Cinemática de las máquinas

UNIVERSIDAD AUTÓNOMA DE SAN LUIS POTOSÍ

FACULTAD DE INGENIERÍA

Apuntes para la materia de

CINEMÁTICA DE LAS MÁQUINAS

ÁREA MECÁNICA Y ELÉCTRICA
ING. ARTURO CASTILLO RAMÍREZ

PREFACIO

El propósito de estos apuntes es presentar una exposición que cubra el contenido del programa de
la materia de Cinemática de las Máquinas que se imparte en el Área Mecánica y Eléctrica de la
Facultad de Ingeniería de la UASLP, como un requisito previo a estudios específicos y avanzados
encaminados al diseño mecánico.
En este texto se utiliza de forma amplia el método de análisis gráfico por considerarse que el
cálculo gráfico es básico y fácil de usar y casi siempre resulta el método más rápido para verificar
los resultados del cálculo de máquinas.
Se ha procurado utilizar indistintamente unidades inglesas y del Sistema Internacional de
Unidades (SI) para que el estudiante se familiarice con ambos sistemas.
Algunos temas que se consideran relevantes, se ampliaron con información que no se contempla
específicamente en el programa de la materia, pero que enriquece su contenido.
Agradezco la aprobación de este proyecto a mis compañeros de la Academia de Mecánica del
Área Mecánica y Eléctrica y el apoyo de las Autoridades de la Facultad de Ingeniería y del Fondo
de Apoyo a la Docencia (FAD) de la UASLP, para la elaboración de este material didáctico.

Arturo Castillo Ramírez
Enero de 2005

Rev. jun-05

ÍNDICE
Página
1. INTRODUCCIÓN GENERAL 1
1.1 Análisis y síntesis 1
1.2 Ciencia de la Mecánica 2
1.3 Terminologías 4
1.3.1 Definición de máquina, mecanismo y estructura. 4
1.3.2 Los componentes de las máquinas 6
1.3.3 La estructura de las máquinas 8
1.4 La actividad y formación del ingeniero en el campo de la maquinaría 9
2. ANÁLISIS TOPOLÓGICO DE MECANISMOS 12
2.1 Conceptos básicos topológicos 12
2.2 Par cinemático 14
2.3 Cadenas cinemáticas 19
2.4 Mecanismo 21
2.4.1 Ciclo, periodo, fase y transmisión de movimiento 25
2.4.2 Clasificación de los mecanismos en función de sus movimientos 25
2.4.3 Movilidad o número de grados de libertad de un mecanismo plano 28
2.4.4 Inversión cinemática. 33
3. MECANISMOS DE ESLABONES ARTICULADOS 36
3.1 Mecanismo de cuatro barras articuladas. 36
3.1.1 Ley de Grashof 37
3.1.2 Ventaja mecánica 39
3.1.3 Análisis de posición 41
3.1.4 Curvas del acoplador 44
3.2 Mecanismos de línea recta 45
3.3 Mecanismos de retorno rápido. 46
3.4 Ruedas de cámara. 50
3.5 Mecanismos de movimiento intermitente 51
4. CENTROS INSTANTÁNEOS 58
4.1 Generalidades 58
4.2 Localización de centros instantáneos. 59
4.3 Teorema de Kennedy 61
4.4 Número de centros instantáneos. 62
4.5 Cuadro articulado 62
4.6 Centros instantáneos para el mecanismo de corredera biela y manivela 63
4.7 Tabulación de centros instantáneos 64
4.8 Centrodas o Curvas Polares 67
5. VELOCIDAD Y ACELERACION EN EL MOVIMIENTO COPLANARIO 72
5.1 Velocidades de los centros instantáneos 75
5.2 Velocidades lineales por resolución 80

5.3 Velocidades angulares 83
5.4 Método de imagen 84
5.4.1 La imagen de velocidad 85
5.4.2 Imagen de aceleraciones 88
5.4.3 Construcción gráfica de la aceleración normal 90
5.5 Aceleración Coriolis 99
5.5.1 Procedimiento general para resolver problemas por la Ley de Coriolis 103
6. MECANISMOS DE CORREDERA, BIELA Y MANIVELA 113
6.1 Generalidades 113
6.2 Primera inversión. Cadena con par en deslizamiento 114
6.3 Segunda inversión 123
6.4 Tercera inversión. Mecanismo de limadora 124
6.5 Cuarta inversión. Cadena con corredera fija 127
7 LEVAS 131
7.1 Levas 131
7.2 Diseño del perfil 134
7.2.1 Velocidad constante 135
7.2.2 Aceleración constante 136
7.2.3 Movimiento armónico simple 139
7.2.4 Movimiento cicloidal 140
7.3 Selección del movimiento 141
7.4 Construcción del perfil de la leva 143
7.5 Leva plana o disco 144
7.5.1 Varilla de punzón 144
7.5.2 Varilla con rodaja 146
7.5.3 Varilla con cara plana o plato 149
7.5.4 Ángulo de presión de la leva 152
7.5.5 Diámetro del círculo base 153
7.6 Leva de retorno positivo 154
7.7 Levas tipo cilíndrica 156
7.8 Levas de arco circular 156
7.9 Varillas primarias y secundarias 158
8. CONTACTOS CON RODAMIENTO 162
8.1 Condiciones para contactos con rodamiento 162
8.2 Relación de velocidad angular 163
8.3 Transmisiones friccionales 164
8.4 Disco y rodillo 165
8.5 Construcción del perfil 166
8.6 Rodamiento de dos elipses iguales 167

8.7 Relación de velocidad de conos que ruedan 169
9. ENGRANES 176
9.1 Los engranes 176
9.2 Clasificación de los engranes 177
9.3 Relación de velocidad 181
9.4 Terminología de los engranes 181
9.5 Paso 184
9.6 Ley fundamental del engranaje 186
9.7 Acción con deslizamiento de los dientes 188
9.8 Perfil del diente 189
9.9 Dientes cicloidales 190
9.10 Dientes evolventes o de involuta 194
9.11 Producción de ruedas dentadas 200
9.12 Perfiles de dientes normalizados 203
10. TRENES DE ENGRANES 210
10.1 Valor del tren 210
10.2 Un tren de engranaje simple 210
10.3 Un tren de engranaje compuesto 212
10.3.1 Trenes de engranaje recurrentes compuestos 213
10.4 Trenes de engranes epicicloidales o planetarios 215
10.4.1 Trenes epicicloidales que no tienen un engrane fijo 220
10.5 Aplicaciones de trenes de engranaje epicicloidales 223
Bibliografía 229

CAPÍTULO 1
INTRODUCCIÓN GENERAL

El diseño de una máquina moderna es a menudo muy complejo. Por ejemplo, para diseñar un
nuevo motor, el ingeniero en automovilismo debe dar respuesta a muchas preguntas
interrelacionadas. ¿Cuál es la relación entre el movimiento del pistón y el del cigüeñal? ¿Cuáles
serán las velocidades de deslizamiento y las cargas en las superficies lubricadas y qué lubricantes
existen para este fin? ¿Qué cantidad de calor se generará y cómo se enfriará el motor? ¿Cuáles
son los requisitos de sincronización y control, y cómo se satisfarán? ¿Cuál será el costo para el
consumidor, tanto por lo que respecta a la compra inicial como en lo referente al funcionamiento
y mantenimiento continuos? ¿Qué materiales y métodos de fabricación se emplearán? ¿Qué
economía de combustible se tendrá? ¿Cuál será el ruido y cuáles las emisiones de salida o
escape? ¿Satisfarán estos últimos los requisitos legales? Aunque éstas y muchas otras preguntas
importantes se deben responder antes de que el diseño llegue a su etapa final, es necesario reunir
personas de las más diversas especialidades para producir un diseño adecuado y hacer acopio de
muchas ramas de la ciencia.

1.1 Análisis y síntesis

En el estudio de los sistemas mecánicos el diseño y el análisis son dos aspectos completamente
distintos. El concepto comprendido en el término “diseño” podría llamarse más propiamente
“síntesis” o sea, el proceso de idear un patrón o método para lograr un propósito dado. Diseño es
el proceso de establecer tamaños, formas, composiciones de los materiales y disposiciones de las
piezas de tal modo que la máquina resultante desempeñe las tareas prescritas. Mediante el
proceso de síntesis se busca un mecanismo que produzca un movimiento requerido.
Aunque existen muchas fases dentro del proceso de diseño que es factible plantear de un modo
científico y bien ordenado, el proceso en su conjunto es por su propia naturaleza, tanto un arte,
como una ciencia. Requiere imaginación, intuición, creatividad, sentido común y experiencia. El
papel de la ciencia dentro del proceso de diseño sirve sencillamente para proveer las herramientas
que utilizarán los diseñadores para poner en práctica su arte. Es precisamente en el proceso de

CINEMÁTICA DE LAS MÁQUINAS INTRODUCCIÓN GENERAL 2

evaluación de varias alternativas interactuantes que los diseñadores se enfrentan a la necesidad de
un gran número de instrumentos matemáticos y científicos. Cuando éstos se aplican en forma
correcta ofrecen información más exacta y digna de confianza para juzgar un diseño que se pueda
lograr a través de la intuición o el cálculo. Por ende, suelen constituir un auxiliar extraordinario
para decidir entre varias alternativas. Sin embargo, las herramientas científicas no pueden tomar
decisiones suplantando a los diseñadores; éstos tienen todo el derecho de poner en práctica su
imaginación y capacidad creativa, incluso al grado de pasar por encima de las predicciones
matemáticas.
Es probable que el conjunto más abundante de métodos científicos de que dispone el diseñador
quede dentro de la categoría denominada “análisis”. Se trata de técnicas que permiten que el
diseñador examine en forma crítica un diseño ya existente o propuesto con el fin de determinar si
es adecuado para el trabajo de que se trate. Por ende, el análisis, por sí solo, no es una ciencia
creativa sino más bien de evaluación y clasificación de cosas ya concebidas.
Es preciso tener siempre en mente que aunque la mayor parte de los esfuerzos realizados se
dediquen al análisis, la meta real es la síntesis, es decir, el diseño de una máquina o un sistema. El
análisis es una simple herramienta y, sin embargo, es tan vital que se usará inevitablemente como
uno de los pasos en el proceso de diseño.

1.2 Ciencia de la Mecánica

Mecánica es la rama del análisis científico que se ocupa de los movimientos, el tiempo y las
fuerzas, y se divide en dos partes, Estática y Dinámica. La Estática trata del análisis de sistemas
estacionarios, es decir, de aquellos en que el tiempo no es un factor determinante, y la Dinámica
se refiere a los sistemas que cambian con el tiempo.
Como se ilustra en la figura 1.1 la dinámica también está constituida por dos disciplinas generales
que Euler fue el primero en reconocer como entidades separadas, en 1775. §
Estos dos aspectos de la dinámica se reconocieron posteriormente como las ciencias diferentes
denominadas Cinemática (del vocablo griego kinema, que significa movimiento) y Cinética que
se ocupan, respectivamente, del movimiento y de las fuerzas que lo producen.

§
Novi comment, Acad. Petrop., vol. 20, 1775; también en “ Theoria motus corporum”, 1790.


El problema inicial en el diseño de un sistema mecánico es, por consiguiente, la comprensión de
su cinemática.

MECÁNICA

ESTÁTICA DINÁMICA

CINEMÁTICA CINÉTICA

Figura 1.1. Ciencia de la Mecánica.

Cinemática es el estudio del movimiento independientemente de las fuerzas que lo producen. De
manera más específica, la Cinemática es el estudio de la posición, el desplazamiento, la rotación,
la rapidez, la velocidad y la aceleración.
Este texto se concentrará en los aspectos cinemáticos que surgen en el diseño de sistemas
mecánicos. Es decir, la cinemática de las máquinas y los mecanismos es el foco de atención
principal.
Es preciso observar con cuidado que Euler basó su división de la dinámica en cinemática y
cinética basándose en la suposición de que deben tratar con cuerpos rígidos. Esta es una
suposición de gran importancia que permite que ambos aspectos se traten por separado. En el
caso de cuerpos flexibles las formas mismas de los cuerpos y, por ende, sus movimientos,
dependen de las fuerzas ejercidas sobre ellos. En tal situación, el estudio de la fuerza y el
movimiento se debe realizar en forma simultánea, incrementando notablemente con ello la
complejidad del análisis.
Por fortuna, aunque todas las piezas de máquinas reales son flexibles en cierto grado, éstas se
diseñan casi siempre con materiales más o menos rígidos y manteniendo en un mínimo sus
deformaciones. Por lo tanto, al analizar el funcionamiento cinemático de una máquina es práctica
común suponer que las deflexiones son despreciables y que las piezas son rígidas, y luego, una
vez que se ha realizado el análisis dinámico, cuando las cargas se conocen, se suele diseñar las
piezas de manera que esta suposición se justifique.


1.3 Terminologías

1.3.1 Definición de máquina, mecanismo y estructura

Aun cuando prácticamente todas las personas usan cotidianamente gran número de máquinas,
pocas son las que pueden definir con claridad lo que se puede entender por máquina. Ni siquiera
los especialistas en este campo han llegado a una definición clara y única de este concepto,
debido, entre otras cosas, a su gran complejidad y a los diferentes enfoques que se le puede dar a
la propia máquina.
Así, se lee el diccionario de la Real Academia Española de la Lengua, “máquina es cualquier
artificio que sirve para aprovechar, dirigir o regular la acción de una fuerza”. Según Reuleaux§,
define una máquina “como una combinación de cuerpos resistentes de tal manera que, por medio
de ellos, las fuerzas mecánicas de la naturaleza se pueden encausar para realizar un trabajo
acompañado de movimiento determinado”. También define un mecanismo como una
“combinación de cuerpos resistentes conectados por medio de articulaciones móviles para
formar una cadena cinemática cerrada con un eslabón fijo, y cuyo propósito es transformar el
movimiento.”
Debido a estas diferencias, para nuestro estudio utilizaremos los siguientes conceptos:
Una máquina es una combinación de cuerpos rígidos, conectados por medio de articulaciones
que les permiten un movimiento relativo definido y son capaces de transmitir o transformar
energía. Una máquina siempre debe ser abastecida con energía de una fuente externa. Su utilidad
consiste en su habilidad para alterar la energía suministrada y convertirla eficazmente para el
cumplimiento de un servicio deseado.
En una máquina, los términos fuerza, momento de torsión (o par de motor), trabajo y potencia
describen los conceptos predominantes. Un motor de combustión interna es un ejemplo de una
máquina, transforma la energía de presión del gas en trabajo mecánico entregándolo en el
cigüeñal, esta máquina transforma un tipo de energía a otro.
Un mecanismo es una combinación de cuerpos rígidos, conectados por medio de articulaciones
que les permiten un movimiento relativo definido, enfocado a la transformación del movimiento.
En un mecanismo, aunque puede transmitir la potencia de una fuerza, el concepto predominante

§
F. Reuleaux (1829-1905), especialista alemán en cinemática cuyo trabajo marcó el principio de un estudio
sistemático de la cinemática. Ver A.B.W. Kennedy, “Reuleaux, Kinematics of Machinery”, Macmillan, Londres,
1876.


que tiene presente el diseñador es lograr un movimiento deseado. Cuando se habla de un
mecanismo, se piensa en un dispositivo que producirá ciertos movimientos mecánicos, haciendo
a un lado el problema de si está capacitado para hacer un trabajo útil.
El modelo en funcionamiento de cualquier máquina, el conjunto de las piezas de un reloj, y las
partes móviles de un instrumento de ingeniería, reciben el nombre de mecanismos, por que la
energía transmitida es muy poca, precisamente lo suficiente para sobreponer la fricción, y el
factor importante lo forman los movimientos producidos. El conjunto formado por manivela,
biela y el pistón de un motor de combustión interna, es un ejemplo de un mecanismo.
Se puede arrojar más luz sobre estas definiciones contrastándolas con el término estructura, que
es también una combinación de cuerpos (rígidos) resistentes conectados por medio de
articulaciones, pero cuyo propósito no es efectuar algún trabajo ni transformar el movimiento.
Una estructura (como por ejemplo, una armadura o chasis) tiene por objeto ser rígida; tal vez
pueda moverse de un lado a otro y, en ese sentido es móvil, pero carece de movilidad interna, no
tiene movimientos relativos entre sus miembros, mientras que las máquinas y mecanismos lo
tienen. Otros ejemplos serían los puentes y los edificios.
Existe una analogía directa entre los términos estructura, mecanismos y máquina y las tres ramas
de la Mecánica especificadas en la Figura 1.1. El término “estructura” es a la Estática lo que el
termino “mecanismo” es a la Cinemática y el término “máquina” es a la Cinética.
Modernamente la máquina se considera el resultado de un diseño (de una construcción) en el que
intervienen dos grupos de factores: uno de naturaleza puramente mecánica (las piezas y los
mecanismos que la constituyen) y otros de naturaleza no mecánica (estética, mercado, impacto
social, régimen político imperante, etc.). Ambas consideraciones hacen que las máquinas
modernas adquieran diversas configuraciones y características según el entorno sociopolítico y
económico en el que se diseñan, construyen y utilizan.
En la era tecnológica que vivimos la máquina ocupa un papel primordial. Sin el concurso de estos
ingenios, la vida sería realmente imposible. La máquina se encuentra presente en todas las
actividades del ser humano, desde la vida cotidiana hasta los sectores productivos y de servicios,
incluyendo los de formación. Con los notables avances realizados en el diseño de instrumentos,
controles automáticos y equipo automatizado, el estudio de los mecanismos toma un nuevo
significado.


1.3.2 Los componentes de las máquinas

Cualquier máquina se compone de un número determinado de elementos (piezas) componentes,
unos fijos y otros móviles, agrupados a veces para ejecutar tareas diferentes dentro de una misma
máquina (formando mecanismos diversos).
Así, se encuentran máquinas y mecanismos muy simples, constituidas por pocas piezas, hasta
otras más complejas, constituidas por miles de piezas como el motor de combustión interna.

Figura 1.2 Despiece de motor de combustión interna

A pesar de la enorme complejidad, en algunos casos, la realidad es que el número de
componentes de las máquinas, conceptualmente diferente, es bastante limitado (aun cuando en
cada máquina puedan presentar formas y tamaños diversos). Por ejemplo:


Elementos de soporte:
• Bastidores
• Cojines de fricción
• Cojinetes de rodamientos
• Ejes

Figura 1.3 Rodamiento de bolas

Elementos neumáticos e hidráulicos
• Cilindros
• Válvulas
• Bombas
• Elementos de los sistemas de control
• Sensores (mecánicos, eléctricos, etc.)
Figura 1.4 Amortiguadores con sensores
electrónicos

Igual que el número de componentes diferentes de las máquinas está limitado, también lo están
los diferentes materiales con que pueden ser construidos:
• Hierro y sus aleaciones
• Aluminio, magnesio, cobre, etc. y sus aleaciones.
• Goma, madera, cuero, etc.
• Plásticos y fibras sintéticas, cerámicas, etc.
Es evidente que todos, y cada uno de los elementos de las máquinas han de ser calculados para
resistir, sin fallos, todas las acciones que sobre ellos actúan. El número de tales acciones esta
también bastante limitado, siendo las más importantes:
• Fuerzas y pares, permanentes y transitorios.
• Impactos, choques y vibraciones.
• Acciones térmicas.
• Acciones corrosivas.
• Otras (de menor entidad, como eléctricas, magnéticas, etc.)


1.3.3 La estructura de las máquinas

El conjunto de elementos y mecanismos que constituyen todas las máquinas pueden a su vez
agruparse en un conjunto de sistemas o subsistemas que de una u otra forma, con mayor o menor
virtualidad, están presentes en todas las máquinas. Estos sistemas son:
• Sistemas de adquisición, transformación o generación de energía motriz. (En el caso de
un automóvil, el motor transforma la energía química del combustible en energía mecánica,
es decir, en el giro del cigüeñal con un par determinado).
• Sistema de transmisión y conversión de movimientos y fuerzas, conducente en última
estancia, a la realización del trabajo útil. (En caso del automóvil, este sistema está constituido
por el embrague, caja de cambios, transmisión y mecanismo diferencial que acciona las
ruedas motrices y permiten el movimiento del vehículo.)
• Sistema de control. Que permite dirigir y controlar la potencia, movimientos etc., de la
propia máquina. (En el caso del automóvil se encuentran dos subsistemas: la dirección, que
permite dirigir la ruta del vehículo, y el freno, acelerador y palanca y caja de cambios, que
permiten controlar la potencia del motor y la velocidad del vehículo.)
• Sistema de lubricación, imprescindible en todas las máquinas, que permite disminuir los
rozamientos y desgastes entre los elementos en contacto con movimiento relativo entre ellos.
(En el caso del automóvil está formado por el depósito de aceite, bomba de impulsión,
conductos, filtros, etc.)

Sistemas de adquisición, transformación o
generación de energía motriz

Sistema de transmisión y conversión de
movimientos y fuerzas

Sistema de lubricación Sistema de control

Figura 1.5 Estructura general de las máquinas.


1.4 La actividad y formación del ingeniero en el campo de la maquinaría

Se puede asegurar que en la actualidad todas las personas tienen un contacto continuo con
multitud de máquinas (a nivel de usuarios y de operadores de estas) y un grupo muy reducido,
pero también muy numeroso, tienen un contacto más intenso, en diferentes ordenes de actividad.
En el caso de la máquina automóvil, esta es operada por millones de usuarios, comercializada
por miles de técnicos, economistas, publicistas, vendedores, etc., mantenida también por miles de
técnicos de mantenimiento, fabricada por un número relativamente alto de técnicos e ingenieros
de fabricación de diversas especialidades (mecánica, electricidad, química, etc.), diseñada,
ensayada y verificada por un número más reducido de técnicos, ingenieros y otros especialistas
altamente calificados y, finalmente, los continuos avances habidos en sus materiales,
componentes métodos de cálculo y sistemas de producción, son el resultado de las actividades de
investigación y desarrollo de un grupo aun más reducido de técnicos y científicos de elevada
cualificación y especialización. Con las diferentes actividades relacionadas con el mundo de las
máquinas, el ingeniero juega un papel importante y mantiene una relación constante y dinámica.
Para desarrollar las actividades expuestas en el punto anterior, es claro que el ingeniero tiene que
poner en juego una serie de conductas adquiridas a través de un proceso de aprendizaje.
Tales conductas han de adquirirse en tres dominios diferentes:
a) el cognoscitivo o adquisición de nuevos conocimientos;
b) el psicomotriz, o la adquisición de habilidades manuales;
c) el afectivo-volitivo, o la adquisición de conductas en el plano psicológico (como
seguridad en sí mismo, capacidad de relacionarse con otros colegas, etc.)
En el caso de los ingenieros, su campo de actividad principal se mueve entre los campos de
investigación y desarrollo (que son por otra parte las que impulsan el desarrollo tecnológico) y las
de diseño, verificación y ensayos, fabricación operación y mantenimiento.
Por otra parte, las diferentes actividades exigen conductas predominantes en unos y otros
dominios; así, en la fase de investigación, desarrollo y diseño predominan los conocimientos
sobre las habilidades manuales, mientras que en las fases de operación y mantenimiento
predominan las conductas del área psicomotriz.


En el campo de la maquinaria y en el dominio cognoscitivo, el ingeniero ha de poseer
conocimientos sobre la topología de las máquinas (es decir, tipos, formas, usos, etc. de los
componentes de las máquinas y sobre sus mecanismos y subsistemas constituyentes).
También ha de poseer conocimientos sobre análisis de máquinas, que le permitan interpretar sus
diferentes partes y especialmente conocer las relaciones entre los movimientos y las fuerzas que
sobre el conjunto y sus partes pueden actuar.
Así mismo ha de poseer conocimientos de diseño y cálculo de los elementos mecánicos, que le
permitan construir máquinas seguras, que no fallen durante su vida útil.
Igualmente debe tener conocimientos sobre síntesis de máquinas y sus mecanismos
constituyentes que le permitan el rediseño o diseño puro de nuevas máquinas, en función de las
necesidades cambiantes.
En el dominio psicomotriz el ingeniero ha de poseer habilidades en el manejo de diverso
instrumental al servicio del control de las máquinas (como sensores), así como labores de
verificación, ensayos y mantenimiento.
Finalmente en el dominio afectivo-volitivo el ingeniero ha de tener la máxima seguridad en sí
mismo en cualquier actividad que ejecute relacionada con la maquinaria y capacidad para
relacionarse con otros profesionales en el entorno en que confluyen muchas personas, de muchas
especialidades diferentes.
El aprendizaje de todas estas conductas requiere la posesión de una serie de conductas previas,
adquiridas en otras disciplinas de la carrera de ingeniería, y entre las que se podrían destacar en el
conjunto de materias básicas las matemáticas y la física (especialmente la mecánica) y en el
conjunto de materias tecnológicas, el dibujo técnico, la elasticidad y resistencia de materiales la
tecnología mecánica y el conocimiento de materiales. Sin descartar muchas otras materias que
con mayor o menor intensidad han de tener presentes para acometer con éxito la amplia gama de
actividades relacionadas con la maquinaria.


CUESTIONARIO

1.1.- Describa las diferencias entre análisis y síntesis.
1.2.- Defina Cinemática y ubique su posición dentro de la Mecánica.
1.3.- ¿Qué es una máquina?.
1.4.- ¿Cuál es la diferencia entre una máquina y un mecanismo?
1.5.- ¿Qué es una estructura?.
1.6.- Describa las tareas que desempeña un rodamiento de bolas, el material del que puede estar
hecho y el tipo de esfuerzo al que se somete.
1.7.- Considerando la estructura general de las máquinas ¿dentro de que sistema ubicaría el
sistema de encendido de un motor? y ¿el subsistema del carburador?.
1.8.- ¿Dentro de que dominio ubicaría la habilidad de un ingeniero para comunicarse con las
personas?.
1.9.- ¿Cuál es la diferencia entre el dominio cognoscitivo y psicomotriz?
1.10.- Establezca la relación de la mecánica, y en particular de la cinemática, con otras áreas de
conocimiento que se imparten en su carrera.

CAPÍTULO 2
ANÁLISIS TOPOLÓGICO DE MECANISMOS

Concepto topológico de mecanismos

El estudio topológico de mecanismos comprende el análisis de los elementos que lo componen en
cuanto a: sus formas, el número de elementos, las uniones entre ellos, los tipos de movimientos
que éstos pueden efectuar, las leyes por las que se rigen, etc. El estudio topológico de los
mecanismos engloba los aspectos relativos a su configuración geométrica y las consecuencias
que de ella puedan derivarse.

2.1 Conceptos básicos topológicos

Pieza
Cuando en un mecanismo se van separando cada una de las partes que lo forman, se llega
finalmente a tener una serie de partes indivisibles, generalmente rígidas (aunque no
necesariamente) llamadas piezas.
En la Figura 2.1 se ha representado el conjunto de piezas que forman la biela de un automóvil§.

Eslabón (miembro)
Un conjunto de piezas unidas rígidamente entre sí, sin movimiento posible entre ellas, se
denomina eslabón o miembro. En Figura 2.2 se presenta el eslabón biela de un motor alternativo.
Una vez acopladas las piezas, forman un conjunto rígido, actuando, desde el punto de vista
topológico (y también cinemático y dinámico), como un solo miembro o eslabón.
Un eslabón es un elemento de una máquina o mecanismo que conecta a otros elementos y que
tiene movimiento relativo a ellos.
Un eslabón o miembro puede servir de soporte, como guía de otros eslabones, para transmitir
movimientos o bien funcionar de las tres formas.

§
Un automóvil de serie llega a tener un promedio de 16,000 piezas.

CINEMÁTICA DE LAS MÁQUINAS ANÁLISIS TOPOLÓGICO DE MECANISMOS 13

Figura 2.1 Piezas de
una biela

Figura 2.2
Eslabón biela de
un motor


Clasificación de los eslabones
• Eslabones rígidos. Están capacitados para transmitir fuerza, para jalar o empujar. A ésta
clase pertenece la mayoría de las partes metálicas de las máquinas.
• Eslabones flexibles. Son los que están constituidos para ofrecer resistencia en una sola forma
(rigidez unilateral)
Eslabones que actúan a tensión. Cuerdas, bandas, cadenas
Eslabones que actúan a presión. Agua, aceite hidráulico, conducen fuerzas de empuje.

2.2 Par cinemático

Los eslabones pueden estar conectados unos a otros de varias maneras. El contacto puede ocurrir
sobre una superficie, a lo largo de una línea, o en un punto. A aquellas partes de dos eslabones
que están en contacto con movimiento relativo entre ellos se les denomina pares.
Clasificación de los pares
Los pares pueden clasificarse:
1. Atendiendo la superficie de contacto entre los dos miembros que constituyen el par:
• Pares superiores o de contacto lineal o puntual (leva-varilla, cojinetes de bolas y
engranes).
• Pares inferiores o de contacto superficial (cilindro-embolo, perno-soporte), las superficies
de los eslabones son geométricamente similares.

Figura 2.3 Pares superiores (a) y pares inferiores (b)


Es importante mencionar que las conexiones de miembros por pares superiores pueden ser
reemplazadas por conexiones por pares inferiores, cuando se desee disminuir la presión de
contacto y el rozamiento. En la figura 2.4 puede verse el mecanismo empleado para mover
bombas de vapor de doble acción; en la figura (a) se observa un par superior entre los eslabones 2
y 3. La figura (b) muestra este mecanismo con par inferior entre 3 y 4. El par inferior fue
producido por la adición de un eslabón.

a b

Figura 2.4 Movimiento de una válvula de una bomba de vapor con pares
superiores (a) e inferiores (b).

2. Atendiendo el movimiento relativo entre sus puntos:
• De primer grado o lineal, cuando cualquier punto de uno de los eslabones describe una
línea en su movimiento relativo respecto del otro eslabón del par.
a) Par prismático: un punto P describe una línea recta.
b) Par rotación: el punto P describe una circunferencia.
c) Par helicoidal: el punto P describe una hélice.

Figura 2.5 Pares de primer grado


• De segundo grado o superficial, cuando cualquier punto de uno de los miembros describe
una superficie en su movimiento.

Figura 2.6 Pares de segundo grado

En la figura 2.6 se puede observar que al realizar el cuerpo su movimiento, el punto “P”
describe:
a) Par plano: el punto P describe un plano.
b) Par cilíndrico: el punto P describe un cilindro.
c) Par esférico: el punto P describe una esfera.

• De tercer grado o espacial, cuando un punto de uno de los eslabones describe una curva
alabada. Por ejemplo, una esfera moviéndose dentro de un tubo de igual diámetro.

Figura 2.7 Pares de tercer
grado o espacial


3. Atendiendo al tipo de rozamiento entre los miembros, se clasifican:
• Par con deslizamiento: uno de los eslabones se desliza sobre otro en su movimiento
relativo. Ejemplo: cilindro-pistón figura 2.3 (b).
• Par con rodadura: uno de los eslabones rueda sobre otro, en su movimiento relativo.
Ejemplo: rueda de tren sobre un riel.
• Par con pivotamiento: uno de los eslabones pivota sobre otro, en su movimiento relativo.
Ejemplo: bisagras de una puerta.
4. Atendiendo a los grados de libertad que posee el movimiento relativo de los miembros que
forman el par se clasifican en pares de I, II, III, IV y V grados de libertad.
Un cuerpo rígido en el espacio posee seis grados de libertad (puede realizar seis movimientos
independientes entre sí; o también se puede decir que hacen falta seis variables para definir el
movimiento, Figura 2.8 (a) que vendrán representados por tres rotaciones paralelas al eje x, y, z y
tres traslaciones según esos tres ejes coordenados.

a) b)

Figura 2.8 Grados de libertad de un cuerpo rígido en el espacio y formando un par
cinemático
Al formarse un par cinemática, un cuerpo libre se ve obligado a permanecer en contacto con otro.
Por tanto los seis grados de libertad del primero se reducen, según sea el tipo del par ( de los seis
movimientos posibles de un miembro libre, al unirse a otro formando un par los reducirá a 5, 4, 3,
2, o 1).
En general es fácil comprender que cuando un eslabón (2) se mantiene en contacto con otro (1),
al cuál se pueden fijar los ejes coordenados, los movimientos posibles del eslabón 2 pueden ser


tres rotaciones y sólo dos traslaciones (una separación de 2 respecto de 1, según OZ, implica la
rotura del par, es decir, su separación), como se observa en la Figura 2.8 (b).
En la tabla 2.1 se expone una clasificación general de los pares cinemáticos, atendiendo a sus
grados de libertad.

Tabla 2.1 Esquemas, nombres y símbolos de pares cinemáticos


5. Clasificación de pares atendiendo al número de barras que conectan.
• Atendiendo al número de barras que conectan los pares también se pueden clasificar en
binarios (cuando conectan dos eslabones)
• ternarios (conectan tres eslabones), etc.
En general p-ario será el que conecta p miembros. En la Figura 2.9 se tienen ejemplos de pares
ternarios.

Figura 2.9 Ejemplos de pares ternarios

2.3 Cadenas cinemáticas

Definición de las cadenas. Cuando un número de eslabones están conectados unos a los otros por
pares elementales, de tal forma que permitan que el movimiento se efectúe en combinación, se
denomina cadena cinemática. Una cadena cinemática no es necesariamente un mecanismo; se
convierte en uno cuando se define el eslabón fijo.

Clasificación de las cadenas. Pueden clasificarse en dos grupos:
• Cadenas cerradas, cuando todos y cada uno de los miembros se une a otros dos.
• Cadena abierta, cuando hay algún miembro no unido a otros dos.


Constitución de las cadenas. Una cadena cinemática puede estar constituida por pares superiores,
inferiores, o ambos simultáneamente. Al mismo tiempo, también puede contener pares de igual o
de diferente grado. La cadena cinemática más sencilla contendrá sólo dos miembros (un par),
siendo necesariamente abierta. Un ejemplo puede constituirlo la cadena formada por un tornillo y
su tuerca o un cerrojo de pasador. Las cadenas cinemáticas cerradas más simples pueden
formarse con sólo tres miembros. Sin embargo, no siempre con tres miembros puede formarse
una cadena cinemática, dependiendo para lograrlo del tipo de pares que la formen.
Utilizando tres miembros con pares de grado diferente se pueden formar una multitud de cadenas
cinemáticas. Así, por ejemplo, con dos pares inferiores y uno superior (de contacto puntual o
lineal) pueden formarse las cadenas cinemáticas de las levas, engranajes, etc. (Fig.2.10a). Con
mayor número de miembros puede formarse todo tipo de cadenas cinemáticas. En la Fig. 2.10b se
representa una cadena típica; como se ve consta de 5 eslabones y seis pares. Se puede observar
que los eslabones 1 y 4 son ternarios, y los eslabones 2,3 y 5 son binarios.

a) b)

Figura 2.10 Cadenas cinemáticas

Las cadenas cinemáticas se nombran por el número de miembros y de pares de cada grado. Así,
la cadena (n2, p2; n3, p3; n4, . . ) es la formada por n2 eslabones binarios, n3 ternarios, y n4
cuaternarios, así como p2 pares binarios, p3 ternarios y ningún cuaternario. La cadena cinemática
de la Fig. 2. 10b tiene la configuración (3,6; 2) , es decir, 3 eslabones binarios, 6 pares binarios y
2 eslabones ternarios, únicamente.


2.4 Mecanismo

Un mecanismo es una cadena cinemática a la que se le ha inmovilizado uno de sus miembros, a
este eslabón fijo se le llama bastidor.
Puede haber una máquina compuesta por varios mecanismos en la que un miembro móvil de uno
de ellos sea el bastidor (eslabón fijo) de otro mecanismo.
En la mayoría de las máquinas el eslabón fijo de todos los mecanismos que la componen es un
eslabón único (por ejemplo los diferentes mecanismos que componen un motor de explosión
tienen como eslabón fijo al bastidor, formado por la culata, el bloque y el carter) lo que tampoco
implica que este bastidor sea un elemento totalmente inmóvil (por ejemplo los diferentes
mecanismos que componen un vehículo automóvil tienen un bastidor único, pero móvil con el
auto).
Recordando la definición de Reuleaux de un mecanismo, es evidente que se necesita tener una
cadena cinemática cerrada con un eslabón fijo. Cuando se hable de un eslabón fijo se da a
entender que se elige como marco de referencia para todos los demás eslabones, es decir, que los
movimientos de todos los demás eslabones se medirán con respecto a ése en particular ya que se
le considera como fijo.
Se suele definir también al mecanismo, como la parte del diseño de las máquinas que se interesa
en el diseño cinemático (es decir, se ocupa de los requerimientos de movimientos, sin abordar los
requerimientos de fuerza) de los dispositivos que contienen eslabones articulados, levas,
engranes y trenes de engranes, que son los componentes que se van a estudiar.
Cinemática de un mecanismo.
Una vez que se designa el marco de referencia (y se satisfacen otras condiciones) la cadena
cinemática se convierte en un mecanismo y conforme el eslabón que acciona al mecanismo (el
impulsor) se mueve pasando por varias posiciones denominadas fases, todos los demás eslabones
manifiestan movimientos bien definidos con respecto al marco de referencia elegido.
Se deduce que de una cadena cinemática pueden obtenerse tantos mecanismos como eslabones se
tenga, a medida que se fijen sucesivamente cada uno de ellos. Cada uno de estos mecanismos se
llama una inversión del que se ha tomado como fundamental.
Para que un mecanismo sea útil, los movimientos entre los eslabones no tienen que ser
arbitrarios, éstos también tienen que restringiese para producir los movimientos relativos


adecuados, los que determine el diseñador para el trabajo particular que se deba desarrollar. Estos
movimientos relativos deseados se obtienen mediante la selección correcta del número de
eslabones y las articulaciones utilizadas para conectarlos.
Por consiguiente para determinar la cinemática de un mecanismo se requiere esencialmente: la
distancia entre articulaciones sucesivas; la naturaleza de estas articulaciones y los movimientos
relativos que permitan.
Por esta razón es vital que se examine en forma minuciosa la naturaleza de las articulaciones.
Movimientos relativos de las articulaciones.
El factor de control que determina los movimientos relativos que permite una articulación dada,
es la forma que tengan las superficies o eslabones pareados. Cada tipo de articulación posee sus
propias formas características para los elementos y cada una permite un tipo de movimiento
específico, el cuál es determinado por la manera posible en que estas superficies elementales se
pueden mover una en relación con otra.
Por ejemplo, el par cilíndrico (Fig. 2.6b), también llamada articulación de pasador o espiga, tiene
elementos cilíndricos y, suponiendo que los eslabones no se pueden deslizar en sentido axial,
estas superficies permiten sólo un movimiento rotatorio (par de revolución Tabla 2.1). Por ende,
una articulación de revoluta deja que los dos eslabones conectados experimenten una rotación
relativa en torno al pasador central. De la misma manera las demás articulaciones tienen sus
propias formas de los elementos y sus propios movimientos relativos y constituyen las
condiciones limitantes o restricciones impuestas al movimiento del mecanismo.
Es conveniente señalar, que a menudo, las formas de los elementos suelen disfrazarse sutilmente,
lo que los hace difícil de reconocer. Por ejemplo, una articulación de pasador podría incluir un
cojinete de agujas, de modo que las dos superficies pareadas no se distingan como tales. Sin
embargo, si los movimientos de los rodillos individuales carecen de interés, los movimientos
permitidos por las articulaciones son equivalentes y los pares pertenecen al mismo tipo genérico.
Por ende, el criterio para distinguir clases distintas de pares se basa en el movimiento relativo que
permiten y no necesariamente en las formas de los elementos, aunque estos suelen revelar
indicios muy importantes.
El diámetro del pasador usado (u otros datos dimensionales) tampoco tiene más importancia que
las magnitudes y formas exactas de los eslabones conectados.


