑥
𝑦´
= 6𝑥𝑙𝑛𝑥 + 3𝑥
𝑦´´ = 6𝑥𝑙𝑛𝑥 + 6 + 3𝑥
𝑦´
=
6
𝑥
+ 3
𝑥3
6
𝑥
+ 3 − 2𝑥 6𝑥𝑙𝑛𝑥 + 3𝑥 + 4 3𝑥2
𝑙𝑛𝑥 = 0
6𝑥2 − 12𝑥2 𝑙𝑛𝑥 − 6𝑥2 + 12𝑥2 𝑙𝑛𝑥 = 0
0=0
𝑦 = 3𝑥2
−𝑥2
𝑙𝑛𝑥
𝑦´
= 6𝑥 − 2𝑥𝑙𝑛𝑥 − 𝑥
𝑦´´ = 6 − 2𝑙𝑛𝑥 − 2 − 1
𝑦´´´
=
−2
𝑥
𝑥3 −
2
𝑥
− 2𝑥 6𝑥 − 2𝑥𝑙𝑛𝑥 − 𝑥 + 4 3𝑥2 − 𝑥2 𝑙𝑛𝑥 = 0
0=0
Ejemplo
Dada las soluciones 𝑦1 = 𝑥2
𝑦 𝑦2 = 𝑥2
𝑙𝑛𝑥 de la Ed
homogénea 𝑥3 𝑦´´´ − 2𝑥𝑦´ + 4𝑦 = 0 1
Encuentra las 2 soluciones más de (1) y demuestre
que satisface la Ed.
𝑓1 𝑥 = 𝑥 + 5
𝑓2 𝑥 = 𝑥 + 5𝑥
𝑓3 𝑥 = 𝑥 − 1
𝑓4 𝑥 = 𝑥2
0𝑓1 𝑥 + 0𝑓2 𝑥 = 0𝑓3 𝑥 +𝑓4 𝑥 = 0
𝑓1 𝑥 = 𝑓2 𝑥 + 5𝑓2 𝑥 + 0𝑓4 𝑥 = 0
𝑥 + 5 − 𝑥 + 5𝑥 + 5 x − 1 + 0𝑥2
=0
0=0
∴ 𝑓1 𝑥 , 𝑓2 𝑥 , 𝑓3 𝑥 , 𝑓4 𝑥 Son linealmente dependientes
Funciones linealmente independientes y linealmente dependientes
Sean 𝑓1 𝑥 , 𝑓2 𝑥 , … , 𝑓𝑛 𝑥 , 𝑠𝑖:
𝐶1 𝑓1 𝑥 + 𝐶2 𝑓2 𝑥 + ⋯ + 𝐶 𝑛 𝑓𝑛 = 0
Si a excepción de 𝐶𝑖 = 0 ; 𝑖 = 1,2, … , 𝑛 𝑛𝑎 existen otros valores de 𝐶𝑖 para los cuales (i)
es 𝐶2 𝑌𝑝 entonces 𝑓1 𝑥 , 𝑓2 𝑥 , … , 𝑓𝑛 𝑥 son funciones linealmente independientes.
Caso contrario 𝑓1 𝑥 , 𝑓2 𝑥 , … , 𝑓𝑛 𝑥 son linealmente dependientes
Ejemplo
𝑦 𝑔 = 𝐶1 𝑌1 + 𝐶2 𝑌2+…+𝐶 𝑛 𝑌𝑛+𝑌𝑝
Sol. Homogénea complementaria
Sol. General Sol.
Particular
1) Resolver la Ec.homogénea asociada
𝑦𝑐 = 𝐶1 𝑌1 + 𝐶2 𝑌2+…+𝐶 𝑛 𝑌𝑛
2) Encontrar una solución particular de (1)
3) La solución general
𝑦 𝑔 = 𝑌𝑐+𝑌𝑝
Solución General Ecuación No Homogénea
Sea 𝑦𝑝 solución de (1) y 𝑦1 + 𝑦2, … , 𝑦 𝑛 un conjunto fundamental de solución de (2).
Entonces la solución general de (1) es:
Reducción de orden
Dada:
𝑎2 𝑥𝑦´´ + 𝑎1(𝑥)𝑦´+𝑎0 𝑥=0/𝑎2 𝑥
Si 𝑦1 es solución particular de (1)
Entonces se puede definir otra solución particular linealmente independiente , 𝑐𝑜𝑚𝑜:
𝑌2 = 𝑌1
𝑒 𝑝 𝑥 𝑑𝑥
𝑌1
2 dx
𝑌2 = 𝑥2
𝑒−
−3
𝑥
𝑑𝑥
(𝑥2)2 dx
𝑌2 = 𝑥2
𝑥+3
𝑥4
dx
𝑌2 = 𝑥2
𝑑𝑥
𝑥
𝑦𝑐 = 𝑥2
lnIxI
y= 𝑐1 𝑥2
+ 𝑐2 𝑥2
lnIxI Solución General
Hallar la solución general de:
𝑥2
𝑦``
− 3𝑥𝑦`
+ 4𝑦 = 0
Donde 𝑦1 = 𝑥2 es una solución particular
𝑦``
−
3
𝑥
𝑦`
+ 4
𝑦
𝑥2 = 0
1) Raíces reales diferentes ∆> 𝟎
𝑚1, 𝑚2 𝑚1 ≠ 𝑚2
𝑦1 = 𝑒 𝑚1𝑥
𝑦2 = 𝑒 𝑚2𝑥
𝑦𝑐 = 𝐶1 𝑌1 + 𝐶2 𝑌2
𝑊(𝑒 𝑚1𝑥, 𝑒 𝑚2𝑥)=
𝑒 𝑚1𝑥 𝑒 𝑚2𝑥
𝑚1 𝑒 𝑚1𝑥 𝑚2 𝑒 𝑚2𝑥
𝑊=𝑒 𝑚1𝑥+𝑚2𝑥(𝑚2-𝑚1) ≠ 0
W es distinto de cero
Solución General: 𝒚 = 𝑪 𝟏 𝒆 𝒎𝟏𝒙
+ 𝑪 𝟐 𝒆 𝒎𝟐𝒙
Ecuaciones Homogéneas con coeficientes
constantes
𝑎 𝑛 𝑦 𝑛 + 𝑎 𝑛−1 𝑦 𝑛−1 + ⋯ + 𝑎1 𝑦` + 𝑎0 𝑦 = 0
𝑎𝑖, 𝑖 = 1, … , 𝑛
𝑎2 𝑦 𝑛 + 𝑎1 𝑦` + 𝑎0 𝑦 = 0
Existe una solución particular : 𝑦 = 𝑒 𝑚𝑥
2𝑦``
− 5𝑦`
− 3𝑦 = 0
2𝑚2 − 5𝑚 − 3 = 0
(2m-6)(2m+1)=0
𝑚1 = 3 𝑚2 = −
1
2
𝑦 = 𝐶1 𝑒3𝑥 + 𝐶2 𝑒
−𝑥
2
𝑦 = 𝑒 𝑚1𝑥
𝑌2 = 𝑌1
𝑒 𝑝 𝑥 𝑑𝑥
𝑌1
2 dx
𝑌2 = 𝑒 𝑚1𝑥
𝑒−
𝑏
𝑎 𝑑𝑥
𝑒 𝑚1𝑥 dx
Ejemplo:
2) Raíces reales iguales ∆= 0
𝑌2 = 𝑒 𝑚1𝑥
𝑒2𝑚1𝑥
𝑒2𝑚1𝑥
𝑌2 = 𝑥𝑒 𝑚1𝑥
𝑥
𝑦`` − 10𝑦` + 25𝑦 = 0
𝑚2
− 10𝑚 + 25 = 0
(m-5)(m-5)=0
𝑚1 = 5 𝑚2 = 5
Ejemplo:
Solución General: 𝒚 = 𝑪 𝟏 𝒆 𝒎𝟏𝒙
+ 𝑪 𝟐 𝒙𝒆 𝒎𝟐𝒙
Solución General: 𝒚 = 𝑪 𝟏 𝒆 𝟓𝒙
