1. Ecuación cuadrática
En la primera ecuación:
1. Construye un triángulo rectángulo NLM, este se puede realizar según la definición 21
de Euclides del Libro I.
2. Traza una circunferencia con centro en N y radio NL, esta se puede realizar por el postulado
3 el libro I de Euclides.
3. Prolonga el segmento , que es la hipotenusa del triángulo, utilizando el postulado 2 del
libro I de Euclides, de esta manera la prolongación corta a la circunferencia en el punto .
Con esta construcción realizada Descartes afirma que el segmento es la recta buscada .
La escogencia de se explica por
Elevando al cuadrado
Por construcción del triangulo rectángulo y Pitágoras:
Remplazando se tiene
Luego como
Entonces remplazando
Además como la ecuación es de la forma

2. Entonces se concluye
Así
La justificación de porque es la recta buscada se basa en:
Se tiene que
Por teorma de Pitagoras
Remplazado en
Como
Entonces
Siendo esta la solución de la ecuación. Porque