Ecuaciones Diferenciales Lineales de Primer Orden
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Se muestra una descripcion d elos métdos mas simples de resolución de ecuaciones diferenciales de primer orden como ecuaciones separables y metodo de factor integrante. al final se anexan un par de palicaciones sobre ley de enfriamiento y moviemiento en medio resistente.
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- 2. Ecuaciones Diferenciales Rubén Darío Lara Escobar Ecuaciones Diferenciales de Primer Orden Ecuaciones Lineales Ecauciones Lineales Ecuaciones Variables Separables Método del factor Integrante Método del factor Integrante Aplicaciones de las Ecuaciones Diferenciales de Primer Orden Contenidos 1 Ecuaciones Diferenciales de Primer Orden Ecuaciones Lineales 2 Ecauciones Lineales Ecuaciones Variables Separables 3 Método del factor Integrante Método del factor Integrante 4 Aplicaciones de las Ecuaciones Diferenciales de Primer Orden Ejemplos de Aplicaciones Sencillas Curso de Ecuaciones Diferenciales, II Semestre de 2013 2/49
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- 4. Ecuaciones Diferenciales Rubén Darío Lara Escobar Ecuaciones Diferenciales de Primer Orden Ecuaciones Lineales Ecauciones Lineales Ecuaciones Variables Separables Método del factor Integrante Método del factor Integrante Aplicaciones de las Ecuaciones Diferenciales de Primer Orden Ecuaciones Lineales y Forma Estándar Una Ecuación Diferencial lineal de la forma general: y = f(x, y) (1) Para la cual una solución y(x) es una función diferenciable que satisface la ecuación diferencial. El objetivo es ahora desarrollar métodos para hallar las soluciones y(x). En general es clave resaltar que no existe un método para resolver todas las eccuaciones de primer orden, más bien se describen varios métodos que se utilizan para diferentes subclases de ecuaciones diferenciales de primer orden. Curso de Ecuaciones Diferenciales, II Semestre de 2013 4/49
- 5. Ecuaciones Diferenciales Rubén Darío Lara Escobar Ecuaciones Diferenciales de Primer Orden Ecuaciones Lineales Ecauciones Lineales Ecuaciones Variables Separables Método del factor Integrante Método del factor Integrante Aplicaciones de las Ecuaciones Diferenciales de Primer Orden Ecuación Lineal una ecuación diferenecial de la forma: a(x)y + b(x)y = C(x) (2) se denomina una ecuación diferencial lineal de primer orden. Se le llama de ésta forma debido a que es lineal en y; es decir, es analogo de la ecuación lineal ax1 + by1 = c. Las funcionesa(x), b(x), C(x) pueden ser constantes y además si C(x) = 0 la ecuación es Homogenea. Curso de Ecuaciones Diferenciales, II Semestre de 2013 5/49
- 6. Ecuaciones Diferenciales Rubén Darío Lara Escobar Ecuaciones Diferenciales de Primer Orden Ecuaciones Lineales Ecauciones Lineales Ecuaciones Variables Separables Método del factor Integrante Método del factor Integrante Aplicaciones de las Ecuaciones Diferenciales de Primer Orden Forma Estándar La ecuación (2) sin perdida de generalidad se puede expresar de la forma: y + p(x)y = q(x) (3) Esta forma se denomina Forma Estándar o Canónica En la ecuación (3) la forma más simple se da cuando las funciones p(x) = a; q(x) = b donde a y b son constantes reales, tomando la forma y + ay = b la cual se puede expresar asi: y = −ay + b (4) Curso de Ecuaciones Diferenciales, II Semestre de 2013 6/49
- 7. Ecuaciones Diferenciales Rubén Darío Lara Escobar Ecuaciones Diferenciales de Primer Orden Ecuaciones Lineales Ecauciones Lineales Ecuaciones Variables Separables Método del factor Integrante Método del factor Integrante Aplicaciones de las Ecuaciones Diferenciales de Primer Orden Modelos asociados a la ecuación dy dx = −ay + b La ecuación (4) se utiliza para modelar varios fenómenos físicos como: Modelo de difusión-concentración de temperatura. Modelo de problemas de Mezclas. Modelo de decrecimeinto y cuentas bancarias. Modelo de moviemiento de objetos. Curso de Ecuaciones Diferenciales, II Semestre de 2013 7/49