+ 𝑪 𝟐 𝒙𝒆 𝟓𝒙
𝑚1 = 𝛼 + 𝛽𝑖
𝑚2 = 𝛼 − 𝛽𝑖
𝑦 = 𝐶1 𝑒(𝛼+𝛽𝑖) + 𝐶2 𝑒(𝛼−𝛽𝑖) Solución imaginaria
𝑦 = 𝐶1 𝑒 𝛼𝑥
𝑐𝑜𝑠𝛽𝑥 + 𝐶2 𝑒 𝛼𝑥
𝑠𝑒𝑛𝛽𝑥
𝑦 = 𝑒 𝛼𝑥
𝐶1 𝑐𝑜𝑠𝛽𝑥 + 𝐶2 𝑠𝑒𝑛𝐵𝑥
𝑑4
𝑦
𝑑𝑦4
+ 2
𝑑2
𝑦
𝑑𝑦2
+ 𝑦 = 0
𝑚4 + 2𝑚2 + 1 = 0
(𝑚2
+ 1)2
= 0
(𝑚2
+ 1)(𝑚2
+ 1)=0
𝑚2
= 1 𝛼 = 0
𝑚 = ±1
β = 1
𝑦 = 𝑒0𝑥
𝐶1 𝑐𝑜𝑠1𝑥 + 𝐶2 𝑠𝑒𝑛1𝑥 +…+𝑥𝑒0𝑥
𝐶3 𝑐𝑜𝑠1𝑥 + 𝐶4 𝑠𝑒𝑛1𝑥
𝑦 = 𝐶1 𝑐𝑜𝑠𝑥 + 𝐶2 𝑠𝑒𝑛𝑥 + 𝐶4 𝑐𝑜𝑠𝑥 + 𝐶4 𝑥𝑠𝑒𝑛𝑥
3) Raíces complejas conjugadas (∆< 0)
Ejemplo:
Principio Superposición: ecuaciones no homogéneas
𝑎 𝑛 𝑖 𝑥 𝑦 𝑛 + ⋯ + 𝑎1 𝑖 𝑥 𝑦` + 𝑎 𝑜 𝑖 𝑥 𝑦 = 𝑔𝑖 𝑥
𝑖 = 1,2,3
Sean 𝑦 𝑝1, 𝑦 𝑝2, … , 𝑦 𝑝𝑖 soluciones particulares
Ecuación no homogénea, entonces:
𝑦𝑝 = 𝑦 𝑝1 + 𝑦 𝑝2 + ⋯ + 𝑦 𝑝𝑖 + ⋯
Ejemplo:
𝑦 𝑝𝑖 = −4𝑥2
; 𝑦``
− 3𝑦` + 4𝑦 = −16𝑥2
+ 24𝑥 − 8
𝑦 𝑝2=𝑒2𝑥; 𝑦``
− 3𝑦` + 4𝑦 = 2𝑒2𝑥
𝑦𝑝 = 𝑦 𝑝1 + 𝑦 𝑝2
𝑦𝑝 = −4𝑥2
+ 𝑒2𝑥
; 𝑦``
−3𝑦` + 4𝑦 = −16𝑥2
+ 24𝑥 − 8 + 2𝑒2𝑥
𝑎 𝑛 𝑦 𝑛
+ ⋯ + 𝑎1 𝑦`
+ 𝑎0 𝑦 = 𝑔 𝑥
𝑎𝑖 = 𝑐𝑜𝑛𝑠𝑡𝑎𝑛𝑡𝑒𝑠 𝑖 = 1,2,3, … , 𝑛
Coeficientes indeterminados: método de superposición
Polinomial
Exponencial
Sen/ Cos y suma y
producto de estas
g(x)debe ser
función
1) 𝑦``
+ 4𝑦`
− 2𝑦 = 2𝑥2
− 3𝑥 + 6 𝑦𝑝 = −𝑥2
−
5
2
𝑥 − 9
𝑚2 + 4𝑚 − 2 = 0 𝑦𝑝 = 𝐴𝑥2 + 𝐵𝑥 + 𝐶
𝑚 =
−4± 42−4(1)(−2)
2(1)
𝑦𝑝`` = 2𝐴
𝑚1 = −2 + 6 𝑚2 = −2 − 6 2𝐴 + 4 2𝐴𝑥 + 𝐵 − 2(𝐴𝑥2
+ 𝐵𝑥 + 𝐶)
𝑦𝑐 = 𝐶1 𝑒(−2+ 6)
+ 𝐶2 𝑒(−2− 6)
2𝐴 + 4 2𝐴𝑥 + 𝐵 − 2 𝐴𝑥2
+ 𝐵𝑥 + 𝐶 = 2𝑥2
− 3𝑥 + 6
2𝐴 + 8𝐴𝑥 + 4𝐵 − 2𝐴𝑥2
− 2𝐵𝑥 − 2𝐶 = 2𝑥2
− 3𝑥 + 6
-2𝐴𝑥2
8A − 2B x + 2A + 4B − 2C = 2𝑥2
− 3𝑥 + 6
−2𝐴 = 2
𝐴 = 1
8 −1 − 2𝐵 = −3
𝐵 = −
5
2
2(−1) + 4(−
5
2
) − 2𝐶 = 6
C= −9
Método de variación de parámetros
Procedimiento:
1) Pasar a: 𝑦``
+ 𝑝 𝑥 𝑦`
+ 𝑄 𝑥 𝑦 = 𝑓 𝑥
2) 𝑦𝑐 = 𝐶1 𝑦1 + 𝐶2 𝑦2
3) 𝑦𝑝 = 𝜇1 𝑦1 + 𝜇2 𝑦2
4) 𝜇1
`
= −
𝑦2 𝑓 𝑥
𝑊
5) 𝜇2
`
=
𝑦1 𝑓(𝑥)
𝑊
6) 𝑦 𝑔 = 𝑦𝑐 + 𝑦𝑝
1) 4𝑦``
+ 36𝑦 = 𝑐𝑠𝑐3
𝑦``
+ 9𝑦 =
1
4
𝑐𝑠𝑐3
𝑚2 + 9 = 0
𝑚2
= −9
𝑚 = ±3𝑖
𝛼 = 0
β = 3
𝑦𝑐 = 𝑒0𝑥 𝐶1 𝑐𝑜𝑠3𝑥 + 𝐶2 𝑠𝑒𝑛𝐵𝑥
𝑦𝑐 = 𝐶1 𝑐𝑜𝑠3𝑥 + 𝐶2 𝑠𝑒𝑛𝐵𝑥
𝑦𝑝 = 𝜇1 𝑐𝑜𝑠3𝑥 + 𝜇2 𝑠𝑒𝑛3𝑥
𝑦1 = 𝑐𝑜𝑠3𝑥 𝑦2 = 𝑠𝑒𝑛3𝑥
𝑊 =
𝑐𝑜𝑠3𝑥 𝑠𝑒𝑛3𝑥
−3𝑠𝑒𝑛3𝑥 3𝑐𝑜𝑠3𝑥
𝑊 = 3
Ejemplo:
𝜇1
`
= −
𝑠𝑒𝑛3𝑥
1
4
𝑐𝑠𝑐3𝑥
3
𝜇1
`
= −
1
12
𝑠𝑒𝑛3𝑥
1
𝑠𝑒𝑛3𝑥
𝜇1
`
= −
1
12
𝜇1
`
= − −
1
12
𝑑𝑥
𝜇1
`
= −
𝑥
2
𝜇2
`
=
𝑐𝑜𝑠3𝑥
1
4
𝑐𝑠𝑐3𝑥
3
𝜇2
`
=
1
12
𝑐𝑜𝑠3𝑥
1
𝑠𝑒𝑛3𝑥
𝜇2
`
=
1
12
𝑐𝑡𝑔3𝑥𝑑𝑥
𝜇2
`
=
1
12
𝑥
1
3
𝑙𝑛Isen3xI
𝜇2
`
=
𝑙𝑛
36
Isen3xI
𝑦𝑝 = −
𝑥
12
𝑐𝑜𝑠3𝑥 +
ln
36
Isen3xIsen3x
𝑦 𝑔 = 𝐶1 𝑐𝑜𝑠3𝑥 + 𝐶2 𝑠𝑒𝑛3𝑥 −
𝑥
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  • 1. Universidad Politécnica Salesiana Tarea Remedial sobre el resumen de las Ecuaciones Diferenciales
  • 2. Ecuaciones Diferenciales 𝑑ℎ 𝑑𝑡 , 𝑑2ℎ 𝑑𝑡2 , … . 𝑑 𝑛ℎ 𝑑𝑡 𝑛 𝑑ℎ2 𝑑𝑡 -2x 𝑑2 𝑦 𝑑𝑥2 = 𝑡 + 1 Ejemplo y‘= 𝑥 + 𝑦 UNIDAD I
  • 3. Clasificación de las Ecuaciones Diferenciales Ecuaciones Diferenciales Ordinarias (EDO): Son las que presentan una sola variable dependiente e independiente. Ejemplo: Ecuaciones Diferenciales Parciales (EDP): Son las que presentan 2 o más variables dependientes e independientes. Ejemplo: 𝑑2 𝑦 𝑑𝑥2 - 𝑑𝑦 𝑑𝑥 = 1 𝑦‘‘−𝑦‘=1 𝑑2 𝑥 𝑑𝑦2 - 𝑑2 𝑧 𝑑𝑡2 = 1+t-y