Funciones cinemáticas de eslabones y articulaciones.
Como ya se menciono, la función cinemática de un eslabón es mantener una relación geométrica
fija entre los elementos del par. Del mismo modo la única función cinemática de una articulación
o par es determinar el movimiento relativo entre los eslabones conectados. Todas las demás
características se determinan por otras razones y no tienen importancia para el estudio de la
cinemática.
Representación de los mecanismos.
Con el fin de simplificar el estudio de los mecanismos, nunca se dibujan éstos en su totalidad con
la forma y dimensiones de cada uno de los eslabones y pares, sino que se sustituye el conjunto
por un esquema o diagrama simplificado, formado generalmente por los ejes de los diferentes
miembros (o por líneas de unión de cada uno de sus articulaciones). Estas no se dibujan por regla
general (aunque algunas veces pueden representarse por medio de pequeños círculos, rectángulos,
etc.).
En las figuras 2.11 y 2.12 se representan respectivamente una grúa flotante, una puerta de acceso
para una aeronave y al lado su correspondiente esquema simplificado. Obsérvese que el eslabón
fijo se representa siempre con un rayado de línea de tierra.

Figura 2.11 Grúa flotante con su diagrama esquemático

En el estudio que seguirá y ha efecto de uniformizar la nomenclatura, se denominará siempre al
eslabón fijo de cualquier mecanismo con el número 1, numerando el resto de los eslabones por
orden creciente con números sucesivos, 2, 3, etc.


Figura 2.12 Puerta de acceso para aeronave con su diagrama esquemático

Puede ser difícil identificar el mecanismo cinemático en una fotografía o en un dibujo de una
máquina completa. La figura 2.13 muestra el conjunto cigüeñal-biela-pistón y su correspondiente
diagrama cinemático.

Figura 2.13 Motor de combustión interna con mecanismo de corredera-
biela- manivela y su representación gráfica

Con este diagrama se puede trabajar mucho más fácilmente y le permite al diseñador separar los
aspectos cinemáticos del problema más complejo del diseño de la máquina.


2.4.1 Ciclo, periodo, fase y transmisión de movimiento

Cuando las partes de un mecanismo han pasado por todas las posiciones posibles que pueden
tomar después de iniciar su movimiento desde algún conjunto simultaneo de posiciones relativas
y han regresado a sus posiciones relativas originales, han creado un ciclo de movimiento. El
tiempo requerido para un ciclo de movimiento es el periodo. Las posiciones relativas simultáneas
de un mecanismo en un instante dado durante un ciclo determinan una fase.
La transmisión del movimiento de un miembro a otro en un mecanismo se realiza en tres formas:
a) contacto directo entre dos miembros, tales como levas y seguidor o entre engranes b) por
medio de un eslabón intermedio o biela y c) por medio de un conector flexible como una banda o
una cadena

2.4.2 Clasificación de los mecanismos en función de sus movimientos

Mecanismos planos, esféricos y espaciales. Los mecanismos se pueden clasificar de diversas
maneras haciendo hincapié en sus similitudes y sus diferencias. Uno de estos agrupamientos en
función de los movimientos que producen los mecanismos los divide en: mecanismos en planos,
esféricos y espaciales; y los tres grupos poseen muchas cosas en común; sin embargo, el criterio
para distinguirlos se basa en las características de los movimientos de los eslabones.
Un mecanismo plano es aquel en el que todas las partículas describen curvas planas en el espacio
y todas éstas se encuentran en planos paralelos; en otras palabras, los lugares geométricos de
todos los puntos son curvas planas paralelas a un solo plano común. Esta característica hace
posible que el lugar geométrico de cualquier punto elegido de un mecanismo plano se represente
con su verdadero tamaño y forma real, en un solo dibujo o una sola figura. La transformación del
movimiento de cualquier mecanismo de esta índole se llama coplanar. El eslabonamiento plano
de cuatro barras, la leva de placa y su seguidor, y el mecanismo de corredera-manivela (figura
2.14) son ejemplos muy conocidos de mecanismos planos. La vasta mayoría de mecanismos en
uso hoy en día son del tipo plano. Los mecanismos planos que utilizan sólo pares inferiores se
conocen con el nombre de eslabonamientos planos y sólo pueden incluir revolutas y pares
prismáticos.


El movimiento plano requiere que los ejes de revoluta sean paralelos y normales al plano del
movimiento, y todos los ejes de los prismas se encuentren en él.

Figura 2.14
Mecanismo de
corredera
(cruceta), biela y
manivela

Mecanismo esférico es aquel en el que cada eslabón tiene algún punto que se mantiene
estacionario conforme el eslabonamiento se mueve, y en el que los puntos estacionarios de todos
los eslabones están en una ubicación común; en otras palabras, el lugar geométrico de cada punto
es una curva contenida dentro de una superficie esférica y las superficies esféricas definidas por
varios puntos arbitrariamente elegidos son concéntricas. Por ende, los movimientos de todas las
partículas se pueden describir por completo mediante sus proyecciones radiales, o "sombras",
proyectadas sobre la superficie de una esfera, con un centro seleccionado en forma apropiada.
La articulación universal de Hooke es quizá el ejemplo más conocido de un mecanismo esférico.

Figura 2.15 Junta universal de Hooke o Cardan
Eslabonamientos esféricos son aquellos que se componen exclusivamente de pares de revoluta.
Un par esférico no produciría restricciones adicionales y, por ende, sería equivalente a una
abertura en la cadena, en tanto que todos los demás pares inferiores poseen movimientos no
esféricos. En el caso de eslabonamientos esféricos, los ejes de todos los pares de revoluta se
deben intersecar en un punto.


Los mecanismos espaciales no incluyen, por otro lado, restricción alguna en los movimientos
relativos de las partículas. La transformación del movimiento no es necesariamente coplanar,
como tampoco es preciso que sea concéntrica. Un mecanismo espacial puede poseer partículas
con lugares geométricos de doble curvatura. Cualquier eslabonamiento que comprenda un par de
tornillo, por ejemplo, es un mecanismo espacial, porque el movimiento relativo dentro del par de
tornillo es helicoide. Por lo tanto, la categoría abrumadoramente más numerosa de mecanismos
planos y la de los esféricos son apenas unos cuantos casos especiales, o subconjuntos, de la
categoría general de mecanismos espaciales. Estos se obtienen como una consecuencia de la
geometría especial en las orientaciones particulares de los ejes de sus pares. Si los mecanismos
planos y esféricos son sólo casos especiales de mecanismos espaciales, ¿por qué es aconsejable
identificarlos por separado?. Debido a que por las condiciones geométricas particulares que
identifican estas clases, es factible hacer multitud de
simplificaciones en su diseño y análisis.

Figura 2.16
Mecanismo
espacial.
Mecanismo
de placa
oscilante

Puesto que no todos los mecanismos espaciales poseen la geometría afortunada de un mecanismo
plano, su concepción mediante técnicas gráficas se hace más difícil y es necesario desarrollar
técnicas más complejas para su análisis como el método analítico. Dado que la inmensa mayoría
de mecanismos en uso hoy en día son planos, nuestro estudio se centrará en ellos, sin minimizar
la importancia de los mecanismos esféricos y espaciales. Como se señaló con anterioridad, se
pueden observar los movimientos de todas las partículas de un mecanismo plano en el tamaño y
forma reales, desde una sola dirección. En otras palabras, es factible representar gráficamente
todos los movimientos en una sola perspectiva, de donde, las técnicas gráficas son muy
apropiadas para su solución.


2.4.3 Movilidad o número de grados de libertad de un mecanismo plano

Una de las primeras preocupaciones, ya sea en el diseño o en el análisis de un mecanismo, es el
número de grados de libertad, conocido también como movilidad del dispositivo. La movilidad
de un mecanismo es el número de parámetros de entrada (casi siempre variables del par) que se
deben controlar independientemente, con el fin de llevar al dispositivo a una posición en
particular.
Si por el momento se hace caso omiso de ciertas excepciones que se mencionarán más adelante,
es factible determinar la movilidad de un mecanismo directamente a través de un recuento del
número de eslabones y la cantidad y tipos de articulaciones que incluye.
Una definición equivalente de movilidad se puede expresar como, el número mínimo de
parámetros independientes requeridos para especificar la posición de cada uno de los eslabones
de un mecanismo.
Un eslabón sencillo, restringido o limitado a moverse con movimiento plano, como el mostrado
en la figura 2.17a, posee tres grados de libertad. Las coordenadas x y
y del punto P junto con el ángulo θ forman un conjunto independiente de tres parámetros que
describen la posición del punto. La figura 2.17b muestra dos eslabones desconectados con
movimiento plano.
Debido a que cada eslabón posee tres grados de libertad, estos dos eslabones tienen un total de
seis grados de libertad.
Si los dos eslabones se unen en un punto mediante una unión de revoluta, como se muestra en la
figura 2.17c, el sistema formado tendrá sólo cuatro grados de libertad.
Los cuatro parámetros independientes que describen la posición de los eslabones podrían ser, por
ejemplo, las coordenadas del punto P1 el ángulo θ1 y el ángulo θ2.
Hay muchos otros parámetros que podrán utilizarse para especificar la posición de estos
eslabones pero sólo cuatro de ellos pueden ser independientes.
Una vez que se especifican los valores de los parámetros independientes, la posición de cada
punto en ambos eslabones queda determinada.


(a) (b)

P1 Θ2
θ Yp2
P
Yp
P1
Yp1 Θ1

Xp

Xp1 Xp2

(c)

Θ2
P2

P1 Θ1
Yp1

Xp1
Figura 2.17 Movilidad o grados de libertad

Para desarrollar una ecuación general que ayude a predecir la movilidad de cualquier mecanismo
plano podemos utilizar la siguiente lógica derivada del ejemplo anterior. Antes de conectarse
entre sí, cada eslabón de un mecanismo plano posee tres grados de libertad cuando se mueven en
relación al eslabón fijo. Por consiguiente, sin contar este último, un mecanismo plano de n
eslabones posee 3(n - 1) grados de libertad antes de conectar cualquiera de las articulaciones. Al
conectar una articulación con un grado de libertad, como por ejemplo, un par de revoluta, se tiene
el efecto de proveer dos restricciones entre los eslabones conectados. Si se conecta un par con dos
grados de libertad, se proporciona una restricción. Cuando las restricciones de todas las
articulaciones se restan del total de grados de libertad de los eslabones no conectados, se
encuentra la movilidad resultante del mecanismo conectado. Cuando se usa j1, para denotar el
número de pares de un solo grado de libertad y j2 para el número de pares con dos grados de
libertad, la movilidad resultante m de un mecanismo plano de n eslabones está dada por:

m = 3(n - 1) - 2jl - j2 (2.1)


Escrita en esta forma, la ecuación 2.1 se conoce como criterio de Kutzbach para la movilidad de
un mecanismo plano, en la que:
m = movilidad o número de grados de libertad
n = número total de eslabones, incluyendo al fijo
j1 = número de pares de un grado de libertad
j2 = número de pares de dos grados de libertad.
Su aplicación se ilustra para varios casos simples en las figura 2.18 y 2.19

Figura 2.18
Aplicación
del criterio
de movilidad
de Kutzbach

Figura 2.19
Aplicación del
criterio de
Kutzbach a
estructuras

Si el criterio de Kutzbach da m > 0 el mecanismo posee m grados de libertad.
Si m = 1, el mecanismo se puede impulsar con un solo movimiento de entrada.
Si m = 2, entonces se necesitan dos movimientos de entrada separados para producir el
movimiento restringido del mecanismo; tal es el caso de la figura 2.18d.
Si m = 0, como sucede en la figura 2.18a, el movimiento es imposible y el mecanismo forma una
estructura.


Si el criterio produce m = -1 o menos, entonces hay restricciones redundantes en la cadena y
forma una estructura estáticamente indeterminada. En la figura 2.19b se ilustra el caso.
En la figura 2.19 se observa que cuando se unen tres eslabones por medio de un solo pasador, se
deben de contar dos articulaciones; una conexión de esta índole se trata como si fueran dos pares
separados pero concéntricos.
En la figura 2.20 se dan ejemplos del criterio de Kutzbach aplicado a articulaciones de dos grados
de libertad. Se debe prestar especial atención al contacto (par) entre la rueda y el eslabón fijo que
aparece en la figura 2.20b. En este caso se supuso que puede existir un corrimiento entre los
eslabones. Si este contacto incluyera dientes de engranes (combinación de cremallera-engrane) o
si la fricción fuera lo suficientemente grande como para evitar el deslizamiento, la articulación se
contaría como un par con un grado de libertad, puesto que sólo se tendría la posibilidad de un
movimiento relativo entre los eslabones.
En los mecanismo con movimiento plano generalmente sólo se encuentran cuatro tipos de
uniones: la unión giratoria o de revoluta, la prismática y la de contacto rodante, cada una con un
solo grado de libertad y la unión de leva o engrane, que tienen dos grados de libertad.

Figura 2.20
Mecanismos
con pares de
dos grados de
libertad.


Tabla 2.2
Tipos
comunes de
uniones
encontradas
en
mecanismos
planos.

Hay casos en el que el criterio de Kutzbach conducirá a resultados incorrectos. Nótese que en la
figura 2.21a representa una estructura y que el criterio predice correctamente que m = 0 . No
obstante, si el eslabón 5 se coloca como se indica en la figura 2.21b, el resultado es un
eslabonamiento de doble paralelogramo con una movilidad de uno, a pesar de que la ecuación
(2.1) señala que se trata de una estructura. La movilidad real de uno se obtiene sólo cuando se
logra la geometría de paralelogramo.

Figura 2.21
Excepción del
criterio de
Kutzbach

Aunque el criterio tiene excepciones, sigue siendo útil gracias a su aplicación tan sencilla. Para
evitar excepciones, sería necesario incluir todas las propiedades del mecanismo. En tal caso, el
criterio sería muy complejo y resultaría inútil en la etapa inicial del diseño, cuando es muy
probable que se desconozcan aún las dimensiones.


2.4.4 Inversión cinemática

Se destaco que todo mecanismo tiene un eslabón fijo, mientras no se selecciona este eslabón de
referencia, el conjunto de eslabones conectados constituye en una cadena cinemática. Cuando se
eligen diferentes eslabones como referencias para una cadena cinemática dada, los movimientos
relativos entre los distintos eslabones no se alteran; pero sus movimientos absolutos (los que se
miden con respecto al de referencia) pueden cambiar drásticamente. El proceso de elegir como
referencia diferentes eslabones de una cadena recibe el nombre de inversión cinemática.
En una cadena cinemática de n eslabones, si se escoge cada uno de ellos sucesivamente como
referencia, se tienen n inversiones cinemáticas distintas de la cadena, es decir, n mecanismos
diferentes. Por ejemplo, la cadena de cuatro eslabones corredera-manivela ilustrada en la figura
2.22 posee cuatro inversiones diferentes.

Figura 2.22
Cuatro
inversiones
del
mecanismo
corredera-
manivela

En la figura 2.22a se presenta el mecanismo básico de corredera-manivela, tal y como se
encuentra en la mayor parte de los motores de combustión interna de hoy en día. El eslabón 4, el
pistón, es impulsado por los gases en expansión y constituye la entrada; el eslabón 2, la manivela,
es la salida impulsada; y el marco de referencia es el bloque del cilindro, el eslabón 1. Al invertir
los papeles de la entrada y la salida, este mismo mecanismo puede servir como compresora.
En la figura 2.22b se ilustra la misma cadena cinemática; sólo que ahora se ha invertido y el
eslabón 2 queda estacionario. El eslabón 1, que antes era el de referencia, gira ahora en torno a la


revoluta en A. Esta inversión del mecanismo de corredera-manivela se utilizó como base del
motor rotatorio empleado en los primeros aviones.
En la figura 2.22c aparece otra inversión de la misma cadena de corredera- manivela, compuesta
por el eslabón 3, que antes era la biela, y que en estas circunstancias actúa como eslabón de
referencia. Este mecanismo se usó para impulsar las ruedas de las primeras locomotoras de vapor,
siendo el eslabón 2 una rueda.
La cuarta y última inversión de la cadena corredera-manivela, tiene el pistón, el eslabón 4,
estacionario, figura 2..22d.
Aunque no se encuentra en motores, si se hace girar la figura, 90° en dirección del movimiento
de las manecillas del reloj, este mecanismo se puede reconocer como parte de una bomba de agua
para jardín. Se observará en esta figura que el par prismático que conecta los eslabones 1 y 4 está
también invertido, es decir, se han invertido los elementos “interior” y “exterior” del par.


CUESTIONARIO

2.1.- ¿Para qué se realiza el análisis topológico de un mecanismo?
2.2.- ¿Cuál es la función de un eslabón en un mecanismo y como se clasifican?
2.3.- ¿A qué se le llama par y cómo se clasifican?
2.4.- Describa la diferencia entre una cadena cinemática y un mecanismo?
2.5.- ¿Qué se requiere para determinar la cinemática de un mecanismo?
2.6.- ¿Cuál es la función cinemática de eslabones y pares?
2.7.- Establezca la diferencia entre un mecanismo coplanar y un mecanismo espacial,
proporcione un ejemplo de cada uno de ellos.
2.8.- Defina movilidad de un mecanismo.
2.9.- ¿Qué significa que m = 2?
2.10.- Determine la movilidad de los mecanismo de las figuras: 2.10; 2.11; 2.12 y 2.13.
Respuesta: m = 1.
2.11.- ¿Cuál es la excepción al criterio de Kutzbach?
2.12.- ¿A qué se le llama una inversión cinemática?
2.13.- ¿Cuantas inversiones cinemáticas se pueden realizar en cada uno de los mecanismos de la
figura 2.18?

CAPÍTULO 3
MECANISMOS DE ESLABONES ARTICULADOS

3.1 Mecanismo de cuatro barras articuladas

Uno de los mecanismos más útiles y simple es el de cuatro barras articuladas. La figura 3.1 ilustra
uno de ellos. El eslabón 1 es el marco o base y generalmente es el estacionario. El eslabón 2 es el
motriz, el cual gira completamente o puede oscilar. En cualquiera de los casos, el eslabón 4
oscila. Si el eslabón 2 gira completamente, entonces el mecanismo transforma el movimiento
rotatorio en movimiento oscilatorio. Si la manivela oscila, entonces el mecanismo multiplica el
movimiento oscilatorio.

Figura 3.1
Cuadro
articulado

Cuando el eslabón 2 gira completamente, no hay peligro de que éste se trabe. Sin embargo, si el 2
oscila, se debe tener cuidado de dar las dimensiones adecuadas a los eslabones para impedir que
haya puntos muertos de manera que el mecanismo no se detenga en sus posiciones extremas.
Estos puntos muertos ocurren cuando la línea de acción de la fuerza motriz se dirige a lo largo del
eslabón 4, como se muestra mediante las líneas punteadas en la figura 3.2. Si el mecanismo de
cuatro barras articuladas se diseña de manera que el eslabón 2 pueda girar completamente, pero
se hace que el 4 sea el motriz, entonces ocurrirán puntos muertos, por lo que, es necesario tener
un volante para ayudar a pasar por estos puntos muertos.

CINEMÁTICA DE LAS MÁQUINAS MECANISMOS DE ESLABONES ARTICULADOS 37

Además de los puntos muertos posibles en el mecanismo dé cuatro barras articuladas, es
necesario tener en cuenta el ángulo de transmisión (γ), que es el ángulo entre el eslabón conector
3 (acoplador) y el eslabón de salida 4 (oscilador).

Figura 3.2
Cuadro
articulado,
punto muerto.

3.1.1 Ley de Grashof
Evidentemente, una de las consideraciones de mayor importancia cuando se diseña un
mecanismo que se impulsará con un motor, es asegurarse de que la manivela de entrada pueda
realizar una revolución completa. Los mecanismos en los que ningún eslabón describe una
revolución completa no serían útiles para estas aplicaciones. Cuando se trata de un
eslabonamiento de cuatro barras, existe una prueba muy sencilla para saber si se presenta este
caso.
La ley de Grashof afirma que, para un eslabonamiento plano de cuatro barras, la suma de las
longitudes más corta y más larga de los eslabones no puede ser mayor que la suma de las
longitudes de los dos eslabones restantes, si se desea que exista una rotación relativa continua
entre dos elementos. Esto se ilustra en la figura 3.3a, en donde el eslabón más largo es (l), el más
corto es (s) y los otros dos tienen las longitudes p y q. Siguiendo esta notación, la ley de Grashof
especifica que uno de los eslabones, en particular el más pequeño, girará continuamente en
relación con los otros tres sólo cuando
s+1 ≤ p+q (3.1)
Si no se satisface esta desigualdad, ningún eslabón efectuará una revolución completa en relación
con otro. Conviene hacer notar el hecho de que nada en la ley de Grashof especifica el orden en
el que los eslabones se conectan, o cuál de los eslabones de la cadena de cuatro barras es el fijo.
En consecuencia, se está en libertad de fijar cualquiera de los cuatro que se crea conveniente.


Cuando se hace esto se crean las cuatro inversiones del eslabonamiento de cuatro barras ilustrado
en la figura 3.3. Las cuatro se ajustan a la ley de Grashof y en cada una de ellas el eslabón s
describe una revolución completa en relación con los otros eslabones. Las diferentes inversiones
se distinguen por la ubicación del eslabón s en relación con el fijo. Si el eslabón más corto s es
adyacente al fijo, como se consigna en la figura- 3.3a y b, se obtiene lo que se conoce como
eslabonamiento de manivela-oscilador. Por supuesto, el eslabón s es la manivela ya que es capaz
de girar continuamente, y el eslabón p, que sólo puede oscilar entre ciertos límites, es el
oscilador. El mecanismo de eslabón de arrastre, llamado también eslabonamiento de doble
manivela, se obtiene seleccionando al eslabón más corto s como el de referencia. En esta
inversión, que se muestra en la figura 3.3c, los dos eslabones adyacentes a s pueden girar en
forma continua y ambos se describen adecuadamente como manivelas y, por lo común, el más
corto de los dos se usa como entrada.

Figura 3.3
Cuatro
inversiones
del cuadro
articulado,
a) y b)
mecanismos
de manivela-
oscilador.
c)
mecanismo
de eslabón de
arrastre.
d)
mecanismo
de doble
oscilador


Aunque se trata de un mecanismo muy común, el lector descubrirá que es un problema muy
interesante intentar construir un modelo práctico que pueda operar un ciclo completo. Si se fija el
eslabón opuesto a s, se obtiene la cuarta inversión, o sea, el mecanismo de doble oscilador que
aparece en la figura 3.3d. Se observará que aunque el eslabón s es capaz de efectuar una
revolución completa, ninguno de los adyacentes al de referencia puede hacer lo mismo, ambos
deben oscilar entre límites y son, por lo tanto, osciladores. En cada una de estas inversiones, el
eslabón más corto s es adyacente al más largo 1. No obstante, se tendrán exactamente los mismos
tipos de inversiones del eslabonamiento si el eslabón más largo 1 está opuesto al más corto s, el
estudiante debe demostrar esto para comprobar que así es en efecto.

3.1.2 Ventaja mecánica

Debido al uso difundido del eslabonamiento de cuatro barras, conviene hacer ahora algunas
observaciones, las que ayudarán a juzgar la calidad de este tipo de eslabonamiento para su
aplicación específica. Examínese el eslabonamiento de cuatro barras ilustrado en la figura 3.4.
Puesto que, según la ley de Grashof, este eslabonamiento en particular pertenece a la variedad de
manivela-oscilador, es muy probable que el eslabón 2 sea el impulsor y el 4 su seguidor. El
eslabón 1 es el de referencia y el 3 se llama el acoplador, dado que acopla los movimientos de las
manivelas de entrada y salida.
Un índice de mérito utilizado, entre otros, para determinar si un mecanismo es eficiente o
deficiente, esto es, para determinar la capacidad de un mecanismo para transmitir fuerza o
potencia, es la llamada ventaja mecánica (VM).
La ventaja mecánica de un eslabonamiento es la razón del momento de torsión de salida (T4)
ejercido por el eslabón impulsado, al momento de torsión de entrada (T2) que se necesita en el
impulsor,
VM = T4 / T2 (3.2)
Considerando que el mecanismo de la figura 3.4 carece de fricción e inercia durante su
funcionamiento o que estas son despreciables en comparación con el momento de entrada T2
aplicado al eslabón 2, y al momento de torsión de salida T4 aplicado al eslabón 4, la potencia de
entrada aplicada al eslabón 2 es la negativa de la potencia aplicada al eslabón 4 por acción de la
carga; esto es T2w2 = - T4w4


Figura 3.4 Eslabonamiento de cuatro barras, posiciones de volquete

Por lo tanto se puede expresar: VM = T4 = - w2 (3.3)
T2 w4

Considerando el ángulo entre los eslabones se tiene que la ventaja mecánica del eslabonamiento
de cuatro barras es directamente proporcional al seno del ángulo γ comprendido entre el
acoplador y el seguidor, e inversamente proporcional al seno del ángulo β formado por el
acoplador y el impulsor. Por supuesto, estos dos ángulos y, por ende, la ventaja mecánica
cambian en forma continua conforme se mueve el eslabonamiento. Por lo anterior, se puede
expresar la ventaja mecánica como:

VM = T4 = - w2 = - CD Sen γ (3.4)
T2 w4 AB Sen β

Cuando el seno del ángulo β se hace cero la ventaja mecánica se hace infinita; de donde, en dicha
posición, sólo se necesita un pequeño momento de torsión de entrada para contrarrestar una carga
de momento de torsión de salida sustancial. Este es el caso en el que el impulsor AB de la figura
3.4 está directamente alineado con el acoplador BC, y ocurre cuando la manivela está en la
posición AB1, y otra vez cuando se encuentra en la posición AB4.


Se observa que éstas definen también las posiciones extremas de recorrido del oscilador DC1 y
DC4. Cuando el eslabonamiento de cuatro barras se encuentra en cualquiera de estas posiciones,
la ventaja mecánica es infinita y se dice que el eslabonamiento tiene una posición de volquete.
El ángulo γ entre el acoplador y el seguidor se llama ángulo de transmisión. Conforme éste
disminuye, la ventaja mecánica se reduce e incluso una cantidad pequeña de fricción hará que el
mecanismo se cierre o se trabe. Una regla práctica común es que el eslabonamiento de cuatro
barras no se debe usar en la región en la que el ángulo de transmisión sea menor que, por
ejemplo, 45 ó 50°. En general para una mejor transmisión de la fuerza dentro del mecanismo, los
eslabones 3 y 4 deberán ser casi perpendiculares a lo largo de todo el ciclo de movimiento.
Los valores extremos del ángulo de transmisión ocurren cuando la manivela AB está alineada con
el eslabón de referencia AD. En la figura 3.4, el ángulo de transmisión es mínimo cuando la
manivela se encuentra en la posición AB2 y máximo cuando está en la posición AB3. Dada la
facilidad con la que se puede examinar visualmente, el ángulo de transmisión se ha convertido en
una medida comúnmente aceptada de la calidad del diseño de un eslabonamiento de cuatro
barras.
Nótese que las definiciones de ventaja mecánica, volquete y ángulo de transmisión dependen de
la elección de los eslabones impulsor e impulsado. En esta misma figura, si el eslabón 4 se usa
como impulsor y el 2 actúa como seguidor, los papeles de β y γ se invierten. En tal caso, el
eslabonamiento no tiene posición de volquete y su ventaja mecánica se hace cero cuando el
eslabón 2 se halla en la posición AB1, o la AB4, en vista de que el ángulo de transmisión es
entonces cero.

3.1.3 Análisis de posición

Se puede obtener una ecuación para el ángulo de transmisión aplicando la ley de los cosenos a los
triángulos A 02 04 y AB04 de la figura 3.5a, en la forma siguiente:

z2 = r12 + r22 - 2r1 r2 cos θ2

y también z2 = r32 + r42 - 2r3 r4 cos γ

Por tanto, r12 + r22 - 2r1 r2 cos θ2 = r32 + r42 - 2r3 r4 cos γ


y γ = cos-1 [z – r
2
3
2
– r42 ] (3.4)
- 2r3r4

φ

Figura 3.5a Eslabonamiento de cuatro barras, ángulo de transmisión γ
en donde el valor de z se calcula a partir de la primera de las dos ecuaciones de la ley de los
cosenos. Con las dimensiones del mecanismo de eslabones articulados que se muestra (es decir
r1, r2, r3, y r4), γ es una función solamente del ángulo de entrada θ2.
Observe que habrá dos valores de γ correspondientes a cualquier valor de θ2 debido a que el arco
coseno es una función de dos valores. El segundo valor de γ corresponde, físicamente, al segundo
modo de ensamble, ramificación o cierre, del mecanismo de cuatro barras, como se ilustra en la
figura 3.5b. Para cualquier valor del ángulo de entrada θ2, el mecanismo de cuatro barras puede
ensamblarse o armarse en dos formas diferentes.

φ

Figura 3.5b Eslabonamiento de cuatro barras, ángulo de transmisión γ


Si el ángulo de transmisión se desvía de + 90° ó – 90° en más de 45° ó 50° aproximadamente, el
eslabón tiende a pegarse debido a la fricción en las uniones o articulaciones; los eslabones 3 y 4
también tienden a alinearse y se podrían trabar.
El ángulo de salida del mecanismo de cuatro barras (ángulo θ4 en la figura 3.5b) también puede
encontrarse en forma cerrada como una función de θ2 . Haciendo referencia a la figura 3.5a, la
ley de los cosenos puede utilizarse para expresar los ángulos α y ϕ como sigue:

α = cos-1 [z + r
2
4
2
– r32 ] (3.5)
2 z r4

ϕ = cos-1 [z + r
2
1
2
– r22 ] (3.6)
2 z r1

Y el ángulo θ4 en la figura 3.5a esta dado por:

θ4 = 180° - (α + ϕ) (3.7)

Debe tenerse mucho cuidado al usar este resultado ya que tanto α como ϕ pueden ser ángulos
positivos o negativos, dependiendo, de la solución que se tome para la función arcocoseno. Para
el segundo cierre del mecanismo articulado (figura 2.3b), ϕ debe tomarse como positivo y α
como negativo a fin de usar la ecuación 3.7. En general, para 0°< θ2 < 180°, ϕ debe elegirse de
manera que 0°< ϕ < 180°; y de manera similar, para 180°< θ2 < 360°, ϕ debe seleccionarse de
manera que 180°< ϕ < 360°.
Con ϕ elegido de esta forma, los valores de α producirán valores de θ4 correspondientes a los
dos cierres distintos del mecanismo articulado.
El procedimiento para encontrar los ángulos de salida variables de un mecanismo, en función del
ángulo de entrada, se conoce como análisis de posición.
El método del análisis de posición que se acaba de presentar es sólo uno de varios enfoques
posibles. El problema del análisis de posición para los mecanismos articulados que contienen más
de cuatro eslabones puede volverse extremadamente complicado.


Ejemplo 3.1. Para el mecanismo de cuadro articulado mostrado en la figura 3.5a considerando al
eslabón 2 como el impulsor con r1 = 7 pulg, r2 = 3 pulg, r3 = 8 pulg, r4 = 6 pulg y θ2 = 60°,
encuentre : a) el ángulo de transmisión γ ; b) el ángulo de salida θ4
Al sustituir los valores conocidos en la primera ecuación de la ley de los cosenos se tiene:
Z2 = 72 + 32 – 2(7)(3) cos 60° = 37
Z = 6.083 pulg
Si se sustituye este valor en la ecuaciones 3.5, 3.6 y 3.7 junto con las ecuaciones de los eslabones
se tiene:

γ = arccos 37 – 82 - 62 ; a) γ = ± 48.986°
-(2)(8)(6)

α = arccos 37 + 62 - 82 ; α = ± 82.917°
(2)(6.083)(6)

ϕ = arccos 37 + 72 - 32 ; ϕ = ± 25.285°
(2)(6.083)(6)
Debido a que θ2 esta entre 0° y 180°, ϕ debe tomarse como positivo. En consecuencia, los valores
de θ4 están dados por:

θ4 = 180° - (± 82.917° + 25.285°) ; b) θ4 = 71.789° ; 237.632°

Evidentemente, el primer valor de θ4 es correcto para el cierre mostrado en la figura 3.5a y el
segundo valor para el cierre de la figura 3.5b. Se deja como ejercicio para el estudiante
determinar la ventaja mecánica del cuadro articulado en esta posición.

3.1.4 Curvas del acoplador

La biela o acoplador de un eslabonamiento plano de cuatro barras se puede concebir como un
plano infinito que se extiende en todas las direcciones; pero que se conecta por medio de
pasadores a los eslabones de entrada y de salida. Así pues, durante el movimiento del
eslabonamiento, cualquier punto fijado al plano del acoplador genera una trayectoria determinada
con respecto al eslabón fijo y que recibe el nombre de curva del acoplador. Dos trayectorias de
este tipo, a saber, las generadas por las conexiones de pasador del acoplador, son simples círculos


cuyos centros se encuentran en los dos pivotes fijos (ver en figura 3.1 puntos A y B); pero existen
otros puntos que describen curvas mucho más complejas. El atlas de Hrones-Nelson§ es una de
las fuentes más notables de curvas de acopladores para eslabonamientos de cuatro barras. Esta
obra se compone de un conjunto de gráficas de 11 x 17 pulg que contienen más de 7 000 curvas
de acopladores de eslabonamientos de manivela-oscilador.

3.2 Mecanismos de línea recta

A finales del siglo XVII, antes de la aparición de la fresadora, era extremadamente difícil
maquinar superficies rectas y planas; y por esta razón no era fácil fabricar pares prismáticos
aceptables, que no tuvieran demasiado juego entre dientes. Durante esa época se reflexionó
mucho sobre el problema de obtener un movimiento en línea recta como parte de la curva del
acoplador de un eslabonamiento que sólo contara con conexiones de revoluta. Es probable que el
resultado mejor conocido de esta búsqueda sea la invención del mecanismo de línea recta
desarrollado por Watt para guiar el pistón de las primeras máquinas de vapor. En la figura 3.6a se
muestra que el eslabonamiento de Watt es uno de cuatro barras que desarrolla una línea
aproximadamente recta como parte de su curva del acoplador.
Aunque no describe una recta exacta, se logra una aproximación aceptable sobre una distancia de
recorrido considerable. Otro eslabonamiento de cuatro barras en el que el punto de trazo P genera
un segmento aproximadamente rectilíneo de la curva del acoplador, es el mecanismo de Roberts
(Figura 3.6b). Las líneas a trazos de la figura indican que el eslabonamiento se define cuando se
forman tres triángulos isósceles congruentes; de donde, BC = AD/2.
El punto de trazo P del eslabonamiento de Chebychev de la figura 3.6c genera también una línea
más o menos recta. El eslabonamiento se forma creando un triángulo 3-4-5 con el eslabón 4 en
posición vertical, como la señalan las líneas a trazos; así pues, DB' = 3, AD = 4, y AB' = 5.
Puesto que AB = DC, DC' = 5 y el punto de trazo P' es el punto medio del eslabón BC. Nótese
que DP'C forma también un triángulo 3-4-5 y, por tanto, P y P' son dos puntos sobre una recta
paralela a AD.

§
J.A. Hrones y G.L. Nelson, Análisis of the Four-bar Linkage, M.I.T.-Wiley, New York, 1951.


Figura 3.6 Mecanismos de línea recta: a) eslabonamiento de Watt, b) Mecanismo de
Roberts, c) eslabonamiento de Chevichev y d) inversor de Peaucillier

Aun más, otro mecanismo que genera un segmento rectilíneo es el inversor de Peaucillier
ilustrado en la figura 3.6d. Las condiciones que describen su geometría son que BC = BP = EC =
EP y AB = AE de tal modo que, por simetría, los puntos A, C y P siempre están sobre una recta
que pasa por A. En estas circunstancias, (AC)(AP) = k, una constante, y se dice que las curvas
generadas por C y P son inversas una de la otra. Si se coloca el otro pivote fijo D de tal suerte que
AD = CD, entonces, el punto C debe recorrer un arco circular y el punto P describirá una línea
recta exacta. Otra propiedad interesante es que si AD no es igual a CD, se puede hacer que el
punto P recorra un arco verdaderamente circular de radio muy grande.

3.3 Mecanismos de retorno rápido

En muchas aplicaciones, los mecanismos se usan para realizar operaciones repetitivas tales como:
empujar piezas a lo largo de una línea de montaje; sujetar piezas juntas mientras se sueldan; para


doblar cajas de cartón en una máquina de embalaje automatizada; en máquinas herramientas para
producir una carrera lenta de recorte y una carrera rápida de retorno; etc. En esta clase de
aplicaciones resulta a menudo conveniente usar un motor de velocidad constante, y esto es lo que
llevó al análisis de la ley de Grashof . No obstante, también es preciso tomar en cuenta los
requerimientos de energía y tiempo. En estas operaciones repetitivas existe por lo común una
parte del ciclo en la que el mecanismo se somete a una carga, llamada carrera de avance o de
trabajo, y una parte del ciclo conocida como carrera de retorno en la que el mecanismo no efectúa
un trabajo sino que se limita a devolverse para repetir la operación. Existen varios mecanismos de
retorno rápido, los cuales se describen a continuación.

Mecanismo corredera-manivela descentrado.

Por ejemplo, en el mecanismo excéntrico de corredera-manivela de la figura 3.7, puede ser que
se requiera trabajo para contrarrestar la carga F mientras el pistón se mueve hacia la derecha,
desde C1 hasta C2; pero no así durante su retorno a la posición C1, ya que es probable que se haya
quitado la carga. En tales situaciones, para mantener los requerimientos de potencia del motor en
un mínimo y evitar el desperdicio de tiempo valioso, conviene diseñar el mecanismo de tal
manera que el pistón se mueva con mayor rapidez durante la carrera de retorno que en la carrera
de trabajo, es decir, usar una fracción mayor del cielo para ejecutar el trabajo que para el retorno.

Figura 3.7
Mecanismo
excéntrico de
corredera y manivela
descentrado


Una medida de lo apropiado de un mecanismo desde este punto de vista, conocida con el nombre
de razón del tiempo de avance al tiempo de retorno (Q), se define mediante la fórmula:

Q = tiempo de la carrera de avance (a)
tiempo de la carrera de retorno

Un mecanismo para el cual el valor de Q es grande, resulta más conveniente para esta clase de
operaciones repetitivas que aquellos que se caracterizan por valores pequeños de Q. Ciertamente,
cualquier operación de esta naturaleza emplearía un mecanismo para el cual Q es mayor que la
unidad. Debido a esto, los mecanismos con valores de Q superiores a la unidad se conocen como
de retorno rápido.
Suponiendo que el motor impulsor opera a velocidad constante, es fácil encontrar la razón de
tiempos. Como se indica en la figura 3.7, lo primero es determinar las dos posiciones de la
manivela, AB1, y AB2, que marcan el principio y el fin de la carrera de trabajo. A continuación,
después de observar la dirección de rotación de la manivela, se mide el ángulo de la manivela α
que se recorre durante la carrera de avance y el ángulo restante de la manivela β, de la carrera de
retorno. Luego, si el periodo del motor es τ, el tiempo de la carrera de avance es:

Tiempo de la carrera de avance = α (τ) (b)
2π

y el de la carrera de retorno es:

Tiempo de la carrera de retorno = β (τ) (c)
2π

Por último, combinando las ecuaciones (a), (b) y (c) se obtiene la sencilla expresión
que sigue para la razón de tiempos:
Q= α (3.8)
β
Nótese que la razón de tiempos de un mecanismo de retorno rápido no depende de la cantidad de
trabajo realizado o incluso de la velocidad del motor impulsor, sino que es una propiedad
cinemática del propio mecanismo y se encuentra basándose exclusivamente en la geometría del
dispositivo.
No obstante se observará que existe una dirección apropiada de rotación y una no apropiada en
esta clase de dispositivo. Si se invirtiera el giro del motor del ejemplo de la figura 3.7, los papeles


de α y β se invertirían también y la razón de tiempos sería menor que 1. De donde el motor debe
girar en el sentido contrario al del movimiento de las manecillas del reloj cuando se trata de este
mecanismo, con el fin de asegurar la propiedad de retorno rápido.