- 8. Ecuaciones Diferenciales Rubén Darío Lara Escobar Ecuaciones Diferenciales de Primer Orden Ecuaciones Lineales Ecauciones Lineales Ecuaciones Variables Separables Método del factor Integrante Método del factor Integrante Aplicaciones de las Ecuaciones Diferenciales de Primer Orden Solución de la Ecuación dy dx = −ay + b La solución de la ecuación dy dx = −ay + b viene dada por: dy/dx y − (b a) = −a Donde a = 0, y y = b a. usando Integración obetenemos: ln |y − ( b a )| = −a + C De donde se obtiene la solucón general: y = (b/a) + ce−ax Este método usualmente se conoce como: separación de variables. Curso de Ecuaciones Diferenciales, II Semestre de 2013 8/49
- 9. Ecuaciones Diferenciales Rubén Darío Lara Escobar Ecuaciones Diferenciales de Primer Orden Ecuaciones Lineales Ecauciones Lineales Ecuaciones Variables Separables Método del factor Integrante Método del factor Integrante Aplicaciones de las Ecuaciones Diferenciales de Primer Orden Ejemplo Ejemplo Hallar la solución general de la ecuación y − 2y = 0 Primero reescribimos la ecuación anterior como dy dx = 2y Asumimos que y = 0, y dividimos la ecuación por y: 1 y dy dx = 2 Curso de Ecuaciones Diferenciales, II Semestre de 2013 9/49
- 10. Ecuaciones Diferenciales Rubén Darío Lara Escobar Ecuaciones Diferenciales de Primer Orden Ecuaciones Lineales Ecauciones Lineales Ecuaciones Variables Separables Método del factor Integrante Método del factor Integrante Aplicaciones de las Ecuaciones Diferenciales de Primer Orden Ejemplo Conti. multiplicacmos en ambos lados por el diferencial dx : dy y = 2dx Usando la integración, sabemos que las antiderivadas solo dieren en una constante c. (Teorema del Valor Medio) dy y = 2 dx o |y| = e2x+C = ec e2x = C1e2x Donde C1 = ec es una constate arbitraria diferente de cero. Finalmente la solución general es: y(x) = C1e2x Curso de Ecuaciones Diferenciales, II Semestre de 2013 10/49
- 11. Ecuaciones Diferenciales Rubén Darío Lara Escobar Ecuaciones Diferenciales de Primer Orden Ecuaciones Lineales Ecauciones Lineales Ecuaciones Variables Separables Método del factor Integrante Método del factor Integrante Aplicaciones de las Ecuaciones Diferenciales de Primer Orden Contenidos 1 Ecuaciones Diferenciales de Primer Orden Ecuaciones Lineales 2 Ecauciones Lineales Ecuaciones Variables Separables 3 Método del factor Integrante Método del factor Integrante 4 Aplicaciones de las Ecuaciones Diferenciales de Primer Orden Ejemplos de Aplicaciones Sencillas Curso de Ecuaciones Diferenciales, II Semestre de 2013 11/49
- 12. Ecuaciones Diferenciales Rubén Darío Lara Escobar Ecuaciones Diferenciales de Primer Orden Ecuaciones Lineales Ecauciones Lineales Ecuaciones Variables Separables Método del factor Integrante Método del factor Integrante Aplicaciones de las Ecuaciones Diferenciales de Primer Orden Ecuaciones Separables Las ecuaciones de variables separables son un caso especial de la ecuación de la forma estándar y + p(x)y = q(x). Si reescrbimos la ecuación anterior en la forma: y = dy/dx = f(x, y) donde f(x, y) = g(x)/h(y). Y escribimos además p(y) = 1/h(y) se tiene que una ecuación diferencial de primer orden es separable si se puede escribir como: dy dx = g(x)p(y) = g(x) h(y) (5) Curso de Ecuaciones Diferenciales, II Semestre de 2013 12/49
- 13. Ecuaciones Diferenciales Rubén Darío Lara Escobar Ecuaciones Diferenciales de Primer Orden Ecuaciones Lineales Ecauciones Lineales Ecuaciones Variables Separables Método del factor Integrante Método del factor Integrante Aplicaciones de las Ecuaciones Diferenciales de Primer Orden Solución de Ecuaciones Separables para resolver ecuaciones separables se sigue el método siguiente: Si multiplicamos por h(y) en ambos lados de la ecuación (5) tenemos h(y)dy = g(x)dx Luego integramso en ambos lados y obtenemos: h(y)dy = g(x)dx H(y) = G(x) + C Donde H(y) es una antiderivada de h(y) y G(x) es una antiderivada de g(x); C es una constante arbitraria. Curso de Ecuaciones Diferenciales, II Semestre de 2013 13/49
