Casos de factorización

CARACTERÍSTICAS
 Mínimo tiene que tener dos términos como
mínimo.
 Tiene que tener una letra o un número
común.
 Partes literales en todos los términos.
 El común debe de ser el menor exponente
y el menor numero de coeficiente.
 Debe ser posible de repartir en factores.

EJEMPLO
 a x b + a x c = a(b+c)
 5 x 3 + 5 x 4 = 5(3+4) = 5(7) = 35

PASOS PARA DESARROLLAR UN
EJERCICIO DE FACTOR COMÚN

1. Se busca la variable común : x2
2. Luego se divide para cada uno de sus factores
3. Entonces queda: x2. (7 + 11x - 4x3 + 3x2 - x6)
4. Se resuelve primero lo del paréntesis: (3+4) = 7
5. Por ultimo se multiplica los dos números: 5(7) =
35

FACTOR
COMÚN POR
AGRUPACIÓN
DE TÉRMINOS

CARACTERÍSTICAS
 El número de monomios que la
conforma puede ser cualquiera.
 La máxima potencia presente no tiene
un límite.
 Válido para operaciones de suma y
resta entre los monomios.
 Existen dos grupos, cada uno con un
factor en común.

EJEMPLO
 2y+ 2j + 3xy + 3xj =
(2y+2j) + (3xy+3xj) =
2(y+j) + 3x(y+j) =
(2+3x) (y+j)

PASOS PARA DESARROLLAR UN EJERCICIO
DE FACTOR COMÚN POR AGRUPACIÓN DE
TÉRMINOS
1. Organizar los monomios de mayor a menor
exponente.
2. Buscar el factor común para formar dos grupos.
3. Colocar el factor común para cada uno de los grupos
seguido de un paréntesis en el cual irá el resto de la
expresión.
4. Sumar la factorización realizada para cada grupo.
5. Colocar el factor común de los dos grupos seguido
de un paréntesis en el cual irá el resto de la
expresión.
6. Verificar que la multiplicación expresada da el
ejercicio que se quiere desarrollar.

CARACTERÍSTICAS
 El trinomio debe estar organizado en forma
ascendente o descendente (cualquiera de las dos).
 Tanto el primero como el tercer término deben ser
positivos. Asimismo, esos dos términos deben ser
cuadrados perfectos (es decir, deben tener raíz
cuadrada exacta). En otras palabras, el primero y el
tercer término deben reunir las características de
los términos que conforman una Diferencia de
Cuadrados Perfectos (Caso 3).

EJEMPLO
 (a+b) 2 = a 2 + 2ab + b 2
 (a-b) 2 = a 2 - 2ab + b 2

 x2+6x+9=(x+3)2 =
(x+3)2=x2+6x+9

DE TRINOMIO CUADRADO PERFECTO
 Se escribe un paréntesis ( )
 Se obtiene la raíz cuadrada al primer término (en este
caso x2), por lo que se obtiene:
 Se obtiene la raíz cuadrada del tercer término, en este
caso 9, por lo que:
 Se escribe el resultado de los pasos (b) y (c) en el
paréntesis con el signo del segundo término:
 (x+3)
 Se eleva al cuadrado el binomio resultante y se obtiene:
 (x+3)2, que mantiene la igualdad con el
trinomio x2+6x+9
 Solución (x+3)2=x2+6x+9

CARACTERÍSTICAS
 Tienen dos términos
 El signo que los separa siempre es menos

 Las potencias de letras están elevadas con
números pares 2, 4, 6…
 Tiene raíz cuadrada exacta el primer
término
 Tiene raíz cuadrada exacta el segundo
término

EJEMPLO
 x2 - 9 = (x + 3).(x - 3)

x 3
 x2 - y2 = (x + y).(x - y)

x y
 x2 - 9/25 = (x + 3/5).(x - 3/5)

x 3/5

DE DIFERENCIA DE CUADRADOS
 Identifico las bases, y el resultado de la
factorización es: "La suma de las bases
multiplicada por la resta de las bases", es decir:
suma por resta de las bases. En letras:

a2 - b2 = (a + b).(a - b)
 Donde a2 y b2 son los dos cuadrados, cuya forma
es alguna de las indicadas en la pregunta anterior.
Y "a" y "b" son las bases de esos cuadrados.

 Por ejemplo, en 25x2 - 100, los dos cuadrados son:
25x2 y 100. Las bases son 5x y 10. Entonces se
factoriza como (5x + 10).(5x - 10)

TRINOMIO
CUADRADO
PERFECTO POR
ADICIÓN Y
SUSTRACCIÓN

CARACTERÍSTICAS
 Tienen tres términos (ordenarlo en forma
descendente)
 El primer término la debe estar elevado a una
potencia múltiplo de 4 y el número debe tener raíz
cuadrada exacta .
 El tercer término el número debe tener raíz
cuadrada exacta y si tiene letra debe estar elevada
a un múltiplo de 4.
 Debe tener raíz cuadrada exacta el primer y tercer
término pero al multiplicar el primer término con el
tercero y por dos no da el tercer término.

