Este documento resume conceptos clave sobre ecuaciones diferenciales. Explica que las ecuaciones diferenciales pueden ser ordinarias o parciales, y que el orden se refiere a la derivada más alta presente. También cubre temas como linealidad, campos direccionales, soluciones, valores iniciales, fracciones parciales, variables separables, el método del factor integrante y ecuaciones diferenciales exactas.
Solucionario de ejercicios y problemas de ecuaciones diferenciales ordinarias...Oscar Lopez
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Un libro sin recetas, para la maestra y el maestro Fase 3.pdfsandradianelly
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ROMPECABEZAS DE ECUACIONES DE PRIMER GRADO OLIMPIADA DE PARÍS 2024. Por JAVIE...JAVIER SOLIS NOYOLA
El Mtro. JAVIER SOLIS NOYOLA crea y desarrolla el “ROMPECABEZAS DE ECUACIONES DE 1ER. GRADO OLIMPIADA DE PARÍS 2024”. Esta actividad de aprendizaje propone retos de cálculo algebraico mediante ecuaciones de 1er. grado, y viso-espacialidad, lo cual dará la oportunidad de formar un rompecabezas. La intención didáctica de esta actividad de aprendizaje es, promover los pensamientos lógicos (convergente) y creativo (divergente o lateral), mediante modelos mentales de: atención, memoria, imaginación, percepción (Geométrica y conceptual), perspicacia, inferencia, viso-espacialidad. Esta actividad de aprendizaje es de enfoques lúdico y transversal, ya que integra diversas áreas del conocimiento, entre ellas: matemático, artístico, lenguaje, historia, y las neurociencias.
ACERTIJO DE CARRERA OLÍMPICA DE SUMA DE LABERINTOS. Por JAVIER SOLIS NOYOLAJAVIER SOLIS NOYOLA
El Mtro. JAVIER SOLIS NOYOLA, crea y desarrolla ACERTIJO: «CARRERA OLÍMPICA DE SUMA DE LABERINTOS». Esta actividad de aprendizaje lúdico que implica de cálculo aritmético y motricidad fina, promueve los pensamientos lógico y creativo; ya que contempla procesos mentales de: PERCEPCIÓN, ATENCIÓN, MEMORIA, IMAGINACIÓN, PERSPICACIA, LÓGICA LINGUISTICA, VISO-ESPACIAL, INFERENCIA, ETCÉTERA. Didácticamente, es una actividad de aprendizaje transversal que integra áreas de: Matemáticas, Neurociencias, Arte, Lenguaje y comunicación, etcétera.
3. Clasificación de las Ecuaciones Diferenciales
Ecuaciones Diferenciales Ordinarias (EDO): Son
las que presentan una sola variable
dependiente e independiente.
Ejemplo:
Ecuaciones Diferenciales Parciales (EDP): Son las
que presentan 2 o más variables dependientes e
independientes.
Ejemplo:
𝑑2 𝑦
𝑑𝑥2 -
𝑑𝑦
𝑑𝑥
= 1
𝑦‘‘−𝑦‘=1 𝑑2 𝑥
𝑑𝑦2 -
𝑑2 𝑧
𝑑𝑡2 = 1+t-y
4. ORDEN
El orden de una ecuación diferencial
esta dado por la mayor derivada
presente.
Ejemplo:
𝑑4 𝑦
𝑑𝑥4 -
𝑑𝑦
𝑑𝑥
= 𝑦4 = 3𝑥7+1 Cuarto Orden 𝑦‘= -
𝑦
𝑥
Primer Orden
Linealidad
Una ecuación diferencial ordinaria es lineal si tiene la
forma:
𝑎 𝑛 𝑋 . 𝑦(𝑛)
+ 𝑎 𝑛−1(x). 𝑦(𝑛−1)
+... 𝑎1(x). 𝑦‘+𝑎0(x).y=g(x)
Una ecuación diferencial ordinaria no es lineal si tiene
la forma anterior.
Ejemplo:
(𝑥2+1) y.y‘- (y‘)2
= 1
5. Campos Direccionales
Implícita: f(y‘,y,x)=0
Ejemplo:
Explícita: y‘(x)=f(y(x),x)
Ejemplo:
y‘-x-y=0
y‘=x+y
Solución de una Ecuación Diferencial:
Una función y=d(x) es una solución de una E.D.O.
de orden “n” en un intervalo I, si sus “n” derivadas
existen en el intervalo I y al reemplazarlas en las
E.D. se obtiene una identidad.
