1) El documento trata sobre ecuaciones diferenciales ordinarias. 2) Los objetivos de aprendizaje incluyen identificar características de una EDO, resolver EDO de primer orden por separación de variables y resolver problemas de ingeniería usando este método. 3) Se explican conceptos como orden, linealidad, métodos de solución como separación de variables y problemas de valor inicial.

1. CÁLCULO 2
Ecuaciones Diferenciales Ordinarias
Departamento de Ciencias
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2. Logros de Aprendizaje
1. Identificar las características de una EDO.
2. Resolver EDO de primer orden por el
método de variables separables.
3. Resolver problemas vinculados a la
ingeniería usando la separación de
variables.
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3. ¿Qué es una ecuación diferencial?
En el estudio de las ciencias e
ingeniería se desarrollan modelos
matemáticos para ayudar a
comprender fenómenos físicos.
Estos modelos a menudo dan
lugar a una ecuación que
contiene ciertas derivadas de una
función incógnita. A una
ecuación de este tipo se le
denomina ecuación diferencial
(ED).
3

4. ECUACIÓN DIFERENCIAL
Ecuación que establece la dependencia de
una variable respecto a otra u otras
mediante derivadas es una ecuación
diferencial
dy 2 y ( y ')  x  y ' x
2
 4 xy 2 ( x, t )   t  senx   y 2  0
dx x 2
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5. Clasificación de las Ecuaciones
Diferenciales
Tipo El Orden La linealidad
Ecuación Ecuación Es el orden de
Diferencial Diferencial la más alta Lineal o no lineal
ordinaria Parcial derivada presente
(EDO) en la ecuación.
(EDP)
contienen
Contienen
derivadas
únicamente
parciales
derivadas
respecto de
ordinarias
dos o más
respecto a una
variables
sola variable
independientes
independiente.
.

6. ECUACIONES
DIFERENCIALES
EDP EDO
Contiene No tiene Derivadas
Derivadas Parciales
Parciales
r r r
  2 xy 1
x y z EDO de Orden n
EDO Lineal
F  x, y, y’, y’’,..., y n 
0
y  f ( x)
an ( x ) y( n )  an1( x ) y( n1 )  ...  a0 ( x ) y  f ( x )
EDO de 1er. orden
F(x, y, y’)  0 Homogénea
f ( x)  0
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7. Ecuación diferencial Ordinaria(EDO)
• Si la ecuación contiene derivadas ordinarias de una o más
variables dependientes con respecto a una sola variable
independiente entonces la ecuación se dice que es una
ecuación diferencial ordinaria (E.D.O.).
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8. Qué es orden?
• El orden de una ecuación diferencial ordinaria, es igual al de
la derivada de mas alto orden que aparece en la ecuación.
• El orden de una ecuación diferencial (ordinaria o en derivadas
parciales) es el de la derivada de mayor orden en la ecuación
Ejemplos
dy
1.  2 xy  0 Una ecuación DiferencialOrdinaria de primer orden
dx
d2y
2. 2
 xy  y  Una ecuación DiferencialOrdinaria de segundoorden
dx
d4y d2y
3. 4
 3 2  2 Una ecuación DiferencialOrdinaria de cuarto orden
dx dx

9. A qué se le llama grado?
• Es la potencia de la derivada de mayor orden que aparece en la
ecuación, siempre y cuando la ecuación este en forma
polinómica, de no ser así se considera que no tiene grado.
Ejemplos
1. y  5( y)3  2 y  x Una ecuación DiferencialOrdinaria de
segundoorden y primer grado
2. ( y)2  5 xy  0 Una ecuación DiferencialOrdinaria de
primer orden y segundo grado

10. De acuerdo a la linealidad
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11. • Ejemplos: ¿Lineales o No lineales?¿determine el
orden?
dv(t ) 1 1
• 1)  v(t )  Vs (t )
dt RC RC
• 2) dT
 K (Ta  T )
dt
dy  x  x 2  y 2
• 3) 
dx y
• 4) y'  p( x ) y  q( x ) y 2  f ( x ) Ecuación de Riccati
• 5) y'  x3 y  sin( x ) y 2  x 2  1
• 6) y' ' ( 1  y 2 ) y'  y  0 Ecuación de Van der Pol
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12. SOLUCIÓN DE UNA ECUACIÓN
DIFERENCIAL
1. Solución General (integral general de la ED)
Para la Ecuación F(x,y,y’,y’’,...,y(n))=0, la función y=f(x,c)
que satisface dicha ecuación es la SG.
 La solución general es una familia de funciones
parametrizadas por la constante desconocida c.
2. Solución Particular
Para cada valor particular de la constante c en y=f(x,c)
se obtiene una Solución Particular de la ED
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13. Ejemplo: La Ecuación diferencial
dy  x  x 2  y 2

