El documento resume la historia de las ecuaciones cúbicas. Explica que Scipione del Ferro, Tartaglia, Cardano y Ferrari fueron figuras clave en el desarrollo de métodos para resolver este tipo de ecuaciones. Tartaglia propuso un método para resolver ecuaciones cúbicas basado en dos igualdades, mientras que Cardano publicó este método sin dar crédito a Tartaglia, causando una disputa entre ellos.
1. indice Historia Tartaglia Cardano Ferrari
´
ECUACIONES CUBICAS
W. Parra, R. C´rdenas, L. Castro
a
Universidad Pedag´gica Nacional
o
Departamento de Matem´ticas
a
15 de junio de 2012
2. indice Historia Tartaglia Cardano Ferrari
Temario
1 Historia
2 Tartaglia
3 Cardano
4 Ferrari
3. indice Historia Tartaglia Cardano Ferrari
Historia
Scipione Del Fierro
Fiori (disc´
ıpulo) Vs Tartaglia
Tartaglia Vs Cardano
Ferrari (disc´
ıpulo) Vs Tartaglia
Tartaglia regresa a casa
4. indice Historia Tartaglia Cardano Ferrari
Historia
Scipione Del Fierro
Fiori (disc´
ıpulo) Vs Tartaglia
Tartaglia Vs Cardano
Ferrari (disc´
ıpulo) Vs Tartaglia
Tartaglia regresa a casa
5. indice Historia Tartaglia Cardano Ferrari
Historia
Scipione Del Fierro
Fiori (disc´
ıpulo) Vs Tartaglia
Tartaglia Vs Cardano
Ferrari (disc´
ıpulo) Vs Tartaglia
Tartaglia regresa a casa
6. indice Historia Tartaglia Cardano Ferrari
Historia
Scipione Del Fierro
Fiori (disc´
ıpulo) Vs Tartaglia
Tartaglia Vs Cardano
Ferrari (disc´
ıpulo) Vs Tartaglia
Tartaglia regresa a casa
7. indice Historia Tartaglia Cardano Ferrari
Historia
Scipione Del Fierro
Fiori (disc´
ıpulo) Vs Tartaglia
Tartaglia Vs Cardano
Ferrari (disc´
ıpulo) Vs Tartaglia
Tartaglia regresa a casa
8. indice Historia Tartaglia Cardano Ferrari
Historia
Scipione Del Fierro
Fiori (disc´
ıpulo) Vs Tartaglia
Tartaglia Vs Cardano
Ferrari (disc´
ıpulo) Vs Tartaglia
Tartaglia regresa a casa
9. indice Historia Tartaglia Cardano Ferrari
Tartaglia
Cuando est´ el cubo con las cosas preso
a
y se iguala a alg´n n´mero discreto
u u
busca otros dos que difieran en eso.
Despu´s t´ har´s esto que te espeto
e u a
que su producto siempre sea igual
al tercio cubo de la cosa neto.
Despu´s el resultado general
e
de sus lados c´bicos bien restados
u
te dar´ a ti la cosa principal
a
10. indice Historia Tartaglia Cardano Ferrari
Tartaglia
Cuando est´ el cubo con las cosas preso
a
y se iguala a alg´n n´mero discreto
u u
busca otros dos que difieran en eso.
Despu´s t´ har´s esto que te espeto
e u a
que su producto siempre sea igual
al tercio cubo de la cosa neto.
Despu´s el resultado general
e
de sus lados c´bicos bien restados
u
te dar´ a ti la cosa principal
a
11. indice Historia Tartaglia Cardano Ferrari
Tartaglia
Cuando est´ el cubo con las cosas preso
a
y se iguala a alg´n n´mero discreto
u u
busca otros dos que difieran en eso.
Despu´s t´ har´s esto que te espeto
e u a
que su producto siempre sea igual
al tercio cubo de la cosa neto.
Despu´s el resultado general
e
de sus lados c´bicos bien restados
u
te dar´ a ti la cosa principal
a
12. indice Historia Tartaglia Cardano Ferrari
Tartaglia
Cuando est´ el cubo con las cosas preso
a
y se iguala a alg´n n´mero discreto
u u
busca otros dos que difieran en eso.
Despu´s t´ har´s esto que te espeto
e u a
que su producto siempre sea igual
al tercio cubo de la cosa neto.
