3. “Dado que la escritura del universo es
la mas perfecta y obra de un creador
sapientísimo, nada sucede en el
universo sin obedecer alguna regla de
máximo o mínimo”
Leonhard Euler (1713-1783)

4. • Euler: El genio más prolífico
• Apuntes Bibliográficos
• Aportes para resolución de ecuaciones de
cuarto grado

5. Trabajo en:
• Buques
• Acústica y la teoría de la armonía musical
• Teoría clásica de los números
• Teoría analítica de los números

6. Principales obras:
• Libro Mechanica
• Introduction in analysis in infinitorum
• Institutiones claculi diffentialis
• Investigo sobre números complejos
• Presento una demostración sobre el teorema
fundamental del algebra
• Cartas de Euler dirigidas a una princesa alemana

7. • Escribió un influyente texto de algebra sobre el
movimiento de la luna
• En tres volúmenes desarrollo intuitiones calculi
integralis

8. METODO DE EULER
Para exponer este método, consideremos la
ecuación:
x4 + 2x3 + 4x2 + 2x + 1 = 0 (A)
Los reescribimos como dos factores cuadráticos
reales
x2 + px + 1 y x2 + qx + 1

9. ya que al multiplicarlos, obtenemos:
x4 + (p + q)x3 + (pq + 2)x2 + (p + q)x + 1 (B)
con coeficientes: 1, p + q, pq + 2, p + q, 1, que
resultan ser los mismos al leerlos
empezando por la izquierda o por la derecha; por
tanto, al comparar la ecuación
anterior con la ecuación (A), tenemos que:
p + q = 2 y pq = 2

10. de esto obtenemos:
(p – q)2 = (p + q)2 – 4pq= (2)2 – 4(2) = 4 – 8 = – 4
entonces:
p – q = 2i,
y como p + q = 2, tenemos:
p = 1 + i y q = 1– i.
Por otro lado, sabemos que:
(x2 + px + 1)(x2 + qx + 1) = 0

11. y al sustituir p y q, se obtiene:
(x2 + (1 + i)x + 1)(x2 + (1 – i)x + 1) = 0
es necesario conocer las factorizaciones de cada
factor imaginario anterior, esto es:

12. Organizando los factores:

13. Euler observó que puede escribirse como
un número de la forma u + vi y que
puede escribirse como u – vi:
elevando al cuadrado cada una de las igualdades
anteriores obtenemos:
2i – 4 = u2 – v2 + 2uvi

14. –2i – 4 = u2 – v2 – 2uvi,
al sumarlas y restarlas resultan:
u2 – v2 = –4 y uv = 1
además:
(u2 + v2)2 = (u2 – v2)2 + 4u2v2
= (–4)2 + 4(1) = 16 + 4 = 20

15. por tanto
con lo que:
y en consecuencia:

16. Como vemos, u y v son reales, con lo cual:

17. ahora, es claro que el producto de (1’) y (3’) es
real, al igual que el producto de (2’) y
(4’), a saber:

18. En conclusión, la ecuación
x4 + 2x3 + 4x2 + 2x + 1 = 0
puede reducirse al producto de dos factores reales de
segundo grado, estos son:

19. donde,