Este documento presenta la construcción de Omar Khayyam para resolver ecuaciones cúbicas. Explica que dado un cubo de volumen V, se puede hallar la arista a y generar segmentos para construir una parábola y una hipérbola equilátera. El punto de intersección de estas curvas es la solución de las ecuaciones cúbicas. Proporciona las ecuaciones de la parábola, hipérbola y el sistema a resolver para encontrar la solución.

1. Leydy Pita Ramírez
Angee Solano Bernal
Tatiana Samboní Trujillo
Eimmy Lorena Zafra
Ecuaciones de tercer grado -Omar Khayyam, solución
del caso:
En el applet “Construcción Omar” se encuentra la siguiente construcción:
1. Tener la medida del volumen de un cubo ( )
2. Se halla la arista del cubo de volumen
3. Se genera el segmento (horizontal)
4. Se prolonga el segmento
5. Se genera el segmento de medida tal que quede la colinealidad
6. Crear una recta perpendicular a por el punto
7. Crear el punto tal que determine un cuadrado con
8. Determinar la parábola de vértice , eje y lado recto
9. Determinar la parábola que pasa por y tiene como asíntotas las rectas
perpendiculares.
10. Crear el punto de intersección de las dos curvas generadas.
11. El punto que se genera a partir del punto es la solución de las
ecuaciones.
Figura 1

2. De acuerdo a la construcción y figura 1:
Como P pertenece a la parábola:
( , tiene la misma medida del lado recto)
Como pertenece a la hipérbola y ésta es equilátera, el área del
cuadrado es igual al área del cuadrado
De :
Igualando
De los extremos de se deduce que:
De se tiene que es la solución:
De forma general se tiene:
La ecuación general de una parábola que abre hacia la izquierda o
derecha es:
El vértice de la parábola es:
La distancia del vértice al foco es:

3. La ecuación de la hipérbola equilátera es:
Como es un punto de intersección entre las dos cónicas (parábola e
hipérbola equilátera), basta resolver el sistema de ecuaciones, que
tenga como ecuaciones a las ecuaciones de las cónicas.
Sustituyendo en :
Como :
Bibliografía:
Luque, C., Mora, L. Torres, J. (2009). Actividades matemáticas para el
desarrollo de procesos lógicos: representar estructuras no enumerables.
(pp. 158-159). Bogotá: Universidad Pedagógica Nacional.