Despu´s el resultado general
e
de sus lados c´bicos bien restados
u
te dar´ a ti la cosa principal
a
13. indice Historia Tartaglia Cardano Ferrari
M´todo de Tartaglia
e
Ecuaci´n a solucionar:
o
x 3 + 6x = 20
Recordamos las dos igualaciones que nos propone Tartaglia
u−v
= 20
6
u × v = ( )3
3
Despujando u y reemplanzando obtenemos
v 2 + 20v − 20 = 0
Aplicando cuadr´tica sugerida por Tartaglia a v
a
p 2 − 4q
−q +
v =
2
√
v = −10 + 108
14. indice Historia Tartaglia Cardano Ferrari
M´todo de Tartaglia
e
Ecuaci´n a solucionar:
o
x 3 + 6x = 20
Recordamos las dos igualaciones que nos propone Tartaglia
u−v
= 20
6
u × v = ( )3
3
Despujando u y reemplanzando obtenemos
v 2 + 20v − 20 = 0
Aplicando cuadr´tica sugerida por Tartaglia a v
a
p 2 − 4q
−q +
v =
2
√
v = −10 + 108
15. indice Historia Tartaglia Cardano Ferrari
M´todo de Tartaglia
e
Ecuaci´n a solucionar:
o
x 3 + 6x = 20
Recordamos las dos igualaciones que nos propone Tartaglia
u−v
= 20
6
u × v = ( )3
3
Despujando u y reemplanzando obtenemos
v 2 + 20v − 20 = 0
Aplicando cuadr´tica sugerida por Tartaglia a v
a
p 2 − 4q
−q +
v =
2
√
v = −10 + 108
16. indice Historia Tartaglia Cardano Ferrari
M´todo de Tartaglia
e
Ecuaci´n a solucionar:
o
x 3 + 6x = 20
Recordamos las dos igualaciones que nos propone Tartaglia
u−v
= 20
6
u × v = ( )3
3
Despujando u y reemplanzando obtenemos
v 2 + 20v − 20 = 0
Aplicando cuadr´tica sugerida por Tartaglia a v
a
p 2 − 4q
−q +
v =
2
√
v = −10 + 108
17. indice Historia Tartaglia Cardano Ferrari
M´todo de Tartaglia
e
Ecuaci´n a solucionar:
o
x 3 + 6x = 20
Recordamos las dos igualaciones que nos propone Tartaglia
u−v
= 20
6
u × v = ( )3
3
Despujando u y reemplanzando obtenemos
v 2 + 20v − 20 = 0
Aplicando cuadr´tica sugerida por Tartaglia a v
a
p 2 − 4q
−q +
v =
2
√
v = −10 + 108
18. indice Historia Tartaglia Cardano Ferrari
M´todo de Tartaglia
e
Ecuaci´n a solucionar:
o
x 3 + 6x = 20
Recordamos las dos igualaciones que nos propone Tartaglia
u−v
= 20
6
u × v = ( )3
3
Despujando u y reemplanzando obtenemos
v 2 + 20v − 20 = 0
Aplicando cuadr´tica sugerida por Tartaglia a v
a
p 2 − 4q
−q +
v =
2
√
v = −10 + 108
19. indice Historia Tartaglia Cardano Ferrari
M´todo de Tartaglia
e
Ecuaci´n a solucionar:
o
x 3 + 6x = 20
Recordamos las dos igualaciones que nos propone Tartaglia
u−v
= 20
6
u × v = ( )3
3
Despujando u y reemplanzando obtenemos
v 2 + 20v − 20 = 0
Aplicando cuadr´tica sugerida por Tartaglia a v
a
p 2 − 4q
−q +
v =
2
√
v = −10 + 108
20. indice Historia Tartaglia Cardano Ferrari
M´todo de Tartaglia
e
Ecuaci´n a solucionar:
o
x 3 + 6x = 20
Recordamos las dos igualaciones que nos propone Tartaglia
u−v
= 20
6
u × v = ( )3
3
Despujando u y reemplanzando obtenemos
v 2 + 20v − 20 = 0
Aplicando cuadr´tica sugerida por Tartaglia a v
a
p 2 − 4q
−q +
v =
2
√
v = −10 + 108
21. indice Historia Tartaglia Cardano Ferrari
M´todo de Tartaglia
e
Ecuaci´n a solucionar:
o
x 3 + 6x = 20
Recordamos las dos igualaciones que nos propone Tartaglia
u−v
= 20
6
u × v = ( )3
3
Despujando u y reemplanzando obtenemos
v 2 + 20v − 20 = 0
Aplicando cuadr´tica sugerida por Tartaglia a v
a
p 2 − 4q
−q +
v =
2
√
v = −10 + 108
22. indice Historia Tartaglia Cardano Ferrari
M´todo de Tartaglia
e
Reemplanzando este valor para hallar u, obtenemos
√
u = 10 + 108
El valor de x ser´ entonces:
a
3 √ 3 √
x= 10 + 108 − −10 + 108
23. indice Historia Tartaglia Cardano Ferrari
M´todo de Tartaglia
e
Reemplanzando este valor para hallar u, obtenemos
√
u = 10 + 108
El valor de x ser´ entonces:
a
3 √ 3 √
x= 10 + 108 − −10 + 108
24. indice Historia Tartaglia Cardano Ferrari
M´todo de Tartaglia
e
Reemplanzando este valor para hallar u, obtenemos
√
u = 10 + 108
El valor de x ser´ entonces:
a
3 √ 3 √
x= 10 + 108 − −10 + 108
25. indice Historia Tartaglia Cardano Ferrari
M´todo de Tartaglia
e
Reemplanzando este valor para hallar u, obtenemos
√
u = 10 + 108
El valor de x ser´ entonces:
a
3 √ 3 √
x= 10 + 108 − −10 + 108
26. indice Historia Tartaglia Cardano Ferrari
M´todo de Tartaglia
e
Reemplanzando este valor para hallar u, obtenemos
√
u = 10 + 108
El valor de x ser´ entonces:
a
3 √ 3 √
x= 10 + 108 − −10 + 108
27. indice Historia Tartaglia Cardano Ferrari
Cardano
Nombre real Gerolamo Cardano, matem´tico (1501), Mil´n-(1576),
a a
Roma.
• Oficios: Profesor de Matem´ticas, Profesor de M´dicina y
a e
Jugador de cartas, dados y ajedrez.
• Libros destacados: La Pr´ctica de Aritm´tica y las mediciones
a e
simples (1539), Arts Magna (1545), Liber De Ludo Aleae
(1572).
• Ferrari, disc´
ıpulo, ecuaci´n general de cuarto grado.
o
M´todo 1, Modelo del cubo
e
x 3 − s 3 = (S − R)2 + 3(S − R)2 + (S − R)R 2 (1)
M´todo 2, F´rmula general de ecuaciones de terce grado
e o
x 3 + Ax 2 + Bx + c = 0 (2)
28. indice Historia Tartaglia Cardano Ferrari
Cardano
Nombre real Gerolamo Cardano, matem´tico (1501), Mil´n-(1576),
a a
Roma.
• Oficios: Profesor de Matem´ticas, Profesor de M´dicina y
a e
Jugador de cartas, dados y ajedrez.
• Libros destacados: La Pr´ctica de Aritm´tica y las mediciones
a e
simples (1539), Arts Magna (1545), Liber De Ludo Aleae
(1572).
• Ferrari, disc´
ıpulo, ecuaci´n general de cuarto grado.
o
M´todo 1, Modelo del cubo
e
x 3 − s 3 = (S − R)2 + 3(S − R)2 + (S − R)R 2 (1)
M´todo 2, F´rmula general de ecuaciones de terce grado
e o
x 3 + Ax 2 + Bx + c = 0 (2)
29. indice Historia Tartaglia Cardano Ferrari
Cardano
Nombre real Gerolamo Cardano, matem´tico (1501), Mil´n-(1576),
a a
Roma.
• Oficios: Profesor de Matem´ticas, Profesor de M´dicina y
a e
Jugador de cartas, dados y ajedrez.
• Libros destacados: La Pr´ctica de Aritm´tica y las mediciones
a e
simples (1539), Arts Magna (1545), Liber De Ludo Aleae
(1572).
• Ferrari, disc´
ıpulo, ecuaci´n general de cuarto grado.
o
M´todo 1, Modelo del cubo
e
x 3 − s 3 = (S − R)2 + 3(S − R)2 + (S − R)R 2 (1)
M´todo 2, F´rmula general de ecuaciones de terce grado
e o
x 3 + Ax 2 + Bx + c = 0 (2)
30. indice Historia Tartaglia Cardano Ferrari
Cardano
Nombre real Gerolamo Cardano, matem´tico (1501), Mil´n-(1576),
a a
Roma.
• Oficios: Profesor de Matem´ticas, Profesor de M´dicina y
a e
Jugador de cartas, dados y ajedrez.
• Libros destacados: La Pr´ctica de Aritm´tica y las mediciones
a e
simples (1539), Arts Magna (1545), Liber De Ludo Aleae
(1572).
• Ferrari, disc´
ıpulo, ecuaci´n general de cuarto grado.
o
M´todo 1, Modelo del cubo
e
x 3 − s 3 = (S − R)2 + 3(S − R)2 + (S − R)R 2 (1)
M´todo 2, F´rmula general de ecuaciones de terce grado
e o
x 3 + Ax 2 + Bx + c = 0 (2)
31. indice Historia Tartaglia Cardano Ferrari
Cardano
Nombre real Gerolamo Cardano, matem´tico (1501), Mil´n-(1576),
a a
Roma.