Mecanismo de Whitworth

Éste es una variante de la primera inversión de la biela-corredera-manivela en la que la manivela
se mantiene fija. La figura 3.8 muestra el mecanismo y tanto el eslabón 2 como el 4 giran
revoluciones completas.

Figura 3.8
Mecanismo de Whitworth

Mecanismo de cepillo de manivela.

Este mecanismo es una variante de la segunda, inversión de la biela-manivela- corredera en la
cual la biela se mantiene fija. La figura 3.9a muestra el arreglo en el que el eslabón 2 gira
completamente y el eslabón 4 oscila.
Si se reduce la distancia 0204 hasta ser menor que la manivela, entonces el mecanismo se
convierte, en un Whitworth.

Mecanismo de eslabón de arrastre.

Este mecanismo se obtiene a partir del mecanismo de cuatro barras articuladas y se muestra en la
figura 3.9b. Para un velocidad angular constante del eslabón 2, el 4 gira a una velocidad no
uniforme. El ariete 6 se mueve con velocidad casi constante durante la mayor parte de la carrera
ascendente para producir una carrera ascendente lenta y una carrera descendente rápida cuando el
eslabón motriz gira en el sentido de las manecillas del reloj.


a) b)
Figura 3.9

a) Mecanismo de
cepillo manivela

b) Mecanismo de
eslabón de arrastre

3.4 Ruedas de cámara

Este mecanismo toma distintas formas que operan dentro de una caja o alojamiento. Un tipo de
ruedas de cámara tiene solamente un rotor colocado excéntricamente dentro de la caja y por lo
general es una variante del mecanismo biela-corredera-manivela. La figura 3.10 muestra una
ilustración; el mecanismo mostrado se diseño originalmente para las máquinas de vapor, aunque
en su aplicación moderna se emplea bajo la forma de bomba.

Figura 3.10
Mecanismo de ruedas
de cámara

Otro ejemplo de ruedas de cámaras es el que se muestra en la figura 3.11 que ilustra el principio
del motor Wankel. En este mecanismo los gases en dilatación actúan sobre el rotor de tres lóbulos


el cual gira directamente sobre el excéntrico y transmite el par de torsión a la flecha de salida por
medio del excéntrico que forma parte de la flecha. La relación de tres fases entre el rotor y la
rotación de la flecha excéntrica se mantiene por medio de un par de engranes internos y externos
(que no se muestran) de manera que el movimiento orbital del rotor se mantiene debidamente.

Figura 3.11
Mecanismo de ruedas de
cámara. Motor Wankel

3.5 Mecanismos de movimiento intermitente.

Hay muchos casos en los que es necesario convertir un movimiento continuo en movimiento
intermitente. Uno de los ejemplos más claros es el posicionamiento de la masa de trabajo de una
máquina-herramienta para que la nueva pieza de trabajo quede frente a las herramientas de corte
con cada posición de la mesa. Hay varias formas de obtener este tipo de movimiento y algunos de
ellos se mencionan a continuación:

Rueda de Ginebra.

Este mecanismo es muy útil para producir un movimiento intermitente debido a que se minimiza
el choque durante el acoplamiento. La figura 3.12 muestra una ilustración en donde la placa 1,
que gira continuamente, contiene un perno motriz P que se embona en una ranura en el miembro
movido 2. En la ilustración, el miembro 2 gira un cuarto de revolución por cada revolución de la
placa 1. La ranura en el miembro 2 debe ser tangente a la trayectoria del perno al momento de


embonarse para reducir el choque. Esto significa que el ángulo 01PO2 debe ser recto. También se
puede ver que el ángulo β es la mitad del ángulo que gira el miembro 2 durante el período de
posicionamiento. Para este caso, β es igual a 45°.

Figura 3.12 Rueda de Ginebra

Es necesario proporcionar un dispositivo de fijación de manera que el miembro 2 no tienda a
girar cuando no esté siendo posicionado. Una de las formas más sencillas de hacerlo es montar
una placa de fijación sobre la placa 1 cuya superficie convexa le acopla con la superficie cóncava
del miembro 2, excepto durante el período de posicionamiento. Es necesario cortar la placa de
fijación hacia atrás para proporcionar espacio para que el miembro 2 gire libremente a través del
ángulo de posicionamiento. El arco de holgura o libre en la placa de fijación es igual al doble del
ángulo α.
Si una de las ranuras del miembro 2 está cerrada, entonces la placa 1 solamente puede efectuar un
número limitado de revoluciones, antes de que el perno P llegue a la ranura cerrada y se detenga
el movimiento. Esta modificación se conoce con el nombre de parada o tope de Ginebra y se
emplea en relojes de pulso y dispositivos análogos para evitar que la cuerda se enrolle demasiado.


Mecanismo de trinquete

Este mecanismo se emplea para producir un movimiento circular intermitente a partir de un
miembro oscilatorio o reciprocante. La figura 3.13 muestra los detalles. La rueda 4 recibe
movimiento circular intermitente por medio del brazo 2 y el trinquete motriz 3. Un segundo
trinquete 5 impide que la rueda 4 gire hacia atrás cuando el brazo 2 gira en el sentido de las
manecillas del reloj al prepararse para otra carrera.

Figura 3.13
Mecanismo de trinquete

La línea de acción PN del trinquete motriz y del diente debe pasar entre los centros 0 y A, como
se muestra, con el propósito de que el trinquete 3 permanezca en contacto con el diente. La línea
de acción (que no se muestra) para el trinquete de fijación y el diente debe pasar entre los centros
0 y B. Este mecanismo tiene muchas aplicaciones, en especial en dispositivos de conteo.

Engranaje intermitente.

Este mecanismo se aplica en los casos en que las cargas son ligeras y el choque es de importancia
secundaria. La rueda, motriz lleva un diente y el miembro movido un número de espacios de
dientes para producir el ángulo necesario de posicionamiento. La figura 3.14 muestra este
arreglo. Se debe emplear un dispositivo de fijación para evitar que la rueda 2 gire cuando no está
marcando. En la figura se muestra un método; la superficie convexa de la rueda 1 se acopla con la
superficie cóncava entre los espacios de los dientes del miembro 2.


Figura 3.14
Engrane intermitente

Mecanismos de escape.

Hay muchos tipos de escapes, pero el que se usa en los relojes debido a la gran exactitud es el
escape de volante mostrado en la figura 3.15.

Figura 3.15 Escape de volante


Este tipo de mecanismo es uno en que se permite girar a una rueda dentada, a la que se aplica
torsión, con pasos discretos bajo la acción de un péndulo. Debido a esta acción, el mecanismo se
puede emplear como dispositivo de tiempo, y es precisamente como tal que encuentra su máxima
aplicación en los relojes de pared y de pulso. Una segunda aplicación consiste en emplearlo como
gobernador para conducir el desplazamiento, la torsión o la velocidad.
Funcionamiento del escape de volante. El volante y el pelo (resorte fino) constituyen un péndulo
de torsión con un período fijo (el tiempo para la oscilación en un ciclo). La rueda de escape se
mueve por la acción de un resorte principal y un tren de engranes (que no aparece ilustrado) y
tiene una rotación intermitente en el sentido de las manecillas del reloj, gobernado por la palanca.
La palanca permite a la rueda de escape avanzar un diente por cada oscilación completa del
volante. En consecuencia, la rueda de escape cuenta el número de veces que el volante oscila y
también proporciona energía al volante por medio de la palanca para compensar las. pérdidas por
fricción y por efecto del aire.
Para estudiar el movimiento de este mecanismo a lo largo de un ciclo, considere la palanca
detenida contra el perno del lado izquierdo mediante el diente A de la rueda de escape que actúa
sobre la piedra de paleta izquierda. El volante gira en el sentido contrario al de las manecillas del
reloj de manera que su joya choca contra la palanca, moviéndola en el sentido de las manecillas.
El movimiento de la palanca hace que la piedra izquierda de paleta sé deslice y que destrabe el
diente A de la rueda de escape, con lo que ahora la rueda gira en el sentido de las manecillas y la
parte superior del diente A da un impulso a la parte inferior de la piedra izquierda al deslizarse
por debajo de la misma. Con este impulso la palanca comienza a mover la joya, con lo que da
energía al volante para mantener su movimiento.
Después de que la rueda de escape gira una pequeña distancia, vuelve al reposo nuevamente
cuando el diente B choca contra la piedra derecha de paleta, la que ha bajado debido a la rotación
de la palanca. Ésta choca contra el perno del lado derecho y se detiene, aunque .el volante sigue
girando hasta que su energía es vencida por la tensión del pelo, la fricción del pivote y la
resistencia del aire.
La fuerza del diente B de la rueda de escape sobre. la piedra de paleta derecha mantiene a la
palanca asegurada contra el perno del lado derecho. Él volante completa su giro, invierte la
dirección y vuelve con un movimiento en el sentido de las manecillas del reloj. Ahora la joya
choca contra el lado izquierdo de la ranura de la palanca y mueve a ésta en el sentido contrario al


de las manecillas del reloj. Esta acción libera el diente B, el cual da un impulso a la palanca por
medio de la piedra derecha. Después de una pequeña rotación de la rueda de escape, vuelve al
reposo cuando el diente A choca contra la piedra izquierda.
Otro nombre con el que se conoce al escape de volante es el de escape de palanca desprendida
debido a que el volante está libre y sin contacto con la palanca durante la mayor parte de su
oscilación. Debido a esta libertad relativa del volante, el escape tiene una exactitud de ± 1%.
El lector interesado en obtener mayor información con relación a los escapes y sus aplicaciones
puede consultar una de las muchas referencias acerca del tema.


CUESTIONARIO

3.1.- El eslabón motriz, en un mecanismo de cuatro barras, gira u oscila ¿cuál es el efecto en el
eslabón de salida en uno y otro caso?
3.2.- ¿A qué se le llaman puntos muertos en un mecanismo de cuatro barras, que problema
ocasionan y como se evitan?
3.3.- Exprese la ley de Grashof e indique su uso.
3.4.- ¿Cómo se obtiene un mecanismo de doble manivela?
3.5.- Defina Ventaja Mecánica.
3.6.- ¿En que momento un mecanismo de cuatro barras tiene una posición de volquete?.
3.7.- ¿Para qué se utiliza el análisis de posición?
3.8.- Para el mecanismo de cuadro articulado mostrado en la figura 3.5a considerando al eslabón
2 como el impulsor con r1 = 7 pulg, r2 = 2.5 pulg, r3 = 8 pulg, r4 = 6 pulg y θ2 = 45°, encuentre:
a) el ángulo de transmisión γ; b) el ángulo de salida θ4
3.9.- ¿Cómo se origina una curva del acoplador?
3.10.- Mencione tres mecanismos de línea recta.
3.11.- ¿Cuándo se utiliza un mecanismo de retorno rápido?
3.12.- ¿De que depende la razón de tiempos de un mecanismo?
3.13.- ¿Cuál es la diferencia entre un mecanismo de Whitworth y un mecanismo de eslabón de
arrastre?
3.14.- ¿ Cuál es la diferencia entre un mecanismo de eslabón de arrastre y un mecanismo de
cepillo manivela?
3.15.- ¿Qué caracteriza un mecanismo de ruedas de cámara?
3.16.- ¿Qué caracteriza un mecanismo de movimiento intermitente?

CAPÍTULO 4
CENTROS INSTANTÁNEOS

4.1 Generalidades.

Los eslabones con movimiento coplanario se pueden dividir en tres grupos: (a) aquellos con
movimiento angular sobre un eje fijo; (b) aquellos con movimiento angular, pero que no están
sobre un eje fijo; (c) Aquellos con movimiento lineal, pero sin movimiento angular. Todos estos
movimientos pueden ser estudiados mediante el uso de centros instantáneos.
Este concepto se basa en el hecho de que un par de puntos coincidentes en dos eslabones en
movimiento en un instante dado tendrán velocidades idénticas en relación a un eslabón fijo y, en
consecuencia, tendrán una velocidad igual a cero entre sí. Por razones cinemáticas no tomaremos
en cuenta el espesor de los cuerpos perpendiculares al plano de movimiento y trataremos con las
proyecciones de los cuerpos en este plano.
El centro instantáneo se puede definir de cualquiera de las siguientes maneras:
A) Cuando dos cuerpos tienen movimiento relativo coplanario, el centro instantáneo es un
punto en un cuerpo sobre el cual otro gira en el instante considerado.
B) Cuando dos cuerpos tiene movimiento relativo coplanario, el cetro instantáneo es el
punto en el que los cuerpos están relativamente inmóviles en el instante considerado.

A partir de esto se puede ver que un centro instantáneo es:
(a) un punto en ambos cuerpos,
(b) un punto en el que los dos cuerpos no tienen velocidad relativa y
(c) un punto en el que se puede considerar que un cuerpo gira con relación al otro cuerpo en un
instante dado.
En general, el centro instantáneo entre dos cuerpos no es un punto estacionario, sino que su
ubicación cambia en relación con ambos cuerpos, conforme se desarrolla el movimiento, y
describe una trayectoria o lugar geométrico sobre cada uno de ellos. Estas trayectorias de los
centros instantáneos son llamadas trayectorias polares o centrodas y se analizan posteriormente.

CINEMÁTICA DE LAS MÁQUINAS CENTROS INSTANTÁNEOS 59

4.2 Localización de centros instantáneos.

Los centros instantáneos son sumamente útiles para encontrar las velocidades de los eslabones
en los mecanismos. Su uso algunas veces nos permiten sustituir a algún mecanismo por otro que
produce el mismo movimiento y mecánicamente es más aprovechable. Los métodos para
localizar los centros instantáneos son, por lo tanto, de gran importancia.
Casos especiales:
a) Cuando dos eslabones en un mecanismo están conectados por un perno, como los eslabones 1
y 2 en la figura. 4.1, es evidente que el punto de pivoteo es el centro instantáneo para todos las
posibles posiciones de los dos cuerpos y es, por esta razón un centro permanente, así como
también un centro instantáneo.

O12

Figura 4.1 Eslabones conectados por un perno

Puesto que se ha adoptado la convención de numerar los eslabones de un mecanismo, es
conveniente designar un centro instantáneo utilizando los números de los dos eslabones
asociados a él. Así pues, O12 identifica el centro instantáneo entre los eslabones 1 y 2. Este
mismo centro se puede identificar como O21, ya que el orden de los números carece de
importancia.
b) Cuando un cuerpo tiene movimiento rectilíneo con respecto a otro cuerpo, como la fig. 4.2
donde el bloque 2 resbala entre las guías planas 1, el centro instantáneo se encuentra en el infinito
este es el caso, puesto que, si tomamos cualquiera de los dos puntos tales como A y B, sobre 2 y
trazamos KL y MN perpendiculares a las direcciones del movimiento, estas líneas son paralelas y
se encuentran en el infinito.


Figura 4.2 Bloque en deslizamiento

c) Cuando dos cuerpos resbalan uno sobre el otro, conservando el contacto todo el tiempo como 2
y 3 o Fig. 4.3, el centro instantáneo deberá de coincidir sobre la perpendicular de la tangente
común. Estos se sigue del hecho de que el movimiento relativo Q2 en 2 al punto Q3 , en 3, se
encuentra a lo largo de la tangente común xy; de otra forma, las dos superficies se separarían o se
encajarían una dentro de otra. El movimiento relativo a lo largo de la tangente común, puede
producirse solamente girándolo sobre un centro en algún lugar a lo largo de la perpendicular KL;
de aquí el centro instantáneo este en esa línea

O12

Figura 4.3 Cuerpos con resbalamiento


d) Cuando un cuerpo rueda sobre la superficie de otro, el centro instantáneo es el punto de
contacto, en vista de que en este punto los cuerpos no tienen movimiento relativo.

Figura 4.4 Cuerpos con
rodamiento

En la figura 4.4 se representa primero una rueda que tiene rayos radiales pero no tienen llanta,
cuando la rueda gira sobre la tierra 1, las posiciones sucesivas del punto de pivoteo, o el centro
instantáneo, se encuentra en la punta del rayo que hace contacto con la tierra. Ponerle la llanta,
como se muestra, es igual a insertarle un número infinito de rayos.

4.3 Teorema de Kennedy

Los centros instantáneos de un mecanismo se pueden localizar por el sistema del teorema de
Kennedy. Este teorema establece que los centros instantáneos para cualesquiera tres cuerpos con
movimientos coplanarios coincidan a lo largo de una misma línea recta. Se puede demostrar este
teorema como contradicción, como sigue:
Concedamos que 1,2,3 (Fig. 4.5) sean cualesquiera tres cuerpos que tienen movimiento
coplanario con respecto uno de los otros. Concedamos que O21, O31 O23, sean tres centros
instantáneos.

Figura 4.5 Teorema de Kennedy


O23 es un punto en 2 o en 3, por que es un eje de apoyo instantáneo sobre el cual un cuerpo gira
con referencia al otro. Primero consideramos O23 como un punto en 2. Entonces se mueve con
relación a uno sobre el centro instantáneo O21, y la dirección de su movimiento es perpendicular a
la línea O31 y O 23. Pero el punto O23 no puede tener dos movimientos relativos a uno al mismo
tiempo. Por esta razón, las perpendiculares de las líneas O21 O23 y O31 O23 deben de coincidir.
Esto solamente puede ocurrir cuando O21 O23 O31 forman una línea recta.
El teorema de Kennedy es muy útil en la localización de centros instantáneos en los mecanismos,
en los casos en que dos centros instantáneos de tres eslabones son conocidos y el tercero tiene
que buscarse. Los ejemplos dados posteriormente en este capítulo ilustran aplicaciones para este
propósito.

4.4 Número de centros instantáneos

En cualquier mecanismo que tenga movimiento coplanario, existe un centro instantáneo para
cada par de eslabones. El numero de centros instantáneos es, por lo anterior, igual al número de
pares de eslabones. Cuando se tienen n eslabones, el número de centros instantáneos es igual al
número de combinaciones de n objetos tomados a un tiempo, a saber n(n-1)
2

4.5 Cuadro articulado

La Fig. 4.6. consiste de cuatro barras conectadas por pares de elementos en K,L,M,N.

Figura 4.6 Centros instantáneos
de cuadro articulado


El numero de centros instantáneos es 6 de acuerdo a la expresión del artículo 4.4, esto es, para
n = 6, 6(6-1)/2=6. Se encuentra por observación (casos especiales) que cuatro de estos centros
están sobre los ejes de apoyo.
Estos son O23,O24,O35 y O45. los dos restantes o sea O25 y O34, pueden localizar por el uso del
teorema de Kennedy.
Empleando el teorema de Kennedy para encontrar O25 seleccionamos dos grupos de cuerpos,
cada grupo consistiendo de dos cuerpos 2,5 más un tercero. Los centros instantáneos para cada
grupo deben de coincidir en una misma línea recta, según el teorema. Si tomamos 2,5 y 3 como
un grupo, O25 se encuentra sobre una línea recta con O25 O35. Si tomamos 2,5, 4 como el otro
grupo, O25 debe coincidir a lo largo de O24 O45. Por consiguiente, O25 esta en la intersección de
las líneas O23 O35 y O24 O45. El centro instantáneo O34 se localiza de forma similar.

4.6 Centros instantáneos para el mecanismo de corredera biela y manivela

Es importante que el estudiante aprenda a reconocer el mecanismo de corredera-biela y manivela
en cualesquiera de las múltiples formas, ya que su aplicación para usos prácticos es amplia y
variada. Se podría describir como una cadena cinemática de cuatro eslabones, en la cual un par de
eslabones tiene movimiento rectilíneo con respecto a cada uno de los otros, mientras que el
movimiento relativo de cualquier otro par de eslabones adjuntos es el par cerrado. Por
consiguiente, el mecanismos tiene tres pares cerrados y un par en deslizamiento.

Figura 4.7 Mecanismo
de corredera biela
manivela


Las figuras 4.7, 4.8 y 4.9 ilustran tres formas del mecanismo de corredera-biela y manivela; los
eslabones correspondientes llevan la misma nomenclatura. Hay seis centros instantáneos tres de
ellos O21, O23, O34, se encuentran localizados en los ejes de apoyo. Uno, O41 está en el infinito, ya
que su movimiento relativo a 1 y 4 es rectilíneo.
Los dos centros restantes, O24 y O31 se pueden localizar como sigue:
Usando el teorema de Kennedy. El centro instantáneo O24 se encuentra localizado en la
intersección de las líneas trazadas sobre O21 O41 y O23 O34. El centro instantáneo O31 está en la
intersección de las líneas trazadas sobre O21 O23 y O34 O41. Como el centro instantáneo O41 se
encuentra localizado en el infinito y las líneas paralela su juntan en el infinito donde O41 está
situado, es posible trazar líneas sobre este punto moviendo la línea paralelamente a sí misma.

Figura 4.8 Mecanismo de
Figura 4.9 Mecanismo de
Whitworth
corredera biela manivela

4.7 Tabulación de centros instantáneos

Cuando un mecanismo tiene seis eslabones, son quince el número de centros instantáneos a
localizar. Entonces es aconsejable tener un método sistemático para tabular el progreso y para
que ayude en la determinación. Esto se puede complementar por medio de un diagrama circular
o por el uso de tablas. Sedan los dos métodos y se ilustran con un ejemplo.
a) Diagrama circular. Un diagrama de la forma mostrada en la figura 4.10b, nos es útil para
encontrar centros instantáneos, puesto que nos da una visualización del orden en que los centros


se pueden localizar por el método del teorema de Kennedy y también, en cualquier estado del
procedimiento, muestra que centros faltan por encontrarse. El diagrama circular será útil para
encontrar los centros en el mecanismo de seis eslabones de la figura 4.10a. El siguiente
procedimiento se emplea para localizarlos.

Figura 4.10 Diagrama circular

Trazamos un círculo como el de la Fig. 4.10b y marcamos los puntos 1,2,3,4,5 y 6 alrededor de la
circunferencia, representando los seis eslabones del mecanismo. Conforme se van localizando lo
centros, trazamos líneas uniendo los puntos de los números correspondientes en este diagrama.
De este modo, la línea tendrá línea uniendo todos lo pares de puntos; cuando todos los centros
instantáneos hayan sido determinados. Los números en las líneas, indican la secuencia en que
fueron trazados, para facilitar su cotejo. En un estado del procedimiento (después de que se han


encontrado 10 centros) el diagrama aparecería como lo muestra la Fig. 4.10b. Inspeccionando
los diagramas c) notamos que uniendo 4-6 cerramos dos triángulos 4-6-5 y 4-6-1 ya que éste es el
caso, localizamos el centro instantáneo O46 en la intersección de O41 O61 y O45 O56. Si en lugar
hubiéramos trazado 6-2, solamente un triangulo es decir, el 6-2-1, se habría formado; por esto, el
centro O62 no se podría encontrar en este estado; no obstante, su puede encontrar después de que
se ha tazado O25 (línea 1-4). Por lo consiguiente, la línea 6-2 se numera 15. El procedimiento es
el mismo para los puntos restantes.
Si cada línea se puntea primero, mientras se está localizando el centro y después, cuando se ha
encontrado, se repasa haciéndola una línea sólida, se evitan lo errores. La Fig. 4.10a muestra la
localización de todos lo centros instantáneos y la Fig. 4.10c el diagrama circular terminado.

b) Método tabular. El método alternativo para localizar centros instantáneos de uso común es el
método tabular. En este procedimiento se establece una tabulación general y se amplia con
tabulaciones suplementarias, tal como está ilustrado en la Fig. 4.10d.
En las columnas principales de la tabulación general se enumeran los números de los eslabones
en el mecanismo. En la primera columna se apunta el número de la parte superior dela columna,
combinando con aquellos números a la derecha del mismo. En la segunda columna se apunta el
numero de la parte superior de la columna , combinando con aquellos números a la derecha del
mismo. Continuando este procedimiento hasta el final delas tablas, nos da la lista completa de
todos los centros que han de encontrarse. Conforme los centros se van localizando en el dibujo,
se tachan en la tabla, como queda ilustrado. Comúnmente, aproximadamente la mitad de los
centros se encuentran por inspección se tachan inmediatamente. De este modo, en el ejemplo
dela Fig. 4.10, ocho de lo centros, el O12 O23 O34 O45 O56 O14 O16 y O35, se encontraron por
inspección. El resto tendrían que se localizados empleando el teorema de Kennedy y con la ayuda
de las tablas suplementarias. Supóngase ahora que deseamos encontrar el centro O31.
Establecemos la tabla suplementaria en la cual los eslabones 1 y 3 se consideran con un tercer
eslabón, digamos el 4. Entonces los centros O34O14 y O13 deben de coincidir en una línea recta,
según el teorema de Kennedy. El tercer eslabón también bajo el encabezado 13. Refiriéndonos a
la tabulación general, encontramos que los centros O34 O14 O21 y O23 han sido tachados y por lo
tanto han sido localizados y están disponibles. Trazando línea a través de ellos localizamos O31.


De la misma manera, por el uso de tablas, se pueden localizar todos los centros. Las tablas
suplementarias en la Fig. 4.10d muestran el procedimiento.
Frecuentemente se encuentra que el tercer eslabón elegido requiere centros que todavía no han
sido localizados. En tales casos se debe probar otro tercer eslabón. Si en los primeros intentos se
encuentra que ningún tercer eslabón satisface, se suspende temporalmente la búsqueda para ese
centro en particular, hasta que se encuentran mas centros.

4.8 Centrodas o Curvas Polares

Se hizo notar que la ubicación del centro instantáneo esta definido sólo instantáneamente, y que
cambiaría conforme el mecanismo se moviera. Si se encuentran las ubicaciones de los centros
instantáneos para todas las fases posibles del mecanismo, se verá que describen curvas o lugares
geométricos , denominados centrodas o curvas polares.
Las opiniones parecen estar igualmente divididas sobre si los lugares geométricos deben llamarse
centrodas o curvas polares. En general, quienes utilizan el nombre centro instantáneo los llaman
centrodas y quienes utilizan el vocablo polo los llaman curvas polares o polodas. Aunque
también se ha aplicado el nombre de ruletas. Los equivalentes tridimensionales son superficies
regladas que se conocen como axodas.
Cuando un cuerpo tiene movimiento relativo rígido hacia otro, obsérvese que, para cualquier
posición relativa de los dos cuerpos, las dos trayectorias polares están en contacto en un punto,
el cual es el centro instantáneo para esa posición. Continuando el movimiento relativo resulta que
las dos trayectoria polares ruedan una sobre otra. Consecuentemente, es posible sustituir un
mecanismo dado por un mecanismo equivalente que contenga dos superficies en rodadura y que
produzca el mismo movimiento que el eslabón seleccionado original. A continuación daremos un
ejemplo de lo anterior.
En la figura. 4.11 se ilustra una forma de un mecanismo doble de Manivela, Biela y Corredera,
que consiste de una varilla, eslabón 3, articulada en las correderas 2 y 4 ; estas últimas se deslizan
sobre las guías del marco 1.
Los puntos A y B sobre 2 y 4 tienen movimientos lineales sobre XY y XZ respectivamente.


Figura 4.11 Mecanismo
doble de Manivela, Biela
y Corredera

En las posiciones A1, B1 (Fig. 4.12a) el centro instantáneo se encuentra en O1, la intersección de
las perpendiculares de XY y XZ en A1 y B1 respectivamente. La trayectoria polar fija al marco 1
se traza a través de los puntos O1 O2, etc.; este ultimo se encuentra de la misma forma como O1 y
si obtenemos la cuerva MO1O2N.

(a) (b)

Figura 4.12 Curvas polares de mecanismo doble de manivela, biela y corredera

Se pueden emplear dos métodos para encontrar la trayectoria polar fija al eslabón 3.
a) En la Fig. 4.12a, AB se considera coincidentemente con XY. El triangulo XYO´1 se hace igual
a A1B1O1; XYO´2 igual a A2B2O2, etc. La curva MO’1O’2P es la trayectoria polar fija a 3.
b)En la Fig. 4.12b el eslabón 3 se mantiene fijo y 1 se mueve alrededor de él.
Como el marco, representado por la líneas XY y XZ se muestra alrededor del cuerpo 3,
representado por la línea AB, XY siempre debe de pasar a través de A y XZ debe de pasar a
través de B. EL ángulo YXZ es constante, y el ápice X proyecta un arco circular AX2X1B.
Cuando X se encuentra en la posición X1, el centro instantáneo esta en O’1, un punto
localizado por la intersección de la perpendiculares a X1Y1 y X1Z1 a través de A y B,


respectivamente. Similarmente, O’2 corresponde a la posición X2. La trayectoria polar fija a 3 es
la curva MO’1O’2P.
Ahora podemos constituir un mecanismo como el mostrado en la figura 4.13, en el que hemos
reemplazado las correderas 2,4 y sus guías (Fig. 4.11) por dos superficies, cuyos perfiles
representan las 2 trayectorias polares; una superficie se encuentra fija a 3 y la otra a 1. El
movimiento de 3 relativo a 1 en la figura. 4.13, obtenido rodando juntas las superficies que
representan las trayectorias polares, es el mismo que el de los eslabones correspondientes de la
Fig. 4.11.

Figura 4.13
Mecanismo de pares
superiores en rodadura

La Fig. 4.13 es un ejemplo de sustitución un mecanismo que tiene pares inferiores en
deslizamiento, por otro, con pares superiores con contacto en rodadura.


CUESTIONARIO

4.1.- Defina “centro instantáneo”.
4.2.- Mencione los casos especiales de CI.
4.3.- ¿Qué expresa el Teorema de Kennedy?
4.4.- ¿Cómo determinamos el número de CI en un mecanismo coplanario?
4.5.- ¿Cómo se generan las curvas polares y cuál es su propiedad en relación a su aplicación en el
diseño de mecanismos?
4.6.- Determine, en cada uno de los siguientes mecanismos, el número de centros instantáneos y
localice su posición.

(a)

(d)

(b)
Figura P4.6b

(c) (f)

Figura P4.6 Localización de CI


4.7.- La siguiente figura muestra un eslabonamiento cruzado de doble manivela de dimensiones:
AD =BC = 72 mm; AB = CD = 56 mm. Trace las curvas polares que se generan sobre los
eslabones 2 y 4 cuando se considera el centro instantáneo O24.

B
2
3 Figura P4.7
D
Mecanismo de doble
1 A manivela
4
C

4.8.- Determine, en cada uno de los siguientes mecanismos, el número de centros instantáneos y
localice su posición.

(c)
(a)

(b)

(d)

Figura P4.8 Localización de CI

CAPÍTULO 5

VELOCIDAD Y ACELERACION EN EL MOVIMIENTO COPLANARIO

Introducción

Debido a que el movimiento es inherente a las máquinas, las cantidades cinemáticas como la
velocidad y la aceleración son de importancia para la ingeniero en el análisis y diseño de los
componentes de las máquinas. Los valores cinemáticos en las máquinas han alcanzado
magnitudes extraordinarias. Las velocidades de rotación, que una vez se consideraron altas a un
valor de 10 000 rpm, ahora se aproximan a 100 000.0 rpm.
Los grandes rotores de los motores a chorro trabajan a velocidades de 10 000 a 15 000 rpm, y las
ruedas de turbinas pequeñas giran a una velocidad de 30 000 a 60 000 rpm.
El tamaño de los rotores y su velocidad de rotación se relacionan en tal forma que a menor
tamaño mayor será la velocidad de rotación permitida. Una cantidad más básica en los rotores es
la velocidad periférica, la cual depende de la velocidad de rotación y el tamaño (V = ωR). Las
velocidades periféricas en las turbomáquinas están llegando a valores de 50 000 a 100 000
pies/min. Las velocidades periféricas en las armaduras eléctricas (10 000 pies/min) y en los
cigüeñales automotrices (3 000 pie/min) son más bajas que en los rotores aeronáuticos.
Aunque las velocidades de los rotores o de las manivelas de los mecanismos de eslabones
articulados son bajas, la tendencia es hacia mayores velocidades debido a la demanda de mayores
tasas de productividad en las máquinas que se emplean para impresión, fabricación de papel,
hilado, computación automática, empaque, embotellado, maquinado automático y muchas otras
aplicaciones.
La aceleración centrípeta en la periferia de un rotor depende del cuadrado de la velocidad de
rotación y del tamaño (An = (ω2R). En las turbinas, dichas aceleraciones se están aproximando a
valores de 1 a 3 millones de pies/s2 o sea aproximadamente de 30 000g a 100,000g, valores que
pueden compararse con la aceleración de 10g que soportan los pilotos de aviones, o de 1000g que
soportan los pistones automotrices.
La aceleración se relaciona con la fuerza (MA), por el principio de Newton y se relaciona a su
vez con el esfuerzo y la deformación, que pueden o no ser críticos en una pieza de una máquina,

CINEMÁTICA DE LAS MÁQUINAS VELOCIDADES Y ACELERACIONES 73

dependiendo de los materiales empleados. La velocidad de una máquina está limitada en última
instancia por las propiedades de los materiales de que está formada y las condiciones que
influyen en las propiedades de los materiales empleados.
Las altas temperaturas que se dan por la compresión de los gases y la combustión de los
combustibles, junto con las que se dan como resultado de la fricción, son una condición que
influye en la resistencia de los materiales de las máquinas de potencia de alta velocidad. El grado
en que se eleva la temperatura también depende de las medidas que se tomen para la transferencia
de calor mediante refrigerantes como aire, aceite, agua o Freon.
El buen diseño de una máquina depende de la explotación del conocimiento en los campos de la
dinámica, el análisis de esfuerzos, la termodinámica, la transmisión de calor y las propiedades de
los materiales.
Sin embargo, el propósito de este capítulo es estudiar solamente las relaciones cinemáticas en las
máquinas.
Para los cuerpos que giran alrededor de un eje fijo, como el caso de los rotores, los valores
cinemáticos se determinan rápidamente a partir de formulas elementales bastante conocidas
( V = ωR, An = ω2R, At = αR ).
Sin embargo los mecanismos como el corredera-biela-manivela y sus inversiones son
combinaciones de eslabones que constan no solamente de un rotor sino también de miembros
oscilatorios y reciprocantes.
Debido a las velocidades y aceleraciones relativas entre los diferentes miembros. Junto con las
muchas posiciones relativas geométricas que se pueden dar, el análisis cinemático de un
mecanismo de estabones articulados es relativamente complejo comparado con el de un rotor.
Los principios y métodos que se ilustran en este capítulo son principalmente los que se emplean
para el análisis de mecanismos de eslabones articulados compuestos de combinaciones de rotores,
barras, correderas, levas, engranes y elementos rodantes.
En las exposiciones siguientes se supone que los eslabones individuales de un mecanismo son
cuerpos rígidos en que las distancias entre dos partículas dadas de un eslabón móvil, permanecen
fijas. Los eslabones que sufren deformaciones durante el movimiento, como los resortes, caen
dentro de otra categoría y se analizan como miembros vibratorios.


La mayoría de los mecanismos elementales se encuentran en movimiento plano o se pueden
analizar como tales. Los mecanismos en los que todas las partículas se mueven en planos
paralelos se dice que están en movimiento plano o coplanarios.
El movimiento de un eslabón se expresa en términos de los desplazamientos lineales y las
aceleraciones lineales de las partículas individuales que constituyen el eslabón.
Sin embargo, el movimiento de un eslabón también puede expresarse en términos de los
desplazamientos angulares, las velocidades angulares y las aceleraciones angulares de líneas que
se mueven con el eslabón rígido.
Existen muchos métodos para determinar las velocidades y aceleraciones en los mecanismos, los
que se emplean comúnmente son:

a) análisis de velocidad por centros instantáneos;
b) análisis de velocidad por método de resolución
c) análisis mediante el empleo de ecuaciones de movimiento relativo que se resuelven ya sea
analítica o gráficamente por medio de polígonos de velocidad y aceleración (método de
imagen);
d) análisis mediante el empleo de matemáticas vectoriales para expresar la velocidad y
aceleración de un punto con respecto de un sistema fijo o un sistema móvil de
coordenadas;
e) análisis mediante ecuaciones vectoriales de cierre de circuito escritas en forma compleja.

De los métodos mencionados, el primero, el segundo y el tercero, mantienen el aspecto físico del
problema. El quinto método que hace uso de vectores en forma compleja, tiende a hacerse
demasiado mecánico en su operación a tal grado que los aspectos físicos se pierden rápidamente.
Sin embargo se debe mencionar que el cuarto y quinto método se presentan para soluciones por
computadora, lo cual es una ventaja decisiva si un mecanismo se va ha analizar durante un ciclo
completo. Particularmente en este capítulo se analizaran los tres primeros métodos.


5.1 Velocidades de los centros instantáneos

Cuando un cuerpo gira alrededor de un centro, la velocidad de cualquier punto en él será en una
dirección perpendicular al radio y su magnitud es proporcional al radio de esta forma en la Fig.
5.1 donde el cuerpo 2 esta articulando al cuerpo 1, la velocidad del punto P es perpendicular al
radio rp y tiene una magnitud vp = ω2/1 rp. Similarmente a la velocidad del punto Q es
perpendicular al radio rQ y tienen una magnitud vQ =ω2/1 rQ dividiendo estas dos ecuaciones se
produce: vQ / vp = rQ / rp o vQ = vp (rQ / rp ) (5.1)

Figura 5.1
Velocidad de CI

Cuando la velocidad de una punto sobres un cuerpo es conocida y representados por un vector,
muy frecuentemente se desea encontrar gráficamente la velocidad de otro punto sobre el mismo
cuerpo, en la fig. 5.1 tómese en cuenta que la velocidad del punto P es conocida y representada
por el vector vp se desea encontrar la velocidad del punto Q. Con O como centro y con el radio
OP, o rp, se traza un arco cortando OQ, alargado, si el necesario, hasta S. Como S y P están a la
misma distancia del centro de rotación, sus velocidades son de igual magnitud, pero de dirección
diferente. El vector ST, trazando perpendicular a OS, se iguala a la longitud del vector Vp. Este
es marcado V´p, ya que representa la magnitud de la velocidad de P, pero no en su dirección
correcta, trazando la línea OT y el vector QW perpendicular a OQ o rQ obtenemos los triángulos
semejantes OQW y OST.
De donde:

QW = OQ o VQ = rQ
ST OS Vp rp


Que comparada con la ecuación 5.1, QW representa la velocidad del punto Q en la misma
magnitud que ST representa la velocidad del punto P.
El mismo resultado podría obtenerse girando el punto Q alrededor del centro O hasta el punto X
en la línea Op (fig. 5.2) trazando la linea OY, y el vector XZ perpendicular a Op o rp, obtenemos
otra vez dos triángulos semejantes. Consecuentemente, XZ representan la magnitud de la
velocidad del punto Q a la misma escala que PY representa la velocidad del punto P. El vector
XZ es marcado V´Q ya que es la magnitud Vq, pero no su dirección correcta. Girando este vector
alrededor de O hasta el punto Q, obtenemos la velocidad VQ, ya que se han considerado
solamente condiciones instantáneas, esta construcción grafica es aplicable cuando el punto sobre
el que gira el cuerpo es un centro instantáneos o un centro permanente.