  • 4. ORDEN El orden de una ecuación diferencial esta dado por la mayor derivada presente. Ejemplo: 𝑑4 𝑦 𝑑𝑥4 - 𝑑𝑦 𝑑𝑥 = 𝑦4 = 3𝑥7+1 Cuarto Orden 𝑦‘= - 𝑦 𝑥 Primer Orden Linealidad Una ecuación diferencial ordinaria es lineal si tiene la forma: 𝑎 𝑛 𝑋 . 𝑦(𝑛) + 𝑎 𝑛−1(x). 𝑦(𝑛−1) +... 𝑎1(x). 𝑦‘+𝑎0(x).y=g(x) Una ecuación diferencial ordinaria no es lineal si tiene la forma anterior. Ejemplo: (𝑥2+1) y.y‘- (y‘)2 = 1
  • 5. Campos Direccionales Implícita: f(y‘,y,x)=0 Ejemplo: Explícita: y‘(x)=f(y(x),x) Ejemplo: y‘-x-y=0 y‘=x+y Solución de una Ecuación Diferencial: Una función y=d(x) es una solución de una E.D.O. de orden “n” en un intervalo I, si sus “n” derivadas existen en el intervalo I y al reemplazarlas en las E.D. se obtiene una identidad.  Ejemplo: 𝒚 = 𝟏 𝒙 𝑦‘= − 1 𝑥2 𝑦‘‘= 1 𝑥3 𝑦‘‘= 𝑦3 𝒚‘ = 𝟏 𝒙 𝒆𝒔 𝒔𝒐𝒍𝒖𝒄𝒊ó𝒏 𝒅𝒆𝑦‘‘= 𝑦3 en (- ∞,0) o (0+ ∞) X=(- ∞,0) u (0+ ∞) X=(- ∞,0) u (0+ ∞)
  • 6. Ecuaciones Diferenciales Ordinarias (EDO) 𝐹(𝑥, 𝑦, 𝑦‘, 𝑦‘‘, … 𝑦(𝑛)) = 0 Forma General EDO orden “n” 𝑦 𝑛 𝑥 = 𝑓(𝑥, 𝑦, 𝑦‘, 𝑦‘‘,…𝑦 𝑛−1 Forma Normal EDO orden “n” 𝑑𝑦 𝑑𝑥 =f( x, y) Forma Normal EDO Primer orden 𝑑2 𝑦 𝑑𝑥2=f( x, y, 𝑦‘) Forma Normal EDO Segundo orden  N( x, y).dy=-M( x, y))dx  M( x, y).dx+ N(x,y)dy=0 Forma Diferencial EDO Primer Orden
  • 7. Problemas con Valores Iniciales (PVI) Consiste en encontrar una solución particular y (x) que cumple ciertas condiciones dadas: 𝑅𝑒𝑠𝑜𝑙𝑣𝑒𝑟: 𝑑 𝑛 𝑦 𝑑𝑥 𝑛 = 𝐹(𝑥, 𝑦, 𝑦‘,𝑦‘‘, … 𝑦 𝑛−1 ) Sujeto a: 𝑦(𝑥0) = 𝑦0, 𝑦‘(𝑥0) = 𝑦1,𝑦‘‘(𝑥0) = 𝑦2, … 𝑦 𝑛−1 (𝑥0) = 𝑦 𝑛−1 Procedimiento: 1.- Encontrar la solución n- paramétrica. 2.- Usar los valores iniciales para hallar los “n” parámetros. 3.- Escribir la solución particular.
  • 8. Ejemplo: Si se sujeta un objeto a 300 metros de altura, encontrar su posición a los 5 segundos. X(o)=300 ; x‘(0)=0 X=(0) t + 𝟏 𝟐 (-9,8) 𝑡2 +300 ----- Solución Particular X(5)= 𝟏 𝟐 (-9,8). (5)2 +300 F= m . g ; x(0)=300 a=g ; x‘(0)=0 𝑑2 𝑥 𝑑𝑡2 = g ; 𝑑𝑥 𝑑𝑡 = g.t+𝐶1 X= 𝟏 𝟐 . g . 𝑡2 + 𝐶1. t + 𝐶2 ----- Solución General 0=g(0) + 𝐶1 𝐶1=0 300= 𝟏 𝟐 . g. (0)2 + 𝐶1 (0) + 𝐶2 𝐶2= 300 ; (𝑉0) X= 𝟏 𝟐 . g. 𝑡2 + (0) t + 300 X = 𝟏 𝟐 g . 𝑡2 + 300 --- Solución Particular X(5)= 𝟏 𝟐 (-9,8). (5)2 + 300 X(5)= 177,5 m.
  • 9. Fracciones Parciales  𝒇(𝒙) 𝑨𝒙+𝑩 (𝑪𝒙+𝒅) = 𝒂 (𝑨𝒙+𝑩) + 𝒃 (𝑪𝒙+𝑫)  𝒇(𝒙) (𝐴𝑥+𝐵)2 = 𝒂 (𝑨𝒙+𝑩) + 𝒃 (𝐴𝑥+𝐵)2  𝒇(𝒙) (𝐴𝑥+𝐵)(𝐶𝑥2+𝐷𝑥+𝐸) = 𝒂 (𝑨𝒙+𝑩) + 𝒃𝒙+𝑪 (𝐶𝑥2+𝐷𝑥+𝐸)  𝒇(𝒙) (𝐴𝑥2+𝐵𝑥+𝐶)2 = 𝒂𝒙+𝒃 (𝐴𝑥2+𝑩𝒙+𝑪) + 𝑪𝒙+𝒅 (𝐴𝑥2+𝐵𝑥+𝐶)2 El método de las fracciones parciales consiste en reducir un cociente de polinomios en fracciones más simples, que permitan obtener de manera inmediata una integral.