• Oficios: Profesor de Matem´ticas, Profesor de M´dicina y
a e
Jugador de cartas, dados y ajedrez.
• Libros destacados: La Pr´ctica de Aritm´tica y las mediciones
a e
simples (1539), Arts Magna (1545), Liber De Ludo Aleae
(1572).
• Ferrari, disc´
ıpulo, ecuaci´n general de cuarto grado.
o
M´todo 1, Modelo del cubo
e
x 3 − s 3 = (S − R)2 + 3(S − R)2 + (S − R)R 2 (1)
M´todo 2, F´rmula general de ecuaciones de terce grado
e o
x 3 + Ax 2 + Bx + c = 0 (2)
32. indice Historia Tartaglia Cardano Ferrari
Cardano
Nombre real Gerolamo Cardano, matem´tico (1501), Mil´n-(1576),
a a
Roma.
• Oficios: Profesor de Matem´ticas, Profesor de M´dicina y
a e
Jugador de cartas, dados y ajedrez.
• Libros destacados: La Pr´ctica de Aritm´tica y las mediciones
a e
simples (1539), Arts Magna (1545), Liber De Ludo Aleae
(1572).
• Ferrari, disc´
ıpulo, ecuaci´n general de cuarto grado.
o
M´todo 1, Modelo del cubo
e
x 3 − s 3 = (S − R)2 + 3(S − R)2 + (S − R)R 2 (1)
M´todo 2, F´rmula general de ecuaciones de terce grado
e o
x 3 + Ax 2 + Bx + c = 0 (2)
33. indice Historia Tartaglia Cardano Ferrari
Cardano
Nombre real Gerolamo Cardano, matem´tico (1501), Mil´n-(1576),
a a
Roma.
• Oficios: Profesor de Matem´ticas, Profesor de M´dicina y
a e
Jugador de cartas, dados y ajedrez.
• Libros destacados: La Pr´ctica de Aritm´tica y las mediciones
a e
simples (1539), Arts Magna (1545), Liber De Ludo Aleae
(1572).
• Ferrari, disc´
ıpulo, ecuaci´n general de cuarto grado.
o
M´todo 1, Modelo del cubo
e
x 3 − s 3 = (S − R)2 + 3(S − R)2 + (S − R)R 2 (1)
M´todo 2, F´rmula general de ecuaciones de terce grado
e o
x 3 + Ax 2 + Bx + c = 0 (2)
34. indice Historia Tartaglia Cardano Ferrari
M´todo de Cardano
e
Ecuaci´n a resolver
o
x 3 − 7x 2 + 16x − 12 = 0
sustituimos a x por
7
x =t+
3
sustituimos
1t 2
t3 −
− =0
3 27
Aplicando el m´todo de tartaglia a la ecuaci´n anterior obtenemos
e o
−q + p 2 − 4q
v =
2
1
v = −
27
1
u =
27
35. indice Historia Tartaglia Cardano Ferrari
M´todo de Cardano
e
Ecuaci´n a resolver
o
x 3 − 7x 2 + 16x − 12 = 0
sustituimos a x por
7
x =t+
3
sustituimos
1t 2
t3 −
− =0
3 27
Aplicando el m´todo de tartaglia a la ecuaci´n anterior obtenemos
e o
−q + p 2 − 4q
v =
2
1
v = −
27
1
u =
27
36. indice Historia Tartaglia Cardano Ferrari
M´todo de Cardano
e
Ecuaci´n a resolver
o
x 3 − 7x 2 + 16x − 12 = 0
sustituimos a x por
7
x =t+
3
sustituimos
1t 2
t3 −
− =0
3 27
Aplicando el m´todo de tartaglia a la ecuaci´n anterior obtenemos
e o
−q + p 2 − 4q
v =
2
1
v = −
27
1
u =
27
37. indice Historia Tartaglia Cardano Ferrari
M´todo de Cardano
e
Ecuaci´n a resolver
o
x 3 − 7x 2 + 16x − 12 = 0
sustituimos a x por
7
x =t+
3
sustituimos
1t 2
t3 −
− =0
3 27
Aplicando el m´todo de tartaglia a la ecuaci´n anterior obtenemos
e o
−q + p 2 − 4q
v =
2
1
v = −
27
1
u =
27
38. indice Historia Tartaglia Cardano Ferrari
M´todo de Cardano
e
Ecuaci´n a resolver