Ejemplo:
𝒚 =
𝟏
𝒙
𝑦‘= −
1
𝑥2
𝑦‘‘=
1
𝑥3
𝑦‘‘= 𝑦3
𝒚‘ =
𝟏
𝒙
𝒆𝒔 𝒔𝒐𝒍𝒖𝒄𝒊ó𝒏 𝒅𝒆𝑦‘‘= 𝑦3
en (- ∞,0) o (0+ ∞)
X=(- ∞,0) u (0+ ∞)
X=(- ∞,0) u (0+ ∞)
6. Ecuaciones Diferenciales Ordinarias (EDO)
𝐹(𝑥, 𝑦, 𝑦‘, 𝑦‘‘, … 𝑦(𝑛)) = 0 Forma General EDO orden “n”
𝑦 𝑛 𝑥 = 𝑓(𝑥, 𝑦, 𝑦‘, 𝑦‘‘,…𝑦 𝑛−1 Forma Normal EDO orden “n”
𝑑𝑦
𝑑𝑥
=f( x, y) Forma Normal EDO
Primer orden 𝑑2 𝑦
𝑑𝑥2=f( x, y, 𝑦‘)
Forma Normal EDO
Segundo orden
N( x, y).dy=-M( x, y))dx
M( x, y).dx+ N(x,y)dy=0
Forma Diferencial
EDO Primer Orden
7. Problemas con Valores Iniciales (PVI)
Consiste en encontrar
una solución particular y
(x) que cumple ciertas
condiciones dadas:
𝑅𝑒𝑠𝑜𝑙𝑣𝑒𝑟:
𝑑 𝑛 𝑦
𝑑𝑥 𝑛 = 𝐹(𝑥, 𝑦, 𝑦‘,𝑦‘‘, … 𝑦 𝑛−1 )
Sujeto a:
𝑦(𝑥0) = 𝑦0, 𝑦‘(𝑥0) = 𝑦1,𝑦‘‘(𝑥0) = 𝑦2, … 𝑦 𝑛−1 (𝑥0) = 𝑦 𝑛−1
Procedimiento:
1.- Encontrar la solución n- paramétrica.
2.- Usar los valores iniciales para hallar los “n” parámetros.
3.- Escribir la solución particular.
8. Ejemplo:
Si se sujeta un objeto
a 300 metros de
altura, encontrar su
posición a los 5
segundos.
X(o)=300 ; x‘(0)=0
X=(0) t +
𝟏
𝟐
(-9,8) 𝑡2
+300 ----- Solución Particular
X(5)=
𝟏
𝟐
(-9,8). (5)2
+300
F= m . g ; x(0)=300
a=g ; x‘(0)=0
𝑑2 𝑥
𝑑𝑡2 = g ;
𝑑𝑥
𝑑𝑡
= g.t+𝐶1
X=
𝟏
𝟐
. g . 𝑡2
+ 𝐶1. t + 𝐶2 ----- Solución General
0=g(0) + 𝐶1
𝐶1=0
300=
𝟏
𝟐
. g. (0)2
+ 𝐶1 (0) + 𝐶2
𝐶2= 300 ; (𝑉0)
X=
𝟏
𝟐
. g. 𝑡2
+ (0) t + 300
X =
𝟏
𝟐
g . 𝑡2
+ 300 --- Solución Particular
X(5)=
𝟏
𝟐
(-9,8). (5)2
+ 300
X(5)= 177,5 m.
9. Fracciones Parciales
𝒇(𝒙)
𝑨𝒙+𝑩 (𝑪𝒙+𝒅)
=
𝒂
(𝑨𝒙+𝑩)
+
𝒃
(𝑪𝒙+𝑫)
𝒇(𝒙)
(𝐴𝑥+𝐵)2 =
𝒂
(𝑨𝒙+𝑩)
+
𝒃
(𝐴𝑥+𝐵)2
𝒇(𝒙)
(𝐴𝑥+𝐵)(𝐶𝑥2+𝐷𝑥+𝐸)
=
𝒂
(𝑨𝒙+𝑩)
+
𝒃𝒙+𝑪
(𝐶𝑥2+𝐷𝑥+𝐸)
𝒇(𝒙)
(𝐴𝑥2+𝐵𝑥+𝐶)2 =
𝒂𝒙+𝒃
(𝐴𝑥2+𝑩𝒙+𝑪)
+
𝑪𝒙+𝒅
(𝐴𝑥2+𝐵𝑥+𝐶)2
El método de las fracciones parciales consiste en reducir un cociente de polinomios en
fracciones más simples, que permitan obtener de manera inmediata una integral.