Figura 5.2
Velocidad de CI

Puntos en diferentes eslabones.

Muy frecuentemente es necesario encontrar la velocidad de un punto en un determinado eslabón
de un mecanismo, a partir de la velocidad de otro punto localizado en un diferente eslabón.
Comúnmente se dispone de varios métodos y cada uno de ellos tiene sus ventajas para casos
particulares, es muy aconsejable que el estudiante entienda los principios de cada uno de estos
métodos , para que utilice el que mas le convenga para un problema en particular, o bien emplee
un método para comprobar el otro. Algunos problemas se resuelven mejor combinando estos
métodos.
Antes de esbozar los métodos, resulta conveniente clasificar alguno de los centros instantáneos
como centros de pivoteo. Estos son los centros relacionados al eslabón fijo 1 y por lo tanto


tienen su numero en su subscripto. De esta manera, en la fig. 5.3 los centros de pivoteo son O12
O13 y O 14.

Figura 5.3
Determinación de
velocidad método
eslabón - eslabón

a) Método de eslabón –a – eslabón.

Este es un método de paso por paso, por medio del cual comenzamos con el eslabón donde esta
localizado el punto con la velocidad conocida, y derivamos a través de su centro instantáneo con
respecto a un eslabón conectado y después continuamos con el eslabón conectado a su centro
instantáneos con respecto al siguiente eslabón. Continuando de esta manera, llegamos
finalmente al eslabón que contiene el punto cuya velocidad es requerida. En general, es necesario
empezar localizando todos los centros de pivoteo y los centros instantáneos de cada eslabón con
respecto a su eslabón adjunto.
Para ilustrar el método consideraremos el cuadrilátero articulado de la fig. 5.3 en el cual el
eslabón 1 es fijo. Supondremos que la velocidad del punto Q en el eslabón 1 es la requerida. En
este ejemplo los eslabones 2 y 4 están conectados por el eslabón 3, y trabajaremos a través de
este ultimo desde el 2 al 4.
Primeramente localizamos los centros instantáneos O21 O25, O31 O34 y O41, como se ilustra en la
figura.
La velocidad del punto P es conocida y representada por el vector Vp, perpendicular a una línea
desde P al centro de pivoteo O21, considerando los dos puntos P y O23 como puntos en el eslabón
2, trazamos la construcción ( según el art. 5.1) mostrada y por triángulos semejantes a y b
encontramos el vector de velocidad Vo23 para el punto O23.
Por definición de un centro instantáneos, O23 es un punto en el eslabón 3, así como también en el
eslabón 2, Siendo un punto en el eslabón 3 gira sobre el centro de pivoteo O31; igualmente como


es un punto en el eslabón 2 gira sobre el centro de pivoteo O21. Por lo tanto el vector de
velocidad V023 es trasportando (arco c) girando sobre el centro de pivoteo O31 a una línea que
pasa sobre O31 y O34. Considerando la posición de O23 girada y el centro O34 como punto en el
eslabón 3, efectuamos la construcción (según Art. 5.1) mostrada según los triángulos d y e;
empleando O31 como el centro de pivoteo para encontrar el vector de velocidad Vo34 para el
punto O34 . Ahora O34 y Q, son putnos en el eslabón 4, que giran sobre el centro de pivoteo O41 .
De ahí que Vo34 se puede trasporta sobre este centro de pivoteo a la línea O41Q (arco f)
Dibujando los triángulos semejantes g y h, encontramos el vector de velocidad VQ que
representa la velocidad requerida para el punto Q. Dicho vector es perpendicular a un línea desde
Q hasta el centro de pivoteo O41.
De esta descripción es evidente que : el giro de cualquier eslabón relativo al eslabón fijo ocurre
alrededor del centro de pivoteo que contiene el número de ese eslabón y el del eslabón fijo. La
velocidad absoluta de cualquier punto sobre un eslabón, es en una dirección perpendicular a
una línea desde el punto hasta el centro de pivoteo de ese eslabón, y el vértice del triángulo
semejante, según la construcción del art. 5.1 siempre es el centro de pivoteo del eslabón
considerado.
En este ejemplo los tres eslabones 2, 3 y 4 están conectados por pernos articulados. Las
conexiones entre estos eslabones pueden, no obstante, ser de cualquier forma, y el método se
pude aplicar en cualquier mecanismo, siempre que los centros instantáneos requeridos están
accesibles.

b) Método directo.

Cuando un mecanismo tiene muchos eslabones, el método eslabón-eslabón resulta ser muy
fastidioso. Muy frecuentemente se puede emplear el método directo para reducir el trabajo que
se requiere en tales casos. Tal como lo implica el nombre, vamos directamente desde el eslabón
que contiene la velocidad conocida, hasta el eslabón que tiene el punto cuya velocidad es la
requerida. Esto puede efectuarse encontrando la velocidad del centro instantáneo que contiene en
su subscrito los números de los dos eslabones en cuestión, ya que en este punto los dos eslabones
tienen una velocidad común. Por lo tanto solamente se necesitan localizar tres centros
instantáneos . Si el eslabón fijo es 1 y los dos eslabones en cuestión son m y n, los centros que


deben localizarse son Omn Oml y Onl. Los últimos dos centros son los centros de pivoteo, y los
principios del método eslabón-a-eslabón, con referencia a la construcción, se aplica igualmente
aquí.

Figura 5.4
Determinación de
velocidad
método directo

Por lo anterior, en la Fig. 5.4, que es el mismo cuadrilátero articulado empleado en el ejemplo
anterior, la velocidad del punto P en el eslabón 2 es conocida, y se requiere encontrar la velocidad
del punto Q en el eslabón 4. Por lo tanto localizamos el centro común O24 y los dos centros de
pivoteo O21 y O41.
Los puntos P y O24 son dos puntos sobre el eslabón 2 y por eso giran alrededor del centro de
pivoteo O21. Como la velocidad de P es conocida, la velocidad de O24 se puede localizar
gráficamente por el método del Art. 5.1 y se designa Vo24 . Como el eslabón 2 pivotea alrededor
de O21 se traza el triángulo a con un cateto que representa Vp. El triangulo b semejante a a,
tendrá un cateto correspondiente representado, como se ha indicado, la velocidad de O24. Por ser
un punto en el eslabón 4, O24 tienen la misma velocidad Vo24: por tanto conocemos la velocidad
de un punto en 4 podemos encontrar la velocidad de cualquier otro punto, tal como Q. Puesto que
el eslabón 4 gira alrededor de O41, construimos el triángulo c, y después el triangulo semejante d.
Este vector es girando alrededor de O41 hasta el punto Q, donde se hace perpendicular a un a
línea desde Q hasta el centro del pivoteo O41. En esta posición el vector representa la velocidad
de Q en magnitud y dirección.
La construcción se puede aplicar a cualquier forma de mecanismo siempre y cuando esté
disponible el centro instantáneo común a los dos eslabones en los cuales se localizan los puntos;
cuando este punto no es accesible se debe emplear algún otro método. En algunos casos la
localización de este centro requiere mucho trabajo, y se puede facilitar empleando otro método.
Hay que tomar en cuanta que, si uno de los centros de pivoteo se localizan hasta el infinito, todos
los puntos en ese eslabón tendrán la misma velocidad en magnitud y dirección. Entonces, si se


encuentra la velocidad del centro común y el centro de pivoteo del eslabón del cual se desea
conocer la velocidad está en el infinito, no es posible, o necesario, trazar arcos, ya que la
velocidad del punto es la misma que la del centro común en magnitud y dirección.

5.2 Velocidades lineales por resolución
Si la magnitud y dirección del movimiento de un punto en un cuerpo en movimiento, y la
dirección del movimiento de un segundo punto en el mismo cuerpo son conocidas la magnitud
de la velocidad del segundo punto se puede determinar por resolución. Este método depende del
hacho que la distancia entre los dos puntos es constante si el cuerpo es rígido.

Figura 5.5
Velocidad método por
resolución

Sean P y Q (Fig. 5.5) dos puntos en el cuerpo 2 en movimiento con respecto al cuerpo 1. La
velocidad de P esta indicada en magnitud y dirección por el vector Vp, en el instante
considerado. El punto Q tienen movimiento en la dirección QA en el mismo instante . La
dirección PQ es constante, y también los componentes de las velocidades en una dirección
paralela a PQ deben de ser iguales; de otro manera la distancia entre ellos se aumentaría o se
disminuiría. Trazando el triángulo a encontramos el vector V1, la componente paralela a PQ.
Ahora podemos trazar el triángulo b, ya que el vector V´1, representa la componente de la
velocidad de Q´ paralela a PQ, y es iguala V1; también un cateto es perpendicular a PQ y el
tercero coincide sobre QA. El cateto mencionado últimamente es VQ, y representa la velocidad de
Q.
Al dibujar las componentes de una resultante, siempre deben trazarse paralelas y
perpendiculares al eslabón, o a una línea proyectada sobre los extremos de los eslabones, pero
nunca perpendiculares a la resultante. Si no se trazan perpendiculares hacia el eslabón, estas
componentes tendrán otra componente de ellas mismas a lo largo del eslabón, lo cual no
destruye el principio en que está basado el método.


El método por resolución no podrá aplicarse cuando dos puntos coinciden sobre una línea radial
de un eslabón que tiene rotación pura. En casos tales no hay componentes de movimiento sobre
esta. En este tipo de situación debemos acudir al procedimiento esbozado en el Art. 5.1.
Trabajando de punto a punto a través de los eslabones conexos, el método por resolución se
puede emplear en muchos casos para localizar la velocidad de cualquier punto en un mecanismo
cuando la velocidad de un punto, no necesariamente en el mismo eslabón es conocida.
La aplicación de este método se podría describir empleando el mismo mecanismo usado
anteriormente, como se muestra en la Fig. 5.6. La velocidad del punto P es conocida y la
velocidad del punto Q es la requerida. Como el unto P y el centro instantáneo O23 coinciden en
una línea radial, no se puede emplear el método por resolución para encontrar la vo23, y debemos
emplear la construcción de triángulos semejantes del Art. 5.1 La velocidad de O23 queda ahora,
completamente establecida, pero solamente conocemos la dirección de la velocidad resultante de
O34(perpendicular al eslabón 4, o a O34 O41). La velocidad del punto O23 se puede dividir en dos
componentes: una perpendicular al eslabón 3 y la otra a lo largo de éste. Esta última es marcada
V1. Esta componente debe ser la misma en el extremo derecho, en otra forma el eslabón 3 se
alargaría o comprimiría. De allí que V´1, igual en longitud a V1, se traza desde O34 hasta una
perpendicular al eslabón 4 o a O34 O41, determina el final del vector Vo34.

Figura 5.6
Determinación de velocidad
método por resolución

Como O34 y el punto Q no coinciden en una línea radial desde el punto de rotación del eslabón 4,
el método por resolución pude ampliarse otra vez para encontrar la velocidad de Q. Una línea
desde O34 hasta Q siempre es igual en longitud ya que el eslabón 4 se considera como si fuera
rígido. Por lo tanto Vo34 se puede dividir entre dos componentes: una perpendicular a la línea
O34Q y la otra a lo largo. La componente sobre esta línea desde Q hasta el centro de pivoteo O41.


Por esto la punta del vector VQ coincide en la intersección de una línea perpendicular a O34Q en
la punta de la componente V´2, y es perpendicular a QO41.
Un segundo ejemplo del uso del método de resolución se da en la Fig. 5.7 que ilustra un
mecanismo compuesto comúnmente empleado en las limadoras, como un método para mover el
émbolo macho que lleva la herramienta para cortar. La inclinación del eslabón 5 se ha exagerado
para ilustrar con mayor claridad esta construcción.
Supondremos que la velocidad del punto P en la manivela motriz 2 es conocida, y que la
velocidad del punto Q en el émbolo 6 es la requerida.

Figura 5.7
Mecanismo de limadora,
determinación de velocidad
método por resolución

El punto P en el eslabón 2 y un punto coincidente P´ en el eslabón 4 deben tener la misma
velocidad normal hacia la línea en la corredera de 3 sobre 4. Si este no fuera el caso, P se saldría
de la línea RO41; esto es imposible, debido al efecto de rigidez del par en deslizamiento. Si VP se
resuelve entre dos componentes paralelos y normales a RO41 trazando el triangulo a , entonces la
componente normal representa V´P, la velocidad del punto P´ en 4, y la otra componente el paso
al cual el eslabón 3 desliza sobre el eslabón 4.
P´ y R son dos punto en el eslabón 4 que giran alrededor de O41. Usando las construcciones
graficas enunciadas en el Art. 5.1 e ilustradas por los triángulos b y c; encontramos el vector VR
que representa la velocidad de R. El método por resolución no se puede emplear aquí, porque
V´P tienen una componente igual a cero sobre RO41.


Finalmente, R y Q son puntos sobre el eslabón 5, y por lo anterior tienen iguales componentes de
velocidad sobre 5. El método por resolución requiere la construcción de los triángulos d y e
además fija la distancia del vector VQ, la cual representa la velocidad de Q.

5.3 Velocidades angulares

Cuando dos cuerpos se encuentra en moviendo, se puede demostrar que sus velocidades
angulares instantáneas con respecto aun tercer cuerpo, son inversamente proporcionales a la
distancias desde su centro instantáneo común, a los centros instantáneos sobre los cuales están
pivoteando en el tercer cuerpo. De este modo, en la Fig. 5.8, 2 y 3 son dos cuerpos en
movimiento con respecto a 1. Los tres centros instantáneos O21O23 y O31 se consideran
localizados como queda ilustrado con el teorema de Kennedy.
O23 es un punto común para 2 y 3. Como es un punto 2, su velocidad lineal instantánea es igual a
ω2/1(O23O21). Como es también un punto en 3, se está movimiento con una velocidad lineal
ω3/1(O23O31). Por lo consiguiente,

Figura 5.8
Velocidad angular

Cuando un de estas velocidades angulares en conocida, la otra puede determinarse gráficamente.
La construcción queda indicada en la Fig. 5.8. Supongamos que ω2/1 es conocida y que ω3/1 se
tienen que determinar. Tracemos O31L perpendicular (o a cualquier ángulo conveniente) a O31
O21 con una longitud que represente a ω2/1. Unamos LO23 y alarguemos esta líneas hasta
encontrar O21M, paralela a O31L. Por triángulos semejantes,

O21M = O23O21 = ω3/1
O31L O23O31 ω2/1


Por lo tanto, O21M representa a ω3/1 a la misma escala que O31L representa a ω2/1.
Cuando O23 cae entre O21 y O31 los cuerpo 2 y 3 giran en sentidos opuestos; pero cuando cae en
la misma extensión de O21 O31, hace que los cuerpos 2 y 3 giren en el mismo sentido.
Ejemplo. Las fig. 5.9 muestran el mismo mecanismo de manivela, biela y corredora en dos
posiciones. En cada caso, considerando que la velocidad angular de la manivela 2(ω2/1) es
conocida, encontrar gráficamente la velocidad angular del eslabón 4(ω4/1).

Figura 5.10
Ejemplo de velocidad
angular

(a)
a (b)

Construcción. Encuentren los tres centro instantáneos de los eslabones 1, 2 y 4. Estos centros
coinciden sobre una misma línea recta según el teorema de Kennedy. Dibujemos el triángulo
LO41O24 en el cual O41L, perpendicular a O41O24, representa la velocidad angular conocida ω4/1
requerida.

5.4 Método de imagen

Consideraremos ahora un método gráfico para determinar las velocidades y aceleraciones de
puntos en los mecanismos, el cual ha probado tener una aplicación muy amplia y una
importancia práctica muy considerable. Este método generalmente conocido como el “método
de imagen”, esta descrito en Kinematik del profesor Burnester. La construcción en un diagrama
de aceleración, comúnmente requiere la determinación anterior de cierta velocidades; por esto
discutiremos en primer lugar este último problema.


5.4.1 La imagen de velocidad

Si hay dos puntos A y B sobre un cuerpo con movimiento coplanario, entonces la velocidad
absoluta de B es igual a la suma vectorial de la velocidad absoluta de A y la velocidad
relativa de B con respecto a A. El método “imagen de velocidad” esta basado en lo
anteriormente establecido. Expresado vectorialmente :
VB = VA + VB/A
Consideremos un eslabón como el ilustrado en la Fig 5.11a, pivoteando en O y conteniendo tres
puntos A, B y C y girando en el sentido de la manecillas del reloj, con una velocidad angular ω.
La velocidad del punto A es conocida y enunciada por el vector VA. Se desea conocer la
velocidad de los puntos B y C . Esto, desde luego , puede efectuarse según el método del Art.
5.1, pero esta discusión está basada en el principio esbozado en el párrafo anterior.

Figura 5.11
Imagen de velocidad

Mientras el eslabón gira, el punto B gira alrededor del punto A Con la misma velocidad angular
(en ambas magnitud y dirección ) mientras A gira alrededor del pivote O. Esto se ilustra en la fig.
5.11b donde el eslabón es trasladado a través de 90° en relación a su posición en la fig. 5.11a.
Debe tomarse en cuenta que B ahora esta debajo de A mas bien que su propia derecha, en otras
palabras, ha girado alrededor de A a través del mismo ángulo que A ha girado alrededor de O.
Esto se puede aclarar marcando las letra en un pedazo de papel el cual representa el eslabón y
pivoteándolo entre los dedos en el punto O. Para la posición ilustrada en la Fig. 5.11a, la
velocidad del punto B relativa al punto A está en un dirección vertical.


Empleando este hecho y los principios básicos establecidos arriba podemos trazar el diagrama
de imagen de velocidad, ilustrado en la fig. 5.11c. Las líneas sobre este diagrama están
enumeradas en el mismo orden en que fueron trazadas. Una tabla explicativa indica la dirección
de las líneas y lo que estas representa, se muestra en la fig. 5.11d. Del punto considerado o
“polo” o, trazamos la línea oa perpendicular a OA, representando VA(igual a ωOA) a cualquier
escala de velocidad conveniente . La velocidad relativa de B hacia A (VB/A), actúa en un
dirección perpendicular a AB. La velocidad absoluta tiene una dirección perpendicular a una
línea desde B hasta O. De ahí , desde el polo o , tracemos la línea 3 perpendicular a la línea
OB de la Fig. 5.11a. Esta encuentra la línea 2 en el punto b, y ob representa la velocidad
absoluta del punto B en la misma escala que oa representa la velocidad del punto A. También,
ab, o la línea 2 en la fig. 5.11c, representa a la misma escala la velocidad del punto B relativo al
punto A . Nótese que ba es la velocidad del punto A relativo al punto B; en otras palabras, tienen
la misma magnitud pero en dirección opuesta.
Si el proceso se continúa por el trazo de la líneas 4,5 y 5 como fue esbozado en la tabulación
(fig. 5.11d) encontramos todas las velocidades absolutas y relativas. Se debe observar que
solamente es necesario calcular o conocer una velocidad, y el resto se determina por la dirección
de varias líneas. Esto es cierto, ya que la velocidad angular del eslabón es la misma para todos los
puntos alrededor de unos de otros, como se ha mostrado arriba. También debe notarse que el
diagrama es geométricamente similar al eslabón original, pero girado en la dirección de rotación
a través de 90°. Por lo tanto, si el eslabón original es girado 90° y la escala de velocidad se
elige el eslabón original es girado 90°, y la escala de velocidad se elige en forma adecuada,
automáticamente tenemos el diagrama de velocidad.
Debe notarse que cualquier línea que se origina en el polo o es una velocidad absoluta
(es decir, relativa al eslabón fijo), mientras las líneas entre los otros dos puntos representan
la velocidad de uno de estos punto relativos al otro.
Ejemplo. En la cadena cuadrangular de la Fig. 5.12a, el eslabón AB gira con una velocidad
angular constante ω2/1. Se requiere encontrar las velocidades absolutas de los puntos B, C y E en
el eslabón adjunto. La velocidad del punto B se puede calcular, ya que es igual a ω2/1 AB.
Además actúa en una dirección perpendicular a AB. Esta velocidad la trazamos a alguna escala
conveniente como la línea 1 del polo o en la fig. 5.12b. el movimiento del punto C relativo a B
es un una dirección perpendicular a BC; por eso desde b, trazamos la línea 2 en esa dirección.


Figura 5.12
Ejemplo imagen de velocidad

La velocidad absoluta del punto C es una normal al eslabón CD; entonces trazamos la línea 3
desde el polo o perpendicular a CD para intersectar la línea 2 en c. De esta forma la línea 3 o sea
oc, es la velocidad absoluta del punto C, de donde la línea 2, o sea bc, es la velocidad del punto
C relativo al punto B.
La velocidad del punto E relativo a C es perpendicular a una línea CE y se traza desde el punto c
(línea 4), mientras que la velocidad del punto E relativa a B es perpendicular a una línea BE y es
proyectada desde el punto b (línea 5), la intersección de las líneas 4 y 5 localiza el punto e. Una
línea desde o hasta e nos da la velocidad absoluta del punto E (línea 6). La dirección de la
velocidad del punto E se puede cotejar localizando el centro instantáneo O31.
La línea 6 debe de ser perpendicular a una línea desde su centro hasta el punto E. Los número en
las líneas de la imagen indican el orden en que fueron trazadas, y la tabulación da su dirección y
significado.


5.4.2 Imagen de aceleraciones

Esta basada en el mismo principio general referente a las aceleraciones y su construcción es
similar a la de las imágenes de velocidad antes mencionadas. Se puede establecer como sigue:
Para dos untos A y B en un cuerpo con movimiento coplanario, la aceleración absoluta de
B es igual a la suma vectorial de la aceleración absoluta de A y la aceleración de B relativa a
A. Expresado vectorialmente:
aB = aA + aB/A
El punto P (Fig. 5.13) sobre un cuerpo en movimiento alrededor del centro instantáneo O, está
sujeto a una aceleración tangencial at que actúa tangencialmente al movimiento y una
aceleración normal an que actúa hacia el centro de curvatura, de donde siendo ω y α
respectivamente, la velocidad angular y la aceleración angular del punto P. La distancia PB
representa la aceleración a y es igual a la suma vectorial at y an.

Figura 5.13
Vector aceleración

Si el punto O es un punto fijo, entonces PB es la aceleración absoluta del punto P. Si, de
cualquier forma, los dos P y O están en movimiento, entonces PB es la aceleración relativa de P
con respecto a O.
En la fig 5.14a, que es semejante a la Fig. 5.11a, excepto en que el punto C se ha omitido, A y B
son dos puntos en un cuerpo que tienen velocidad angular ω conocida y aceleración angular α y
además está pivoteando en el punto fijo O. Se desea encontrar la aceleración absoluta de los
puntos A y B.


Figura 5.14
Imagen de aceleración

Calculamos el valor de ω2OA, la aceleración normal del punto A y desde el polo supuesto o´
trazamos la línea 1ó sea oá´1, paralela a OA que representa esta aceleración a alguna escala
conveniente de aceleración.
Entonces calculamos el valor de αOA, la aceleración tangencial de A; y desde a´1 trazamos la
línea a´1a´, o sea la línea 2´, perpendicular a AO que representa esta aceleración. Unimos o´ y a´
para obtener la línea 3´. Entonces oá´ representa la aceleración total y absoluta del punto A.
La aceleración relativa del punto B hacia el punto A debe de localizarse en seguida. Para esto se
requiere el cálculo de la aceleración normal (ω2AB) y tangencial (αAB). Empezando desde a´
trazamos las líneas 4´ y 5´, o sean a´b1 y b´1b´ paralela y perpendicular BA respectivamente. Si el
punto b´ se une con el polo o´ la línea o´b´, o sea la línea 7´, representa la aceleración absoluta
del punto B. La línea 6´ trazada desde a´ hasta b´ representa la aceleración total relativa del
punto B con relación al punto A. Una tabulación, semejante a la empleada para la imagen de
velocidad, se ilustra en la fig. 53.14c para ayudarnos a visualizar el procedimiento.
Si consideramos únicamente las línea sólidas 3´, 6´ y 7 ´, se distinguen dos factores. El primero
es que la imagen de aceleración es semejante a la imagen de velocidad, ya que estas líneas
corresponden a las líneas 1,2 y 3 de la fig. 5.11c y clarifican lo establecido al principio de este
artículo, el segundo es que el triangulo formado por estas líneas es similar a aquel formado por
los puntos OAB en la Fig. 5.14a. Este se encuentra girando hacia enfrente en la dirección de la
velocidad angular, a través de un ángulo de (90 + tan-1ω2/α). El hecho de que las dos figuras
sean semejantes es la base para emplear el término”imagen” en el nombre de la construcción y
que se pueden emplear para cotejar.


En la construcción del diagrama de aceleración se debe tener cuidado de asegurarnos que el
vector de la aceleración normal para cada punto sea trazado en una dirección hacia el otro
punto al cual se refiere la aceleración y no separándose de él. Le línea de aceleración tangencial
se debe trazar en la dirección opuesta a aquella de la velocidad del punto si la aceleración angular
es de carácter negativo, esto es, cuando la velocidad angular va decreciendo. Entonces, en la fig.
5.14 si α es negativa o en sentido opuesto a ω entonces a´1a´ se debe dibujar en una dirección
inversa a la mostrada en la figura.

5.4.3 Construcción gráfica de la aceleración normal

Cuando la velocidad de un punto relativa a un segundo punto en un mismo cuerpo es conocida, y
también su distancia al otro punto, entonces la aceleración normal relativa se puede encontrar
gráficamente.
En la fig. 5.15, sea AO la distancia (S) entre los puntos A y O a una escala de 1 cm = k m.
También permitámonos que AB a 90° con AO representen la velocidad (VA/O) a una escala de 1
cm = m m/seg de este modo S = kAO m y VA/O = mAB m/seg, donde AO y AB son unidades en
cm.
Ahora la aceleración relativa normal de A hacia O es
(VA/O)2 = (m AB)2 = m2(AB)2
S kAO kAO

Figura 5.14
Método gráfico
aceleración normal

En la fig. 5.14 trazamos BC perpendicular a BO, encontrando OA y alargándola hasta C. Por los
triangulo semejantes CAB y BAO.


CA = AB o CA = (AB)2
AB AO AO

La aceleración normal de A es por lo tanto igual a (m2/k)CA. En otras palabras CA representa la
aceleración a una escala de 1 cm = n m/seg2 de donde n = m2/k o sea m = √ kn .
Ejemplo 1. en el mecanismo de corredera, biela y manivela de la fig. 5.15 a la velocidad angular
de la manivela AB es constante e igual a ω. Encontrar la aceleración de los tres puntos B, C y D
en la biela.

Figura 5.15
Ejemplo 1. Mecanismo de corredera, biela y
manivela, cálculo de aceleración

Consideramos primero el diagrama de velocidad, puesto que se necesita en la construcción del
diagrama e aceleración.
Para que sea posible encontrar las aceleraciones normales por el método gráfico acabado de
esbozar, la escala para el diagrama de velocidad deberá ser 1 cm = √kn unidades de velocidad.


Generalmente es más conveniente ajustar los valore apropiados para las escalas de
desplazamiento y aceleración y después calcular la escala de velocidad.
El punto B se mueve perpendicular con respecto a AB con una velocidad de ωAB, la cual
debemos calcular. El punto C tiene una velocidad absoluta a lo largo de CA y su velocidad
relativa hacia B en una dirección normal con respecto a BC. Con esta información podemos
dibujar el triangulo obc en la fig. 5.15b, según las líneas 1, 2 y 3. La velocidad del punto D
relativa a C es perpendicular a la línea CD, mientras que la del punto D relativa al punto B es
normal a la línea BD. Trazamos estas líneas en la parte b de la figura según las líneas 4 y 5 y
por su intersección localizamos el punto d. La línea 6 desde el polo o hasta el punto d nos da la
velocidad absoluta del punto D. Una tabulación explicando el significado de las líneas se ilustra
en la Fig. 5.15c. Habiendo determinado las diferentes velocidades ahora estamos en posibilidad
de trazar los diagramas de imágenes de aceleración.
El polo o´ es el punto de partida para el diagrama de aceleración, que debe ser dibujando a doble
escala para mayor claridad. El punto B no tienen aceleración tangencial, ya que se considera que
la biela AB tienen un movimiento de velocidad angular constante . De ahí que, su aceleración
total es una normal, igual a ω2AB que actúa hacia A. El valor de esta cantidades encuentra
gráficamente dibujando AM normal hacia AB e igual en distancia con ob, o sea la línea 1 del
diagrama de imagen de velocidad. Terminando la construcción del triángulo recto, obtenemos la
distancia AM igual a V2B/AB o sea ω2AB . En el diagrama de aceleración la línea 1ó sea o´b´,
se traza dos veces la distancia de AN en una dirección paralela a BA.
El punto C tendrá aceleración normal y tangencial con relación al punto B. La aceleración normal
de C con relación B queda indicada por el triangulo CKL, de donde BK tiene igual distancia a la
línea 2, o esa VC/B y BL es la aceleración normal relativa. Esta última se traza a doble escala
desde el punto b´ mediante la línea 2´, paralela a BC. La aceleración tangencial de C relativa a B
actuara normalmente hacia BC y se traza en una distancia infinita mediante la línea 3´.
La aceleración absoluta del punto C debe de ser horizontal, ya que su movimiento está limitado
en esa dirección, de ahí que la línea 4´ es trazada desde el polo o´ encontrado la línea 3´ hasta c´.
La aceleración del punto C, es entonces la línea 4ó sea oć´.
Efectuando una construcción similar, podemos establecer la aceleración del punto D relativa al
punto B. El triangulo recto BQR, empleando la línea 5, o sea bd, de la imagen de velocidad, nos
da RD, la aceleración normal del punto D relativa al punto B. Esta se traza a doble escala


partiendo de b´ mediante la línea 5´. La aceleración tangencial de D relativa a B es perpendicular
a ésta y la trazamos con la línea 6´.
Nuevamente la aceleración absoluta del punto D relativo a C, se encuentra por el triangulo DST
empleando la línea 4, o sea cd, de la imagen de velocidad como CT. Esta distancia se mede a
doble escala desde c´ como la línea 7´. La aceleración tangencial de D relativa a C es
perpendicular a ésta y la trazamos como la línea 8´.
La intersección de las líneas 6´y 8´ nos localiza el punto d´ y o´d´ o sea la línea 9´ es la
aceleración absoluta del punto D. La aceleración total relativa de C hasta B es la línea 10´
trazada desde c´ hasta b´; desde D hasta B es la línea 11´ trazada desde d´ hasta b´; desde D hasta
C es la línea 12´ trazada desde d´ hasta c´.
Obsérvese que el triangulo b´c´d´, es semejante al triangulo BCD. Considerando únicamente las
líneas llenas de la fig. 5.15d, se puede ver que se aplican los principios básicos de los
diagramas de imagen de aceleración; en otras palabra , la aceleración del punto D (línea 9´) es
igual a la suma vectorial de la aceleración absoluta del punto B (línea 1´) y la aceleración del
punto D relativa al punto B (línea 11´). Un resumen semejante se puede hacer con la relación a
los puntos D y C.
Una tabulación dando la dirección el sentido de las diferentes líneas del diagrama de imagen de
aceleración se ilustra en la fig. 5.15e.
Ejemplo 2. La fig. 5.16 muestra a el mecanismo de un leva con un rodaja que esta pivoteada. El
perfil de la leva tiene la forma de un arco circular con centro en B. Se requiere encontrar la
velocidad angular y la aceleración angular de la rodaja, tomando en cuenta una velocidad angular
constante de la leva.

Figura 5.16 Ejemplo 2
Mecanismo de leva con rodaja pivoteada,
cálculo de aceleración


La distancia BC desde el centro de curvatura del perfil de la leva hasta el centro de la rodaja en
constante. De ahí que el mecanismo equivalente es el de un cuadrilátero articulado con los
eslabones AB, BC, CD, y DA (fijo).
El triángulo de velocidad obc tienen sus catetos respectivos perpendiculares con AB, BC y CD.
La distancia ob es igual a ωAB de donde ω es la velocidad angular del excéntrico. La distancia
oc representa la velocidad de C. La velocidad angular de la rodaja es igual a oc/CD donde oc está
expresada en unidades de velocidad y CD es la distancia real del brazo.
Para el diagrama de aceleración, las líneas se dibujan en el orden ilustrado por las figuras en el
diagrama, empezando desde el polo o´. Las dos tablas en la figura indican la dirección y el
significado de cada línea trazada.
Las tres aceleraciones normales o´b´, bć´1, y oć´2 que corresponden a las líneas 1´2ý 4´
respectivamente, su pueden calcular o localizar gráficamente. En el último caso las escalas de
desplazamiento, velocidad y aceleración deben de conservar la relación indicada en el art. 4.8
Las líneas de la imagen de aceleración se trazan en el orden indicado por la numeración. La
localización del punto c´ es la intersección de las líneas 1´2ý 4´ respectivamente, se pueden
calcular o localizar gráficamente.
En el último caso las escalas de desplazamiento, velocidad, y aceleración deben de conservar la
relación indicada en el Art. 5.4.3.
Las líneas de la imagen de aceleración se trazan en el orden indicado por la numeración.
La localización del punto c´ es la intersección de las líneas 3ý 5´. La aceleración angular
requerida de la rodaja es igual a la aceleración tangencial de C, la cual esta representada por
c´2c´ o sea la línea 5´, dividida por la distancia actual de CD.
Ejemplo de resumen. Para ilustrar los diferentes métodos para encontrar velocidades y
aceleraciones descritos en este capítulo, consideraremos el mecanismo de seis eslabones ilustrado
en la Fig. 5.17a, en el cual todos los centros instantáneos han sido localizados. La velocidad del
punto R queda indicada por el vector VR y se desea conocer: la velocidad del punto T mediante
(a) el método eslabón-a-eslabón (b) el método directo, o línea-de-centros (considerando R como
un punto en el eslabón 2 y T como un punto en el eslabón 6) (c)el método de resolución y (d) el
método imagen de velocidad. (e) Si la velocidad angular del eslabón 2(ω2/1) se representa por
una línea de 1 cm de largo, se desea encontrar las velocidades angulares correspondientes a los


eslabones 3 y 4 . (f) Considerando que la velocidad del punto R es constantes en magnitud ( esto
es, ω2/1 es constante), se desea encontrar la aceleración del punto T por imagen de aceleración.

(a) Método eslabón-a-eslabón. Los dos puntos R y S se encuentran en el eslabón 3 y por esto
giran alrededor del centro de pivoteo O31. En la Fig.5.17a, el punto R es girado alrededor de O31
hasta el eslabón 4, y se traza el triángulo O31GS para encontrar la velocidad de S. Los dos puntos
S y T son puntos en el eslabón 5 y por esto giran alrededor del centro de pivoteo O51.

Figura 5.17a Ejemplo de resumen
Velocidades métodos: eslabón - eslabón y directo

El punto T se transporta alrededor de O51 hasta la extensión del eslabón 4, y el triángulo O51HT´
es trazado para encontrar la velocidad V´T. Este vector se trasporta de regreso alrededor de O51
hasta el punto T, obteniéndose la velocidad T.

(b) Método directo o línea de centros. Considerando R como un punto en el eslabón 2 y T como
un punto en el eslabón 6, los tres centros instantáneos que se emplearán serán O21, O26 y O61.
Estos se localizan en la fig. 5.17a. Los puntos R y el centro instantáneo O26 son dos puntos en el


eslabón 2 y por esto giran alrededor del centro de pivoteo O21. El vector VR entonces es
trasportado alrededor de O21 a través de una línea O21O26, y el triángulo O21O26J es trazado para
encontrar la velocidad de O26. Esto entonces se debe relacionar de una manera semejante para el
punto T.
De cualquier forma el centro de pivoteo O61 está en el infinito, lo que quiere decir que cualquier
punto sobre el eslabón 6 tienen la misma magnitud y dirección de velocidad. Por lo tanto la
velocidad de O26, un punto en el eslabón 6, es igual a la velocidad de T, y el vector es
simplemente transferido al punto T.

(c) Método por resolución. La velocidad de VR del punto R se puede dividir en dos
componentes; una sobre el eslabón 3, la cual llamamos V1 y la otra perpendicular a este eslabón
como está indicado en la fig. 5.17b. La componente sobre el eslabón debe de ser igual en los dos
extremos y de esta forma queda ilustrado como V´1 en el punto S. Desde el extremo de la
componente V1 en S, se traza una línea normal al eslabón 3 que representa al otro componente.
Donde intersecta la velocidad resultante del vector S, que es perpendicular al eslabón 4, se
determina la velocidad de S.

Figura 5.17b
Ejemplo de resumen
Velocidades métodos: por
resolución y de imagen


Repitiendo esto, la velocidad resultante de S se puede dividir dos componentes, una sobre el
eslabón 5, la cual le llamamos V2 , y la otra perpendicular al eslabón 5. La componente a lo
largo del eslabón debe se ser igual en ambos extremos y por esto también e lustra en el punto T
como V´2. La velocidad absoluta del punto T debe de ser horizontal, ya que es en la única
dirección en el cual se puede mover. Trazamos una normal en la punta del vector V´2 y su punto
de intersección con la horizontal trazada desde el punto T nos de la magnitud de la velocidad de
dicho punto T, o sea VT .

(d) Método de imagen de velocidad. Empezando desde el polo o (fig.5.17b) la velocidad
conocida del punto T se traza perpendicular al eslabón 2. La velocidad del punto S relativa a R es
en una dirección perpendicular a la línea RS , o sea el eslabón 3. Por lo tanto, desde r en el
diagrama trazamos la línea 2 perpendicular al eslabón 3. La velocidad del punto S es un una
dirección perpendicular al eslabón 4. Como la velocidad de S es absoluta por naturaleza, o sea
relativa al eslabón fijo, trazamos la línea 3 desde el polo o perpendicular al eslabón 4. La
intersección de las líneas 2 y 3 nos localiza los puntos s; y os, o sea la línea 3, es la velocidad del
punto S.
La velocidad del punto T relativa a S es un una dirección perpendicular al eslabón 5, por esto la
línea 4 se dibuja desde s, normal ala eslabón 5. La velocidad del punto T debe e horizontal.
Puesto que es relativa al eslabón fijo, se traza desde el polo o. La intersección de las líneas 4 y 5
determinan el punto t; y ot, o sea la línea 5, representa la velocidad del punto T.

(e)Velocidades angulares. Para localizar la velocidad angular del eslabón 4, conociéndola la
velocidad angular del eslabón 2, se emplean tres centros, a saber O21,O24 y O41. La línea que
representa la velocidad angular del eslabón 2 se proyecta en O41 (Fig.5.17c) y se dibuje el
triángulo O24O41K. En O21 se traza una línea paralela a la línea que representa ω2/1 hasta
encontrar la hipotenusa de este triángulo. La distancia de esta línea representa ω4/1 a la misma
escala que la primera línea. O41K representa ω2/1.