o
x 3 − 7x 2 + 16x − 12 = 0
sustituimos a x por
7
x =t+
3
sustituimos
1t 2
t3 −
− =0
3 27
Aplicando el m´todo de tartaglia a la ecuaci´n anterior obtenemos
e o
−q + p 2 − 4q
v =
2
1
v = −
27
1
u =
27
39. indice Historia Tartaglia Cardano Ferrari
M´todo de Cardano
e
Ecuaci´n a resolver
o
x 3 − 7x 2 + 16x − 12 = 0
sustituimos a x por
7
x =t+
3
sustituimos
1t 2
t3 −
− =0
3 27
Aplicando el m´todo de tartaglia a la ecuaci´n anterior obtenemos
e o
−q + p 2 − 4q
v =
2
1
v = −
27
1
u =
27
40. indice Historia Tartaglia Cardano Ferrari
M´todo de Cardano
e
Ecuaci´n a resolver
o
x 3 − 7x 2 + 16x − 12 = 0
sustituimos a x por
7
x =t+
3
sustituimos
1t 2
t3 −
− =0
3 27
Aplicando el m´todo de tartaglia a la ecuaci´n anterior obtenemos
e o
−q + p 2 − 4q
v =
2
1
v = −
27
1
u =
27
41. indice Historia Tartaglia Cardano Ferrari
M´todo de Cardano
e
Ecuaci´n a resolver
o
x 3 − 7x 2 + 16x − 12 = 0
sustituimos a x por
7
x =t+
3
sustituimos
1t 2
t3 −
− =0
3 27
Aplicando el m´todo de tartaglia a la ecuaci´n anterior obtenemos
e o
−q + p 2 − 4q
v =
2
1
v = −
27
1
u =
27
42. indice Historia Tartaglia Cardano Ferrari
M´todo de Cardano
e
Ecuaci´n a resolver
o
x 3 − 7x 2 + 16x − 12 = 0
sustituimos a x por
7
x =t+
3
sustituimos
1t 2
t3 −
− =0
3 27
Aplicando el m´todo de tartaglia a la ecuaci´n anterior obtenemos
e o
−q + p 2 − 4q
v =
2
1
v = −
27
1
u =
27
43. indice Historia Tartaglia Cardano Ferrari
M´todo de Cardano
e
Reemplazamos
1
3 3 1 2
t= − − =
27 27 3
Por ultimo, retomamos la primera sustituci´n y obtenemos el valor
´ o
de x
7 2 7
x =t+ →x = +
3 3 3
El valor de x ser´
a
x =3
44. indice Historia Tartaglia Cardano Ferrari
M´todo de Cardano
e
Reemplazamos
1
3 3 1 2
t= − − =
27 27 3
Por ultimo, retomamos la primera sustituci´n y obtenemos el valor
´ o
de x
7 2 7
x =t+ →x = +
3 3 3
El valor de x ser´
a
x =3
45. indice Historia Tartaglia Cardano Ferrari
M´todo de Cardano
e
Reemplazamos
1
3 3 1 2
t= − − =
27 27 3
Por ultimo, retomamos la primera sustituci´n y obtenemos el valor
´ o
de x
7 2 7
x =t+ →x = +
3 3 3
El valor de x ser´
a
x =3
46. indice Historia Tartaglia Cardano Ferrari
M´todo de Cardano
e
Reemplazamos
1
3 3 1 2
t= − − =
27 27 3
Por ultimo, retomamos la primera sustituci´n y obtenemos el valor
´ o
de x
7 2 7
x =t+ →x = +
3 3 3
El valor de x ser´
a
x =3
47. indice Historia Tartaglia Cardano Ferrari
Ferrari
Ferrari y Cardano estudiaron la soluc´n de las c´icas que Tartaglia
o u
les hab´ comunicado. Ferrari descubri´ tambi´n la soluci´n general
ıa o e o
de las ecuaciones de cuarto grado en 1540, con un bello argumento
reduc´ el problema a resolver una c´bica por el m´todo de
ıa u e
Tartaglia, como Cardano hab´ jurado a Tartaglia que no publicar´
ıa ıa
las soluci´n de las c´bicas, esos tampoco pod´ publicar la
o u ıa
soluciones de las cuarticas ya que depend´ de la soluci´n de las
ıan o
ecuaciones cubicas.