- 14. Ecuaciones Diferenciales Rubén Darío Lara Escobar Ecuaciones Diferenciales de Primer Orden Ecuaciones Lineales Ecauciones Lineales Ecuaciones Variables Separables Método del factor Integrante Método del factor Integrante Aplicaciones de las Ecuaciones Diferenciales de Primer Orden Ejemplos Ejemplo Hallar la solución de las ecuaciones diferenciales: y = −x y (6a) y = 1 xy3 (6b) y = x3 y2 (6c) xy = y − 1 (6d) xy + y = y2 (6e) Curso de Ecuaciones Diferenciales, II Semestre de 2013 14/49
- 15. Ecuaciones Diferenciales Rubén Darío Lara Escobar Ecuaciones Diferenciales de Primer Orden Ecuaciones Lineales Ecauciones Lineales Ecuaciones Variables Separables Método del factor Integrante Método del factor Integrante Aplicaciones de las Ecuaciones Diferenciales de Primer Orden Contenidos 1 Ecuaciones Diferenciales de Primer Orden Ecuaciones Lineales 2 Ecauciones Lineales Ecuaciones Variables Separables 3 Método del factor Integrante Método del factor Integrante 4 Aplicaciones de las Ecuaciones Diferenciales de Primer Orden Ejemplos de Aplicaciones Sencillas Curso de Ecuaciones Diferenciales, II Semestre de 2013 15/49
- 16. Ecuaciones Diferenciales Rubén Darío Lara Escobar Ecuaciones Diferenciales de Primer Orden Ecuaciones Lineales Ecauciones Lineales Ecuaciones Variables Separables Método del factor Integrante Método del factor Integrante Aplicaciones de las Ecuaciones Diferenciales de Primer Orden Factor Integrante consideremos la ecuación diferencial y + ay = b, si tomamos a = r y b = k hemos visto que la solución esta dada por y = (b/a) + ce−ax ; sin embargo, de acuerdo a los cambios anteriores, la solución tomaría la forma y = (k/r) + ce−rx . Consideremos ahora el siguiente: Ejemplo Hallar un método general para resolver la ecuación diferencial y − ry = k; r = 0. Curso de Ecuaciones Diferenciales, II Semestre de 2013 16/49
- 17. Ecuaciones Diferenciales Rubén Darío Lara Escobar Ecuaciones Diferenciales de Primer Orden Ecuaciones Lineales Ecauciones Lineales Ecuaciones Variables Separables Método del factor Integrante Método del factor Integrante Aplicaciones de las Ecuaciones Diferenciales de Primer Orden Solución al Ejemplo En primer lugar observamos si la ecuación se halla en su forma estándar y + p(x)y = q(x); donde p(x) = −r y q(x) = k. Consideremos la función µ(x) = e −rdx = e−rx Ahora la solución general se consigue multiplicando la ecuación diferencial por el factor µ(x) µ(x)y − µ(x)ry = µ(x)k La solución general es determinada por: y = 1 e−rx ( e−rx kdx) = erx ( −k r e−rx + C) = (k/r) + ce−rx Curso de Ecuaciones Diferenciales, II Semestre de 2013 17/49
- 18. Ecuaciones Diferenciales Rubén Darío Lara Escobar Ecuaciones Diferenciales de Primer Orden Ecuaciones Lineales Ecauciones Lineales Ecuaciones Variables Separables Método del factor Integrante Método del factor Integrante Aplicaciones de las Ecuaciones Diferenciales de Primer Orden Ejercicio y Solución Ejercicio Utilizar el método anterior para hallar la solución de la ecuación diferencial: xy − 2y = x5 Solución en general el método se puede resumir en los siguientes pasos: Reescribir la ecuación en la forma estándar Calcular e p(x)dx Multiplicar ambos lados de la ecuación diferencial por e p(x)dx; (Factor Integrante) Integrar, despejar y(x) Curso de Ecuaciones Diferenciales, II Semestre de 2013 18/49
- 19. Ecuaciones Diferenciales Rubén Darío Lara Escobar Ecuaciones Diferenciales de Primer Orden Ecuaciones Lineales Ecauciones Lineales Ecuaciones Variables Separables Método del factor Integrante Método del factor Integrante Aplicaciones de las Ecuaciones Diferenciales de Primer Orden Solución Paso 1: Reescribir la ecuación en forma estándar Recordemos que la forma estándar es la ecuación y + p(x)y = q(x) . Para esto multiplicamos la ecuación xy − 2y = x5 por el factor 1/x; tomando la sigueinte forma y − 2 x y = x4 La cual se encuentra en la forma estándar con p(x) = −2 x y q(x) = x4. Curso de Ecuaciones Diferenciales, II Semestre de 2013 19/49