  • 10. UNIDAD II Ecuaciones Diferenciales de Variables Separables Dada la E.D. 𝒅𝒚 𝒅𝒙 = f x, y , si f x, y Se puede separar en dos factores g(x) y h(y), entonces se habla de una E.D. de variables separables. 𝒅𝒚 𝒅𝒙 = 𝒇 𝒙, 𝒚 −−−− − 𝒅𝒚 𝒅𝒙 = 𝒈 𝒙 . 𝒉(𝒙) Ejemplo: (1+x) . dy - y . dx =0 (1+x) dy = y. dx ∫ 𝒅𝒚 𝒚 = ∫ 𝒅𝒙 (𝟏+𝒙) lnIyI= ln(1+x) + 𝐶1 𝑒ln I 𝑦I= 𝑒ln (1+x)+ 𝐶1 IyI= 𝑒ln (1+x) . 𝑒 𝐶1 IyI= I1+xI . 𝐶2 Y=C (1+x) ----- Solución General
  • 11. 𝑥. 𝑑𝑣 𝑑𝑥 = 1−2𝑣2 𝑣 ; u= 1 − 2𝑣2 ; du = -4v.dv ; -du/4= v.dv = ∫ 𝒗.𝒅𝒗 1−2𝑣2 = ∫ 𝒅𝒙 𝒙 = ∫ −du/4 𝒖 = ∫ dx 𝒙 = − 1 𝟒 lnIuI = lnIxI+ln𝐶1 lnI1 − 2𝑣2I= ln I𝐶1xI = ln (I1 − 2𝑣2I) − 1 𝟒 = ln I𝐶1xI ln (I1 − 2𝑣2 I) − 1 𝟒 = I𝐶1. xI = 1 ln (I1−2𝑣2I) − 1 𝟒 = 𝐶1. X 𝐶1. X (I1 − 2𝑣2I) 1 𝟒 = 1 = 𝐶1. X (1 − 2𝑣2) 1 𝟒 = 1 ------ Solución General = (- ∞,0) ó (0,+ ∞) Ejemplo:
  • 12. Método del Factor Integrante para EDO‘s (Lineales Orden 1) 𝑢 = 𝑒∫ 𝑃 𝑥 .𝑑𝑥 factor integrante. Procedimiento: 1.- Escribir la E.D. en su forma estándar. 𝑑𝑦 𝑑𝑥 + 𝑃 𝑥 . 𝑦 = 𝑓 𝑥 2.- Encontrar el factor integrante 𝑢 = 𝑒∫ 𝑃 𝑥 .𝑑𝑥 3.- Escribir 𝑢. 𝑦 = ∫u. f(x).dx 4.- Resolver integral y despejar “y”.
  • 13. Ejemplo:  𝒅𝒗 𝒅𝒙 - 5y= 10 P(x)=-5 ; f(x)=10 𝑢 = 𝑒∫ 𝑃 𝑥 .𝑑𝑥 ; 𝑢 = 𝑒∫ 𝑃 −5 .𝑑𝑥 ; 𝑢 = 𝑒 −5𝑥+𝐶 𝑢. 𝑦 = ∫u. f(x).dx 𝑒 −5𝑥-y = ∫ 𝑒 −5𝑥 (10). dx 𝑒 −5𝑥.y=(10∫ 𝑒 −5𝑥.dx) ∫𝑒 −5𝑥.dx ; u=-5x ; dx= 𝑑𝑢 −5 𝑒 −5𝑥 .y=10 - 𝑒 −5𝑥 5 + C 𝑒 −5𝑥.y = -2𝑒 −5𝑥+C Y= −2 𝑒 −5𝑥 𝑒 −5𝑥 + C Y= -2+C 𝑒 5𝑥 -------- Solución General x= (- ∞,+ ∞)
  • 14. Diferenciales y derivadas parciales  f( x, y)= 𝟐𝒙 𝟐 𝒚 + 𝒙𝒆 𝒚 𝑑𝑓 𝑑𝑥 = 4𝑥𝑦 + 𝑒 𝑦 (Tomo “y” constante) 𝑑𝑓 𝑑𝑦 = 2𝑥 2 +𝑥𝑒 𝑦 (Tomo “x” constante) df= 𝑑𝑓 𝑑𝑥 .dx + 𝑑𝑓 𝑑𝑦 . dy df= (y-4xy+𝑒 𝑦).dx+(2𝑥 2+x. 𝑒 𝑦).dy
  • 15. Ecuaciones Diferenciales Exactas En matemáticas, una ecuación diferencial exacta es una ecuación diferencial ordinaria de primer orden que se presenta de la forma: Una Ecuación Diferencial M( x, y).dy=0, es exacta si existe una función f( x, y)=0, tal que 𝑑𝑓 𝑑𝑦 =M(x , y) y 𝑑𝑓 𝑑𝑥 =N( x, y) Criterio de Exactitud: Una E.D. exacta cumple que: 𝒅𝑴 𝒅𝒚 = 𝒅𝑵 𝒅𝒙
  • 16. Ecuaciones Diferenciales Exactas Procedimiento: 1.- Verificar que M( x, y)dx + N( x ,y) dy=0 Es exacta si: 𝑑𝑀 𝑑𝑦 = 𝑑𝑁 𝑑𝑥 2.- f( x, y)= ∫M( x, y)dx+ g(y) 3.- 𝑑 𝑑𝑦 𝑓 𝑥, 𝑦 = 𝑑 𝑑𝑦 ∫M( x, y)dx+ g‘(y) 4.- Despejar g(y) 5.- Reemplazar en 2 “f( x, y)=C”
  • 17. Ejercicios:  (2𝑥𝑦 − 𝑠𝑒𝑐 2 𝑥)𝑑𝑥 + 𝑥 2 + 2𝑦)𝑑𝑦 = 0 𝑑𝑀 𝑑𝑦 =2x= 𝑑𝑁 𝑑𝑥 =2x : Es exacta 2) f( x, y)= ∫(2𝑥𝑦 − 𝑠𝑒𝑐 2 𝑥)𝑑𝑥+g(y) F( x, y)=2y 𝑥 2 2 - tan x + g(y) 3) 𝑑𝑓 𝑑𝑦 = 𝑥 2 +g‘(y) 4) g‘(y)= 𝑑𝑓 𝑑𝑦 − 𝑥 2 g‘(y)= (𝑥 2 +2y) -𝑥 2 g‘(y)=2y g(y)= ∫ 2y.dy g(y)= 2 𝑦 2 2 ; g(y)=𝑦 2 F( x, y) = 𝑥 2 y-tan x + 𝑦 2 ; f( x, y)=c ; 𝑥 2 y – tan x + 𝑦 2 = C
  • 18. Variación de la constante Procedimiento: 1.- Escribir E.D. en su forma estándar 𝑑𝑦 𝑑𝑥 + 𝑃 𝑥 𝑦 =f(x) 2.- Resolver la E.D. homogénea por variables separables 𝑑𝑦 𝑑𝑥 + 𝑃 𝑥 𝑦=0 Y=f( C , x) ---- Solución Homogénea 3.- Tomar C como C(x), derivar “y” y reemplazar en 2. 4.- Despejar C(x) y reemplazar en 2.