Figura 5.17c Ejemplo de resumen
Velocidades angulares e imagen de aceleración


Para encontrar la velocidad angular del eslabón 3, conociendo la velocidad angular del eslabón 2,
los tres centros que se deben emplear son O31, O23 y O21. Se dibuja en O31 la línea O31L que
representa la velocidad angular del eslabón 2, y entonces se construye el triangulo O23O31L.
Desde O21 se traza una línea paralela a O31L que representa ω3/1.
(f) Imagen de aceleración. Las velocidades absolutas y relativas necesarias en el dibujo de este
diagrama, se toman del diagrama de imagen de velocidad de la fig. 5.17b. Como se considera la
velocidad del punto R una constante, solamente tiene aceleración normal. Se encuentra que su
magnitud es BR por el triángulo recto ABO21. (Véase Fig. 5.17c). La imagen de aceleración se
traza a triple escala para su mayor claridad; por esto esta distancia se traza desde el punto o´
paralela al eslabón 2 tres veces mas grande para obtener el eslabón 1´ o sea o´r´.
El punto S tendrá aceleraciones normales y tangenciales relativas al punto R. La aceleración
normal se encuentra trazando la línea 2 de la imagen de velocidad en S; y la distancia CS, se
localiza por la construcción del triángulo rectángulo, trazándola a triple escala desde r´ paralela
al eslabón 3 para obtener la línea 2´. La aceleración tangencial de S relativa a R es perpendicular
a esta línea y es marcada 3´.
La aceleración absoluta del punto S relativa a la tierra es la suma vectorial de las aceleraciones
normales y tangenciales. Si empleamos la línea 3 de la imagen de velocidad en el punto S la
distancia SD es la aceleración normal de S relativa al eslabón fijo 1. Como éste es un valor
absoluto, se proyecta a triple escala desde el polo o´ paralelo al eslabón 4, mediante la línea 4´.
La aceleración tangencial de S relativa a la tierra es una normal al eslabón 4 y se traza como la
línea 5´. La intersección de las línea 3´ y 5´ localiza s´. La línea 6´ desde el polo o´ hasta s´
representa la aceleración absoluta del punto S.
El punto T tiene ambas aceleraciones, normal y tangencial, relativas al punto S. Colocando la
línea 4 de la imagen de velocidad en el punto T y dibujando el triángulo recto obtenemos TE
como la aceleración normal de T relativa a S. Esta se proyecta a triple escala como la línea 7´,
desde s´ y paralelamente al eslabón 5. La aceleración tangencial es perpendicular a ésta y queda
ilustrada como la línea 8´. Cualquier aceleración absoluta de la corredera 6, o se a el punto T,
debe ser horizontal. De ahí que la línea 9´, se dibuja desde el polo o´ hasta intersectar la línea
8´en t´. La línea 9´o sea o´t´ es la aceleración absoluta del punto T. La tabulación mostrada en la
Fig. 5.17c resume los pasos acabados de esbozar.


5.5 Aceleración Coriolis

El método de imagen para determinar aceleración es aplicable únicamente para localizar puntos
en un cuerpo rígido. Con referencia al mecanismo de cuadro articulado de la fig. 5.18a, podemos
escribir la ecuación vectorial.

aQ/1 = aP/1 + aQ/P = an P/1 + at P/1 + anQ/P + atQ/P

Escribiendo esta ecuación que es la base para la imagen de aceleración, estamos tratando
únicamente con puntos localizados en el eslabón rígido 3.
Ocasionalmente surgen problemas en los cuales es necesario encontrar la aceleración de puntos
que no están en el mismo cuerpo rígido. Para tales problemas es necesario emplear la ley de
Coriolis. Para ilustrarla, supongamos que el punto Q sobre el cuerpo 3, se esta moviendo a lo
largo de una trayectoria curva CD sobre el cuerpo 2, conforme el cuerpo 2 gira alrededor del
punto O (Véase fig. 5.18b). El punto P sobre el cuerpo 2 en el instante considerado se encuentre
directamente debajo del punto Q; en otras palabras, es coincidente con él. El radio de curvatura
de la trayectoria CD, es R. La aceleración del punto Q relativa al punto P queda indicada por la
ecuación vectorial:

Figura 5.18.
Aceleración de Coriolis

La aceleración normal de Q relativa a P, que cambie la dirección de la velocidad relativa V Q/P es
an Q/P = V2Q/P / R = Rω23/2 y actúa sobre el centro de curvatura A de la trayectoria CD, que Q


proyecta sobre el cuerpo 2. Si no hay cambio en la dirección de VQ/P, el radio R está en el
infinito, y la aceleración normal relativa es igual a cero. La dirección de la aceleración tangencial
de Q relativa a P, que cambia la magnitud de la velocidad relativa VQ/P es paralela al vector VQ/P
y actúa en la dirección α3/2 . La dirección de la acción del vector Coriolis 2VQ/Pω2/1 se encuentra
por la rotación de 90° del vector VQ/P y actúa en la misma dirección como ω2/1. Si la aceleración
del punto P en el cuerpo 2 es conocida o se puede localizar, la aceleración del punto Q entonces
nos es dada por la ecuación vectorial:
aQ/1 =aP/1 + aQ/P = anP/1 + atP/1 + anQ/P + atQ/P + 2VQ/P ω2/1

En algunos casos no coinciden los puntos en los cuerpos. Entonces es necesario para propósitos
de análisis, considerar que uno de los cuerpos se extienda para obtener un punto coincidente. Los
principios acabados de esbozar, y el concepto físico de la acción que está sucediendo, se puede
entender más fácilmente con la ayuda de algunos ejemplos.
Ejemplo 1. Para el primer ejemplo consideremos un caso que se puede resolver por ambos
métodos, el de la imagen de aceleración y de la ley de Coriolis. Consiste en la determinación de
la aceleración del peso B en un regulador de inercia. El peso oscila al final del brazo 3 acoplado
al volante 2 en el punto A, como está ilustrado en el diagrama de la fig. 5.19a.

Figura 5.19. Ejemplo 1 de aceleración de Coriolis


Tómese en cuenta que en el instante considerado, el punto B en el eslabón 3 (B3) tiene una
velocidad angular de ω3/1 de 8 rad por seg en una dirección contraria a las manecillas del reloj
alrededor del punto A y una aceleración angular α3/1 en sentido contrario de las manecillas del
reloj de 50 rad por seg2 alrededor del punto A. El volumen 2 en este instante tienen una velocidad
angular ω2/1 de 12 rad por seg en el sentido de las manecillas del reloj, y una aceleración angular
en el sentido de las manecillas del reloj de α2/1 = 40 rad por seg2. El punto B coincidente en el
volante, o sea en el eslabón 2, se designará como B2.
Antes de determinar la aceleración del punto B3 es aconsejable entender claramente la acción.
Debe de tomarse en cuenta que la velocidad lineal y la aceleración del punto B3 relativa al punto
B2, no es la misma que la de B3 relativa al punto A. La velocidad de B3 relativa a A es igual
a ABω3/1. Como el brazo y todos los puntos sobre el volante están girando alrededor de O, con
una velocidad angular de ω2/1 la velocidad de B3 relativa a B2 es, VB3/B2 = AB (ω3/1 ± ω 2/1) =
AB ω3/2. Si ω3/1 y ω2/1 giran en el mismo sentido, la velocidad angular neta ω3/2 es la diferencia
entre ω3/1 y ω2/1; si están en sentidos opuestos, la velocidad angular neta es la suma, y se emplea
el signo más. Similarmente, para las aceleraciones: atB3/A = ABα3/1, mientras que atB3/B2 =
AB(α3/1 ± α2/1) = ABα3/1. Si el volante 2 no girara es decir, si se encontrara estacionario o con un
movimiento de traslación, ω2/1 y α2/1 igual a cero, para que ambas VB3/A y VB3/B2 = ABω3/1 y las
dos atB3/A y atB3/B2 = ABα3/1.
En este ejemplo ω2/1=12 y ω3/1=8, y ambas actúan en sentidos opuesto; de donde
VB3/A=ABω3/1=1.5x8=12 pies por seg (3.65m por seg), y VB3/B2= AB(ω3/1+ω2/1)=1.5(8+12)=30
píes por seg. (9.14m por seg). En la misma forma para las aceleraciones: atB3/A = ABα3/1=1.5x
50=75 pies por seg2 (22.86m por seg2), y atB3/B2 = AB(α3/1+α2/1)=1.5(50+40)=135 pies por seg2
(35.15 m por seg2).
Empleando primero la familiar imagen de aceleración, escribimos la siguiente ecuación:


Estos vectores se trazan en orden en la parte b de la fig. 5.19 y sus direcciones se dan en la
tabulación suplementaria. La aceleración del punto B3 es la línea 5, la cual se mide como 30 pies
por seg2 (9.15m por seg2).
Si empleamos la ley de Coriolis, la Ecuación es:

Estos vectores se trazan con líneas punteadas en la parte de (b) de la fig. 5.19 y están marcados
con números con el índice (´); las direcciones se dan en la tabulación suplementaria. La
aceleración del punto B3 corresponden al valor de 30 pies por seg2 (9.15 m por seg2)
anteriormente encontrado. Debe observarse que la componente Coriolis de 2VB3/B2ω2/1 se traza
horizontalmente a la derecha, de acuerdo con la regla, y su dirección es localizada girando 90° el
vector VB3/B2 en la dirección de ω2/1.
Empleando este ejemplo como base, vamos ahora a investigar el significado físico de le
expresión de Coriolis aB3/B2 = anB3/B2 + atB3/B2 + 2VB3/B2ω2/1. Si momentáneamente consideramos
el eslabón 2 o la curva CD, fija, es evidente que al término anB3/B2 le favorece un cambio en
dirección de la velocidad 2VB3/B2 moviéndose a lo largo de la curva, mientras que al término
atB3/B2 le favorece el cambio en magnitud de este vector de velocidad. El componente Coriolis,
2VB3/B2ω2/1, esta basado en dos efectos que se suceden durante la rotación de la trayectoria. El
primero es que el vector de velocidad VB3/B2 está girando con una velocidad angular ω2/1; de
donde su dirección continuamente esta cambiando. La aceleración resultante es entonces
VB3/B2ω2/. El segundo efecto se ocasiona por el hecho que, como el punto B3 viaja hacia fuera a
lo largo de la curva CD, continuamente se esta acercando a un punto que tienen diferente
velocidad en magnitud o dirección del que acaba de dejar, obteniendo una segunda aceleración de
VB3/B2ω2/.


5.5.1 Procedimiento general para resolver problemas por la Ley de Coriolis

Para esbozar el procedimiento general que debe seguirse para resolver un problema por la ley de
Coriolis, consideraremos que es conocida la aceleración de todos los puntos en el cuerpo 2, y que
la aceleración en un punto en el cuerpo 3 es la requerida.
a) El primer paso es seleccionar un par de puntos coincidentes P2 y P3 en los dos cuerpos , o en
la extensión de los cuerpos (de ser necesario, crecer imaginariamente la superficie de un eslabón),
cuyo movimiento es conocido o fácilmente determinable.
b) Consideraremos el cuerpo 2 como fijo y localizaremos la trayectoria del punto P3 en él y
después consideraremos el cuerpo 3 como fijo y encontraremos la trayectoria del punto P2 en él.
Si los puntos coincidentes han sido seleccionados apropiadamente, una de estas trayectorias
deberá ser una línea recta o un arco circular cuyo radio de curvatura es conocido. Este es el
movimiento que se deberá emplear y en esta forma se podrá escribir la ecuación de Coriolis.
c) Si P3 proyecta un arco circular o una línea recta sobre el cuerpo 2 que se considera fijo,
podemos escribir la ecuación como:
aP3/1 = an P3/1 + at P3/1
= a P2/1 + a P3 / P2 = a P2/1 + at P2/1 + anP3/P2 + atP3/P2 + 2 VP3/P2 ω2/1
n

Si P2 proyecta un arco circular o una línea recta sobre el cuerpo 3 que se considera fijo, podemos
escribir la ecuación como:
aP2/1 = an P2/1 + at P2/1
= a P3/1 + a P2 / P3 = a P3/1 + at P3/1 + anP2/P3 + atP2/P3 + 2 VP2/P3 ω3/1
n

Nótese que el “denominador” de los términos subscritos en las expresiones de la aceleración
relativa, se refieren al cuerpo considerado temporalmente como el fijo; y que el subscrito de la
expresión ω también es la del cuerpo temporalmente considerado como el fijo, relativo al
eslabón que es realmente fijo.
d) Las magnitudes y/o direcciones para cada expresión se determinan entonces (algunas
magnitudes podrán ser iguala cero), y se traza el diagrama vectorial. La secuencia del trazo de
las líneas no necesitan seguir el orden dado en la ecuación; generalmente aquellas líneas cuya
magnitud es desconocida se dibujan hasta el final. En cualquiera de las ecuaciones la
n t
aceleración absoluta es igual a la suma vectorial de a + a y por eso deberán dibujarse en
sucesión.


Ejemplo 2. Para el segundo ejemplo vamos a considerar un caso que puede ser resuelto
únicamente empleando la ley de Coriolis. Esto se ilustra en la fig. 4.20a, donde tenemos una leva
girando a una velocidad angular constante de 20 rad por seg. en dirección contraria a las
manecillas del reloj. Una cara plana de la leva está en contacto con una rodaja, y se desea
determinar la aceleración de la rodaja en la posición indicada.


Para obtener los puntos coincidentes es necesario para el análisis, imaginemos que la leva
(eslabón 2) se ha extendido hasta incluir el centro de la rodaja de la varilla (eslabón 3) por tanto
tenemos otra vez los puntos coincidentes B2 y B3 en los eslabones 2 y 3 respectivamente. La
traza del punto B3 en el eslabón 2 será una línea recta paralela a la cara de la leva; en otras
palabras, si consideramos el excéntrico fijo y la varilla girando alrededor de la cara plana, su
centro B3 proyectará una línea recta paralela a la cara de la leva, como queda ilustrado por la
línea punteada.
El triángulo de velocidad se podrá dibujar ahora como está indicado en la fig. 5.20b. La velocidad
del punto B2 es igual a OBω2/1 = 6x20 =120 plg por seg (304.8 cm por seg); la dirección de la
velocidad B3 se conoce que es verticalmente hacia arriba, mientras que VB3/B2 es paralela a la
cara del excéntrico. Las líneas 2, o sea VB3/B2 y 3, o sea VB3 se proporcionan en la escala de 137


y 97 plg por seg (342.5 y 242.5 cm por seg), respectivamente. Empleando la expresión Coriolis
se puede escribir:
aB3/1 = an B3/1 + at B3/1
= a B2/1 + a B3 / B2 = an B2/1 + at B2/1 + anB3/B2 + atB3/B2 + 2 VB3/B2 ω2/1

Vamos a discutir estas expresiones por un turno: an B2/1 =OBω22/1 =6(20)2 = 2400 plg por seg2
(60.96 m por seg2), y actúa hacia abajo en una dirección paralela a OB; at B2/1= 0, ya que ω2/1 es
constante. anB3/B2 = 0, como la dirección de VB3/B2 está sobre una línea recta, o sea que el radio
este giro es infinito. Si la superficie del excéntrico fuese curva en el punto de contacto con la
rodaja, tendríamos que determinar su radio de curvatura R y emplear la ecuación anB3/B2 = V2B3/B2
/ R. La magnitud de atB3/B2 es desconocida, pero su dirección es paralela a la cara del excéntrico o
sea la trayectoria del movimiento de B3 relativa al eslabón 2. La componente Coriolis = 2 VB3/B2
ω2/1 = 2x137x20=5480 plg por seg2 (139.19m por seg2) su dirección es perpendicular a la
superficie del excéntrico y actúa hacia arriba y hacia la izquierda, es decir, en la dirección del
vector VB3/B2 girando 90° en la dirección de ω2/1. La aceleración del punto B3 debe de ser
verticalmente hacia arriba; por esto el diagrama se podrá trazar como queda indicado en la Fig.
5.20c. El punto b´3 cae en la intersección de las líneas 3´y 4´. La tabla suplementaria indica el
procedimiento. La distancia o´b´3 representa la aceleración del punto B3, y por lo tanto la de la
rodaja. Esta distancia en la escala es de 4300 plg por seg2 (109.22m por seg2).
Ejemplo 3. Para el último ejemplo vamos a considerar el mecanismo mostrado en la fig. 5.21a en
que el eslabón 2 gira con una velocidad angular constante de 100 rmp en sentido contrario de las
manecillas del reloj. Se desea encontrar la aceleración del punto C en el eslabón 3. Empleando la
ley de Coriolis y considerando los puntos coincidentes B2 y B3 se puede escribir la ecuación:
aB3/1 = an B3/1 + at B3/1

Pero seria necesario conocer la trayectoria del punto B3 en el eslabón 2, que no es muy obvia. De
cualquier forma conocemos que la trayectoria del punto B2 en el eslabón 3 es una línea recta o
sea el mismo eslabón 3. Por esto podemos escribir la ecuación:
aB2/1 = an B2/1 + at B2/1



Como conocemos la velocidad del punto B2 y ésta es OBω2/1= (6/12) / (100 x 2π/60) = 5.23 pies
por seg (1.59 m por seg), dibujamos el polígono de velocidad en la Fig. 5.21b, resolviendo esta
velocidad en componentes paralelas y perpendiculares al eslabón 3. en la escala, estos valores
de polígono nos dan VB2/B3 como 4.2 pies por seg (1.28 mpor seg) y VB3/0´como 3.2 pies por seg
(0.97 m por seg) la velocidad angular del eslabón 3 es ω3/1 = V B3/O´ / O´B = 3.2 / (20/12) =1.92
rad por seg.
Consideremos ahora las expresiones de la ecuación de aceleración. No existe aceleración
tangencial del punto B2, en vista de que ω2/1 es constante. Por esto la aceleración total aB2/0 es
igual a la normal an B2/0 o sea OBω2 2/1 = (6/12)( 100 x 2π/60)2 = 54.8 pies por seg2 (16.7 m por
seg2). Actúa sobre O y es paralela al eslabón 2. La an B3/0´ = V2B3/0´ / O´B = 3.22 (20/12) = 6.14
pies por seg2 (1.87 m por seg2) paralela al eslabón 3 y actuando sobre 0’. La aceleración
tangencial del punto B3 es desconocida en magnitud, pero su dirección es perpendicular al
eslabón 3.
La aceleración normal del punto B2 relativa al punto B3 es igual a cero, ya que el movimiento es
una línea recta o sea el radio de curvatura en el infinito. La magnitud de la aceleración tangencial
del punto B2 relativa al punto B3 es desconocida pero la dirección es sobre el eslabón 3. El
componente Coriolis 2 VB2/B3 ω3/1 = 2x4.2x1.92=16.13 pies por seg2 (4.92 m por seg 2) y su
dirección está localizada por el giro del vector VB2/B3 , 90° en la dirección de ω3/1, o sea hacia la


izquierda. Este polígono queda mostrado en la Fig. 5.21c; la tabulación en la parte (d) de esta
figura explica el procedimiento. Las expresiones al margen derecho de la ecuación han sido
sumadas vectorialmente para igualarlas a la expresión (línea 1´) en el lado izquierdo. La
aceleración del punto B3 se encuentre a escala de la línea 6´ en la figura, y su valor es 26.5 pies
por seg2 (8.07 m por seg2). La aceleración del punto C se puede proporcionar, ya que la
aceleración está en proporción directa con el radio; o sea aC/1 = a B3/1 (O´C / O´B) = 26.5 (30/20)
= 39.7 pies por seg2 (12.1 m por seg2).
Conclusión. No era posible emplear el método imagen de aceleración en los últimos dos
ejemplos, ya que los puntos concernientes no se podían considerar que estuvieran en un eslabón
rígido. Fue necesario seleccionar un par de puntos coincidentes que se localizaran en diferentes
eslabones. Estos puntos tienen movimiento relativo, y la aceleración de este movimiento relativo
tuvo que localizarse.


CUESTIONARIO

5.1 Indíquese la relación entre velocidad lineal de dos puntos sobre un eslabón en movimiento
cuyo centro instantáneo es conocido.
5.2 Dos puntos se localizan en eslabones diferentes del mismo mecanismo y el centro
instantáneo de los eslabones es conocido. Cuando conocemos la velocidad de un punto ¿qué
propiedad del centro instantáneo se emplea para encontrar la velocidad del segundo punto?
5.3 En las figs. P5.3a hasta g, supóngase una velocidad conocida para el punto A y muéstrese
gráficamente como se localizan las velocidades de los puntos B, C. Márquese las posiciones para
todos los centros instantáneos empleados en las construcciones que se utilizan.

Fig. P5.3a

Fig. P5.3e

Fig. 5.3b

Fig. P5.3f

Fig. P5.3c

Fig. P5.3d Fig. P5.3g


5.4 En las figs. P5.3a, b, c, d, f, y g supóngase una velocidad angular conocida en el eslabón 2 y
localizase la velocidad angular del eslabón 3.
5.5 En las figs. P5.3a, b, c, considérese que el eslabón 2 gira a una velocidad angular constante y
conocida en el sentido de las manecilla el reloj. Empleando el método de imagen, muéstrese
gráficamente como se localizan (1) la velocidad lineal y (2) la aceleración lineal del punto B.
5.6 Empleando la Fig. P5.3d, encuéntrese, usando el método de imagen, la velocidad lineal y la
aceleración lineal del punto B, suponiendo que el eslabón 2 tienen una velocidad angular
conocida y constante en un sentido contrario a las manecillas del reloj.
5.7 a) En las figs. P5.7a hasta la d, supóngase una velocidad lineal conocida para el punto P y
muéstrese como localizar gráficamente las velocidades de los puntos Q y R..
b) en las figuras P5.7a hasta la d, considérese una velocidad angular conocida para el eslabón 2 y
muéstrese como obtener gráficamente las velocidades angulares de los eslabones 3 y 4.

Fig. P5.7a Fig. p5.7b Fig. P5.7c

Fig. P5.7d


5.8 En la figura P5.8 el eslabón 5 gira contra el eslabón 4 en una acción similar a la de una
leva, la velocidad del punto P en el eslabón 5 queda indicado por el vector Vp. Encuéntrese la
velocidad de los puntos R, S y P por (a) el método eslabón –eslabón (b) por el método línea
de centros, considerando P como un puntos en el eslabón 5 y los otros puntos en el eslabón 3
y (c) por el método de resolución (encuéntrese la magnitud y dirección de la velocidad del
punto T a partir únicamente de las velocidades de los puntos R y S).

Fig. P5.8

5.9 En las figs. P5.9a, b, y c la velocidad del punto R queda indicada por el vector VR
encuéntrese la velocidad del punto T por (a) el método eslabón-eslabón (b) el método línea
de centros, (c) el método por resolución, y d) el método de imagen; (e) si ω2/1 queda
representada por una línea de una pulgada de largo (2.54cm) localícese gráficamente ω3/1 y
ω4/1 (f) si la velocidad del punto R es constante, localícese la aceleración absoluta del punto T
por el método de imagen.
5.10 Considerando que la manivela OA del mecanismo de corredera, biela, y manivela
ilustrado en la fig. P5.10 se extiende hasta incluir el perno articulado B, encuéntrese la
aceleración de la corredera 4 empleando la ley de Coriolis. La manivela 2 gira a una
velocidad constante. Cotéjese el resultado, empleando el método de imagen de aceleración.
5.11 Empleando la ley de Coriolis localícese la aceleración angular de la varilla de pie plano,
pivoteada en forma de balancín, según la posición del mecanismo ilustrado en la fig. P5.9. La
leva gira en sentido contrario de las manecillas del reloj con una velocidad angular constante
de 15 radianes por segundo. Respuesta: 48.1 radianes por segundo2.


Fig. P5.9a

Fig. P5.9b Fig. P5.9c

Fig. P5.10

Fig. P5.11


5.12 encuéntrese la aceleración angular del eslabón 3 en el mecanismo mostrado en la Fig.
P5.12 por la ley de Coriolis, considerando que el eslabón 2 gira con una velocidad angular
constante de 100 rpm en sentido contrario de la manecillas del reloj.

Fig. P5.12

5.13 Dibújese un cuadrilatero articulado semejante al de la Fig. 5.18a. Considerando que el
eslabón 2 gira con una velocidad angular constante, localícese la aceleración del punto Q por
ambos métodos; el imagen de aceleración y por la ley de Coriolis. Para el segundo método
considere que el eslabón 2 se puede extender para incluir el punto Q.

CAPÍTULO 6

MECANISMOS DE CORREDERA, BIELA Y MANIVELA

6.1 Generalidades

Los usos del mecanismo de corredera, biela y manivela en sus diferentes formas son tantos
y tan importantes que ameritan una consideración cuidadosa. Se puede describir como un
mecanismo simple, de 4 eslabones con movimiento coplanario relativo entre sus
componentes, siendo tres pares de sus elementos rígidos y con pernos articulados y el cuarto
una corredera y guía que permite el movimiento rectilíneo relativo de un par de eslabones
adjuntos.
Las Fig. 6.1, 6.2 y 6.3 muestra un proceso del desarrollo del mecanismo de corredera, biela y
manivela desde el cuadrilátero articulado. La Fig. 6.1 ilustra un cuadrilátero articulado; la Fig.
6.2 muestra un dispositivo derivado de él alterando las superficies rígidas.

Figura 6.1
Cuadro articulado

Los pernos articulados entre el eslabón 4 y el 1 en la Fig. 6.1 han sido cambiado por un
taco o corredera y una guía circular ranurada en la Fig. 6.2, en todo caso, el radio medio
del eslabón ranurado 1 se construye con una longitud igual a la del 4 en el mecanismo
anterior, los movimientos de ambos en los eslabones correspondientes son idénticos. El
punto fijo material O41 sobre el cual el eslabón 4 se mueve con respecto a 1, en el
mecanismo del cuadrilátero articulado, queda reemplazado por el punto del pivoteo O41
imaginario en el mecanismo derivado de éste.

CINEMÁTICA DE LAS MÁQUINAS MECANISMOS DE CORREDERA, BIELA Y MANIVELA 114

Figura 6.2
Mecanismo con
taco o corredera y
guía circular

Si la cadena se continua alterando dando ala ranura en un radio infinito, para que O41 se
desplace hasta el infinito, se convierte en un tipo común del mecanismo de corredera,
biela y manivela como se ilustra en la Fig. 6.3.

Figura 6.3
Mecanismo de
corredera biela y
manivela

El mecanismo de corredera biela y manivela tiene cuatro eslabones y una de ellos puede ser
fijo, por consiguiente hay cuatro inversiones posibles que se describen a continuación.

6.2 Primera inversión. Cadena con par en deslizamiento

En este mecanismo mostrado en la fig. 6.3 el eslabón 1 se convierte en el miembro,
estacionario. Aplicado a las máquinas recíprocas , 1 es la bancada, 2 la manivela y la 3 la
biela. El eslabón 4 es el pistón en algunas máquinas que no tienen taco; en otras consta de
una cruceta, biela y pistón ya que estas partes se mueven como una sola pieza de material
rígido.
Se dice que el mecanismo está “descentrado” cuando (como en la Fig. 6.3) la línea recta xy,
que es la trayectoria del movimiento del punto B, no pasa por el punto A.
La manivela, en las máquinas prácticas que emplean este mecanismo generalmente giran a
una velocidad angular aproximadamente constante. Para fines de diseño, es necesario analizar


la velocidad y la aceleración del pistón. El análisis comúnmente se hace bajo la suposición
que la velocidad de la manivela es exactamente constante ya que el error involucrado es de
proporciones pequeñas.
Velocidad del pistón. Método gráfico
El método de línea de centros y centros instantáneos, como fue ya descrito, se puede emplear
para localizar la velocidad del pistón cuando la velocidad del perno de la manivela es
conocida. De cualquier forma el método alternativo ilustrado en la Fig. 6.4 es mas corto y
generalmente mas conveniente. La construcción en esta figura es como sigue:
La línea central de la biela 3 se alarga hasta encontrar en C la línea AD trazada en una
dirección perpendicular a la carrera. Se puede mostrar que la distancia AD representa la
velocidad del pistón a la misma escala como la distancia de la manivela AC representa la
velocidad del perno de la manivela. Esta exposición se puede comprobar como sigue:

Figura 6.4 Mecanismo de corredera biela y manivela
Cálculo de velocidad

Extendamos AC hasta encontrar E en la línea BE que se traza perpendicular a la trayectoria
de B. Entonces E es O31 , y por esto
Velocidad lineal de B = EB
Velocidad lineal de C = EC
También EB = AD (según los triangulo semejantes BEC y CDA).
EC AC
Entonces: VB = AD o VB = VC x AD
VC AC AC


Ahora VC es la velocidad del perno de la manivela, y esta es constante cuando la manivela
gira a una velocidad uniforme. AC, también, tiene una longitud fija.
Por consiguiente pedemos escribir:
Velocidad del pistón = VB = constante x AD
Cuando AD tiene una longitud de una pulgada (2.54 cm.)
VB = VC x 1
AC

esto es una pulgada (2.54 cm) representa VC/AC unidades de velocidad. Como una forma
fácil para recordar la escala, podemos anotar: la velocidad del pistón queda representada por
la longitud AD, en la misma escala que la longitud de la manivela AC en nuestro dibujo
representa la velocidad del perno de la manivela.
Una curva polar de la velocidad del pistón en base al ángulo de la manivela se muestra en (a)
Fig. 6.4 . El punto D1 se obtiene intersectando la manivela con la magnitud de la velocidad
del pistón que corresponde a la distancia de AD. Una curva de desplazamiento - velocidad
también esta dibujada en (b) de la Fig. 6.4 El punto D´ de esta cuerva corresponde a la
posición del mecanismo ilustrado y se localiza construyendo una ordenada BD´ igual a AD.
Una cuerva de velocidad-tiempo (Fig. 6.5) se construye graficando las mismas ordenadas de
velocidad sobre una base en la cual, iguales ángulos de la manivela, quedan representados por
espacios iguales;

Figura 6.5
Curva de velocidad-tiempo


los desplazamientos angulares de la manivela y los tiempos son proporcionales unos a otros;
y puestos que la manivela tiene velocidad constante, la misma base puede servir para los dos.
Por esto, la distancia x en la Fig. 6.5 se construye igual a la similarmente indicada en la fig 6.4
.
Características del movimiento del pistón
La fig. 6.6 muestra la curva velocidad- desplazamiento para el movimiento del pistón en una
maquina que está centrada, obsérvese la velocidad máxima se obtiene un poco antes que al
centro de la carrera, cuando el pistón se separa del punto muerto y la curva se vuelve
asimétrica sobre el eje vertical a la mitad de la carrera, pero es simétrica sobre el eje horizontal
.

Figura 6.6
Curva de velocidad-desplazamiento,
máquina centrada

Cuando existe un descentramiento, como en la Fig. 6.4 entonces es asimétrica en ambos ejes.
El punto F (fig. 6.6) es la proyección del centro del perno de la manivela sobre la línea
centro de la carrera y tiene movimiento armónico simple cuando la manivela gira con una
velocidad uniforme. La curva ( un circulo) trazada con las líneas punteada representa
velocidad de F. Esta curva se diferencia en algo a la curva de la velocidad del pistón. Si la
biela siempre formara un ángulo constante con la línea centro de la carrera, su proyección BF
en esa línea tendría una longitud constante. Esto es, los puntos B y F tendrían velocidades
iguales todo el tiempo y el pistón cambiaria de posición con movimiento armónico simple.
Como este no es el caso B no se puede mover con movimiento armónico simple. Si la biela
tuviera una longitud infinita, se obtendría exactamente esta condición. La distorsión del
movimiento del pistón con respecto al movimiento armónico simple se ha llamado con
propiedad el efecto de la biela.


El diseño de distribuidores y el balanceo de las máquinas se simplificaría grandemente si este
no existiera. Con referencia a la fig. 6.6 se puede observar que este efecto, tiende a aumentar
ala velocidad del pistón durante los periodos anteriores y posteriores al paso de la manivela
por el punto muerto y tiene un efecto opuesto en las otras partes de la carrera. La velocidad
máxima del pistón se obtiene un poco antes de la mitad de la carrera.
Aceleración del pistón. Construcción gráfica del Klein
Una línea cuya longitud representa la aceleración del pistón se pude obtener empleando la
construcción de Klein, como queda ilustrado en la Fig. 6.7 que es aplicable cuando la línea de
movimiento de la corredera pasa por el centro de la manivela A o cuando esta descentrada.
En la Fig. 6.7a, el punto D se encuentra extendiendo la biela BC hasta cruzarse con la línea
vertical AD que pasa por el centro de la manivela A.

Figura 6.7 Construcción gráfica de Klein

Un semicírculo CLB se traza con BC como diámetro. Este se intersecta en E por un arco
trazado tomando C como centro y con radio CD. Desde E la línea EGH, se traza


perpendicular a BC, encontrándose en H a una línea AH paralela a la línea del movimiento
del pistón.
La longitud de la línea AH es entonces igual a la aceleración del pistón a una determinada
escala. Esto se puede comprobar y la escala se puede determinar mediante un diagrama de
imagen de aceleración. Primeramente dibujamos la imagen de velocidad como queda indicado
en la parte b y la explicación de las líneas se da en la tabulación. La longitud de la línea 1,
representa la velocidad del perno de la manivela C y se traza igual a la longitud de la manivela
AC, incidentalmente debe notarse que el triángulo obc de la imagen de velocidad es idéntico
a el triángulo ACD de la parte a, pero girando hacia adelante 90°. Esto representa una
comprobación adicional; la longitud AD representa la velocidad de la corredera B a la misma
escala que la longitud de la manivela representa la velocidad del perno de la manivela C.
La línea 1´ de la imagen de aceleración en la Fig. 6.7c representa la normal y la aceleración
absoluta de C, puesto que la manivela gira a una velocidad angular constante. Hagamos que
esa distancia sea igual a la de la manivela AC. El resto del diagrama se traza de la forma
convencional y la explicación se encuentra en la tabulación.
Una comparación de la Fig. 6.7a con la imagen de aceleración de la parte c, muestra que las
figuras ACGH y o´c´b´1b´ son semejantes, ya que sus lados respectivos son paralelas unos a
otros. Se puede comprobar que son idénticos si se demuestra que dos de sus lados tienen la
misma longitud. La línea 1´ se dibujó con la misma longitud que AC. Para demostrar que la
línea 2´ es igual en longitud a CG, debemos considerar los dos triángulos CEB y CEG de la
fig. 6.7a. Esto triángulos son semejantes, ya que ambos tienen ángulos rectos y a la vez tienen
el ángulo GCE común.
Por lo tanto AH que según la construcción de Klein, es paralela a o´b´ representa la
aceleración de la corredera B para cualquier posición del mecanismo. La escala de aceleración
se encuentra dividiendo la aceleración normal del perno de la manivela C por la longitud de la
manivela AC tal y como aparece en el dibujo.
Un diagrama aceleración-desplazamiento se traza, punteando la aceleración (AH, o sea x) en
las posiciones correspondientes del punto B como se muestra en la fig. 6.7a. Si la corredera
no está descentrada, la curva se retrasa a sí mima durante cada medio ciclo.


Velocidad y aceleración del pistón. Método analítico
No obstante que el método gráfico de análisis se debe ampliar preferentemente, en alguno caos
el método analítico es necesario. Consideraremos un caso de un mecanismo centrado. En la
Fig. 6.8 consideremos que r sea la longitud de la manivela, nr la longitud de la biela y n es la
relación entre la longitud de la biela y la longitud de la manivela. Supongamos que la
manivela se encuentra a cualquier ángulo θ es la inclinación correspondiente de la biela. X es
la distancia del centro del perno de la corredera al centro del perno de la manivela. A la mitad
de la carrera, evidentemente, x = nr. Para cualquier ángulo θ de la manivela el desplazamiento
del pistón s desde la posición central es igual a x-nr.

Figura 6.8

De la figura: x = r cos θ + nr cos φ
y el desplazamiento del pistón S = x – nr
= r cos θ + nr cos φ - nr
= r (cos θ + n cos φ - n)
También: sen θ = h / r y sen φ = h / nr
Por división sen φ = sen θ / n
por otro lado cos2 φ + sen2 φ = 1; cos2 φ = 1- sen2 φ = 1 – sen2 θ
n2
por lo tanto: S = r (cos θ + n (1 – sen2 θ )1/2 - n)
n2

reacomodando términos: S = r (cos θ + (n2 - sen2 θ )1/2 – n) (6.1)

Así obtenemos el desplazamiento del pistón en términos del ángulo de la manivela.
Si el pistón se moviera con movimientos armónico simple, su desplazamiento al ángulo de la
manivela θ seria r cos θ.


El “efecto de la biela” debido a su oblicuidad o sesgo de este miembro con la línea de la
carrera, se representa por la ecuación:
r[(n2 - sen2 θ )1/2 - n]
La velocidad del pistón es igual a ds/dt donde s es el desplazamiento del pistón. Sustituyendo
el valor de S de la ecuación 6.1 obtenemos:
Velocidad del pistón = d [r (cos θ + (n2 - sen2 θ )1/2 – n)]
dt

= - r dθ [ sen θ + 2 sen θ cos θ ] = - rω [ sen θ + sen 2 θ ]
2 2 1/2
dt 2 (n - sen θ) 2 (n2 - sen2θ)1/2

Ya que dθ/dt = ω = velocidad angular de la manivela. Una forma aproximada de esta ecuación
se obtiene omitiendo sen2θ en el denominador. El error involucrado no es muy grande, el
valor de n en el diseño de máquinas rara vez es menor que 4, y sen2θ es igual a 1 como un
máximo. La ecuación se reduce a la siguiente forma:

Velocidad del pistón = - rω [ sen θ + sen 2θ ] (6.2)
2n

La aceleración del pistón es igual a dv/dt. Ajustando la ecuación usando la velocidad del
pistón aproximada 6.2 en la misma forma obtenemos:
Aceleración del pistón = d (- rω [ sen θ + sen 2θ ])
dt 2n
= rω2 (cosθ + cos2θ ) (6.3)
n

la ecuación 6.3 generalmente se emplea cuando no se requiere una exactitud extremada.
Cuando n es igual a 4 la ecuación aproximada da un error máximo aproximadamente de 0.6
por ciento en su aceleración máxima.
Discusión de las ecuaciones del mecanismo de corredera, biela y manivela
Podemos encontrar varias relación interesantes de las ecuaciones derivadas en el articulo
anterior.


El ángulo de la manivela cuando el pistón se encuentra al centro de la carrera se puede
localizar haciéndolo el desplazamiento S igual a cero en la ecuación 6.1.
0 = r (cos θ + (n2 - sen2 θ )1/2 – n)

O sea
n-cosθ =(n2-sen2θ)1/2

elevando al cuadrado ambos lados obtenemos:
n2 –2n cosθ+ cos 2θ = n2-sen2 θ
o
2n cosθ = cos2θ + sen2θ = 1

cosθ = 1
2n

Los valores del ángulo θ de la manivela, en los cuales el pistón se encuentra en la posición
central para valores de n de 3,4,5, y 6 son entonces aproximadamente 80.4° , 82.8°, 84.2° y
85.2° respectivamente. Si n esta en el infinito se obtienen movimientos armónico simple
en el pistón y el ángulo es entonces de 90°.
La posición de la manivela cuando la velocidad del pistón esta a su máximo ocurre
cuando la aceleración es cero. Haciéndolo igual a cero la ecuación aproximada para la
aceleración ( ecuación 6.3) obtenemos:
0 = rω2 (cosθ + cos2θ ) = n cos θ + cos2θ = n cosθ + cos2θ - sen2θ
n
= n cosθ + cos2 θ -1 + cos2 θ = 2 cos2θ + n cosθ -1

cos θ = 1 ( - n + [n2 + 8]1/2 )
4

Se encontrara que el signo mas en el segundo término en la ecuación debe empleare mas bien
que el signo menos. Los valores para el ángulo θ de la manivela en el cual la velocidad del
pistón será un máximo o su aceleración cero, para los valores de n de 4, 5, y 6 son entonces
aproximadamente 77.0° 79.3° y 80.9° respectivamente. Si se emplea la ecuación exacta,
según el cálculo de Bogert, los valores son 76.72°, 79.10° y 80.78°.