- 20. Ecuaciones Diferenciales Rubén Darío Lara Escobar Ecuaciones Diferenciales de Primer Orden Ecuaciones Lineales Ecauciones Lineales Ecuaciones Variables Separables Método del factor Integrante Método del factor Integrante Aplicaciones de las Ecuaciones Diferenciales de Primer Orden Solución Paso 2: Calcular e p(x)dx En efecto, si p(x) = −2 x , entonces: e p(x)dx = e−2 dx x De donde e−2 dx x = e−2 ln |x| = x−2 Ya que e−2 ln |x| = eln |x|−2 = x−2 Curso de Ecuaciones Diferenciales, II Semestre de 2013 20/49
- 21. Ecuaciones Diferenciales Rubén Darío Lara Escobar Ecuaciones Diferenciales de Primer Orden Ecuaciones Lineales Ecauciones Lineales Ecuaciones Variables Separables Método del factor Integrante Método del factor Integrante Aplicaciones de las Ecuaciones Diferenciales de Primer Orden Solución Paso 3: Multiplicar ambos lados de la ecuación diferencial por e p(x)dx Si multiplicamos ambos lados de la ecuación diferencial en forma estándar por x−2 tenemos: (x−2 )y − 2 x (x−2 )y = (x−2 )x4 de donde tenemos: x−2 y − 2x−3 y = x2 Observemos ahora que usando la regla del producto para las derivadas, el lado izquierdo se convierte en: (x−2 y) = x2 Curso de Ecuaciones Diferenciales, II Semestre de 2013 21/49
- 22. Ecuaciones Diferenciales Rubén Darío Lara Escobar Ecuaciones Diferenciales de Primer Orden Ecuaciones Lineales Ecauciones Lineales Ecuaciones Variables Separables Método del factor Integrante Método del factor Integrante Aplicaciones de las Ecuaciones Diferenciales de Primer Orden Solución Paso 4: Integrar, despejar y(x) Si integramos ambos lados de la ecuación diferencial (x−2y) = x2 tenemos: (x−2 y) = x2 dx De donde obtenemos: x−2 y = x3 3 + C(∗) Curso de Ecuaciones Diferenciales, II Semestre de 2013 22/49
- 23. Ecuaciones Diferenciales Rubén Darío Lara Escobar Ecuaciones Diferenciales de Primer Orden Ecuaciones Lineales Ecauciones Lineales Ecuaciones Variables Separables Método del factor Integrante Método del factor Integrante Aplicaciones de las Ecuaciones Diferenciales de Primer Orden Solución Paso 4: Despejar y(x) La ecuación (∗) anterior es la solución general dada por: y = Cx2 + x5 3 La cual es una familia innita de soluciones que dependen del parámetro C. Curso de Ecuaciones Diferenciales, II Semestre de 2013 23/49
- 24. Ecuaciones Diferenciales Rubén Darío Lara Escobar Ecuaciones Diferenciales de Primer Orden Ecuaciones Lineales Ecauciones Lineales Ecuaciones Variables Separables Método del factor Integrante Método del factor Integrante Aplicaciones de las Ecuaciones Diferenciales de Primer Orden Ejercicios Halle la solución general de las ED usando el método del factor integrante- y − 3y = e2x y + tan (x)y = sin 2x y + xy = x3 dx dt + x = e2t Curso de Ecuaciones Diferenciales, II Semestre de 2013 24/49
- 25. Ecuaciones Diferenciales Rubén Darío Lara Escobar Ecuaciones Diferenciales de Primer Orden Ecuaciones Lineales Ecauciones Lineales Ecuaciones Variables Separables Método del factor Integrante Método del factor Integrante Aplicaciones de las Ecuaciones Diferenciales de Primer Orden Justicación del Método del factor Integrante Para entender la justicación del método volvemos a la ecuación en forma estándar y + p(x)y = q(x) para determinar el factor integrante multiplicamos la ecuación anterior por una función µ(x) y tenemos: µ(x)y + µ(x)p(x)y = µ(x)q(x)(∗∗) La clave ahora esta en observar que el lado izquierdo es la derivada del prouducto µ(x)y. Curso de Ecuaciones Diferenciales, II Semestre de 2013 25/49