  • 19. Ejercicios:  𝒅𝒚 𝒅𝒙 +y= 𝒆 𝟑𝒙 2) y= C. 𝑒 −𝑥 ---- Solución Homogénea 𝑑𝑦 𝑑𝑥 +y=0 ----- Solución Homogénea 𝑑𝑦 𝑑𝑥 = 𝑑 𝑑𝑥 = (C. 𝑒 −𝑥 ) 𝑑𝑦 𝑑𝑥 = - y 𝑑𝑦 𝑑𝑥 = 𝑑𝐶 𝑑𝑥 . 𝑒 −𝑥 + 𝐶. 𝑑 𝑑𝑥 (𝑒 −𝑥 ) 𝑑𝑦 𝑦 = −𝑑𝑥 3) 𝑑𝑦 𝑑𝑥 = 𝑑𝐶 𝑑𝑥 . 𝑒 −𝑥 - C. 𝑒 −𝑥 ---- 2 y 3 en 1 ln I y I= -x + 𝐶1 ( 𝑑𝐶 𝑑𝑥 . 𝑒 −𝑥- C 𝑒 −𝑥) + C 𝑒 −𝑥= 𝑒 3𝑥 𝑒 𝑙𝑛𝐼𝑦𝐼 = 𝑒 −𝑥+𝐶1 𝑑𝐶 𝑑𝑥 . 𝑒 −𝑥 =𝑒 3𝑥 ; 𝑑𝐶 𝑑𝑥 = 𝑒 4𝑥 I y I= 𝑒 𝐶1. 𝑒 −𝑥 4) C= ∫𝑒 4𝑥 .dx= 1 4 𝑒 4𝑥 + 𝐶1 ---- 4 en 2 y= C. 𝑒 −𝑥 y= 1 4 . 𝑒 3𝑥 + 𝐶1. 𝑒 −𝑥 C Función
  • 20. Aplicaciones de E.D.O de Primer Orden  Ejemplo:  Crecimiento Poblacional: 𝑑𝑃 𝑑𝑡 = 𝐾. 𝑃 𝑃 − −𝑃𝑜𝑏𝑙𝑎𝑐𝑖ó𝑛  Reacción de Primer Orden: 𝑑𝐴 𝑑𝑡 = 𝐾. 𝐴 𝐴 − −𝐶𝑎𝑛𝑡𝑖𝑑𝑎𝑑 𝑑𝑒 𝑢𝑛 𝑒𝑙𝑒𝑚𝑒𝑛𝑡𝑜 Vida Media: Es el tiempo que tarda en desintegrarse o transformarse en otro elemento, la mitad de los átomos de una muestra inicial 𝐴0 Ra226 Rn222 Radio radiactivo 1700 Radón U-238 Pb-206 (uranio) 4.5 miles de millones de años (plomo)
  • 21. Sustituciones y Transformaciones 1) Ecuaciones Homogéneas 2) Ecuaciones de la forma 𝑑𝑦 𝑑𝑥 = 𝐺 𝑎𝑥 + 𝑏𝑦 3) Ecuaciones de Bernoulli 4) Ecuaciones de Riccati
  • 22. Ecuaciones Homogéneas 𝑑𝑦 𝑑𝑥 = f( x, y) ---- 𝑑𝑦 𝑑𝑥 = G( 𝑦 𝑥 ) F. Normal Ec. Homogénea Z= 𝑦 𝑥 ; z . x 𝑑𝑦 𝑑𝑧 = 𝑥. 𝑑𝑧 𝑑𝑥 +z x. 𝑑𝑧 𝑑𝑥 + 𝑧 = 𝐺 𝑧 x. 𝑑𝑧 𝑑𝑥 = G8z)=z 𝑑𝑧 𝐺 𝑧 −𝑧 = 𝑑𝑥 𝑥 −− −𝑉𝑎𝑟𝑖𝑎𝑏𝑙𝑒𝑠 𝑠𝑒𝑝𝑎𝑟𝑎𝑏𝑙𝑒𝑠
  • 23. Ejercicios:  (𝒙. 𝒚 + 𝒚 𝟐 + 𝒙 𝟐)𝒅𝒙 - 𝒙 𝟐dy=0 ------ F. Diferencial (𝑥. 𝑦 + 𝑦 2 + 𝑥 2)𝑑𝑥= 𝑥 2.dy 𝑑𝑦 𝑑𝑥 = 𝑥.𝑦+𝑦 2+𝑥 2 𝑥 2 −−− −𝐹. 𝑁𝑜𝑟𝑚𝑎𝑙 𝑑𝑦 𝑑𝑥 = 𝑦 𝑥 + ( 𝑦 𝑥 ) 2 + 1 ------ Ec. Homogénea Z= 𝑦 𝑥 ; 𝑑𝑦 𝑑𝑥 = x. 𝑑𝑧 𝑑𝑥 + 𝑧 x. 𝑑𝑧 𝑑𝑥 + z = z + 𝑧 2 + 1 x. 𝑑𝑧 𝑑𝑥 = 𝑧 2 + 1 arctan z= ln I x I + C arc 𝑦 𝑥 = ln I x I + C Tan (arctan 𝑦 𝑥 ) = tan ( ln I x I + C ; 𝑦 𝑥 = tan ( ln l x l + C Y= x. tan ( ln I x I + C) ---- Solución General
  • 24. Ecuaciones de la forma 𝑑𝑦 𝑑𝑥 = 𝐺 𝑎𝑥 + 𝑏𝑦 Z= ax+by ; 𝑑𝑧 𝑑𝑥 = 𝑎 + 𝑏 𝑑𝑦 𝑑𝑥 𝑑𝑦 𝑑𝑥 = 1 𝑏 . 𝑑𝑧 𝑑𝑥 - 𝑎 𝑏 1 𝑏 . 𝑑𝑧 𝑑𝑥 - 𝑎 𝑏 = G(z) 1 𝑏 . 𝑑𝑧 𝑑𝑥 = G(z) + 𝑎 𝑏 𝑑𝑧 𝐺 𝑧 + 𝑎 𝑏 = b. dx -------- Variables Separables
  • 25. Ejercicios:  𝒅𝒚 𝒅𝒙 = (𝒙 + 𝒚 + 𝟐) 𝟐 Z= x + y ; 𝑑𝑧 𝑑𝑥 = 1 + 𝑑𝑦 𝑑𝑥 𝑑𝑦 𝑑𝑥 = 𝑑𝑧 𝑑𝑥 - 1 𝑑𝑧 𝑑𝑥 - 1 = (𝑧 + 2) 2 𝑑𝑧 𝑑𝑧 = (𝑧 + 2) 2 +1 ∫ 𝑧 (𝑧+2) 2 +1 = ∫dx u= z+2 ; du= dz ∫ 𝑑𝑢 𝑢 2 +1 = ∫dx arctan u= x + C ; arctan ( z+2) = x+ C ; arctan (x+y+z) = x + C tan (arctan x+y+z) =tan ( x + C) ; y= tan( x + c) – x -z
  • 26. Ecuación de Bernoulli 𝑑𝑦 𝑑𝑥 + P(x) y= Q(x). 𝑦 𝑛 1) V= 𝑦 1−𝑛 2) ; 𝑑𝑣 𝑑𝑥 = 1 − 𝑛 𝑦 −𝑛 . 𝑑𝑦 𝑑𝑥 3) 𝑦 −𝑛 𝑑𝑦 𝑑𝑥 = 1 1−𝑛 . 𝑑𝑣 𝑑𝑥 x. 𝑦 −𝑛 1) 𝑦 −𝑛 𝑑𝑦 𝑑𝑥 + P(x) 𝑦 1−𝑛 = Q(x) 4) 2 y 3 en 4 1 1−𝑛 . 𝑑𝑣 𝑑𝑥 + 𝑃 𝑥 𝑣 = 𝑄 𝑥 −−− −𝐸𝑐𝑢𝑎𝑐𝑖ó𝑛 𝐿𝑖𝑛𝑒𝑎𝑙 ∶ 𝑃𝑜𝑟 𝑓𝑎𝑐𝑡𝑜𝑟 𝐼𝑛𝑡𝑒𝑔𝑟𝑎𝑙 𝑜 𝑉𝑎𝑟𝑖𝑎𝑐𝑖ó𝑛 𝑑𝑒 𝑙𝑎 𝑐𝑜𝑛𝑠𝑡𝑎𝑛𝑡𝑒
  • 27. 𝑑𝑦 𝑑𝑥 - 5y= - 5 2 𝑦 3 ----- Ecuación Bernoulli n=3 Método del factor Integrante P(x)= 10 ; f(x)=5 𝑒 10𝑥 . 𝑣 = ∫ 𝑒 10𝑥 (5). dx 1) x. 𝑦 −3 𝑒 10𝑥. 𝑣= 5 ∫ 𝑒 10𝑥. dx 2) 𝑦 −3 𝑑𝑦 𝑑𝑥 - 5𝑦 −2 = - 5 2 𝑒 10𝑥 . 𝑣= 5 𝑒 10𝑥 10 + C 3) V= 𝑦 1−3 = 𝑦 −2 ; 𝑑𝑣 𝑑𝑥 = −2𝑦 −3 𝑑𝑦 𝑑𝑥 𝑒 10𝑥 . 𝑣= 𝑒 10𝑥 2 + C 4) 𝑦 −3 𝑑𝑦 𝑑𝑥 = - 1 2 𝑑𝑣 𝑑𝑥 v= 𝑒 10𝑥+𝐶 2.𝑒 10𝑥 3 y 4 en 2 v= 1 2 + C. 𝑒− 10𝑥 - 1 2 𝑑𝑣 𝑑𝑥 - 5v= - 5 2 “x-2” 𝑦− 2 = 1 2 + C. 𝑒− 10𝑥 𝑑𝑣 𝑑𝑥 + 10 v = 5 --- Forma Estándar o Canónica y= ( 1 2 + C. 𝑒− 10𝑥 )− 1/2 Ejercicios:
  • 28. Ecuación de Riccati 𝑑𝑦 𝑑𝑥 = P(x) + Q(x) y +R(x) 𝑦2 Si se tiene una solución particular conocida 𝑦1 𝑦 = 𝑦1 + 𝑢 𝑦‘= 𝑦1‘+𝑢‘
  • 29. Ejercicios:  𝒅𝒚 𝒅𝒙 = − 𝟒 𝒙 𝟐 - 𝒚 𝒙 + 𝒚 𝟐 ; 𝒚 𝟏 = 𝟐 𝒙 ---- Solución Particular Y= 2 𝑥 + 𝑢 𝑦‘= - 2 𝑥 2 + 𝑢‘ - 2 𝑥 2 + 𝑢‘= − 4 𝑥 2 - ( 2 𝑥 +𝑢) 𝑥 + ( 2 𝑥 +𝑢) 2 𝑢‘= − 4 𝑥 2 - 2 𝑥 2 - 𝑢 𝑥 + 4 𝑥 2 + 4𝑢 𝑥 + 𝑢 2 + 2 𝑥 2 𝑢‘= 3𝑢 𝑥 + 𝑢 2 1) 𝑢‘ - 3𝑢 𝑥 = 𝑢 2 ------ Ecuación de Bernoulli V= 𝑢 1−𝑛 ; v= 𝑢 1−2 ; v= 𝑢 −1 ; v‘= - 𝑢 −2 . u‘ 𝑢 −2. 𝑢= - v‘
  • 30. 𝑥. 𝑢 −2 𝑢 = (− 𝒙 𝟒 +C𝑥 −3) −1 𝑢 −2 . 𝑢‘ - 𝟑 𝒙 𝑢 −1 = 1 y- 𝟐 𝒙 = ( 𝑪 𝑥3 − 𝒙 𝟒 ) −1 -v‘- 𝟑 𝒙 v =1 y- 𝟐 𝒙 = ( 𝟒𝑪−𝑥4 4𝑥3 ) −1 v‘ + 𝟑 𝒙 v = -1 y- 𝟐 𝒙 = 𝟒𝑥3 𝐶−𝑥4 𝑧 = 𝑒∫ 𝟑 𝒙 .𝒅𝒙 = 𝑒3ln l x l = 𝑒ln l 𝑥 3l y= 𝟒𝑥3 𝐶−𝑥4 + 𝟐 𝒙 ---- Solución General Z= 𝑥 3 𝑥 3. v= ∫ 𝑥 3 (-1). dx 𝑥 3 . V= - 𝑥 4 𝟒 + C v= - 𝒙 𝟒 + C. 𝑥 −3 𝑢 −1 = - 𝒙 + C 𝑥 −3
  • 31. Ecuaciones de Orden Superior Existencia y unicidad de problemas con valores iniciales (n- esimo orden) Sean 𝑎 𝑛 𝑥 , 𝑎 𝑛−1 𝑥 , … , 𝑎1 𝑥 , 𝑎0 𝑥 𝑦 𝑔(𝑥) funciones continuas en un intervalo I, entonces existe una solución y(x) Ejercicio: 3𝑦´´´ + 5𝑦´´ − 𝑦´ + 7𝑦 = 0 𝑦 1 = 0 𝑦´ 1 = 0 𝑦´´ 1 = 0 Solución trivial y=0 ∴ 𝑒𝑠 ú𝑛𝑖𝑐𝑎 𝑠𝑜𝑙𝑢𝑐𝑖ó𝑛 Sean 𝑎 𝑛 𝑥 , 𝑎 𝑛−1 𝑥 , … , 𝑎1 𝑥 , 𝑎0 𝑥 𝑦 𝑔(𝑥) funciones continuas en un intervalo I y 𝑎 𝑛 𝑥 ≠ 0 en todo el intervalo I. Entonces existe una única solución y(x).
  • 32. Problemas con valores de frontera Las condiciones se especifican en distintos puntos Resolver: 𝑎 𝑛 𝑥 𝑑 𝑛 𝑦 𝑑𝑥 𝑛 + 𝑎 𝑛−1 𝑥 𝑑 𝑛−1 𝑦 𝑑𝑥 𝑛−1 + ⋯ + 𝑎1 𝑥 𝑑𝑦 𝑑𝑥 + 𝑎0 𝑥 y= g(x) Sujeto a: 𝛼1 𝑦(𝑎) + 𝛽1 𝑦´ 𝑎 = 𝛿1 Condiciones Generales en la frontera 𝛼2 𝑦(𝑏) + 𝛽2 𝑦´ 𝑏 = 𝛿2
  • 33. Ejercicio Dada la solución general 𝑦 = 𝐶1 + 𝐶2 𝑥2 1 𝑥𝑦´´ − 𝑦´ = 0 a) Demostrar que (1) es solución de (2) 𝑦´ = 0 + 2𝑥𝐶2 𝑦´´ = 2𝐶2 𝑥 𝐶 − 2𝑥𝐶 = 0 2𝑥𝐶 − 2𝑥𝐶 = 0 0=0 b) Determinar la solución para el PVF con y(o)=1 , 𝑦´ 1 = 6 𝑦(0)=1 𝑦´ 1 = 6 1=𝐶1 + 𝐶2 0 6=0 + 2(1)𝐶2 1=𝐶1 6=2𝐶2 𝐶2= 3 𝑦 = 1 + 3𝑥2
  • 34. Ecuaciones Diferenciales Homogéneas 𝑎 𝑛 𝑥 𝑑 𝑛 𝑦 𝑑𝑥 𝑛 + 𝑎 𝑛−1 𝑥 𝑑 𝑛−1 𝑦 𝑑𝑥 𝑛−1 + ⋯ + 𝑎1 𝑥 𝑑𝑦 𝑑𝑥 + 𝑎0 𝑥 y= 0 𝐿 𝑦 = 0 Principio de superposición Sean 𝑦1, 𝑦2, 𝑦3, … , 𝑦 𝑛 soluciones de una ED homogénea definida en un intervalo I. Cualquier combinación lineal de ellas, también es solución. 𝑦 = 𝐶1 𝑦1 + 𝐶2 𝑦2+𝐶3 𝑦3+…+𝐶 𝑛 𝑦 𝑛 Donde 𝐶𝑖, i= 1,2,3,n; son constantes
  • 35. 𝑦 = 3𝑥2 𝑙𝑛𝑥 𝑦´ = 6𝑥𝑙𝑛𝑥 + 3𝑥 𝑦´´ = 6𝑥𝑙𝑛𝑥 + 6 + 3𝑥 𝑦´ = 6 𝑥 + 3 𝑥3 6 𝑥 + 3 − 2𝑥 6𝑥𝑙𝑛𝑥 + 3𝑥 + 4 3𝑥2 𝑙𝑛𝑥 = 0 6𝑥2 − 12𝑥2 𝑙𝑛𝑥 − 6𝑥2 + 12𝑥2 𝑙𝑛𝑥 = 0 0=0 𝑦 = 3𝑥2 −𝑥2 𝑙𝑛𝑥 𝑦´ = 6𝑥 − 2𝑥𝑙𝑛𝑥 − 𝑥 𝑦´´ = 6 − 2𝑙𝑛𝑥 − 2 − 1 𝑦´´´ = −2 𝑥 𝑥3 − 2 𝑥 − 2𝑥 6𝑥 − 2𝑥𝑙𝑛𝑥 − 𝑥 + 4 3𝑥2 − 𝑥2 𝑙𝑛𝑥 = 0 0=0 Ejemplo Dada las soluciones 𝑦1 = 𝑥2 𝑦 𝑦2 = 𝑥2 𝑙𝑛𝑥 de la Ed homogénea 𝑥3 𝑦´´´ − 2𝑥𝑦´ + 4𝑦 = 0 1 Encuentra las 2 soluciones más de (1) y demuestre que satisface la Ed.