10. UNIDAD II
Ecuaciones Diferenciales de Variables Separables
Dada la E.D.
𝒅𝒚
𝒅𝒙
= f x, y , si f x, y
Se puede separar en dos factores g(x) y
h(y), entonces se habla de una E.D. de
variables separables.
𝒅𝒚
𝒅𝒙
= 𝒇 𝒙, 𝒚 −−−− −
𝒅𝒚
𝒅𝒙
= 𝒈 𝒙 . 𝒉(𝒙)
Ejemplo:
(1+x) . dy - y . dx =0
(1+x) dy = y. dx
∫
𝒅𝒚
𝒚
= ∫
𝒅𝒙
(𝟏+𝒙)
lnIyI= ln(1+x) + 𝐶1
𝑒ln I 𝑦I= 𝑒ln (1+x)+ 𝐶1
IyI= 𝑒ln (1+x) . 𝑒 𝐶1
IyI= I1+xI . 𝐶2
Y=C (1+x) ----- Solución General
15. Ecuaciones Diferenciales Exactas
En matemáticas, una ecuación
diferencial exacta es una ecuación
diferencial ordinaria de primer
orden que se presenta de la
forma:
Una Ecuación Diferencial M( x,
y).dy=0, es exacta si existe una
función f( x, y)=0, tal que
𝑑𝑓
𝑑𝑦
=M(x , y)
y
𝑑𝑓
𝑑𝑥
=N( x, y)
Criterio de
Exactitud:
Una E.D. exacta
cumple que:
𝒅𝑴
𝒅𝒚
=
𝒅𝑵
𝒅𝒙
18. Variación de la constante
Procedimiento:
1.- Escribir E.D. en su forma estándar
𝑑𝑦
𝑑𝑥
+ 𝑃 𝑥 𝑦 =f(x)
2.- Resolver la E.D. homogénea por variables separables
𝑑𝑦
𝑑𝑥
+ 𝑃 𝑥 𝑦=0
Y=f( C , x) ---- Solución Homogénea
3.- Tomar C como C(x), derivar “y” y reemplazar en 2.
4.- Despejar C(x) y reemplazar en 2.
20. Aplicaciones de E.D.O de Primer Orden
Ejemplo:
Crecimiento Poblacional:
𝑑𝑃
𝑑𝑡
= 𝐾. 𝑃 𝑃 − −𝑃𝑜𝑏𝑙𝑎𝑐𝑖ó𝑛
Reacción de Primer Orden:
𝑑𝐴
𝑑𝑡
= 𝐾. 𝐴 𝐴 − −𝐶𝑎𝑛𝑡𝑖𝑑𝑎𝑑 𝑑𝑒 𝑢𝑛 𝑒𝑙𝑒𝑚𝑒𝑛𝑡𝑜
Vida Media: Es el tiempo que tarda en
desintegrarse o transformarse en otro elemento, la
mitad de los átomos de una muestra inicial 𝐴0
Ra226 Rn222
Radio radiactivo 1700 Radón
U-238 Pb-206
(uranio) 4.5 miles de millones de años (plomo)
21. Sustituciones y Transformaciones
1) Ecuaciones Homogéneas
2) Ecuaciones de la forma
𝑑𝑦
𝑑𝑥
= 𝐺 𝑎𝑥 + 𝑏𝑦
3) Ecuaciones de Bernoulli
4) Ecuaciones de Riccati
31. Ecuaciones de Orden Superior
Existencia y unicidad de problemas con valores iniciales (n- esimo orden)
Sean 𝑎 𝑛 𝑥 , 𝑎 𝑛−1 𝑥 , … , 𝑎1 𝑥 , 𝑎0 𝑥 𝑦 𝑔(𝑥) funciones continuas en un intervalo I, entonces existe una
solución y(x)
Ejercicio:
3𝑦´´´
+ 5𝑦´´
− 𝑦´
+ 7𝑦 = 0
𝑦 1 = 0 𝑦´ 1 = 0 𝑦´´ 1 = 0
Solución trivial y=0
∴ 𝑒𝑠 ú𝑛𝑖𝑐𝑎 𝑠𝑜𝑙𝑢𝑐𝑖ó𝑛
Sean 𝑎 𝑛 𝑥 , 𝑎 𝑛−1 𝑥 , … , 𝑎1 𝑥 , 𝑎0 𝑥 𝑦 𝑔(𝑥) funciones continuas en un intervalo I y 𝑎 𝑛 𝑥 ≠ 0 en todo
el intervalo I. Entonces existe una única solución y(x).