- 26. Ecuaciones Diferenciales Rubén Darío Lara Escobar Ecuaciones Diferenciales de Primer Orden Ecuaciones Lineales Ecauciones Lineales Ecuaciones Variables Separables Método del factor Integrante Método del factor Integrante Aplicaciones de las Ecuaciones Diferenciales de Primer Orden Justicación del Método del factor Integrante Nos detenemos un instante y observamos que la derivada del producto permite que: dµ(x) dx = µ(x)p(x) Despejando tenemos que: dµ(x)/dx µ(x) = p(x) y esto conduce a: ln µ(x) = p(x)dx + K y así obtenemos la función que buscamos: µ(x) = e p(x)dx Curso de Ecuaciones Diferenciales, II Semestre de 2013 26/49
- 27. Ecuaciones Diferenciales Rubén Darío Lara Escobar Ecuaciones Diferenciales de Primer Orden Ecuaciones Lineales Ecauciones Lineales Ecuaciones Variables Separables Método del factor Integrante Método del factor Integrante Aplicaciones de las Ecuaciones Diferenciales de Primer Orden Justicación del Método del factor Integrante Si volvemos a la ecuación (∗∗), observamos que: [µ(x)y] = µ(x)q(x) tenemos: µ(x)y = µ(x)q(x)dx + c Donde c es una constante arbitraria y despejando y: y = 1 µ(x) [ µ(x)q(x)dx + c] En general no siempre se puede hallar la solución de la integral por medio de funciones elementales. Curso de Ecuaciones Diferenciales, II Semestre de 2013 27/49
- 28. Ecuaciones Diferenciales Rubén Darío Lara Escobar Ecuaciones Diferenciales de Primer Orden Ecuaciones Lineales Ecauciones Lineales Ecuaciones Variables Separables Método del factor Integrante Método del factor Integrante Aplicaciones de las Ecuaciones Diferenciales de Primer Orden Ejercicios II Halle la solución general de las siguientes ecuaciones diferenciales usando el método del factor integrante 1 (x2 + 1)y − 2xy = x3 + x 2 x2y + 4xy = 2 x 3 y − x2y = 4x2 4 y − 11y = 4e6x Curso de Ecuaciones Diferenciales, II Semestre de 2013 28/49
- 29. Ecuaciones Diferenciales Rubén Darío Lara Escobar Ecuaciones Diferenciales de Primer Orden Ecuaciones Lineales Ecauciones Lineales Ecuaciones Variables Separables Método del factor Integrante Método del factor Integrante Aplicaciones de las Ecuaciones Diferenciales de Primer Orden Contenidos 1 Ecuaciones Diferenciales de Primer Orden Ecuaciones Lineales 2 Ecauciones Lineales Ecuaciones Variables Separables 3 Método del factor Integrante Método del factor Integrante 4 Aplicaciones de las Ecuaciones Diferenciales de Primer Orden Ejemplos de Aplicaciones Sencillas Curso de Ecuaciones Diferenciales, II Semestre de 2013 29/49
- 30. Ecuaciones Diferenciales Rubén Darío Lara Escobar Ecuaciones Diferenciales de Primer Orden Ecuaciones Lineales Ecauciones Lineales Ecuaciones Variables Separables Método del factor Integrante Método del factor Integrante Aplicaciones de las Ecuaciones Diferenciales de Primer Orden Ley de Galileo Ejemplo Galileo (1546 − 1642) realizó experimentos para determinar que la aceleración de un cuerpo que cae en el vacío cerca de la supercie de la tierra es constante. Dado que la aceleración es el cambio de la velocidad con respecto al tiempo, tenemos: dv dt = −g; (Ley de Galileo) Donde v es la velocidad del movil, y g es la aceleración de la gravedad. Consideremos el instante t0 donde la velocidad es v0, entonces integrando tenemos que: dv = t t0 −gdt Curso de Ecuaciones Diferenciales, II Semestre de 2013 30/49
- 31. Ecuaciones Diferenciales Rubén Darío Lara Escobar Ecuaciones Diferenciales de Primer Orden Ecuaciones Lineales Ecauciones Lineales Ecuaciones Variables Separables Método del factor Integrante Método del factor Integrante Aplicaciones de las Ecuaciones Diferenciales de Primer Orden 2da Ley de Newton Ley de caída Libre de Galileo De la ecuación anterior tenemos: v(t) = v0 − g(t − t0) Ejemplo Si suponemos ahora que el cuerpo no cae en el vacío, es decir el aire, por ejemplo, será un medio que resite el moviemiento del cuerpo; generando una fuerza de fricción que se opone al movimiento. De acuerdo a la 2da Ley de Newton tenemos que: m dv dt = f; Segunda ley de Newton Curso de Ecuaciones Diferenciales, II Semestre de 2013 31/49