Movimientos de retorno rápido
El mecanismo de corredera biela, y manivela se puede emplear para movimiento de retorno
rápido cuando se ha descentrado como lo muestra. La fig. 6.9 . Es decir el eslabón o pistón 4
ejecuta su carera hacia la derecha y hacia la izquierda en periodos desiguales del tiempo.

Figura 6.9
Mecanismo de retorno
rápido

En el mecanismo ilustrado se indican con la líneas punteadas las dos posiciones donde el
pistón ha llegado al final de su carrera hacia la derecha y hacia la izquierda,
respectivamente. En estas posiciones la manivela y la biela coinciden en una misma línea
recta. Cuando la manivela gira en dirección de las manecillas del reloj, el pistón tienen su
desplazamiento hacia la izquierda, mientras la manivela gira cruzando el ángulo θa y el
desplazamiento de retorno requiere un movimiento de la manivela a través del ángulo θr. Si
se considera una velocidad constante para la manivela. La relación del tiempo de los dos
deslazamiento es igual a θa/θr. Esta relación es una unidad cuando el descentramiento es
cero y aumenta con el descentramiento.

6.3 Segunda inversión

En este ilustrado en la Fig. 6.10 el eslabón 1, correspondiente a la biela 3 en el mecanismo de
una maquina de acción directa es el eslabón fijo.
La Fig. 6.11 ilustra la aplicación de una maquina de vapor oscilatoria el eslabón 4 toma la
forma de un cilindro picoteado de tal forma que oscila alrededor de los muñones de B. El
eslabón 3 se convierte en el pistón y la biela. Antes de que el diseño de las máquinas de vapor
se estandarizara, ocasionalmente se empleaba este tipo y todavía se emplea en algunas
máquinas de vapor de juguete donde la máquina esta montada sobre la caldera.


Figura 6.10 Figura 6.11

6.4 Tercera inversión. Mecanismo de limadora

Como ejemplos de este mecanismo ilustramos las fig. 6.13 y 6.15. El eslabón 1
correspondiente a la manivela 2 en la primera inversión, es el eslabón fijo. Estas unidades se
usan para obtener movimiento de retorno rápido en la maquina-herramienta.



La fig. 6.13 muestra el mecanismo de limadora con retorno rápido . el eslabón 3 es la manivela
motriz a la cual esta adjunta el taco 4. Este último desliza entre las ranuras del marco en la
palanca 2. La palanca 2 mueve el émbolo 6 soporta la herramienta o cortador. Esta tiene un
movimiento recíproco y la carrera de retorno se efectúa en menor tiempo que la carrera para
cortar.
Si tomamos en cuenta que la manivela 3 gira en dirección de las manecillas del reloj, la
palanca 2 llegara a su posición extrema de la derecha cuando la manivela 3 esta en A1C
(Fig.6.12) perpendicular a BA1D1. De la misma manera 2 llegara a su otra posición extrema
cuando la manivela este en la posición A2C.
Mientras tanto la manivela gira a través de un ángulo θ. La carrera de retorno toma lugar
durante el movimiento de la manivela θr. Por consiguiente, tomando en cuenta a una
velocidad constante angular de la manivela 3, la relación del tiempo de ida contra el de
retorno de la carrera es igual a θa/θr. A esta relación se le puede dar cualquier valor desde uno
hasta el infinito si se selecciona adecuadamente al relación de la distancia de los eslabones
AC/BC o 3/1.
Otro ejemplo de la tercera inversión ilustrado en las Fig. 6.14 y 6.15 es el mecanismo de
retorno rápido de Whitworth, otra aplicación empleada en maquinas- herramienta y en otros
casos donde ser desea producir un movimiento reciproco con una carrera de retorno rápido.

Figura 6.14

La manivela motriz 3, esta girando con velocidad angular constante y esta moviendo del
eslabón ranurado 3 por medio del taco 4. El eslabón 2 gira a través de un circulo completo
con velocidad variable y un eslabón 5 que sirve de conexión puede ser unido para que mueva
un miembro reciproco.
Con referencia a la Fig. 6.14 el eslabón 2 gira en sentido de las manecillas del reloj desde una
posición horizontal A1B a través de 180° hasta la posición A2B mientras que la manivela


motriz 3 gira a través del ángulo θr. Efectúa la siguiente media revolución mientras que la
manivela motriz 3 gira a través del ángulo θr. Efectúa la siguiente media revolución mientras
que la manivela motriz se mueve a través del ángulo θa. La relación del tiempo del avance y
retorno de la carrera es entonces θa/θr. La reducción de la longitud del eslabón 1 sin alterar la
del 3 causará una disminución en la relación θa/θr, alcanzando un valor unitario cuando 1
tienen una longitud cero.

Figura 6.15
Mecanismo de retorno
rápido de Whitworth

Una comparación de las Fig. 6.12 y 6.14 muestra que la diferencia entre los dos mecanismos
es que en la diferencia entre los dos mecanismos es que en la fig. 6.12 el mecanismo de la
limadora, la longitud del eslabón 1 es mayor que la longitud del 3; mientras que en la fig. 6.14
el mecanismo de Whitworth, lo longitud del eslabón 1 es menor que la longitud del eslabón 3.
Conforme la relación de las distancia 1/3 se aproxima a la unidad (esto es la longitud del
eslabón 1 se aproxima ala del eslabón 3) la relación del tiempo de avance y retorno de la
carrera θa/θr se aproxima al infinito. En maquinas reales la longitud del eslabón 1 se puede
variar subiendo o bajando el perno pivote B o C, montándolo sobre un trueca con un tornillo
regulador. De la misma manera el eslabón motriz 3 puede tener un tornillo regulador que,
cuando gira, mueve una corredera sobre el cual el punto A se encuentra localizado para variar
la distancia AC.
Durante el diseño del mecanismo de una limadora, generalmente es aconsejable trazar por
puntos una cuerva de velocidad desplazamiento del cortador o herramienta recíproca. Esto se
efectúa para evitar variaciones de velocidad durante el corte, que pueden causar un acabado
disparejo en el trabajo producido por la unidad. La velocidad del punto A sobre el eslabón
motriz 3 es conocida, y por los métodos descritos, la velocidad del cortador se puede localizar


una curva típica queda mostrada en la Fig. 6.13 sobre la trayectoria de la corredera 6. La parte
superior representa las velocidades durante la carrera del corte, mientras que la parte inferior
son las velocidades durante la carrera de retorno. La forma ideal para una cuerva de cómo
queda ilustrado por la línea punteada en la figura. Entonces el cortador mantendrá una
velocidad constante durante toda la carrera. Esto no es práctico ni deseable porque daría como
resultado cargas pesadas de choque o conmoción en las terminales de la carrera. Como casi
todos lo problemas de ingeniería, los dos factores incompatibles se deben balancear para
obtener el resultado más satisfactorio.

6.5 Cuarta inversión. Cadena con corredera fija

La inversión restante de la cadena de la manivela, biela y corredera se obtiene fijando la
corredera 1 (fig. 6.16) La aplicación mas común para esta cadena se encuentra en las bomba
de agua manuales. También se emplea en algunas bombas de vapor recíprocas de movimiento
directo. En la aplicación de la bomba manual de 1 se convierte en la caja de la bomba y el 4 en
la varilla de la bomba, sobre esta, en el extremo inferirse encuentra adjunto el macho de
aspiración. La extensión punteada de 2 forma el mango de la bomba.

Figura 6.16


CUESTIONARIO.
6.1 Trácense diagramas esquemáticos de las cuatro inversiones del mecanismo de corredera,
biela y manivela. Indique la aplicación practica de cada un de estas.
6.2 Muestrese como se traza la curva polar de la velocidad del pistón sobre un ángulo base de
la manivela para el mecanismo de corredera, biela y manivela.
6.3 Muestrese como se localiza gráficamente la velocidad del pistón en el mecanismo de una
máquina de vapor de acción directa. Compruébese la corrección de las construcciones
efectuadas.
6.4 Muéstrese como trazar las curvas de velocidad y aceleración para la cruceta de una
maquina de acción directa, sobre una base que represente la posición de la cruceta. ¿cómo se
obtiene la escala para el diagrama?
6.5 Esbócese explique la construcción de Klein para encontrar la aceleración del pistón en el
mecanismo de una máquina de vapor de acción directa. Si el diagrama se traza a una escala de
1 cm = n cm. ¿cuál es la escala de aceleración cuando las ordenadas se miden en centímetros y
ω en radianes por segundo?
6.6 Pruébese que la velocidad del pistón en una maquina de vapor de acción directa no es
movimiento armónico simple.¿cómo se puede modificar el movimiento para que se aproxime
al armónico simple?
6.7 Una maquina de vapor tienen una carrera de 12 pulgadas (30.5cm) y la biela es de 24
pulgadas (61 cm) de largo. Muéstrese como localizar gráficamente la velocidad y aceleración
del pistón cuando la manivela hace un ángulo de (a) 45° (b)90° y (c)120° con la línea de la
carrera. También determínese las escalas para la aceleración y velocidad en unidades de pies
por segundo si el dibujo del mecanismo es una cuarta parte del tamaño real y la máquina gira
a 240 rpm. Resp: 1 pulgada = 8.38 pies por segundo: 1 pulgada = 210.5 pies por seg2
6.8 Una máquina de vapor con diámetro interno del cilindro de 8” (203.2 mm) y 10 pulgadas
(254.0mm) de carrera, corre a 300 rpm. Tomando en cuanta una velocidad angular constante
de la manivela, calcular al velocidad del pistón y su aceleración correspondiente en los
siguientes ángulos de la manivela : 0°,45° 90°, 135°, 180° . La biela es de 25 pulgadas (635.0
mm) de largo.
Resp. A los 45° Vel = 10.56 pies por seg (3.22 m por seg)
Acel.= 290.5 pies por seg2 (88.54 m por seg2)


6.9 Si el promedio de la velocidad del pistón de una máquina de combustión interna, con 3.5
pulgadas (88.9 mm) de diámetro interno del cilindro, 5 pulgadas (127.0 mm) de carrera, y con
una biela de 11 pulgadas (279.4 mm) de largo, es de 3000 pies por minuto (914.4 m por seg)
¿a que velocidad va corriendo la máquina? Localizar también la velocidad y aceleración
máxima del pistón ¿a que ángulos se obtienen estos valores máximos?
6.10 En un motor de gasolina de cuatro cilindros con una carrera de 4.5 pulgadas ( 114.3 mm)
y la biela de 9 pulgadas (228.6 mm) de largo, dos manivelas están en punto muerto superior
cuando las otras dos están en punto muerto inferior. Compárese las aceleración del pistón para
esas posiciones de las manivela, si las rpm son 3600 cual es el promedio de velocidad del
pistón?
6.11 comparemos los cálculos de las aceleración del pistón del problema 6.10 con aquellos
obtenidos bajo la consideración de que los pistones tienen movimiento armónico simple.
Exprésense las diferencias en porcentajes.
6.12 Trácese el mecanismo de una limadora con retorno rápido ¿cómo se obtienen
gráficamente la relación del tiempo entre la carrera de ida y la relación o pasos de las carreras
con la alteración?.
6.13 Trácese el mecanismo de retorno rápido de Whitworth. Muéstrese como localizar
gráficamente la relación del tiempo de la carrera del avance contra el retorno. ¿qué
alteraciones se requieren para incrementar esta relación?
6.14 Trácese una inversión del mecanismo de corredera, biela y manivela empleando en una
bomba de mano, y nombre e indíquese las principales partes de esta aplicación
6.15 Una limadora con movimiento de retorno rápido tiene una manivela motriz de 4 pulgadas
(101.6 mm) de largo. Encuéntrese la distancia entre los puntos de pivoteo de la manivela
motriz y el eslabón recíproco si la relación del tiempo entre la carrera de avance y retorno es
de 3:1. ¿Qué relación nueva se obtiene cuando la longitud de la manivela se reduce a 2
pulgadas (50.8 mm)?.
6.16 Encuéntrese gráficamente la relación del tiempo entre la ida y el retorno para el taco
accionado 4 en los mecanismos ilustrados en las Figs. P6.16a a la c, tomando en cuenta que la
manivela motriz 2 gira con una velocidad angular constante. ¿de la figuras, cual es el
mecanismo de Whitworth y cuál es la limadora con retorno rápido? Explíquense ampliamente
las razones de la selección hecha.


Fig. P6.15a Fig. P6.15c

Fig. P6.15b

6.17 Muéstrese como la primera inversión del mecanismo de corredera biela y manivela se
puede emplear para obtener un mecanismo con movimiento de retorno rápido. Muéstrese
como encontrar esta relación gráficamente. Indíquese dos maneras de incrementar esta
relación. ¿cómo afectan el largo de la carrera?

CAPÍTULO 7

LEVAS

7.1 Levas
Los mecanismos de levas se emplean ampliamente en la maquinaria por su facilidad de diseño
para producir cualquier movimiento deseado. Los movimientos necesarias en partes de maquinas,
comúnmente son de tal naturaleza que sería muy difícil obtenerla por cualquier otro mecanismo
de igual simpleza y accesibilidad. Por esto los mecanismo de levas comúnmente se usan para
accionar válvulas en las máquinas de combustión interna, en maquinaria para impresión, en
maquinaria para fabricar zapatos, en maquinas automáticas para tornillos, en maquinaria para
bocatear, en relojes, cerraduras, etc. Es difícil encontrar una máquina del tipo denominado
“automático” que no emplee uno o más mecanismo de levas.
Se puede diseñar una leva en dos formas: (a) suponer el movimiento requerido para el seguidor y
diseñar la Leva que proporcione este movimiento o (b) suponer la forma de la leva y determinar
las características del desplazamiento, velocidad y aceleración que de este contorno.
El primero método es un buen ejemplo de la síntesis. De hecho, diseñar un mecanismo de leva a
partir del movimiento deseado es una aplicación de la síntesis que se puede resolver en todo
momento. Sin embargo, puede ser difícil fabricar la leva después de haber sido diseñada.
La dificultad de manufactura se elimina en el segundo método si la leva se hace simétrica y si
para los contornos de la leva se emplean formas que se puedan generar. Este es el tipo de leva
que se emplea en aplicación automotrices en que esta debe ser producida con exactitud y
economía.
Solamente se estudia el diseño de levas con movimiento especificado. Las levas con movimiento
especificado se pueden diseñar gráficamente y en determinados casos analíticamente también.
Todos los mecanismos de levas se componen cuando menos de tres eslabones: a) la leva, que
tiene una superficie de contacto curva o derecha; b) la varilla cuyo movimiento se produce por el
contacto de la superficie de la leva; c) la bancada, que soporta y guía la varilla y la leva.

Tipos de levas.
Hay mucho tipos de levas; a continuación se describen algunas de las más comunes.

CINEMÁTICA DE LAS MÁQUINAS LEVAS 132

Leva de traslado, el perfil se corta en una cara de un bloque o una lámina de metal o de otro
material, y la leva tiene un movimiento reciproco sobre una superficie como se muestra en la
Fig. 7.1

Figura 7.1
Leva de traslado
Cam

Esta es la forma básica, puesto que todas las levas se pueden considerar como cuñas que tienen
superficies uniformes o, mas frecuentemente, con inclinación variables. La desventaja de este
tipo, es que se obtiene el mismo movimiento en el orden inverso durante la carrera de retorno.
Esto se puede evitar si envolvemos la cuña alrededor de la circunferencia de un circulo (fig. 7.2)
para la forma de una leva de disco o plana. Cuando la acuña se forma en la superficie o punta de
un cilindro, como se muestra en las Fig. 7.3, resulta una leva cilíndrica.

Figura 7.2 Leva de disco Figura 7.3 Leva cilíndrica


De igual manera se tiene una leva cónica (Fig 7.4).

Figura 7.4 Leva cónica

Tipos de varillas o seguidores
Debe tomarse en cuenta que la varilla o seguidor, puede hacerse mover en una línea recta o se
puede pivotear para obtener un movimiento oscilatorio en cualquiera de los tipos de leva
mencionados. Los diferentes tipos de varillas o seguidores se muestran en la figura 7.5.

a) b) c)

d) e) f)
Figura 7.5 Tipos de varillas o seguidores
Movimiento lineal : a) Cara plana b) con rodaja c) punzón
Movimiento angular: d) cara plana e) con rodaja f) cara esférica


En el mecanismo ilustrado debemos notar que la forma de la leva es tal que no constriñe
completamente el movimiento de la varilla, ya que no se ha indicado el medio de mantener
contacto entre la leva y la varilla. El contacto continuo se efectúa usualmente por el empleo de
las fuerzas de gravedad o la presión de un resorte.
El mecanismo de la leva de movimiento positivo (Fig. 7.6) es aquel en el cual la varilla es
obligada a moverse en una trayectoria definida por el constreñimiento de la superficie y sin la
aplicación de fuerzas externas. Si no efectúa lo anterior se deberá únicamente a la rotura de
alguna parte.

Figura 7.6 Leva de
movimiento positivo

7.2 Diseño del perfil

La forma del perfil de una leva está regida por los requerimientos relativos al movimiento de la
varilla. Estos requerimientos dependen de la función que el mecanismo ejecuta en la máquina en
la cual se va a aplicar. El ciclo de posiciones de la varilla, determinado por tales consideraciones,
pueden o no necesitar ciertos periodos de “reposo” durante el cual la varilla no tiene
movimiento, y ciertos periodos de movimiento de una naturaleza especifica. Generalmente
resulta conveniente empezar con el problema del diseño de la leva haciendo primeramente una
representación gráfica del movimiento de la varilla a la cual llamaremos diagrama de
desplazamiento. Esta es una curva lineal, en la cual la abscisas representan el desplazamiento
de la leva y la ordenadas representan el desplazamiento de la varilla. Como los dos miembros
pueden tener movimiento lineal o angular, estos desplazamiento pueden tener movimiento
lineal o angulares, dependiendo únicamente de la forma peculiar del mecanismo bajo


consideración. El desplazamiento lineal de la varilla comúnmente se denomina la “alzada”
aunque algunas veces el movimiento no es en una dirección vertical.
Frecuentemente en aplicación prácticas, las varillas se mueven exacta o aproximadamente de
acuerdo con una de las siguientes condiciones:
a) Movimiento con velocidad constante
b) Movimiento con aceleración o desaceleración constante
c) Movimientos armónico simple
d) Cicloidal
Los correspondientes diagrama de desplazamiento para estos cuatro casos, junto con algunas
modificaciones se considerarán a continuación.
La flecha de excéntricos, donde la leva tiene movimiento angular, se considerará que gira a una
velocidad constante. La discusión que sigue esta basada en esta suposición. De esta manera la
curva de desplazamiento es una en la cual la base representa tiempo, así como también
desplazamiento de la leva, ya que las dos cantidades son proporcionales la una a la otra.

7.2.1 Velocidad constante

En la Fig. 7.7 se muestra el diagrama de desplazamiento para el mecanismo de una leva, en el
cual la varilla se eleva con velocidad constante durante 90° regresa con velocidad constante
durante 90° y reposa durante el resto del ciclo.

Figura 7.7 Desplazamiento de varilla a velocidad constante

Cuando un cuerpo se mueve con velocidad constante se desplazamiento es un proporción directa
al tiempo transcurrido. Si se supone una velocidad constante para la leva, el desplazamiento de la
varilla es por consiguiente proporcional al desplazamiento de la leva. La cuerva AB debe ser,
para los primeros 90°, una línea recta, Durante el segundo periodo de 90°, una línea recta


horizontal BC representa el periodo de reposo. Durante el periodo de reposo los siguientes 90°
del movimiento de la leva se indican por otra línea recta ya que aquí tenemos otra vez velocidad
constante. Se traza DE horizontalmente para el periodo final.
Para una aplicación práctica probablemente el diagrama se modificaría en la forma ilustrada por
las líneas punteadas a menos que la leva girára muy despacio. Esto se efectúa para evitar cambios
bruscos del movimiento cuando empieza y termina la alzada y se substituye por un cambio
gradual de velocidad que elimina choque y ruido. Nos referimos nuevamente a este asunto más
adelante.

7.2.2 Aceleración constante

Para cualquier cuerpo en movimiento con aceleración constante, s = ½ at2 donde s es el
desplazamiento a es la aceleración, y t el intervalo de tiempo. La distancia desplazada es entonces
proporcional al cuadrado del tiempo. Si tomamos intervalos del desplazamiento de la leva de 1,
2, 3, 4, etc. Unidades de tiempo, los desplazamientos de la varilla al final de estos intervalos
serán proporcionales a las cantidades 12, 22, 32, etc., o sea 1, 4, 9, etc. Este principio se aplica en
el diagrama de desplazamiento mostrado en la fig. 7.8. Aquí los requisitos son que la varilla se
mueva una distancia AC durante el desplazamiento de la leva AB. La construcción es como
sigue.
El segmento AB se divide en cualquier número conveniente de espacios iguales; éstos en la
figura son en número de 4. Cada uno de estos espacios representa un intervalo de tempo igual,
bajo la suposición de que la leva tiene velocidad uniforme.

Figura 7.8
Desplazamiento de la varilla con
aceleración constante


Los desplazamientos de la leva hasta los finales de estos intervalos son proporcionales a los
números 1, 4, 9, 16.
Pero AC es el desplazamiento al final del cuarto intervalo. Por tanto, dividimos AC en diez y
seis partes iguales y proyectamos desde la primera, la cuarta, la novena, y la dieciseisava, como
se ilustra en la figura, localizando de este modo los puntos sobre la curva requerida.
Movimiento de aceleración y desaceleración constante
Si la aceleración persiste hasta el final del viaje dela varilla, se obtendría como resultado una
velocidad máxima justo antes de que la varilla llegara el reposo, y esto causaría un choque, a
menos que la velocidad e la leva fuera muy lenta. Consecuentemente el periodo de aceleración
deberá durar solamente una parte del intervalo de alzada y seguirá por una “desaceleración” con
lo cual se obtendrá que la varilla llegue gradualmente al reposo. Si damos a estas cantidades
valores constantes, comúnmente resultara en una acción suave dela leva. La aceleración
constante puede o no ser igual a la desaceleración consten; el perfil de la leva se puede diseñar
para obtener cualquier relación deseada de aceleración desaceleración. El diagrama de
desplazamiento para un caso como el descrito se considerará enseguida.
Sea a1 la aceleración constante durante la primera parte del movimiento de la verilla, y s1 y t1 el
desplazamiento y el tiempo. Sea a2 la desaceleración durante la última parte del movimiento.
Siento s2 y t2 el desplazamiento y el tiempo para el mismo intervalo. La relación a1/a2 es la
relación de aceleración – desaceleración. Ahora S= s1+s2, donde S es el movimiento total de la
varilla.
Si v = velocidad al final del periodo de aceleración, por la ecuación v2 = v02 + 2as
v 2 = 2 a1s1 =2 a2s2 o sea a1 = s2
a2 s1

también, según la ecuación v = v0 + at; para una velocidad inicial cero:

v = a1 t1 = a2 t2 o sea a1 = t2
a2 t1

Estos es, los intervalos de desplazamiento y tiempo son uno al otro inversamente proporcional
como la relación aceleración-desaceleración.
Ejemplo. Trace el diagrama de desplazamiento para el mecanismo de una leva que tiene un
movimiento de dos pulgadas (5 cm) durante 180° del desplazamiento de la leva; la aceleración y
desaceleración son constantes y tienen una relación de 3 a 1.


De la discusión anterior es evidente que los desplazamientos y los tiempos correspondientes a los
dos intervalos son en una relación de 1 a 3. Para el periodo de aceleración, el desplazamiento es
entonces una cuarta parte del desplazamiento total, y el periodo dura un cuarto del tiempo total,
finalizando a 45° del desplazamiento de la leva (fig. 7.9).
Esto fija la posición del punto B en la línea de 45° siendo la ordenada de ½ pulgada (1.27 cm) la
construcción para los otros puntos en la curva de aceleración es igual a la empleada en la fig. 7.8
En la curva de desaceleración BC se localiza de la misma manera trazando desde C hacia la
izquierda.

Figura 7.9
Gráfica de aceleración-desaceleración

Modificación prácticas al diagrama de velocidad constante
Según lo anotado el diagrama de desplazamiento para la leva de velocidad constante, se modifica
en cierto grado de la forma teórica para aplicación prácticas, con el propósito de evitar cambios
bruscos de velocidad al principio y al final de los periodos de la alzada.
Esta modificación se pude efectuar mejor mediante el uso de un periodo corto de aceleración
constante al principio de la alzada, el cual dura hasta que se ha obtenido un velocidad apropiada.
Entonces la leva se mueve con velocidad constante hasta que se aproxima al final del periodo de
la alzada donde se aplica una desaceleración constante, y la leva es llevada hasta el reposo sin
choque.
La construcción del diagrama de la alzada se considerará ahora para un caso como el descrito.
Supóngase que se especifica una lazada para la varilla durante 150° del movimiento de la leva y
los desplazamientos son 30° durante la aceleración constante, 90° para la velocidad constante, y
30° para la restante desaceleración constante.
Cuando un cuerpo se acelera uniformemente desde el reposo hasta la velocidad v, en t unidades
de tiempo es evidente que la velocidad promedio para los periodos es v/2 y la distancia recorrida
es vt/2. Por otra parte, si el cuerpo tuviera una velocidad constante v, se movería la misma


distancia vt/2 en el tiempo t/2. Consecuentemente la verilla en cuestión se movería la misma
distancia durante los primeros 30° donde tienen aceleración constante, que la que se mueve en
intervalos subsecuentes de 15° con velocidad constante.
Por tanto, el total de la alzada se puede considerar compuesto de ocho incremento iguales, el
primero se ejecuta en el periodo de los primeros 30° los siguientes seis en los subsiguientes
intervalos de 15° y el último en el periodo final de 30°.
Así pues, dividimos la alzada total (fig. 7.10) en ocho partes iguales, obteniendo los puntos 1,
2,3, etc., y las proyecciones de 1 hasta 1´, 2 hasta 2´, etc. Conectando 0,1´,2´,3´, por una curva
uniforme se completa el diagrama. Los puntos intermedios para la curva de aceleración y
desaceleración se pueden localizar como en la Fig. 7.8.

7.2.3 Movimiento armónico simple

La construcción del diagrama de desplazamiento para el movimiento armónico simple de la
varilla es la misma que para el trazo de la curva Tiempo-desplazamiento para un punto con
movimiento armónico. La fig. 7.11 ilustra un caso donde la varilla se eleva durante 180° del
movimiento de la leva, reposa por 90° y cae a la posición inicial en 90°.
Se traza un semicírculo como se indica, empleando la alzada como diámetro. El ángulo de la leva
para el periodo de la alzada 180°, se divide en cualquier número conveniente de partes iguales;
cada una de estas representa 30°; el semicírculo también se divide en el mismo número de arcos
iguales y de esta manera se localizan los puntos 1, 2, 3, 4, etc.

Velocidad constante modificada Movimiento armónico simple


Las proyecciones horizontales localizan los puntos 1´,2´,3´etc., sobre la cueva requerida. Para el
periodo de “retorno” “caída” se pueden trazar proyecciones desde los mismos puntos, 1, 2, 3, si
el ángulo de la leva correspondiente a este periodo se divide en el mismo número de partes que
el semicírculo .

7.2.4 Movimiento cicloidal

Se ha encontrado que la leva cicloidal tiene muchas ventajas prácticas para obtener una acción
suave considerando los efectos de vibración.

La ecuación para este movimiento es s = S θ - S sen 2π θ
θ0 2π θ0

donde S es el desplazamiento total que toma lugar durante el ángulo total de la leva θ0 y s es el
desplazamiento que acontece a cualquier ángulo θ de la leva.
El método gráfico para la construcción de esta cuerva se muestra en la fig 7.12 donde la alzada S
tiene lugar durante el ángulo θ0 de la leva. El tiempo total o el ángulo de la leva se divide en un
números conveniente de partes iguales, en esta caso doce.

Figura 7.12
Movimiento cicloidal

Una línea punteada diagonal, marcada OA se dibuja entonces a través del diagrama para
representar el primer término de la ecuación. En la esquina inferior izquierda del diagrama se
dibuja un círculo que tiene un radio S/2π y su circunferencia se divide en el mismo número de
divisiones que la abscisa del diagrama. Los puntos se marcan en la dirección de las manecillas
del reloj, como se ilustran en la figura. Entonces se proyectan horizontalmente a la línea central


vertical del círculo y después paralelamente a la línea diagonal OA hasta la división
correspondiente de tiempo o ángulo de la leva. Esta última construcción complementa el
segundo terminó de la ecuación, que se resta del primer término o sea de l a línea recta OA .
Para ilustrarlo, considerando un punto, el 5. La distancia O5´´ sobre la línea central vertical del
círculo es igual a S/2π sen 2π θ/θ0 en vista de que el radio es S/2π y el ángulo en el círculo
12´05´ es igual a 2π θ/θ0. Dibujando el paralelogramo 05´´ cb, transferimos la distancia 05´´
desde el círculo hasta el punto requerido en el diagrama de desplazamiento, para localizar c en la
cuerva deseada.

7.3 Selección del movimiento

En muchos casos de diseño de levas, el tipo de movimiento se basa en los requerimientos de la
máquina. En el diseño de maquinaria automática, no obstante, frecuentemente el problema
consiste en obtener un movimiento a través de una distancia determinada en un tiempo conocido;
la única restricción sobre el tipo de movimiento es que debe de ser suave y con un mínimo de
choque, o fuerzas desbalanceadas.
En casos como tales, una curva de velocidad constante sin modificación seria poco aconsejable,
ya que presenta una tremenda aceleración y desaceleración al terminar los movimiento. La
elección cae entonces dentro del movimiento armónico simple, la leva cicloidal, o el movimiento
de aceleración y desaceleración constante en iguales periodos de tiempo.
La figura 7.13 es una comparación de estos cuatro movimientos cuando conectan dos periodos
de reposo. La parte superior, muestra la cuerva de desplazamiento para la varilla cuando se
mueve una unidad de distancia en una unidad de tiempo para la velocidad constante V; para el
movimiento armónico simple (M.A.S.), aceleración y desaceleración constantes e iguales
proporciones o gravedad G; y una leva cicloidal C.
Las curvas de velocidad y aceleración se localizan y trazan gráficamente debajo de las de
desplazamiento. De estas curvas, la cuerva de aceleración tiempo es la de mayor interés, ya que la
magnitud de las fuerzas de choque es una función de la mas de la varilla y de su aceleración.


Figura 7.13 Comparación de desplazamiento, velocidad y
aceleración de varios movimientos de varillas

Debe observarse que el valor máximo de la aceleración durante cualquiera de estos movimientos
es el menor en la leva de “gravedad” lo que parece indicar que éste es el movimiento más
aconsejable a emplearse. De cualquier forma, para ambos movimientos, el de gravedad y el
armónico simple, la aceleración máxima, y por tanto la máxima fuerza de inercia, se aplican
repentinamente al principio dela carrera. Esto ocasión aseveras perturbaciones vibratorias que se
pueden reducir empleando la leva cicloidal la cual aplica gradualmente la aceleración.


Una leva que produce movimiento armónico de la varilla se compone de un o mas arcos
circulares y por esto es fácil y económico manufacturarlas con exactitud. Cuando la velocidad es
reducida y las fuerzas de inercia no son importantes, este tipo de leva es más económico en su
fabricación que las otras formas.

7.4 Construcción del perfil de la leva

Método general
Hasta ahora hemos discutidos el método para dibujar diagrama de desplazamiento para los
movimientos requeridos para la varilla. El siguiente paso que se considerará, es encontrar los
perfiles de la leva necesarios para producir estos movimientos. La construcción se altera en sus
detalles con los diferentes tipos de varillas, pero podemos esbozar un método general que se
puede aplicar para todos los casos, sin consideración de la forma de la curva de desplazamiento,
o de la variedad de la varilla en uso. Es aplicable para levas planas o de disco, levas cilíndricas y
levas de traslado y comprende los siguientes pasos:
(a) la leva se considera como el eslabón fijo en el mecanismo en vez de la bancada que
soporta la flecha de excéntricos y guié la varilla. Esto es, tratamos con la inversión del
mecanismo actual. Como quedo anotado, el movimiento relativo de cualquier parte de los
eslabones queda sin alterarse cuando el mecanismo se invierte, por esto, la leva y la
varilla tendrán el mismo movimiento relativo, no importando si es la bancada o la leva la
que se considera como miembro fijo.
(b) La parte de la varilla que actúa sobre la leva, se traza en las varias posiciones que ocupará
en diferentes instantes durante su movimientos cíclico relativo a la leva estacionaria. La
superficie de una rodaja; un punzón, una cara plana, convexa o cóncava en deslizamiento;
etc. En la fig. 7.14 con las líneas punteadas se ilustra la posición de la varilla
correspondiente a los desplazamientos angulares de 30°, 60° y 90° etc., desde un radio
arbitrario cero. La elección de los intervalos angulares depende del número de puntos
que se desean localizar en el perfil de la leva.
(c) El perfil de la leva se localiza dibujando una curva uniformemente tangente a las
superficies de contacto de la varilla en sus diferentes posiciones.


La superficie de contacto de la varilla se localiza como se requiere en (b) encontrando primero la
posición de algún punto seleccionado sobre la varilla. El punto elegido que podriamos llamar
“punto de referencia” debe de ser uno que fácilmente se puede localizar de los datos obtenidos
por la curva de desplazamiento, y también uno a partir del cual se trazan convenientemente la
superficie de trabajo de la varilla. Por ejemplo, cuando se usa una rodaja, el centro de la rodaja es
el mejor punto para este propósito; cuando la varilla es un plato, el punto donde el eje de la
varilla intercepta la cara de contacto es el mas satisfactorio.
Debe notarse que las construcciones descritas en los siguientes artículos difieren únicamente un
de la otra por las variaciones en la forma de la varilla empleada y en la manera en que el
movimiento queda restringido con referencia a la bancada y a la leva.

7.5 Leva plana o disco

7.5.1 Varilla de punzón
En este mecanismo, la leva tiene contacto con la varilla sobre una línea representada por el punto
A en la Fig. 7.14 en todas las posiciones. Este estilo de varilla es apropiado únicamente para
efectuar servicios muy ligeros, por que la punta no se puede lubricar con efectividad: La presión
en este punto y el desgaste posible será excesivo.
Suponiendo que se conocen los datos necesarios para trazar por puntos, según los métodos
descritos anteriormente, el diagrama de desplazamiento (Fig. 7.14a), procederemos a discutir el
método para dibujar el perfil de la leva. El diámetro del círculo base se considera como 2
pulgadas (5cm) y la alzada una pulgada (2.54 cm) Las distancias x, y, z, etc., en la Fig. 7.14a
representan los desplazamientos de la varilla después de 30°,60°,90° etc., del movimiento de la
leva, desde luego se pueden emplear cualesquiera otros ángulos convenientes. Primero se traza el
círculo base (Fig. 7.14) y se elige un radian de 0° como la línea de referencia que representa la
posición inicial del eje de la varilla. En la posición inicial, indicada por las líneas sólidas, la
varilla en forma de punzón toca el círculo base.
De acuerdo con el plan general esbozado en el método para construir el perfil, consideramos la
leva como el eslabón fijo y movemos la varilla alrededor de ella. El punto A es el punto de “
referencia” más conveniente y localizamos primero sus posiciones sucesivas.


Figura 7.14a

Figura 7.14

Para encontrar la posición de A después de 30° de movimientos de la leva, marcamos la distancia
x desde A hacia fuera sobre la trayectoria del movimiento de este punto; de esta forma el punto 1
queda determinado. Luego con centro en O y radio O1 giramos el arco 1-1´ en el sentido opuesto
al movimiento de la leva, subtendiendo un ángulo de 30° en el punto O. Entonces 1´ será la
nueva posición de A correspondiente a 30° de movimiento angular. Empleando y ,z, etc., como
desplazamientos, encontramos los puntos 2´, 3´, etc., en la misma forma.
Como la leva toca siempre la varilla en A, terminamos la construcción trazando una cuerva suave
pasando por los puntos a 1´,2´,3´, etc.
No siempre se mueve el borde de la varilla en una trayectoria recta que pasa por el centro del eje
de la leva: la Fig. 7.15 muestra el caso cuando la varilla esta descentrada; es decir A se mueve
sobre un línea que pasa a un lado del centro de la leva.
La descripción para obtener la construcción del perfil de la leva requerida en la Fig. 7.14 puede
aplicarse sin cambios para la Fig. 7.15.


Figura 7.15

7.5.2 Varilla con rodaja
Comúnmente la varilla se guía para que se mueva con movimiento coplanario o se pivotea para
que gira alrededor de un punto fijo. El método general se puede aplicar para ambos casos. El
centro de la rodaja se emplea como punto de referencia y se determina primero su trayectoria y
de esta se localiza en varias posiciones la superficie de contacto de la varilla o sea la
circunferencia e la rodaja.
(a) varilla con rodaja con movimiento coplanario.
Suponemos que el diagrama de desplazamiento, Fig. 7.16 especifica las necesidades del
movimiento. Primero se traza el circulo base (Fig. 7.17) y se localiza la rodaja en su posición
inicial tocando este círculo. Se traza la trayectoria del centro de la rodaja AA’, después
localizamos un radian de 0º, por conveniencia paralelo a AA’ y se proyectan intervalos
angulares de 30° a partir de éste y con centro en O. Conservando la leva estacionaria, localizamos
entonces la posición del centro de la rodaja A, después de 30° de desplazamiento de la varilla.
El diagrama de desplazamientos indica un desplazamiento x a 30°; esa distancia se traslada a lo
largo de AA´, obteniéndose el punto 1. Con centro en 0 y con radio 0-1, se describe un arco 1-
1´en sentido opuesto del movimiento de la leva, y de tal longitud que subtienda un ángulo de 30°
en O. El punto 1 se puede localizar más fácilmente haciendo la cuerda 1-1’ igual a la cuerda LM
o sea 1L igual a 1’M.


Figura 7.16

Figura 7.17

Los puntos 1´,2´,3´,4´, etc., se localizan de la misma manera. Empleando estos puntos como
centros y con el radio de la rodaja, se dibujan los perfiles correspondientes de la superficie de
contacto de la varilla. El perfil requerido de la leva evidentemente es una cuerva trazada tangente
a cada uno de estos círculos. Esta cuerva se dibuja lo más uniformemente posible.
En la Fig. 7.17 la línea AA´ no pasa por el eje del excéntrico; por esto se dice que la varilla esta
“descentrada”. Algunas veces se procura el traza descentrado para reducir el empujé lateral
durante el periodo de la alzada.
La fig. 6.18 ilustra una leva obtenida cuando la varilla esta centrada, es decir cuando AA’ pasa a
través de 0. Los puntos 1´,2´,3´, caen respectivamente en los radianes de 30°, 60° y 90°.