32. Problemas con valores de
frontera
Las condiciones se especifican en distintos puntos
Resolver:
𝑎 𝑛 𝑥
𝑑 𝑛 𝑦
𝑑𝑥 𝑛 + 𝑎 𝑛−1 𝑥
𝑑 𝑛−1 𝑦
𝑑𝑥 𝑛−1 + ⋯ + 𝑎1 𝑥
𝑑𝑦
𝑑𝑥
+ 𝑎0 𝑥 y= g(x)
Sujeto a:
𝛼1 𝑦(𝑎) + 𝛽1 𝑦´
𝑎 = 𝛿1
Condiciones Generales en la frontera
𝛼2 𝑦(𝑏) + 𝛽2 𝑦´
𝑏 = 𝛿2
33. Ejercicio
Dada la solución general 𝑦 = 𝐶1 + 𝐶2 𝑥2
1
𝑥𝑦´´
− 𝑦´
= 0
a) Demostrar que (1) es solución de (2)
𝑦´
= 0 + 2𝑥𝐶2
𝑦´´
= 2𝐶2
𝑥 𝐶 − 2𝑥𝐶 = 0
2𝑥𝐶 − 2𝑥𝐶 = 0
0=0
b) Determinar la solución para el PVF con y(o)=1 , 𝑦´
1 = 6
𝑦(0)=1 𝑦´ 1 = 6
1=𝐶1 + 𝐶2 0 6=0 + 2(1)𝐶2
1=𝐶1 6=2𝐶2
𝐶2= 3
𝑦 = 1 + 3𝑥2
34. Ecuaciones Diferenciales Homogéneas
𝑎 𝑛 𝑥
𝑑 𝑛 𝑦
𝑑𝑥 𝑛 + 𝑎 𝑛−1 𝑥
𝑑 𝑛−1 𝑦
𝑑𝑥 𝑛−1 + ⋯ + 𝑎1 𝑥
𝑑𝑦
𝑑𝑥
+ 𝑎0 𝑥 y= 0 𝐿 𝑦 = 0
Principio de superposición
Sean 𝑦1, 𝑦2, 𝑦3, … , 𝑦 𝑛 soluciones de una ED homogénea definida en un intervalo I.
Cualquier combinación lineal de ellas, también es solución.
𝑦 = 𝐶1 𝑦1 + 𝐶2 𝑦2+𝐶3 𝑦3+…+𝐶 𝑛 𝑦 𝑛
Donde 𝐶𝑖, i= 1,2,3,n; son constantes
37. 𝑦 𝑔 = 𝐶1 𝑌1 + 𝐶2 𝑌2+…+𝐶 𝑛 𝑌𝑛+𝑌𝑝
Sol. Homogénea complementaria
Sol. General Sol.
Particular
1) Resolver la Ec.homogénea asociada
𝑦𝑐 = 𝐶1 𝑌1 + 𝐶2 𝑌2+…+𝐶 𝑛 𝑌𝑛
2) Encontrar una solución particular de (1)
3) La solución general
𝑦 𝑔 = 𝑌𝑐+𝑌𝑝
Solución General Ecuación No Homogénea
Sea 𝑦𝑝 solución de (1) y 𝑦1 + 𝑦2, … , 𝑦 𝑛 un conjunto fundamental de solución de (2).
Entonces la solución general de (1) es:
38. Reducción de orden
Dada:
𝑎2 𝑥𝑦´´ + 𝑎1(𝑥)𝑦´+𝑎0 𝑥=0/𝑎2 𝑥
Si 𝑦1 es solución particular de (1)
Entonces se puede definir otra solución particular linealmente independiente , 𝑐𝑜𝑚𝑜:
𝑌2 = 𝑌1
𝑒 𝑝 𝑥 𝑑𝑥
𝑌1
2 dx
39. 𝑌2 = 𝑥2
𝑒−
−3
𝑥
𝑑𝑥
(𝑥2)2 dx
𝑌2 = 𝑥2
𝑥+3
𝑥4
dx
𝑌2 = 𝑥2
𝑑𝑥
𝑥
𝑦𝑐 = 𝑥2
lnIxI
y= 𝑐1 𝑥2
+ 𝑐2 𝑥2
lnIxI Solución General
Hallar la solución general de:
𝑥2
𝑦``
− 3𝑥𝑦`
+ 4𝑦 = 0
Donde 𝑦1 = 𝑥2 es una solución particular
𝑦``
−
3
𝑥
𝑦`
+ 4
𝑦
𝑥2 = 0