- 32. Ecuaciones Diferenciales Rubén Darío Lara Escobar Ecuaciones Diferenciales de Primer Orden Ecuaciones Lineales Ecauciones Lineales Ecuaciones Variables Separables Método del factor Integrante Método del factor Integrante Aplicaciones de las Ecuaciones Diferenciales de Primer Orden 2da Ley de Newton Segunda Ley de Newton Consideremos la aceleración de la gravedad ag y la fuerza de fricción del medio (aire) fr tenemos que f = ag + fr. Por lo tanto: m dv dt = f = −mg − ρv donde ρ es la constante positiva conocida como coeciente de fricción. Analogamente dv dt = −g − ρ m v Si la ponemos en forma estándar dv dt + ρ m v = −g Curso de Ecuaciones Diferenciales, II Semestre de 2013 32/49
- 33. Ecuaciones Diferenciales Rubén Darío Lara Escobar Ecuaciones Diferenciales de Primer Orden Ecuaciones Lineales Ecauciones Lineales Ecuaciones Variables Separables Método del factor Integrante Método del factor Integrante Aplicaciones de las Ecuaciones Diferenciales de Primer Orden Solución de la ED Estándar Sol. Por Factor Integrante Observamos que q(x) = −g y p(x) = ρ m ; por lo tanto µ(x) = e ρ m dt de donde la solución viene dada por: v(t) = ce− ρ m t − mg ρ (∗) Si en el instante t0 la velocidad es v0 hallamos la constante c y tenemos v0 = ce− ρ m t0 − mg ρ Si despejamos c y reemplazamos en (∗) v(t) = (v0 + mg ρ )e− ρ m (t−t0) − mg ρ Curso de Ecuaciones Diferenciales, II Semestre de 2013 33/49
- 34. Ecuaciones Diferenciales Rubén Darío Lara Escobar Ecuaciones Diferenciales de Primer Orden Ecuaciones Lineales Ecauciones Lineales Ecuaciones Variables Separables Método del factor Integrante Método del factor Integrante Aplicaciones de las Ecuaciones Diferenciales de Primer Orden Caída Libre de un Cuerpo Ejemplo Un objeto que pesa 4kg cae desde una gran altura partiendo del reposo. Si el aire ejerce una resistencia de 1 2v donde v es la velocidad en m/s. Hallar la velocidad v(t) y la distancia recorrida y(t) a los t segundos. Figura : Caída Libre de un Cuerpo Curso de Ecuaciones Diferenciales, II Semestre de 2013 34/49
- 35. Ecuaciones Diferenciales Rubén Darío Lara Escobar Ecuaciones Diferenciales de Primer Orden Ecuaciones Lineales Ecauciones Lineales Ecuaciones Variables Separables Método del factor Integrante Método del factor Integrante Aplicaciones de las Ecuaciones Diferenciales de Primer Orden Solución Solución Si tomamos la dirección positiva hacia abajo, la Segunda Ley de Newton toma la forma: m dv dt = f = F1 − F2 Donde m = w g = 4 10 = 2 5; F1 = 4; F2 = 1 2v. Obtenemso la ED. 2 5 dv dt = 4 − 1 2 v Cuya soluciones son (si y(0) = 0): v(t) = 8(e 5 4 t − 1); y, y(t) = 32 5 e 5 4 t − 8t − 32 5 Curso de Ecuaciones Diferenciales, II Semestre de 2013 35/49
- 36. Ecuaciones Diferenciales Rubén Darío Lara Escobar Ecuaciones Diferenciales de Primer Orden Ecuaciones Lineales Ecauciones Lineales Ecuaciones Variables Separables Método del factor Integrante Método del factor Integrante Aplicaciones de las Ecuaciones Diferenciales de Primer Orden Ley de Enfriamiento Ley de Enfriamiento de Newton La tasa de cambio de la temperatura con respecto al tiempo T(t), dT dt , de un cuerpo inmerso en un medio de temperatura Tm es proporcional a la diferencia de temperatura entre el cuerpo y el medio, es decir: dT dt = −k(T − Tm) Siempre y cuando k 0 es la constante de proporcionalidad. Curso de Ecuaciones Diferenciales, II Semestre de 2013 36/49
- 37. Ecuaciones Diferenciales Rubén Darío Lara Escobar Ecuaciones Diferenciales de Primer Orden Ecuaciones Lineales Ecauciones Lineales Ecuaciones Variables Separables Método del factor Integrante Método del factor Integrante Aplicaciones de las Ecuaciones Diferenciales de Primer Orden Ley de Enfriamiento de Newton Ejemplo Un cuerpo se enfría en un recinto con aire a temperatura constante Tm = 20◦C. Si la temperatura del cuerpo cambia de 100◦C a 60◦ en 20 minutos, determine que tanto tiempo debe transcurrir para que la temperatura caiga hasta 30◦. Curso de Ecuaciones Diferenciales, II Semestre de 2013 37/49