Figura 7.18

(b) Varilla de rodaja pivoteada.
Aquí se considera que el movimiento angular de la varilla queda detallado siendo su
desplazamiento total φ°. Trazamos un diagrama de desplazamiento para el movimiento angular
de la varilla el cual también nos servirá como el diagrama de desplazamiento lineal, para el
movimiento del centro de la rodaja A, puesto que estas dos cantidades están en proporción directa
una a la otra (s = φr). Esta consideración es la base para la construcción que sigue. Suponemos
que el circulo base, el diámetro de la rodaja, el largo de la varilla y la posición de pivoteo son
datos conocidos. En la figura 7.20 primero trazamos el mecanismo con la rodaja tocando el
circulo base. Un arco AA´ con centro en B y radio BA y de tal longitud que subtienda el ángulo
φ° en B, es la trayectoria del movimiento del centro de la rodaja.
Luego trazamos el diagrama de desplazamiento, Fig. 7.19, empleando la distancia AA´
rectificada para representar el ángulo φ. El método para efectuar esto es exactamente el mismo
que el usando cuando los desplazamientos de la varilla son lineales o angulares. Desde este
punto en adelante, la construcción es idéntica a la empleada par la Fig. 7.17. La distancia x
representa el desplazamiento a 30° y se transporta a lo largo de AA´ obteniéndose el punto 1. Con
centro O y con radio 01 se construye un arco y se traza una cuerda 1-1´ en él, con una longitud
igual a la cuerda LM (o sea 1L=1´M). Los puntos 2´,3´, etc., se localizan de la misma manera. Se
trazan los círculos que representan la rodaja con 1´,2´,3´, como centros y finalmente se forma el
perfil de la leva de modo que toque todos estos círculos.


Figura 7.19

Figura 7.20

7.5.3 Varilla con cara plana o plato
Aquí consideramos dos casos (a) cuando la varilla tiene movimiento rectilíneo y (b) cuando la
varilla tiene movimiento angular alrededor de un centro de pivoteo.
a) Varilla con cara plana o plato con movimiento rectilíneo
La figura 7.22 ilustra este caso. Suponiendo que hemos obtenido el diagrama de desplazamiento
y que es de la forma mostrada en la Fig. 7.21 procedemos como sigue.
Trazamos el círculo base para la leva, y lo dividimos en partes angulares convenientes.
Dibujamos la varilla en su posición inicial BC, tangente al círculo base. El punto A donde el
centro de la varilla intercepta el plato BC se elige como punto de referencia. Se trasportan las
distancias x, y, z, etc., obtenidas del diagrama de desplazamiento, a lo largo de la trayectoria del
movimiento de A obteniendo los puntos 1,2,3, etc. Con centro en O y O1 como radio, giramos el
arco 1-2´ . El punto 1´ es la posición de A después de 30° de desplazamiento. Dibujamos líneas
semejantes a través de 2´3´, etc cada una perpendicular a su radio correspondiente. El perfil de la
leva se localiza trazando una curva tangente a cada una de estas líneas. Debe notarse que las
intersecciones de estas líneas forman triángulos, mostrados en la Fig. como superficies


achuradas. El dibujo del perfil de la leva se facilitará se recuerda que la cuerva requerida toca la
base de cada uno de los triángulos en sus centros.

Figura 7.21

Figura 7.22

El largo necesario de la cara el plato BC en la Fig. 7.22 se puede determinar rápidamente por la
inspección de la figura. La cara es comúnmente un disco circular, libre para que gire alrededor
del eje de la varilla. El punto de contacto esta solamente sobre el eje en las posiciones de
“reposo” y se mueve hacia fuera en dirección de B o C conforme aumenta la velocidad de la
varilla. Las distancias AB y AC deben de ser lo suficientemente grandes para que los puntos de
contacto nunca pasen por B o C. Inspeccionando el diagrama, podemos localizar la distancia de la
tangente mayor; AB y AC deben de ser cuando menos iguales a S y preferentemente, un poco
más grandes. Descentrado la varilla un poco, como lo muestra la Fig. 7.23 se induce una lenta
rotación a este miembro. Esto tiende a causar un desgaste más parejo en las superficies de
contacto.


Figura 7.23

b) varilla con cara plano o plato con un centro de pivoteo
La fig. 7.25 ilustra este mecanismo, en el cual la varilla gira alrededor del centro de pivoteo fijo
B. Para construir el perfil e la leva, seleccionamos cualquier punto, tal como C en la cara de la
varilla como punto de referencia.

Figura 7.24

Figura 7.25


El arco CC´ con centro en B, Es la trayectoria del movimiento de C considerando la leva tiene un
desplazamiento total de φ°. El diagrama de desplazamiento, Fig.- 7.24 se traza de la manera
usual, empleando la distancia rectificada CC´ o sea a, para representar el desplazamiento de la
varilla. La forma de la cuerva depende de la especificación del movimiento. La construcción de
un punto en el perfil de la leva 30° de desplazamiento de la misma, queda indicado en la figura.
La distancia x representa el desplazamiento de la misma, queda indicado en la figura. La distancia
x representa el desplazamiento angular de la leva en este instante; esta distancia se transporta a lo
largo del arco CC´ obteniéndose de esta manera el punto F. Luego se gira la varilla 30° en un
sentido opuesto al movimiento de la leva, lo cual causa que F se mueva hasta F´y B hasta B´.
F´se localiza fácilmente ya que el ángulo BAB´= 30° y BF = B´F´, Dibujando con B´ como
centro, un círculo con radio BG, la tangente F´G´ representa la nueva posición de la ara de la
varilla. Repitiendo esta construcción para otros ángulos de la leva obtenemos las series de líneas
mostradas en la figura, las cuales deben ser tangentes al perfil de la leva.

7.5.4 Ángulo de presión de la leva

Mientras que la leva gira y acciona su varilla, ejerce una fuerza sobre la varilla a través del punto
de contacto y norma a la superficie de la leva, como se muestra en la Fig. 7.26. Esta fuerza se
descompone en dos componentes, una normal al movimiento de la varilla y la otra en dirección al
movimiento de ésta.

Figura 7.26


La componente perpendicular al movimiento Fn obviamente no es aconsejable, en vista de que
no solamente no efectúa un trabajo satisfactorio, sino también tiende a separarse o brincarse del
vástago de la varilla y causa un desgaste excesivo en las guías y soportes de la misma.
Podemos encontrar una medida de la magnitud relativa de la componente no deseada mediante el
ángulo de presión de la leva α.
El ángulo de presión tienen un lado en dirección al movimiento de la leva y el otro normal a la
superficie de la leva en el punto de contacto, como se ilustra en la Fig. 7.26.
El valor máximo del ángulo debe ser lo menor posible, y en general no debe exceder los 30°. La
magnitud de la componente no deseable es una función no solamente del ángulo de presión, sino
también de la fuerza total implicada. Esto a su vez, depende de la velocidad de la leva, el
coeficiente de fricción, el radio de la leva, la carga o resistencia del resorte en la varilla, etc. En
vista de estos factores, no es posible calcular un valor máximo absoluto par el ángulo de presión
máxima para todas las condiciones.
El ángulo de presión es una función del radio del círculo base más el radio de la rodaja de la
varilla, del descentramiento, de la alzada de la varilla, del ángulo girado por la leva mientras
ocurre la alzada y del tipo de movimiento empleado para la varilla.

7.5.5 Diámetro del círculo base

Al suponer cualquier diámetro del círculo base, es muy importante tomar en cuanta ciertos
factores. Para una determinada alzada s durante un desplazamiento angular especifico de la leva
θ, resultará un círculo base grande en un ángulo de presión α pequeño. Esto se ilustra en la Fig.
7.27 donde la alzada s se requiere para el ángulo de la leva θ. SE emplea una varilla de punzón; y
por simplicidad, se supone que la forma del perfil de la leva durante el movimiento es una línea
reta. En la parte a) de la figura, la el diámetro del círculo base es dos veces más grande que en la
parte b), permaneciendo todos los otros actores constantes. El ángulo de presión en la parte a) es
considerablemente menos que en la parte b), para las posiciones correspondientes de la leva de
punzón.
Si el diámetro del círculo base es muy pequeño resultaría una condición en la que sería
imposible que toque toda las posiciones de la varilla. Entonces para la varilla de cara plana
mostrada en la Fig. 7.22 con un círculo base pequeño resultaría la situación mostrada en la Fig.


7.28 donde es imposible dibujar una curva que toque todas las líneas tales como 1-1´, 2-2´,3-
3´etc.


La causa se debe a la muy rápida aceleración o desaceleración de la varilla, y el remedio esta en
aumentar el diámetro del circulo base. Cuando se agranda el círculo base, una cierta cantidad,
tres de las líneas coincidirán en un punto; entonces el perfil presentara un filo, el cual es posible
que se desgaste muy rápidamente. Si continuamos aumentando el círculo base se ocasionara que
desaparezca este filo.
En general el diámetro del círculo base debe hacerse lo más grande posible dentro de las
limitaciones del espacio disponible. También debe ser mayor en diámetro que el cubo de la leva
o la flecha de la leva para asegurarse que la varilla no va a trabajar en el cubo de la leva o la
flecha en vez de un el perfil de la leva.

7.6 Leva de retorno positivo

Cuando se tiene una leva de disco y seguidor radial, con frecuencia es necesario regresar el
seguidor en forma positiva en vez de por medio de la gravedad o por medio de un resorte. La
figura 7.29 muestra una leva de este tipo en que la leva controla positivamente el movimiento del
seguidor, no solo durante el movimiento hacia fuera sino también en la carrera de retorno.
Necesariamente, el movimiento de retorno debe ser igual que el de salida, pero en direcciones
opuesta. A esta leva también se le conoce como leva de anchura constante.


Figura 7.29
Leva de retorno positivo

Para las levas planas o de disco el control del movimiento de la varilla mediante el uso de dos
superficies de contacto se efectúa de las siguientes maneras:
(a) por el uso de un disco ranurado y una varilla con rodaja, como en la –Fig.7.6
(b) proporcionando dos superficies de contacto en la varilla localizadas en lados opuestos del
eje de la leva, ambas trabajando en la misma leva (vea. Fig. 7.29)
(c) Empleando dos superficies de contacto en la varilla como en el tipo b, pero logrando que
cada una trabaje sobre una leva por separado (véase Fig.7.30).

Figura 7.30


7.7 Levas tipo cilíndrica

Tipos.
Estas levas pueden tener varillas guiadas en tal forma que se muevan a lo largo de una línea recta
sobre un elemento del cilindro (Fig. 7.31a) o las varillas pivoteadas de tal forma para que se
muevan alrededor de un eje perpendicular al eje de la leva (Fig. 7.31b). La rodaja si es cilíndrica,
no puede tener contacto puro en rodadura debido a las diferencias de las velocidades
consecuentemente se fabrican algunas veces en la forma de un cono truncado (fig. 7.31c) con el
ápice sobre el eje de revolución de la leva. No obstante que esto promueve una rotación de
rodadura pura, también introduce un empuje indeseable y que tiende a sacar la rodaja fuera de la
leva.

a) b) c)

Figura 7.31 Levas cilíndricas

7.8 Levas de arco circular

Generalidades
Muchas levas tienen perfiles formados por arcos circulares. Hay tres razones para emplear estos
tipos de perfiles con preferencia a otras curvas: (1) las especificaciones del departamento de
dibujo son mas fáciles de hacer para el uso del taller; (2) el proceso de manufactura es mas
económico; (3) la leva terminada se puede rectificar con mayor facilidad y mayor presesión. Las
levas de las válvulas empleadas en los automóviles y en otros motores de combustión
interna, así como muchas otras, con comúnmente de esta clase.


Eligiendo los radios y los centros e los arcos apropiadamente los requerimientos teóricos de los
movimientos de las varillas pueden aproximarse muy exactamente. El proceso del diseño se
puede efectuar primeramente dibujando el diagrama de desplazamiento para un movimiento
deseado tomando una escala grande y trazar la leva a partir de este. Entonces por
experimentación se eligen los arcos y los radios que se aproximen a la forma real. Finalmente la
leva resultante se rectifica trazando hacia otras hasta el diagrama de desplazamiento el cual se
compara con el original. Si en la revisión de la leva se encuentra una alteración de la curva de
desplazamiento a una forma poco satisfactoria, será necesaria efectuar otra revisión.
Para las levas de alta velocidad es necesario dibujar una curva de aceleración de la varilla, ya que
la presión del resorte necesario en el tipo negativo depende en gran parte del peso de la varilla y
de las partes adjuntas y de la aceleración. Comenzando con el diagrama de desplazamiento y
tratándolo como una curva de tiempo-desplazamiento, según el método anotado, podemos
construir una curva de velocidad-tiempo y una de aceleración-tiempo; esta última nos da la
información necesaria para calcular el resorte.
Levas de las válvulas del motor de automóvil
La fig. 7.32 muestra un ensamble típico de válvula y leva para una Leva de automóvil con la
nomenclatura de sus varias piezas.

Figura 7.32


7.9 Varillas primarias y secundarias

El mecanismo de la Fig. 7.32 tiene una varilla pivoteada, sobre el otro lado se encuentra una
varilla secundaria que hace contacto con movimiento rectilíneo. Nos referimos a éstas
respectivamente, como leva “primaria” y “secundaria”. Las ventajas de un arreglo como éste son:
(a) la leva secundaria se releva de casi todo el empuje lateral;
(b) con una determinada leva se obtiene una gran relación de aumento de reducción del
desplazamiento primario, y
(c) el eje de la leva secundaria se puede descentrar a una distancia considerable del eje del
excéntrico para el acomodo del mecanismo de una determinada máquina.
Se puede suponer que el movimiento de la leva secundaria es definidamente específico, para que
pueda dibujarse un diagrama de desplazamiento (como el de la Fig. 7.31) también podemos
suponer que se dan suficientes datos para permitir que el mecanismo se trace en la posición
indicada por las líneas sólidas de la Fig.7.32 con la rodaja haciendo contacto en el círculo base.

Figura 7.31

Figura 7.32


CUESTIONARIO.
7.1 Trácese por punto el diagrama de desplazamiento para los movimientos de la varilla como se
especifican de a hasta e. Muéstrese en cada caso suficientes trazos, puntos y anotaciones que
indique los métodos empleados.
(a) la varilla alza una plg. (2.54 cm) con velocidad constante hasta su posición mas alta
durante 120° de desplazamiento de la leva, reposa por 60° y regresa con moviendo
cicloidal durante 45° hasta suposición inicial, donde reposa hasta terminar la revolución.
(b) Una varilla alza 2 plg. (5.08 cm) con aceleración y desaceleración uniformes e iguales
hasta la parte mas alta de su carrera durante 180° del movimiento del excéntrico, reposa
por 30° y regresa a su posición inicial con velocidad constante durante 120° y reposa para
terminar la revolución.
(c) Una varilla alza 1 plg. (2.54 cm) con movimiento constante modificado durante 120° de
rotación de la leva, se acelera durante un periodo de 60° y desacelera 30°. Después
reposa mientras la leva gira de 120° a 150° se eleva una plg. adicional (2.54 cm) con
movimiento armónico simple, mientras la leva gira de 150° a 240°. Cuando el excéntrico
gira de 240° a 360° la varilla cae 2 plg. (5.08 cm) hasta su posición original con
aceleración y desaceleración constante las cuales están en una proporción de 3:1.
(d) Una varilla alza 1 ¼ plg. (31.8 mm) con aceleración y desaceleración constantes a una
proporción de 2:3 durante 150° de giro de la leva. Después alza ¾ plg (19.0 mm)
adicionales con velocidad constante modificada, mientras el excéntrico gira desde 150°
hasta 255°; la aceleración durante este último periodo del movimiento ocurre durante un
giro de la leva de 30°; la desaceleración se efectúa durante los últimos 30° del ángulo de
la leva. La varilla reposa 15°, luego la varilla cae 1 plg. (50.8 mm) con movimiento
cicloidal, mientras la leva gira a través de un ángulo desde 270° hasta 315°. Desciende
1.0 plg en los últimos 45° del ángulo de la leva, con M.A.S.
(e) Una varilla pivoteada se mueve con aceleración y desaceleración iguales y constantes,
empezando desde la posición extrema exterior, hasta el otro extremo de su carrera, siendo
el desplazamiento total de 25° durante un movimiento de la leva de 90° . Después reposa
por 45° y regresa a su posición inicial durante 60° con un movimiento armónico simple
y un periodo de reposo ocupa el resto del giro. El radio del brazo de la varilla es de 4
pulg. (101.6 mm)


7.2 ¿Por qué no es práctico emplear un movimiento no modificado de velocidad constante para
una leva con altas velocidades? ¿cómo se debe modificar en orden de obtener mejores resultados?
7.3 una varilla se eleva ½ plg. (12.7 mm)durante un desplazamiento de 90°; la leva gira a una
velocidad constante de 120 rpm.
(a) encuéntrese la velocidad de la varilla, si es constante. (b) si la varilla se eleva con
aceleración y desaceleración igual y constante, encuéntrese el valor de la aceleración y
la velocidad máxima obtenida.
Resp. (a) 4 pulg. por seg. (101.6 mm por seg)
(b) 128 pulg. por seg2 ;8 pulg. por seg
(3.35 m por seg2; 203.2 mm por seg)
7.4 Una varilla se eleva ¾ pulg. (19.0 mm) durante media revolución de la leva, girando esta
última a una velocidad constante de 480 rpm. La aceleración constante para la primera parte del
periodo de la alzada, es tres veces mayor que durante la última parte de este periodo que tiene
desaceleración constante. Encuéntrese el valor de la aceleración y el desplazamiento de la leva
durante este movimiento.
7.5 Calcúlese la velocidad y aceleración máxima de una varilla que se mueve a través de una
distancia de 1 plg. (25.4 mm) con movimiento armónico simple durante 120° del desplazamiento
de la leva si la leva gira a 200 rpm..
Resp. 15.7 plg. por seg ; 492 plg. por seg2.
(398.8 mm por seg, 12.5 m por seg2)
7.6 En cada uno de los siguientes casos, del a al i, considérese un diagrama de desplazamiento
dado, y muéstrese como trazar el perfil de la leva para obtener el movimiento requerido de la
varilla. Muéstrense suficientes líneas de construcción y anotación para indicar el método
empleado en cada caso.
(a) Una leva de disco gira en sentido de las manecillas del reloj con una varilla puntiaguda en la
cual la punta se mueve sobre una línea recta que pasa por el eje de la leva.
(b) Una leva de disco gira en sentido de las manecillas del reloj con una varilla puntiaguda que e
mueve sobre una línea recta que pasa a la izquierda del eje de la leva.
(c) Una leva de disco gira en sentido contrario de las manecillas del reloj, tienen una rodaja sobre
la que actúa le leva y tiene movimiento rectilíneo. El centro de la rodaja se mueve en una línea
recta que se intersecta con el eje de la leva.


(d) Una leva de disco gira en sentido contrario de las manecillas del reloj con una varilla con
rodaja que tiene movimiento rectilíneo. El centro de la rodaja se mueve sobre una línea recta que
pasa a la derecha el eje de la leva.
(e) Una leva de disco gira con sentido de las manecillas el reloj con una varilla con rodaja que se
encuentra pivoteada a la derecha y un poco hacia arriba de lo ejes de la leva.
(f) Una leva de disco gira en sentido de las manecillas del reloj con una varilla que tiene una cara
convexa en deslizamiento. La varilla se mueve sin desplazamiento angular, y sus ejes pasan por
los ejes de la leva.
(g) Una leva de disco gira en sentido contrario de las manecillas el reloj y tiene una varilla de
plato con movimiento rectilíneo. ¿cómo se determina la distancia necesaria de la cara de la
varilla en este caso?
(h) Una leva de disco gira en sentido contrario de las manecillas del reloj y tiene una varilla de
plato pivoteada a la derecha y un poco hacia arriba de los ejes de la leva.
(i) Una leva de disco con una varilla primaria pivoteada del tipo de rodaja y una varilla
secundaria con una superficie convexa tiene movimientos rectilíneo.
7.7 Esbócese y explique la acción en los tres tipos de mecanismo de levas con movimiento
positivo.
7.8 (a) Cuando un mecanismo de una leva con movimiento positivo tienen una única leva
actuando sobre dos caras de una varilla de yugo,¿qué limitaciones se le imponen al movimiento
de la varilla. (b) ¿Cuál es la objeción principal para emplear mecanismo de levas con
movimientos positivo con una sola rodaja actuando sobre dos superficies de excéntricos?
7.9 Indíquese tres ventaja prácticas de perfiles de arco circular sobre curvas de otro tipo.
7.10 (a) Indíquese los factores que entran en la determinación del tamaño del círculo base de una
leva. (b) Defínase e ilustre con un bosquejo el ángulo de presión de una leva ¿por qué es
importante en el diseño de las levas? ¿de que factores depende?.

CAPÍTULO 8

CONTACTOS CON RODAMIENTO

8.1 Condiciones para contactos con rodamiento

Cuando dos cuerpo se mueven el uno con respecto al otro de tal manera que no existe
movimiento relativo en el punto de contacto se dice que los cuerpos tienen contacto con
rodamiento puro. Se deduce que los puntos en contacto tienen, en un instante, la misma velocidad
relativa a un tercer cuerpo. Es más, según el Teorema de Kennedy el centro instantáneo de los
dos cuerpos se encuentra localizado en el punto de contacto.
Cuando dos cuerpos en contacto con rodamiento punto, giran con relación a un centro instantáneo
o permanente sobre un tercer cuerpo, el punto de contacto siempre debe de coincidir sobre una
línea recta que une estos centros. Esto puede mostrarse refiriéndonos a la Fig. 8.1 en la cual 2 y 3
tienen contacto con rodamiento y giran con relación a los centros O21 y O31 respectivamente, P es
el punto de contacto en ese instante y en vista de que en este punto no existe movimiento relativo,
P es el centro instantáneo O23. Según el teorema de Kennedy O21O31 y O23 coinciden sobre una
misma línea recta.

Figura 8.1

Se ha mostrado que el punto de contacto de un par de cuerpos con rodamiento se encuentran
localizados en una línea que une sus centros instantáneos o de pivoteo. Vamos a considerar el
caso cuando dos cuerpos giran con relacion a centros de pivoteo fijos y tienen contacto con
rodamiento puro. En la Fig. 8.1 O21 y O23 se convierten ahora en los centros permanentes así
como también en centros instantáneos. Si elegimos cualquier punto Q sobre el perfil del cuerpo 2,

CINEMÁTICA DE LAS MÁQUINAS CONTACTO CON RODAMIENTO 163

medimos las distancias del perfil desde P hasta Q, y trazamos una distancia igual a PQ´ sobre el
perfil de 3, entonces evidentemente, cuando los cuerpos giran en algún instante Q y Q´
coincidirán, si no fuera de esta forma habría ocurrido un deslizamiento. En vista de que Q y Q´ se
encuentran sobre la línea de O21 y O31,
O21Q+Q´O31=O21P+PO31=D (8.1)
Donde D es la distancia entre los centros permanentes. Por esta razón, los cuerpos de cualquier
forma pueden tener contacto con rodamiento puro; pero éstos tendrán una distancia fija entre
sus centros de rotación y por tanto es posible que giren sobre sus centros permanentes en un
tercer cuerpo, solamente cuando se cumple la condición establecida por la ecuación 8.1. Esta
condición es que la suma de los radiantes de cualquier par de puntos que hacen contacto con
rodamiento puro debe ser constante.

8.2 Relación de velocidad angular

En la Fig. 8.2 dos cuerpos en contacto con rodamiento harán contacto por un instante en el punto
P. Si Vp es la velocidad lineal para el punto común y si consideramos p como un punto en 2, Vp
= ω21 x OP.
Considerando P como un punto en 3, encontramos Vp,= ω31 x O´P. Entonces ω21 x OP = ω31x
o´p, o sea
ω31 = OP (8.2)
ω21 = O´P

Es obvio que en el caso considerado los cuerpos 2 y 3 giran en sentidos opuestos. Si las dos
rotaciones se consideran como positivas y negativas respectivamente, la relación de velocidad
llevará un signo negativo.

Figura 8.2


Solamente fueron consideradas condiciones instantáneas; consecuentemente los puntos O y O´ en
la Fig. 8.2 únicamente necesitan ser centros de pivoteo instantáneos y no necesariamente
centros de pivoteo fijos.
La ecuación anterior establecida en palabras quiere decir que la relación de velocidad de una par
de cuerpos haciendo contacto con rodamiento es inversamente proporcional a la distancia desde
su punto de contacto hasta sus respectivas centros de pivoteo. Cuando el punto de contacto cae
entre sus centros de pivoteo, deben girar en sentidos opuestos. Cuando cae a un lado de los dos
centros de pivoteo lo contrario es lo cierto.
Para una relación de velocidad constante, OP y O´P deben tener una relación constante, lo cual
es verdad únicamente cuando P ocupa una posición fija sobre la línea de cetros. Un par de
círculos son las únicas curvas que llenan esta condición; por consiguiente, los cuerpos que giran
juntos con una relación de velocidad constante, deben tener secciones circulares perpendiculares
a sus ejes de giro, y estos cuerpos tendrán velocidades inversamente proporcionales a sus radios.

8.3 Transmisiones friccionales

Las transmisiones fricciónales se pueden definir como aquellas en las cuales la fuerza se puede
trasmitir por el contacto con rodamiento de loe elementos accionado y motriz. La fricción
depende únicamente en una anulación apreciable del deslizamiento. Hay aplicaciones prácticas
de mecanismos conectados con rodamiento. Las ruedas cilíndricas con contacto interno o externo
se emplean comúnmente para la conexión de dos flechas paralelas. Se emplean ruedas hechas en
forma de conos truncados para conectar dos flechas que se cruzan o interceptan. Estas pueden
tener contacto externo (como en la Fig. 8.8 ) o contacto interno (como en la fig. 8.9) El chaflán de
los conos debe tener un ápice común, en orden de aproximarse a las condiciones del rodamiento
puro.
Prácticamente cuando se efectúa una trasmisión de fuerza empleando el sistema friccional, esta
sujeta a que ocurra una cierta cantidad de resbalamiento. Este tipo de trasmisión rinde mejor
servicio para trabajos ligero. Es necesario un presión pesada en el contacto cuando se trasmite
una gran cantidad de potencia; esto tiende a causar pérdidas por fricción y desgaste en los
cojinetes de los ejes de las ruedas, así como también en las superficies de contacto.


Con el propósito de incrementar la fuerza que debe de ser trasmitida por las ruedas de fricción
para una determinada presión de contacto, algunas veces las ruedas vienen suministradas con una
ranuras circunferenciales en forma de v. Fácilmente se puede demostrar que de cualquier forma,
ese tiempo de construcciones rinde un contacto con rodamiento puro imposible y por esto, tiene a
aumentar el desgaste y las pérdidas por fricción.

8.4 Disco y rodillo

Algunas veces se emplea una trasmisión de fricción de la forma mostrada en la Fig. 8.3 cuando
se desea obtener una relación de velocidad que se puede cambiar al gusto.

Figura 8.3

El rodillo 2 usualmente es el motriz, efectuando un contacto friccional con el accionado, que es el
disco 3. El rodillo 2 esta motado de tal forma que se puede correr en una dirección axial y por
consiguiente se mueve en una línea paralela a la superficie del disco. La relación de velocidad de
las ruedas motriz y accionada depende de su posición. La inversión del sentido de rotación se
efectúa moviendo 2 al lado opuesto del eje del disco. Un hueco en el centro del disco causa que
los dos miembros rompan el contacto cuando 2 queda en la posición centra, obteniendo un punto
“neutro” en el cual no se obtienen trasmisión.

Ocurre rodamiento pudo únicamente cuando 2 no tienen un espesor considerable y por
consiguiente hace contacto en un punto. Una condición de este tipo en una máquina práctica
solamente se podría establecer si la fuerza que se trasmite es muy pequeña. Un rodillo ancho con
línea de contacto dará un contacto con rodamiento pudo en su punto central o cerca de él,
aumentado la velocidad de resbalamiento conforme se aproximen los bordes. Esto tiende a
ocasionar un desgaste rápido en los lados. Si P (en Fig. 8.4) es el punto de contacto en el cual


ocurre rodamiento puro, entonces Vp, es la misma cuando se calcula de la velocidad angular de
cualquier cuerpo, Por esto,

vp=ω2 x r2=ω3 x r3 o sea ω2= r3
ω3 r2

Entonces si ω2 es constante ω3 tendrá su valor máximo cuando r3 sea mínimo , y su valor
mínimo cuando r3 sea máximo.

Figura 8.4

Estos radios se pueden elegir para dar un margen requerido de velocidades. P, el punto con
rodamientos puro, generalmente se considera localizado al centro de la cara de la rueda 2.

8.5 Construcción del perfil

La siguiente construcción aproximada su puede emplear para encontrar el perfil de un cuerpo que
requiere un contacto con rodamiento puro con un segundo cuerpo de forma conocida,
considerando que ambos cuerpos oscilan con relación a centros permanentes. La construcción
esta basada en las propiedades de los cuerpos con rodamientos.
Consideremos que 2 ( Fig. 8.5) sea el cuerpo de forma conocida y que oscila alrededor de O, y
supongamos que se requiere encontrar el perfil de un segundo cuerpo 3, que oscila alrededor de
O´ y que fijara con el cuerpo dado 2. Uniendo O y O´ localizamos P, que debe de ser el punto de
contacto en la posición dada. Un numero conveniente de puntos a, b, c, etc... se eligen sobre el
perfil de 2.

Para localizar el punto a´ sobre 3, que hará contacto con a cuando los cuerpos giren
conjuntamente, trazamos un arco con O como centro y con un radio Oa que intersecta OO´ en A.


Figura 8.5

Entonces con O´ como centro y con un radio OÁ trazamos el arco Aa´, lo cual satisface la
condición que la suma de los radios a los puntos correspondientes debe ser constante e igual a
OO´. Una segunda condición es que la distancia de los arcos Pa y Pa´ deben ser iguales para
evitar el resbalamiento. Así pues, trazamos un arco con su centro en P y con un radio Pa para
intersectar el arco Aaén a´. Entonces las distancia de los arcos Pa y Pa´son aproximadamente
iguales, y los puntos a y a´ coincidirán durante la oscilación. De una forma semejante se puede
encontrar el punto b´ trazando el arco bB teniendo su centro en O, después el arco Bbćon su
centro en O´, y finalmente un arco con su centro en aý con un radio ab ( del cuerpo 2) para
intersectar el arco Bbén b´. Finalmente se traza una curva uniforme por los puntos P, a´, b´, c´
etc. Esta construcción se vuelve exacta cuando los puntos a,b,c, se encuentran separados a una
distancia infinitesimal.

8.6 Rodamiento de dos elipses iguales

Se puede demostrar que las elipses iguales, inicialmente instaladas como en la Fig. 8.6 con todos
sus focos coincidiendo sobre una misma línea recta, y cada una girando sobre uno de sus focos,
tienen contacto con rodamiento puro.

Figura 8.6


Si O y O´ designan los focos que son centros de rotación, la distancia entre estos puntos
obviamente es igual al eje mayor de cualquiera de las elipses. Se debe mostrar que la suma de
los radios a cualquier par de puntos a los cuales lleguen a un contacto las curvas en rotación, es
constante.

Empleando la posición inicial de contacto P como centro y cualquier radio, trazamos un arco
que corta las curvas en 1 y 1´. Como las cuerdas P1 y P1´ son iguales, resulta evidente de la
simetría de la figura, que los arcos elípticos P1 y P1´ tienen la misma longitud. Por lo anterior, el
rodamiento puro hará que 1 y 1´ se unan. Debemos mostrar que O1+´1´es igual a OO´. Si R, R´
son los otros dos focos, de las propiedades delas elipses, conocemos que O1+1R es igual al eje
mayor. Pero en vista de que las elipse son iguales en todos respectos, 1R=O´1. por esto,

O1+O´1¨=O1+1R= eje mayor =OO´

De este modo se cumplieron los requisitos de la ecuación 8.1.

La relación de velocidad angular ω3/ω2 de las elipses en la poción relativa mostrada en la fig. 8.6
es igual a OP/O’P , según el Art. 8.2 cuando la elipse 2 ha girado 180° , S y S´ hacen contacto, y
en ese instante la relación de velocidad será OS/O´S´=O´P/OP. Estos son, respectivamente, los
valores mínimo y máximo de la relación de velocidad, siendo el último recíproco del primero,
Durante cada media revolución de las elipses, la relación cambia de un valor a otro.

Elipses para una relación requerida de velocidad

Es posible construir elipses que dan cualquier variación requerida en la elección de velocidad. La
Fig. 8.7 ilustra la construcción para un caso donde la elipse accionada debe tener tres veces la
velocidad angular de la motriz, es decir, que la velocidad mínima del miembro accionada es una
tercera de la del miembro motriz. La distancia OO´ entre los centros de rotación, se considera
conocida.

Figura 8.7

En la fig. 8.7 OO’se divide primeramente en dos partes OP Y PO´. De tal forma que OP/O´P =
3/1. Si OS igual a O´P se traza a lo largo de OO´ extendiéndola entonces, PS será el eje mayor de


uno de las elipses. PS´ igual a PS , es el eje mayor de la otra elipse. Los focos R y R´ se localiza
haciendo RP y R´S´ igual a PO´. Conociendo los focos y los ejes mayores, podemos trazar las
elipses por cualquiera de los métodos usuales.

8.7 Relación de velocidad de conos que ruedan

En la fig. 8.8 muestra un par de conos empleados para conectar dos flechas que se cruzan a un
ángulo θ. Las distancias BC y CD son los radios de las bases circulares. En C los conos tienen
una velocidad común vc. Entonces,

Figura 8.8

De esta forma las velocidades están en proporción inversa a sus radios o a los diámetros de las
bases.
Consideremos que α (ángulo del accionado) y β (ángulo del motriz) sean los ángulos de los
conos. De la figura.


(8.3)

De la misma manera se puede comprobar que:

(8.4)

Para conos que ruedan con contacto interno (véase fig.8.9) se puede comprobar en una forma
semejante que:

(8.5)

(8.6)

Figura 8.9

Estas formulas nos permiten calcular el ángulo de los conos cuando el ángulo de las flechas y la
relación de velocidad son conocidas.


Conos que ruedan. Método gráfico
Como una alternativa al cálculo de los ángulos de los conos en rotación, se puede elaborar
fácilmente una solución gráfica.
OA y OB (fig. 8.10) representa los ejes de dos flechas que se intersectan y que deben de ser
conectadas por conos que ruedan con una relación de velocidad de 5:2. Estas pueden tener
contacto externo o interno; el anterior se considerará primero.

wm = 5
wa 2 Figura 8.10

Trazamos una distancia de 5 unidades a lo largo de OA y de esta forma localizamos el punto C.
Similarmente, el punto D en OB se localiza haciendo OD igual a dos unidades. Desde C, se
traza CE paralela a OB y desde D, DE paralela a AO. La intersección E es una punto en la línea
de contacto de los conos y nos da la relación de velocidad deseada.
Unamos OE y tracemos las perpendiculares EF y EG a los ejes AO y OB. De la geometría de la
figura se puede mostrar que
EF: EG =OD:OC=2:5
Además de esto, un par de perpendiculares dibujadas desde cualquier punto sobre OE en los dos
ejes, tendrán la misma relación de distancias. En X y Y (figura 8.10) se muestra dos conos
truncados trazados con un par de estas perpendiculares que forman los radios de las bases. La
relación de velocidad es
ωy : ωx = EF : EG = 2:5

Los ángulos de los conos que dan la relación de velocidad especificada son AOE y EOB.
La fig. 8.11 ilustra el caso cuando se desea el contacto interno con la misma relación de
velocidad que en el anterior.


La construcción difiere únicamente de la Fig. 8.10 hasta el grado en que OD se traza a lo largo de
una extensión de BO. Debe notarse que el uso de contacto interno en vez de externo invierte el
sentido de la rotación del miembro accionado.

Figura 8.11


CUESTIONARIO
8.1 a) ¿Qué se entiende por contacto con rodamiento puro? (b) cuando dos cuerpos cualesquiera
tienen contacto con rodamiento puro, ¿qué se puede decir con referencia a la localización del
punto de contacto? (c) cuando dos cuerpos giran alrededor de centros de pivoteo fijos y tienen
contacto de rodamiento puro el uno con el otro, ¿qué condiciones se deben satisfacer con
referencia a sus perfiles? Compruébese lo establecido.
8.2 En las fig. P8.2 de la a a la c muéstrese como se encuéntrale perfil de un cuerpo que gira
con relación a un centro de pivoteo B, el cual tendrá contacto con rodamiento puro con el cuerpo
que gira con relación al centro de pivoteo fijo A. Calcúlese la relación de velocidad angular
cuando el punto de contacto se encuentra en P y en Q.

Fig. p8.2a Fig. p8.2b

Fig. p8.2c

8.3 Compruébese que un par de elipses idénticas que giran alrededor de centros fijos en sus focos
pueden tener contacto con rodamiento puro.
8.4 Dos flechas paralelas se encuentran a una distancia de 15 plg. (38.1 cm) de centro a centro.
Deben ser conectadas por elipses en rotación para obtener una relación máxima de velocidad de
4:1 (a) localícese la distancia de sus ejes mayores y la distancia entre sus focos (b) ¿cuál es la
relación mínima de velocidad de las flechas o árboles?


8.5 Se requiere conos con rodamientos con contacto externo para conectar dos trasmisores a 60°
y la relación de velocidad debe ser 3:2 muéstrese gráficamente como se encuentra el ángulo entre
los conos.
8.6 Se requiere conos con rodamientos con contacto interno para conectar dos trasmisiones a
30° y la relación de velocidad debe ser 3:1 muéstrese como encontrar gráficamente el ángulo
entre los conos.
8.7 Dos trasmisiones que se intersectan a 60° son conectadas por medio de conos con
rodamientos de contacto externo. Uno de los conos tienen un ángulo central de 20° y gira a 300
rpm. Localice el ángulo central del otro cono y sus rpm.
Resp: 40°;160 rpm
8.8 Un cono con rodamiento con un ángulo central de 15° gira a 240 rpm y hace contacto externo
con otro cono que gira a 360 rpm. Encuéntrese el ángulo entre las flechas y el ángulo que se
forma en el ápice del segundo cono.
8.9 Van a ser empleados conos en rodadura con contacto interno para obtener una relación de
velocidad 4:1. El cono menor tiene un ángulo central de 10° ¿cuál es el ángulo central del cono
mayor, y cual es el ángulo entre las flechas?
8.10 Un par de elipses idénticas en rotación tienen una distancia entre sus focos de 4 pulg. (101.5
mm) los ejes mayores son de 7 pulg. (178 mm) de largo. Encuéntrese las relaciónes máximas y
mínimas de velocidad.
Resp. 1 : 3.67, 3.67 : 1
8.11 Un elevador grande de cesta tiene una estrella principal de seis dientes y el arreglo
requiere una variación de velocidad de la estrella desde un mínimo de 10 rpm hasta un máximo
de 11.5 rpm en orden de obtener una velocidad uniforme de la cesta. Esta variación en la
velocidad de la estrella se obtiene por medio de un par de engranes que no son circulares y con
superficie primitivas elípticas. Si la distancia de centro a centro de los engranes es de 30 pulg
(76.2 cm) encuéntrese el largo de los ejes mayores y la distancia entre los focos.
8.12 ¿Qué es una transmisión friccional? Bosqueje un tipo de trasmisión friccional que permita
alterar la relación de velocidad cuando esta trabajando ¿como puede ajustarse para invertir el
sentido de rotación del miembro accionado? ¿Por que es imposible el contacto con rodamiento
puro en este engrane?