48. indice Historia Tartaglia Cardano Ferrari
Ferrari
Ferrari y Cardano estudiaron la soluc´n de las c´icas que Tartaglia
o u
les hab´ comunicado. Ferrari descubri´ tambi´n la soluci´n general
ıa o e o
de las ecuaciones de cuarto grado en 1540, con un bello argumento
reduc´ el problema a resolver una c´bica por el m´todo de
ıa u e
Tartaglia, como Cardano hab´ jurado a Tartaglia que no publicar´
ıa ıa
las soluci´n de las c´bicas, esos tampoco pod´ publicar la
o u ıa
soluciones de las cuarticas ya que depend´ de la soluci´n de las
ıan o
ecuaciones cubicas.
49. indice Historia Tartaglia Cardano Ferrari
Ferrari
Ferrari y Cardano estudiaron la soluc´n de las c´icas que Tartaglia
o u
les hab´ comunicado. Ferrari descubri´ tambi´n la soluci´n general
ıa o e o
de las ecuaciones de cuarto grado en 1540, con un bello argumento
reduc´ el problema a resolver una c´bica por el m´todo de
ıa u e
Tartaglia, como Cardano hab´ jurado a Tartaglia que no publicar´
ıa ıa
las soluci´n de las c´bicas, esos tampoco pod´ publicar la
o u ıa
soluciones de las cuarticas ya que depend´ de la soluci´n de las
ıan o
ecuaciones cubicas.
50. indice Historia Tartaglia Cardano Ferrari
M´todo de Ferrari
e
Ecuaci´n a resolver
o
x 4 + 6x 3 = 6x 2 + 30x + 11
La idea consiste en completar un cuadrado perfecto al lado
izquierdo la igualdad, por tanto adicionamos 9x 2
x 4 + 6x 3 + 9x 2 = 15x 2 + 30x + 11
(x 2 + 3x)2 = 15x 2 + 30x + 11
51. indice Historia Tartaglia Cardano Ferrari
M´todo de Ferrari
e
Ecuaci´n a resolver
o
x 4 + 6x 3 = 6x 2 + 30x + 11
La idea consiste en completar un cuadrado perfecto al lado
izquierdo la igualdad, por tanto adicionamos 9x 2
x 4 + 6x 3 + 9x 2 = 15x 2 + 30x + 11
(x 2 + 3x)2 = 15x 2 + 30x + 11
52. indice Historia Tartaglia Cardano Ferrari
M´todo de Ferrari
e
Ecuaci´n a resolver
o
x 4 + 6x 3 = 6x 2 + 30x + 11
La idea consiste en completar un cuadrado perfecto al lado
izquierdo la igualdad, por tanto adicionamos 9x 2
x 4 + 6x 3 + 9x 2 = 15x 2 + 30x + 11
(x 2 + 3x)2 = 15x 2 + 30x + 11
53. indice Historia Tartaglia Cardano Ferrari
M´todo de Ferrari
e
Ecuaci´n a resolver
o
x 4 + 6x 3 = 6x 2 + 30x + 11
La idea consiste en completar un cuadrado perfecto al lado
izquierdo la igualdad, por tanto adicionamos 9x 2
x 4 + 6x 3 + 9x 2 = 15x 2 + 30x + 11
(x 2 + 3x)2 = 15x 2 + 30x + 11
54. indice Historia Tartaglia Cardano Ferrari
M´todo de Ferrari
e
Ahora, se debe usar la identidad anteriormente mencionada, por lo
que se hace necesario adicionar a la ecuaci´n la expresi´n
o o
2yx 2 + 6xy + y 2 ,por lo que obtenemos la siguiente ecuaci´.
n
(x 2 + 3x + y )2 = (15 + 2y )x 2 + (30 + 6y )x + (11 + y 2 )
Luego, se debe buscar valores para y de tal manera que la
expresi´n del lado derecho de la igualdad (ecuaci´n de segundo
o o
grado) sea un cuadrado perfecto, por tal raz´n se debe buscar que
o
el discriminante de la ecuaci´n de segundo grado se igual a cero,
o
por tanto.
(30 + 6y )2 − 4(15 + 2y )(11 + y 2 ) = 0
55. indice Historia Tartaglia Cardano Ferrari
M´todo de Ferrari
e
Ahora, se debe usar la identidad anteriormente mencionada, por lo
que se hace necesario adicionar a la ecuaci´n la expresi´n
o o
2yx 2 + 6xy + y 2 ,por lo que obtenemos la siguiente ecuaci´.
n
(x 2 + 3x + y )2 = (15 + 2y )x 2 + (30 + 6y )x + (11 + y 2 )
Luego, se debe buscar valores para y de tal manera que la
expresi´n del lado derecho de la igualdad (ecuaci´n de segundo
o o
grado) sea un cuadrado perfecto, por tal raz´n se debe buscar que
o
el discriminante de la ecuaci´n de segundo grado se igual a cero,
o
por tanto.