- 38. Ecuaciones Diferenciales Rubén Darío Lara Escobar Ecuaciones Diferenciales de Primer Orden Ecuaciones Lineales Ecauciones Lineales Ecuaciones Variables Separables Método del factor Integrante Método del factor Integrante Aplicaciones de las Ecuaciones Diferenciales de Primer Orden Ley de Enfriamiento La Ley de Enfriamiento de Newton requiere que: dT dt = −k(T − Tm); (Variables Separables) La solución general es: dT (T − Tm) = −k dt + C ⇒ ln |T − Tm| = −kt + ln C por lo tanto T = Tm + Ce−kt Curso de Ecuaciones Diferenciales, II Semestre de 2013 38/49
- 39. Ecuaciones Diferenciales Rubén Darío Lara Escobar Ecuaciones Diferenciales de Primer Orden Ecuaciones Lineales Ecauciones Lineales Ecuaciones Variables Separables Método del factor Integrante Método del factor Integrante Aplicaciones de las Ecuaciones Diferenciales de Primer Orden Cont. Solución En el tiempo t = 0, T = 100◦C: 100 = 20 + Ce−k∗0 = 20 + C ⇒ C = 80 En el tiempo t = 20, T = 60◦C: 60 = 20 + Ce−k∗20 ⇒ k = − 1 20 ln 60 − 20 80 = 0,03466 . Por tanto T = 20 + 80e−k0,03466t ⇒ t = − 1 0,03466 ln T − 20 80 Cuando T = 30 t = − 1 0,03466 ln 30 − 20 80 = 60min. Se necesitan entonces 60 − 20 = 40 minutos para que la temperatura caiga a 30◦. Curso de Ecuaciones Diferenciales, II Semestre de 2013 39/49
- 40. Ecuaciones Diferenciales Rubén Darío Lara Escobar Ecuaciones Diferenciales de Primer Orden Ecuaciones Lineales Ecauciones Lineales Ecuaciones Variables Separables Método del factor Integrante Método del factor Integrante Aplicaciones de las Ecuaciones Diferenciales de Primer Orden Problema de Mezclas Ley de Mezclas En los problemas de mezclas se desea calcular la cantidad de una sustancia x(t) que hay en un recipiente en cualquier instante t. La tasa de cambio de la sustancia presente en la mezcla satisface la relación dx dt = R1 − R2 Donde R1 = Tasa de entrada de la sustancia R2 = Tasa de Salida de la sustancia Estas cantidades se denen por R1 = q1c1; yR2 = q2c2 Curso de Ecuaciones Diferenciales, II Semestre de 2013 40/49
- 41. Ecuaciones Diferenciales Rubén Darío Lara Escobar Ecuaciones Diferenciales de Primer Orden Ecuaciones Lineales Ecauciones Lineales Ecuaciones Variables Separables Método del factor Integrante Método del factor Integrante Aplicaciones de las Ecuaciones Diferenciales de Primer Orden Mezclas Si q1 = velocidad del fujo entrante, c1 = concentración de la sustancia en la entrada; q2 = velocidad del ujo saliente; c2 = concentración de la salida x V Donde x = x(t) y V = V (t) son la cantidad de sustancia presente y el volumen en el tiempo t, respectivamente tenemos: 1 q1 = q2 el volumen es constante 2 q1 q2 el volumen aumenta 3 q1 q2 el volumen disminuye El volumen V = V0 + (∆q)t, donde ∆q = q1 − q2 Curso de Ecuaciones Diferenciales, II Semestre de 2013 41/49
- 42. Ecuaciones Diferenciales Rubén Darío Lara Escobar Ecuaciones Diferenciales de Primer Orden Ecuaciones Lineales Ecauciones Lineales Ecuaciones Variables Separables Método del factor Integrante Método del factor Integrante Aplicaciones de las Ecuaciones Diferenciales de Primer Orden Mezclas Ejemplo Un tanque con capacidad de 400 litros contiene inicialmente 200 litros de una mezcla de sal y agua (salmuera) con 30 gramos de sal disueltos. Le entra una solución con 1 gramo de sal por litro a una tasa de 4l/min; la mezcla se mantiene uniforme mediante agitación y de él sale a una tasa de 2l/m. Calcule la cantidad de gramos de sal que hay en el tanque al momento de desbordarse. Curso de Ecuaciones Diferenciales, II Semestre de 2013 42/49
- 43. Ecuaciones Diferenciales Rubén Darío Lara Escobar Ecuaciones Diferenciales de Primer Orden Ecuaciones Lineales Ecauciones Lineales Ecuaciones Variables Separables Método del factor Integrante Método del factor Integrante Aplicaciones de las Ecuaciones Diferenciales de Primer Orden Solución El modelo de la ecuación diferencial es dA dt = R1 − R2 Donde R1 = (4l/m)(1gr/min) = 4gr/min; R2 = (2l/min)(Agr/l) = 2Agr/min y V es el volumen del tanque en el instante t. Además la ganancia de volumen en el tanque es 2l/min, por tanto: tf = Diferencia de Volumen Ganancia de Flujo = 200 2 min = 100 Curso de Ecuaciones Diferenciales, II Semestre de 2013 43/49