  • 36. 𝑓1 𝑥 = 𝑥 + 5 𝑓2 𝑥 = 𝑥 + 5𝑥 𝑓3 𝑥 = 𝑥 − 1 𝑓4 𝑥 = 𝑥2 0𝑓1 𝑥 + 0𝑓2 𝑥 = 0𝑓3 𝑥 +𝑓4 𝑥 = 0 𝑓1 𝑥 = 𝑓2 𝑥 + 5𝑓2 𝑥 + 0𝑓4 𝑥 = 0 𝑥 + 5 − 𝑥 + 5𝑥 + 5 x − 1 + 0𝑥2 =0 0=0 ∴ 𝑓1 𝑥 , 𝑓2 𝑥 , 𝑓3 𝑥 , 𝑓4 𝑥 Son linealmente dependientes Funciones linealmente independientes y linealmente dependientes Sean 𝑓1 𝑥 , 𝑓2 𝑥 , … , 𝑓𝑛 𝑥 , 𝑠𝑖: 𝐶1 𝑓1 𝑥 + 𝐶2 𝑓2 𝑥 + ⋯ + 𝐶 𝑛 𝑓𝑛 = 0 Si a excepción de 𝐶𝑖 = 0 ; 𝑖 = 1,2, … , 𝑛 𝑛𝑎 existen otros valores de 𝐶𝑖 para los cuales (i) es 𝐶2 𝑌𝑝 entonces 𝑓1 𝑥 , 𝑓2 𝑥 , … , 𝑓𝑛 𝑥 son funciones linealmente independientes. Caso contrario 𝑓1 𝑥 , 𝑓2 𝑥 , … , 𝑓𝑛 𝑥 son linealmente dependientes Ejemplo
  • 37. 𝑦 𝑔 = 𝐶1 𝑌1 + 𝐶2 𝑌2+…+𝐶 𝑛 𝑌𝑛+𝑌𝑝 Sol. Homogénea complementaria Sol. General Sol. Particular 1) Resolver la Ec.homogénea asociada 𝑦𝑐 = 𝐶1 𝑌1 + 𝐶2 𝑌2+…+𝐶 𝑛 𝑌𝑛 2) Encontrar una solución particular de (1) 3) La solución general 𝑦 𝑔 = 𝑌𝑐+𝑌𝑝 Solución General Ecuación No Homogénea Sea 𝑦𝑝 solución de (1) y 𝑦1 + 𝑦2, … , 𝑦 𝑛 un conjunto fundamental de solución de (2). Entonces la solución general de (1) es:
  • 38. Reducción de orden Dada: 𝑎2 𝑥𝑦´´ + 𝑎1(𝑥)𝑦´+𝑎0 𝑥=0/𝑎2 𝑥 Si 𝑦1 es solución particular de (1) Entonces se puede definir otra solución particular linealmente independiente , 𝑐𝑜𝑚𝑜: 𝑌2 = 𝑌1 𝑒 𝑝 𝑥 𝑑𝑥 𝑌1 2 dx
  • 39. 𝑌2 = 𝑥2 𝑒− −3 𝑥 𝑑𝑥 (𝑥2)2 dx 𝑌2 = 𝑥2 𝑥+3 𝑥4 dx 𝑌2 = 𝑥2 𝑑𝑥 𝑥 𝑦𝑐 = 𝑥2 lnIxI y= 𝑐1 𝑥2 + 𝑐2 𝑥2 lnIxI Solución General Hallar la solución general de: 𝑥2 𝑦`` − 3𝑥𝑦` + 4𝑦 = 0 Donde 𝑦1 = 𝑥2 es una solución particular 𝑦`` − 3 𝑥 𝑦` + 4 𝑦 𝑥2 = 0
  • 40. 1) Raíces reales diferentes ∆> 𝟎 𝑚1, 𝑚2 𝑚1 ≠ 𝑚2 𝑦1 = 𝑒 𝑚1𝑥 𝑦2 = 𝑒 𝑚2𝑥 𝑦𝑐 = 𝐶1 𝑌1 + 𝐶2 𝑌2 𝑊(𝑒 𝑚1𝑥, 𝑒 𝑚2𝑥)= 𝑒 𝑚1𝑥 𝑒 𝑚2𝑥 𝑚1 𝑒 𝑚1𝑥 𝑚2 𝑒 𝑚2𝑥 𝑊=𝑒 𝑚1𝑥+𝑚2𝑥(𝑚2-𝑚1) ≠ 0 W es distinto de cero Solución General: 𝒚 = 𝑪 𝟏 𝒆 𝒎𝟏𝒙 + 𝑪 𝟐 𝒆 𝒎𝟐𝒙 Ecuaciones Homogéneas con coeficientes constantes 𝑎 𝑛 𝑦 𝑛 + 𝑎 𝑛−1 𝑦 𝑛−1 + ⋯ + 𝑎1 𝑦` + 𝑎0 𝑦 = 0 𝑎𝑖, 𝑖 = 1, … , 𝑛 𝑎2 𝑦 𝑛 + 𝑎1 𝑦` + 𝑎0 𝑦 = 0 Existe una solución particular : 𝑦 = 𝑒 𝑚𝑥
  • 41. 2𝑦`` − 5𝑦` − 3𝑦 = 0 2𝑚2 − 5𝑚 − 3 = 0 (2m-6)(2m+1)=0 𝑚1 = 3 𝑚2 = − 1 2 𝑦 = 𝐶1 𝑒3𝑥 + 𝐶2 𝑒 −𝑥 2 𝑦 = 𝑒 𝑚1𝑥 𝑌2 = 𝑌1 𝑒 𝑝 𝑥 𝑑𝑥 𝑌1 2 dx 𝑌2 = 𝑒 𝑚1𝑥 𝑒− 𝑏 𝑎 𝑑𝑥 𝑒 𝑚1𝑥 dx Ejemplo: 2) Raíces reales iguales ∆= 0
  • 42. 𝑌2 = 𝑒 𝑚1𝑥 𝑒2𝑚1𝑥 𝑒2𝑚1𝑥 𝑌2 = 𝑥𝑒 𝑚1𝑥 𝑥 𝑦`` − 10𝑦` + 25𝑦 = 0 𝑚2 − 10𝑚 + 25 = 0 (m-5)(m-5)=0 𝑚1 = 5 𝑚2 = 5 Ejemplo: Solución General: 𝒚 = 𝑪 𝟏 𝒆 𝒎𝟏𝒙 + 𝑪 𝟐 𝒙𝒆 𝒎𝟐𝒙 Solución General: 𝒚 = 𝑪 𝟏 𝒆 𝟓𝒙 + 𝑪 𝟐 𝒙𝒆 𝟓𝒙