(30 + 6y )2 − 4(15 + 2y )(11 + y 2 ) = 0
56. indice Historia Tartaglia Cardano Ferrari
M´todo de Ferrari
e
Ahora, se debe usar la identidad anteriormente mencionada, por lo
que se hace necesario adicionar a la ecuaci´n la expresi´n
o o
2yx 2 + 6xy + y 2 ,por lo que obtenemos la siguiente ecuaci´.
n
(x 2 + 3x + y )2 = (15 + 2y )x 2 + (30 + 6y )x + (11 + y 2 )
Luego, se debe buscar valores para y de tal manera que la
expresi´n del lado derecho de la igualdad (ecuaci´n de segundo
o o
grado) sea un cuadrado perfecto, por tal raz´n se debe buscar que
o
el discriminante de la ecuaci´n de segundo grado se igual a cero,
o
por tanto.
(30 + 6y )2 − 4(15 + 2y )(11 + y 2 ) = 0
57. indice Historia Tartaglia Cardano Ferrari
M´todo de Ferrari
e
Desarrollando el producto se obtiene una ecuaci´n c´bica
o u
−8y 3 − 24y 2 + 272y + 240 = 0 = 0
y 3 + 3y 2 − 34y − 30 = 0
La anterior ecuaci´n c´bica la resolvemos con el m´todo de
o u e
Tartaglia. Una de las soluciones de la ecuaci´n es y = 5, entonces,
o
reemplazamos el valor de y en la ecuaci´n
o
(x 2 + 3x + y )2 = (15 + 2y )x 2 + (30 + 6y )x + (11 + y 2 )
58. indice Historia Tartaglia Cardano Ferrari
M´todo de Ferrari
e
Desarrollando el producto se obtiene una ecuaci´n c´bica
o u
−8y 3 − 24y 2 + 272y + 240 = 0 = 0
y 3 + 3y 2 − 34y − 30 = 0
La anterior ecuaci´n c´bica la resolvemos con el m´todo de
o u e
Tartaglia. Una de las soluciones de la ecuaci´n es y = 5, entonces,
o
reemplazamos el valor de y en la ecuaci´n
o
(x 2 + 3x + y )2 = (15 + 2y )x 2 + (30 + 6y )x + (11 + y 2 )
59. indice Historia Tartaglia Cardano Ferrari
M´todo de Ferrari
e
Desarrollando el producto se obtiene una ecuaci´n c´bica
o u
−8y 3 − 24y 2 + 272y + 240 = 0 = 0
y 3 + 3y 2 − 34y − 30 = 0
La anterior ecuaci´n c´bica la resolvemos con el m´todo de
o u e
Tartaglia. Una de las soluciones de la ecuaci´n es y = 5, entonces,
o
reemplazamos el valor de y en la ecuaci´n
o
(x 2 + 3x + y )2 = (15 + 2y )x 2 + (30 + 6y )x + (11 + y 2 )
60. indice Historia Tartaglia Cardano Ferrari
M´todo de Ferrari
e
Desarrollando el producto se obtiene una ecuaci´n c´bica
o u
−8y 3 − 24y 2 + 272y + 240 = 0 = 0
y 3 + 3y 2 − 34y − 30 = 0
La anterior ecuaci´n c´bica la resolvemos con el m´todo de
o u e
Tartaglia. Una de las soluciones de la ecuaci´n es y = 5, entonces,
o
reemplazamos el valor de y en la ecuaci´n
o
(x 2 + 3x + y )2 = (15 + 2y )x 2 + (30 + 6y )x + (11 + y 2 )
61. indice Historia Tartaglia Cardano Ferrari
M´todo de Ferrari
e
Desarrollando el producto se obtiene una ecuaci´n c´bica
o u
−8y 3 − 24y 2 + 272y + 240 = 0 = 0
y 3 + 3y 2 − 34y − 30 = 0
La anterior ecuaci´n c´bica la resolvemos con el m´todo de
o u e
Tartaglia. Una de las soluciones de la ecuaci´n es y = 5, entonces,
o
reemplazamos el valor de y en la ecuaci´n
o
(x 2 + 3x + y )2 = (15 + 2y )x 2 + (30 + 6y )x + (11 + y 2 )
62. indice Historia Tartaglia Cardano Ferrari
M´todo de Ferrari
e
Reemplazando y operando obtendremos la ecuaci´n de segundo
o
grado.