dx y
Tiene por solución General la Familia de funciones:
10
8
6
4
y   2cx  c 2 2
0
-2
-4
-6
-8
-10
-4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4
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14. Problemas de Valor Inicial
El Problema tiene la forma:
dy
Resuelva :  f ( x, y )
dx
Sujeta a : y ( x0 )  y0
• La condición adicional se le conoce como
condición inicial.
• Con las condiciones iniciales es posible encontrar
la solución particular de la ecuación diferencial.
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15. EDO de primer orden y de primer grado
• En general suele expresarse una EDO de
primer orden y primer grado de la siguiente
manera:
dy
1.  f ( x, y )  y   f ( x, y ) (Forma Explícita)
dx
2. M ( x, y )dx  N ( x, y )dy  0 (Forma Implícita)
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16. MÉTODOS DE SOLUCIÓN
NO existe un método general para resolver ED’s.
Para los casos particulares bien identificados sí se
tienen procedimientos para calcular dicha
solución.
El método entonces consiste en saber Identificar el
tipo de ED
Separables, Homogéneas, Con Coeficientes Lineales,
Exactas, Lineales, de Bernoulli y de Riccati.
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17. SEPARACIÓN DE VARIABLES
Reescribir la ecuación como una ecuación de variables
separadas:
f ( y)dy  g ( x)dx
Donde f(y) es una función exclusivamente de y y g(x) es una función
exclusivamente de x.
Esta ecuación se resuelve integrando a ambos lados:
y x
y0
f ( y)dy   g ( x)dx
x0
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18. • La ED de la forma
f1 ( y) g1 ( x)dx  f 2 ( y) g 2 ( x)dy
• Se denomina ED de variables separables, ya que es
inmediata su reescritura como una ED con variables
separadas:
f 2 ( y) g1 ( x)
dy  dx
f1 ( y ) g 2 ( x)
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19. Ejemplo 1: Resolver la ecuación dy x

dx y
Solución: Separando variables
ydy = -xdx
Integrando y2 x2
   c1
2 2
Reescribiendo x2+y2 = c2
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20. Ejemplo 2:
dy x2
• Encontrar la solución general de 
dx 1  y 2
Solución:
Despejando para obtener de un lado de la ecuación función de
x y del otro lado función de y , y luego integrando. Resulta:
dy x2

dx 1  y 2
(1  y 2 ) dy  x 2 dx
 (1  y 2 )dy   x 2 dx
y3 x3
(y  )  C
3 3
20

21. 21

22. Crecimiento y Decrecimiento
La tasa de crecimiento de una población crece en forma
proporcional a la población total, P(t), en cualquier instante t.
dP
 kP
dt
Donde:
P(t): Población en el tiempo t.
K: es la constante de proporcionalidad.
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23. Decrecimiento radiactivo
La muestra de un material que contiene N(t) átomos de cierto isótopo radioactivo en
el tiempo t, decrece espontáneamente por unidad de tiempo.
dN
 k  N
dt
Ley de Desintegración radiactiva
La velocidad de desintegración de una sustancia radiactiva en un instante
dado es proporcional a la cantidad de sustancia presente en ese instante.
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24. Diseminación de una Enfermedad
Para la diseminación de una enfermedad contagiosa, la razón con que se
difunde no sólo es proporcional a la cantidad de persona x(t) que han
contraído la enfermedad , sino también a y(t) a los sujetos que no han
sido expuestos todavía al contagio.
dx
 k x y
dt
Constante de
proporcionalidad
Si una persona infectada se introduce en
una población de n personas
( x  y)  n
dx
 k  x( n  x)
dt 24

25. CIRCUITOS ELÉCTRICOS
Ley de Kirchhoff
 El voltaje a través de un circuito cerrado debe ser igual a las
caídas de voltaje en el mismo.
 “La suma algebraica de las diferencias de potencial en una
trayectoria (o malla) cerrada es igual a cero”
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26. CIRCUITO RL
Inductor: L
Inductancia L: henries (h)
Caída de voltaje: dI
L
dt
Resistor: R
Resistencia R: ohm (Ω)
Caída de voltaje:
I R
dI Donde:
I R  L V V: es el voltaje constante
dt
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27. CIRCUITO RC
Q
VIR  0
C
Donde:
V: Voltaje (constante) suministrado por
la fuente.
IR: Diferencia de potencial (variable) a
través del resistor R.
Q/C: Diferencia de potencial (variable) en
el capacitor C.
dQ
La intensidad de corriente I se define como: I (t ) 
dt
dQ Q Donde:
V  R  V, R y C son constantes y
dt C Q=Q(t)
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28. Ley de Enfriamiento de Newton
dT
La rapidez con la que se enfría un objeto es proporcional a la
dt
diferencia entre su temperatura y la del medio ambiente que lo
rodea.
dT
 k  T  A 
dt
Donde:
T(t): Temperatura del objeto en el instante t.
A: Temperatura constante del medio que lo rodea.
K: Constante de proporcionalidad. 28

29. Ley de Torricelli
La razón de cambio de un volumen V de agua en un tanque de
drenado, respecto al tiempo, es proporcional a la raíz cuadrada de la
profundidad y del agua en el tanque.
dV
 k   y 
dt
Si el tanque es un cilindro con paredes verticales y
una sección transversal de área A, entonces V=Ay,
luego
dy
 h  y
dt
Donde h=k/A es una constante.
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