EJEMPLO
 x⁴ + x²y² + y⁴ =...Sumando y restando x²y² para
completar el TCP

x⁴ + x²y² + x²y² + y⁴ - x²y² =

x⁴ + 2x²y² + y⁴ - x²y² = .... factorizando como TCP:

(x² + y²)² - x²y² = ....factorizando como diferencia de
cuadrados:

[(x² + y²) - xy] [(x² + y²) - xy] =

(x² + y² - xy) (x² + y² + xy)

DE TRINOMIO CUADRADO PERFECTO POR
ADICIÓN Y SUSTRACCIÓN
 x4 + 3x2 +4
Raíz cuadrada de x4 es x2
Raíz cuadrada de 4 es 2
Doble producto de la primera raíz por la segunda: 2(x2 )(2) = 4x2
El trinomio x4 + 3x2 + 4 no es trinomio cuadrado perfecto, entonces:
x4 + 3x2 + 4
= x4 + 3x2 + 4
+ x2 - x2 Se suma y se resta x2
----------------------------------------

=(x4 + 4x2 + 4) - x2 Se asocia convenientemente
=(x2 + 2)2 - x2 Se factoriza el trinomio cuadrado perfecto
=[(x2 + 2) - x] [(x2 + 2) - x] Se factoriza la diferencia decuadrados
=(x2 + 2 + x) (x2 + 2 - x) Se eliminan signos de agrupación
=(x2 + x+ 2) (x2 - x + 2) Se ordenan los términos de cada factor.
Entonces: x4 + 3x2 + 4 = (x2 - x+ 2) (x2 - x + 2)

TRINOMIO DE
LA FORMA
X 2 + BX + C

CARACTERÍSTICAS
Tienen tres términos
No tiene numero delante de
el x 2

EJEMPLO
 2: x2+5x+6=0
la factorización queda como:
(x+3)(x+2)=0
ya que 3x2=6 y 3+2=5
 x2 + 5x + 6 = (x + 3)(x + 2)

 a4 - 7a2 - 30 = (a2 - 10)(a2 + 3)

 m2 + abcm - 56a2b2c2 = (m + 8abc)(m - 7abc)

PASOS PARA DESARROLLAR UN
EJERCICIOS DE TRINOMIO DE LA
FORMA X2 + BX + C
 Ordeno el trinomio en forma descendente.
 Abro dos paréntesis
 Saco raíz cuadrada del primer término y lo coloco
en cada uno de los paréntesis
 Copio el primer signo del ejercicio en el primer
paréntesis
 Multiplico el primer signo por el segundo del
ejercicio y lo coloco en el segundo paréntesis
 Opero + . - = -
 Observo cuidadosamente la respuesta que tengo
en los paréntesis y analizo los signos

TRINOMIO DE
LA FORMA
AX 2 + BX + C

CARACTERÍSTICAS
 El coeficiente del primer término es diferente de 1.
 La variable del segundo término es la misma que la
del primer término pero con exponente a la mitad.
 El tercer término es independiente de la letra que
aparece en el primer y segundo términos del
trinomio.

EJEMPLO
 15x4 - 23x2 + 4
=15(15x4 - 23x2 + 4)
15
=(15x2)2 - 23(15x) + 60
15
=(15x2 - 20)(15x2 - 3)
15
=5(3x2- 4) 3(5x2 - 1)
5.3
15x4 - 23x2 + 4 = (3x2 - 4)(5x2 - 1)

DE TRINOMIO DE LA FORMA AX2 + BX + C

 Se multiplica y se divide el trinomio por el
coeficiente del primer término.
 Se resuelve el producto del primero y tercer
término dejando indicado de el segundo término.
 Se factoriza como en el caso del trinomio de la
forma x2 + bx + c, o sea, se buscan dos números
que multiplicados de 60 y sumados 23. (Se suman
por que los signos de los dos factores son iguales)
 Se factorizan los dos binomios resultantes
sacándoles factor común monomio, se
descompone el 15 y por último dividir,

CARACTERÍSTICAS
 Debe tener cuatro términos.
 Que tanto el primero como el último término sean
cubos perfectos.
 Que el segundo término sea aproximadamente el
triplo del cuadrado de la raíz cúbica del primer
término multiplicado por la raíz cúbica del último
término.
 Que el tercer término sea más que el triplo de la
raíz cúbica del último .