  • 43. 𝑚1 = 𝛼 + 𝛽𝑖 𝑚2 = 𝛼 − 𝛽𝑖 𝑦 = 𝐶1 𝑒(𝛼+𝛽𝑖) + 𝐶2 𝑒(𝛼−𝛽𝑖) Solución imaginaria 𝑦 = 𝐶1 𝑒 𝛼𝑥 𝑐𝑜𝑠𝛽𝑥 + 𝐶2 𝑒 𝛼𝑥 𝑠𝑒𝑛𝛽𝑥 𝑦 = 𝑒 𝛼𝑥 𝐶1 𝑐𝑜𝑠𝛽𝑥 + 𝐶2 𝑠𝑒𝑛𝐵𝑥 𝑑4 𝑦 𝑑𝑦4 + 2 𝑑2 𝑦 𝑑𝑦2 + 𝑦 = 0 𝑚4 + 2𝑚2 + 1 = 0 (𝑚2 + 1)2 = 0 (𝑚2 + 1)(𝑚2 + 1)=0 𝑚2 = 1 𝛼 = 0 𝑚 = ±1 β = 1 𝑦 = 𝑒0𝑥 𝐶1 𝑐𝑜𝑠1𝑥 + 𝐶2 𝑠𝑒𝑛1𝑥 +…+𝑥𝑒0𝑥 𝐶3 𝑐𝑜𝑠1𝑥 + 𝐶4 𝑠𝑒𝑛1𝑥 𝑦 = 𝐶1 𝑐𝑜𝑠𝑥 + 𝐶2 𝑠𝑒𝑛𝑥 + 𝐶4 𝑐𝑜𝑠𝑥 + 𝐶4 𝑥𝑠𝑒𝑛𝑥 3) Raíces complejas conjugadas (∆< 0) Ejemplo:
  • 44. Principio Superposición: ecuaciones no homogéneas 𝑎 𝑛 𝑖 𝑥 𝑦 𝑛 + ⋯ + 𝑎1 𝑖 𝑥 𝑦` + 𝑎 𝑜 𝑖 𝑥 𝑦 = 𝑔𝑖 𝑥 𝑖 = 1,2,3 Sean 𝑦 𝑝1, 𝑦 𝑝2, … , 𝑦 𝑝𝑖 soluciones particulares Ecuación no homogénea, entonces: 𝑦𝑝 = 𝑦 𝑝1 + 𝑦 𝑝2 + ⋯ + 𝑦 𝑝𝑖 + ⋯ Ejemplo: 𝑦 𝑝𝑖 = −4𝑥2 ; 𝑦`` − 3𝑦` + 4𝑦 = −16𝑥2 + 24𝑥 − 8 𝑦 𝑝2=𝑒2𝑥; 𝑦`` − 3𝑦` + 4𝑦 = 2𝑒2𝑥 𝑦𝑝 = 𝑦 𝑝1 + 𝑦 𝑝2 𝑦𝑝 = −4𝑥2 + 𝑒2𝑥 ; 𝑦`` −3𝑦` + 4𝑦 = −16𝑥2 + 24𝑥 − 8 + 2𝑒2𝑥
  • 45. 𝑎 𝑛 𝑦 𝑛 + ⋯ + 𝑎1 𝑦` + 𝑎0 𝑦 = 𝑔 𝑥 𝑎𝑖 = 𝑐𝑜𝑛𝑠𝑡𝑎𝑛𝑡𝑒𝑠 𝑖 = 1,2,3, … , 𝑛 Coeficientes indeterminados: método de superposición Polinomial Exponencial Sen/ Cos y suma y producto de estas g(x)debe ser función
  • 46. 1) 𝑦`` + 4𝑦` − 2𝑦 = 2𝑥2 − 3𝑥 + 6 𝑦𝑝 = −𝑥2 − 5 2 𝑥 − 9 𝑚2 + 4𝑚 − 2 = 0 𝑦𝑝 = 𝐴𝑥2 + 𝐵𝑥 + 𝐶 𝑚 = −4± 42−4(1)(−2) 2(1) 𝑦𝑝`` = 2𝐴 𝑚1 = −2 + 6 𝑚2 = −2 − 6 2𝐴 + 4 2𝐴𝑥 + 𝐵 − 2(𝐴𝑥2 + 𝐵𝑥 + 𝐶) 𝑦𝑐 = 𝐶1 𝑒(−2+ 6) + 𝐶2 𝑒(−2− 6) 2𝐴 + 4 2𝐴𝑥 + 𝐵 − 2 𝐴𝑥2 + 𝐵𝑥 + 𝐶 = 2𝑥2 − 3𝑥 + 6 2𝐴 + 8𝐴𝑥 + 4𝐵 − 2𝐴𝑥2 − 2𝐵𝑥 − 2𝐶 = 2𝑥2 − 3𝑥 + 6 -2𝐴𝑥2 8A − 2B x + 2A + 4B − 2C = 2𝑥2 − 3𝑥 + 6 −2𝐴 = 2 𝐴 = 1 8 −1 − 2𝐵 = −3 𝐵 = − 5 2 2(−1) + 4(− 5 2 ) − 2𝐶 = 6 C= −9
  • 47. Método de variación de parámetros Procedimiento: 1) Pasar a: 𝑦`` + 𝑝 𝑥 𝑦` + 𝑄 𝑥 𝑦 = 𝑓 𝑥 2) 𝑦𝑐 = 𝐶1 𝑦1 + 𝐶2 𝑦2 3) 𝑦𝑝 = 𝜇1 𝑦1 + 𝜇2 𝑦2 4) 𝜇1 ` = − 𝑦2 𝑓 𝑥 𝑊 5) 𝜇2 ` = 𝑦1 𝑓(𝑥) 𝑊 6) 𝑦 𝑔 = 𝑦𝑐 + 𝑦𝑝
  • 48. 1) 4𝑦`` + 36𝑦 = 𝑐𝑠𝑐3 𝑦`` + 9𝑦 = 1 4 𝑐𝑠𝑐3 𝑚2 + 9 = 0 𝑚2 = −9 𝑚 = ±3𝑖 𝛼 = 0 β = 3 𝑦𝑐 = 𝑒0𝑥 𝐶1 𝑐𝑜𝑠3𝑥 + 𝐶2 𝑠𝑒𝑛𝐵𝑥 𝑦𝑐 = 𝐶1 𝑐𝑜𝑠3𝑥 + 𝐶2 𝑠𝑒𝑛𝐵𝑥 𝑦𝑝 = 𝜇1 𝑐𝑜𝑠3𝑥 + 𝜇2 𝑠𝑒𝑛3𝑥 𝑦1 = 𝑐𝑜𝑠3𝑥 𝑦2 = 𝑠𝑒𝑛3𝑥 𝑊 = 𝑐𝑜𝑠3𝑥 𝑠𝑒𝑛3𝑥 −3𝑠𝑒𝑛3𝑥 3𝑐𝑜𝑠3𝑥 𝑊 = 3 Ejemplo:
  • 49. 𝜇1 ` = − 𝑠𝑒𝑛3𝑥 1 4 𝑐𝑠𝑐3𝑥 3 𝜇1 ` = − 1 12 𝑠𝑒𝑛3𝑥 1 𝑠𝑒𝑛3𝑥 𝜇1 ` = − 1 12 𝜇1 ` = − − 1 12 𝑑𝑥 𝜇1 ` = − 𝑥 2 𝜇2 ` = 𝑐𝑜𝑠3𝑥 1 4 𝑐𝑠𝑐3𝑥 3 𝜇2 ` = 1 12 𝑐𝑜𝑠3𝑥 1 𝑠𝑒𝑛3𝑥 𝜇2 ` = 1 12 𝑐𝑡𝑔3𝑥𝑑𝑥 𝜇2 ` = 1 12 𝑥 1 3 𝑙𝑛Isen3xI 𝜇2 ` = 𝑙𝑛 36 Isen3xI 𝑦𝑝 = − 𝑥 12 𝑐𝑜𝑠3𝑥 + ln 36 Isen3xIsen3x 𝑦 𝑔 = 𝐶1 𝑐𝑜𝑠3𝑥 + 𝐶2 𝑠𝑒𝑛3𝑥 − 𝑥 12 𝑐𝑜𝑠3𝑥 + ln 36 Isen3xIsen3x