(x 2 + 3x + 5)2 = (15 + 2y )x 2 + (30 + 6y )x + (11 + y 2
(x 2 + 3x + 5)2 = (25)x 2 + (60)x + (36)
(x 2 + 3x + 5)2 = (5x + 6)2
x 2 + 3x + 5 = 5x + 6
x 2 − 2x − 1 = 0
Resolviendo la ecuaci´n de segundo grado, obtenemos las
o
soluciones √ √
1 + 2;1 − 2
Donde dichas soluciones son soluciones de la ecuaci´n cuartica
o
propuesta inicialmente.
63. indice Historia Tartaglia Cardano Ferrari
M´todo de Ferrari
e
Reemplazando y operando obtendremos la ecuaci´n de segundo
o
grado.
(x 2 + 3x + 5)2 = (15 + 2y )x 2 + (30 + 6y )x + (11 + y 2
(x 2 + 3x + 5)2 = (25)x 2 + (60)x + (36)
(x 2 + 3x + 5)2 = (5x + 6)2
x 2 + 3x + 5 = 5x + 6
x 2 − 2x − 1 = 0
Resolviendo la ecuaci´n de segundo grado, obtenemos las
o
soluciones √ √
1 + 2;1 − 2
Donde dichas soluciones son soluciones de la ecuaci´n cuartica
o
propuesta inicialmente.
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M´todo de Ferrari
e
Reemplazando y operando obtendremos la ecuaci´n de segundo
o
grado.
(x 2 + 3x + 5)2 = (15 + 2y )x 2 + (30 + 6y )x + (11 + y 2
(x 2 + 3x + 5)2 = (25)x 2 + (60)x + (36)
(x 2 + 3x + 5)2 = (5x + 6)2
x 2 + 3x + 5 = 5x + 6
x 2 − 2x − 1 = 0
Resolviendo la ecuaci´n de segundo grado, obtenemos las
o
soluciones √ √
1 + 2;1 − 2
Donde dichas soluciones son soluciones de la ecuaci´n cuartica
o
propuesta inicialmente.
65. indice Historia Tartaglia Cardano Ferrari
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e
Reemplazando y operando obtendremos la ecuaci´n de segundo
o
grado.
(x 2 + 3x + 5)2 = (15 + 2y )x 2 + (30 + 6y )x + (11 + y 2
(x 2 + 3x + 5)2 = (25)x 2 + (60)x + (36)
(x 2 + 3x + 5)2 = (5x + 6)2
x 2 + 3x + 5 = 5x + 6
x 2 − 2x − 1 = 0
Resolviendo la ecuaci´n de segundo grado, obtenemos las
o
soluciones √ √
1 + 2;1 − 2
Donde dichas soluciones son soluciones de la ecuaci´n cuartica
o
propuesta inicialmente.
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M´todo de Ferrari
e
Reemplazando y operando obtendremos la ecuaci´n de segundo
o
grado.
(x 2 + 3x + 5)2 = (15 + 2y )x 2 + (30 + 6y )x + (11 + y 2
(x 2 + 3x + 5)2 = (25)x 2 + (60)x + (36)
(x 2 + 3x + 5)2 = (5x + 6)2
x 2 + 3x + 5 = 5x + 6
x 2 − 2x − 1 = 0
Resolviendo la ecuaci´n de segundo grado, obtenemos las
o
soluciones √ √
1 + 2;1 − 2
Donde dichas soluciones son soluciones de la ecuaci´n cuartica
o
propuesta inicialmente.
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e
Reemplazando y operando obtendremos la ecuaci´n de segundo
o
grado.
(x 2 + 3x + 5)2 = (15 + 2y )x 2 + (30 + 6y )x + (11 + y 2
(x 2 + 3x + 5)2 = (25)x 2 + (60)x + (36)
(x 2 + 3x + 5)2 = (5x + 6)2
x 2 + 3x + 5 = 5x + 6
x 2 − 2x − 1 = 0
Resolviendo la ecuaci´n de segundo grado, obtenemos las
o
soluciones √ √
1 + 2;1 − 2
Donde dichas soluciones son soluciones de la ecuaci´n cuartica
o
propuesta inicialmente.
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e
Reemplazando y operando obtendremos la ecuaci´n de segundo
o
grado.
(x 2 + 3x + 5)2 = (15 + 2y )x 2 + (30 + 6y )x + (11 + y 2
(x 2 + 3x + 5)2 = (25)x 2 + (60)x + (36)
(x 2 + 3x + 5)2 = (5x + 6)2
x 2 + 3x + 5 = 5x + 6
x 2 − 2x − 1 = 0
Resolviendo la ecuaci´n de segundo grado, obtenemos las
o
soluciones √ √
1 + 2;1 − 2
Donde dichas soluciones son soluciones de la ecuaci´n cuartica
o
propuesta inicialmente.