- 44. Ecuaciones Diferenciales Rubén Darío Lara Escobar Ecuaciones Diferenciales de Primer Orden Ecuaciones Lineales Ecauciones Lineales Ecuaciones Variables Separables Método del factor Integrante Método del factor Integrante Aplicaciones de las Ecuaciones Diferenciales de Primer Orden Solución Al sustituir R1 y R2 tenemos la ED: dA dt = 4 − A t + 100 ; donde A(0) = 30 Resolviendo la ED: A(t) = 2(t + 100) + C t + 100 ; 0 ≤ t ≥ 100 C = −17000 Luego A(t) = 2(t + 100) + −17000 t + 100 La cantidad de agua al desbordarse es A(100) = 315 Curso de Ecuaciones Diferenciales, II Semestre de 2013 44/49
- 45. Ecuaciones Diferenciales Rubén Darío Lara Escobar Ecuaciones Diferenciales de Primer Orden Ecuaciones Lineales Ecauciones Lineales Ecuaciones Variables Separables Método del factor Integrante Método del factor Integrante Aplicaciones de las Ecuaciones Diferenciales de Primer Orden Bala a Través de un Blanco Bala a Través de un Blanco Una bala se dispara perpendicularmente a un blanco con una velocidad inicial de v0 = 100m/s. cuando la bala atraviesa el blanco, su velocidad es v1 = 80m/s. Si el ancho del blanco es b = 0,1m y la fuerza del resistencia del blanco sobre la bala es proporcional al cuadarado de la velocidad de la bala. R = βv2. Determine el tiempo T que demora la bala en travesar el blanco. Figura : Gráco del Problema Curso de Ecuaciones Diferenciales, II Semestre de 2013 45/49
- 46. Ecuaciones Diferenciales Rubén Darío Lara Escobar Ecuaciones Diferenciales de Primer Orden Ecuaciones Lineales Ecauciones Lineales Ecuaciones Variables Separables Método del factor Integrante Método del factor Integrante Aplicaciones de las Ecuaciones Diferenciales de Primer Orden Bala a Través de un Blanco Aplicando la ley de Newton tenemos: → ma = F : mdv dt = −βv2 (variables separables) La solución general esta dada por: − dv v2 = β m dt + C =⇒ 1 v = kt + C donde k = β m y la constante C se calcula con las condiciones iniciales t = 0, v = v0. Así C = 1 v0 . Por lo tanto 1 v = kt + 1 v0 =⇒ v = dx dt = 1 kt + 1 v0 (7) la cual se puede integrar directamente. Curso de Ecuaciones Diferenciales, II Semestre de 2013 46/49
- 47. Ecuaciones Diferenciales Rubén Darío Lara Escobar Ecuaciones Diferenciales de Primer Orden Ecuaciones Lineales Ecauciones Lineales Ecuaciones Variables Separables Método del factor Integrante Método del factor Integrante Aplicaciones de las Ecuaciones Diferenciales de Primer Orden Bala a Través de un Blanco Integrando con respecto a t x = 1 k ln kt + 1 v0 + C1 (8) donde C1 es una constante que se detremina por la condicón inicial t = 0, x = 0 y toma el valor C1 = −1 k ln 1 v0 por tanto x = 1 k ln kt + 1 v0 − 1 k ln 1 v0 (9) Curso de Ecuaciones Diferenciales, II Semestre de 2013 47/49
- 48. Ecuaciones Diferenciales Rubén Darío Lara Escobar Ecuaciones Diferenciales de Primer Orden Ecuaciones Lineales Ecauciones Lineales Ecuaciones Variables Separables Método del factor Integrante Método del factor Integrante Aplicaciones de las Ecuaciones Diferenciales de Primer Orden Bala a Través de un Blanco de la ecuación (7), t = T, v = v1 → 1 v1 = kT + 1 v0 (10) y de la ecuación (9) t = T; x = b : b = 1 k ln kt + 1 v0 − 1 k ln 1 v0 =⇒ k = 1 b ln v0 v1 Usando la ecuacón (10) T = 1 k 1 v1 − 1 v0 = b 1 v1 − 1 v0 ln v0 v1 = 0,1 × 1 80 − 1 100 ln 100 80 = 0,000819s Curso de Ecuaciones Diferenciales, II Semestre de 2013 48/49
- 49. Ecuaciones Diferenciales Rubén Darío Lara Escobar Apéndice Lecturas Re- comendadas Lecturas Recomendadas I Mesa, F.; Martínez, A.; González,J.(2012). Ecuaciones Diferenciales Ordinarias. Ed. ECOE EDICIONES Boyce, W.; Diprima, R.(2009). Elementary Dierential Equations and Boundary Value Problems. John Wiley and sons, Inc. Ninth edition. Curso de Ecuaciones Diferenciales, II Semestre de 2013 49/49