EJEMPLO
 125 x 12 + 600 x8 y5 + 960 x4 y10 + 512y15

125 x 12 + 600 x8 y5 + 960 x4 y10 + 512 y15
= (5 x 4 +8 y5 )3

raíces cúbicas: 5 x 4 8 y5

3. (5 x4)2 . (8 y5) 3 . (5 x4) . (8 y5)2

= 600 x8 y5 =960 x4 y10

DE CUBO PERFECTO DE BINOMIOS
 Organizar los monomios de mayor a menor exponente.
 Sacar la raíz cúbica al primer y cuarto término.
 Multiplicar la raíz del primero elevada al cuadrado por la raíz del
cuarto y esto por tres.
 Verificar que dé igual al segundo término de la expresión.
 Multiplicar la raíz del cuarto elevada al cuadrado por la raíz del
primero y esto por tres.
 Verificar que dé igual al tercer término de la expresión.
 Colocar dentro de un paréntesis la suma o diferencia de las raíces
del primer y cuarto términos (de acuerdo al signo del segundo
monomio), y todo elevado a la tres.
 Verificar que la expresión obtenida da el ejercicio que se quiere
desarrollar.

SUMA O
DIFERENCIA DE
CUBOS
PERFECTOS

CARACTERÍSTICAS
 Son dos términos, separados por el signo ( + ) cuando
sea suma, y por el signo ( - ) cuando sea una diferencia.
 Los coeficientes deberán tener raíz cúbica exacta.
 Los exponentes deberán ser divisibles entre 3.
 El procedimiento que se sigue para su factorización es:
“Se abren dos paréntesis, el primero es para un binomio
formado por las raíces cúbicas de los términos
dados, separados por el mismo signo; el segundo
paréntesis es para un trinomio que se forma con el
cuadrado del primer término del binomio, menos ó más
el primero por el segundo términos del binomio
(dependiendo si es suma o resta), y por último, más el
cuadrado del segundo término”.

EJEMPLO
 a3 - 8

SOLUCIÓN:

a3 - 8 = (a - 2) . ( a2 + 2 a + 4 )

raíces cúbicas: a 2

DE SUMA I DIFERENCIA DE CUBOS
PERFECTOS
 Organizar los monomios de mayor a menor
exponente.
 Sacar la raíz cúbica al primer y segundo término.

 Colocar dentro de un paréntesis la suma o
diferencia de las raíces de acuerdo al signo que se
tiene en la expresión.
 Multiplicar por otro paréntesis en el que se coloca
la primera raíz elevada al cuadrado, luego la
multiplicación de las dos raíces, y por último la
segunda raíz elevada al cuadrado.
 Verificar que la expresión da el ejercicio que se
quiere desarrollar.

SUMA O
DIFERENCIA DE
DOS POTENCIAS
IGUALES

CARACTERÍSTICAS
 Es divisible por a-b siendo n un número par
o impar
 Es divisible por a+b siendo n un número
impar
 Es divisible por a+b siendo n un número
par
 Nunca es divisible por a-b

EJEMPLO
 x4 + z4 = x4 + z4/x + z
= x3 – x2z + xz2 – z3 x4 + z4
= (x + z)(x3 –x2z + xz2 –z3)
 m6 + n6 = m6 + n6/m + n

= m5 - m4n + m3n2 – m2n3 + mn4 – n5 m6 + n6
= (m + n)(m5 - m4n + m3n2 – m2n3 + mn4 – n5)
 b3 + c3 = b3 + c3/b+c

= b2 – bc + c2
b3 + c3= (b + c)(b2 – bc + c2)

DE SUMA O DIFERENCIA DE DOS
POTENCIAS IGUALES
 Clasificar la expresión en positiva o negativa, y en par o impar (si son positivas y pares no se
pueden realizar por este método).
 Se sacan las raíces de cada termino.
 Se coloca el primer factor el cual es un binomio cuyo primer termino es la raíz del primer
termino dado y el segundo termino es la raíz del segundo termino dado.
 El signo del primer factor (binomio) será el mismo que tiene la expresión dada.
 Se crea el segundo factor (un factor polinomio) en el cual existirá un número de términos
igual al exponente de la expresión dada (los siguientes pasos son solo para el segundo
factor).
 En cada término se multiplicara el término de la izquierda por el término de la derecha de la
expresión dada
 En el primer término del factor polinomio el factor de la izquierda tendrá un exponente igual a
“n – 1”, y el factor derecho tendrá un exponente de cero.
 Para los exponentes de los siguientes términos, en el caso del factor de la izquierda irán
disminuyendo en una unidad, y los del termino de la derecha irán aumentando también en una
unidad (si se suman los exponentes de los dos términos siempre será igual a n-1).
 Si el binomio es negativo todos los términos del polinomio son positivos, si el binomio es
positivo impar los signos del polinomio se alternarán (+ ó –) comenzando por el “+”.
 Cuando en el polinomio, el exponente del termino de la derecha sea igual a n-1 damos por
terminada la respuesta.

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