8.13 Una trasmisión de rodillo y plato se requiere para conectar dos flechas, la motriz gira a 300
rpm y el plato accionado gira a una velocidad máxima de 100 rpm y mínima de 25 rpm. El
rodillo tiene 5 pulg (127 mm) de diámetro y 1 plg. (25.4 mm) de ancho. Encuentre el diámetro
máximo y mínimo para el plato requerido.
8.14 ¿Que velocidad máxima y mínima se obtienen en la flecha accionada de una trasmisión
friccional de rodillo y plato en la cual el rodillo es de 8 plg. (203.2mm) de diámetro y 1 ½ plg.
(38.1) de ancho y gira a 400 rpm. El plato tiene un diámetro máximo de 14 plg. (35.5 cm)
concédase por deslizamiento un 3%
8.15 Dos cilindros hacen contacto con rodamientos en la misma dirección con una relación de
velocidad de 5. La distancia al centro es 10 plg. (25.4 cm) ¿ cual es el diámetro de cada
cilindro?

CAPÍTULO 9

ENGRANES

9.1 Los engranes

Los engranes se emplean comúnmente para transmitir fuerza de una flecha que gira a otra. En
comparación con las transmisión por ficción o bandas, se diferencian en que se adaptan
especialmente donde se requiere una relación exacta de velocidad, o donde la relación entre los
miembros motriz y movido accionado deben de conservar una relación definida de fase. Como la
acción enclavada de los dientes logra una transmisión positiva, y no se depende de la ficción
para evitar el resbalamiento, la fuerza necesaria para mantener los engranes en posición cuando
se esta transmitiéndola fuerza es mucho menor que en una trasmisión equivalente de fricción.
Esta da por resultado menores presiones en los puntos de apoyo, menor desgaste en las
superficies de los cojinetes, y una mayor eficiencia.
Superficie primitiva. La superficie primitiva de los engranes se define como una superficie
imaginaria que gira conjuntamente con otra sin resbalamientos, semejante a los cuerpos circulares
con rodamiento friccional. Para cualquier tipo de engrane se debe conocer la forma y dimensión
de la superficie primitiva antes de que se puedan diseñar los dientes apropiados. La Fig. 9.1
muestra la superficie primitiva circunferencial para un engrane.
Elementos del diente. El diente de un engrane se puede considerar compuesto de superficies
cursadas por una línea que se mueve a través del espacio. No siempre la línea es una recta o ni
siquiera de forma regular.

Figura 9.1

CINEMÁTICA DE LAS MÁQUINAS ENGRANES 177

Estas superficies generatrices en cualquiera de sus posiciones consecutivas son conocidas como
los elementos del diente. Los elementos del diente siempre conectan puntos correspondientes,
sobre secciones del diente de un engrane, que son líneas rectas paralelas unas a las otras.
Las ruedas dentadas son ilustraciones de pares superiores, porque se obtiene únicamente
contacto en una línea o un punto.

9.2 Clasificación de los engranes

Los engranes pueden ser clasificados de diferentes formas. Una manera de clasificar los engranes
es de acuerdo con la posición relativa de los ejes de revolución. Los ejes pueden ser a) paralelos
(engranes común, helicoidal y en ángulo)
b) que se intersectan (engranes cónico recto y en espiral)
c) que no se intersectan ni son paralelos o ejes que se cruzan (engranes helicoidal, tornillo sinfín e
hipoides)
a) Engranes para conectar flechas paralelas. Aquí podremos emplear el engrane común como el
ilustrado en la Fig. 9.2 o los engranes helicoidales con ejes paralelos de la Fig. 9.3. En ambos,
las superficies primitivas son circunferenciales con contacto con rodamiento pudo como lo ilustra
la Fig. 9.4.

Figura 9.2 Figura 9.3 Engrane Figura 9.4 Superficies
Engrane común helicoidal con ejes primitivas de engranes
paralelos con ejes paralelos


El engrane helicoidal trabaja con mucho menos ruido que el otro tipo y la diferencia a este
respecto es particularmente notable a alta velocidad. La desventaja del engrane helicoidal
consiste en el empuje final producido cuando el engrane esta transmitiendo la potencia.
Con los engranes en ángulo (figura 9.5) el empuje final producido a un lado, es balanceado por
otro empuje igual y opuesto ocasionado por la acción del otro lado. Estos engranes se pueden
considerar como si fueran compuesto de los engranes helicoidales de dimensiones semejantes,
uno teniendo una hélice derecha y el otro una izquierda.

Figura 9.5
Engranes en ángulo

b) Engranes para ejes que se intersectan. En este caso se emplean los engranes cónicos rectos,
ilustrados en la fig. 9.6, o los engranes cónicos en espiral mostrados en la Fig. 9.7. En ambos
casos las superficies primitas tienen un ápice común como lo indica la Fig. 9.8.


En el caso de los engranes cónicos rectos, los elementos del diente son líneas rectas, mientras
que en los engranes cónicos en espiral los dientes son inclinados al eje y curvos. Los engranes


cónicos en espiral tienen decididamente una ventaja sobre los engranes cónicos rectos por ser de
operación silenciosa, similarmente a la ventaja que tienen los engranes helicoidales sobre los
engranes comunes.

Figura 9.8
Circunferencias
primitivas de engranes
cónicos

Un par de engranes cónicos que son del mismo tamaño y sus flechas ser intersectan a un ángulo
recto se conoces como engranes a escuadra. Su uso principal es el retransmitir el movimiento
alrededor de una esquina sin alterar la velocidad angular.
c) Engranes para conectar flechas que no se intersectan ni son paralelas. Aquí los engranes
helicoidales con ejes que se cruzan, los tornillos sinfín o los engranes hipoides son los
apropiados.
Los engranes helicoidales con ejes que se cruzan (Fig. 9.9) se emplean para conectar flechas que
no son paralelas ni se intersectan. Sus superficies primitivas son cilindros (fig. 9.10). Se tocan en
un punto y tienen contacto con deslizamiento ; por esto los dientes también hacen contacto en
un punto y tiene una componente en deslizamiento a lo largo de la hélice del diente.

Figura 9.9
Engranes Figura 9.10
helicoidales con ejes Superficies primitivas de
que se cruzan engranes helicoidales
con ejes que se cruzan


El tornillo sinfín, mostrado en la Fig. 9.11 es una forma especial del engrane helicoidal, los dos
miembros se conocen como el sinfín y la rueda serpentina o corona. El sinfín, comparado con
un engrane helicoidal tienen un gran distancia alrededor de la circunferencia. Es una costumbre
denominar los dientes del tornillo sinfín “hilos” por su semejanza con un perno encordado. Por
esto nos referimos a un “tornillo sinfín de un hilo” , “un sinfín de dos hilos”, etc., dependiendo
del número de dientes formados en la superficie cilíndrica.

Figura 9.11 Tornillo sinfín Figura 9.12
Circunferencia primitiva
de tornillo sinfín

La rueda serpentina puede tener la superficie de los dientes cóncavos como lo muestra la Fig.
9.11 con el propósito de obtener un contacto lineal de los dientes en vez de que este sea un
punto. La configuración de las superficies primitivas de un tornillo sinfín se muestran el a Fig.
9.12.
Los engranes hipoides ( figura 9.13) se parecen un poco a los engranes cónicos en espiral en su
apariencia general. El contacto entre las dos superficies primitivas ocurre sobre una línea común
a las dos rotaciones.

Figura 9.13
Engrane hipoides


9.3 relación de velocidad

Una regla para un par de ruedas dentadas es que la relación de velocidad angular es
inversamente proporcional al número de dientes. Esta regla es aplicable a todas las clases
comunes de ruedas dentadas, tales como engranes comunes, cónicos y engranes helicoidales.
Cuando dos engranes se encuentran en movimiento, es evidente que el mismo número de dientes
en cada engrane pasa por cualquier punto fijo durante un intervalo definido de tiempo, en vista
de que los dientes de un engrane embonan en orden consecutivo con los huecos o espacios entre
los dientes del otro engrane. Un engrane que tiene N2 dientes efectúa una revolución mientras
N2 dientes que pasan por un punto fijo. Un engrane con N3 dientes engranado con el anterior
harán consecuentemente N2/N3 revoluciones durante el mismo intervalo.
Si ω2 y ω3 son las velocidades angulares respectivas de dos engranes, entonces,
ω2 = 1 = N3
ω3 N2/N3 N2

Lo que comprueba la regla anterior.

9.4 Terminología de los engranes

La Fig. 9.14 ilustra casi todas las siguientes definiciones:
Diámetro primitivo o diámetro de paso. El diámetro del cilindro que es la superficie primitiva de
un engrane se conoce como diámetro primitivo o diámetro de paso. Ya que las superficies
primitivas de dos engranes giran juntas sin resbalamiento, constituyen superficies con contacto de
rodamiento puro y la relación de velocidad angular es en proporción inversa a los diámetros
primitivos. Un par de engranes correlativos tiene el número de dientes proporcional a sus
superficies primitivas, porque ambos deben tener el mismo paso de los dientes en orden de
obtener rodamiento puro de las superficies primitivas. Entonces para estos engranes, 2 y 3,
ω2 = D3 = N3
ω3 D2 N2

donde N, D y ω representan, respectivamente, el número de dientes, el diámetro primitivo o de
paso y la velocidad angular.


Figura 9.14 Nomenclatura de los engranes

Punto de contacto primitivo. Aquel punto sobre la línea que une los centros de dos engranes en
donde los círculos primitivos son tangentes se denomina punto de contacto primitivo.
Addendun o altura de la cabeza del diente. La distancia desde el circulo primitivo hasta el
extremo exterior del diente, medido radialmente, se conoce como addendum o altura de la cabeza
del diente.
Dedendum o altura del pie del diente. La altura del pie del diente es la distancia radial desde el
circulo primitivo hasta la circunferencia del fondo del pie del diente.
La altura total. Es la suma de la altura de la cabeza del diente más la altura del pie del diente, o
sea la suma del addendum y dedendum.
Juego de fondo. El juego de fondo es el espacio muerto que libran las puntas de los dientes de un
engrane entre los hechos correspondientes de otro engrane, es decir la holgura entre la punta de
un diente y la circunferencia de fondo. Y esta se mide sobre la línea de centros.
La altura activa. Es la altura total menos el juego de fondo.
Juego lateral. La distancia mínima entre el lado no motriz de un diente y el lado opuesto del
diente en el engrane adjunto se denomina juego lateral o sea la diferencia entre el hueco y el
espesor del diente. Esto se mide sobre el círculo primitivo.
La cara del diente. Es la superficie de un diente entre el círculo primitivo y el círculo formado a
la altura de la cabeza del diente.


El espesor de la cara es el ancho del engrane medido sobre la superficie primitiva en un plano
conteniendo el eje de rotación. La cara de un diente no debe confundirse con el espesor de la
cara, ya que son dos cosas enteramente dientes. La primera es una superficie y la última una
dimensión.
El flanco del diente. Es la superficie de un diente entre el círculo primitivo y la circunferencia de
fondo.
La superficie superior es la superficie plana de un diente entre las caras del mismo diente.
La superficie inferior es la superficie de un engrane entre los flancos de dientes adjuntos de un
mismo engrane.
El filete es la superficie curva que une el flanco de un diente con la superficie inferior. Coincide
entre el juego de fondo y la circunferencia de fondo.
El Angulo de presión de un diente es el ángulo que se forman entre el perfil del diente y una
línea radial que se intersecta con la circunferencia primitiva.
Engrane y Piñón. Cuando dos ruedas dentadas se encuentran engranadas una a la otra,
comúnmente se refiere uno a la mayor como “el engrane” y la menor como “el piñón”.
Cremallera. Cuando se cortan dientes sobre una barra recta, esto se conoce como cremallera. La
Fig. 9.15 muestra un piñón y una cremallera. La superficie primitiva de la última es un plano.

Figura 9.15 Cremallera y piñón
Angulo y arco de acción. El ángulo que gira la rueda motriz durante el periodo en que uno de sus
dientes permanece en contacto con el otro diente de la rueda accionada se conoce como el ángulo
de acción de la motriz. El ángulo girado por la rueda accionada durante el mismo periodo de
tiempo es el ángulo de acción de la rueda movida. Los arcos correspondientes sobre la
circunferencia primitiva se denominan arcos de acción.


Evidentemente el arco de acción debe ser mayor que el paso circunferencial; de otra manera el
contacto entre un par de dientes cesaría antes de que el siguiente par entre en contacto. En
general, mientras mas grandes son los dientes, mas grande debe ser el arco de acción. Esta
consideración ha sido el factor importante para fijar el tamaño de los dientes a un tamaño
normalizado.
La relación de contacto es un a medida del promedio del número de dientes en contacto en un par
de ruedas dentadas engranadas y es igual al arco de acción dividido entre el paso circunferencial.
El ángulo de acceso, es el ángulo girado por un engrane, desde el instante que un par de dientes
entran en contacto, hasta el instante en que estos mismos dientes están en contacto sobre el punto
primitivo.
El ángulo de receso, es el ángulo girado por un engrane desde el instante en que un par de
dientes hacen contacto en el punto primitivo hasta el instante que cesa el contacto entre los
dientes.
El ángulo de acción, es la suma de los ángulos de acceso y receso.

9.5 Paso

El paso de un engrane es una medida del tamaño de los dientes; todas las dimensiones de los
dientes en sistemas normalizados están basadas en el paso . Los engranes que se pretenden hacer
girar uno sobre otro deben tener el mismo paso, así como también los perfiles de los dientes de la
debida forma. A continuación damos los métodos comunes para indicar el paso de los engranes:
El paso circunferencial es la distancia que separa puntos correspondientes de dientes inmediatos,
esta distancia se mide sobre la circunferencia primitiva. Entonces si p indica el paso
circunferencial, D el diámetro primitivo o de paso y N el Número de dientes:

p = πD
N

El paso diametral. (Módulo) es el resultado que se obtiene al dividir el numero de dientes entre el
paso circunferencial.
Definido de otra manera sería, el número de dientes por pulgada del diámetro de su
circunferencia primitiva.


El paso diametral Pd se expresa por la ecuación.
Pd = N
D
Debe observarse que el paso circunferencial es una dimensión lineal, expresada comúnmente en
pulgadas. Las unidades del paso diametral son recíprocas de las pulgadas. De cualquier forma, es
una costumbre indicarlas como un número o una relación. La Fig. 9.16 nos es útil para
visualizar el tamaño de los dientes con varios pasos diametrales.

Figura 9.16 Tamaño de los dientes con pasos diametrales normalizados

Puede observarse que la relación entre el paso circunferencial y el paso diametral se obtiene al
multiplicar las dos ecuaciones, obteniéndose: p Pd = π
El método del paso circunferencial para especificar el tamaño de los dientes es el mas antiguo,
pero el método del paso diametral tienen ventajas que han resultado muy prácticas para el uso
general y especialmente donde se requieren dientes muy pequeños. A continuación se muestra
una ventaja: un engrane con 19 dientes de 2 pd tienen un diámetro primitivo de 19/2=9 ½ plg.
(24.13 cm) según la ecuación del paso diametral. Un engrane con 19 dientes y de 2 plg de paso
circunferencial tiene un diámetro primitivo de (19 X 2)/ π = 12.095+ pulg. (30.7213 cm) según


la ecuación de paso circunferencial. Es mucho mas fácil el cálculo con el método anterior y el
resultado siempre es un número racional. Por lo general, el paso circunferencial se emplea para
especificar dientes de engranes de grandes vaciados y de algunos sinfines, mientras que el paso
diametral se usa para todos los otros engranajes.
En Europa, el método de clasificar consiste en especificar la relación del diámetro de paso con
respecto al número de dientes, y a esta relación se le denomina módulo. Por lo tanto, el módulo es
el recíproco del paso diametral y se expresa como:
m=D
N
Los valores numéricos de los módulos se especifican en unidades de milímetros.
Debe notarse que el paso diametral y el módulo de definen como relaciones y no son distancias
físicas que se puedan medir en un engrane. El paso circunferencial, por el contrario, se definió
como la distancia medida a lo largo del circulo primitivo desde un punto en un diente hasta el
punto correspondiente en el siguiente diente.
Para fines de especificar los cortadores de engranes, los valores del paso diametral y del módulo
se tomaron generalmente como números enteros.

9.6 Ley fundamental del engranaje

Los engranes son generalmente secciones circulares y dan una relación constante de la velocidad
angular de las flechas que conectan, aunque hay engranes que no son circulares, que se emplean
cuando se necesita una relación de velocidad variable. Sean circulares o no, los dientes deben de
ser de tal forma que e produzca un contacto con rodamiento pudo de las superficies primitivas.
Por lo anterior, las superficies primitivas se someten a las leyes que gobiernan los cuerpos que
tienen contacto con rodamiento puro de las superficies primitivas. Por lo anterior, las superficies
primitivas se someten a las leyes que gobiernan los cuerpos que tienen contacto con rodamiento
puro, discutidas en el Cáp. 8. Por lo anterior el punto de contacto de dos perfiles primitivos,
conocido como punto de contacto primitivo, es un centro instantáneo común a los dos engranes.
Si los dientes de un engrane se diseñan de tal forma que se obtienen un rodamiento puro de las
superficies primitivas, entonces resulta las siguiente ley para los dientes de los engranes:
“La normal común a las superficies de los dientes en el punto de contacto siempre debe pasar a
través del punto de contacto primitivo”.


Esta ley se comprueba como sigue: la Fig. 9.17 muestra dos dientes haciendo contacto en C.
Considerando estos engranes 2 y 3 y la bancada 1 en la cual giran como tres cuerpos que tienen
movimiento relativo, es posible localizar sus centros instantáneos. Por lo tanto es obvio que O21
y O31 se localicen en los centros de giro de 2 y 3 respectivamente.

Figura 9.17
Comprobación de la
ley de los engranes

Los dientes correspondientes son dos cuerpos en contacto con deslizamiento en C; por esto el
movimiento relativo en el punto de contacto es sobre la tangente común LM; de otra forma el
diente tendría la tendencia a interferir o roer el contacto. Por lo anterior, el centro instantáneo O23
debe de coincidir sobre la normal común XY. Por el teorema de Kennedy también debe de
coincidir sobre la línea que pasa a través de O21 y O31. por tanto el centro instantáneo O23
coincide con punto P.
Para cuerpos con rodamiento:

ω2/1 = O31 O23
ω3/1 O21O23

Si esta relación se mantiene constante, entonces el centro O23, o sea el punto P, debe de mantener
una posición fija; y P es el punto de contacto de las dos superficies primitivas o el punto de
contacto primitivo.


9.7 Acción con deslizamiento de los dientes

Cuando un par de dientes hacen contacto en el punto de contacto primitivo, tienen por un
instante, contacto con rodamiento puro, ya que el punto de contacto es en ese momento un
centro instantáneo para los engranes. Por lo que se sigue que en cualquiera otra posición deben
de deslizarse uno sobre el otro, porque entonces se encuentran en otro punto que no es el centro
instantáneo. La velocidad del deslizamiento esta en proporción directa a la distancia desde el
centro instantáneo hasta el punto de contacto en el instante considerado. La velocidad máxima del
deslizamiento ocurre cuando justamente empieza o termina el contacto entre los dientes , estando
entonces el punto de contacto lo mas alejado del punto de contacto primitivo.
La magnitud de la velocidad de deslizamiento se puede determinar en cualquier instante
gráficamente.
En la Fig. 9.18 se ilustra un par de dientes conjugados haciendo contacto en el punto C.

Figura 9.18 Acción en deslizamiento de los dientes de los engranes

La normal común sobre C es la línea XY, que pasa a través del punto de contacto primitivo. La
velocidad lineal de C, considerado como un punto sobre el engrane 2, se representa por el vector
CE perpendicular al radio CA. La velocidad de C, considerando como un punto sobre el engrane
3, se representa por el vector CD, perpendicular a CB. Los vectores CE y CD pueden resolverse
en componentes paralelas a XY de cada unos, deben tener la misma velocidad normal Vn, ya que
los dientes permanecen en contacto y aun no encajan uno dentro del otro. La diferencia


algebraica de los componentes de velocidad perpendiculares XY, es decir, DE = FD-FE,
representa la relación de deslizamiento de una superficie sobre la otra o la velocidad de
deslizamiento. Una inspección a la figura mostrará que esta velocidad disminuye cuando el punto
de contacto se mueve hacia el punto P y aumenta cuando se mueve en la dirección opuesta.

9.8 Perfil del diente

Por lo general, es posible seleccionar los dientes de cualquier forma un engrane y después
proceder a construir los dientes para un segundo engrane, el cual será conjugado con el primero,
cumpliendo con las leyes fundamentales del engranaje. Si se selecciona la forma al azar, y se
construye un diente conjugado de la forma o perfil teóricamente correcto, no resultaría
necesariamente práctico el uso de tales dientes.
Haciendo a un lado el hecho, que la superficie de trabajo de los dientes de un engrane deben
cumplir con la ley fundamental, muchos otros requisitos han afectado la selección del perfil de
un diente para un engrane de proporciones normalizadas.
a) El diente debe de estar capacitado para ser producto con precisión y a bajo costo.
b) La forma o perfil debe tener buenas cualidades para resistir el desgaste. Las velocidades
reducidas para el resbalamiento y un acceso próximo a la superficie de contacto son dos
condiciones favorables. La última condición se obtienen cuando ambos dientes
correspondientes tienen un gran radio de curvatura. Las presiones sobre el diente se
distribuyen sobre un tramo ancho de la superficie cuando se emplea un gran radio de
curvatura. El resultado es una menor intensidad de presiones y menos desgaste.
c) Con el perfil del diente debe de conseguirse una buena “resistencia medular”. Durante el
servicio hay fuerzas que actúan sobre el flaco del diente que tienden a doblarlo como un
trabe. La resistencia medular es mayor en un diente pequeño con una sección ancha a lo
largo del fondo.
d) El arco de contacto debe de ser cuando menos igual al circulo primitivo; de otra manera
no habría un contacto continuo entre los engranes. Un arco de acción mayor de 1.4 veces
el círculo primitivo generalmente se considera como un buen diseño. Debajo de este
límite, resulta una acción muy ruidosa, a menos que los dientes sean cortados con mucha
rescisión.


e) Generalmente es aconsejable el intercambio de una seria de engranes del mismo paso, no
obstante esto no es necesario con muchos engranes que son del tipo “propósito
especifico”. La aplicación cicloide se utilizó ampliamente para perfiles de dientes, pero
ha sido enormemente reemplazada por la envolvente.
De las muchas formas posibles que puede tener un diente únicamente se han estandarizado la
forma cicloide y la involuta o evolvente. La cicloide se empleo inicialmente, ahora se ha
reemplazado con la involuta en la mayoría de las aplicaciones excepto en los relojes de pulso y
pared. La involuta tiene varias ventajas, siendo las más importantes su facilidad de fabricación y
el hecho de que la distancia entre los centros de dos engranes de involuta puede variar sin
cambiar la relación de velocidades. A continuación se describirán los detalles más importantes de
estos dos engranes.

9.9 Dientes cicloidales

La cicloidal es una curva descrita por un punto sobre un círculo que rueda interiormente o
exteriormente sobre otro círculo.
El círculo que rueda es conocido como el círculo descriptivo, o ruleta y en la formación del perfil
del diento de un engrane, rueda interiormente y exteriormente sobre el círculo primitivo. El
rodamiento interno forma el flanco del diente; el externo forma la cara.

Figura 9.19
Perfil del diente cicloidal


En la Fig. 9.19, a y b, son círculo primitivos de los engranes; c y d son los círculos descriptivos o
ruleta. El circulo c rueda interioramente sobre a, el punto P sobre c describe la curva PB, la cual
forma el flanco del diente en la rueda superior. Entonces el círculo c rueda exteriormente sobre b
y el punto P sobre c traza la curva PC, la cual es la cara del diente sobre el engrane inferior. De la
misma manera, las curvas PD y PE se obtienen haciendo girar el círculo d interiormente sobre b y
exteriormente sobre a. Estas curvas forman, respectivamente, el flanco del engrane inferior y la
cara del superior. No necesitan ser los dos círculo descriptivos iguales, pero debe emplearse el
mismo círculo para obtener la cara de un diente y el flanco del otro que trabaja o corresponde
con él. En la práctica, para obtener intercambio de los engranes, se emplea a través de una serie
el mismo radio de los círculos descriptivos o ruletas.
Cuando el diámetro de la ruleta o círculo descriptivo es la mitad del diámetro de la superficie
primitiva del engrane, el flanco del diente se convierte en una línea recta radial (véase PB, Fig.
9.19) y el diente es un poco más angosto en la circunferencia de fondo. Si la ruleta o círculo
descriptivo se hace más grande el diente continúa estrechándose en la circunferencia de fondo y
le resta fuerza; también si el círculo descriptivo se fabrica lo suficientemente amplio, se hace
imposible cortar los dientes del engrane por medio de una fresadora, porque el espacio entre los
dientes se ensancha desde el círculo primitivo hasta la circunferencia de fondo.
Trayectoria de contacto
En la Fig. 9.20 un par de perfiles correspondientes de dientes del tipo cicloidal se ilustra en tres
posiciones: o sea a1b1 cuando justamente están haciendo contacto; a2b2, cuando hacen contacto en
el punto de contacto primitivo; y a3b3 cuando esta justo para romper el contacto.
La trayectoria del punto de contacto debe ser la cuerva CPD, la cual esta compuesta de las
secciones de la circunferencia de los dos círculos generativos con centros en L y M.
El punto C done empieza el contacto se encuentra localizado en la intersección del círculo
descriptivo superior con el circulo addendum o de la altura de la cabeza del diente del engranaje.
Mientras que D se encuentra en la intersección del círculo descriptivo interior con el circulo
addendum del piñón. Alargando los dientes mueve evidentemente los puntos CD apartándolos
mas y aumentado el periodo de contacto. Uniendo CP y dibujando PE perpendicular a la línea de
centros AB, localizándole ángulo de presión CPE para la posición de los engranajes en la cual C
es el punto de contacto. Este ángulo se disminuye cero cuando el punto de contacto se aproxima
a P y de allí en adelante se aumenta a otro máximo hasta D.


Figura 9.20
Trayectoria de contacto de
dientes cicloidales

Por lo anterior la forma cicloidal del diente se caracteriza por un ángulo de presión variable, el
cual es cero cuando los dientes hacen contacto en el punto diametral.
Ángulos de acceso y receso
Refiriéndonos una vez mas a la Fig. 9.19 ya que a1a2, y a3 representan tres posiciones para el
mismo diente sobre el piñón, O1; P, O3 son tres posiciones de un punto sobre el diente y los
ángulos O1AP y PAO3 muestran los movimientos angulares correspondientes del piñón. Estos
ángulos son respectivamente, los ángulos de acceso y de receso del piñón.
Desde los puntos Q1PQ3, los ángulos Q1BP de acceso de acceso y PBQ3 de receso del engranaje
son localizados.
Los arcos de acción son los mismos para ambos, el engrane y el piñón, son iguales para O1O3.
para Q1Q3.


Ventajas de los engranes cicloidales
Aunque los engranes cicloidales han sido reemplazados en gran medida por los de involuta, el
perfil cicloidal tiene ciertas ventajas que vale la pena señalar. Estas se mencionan brevemente a
continuación.
Los engranes cicloidales no presentan interferencias, además de que un diente cicloidal
generalmente es más fuerte que uno de involuta debido a que tiene flancos extendidos en
comparación con los flancos radiales de un diente de involuta. Adicionalmente los dientes
cicloidales tienen menos deslizamiento, y en consecuencia, menos desgaste. Sin embargo, una
desventaja importante de los engranes cicloidales es el hecho de que para un par de engranes
cicloidales solamente hay una distancia entre centros teóricamente correcta para la que trasmiten
movimiento a una relación de velocidad angular constante. Otra desventaja es que aunque es
posible fresar un engrane cicloidal, la fresa no se fabrica tan fácilmente como en el caso de una
fresa de involuta debido a que los dientes cicloidales de cremallera no tienen lados rectos como
los dientes de involuta de cremallera. Debido a esta razón es posible construir dientes los
engranes de involuta con mayor exactitud y economía que los cicloidales.
Los engranes de involuta han reemplazado completamente a los engranes cicloidales para la
transmisión de potencia. No obstante, los engranes cicloidales se usan ampliamente en los relojes
de pulso y de pared y en determinados instrumentos en los casos en que los problemas de
interferencias y resistencia es de interés primordial. En los relojes, el tren de engranes desde la
fuente de poder al escape, aumenta su relación de velocidades angulares con el engrane moviendo
al piñón. En un reloj de pulso, este aumento puede llegar a ser hasta de 5000:1. En consecuencia
los engranes serán tan pequeños que para evitar usar dientes excesivamente pequeños es
necesario usar piñones (que son los engranes movidos en esta caso) que tengan apenas seis o siete
dientes. Además el perfil del diente de estos piñones deben poder actuar en 60º de rotación.
Debido a lo anterior se prefieren los dientes cicloidales sobre los engranes de involuta. El
problema de la distancia entre centros y de la relación de velocidades angulares no es importante
en este caso debido a que todo el tren, que es gobernado por un escape, queda en reposo y vuelve
a entrar en movimiento varias veces por segundo. En consecuencia, la operación del tren
involucra cambios tan grandes de momentum que el efecto de la forma del diente en este cambio
es despreciable.


9.10 Dientes evolventes o de involuta

En general, si tomamos una línea recta y la arrollamos sobre una curva de cualquier forma, un
punto sobre esta línea trazará una trayectoria conocida como la evolvente de la cuerva. Para casi
todos los engranajes con dientes evolventes, la evolvente se forma arrollando una línea recta
sobre un circulo. Las únicas excepciones son los engranajes que no tienen forma circular. Cuando
hablamos de una evolvente refiriéndonos a los engranajes, sin mas definición, queremos decir la
evolvente de un círculo. A este se le denomina comúnmente el círculo base de la evolvente o
involuta.
Desarrollo mecánico de las curvas evolventes o involutas
Un dispositivo, ilustrado en la Fig. 9.21 ilustra un método para el desarrollo conjugado de las
curvas evolventes. Una cuerda CD y C´D´ es arrollada alrededor de los dos discos circulares 2 y
3. El disco 2 tiene una placa transparente m adjunta a su cara, y 3 tienen una placa semejante n
sujeta a él. Si 2 gira, la cuerda que actúa como una banda moverá a 3 en el sentido opuesto. Un
punto R sobre la cuerda trazará entonces sobre la placa m una evolvente KL, y sobre la placa n
una evolvente MN.
Conservando 2 y 3 en una posición fija y entonces cortando la cuerda en R, las mismas curvas
podrán ser trazadas por las dos puntas cuando las partes sueltas son enrolladas sobre y
desenrolladas de los discos a los cuales se encuentran adjuntos.

Figura 9.21 Cuerdas evolventes o involutas


Considerando los métodos anteriores para obtener las curvas, se hacen evidentes dos factores: a)
que el punto de contacto siempre cae sobre la línea de la cuerda: es decir, sobre CD;
b) que, en vista de que la sección de la tangente de la cuerda siempre esta columpiándose con
referencia a un disco sobre un punto de tangencia con el disco en cuestión, el movimiento relativo
siempre es perpendicular a la línea de tangencia.
Por lo anterior CD es la normal común a las dos curvas todo el tiempo y cruza la línea de centros
en el punto fijo P. Además, la línea de acción hace un ángulo constante DPQ con la normal PQ a
la línea de centros de los discos y para el diámetro determinado del disco y la distancia centro, el
ángulo DPQ es el ángulo de presión.
En resumen, se ha comprobado que los perfiles evolventes:
a)conservan los requerimientos de la ley fundamental del engranaje.
b) tienen una trayectoria de contacto en línea recta.
c)tienen un ángulo de presión constante para una instalación determinada.
El punto P (Fig. 9.21), donde la línea CD intersecta la línea de centros, es el centro instantáneo
de las ruedas 2 y 3 por lo tanto la relación de velocidad angular ω2/ω3 es igual a PB/AP, y por
consiguiente P es el punto de contacto primitivo.
Cuando el punto de contacto primitivo P y el ángulo de presión son conocidos, se pueden
localizar los círculos bases ya que son tangentes a la línea CD, cuya posición es fija para estos
datos.
La acción del diente. En la Fig. 9.22 se ilustra un par de perfiles evolventes para un engranaje en
tres posiciones. Consideraremos que los engranes giran como queda indicado por las flechas en el
diagrama. En a1b1 los dientes empiezan justamente a hacer contacto; en a2b2 los dientes hacen
contacto en el punto de contacto primitivo y en a3b3 el contacto esta a punto de terminar.
El punto de contacto siempre debe coincidir durante todo el tiempo sobre la línea recta CD,
siendo esta línea la tangente común a los circulo base. El contacto empieza en F y termina en G.
En el círculo primitivo P1, P2, P,3, del engrane superior representan las posiciones
correspondientes de un punto en este engrane mientras que Q1P2Q3 son las tres posiciones
semejantes ocupadas por un punto en el engrane inferior. Ya que los círculos primitivos tienen
contacto con rodamiento puro, los arcos P1P2P3, Q1P2Q3 son de igual distancia. También por
definición, P1P2 es el arco de acceso y P2P3 el arco de receso para el engrane superior, mientras
que los arcos Q1P2 y P2Q3 tienen los mismos valores para el engrane inferior. Los ángulos de


acceso y receso para ese ultimo se encuentran uniendo P1 y P3 al centro del engrane superior
como se ha indicado en la figura; una construcción semejante localiza los ángulos de acceso y
receso perteneciente al engrane inferior. El ángulo de presión queda anotado en la figura.

contacto

Ángulo de presión

Figura 9.22
Acción de dientes involutos

Debe observarse que los puntos F y G, donde empiezan y termina el contacto, se localizan en
las intersecciones de los círculos addendum, o círculos e la altura de la cabeza del diente, con las
línea de presión CD. F y G se localizan entre los puntos C y D en esta figura, sin embargo con
otras proporciones de los dientes y otro número de dientes en los engranes, puede suceder que
cualquiera F o G, o ambas F y G caigan sobre la extensión de CD. Esto tiende a interferir con
los dientes.
Propiedades de la evolvente
Las curvas evolventes tienen una ventaja principal sobre las cicloidales y otras curvas que puedan
ser empleadas para generar perfiles de engranajes circulares: particularmente, que la distancia de
centro a centro puede ser alterada sin destruir la acción conjugada del diente o cambiar la
relación de velocidad angular. Es decir, un par de estas curvas cumplirá con la ley fundamental ,
no importando cual sea la distancia entre centro y centro. La comprobación de lo establecido se
puede observar con referencia a la Fig. 9.23. Cuando los centros de los engranes A y B son
apartados a una mayor distancia, la tangente común CD a los círculos base se inclinara a un
ángulo mayor con EF, por lo tanto se aumentará el ángulo de presión φ. Igual que antes, la
tangente común cruzará la línea de centros en un punto fijo, porque todavía estamos tratando con


el contacto de las curvas evolventes. Los radios primitivos AP y BP se agrandan, pero el radio de
BP a AP permanece sin ningún cambio al igual que los círculos base, que también permanecen
sin cambio alguno. No obstante con referencia a la figura,

AP = AC/ cos φ y BP = BD/ cos φ
ahora
ω2 = BP = BD/cosφ = BD
ω3 AP AC/cosφ AC

Pero BD/AC es independiente de la distancia de cetro a centro. La relación de velocidad, en
consecuencia, depende únicamente de los diámetros relativos de los círculos base, y no cambia
cuando la distancia de cetro a centro, es alterada.

Figura 9.23
Alteración de distancia
entre centros engranes
evolventes

Una segunda deducción se puede hacer de la Fig. 9.23 y esta es que un perfil evolvente no tienen
en si mismo ni círculo primitivo ni algún ángulo de presión en particular, pero tienen ambos a
estos en virtud de su localización con referencia a una segunda evolvente. De este modo si un
engranaje encaja con otros dos, puede tener dos círculos primitivos de diferentes diámetros, cada
uno correspondiente a un contacto. Algunas veces es posible fabricar formas perfeccionadas para
el diente haciendo uso de esta propiedad.


Una tercera deducción se puede establecer fácilmente derivando de la geometría de la Fig. 9.23 y
esta es que el diámetro del círculo base es igual al diámetro del círculo primitivo multiplicado
por el coseno del ángulo de presión.
En vista de que una cremallera puede considerarse como una parte de una rueda dentada con un
radio primitivo infinito, el círculo base para la evolvente de la cremallera también tendrá un radio
infinito y la evolvente en sí será una línea recta. Los dientes de una cremallera con el sistema
evolvente tendrán por esto unas superficies de trabajo rectas. La Fig. 9.24 ilustra un diente para
un cremallera de este tipo en el cual el ángulo entre el flanco del diente y la perpendicular a la
línea primitiva es igual al ángulo de presión.

Figura 9.24
Diente evolvente para una cremallera

Un ángulo de presión de 14.5° fue adoptado primeramente para los dientes de un engrane
evolvente. El seno de este ángulo es aproximadamente 0.25, lo cual simplifica el trabajo al trazar
los dientes. El mismo ángulo de presión continua empleándose extensivamente, en vista de que
comúnmente resultan formas para el diente muy satisfactorias. Ángulos mayores, hasta de 25°
son comunes particularmente cuando se requiere un número reducido de dientes.
Las siguientes conclusiones concernientes a la evolvente y su aplicación para los dientes de un
engrane se pueden resumir como sigue:

1.- La evolvente o involuta, se determina completamente por el diámetro de su círculo base.
2.-Una evolvente que se mueve alrededor del centro de su círculo base, imparte un movimiento
rotativo a una evolvente con la cual hace contacto, con una relación exacta de los diámetros de
sus respectivos círculos base.
3.-Una evolvente no tienen ángulo de presión hasta que se efectúe un contacto íntimo con otra
evolvente o un cremallera.
4.-El ángulo de presión se determina por la distancia centro y los diámetros del círculo base.
5.- Una vez establecido el ángulo de presión ese es constante para una distancia centro fija.


6.-Una evolvente no tienen diámetro primitivo hasta que se efectúe un contacto íntimo con otra
evolvente o una cremallera.
7.- El diámetro primitivo de una evolvente haciendo contacto con otra evolvente, se determina
por la distancia centro y la relación.
8.-El ángulo de presión de una evolvente que hace contacto con una cremallera, no cambia
cuando el centro del círculo base cambia de posición aproximándose o alejándose de la
cremallera.
9.- El diámetro primitivo de una evolvente haciendo contacto con una cremallera, no cambia
cuando el centro del círculo base cambia de posición aproximándose o alejándose de la
cremallera.
10.- La posición de la línea primitiva del engranaje de una evolvente y una cremallera, se
determina por la intersección de la línea de acción y de una línea que pasa a través del centro del
círculo base y perpendicular a la dirección de la carrera de la cremallera.

El estudiante debe satisfacerse con referencia a la validez de lo establecido anteriormente y
comprenderlo totalmente, ya que forma la base para el diseño de un engranaje evolvente.
Ventajas prácticas. Se obtienen con el empleo de la evolvente y se pueden resumir como sigue:
(a) Los engranajes evolventes pueden emplearse con una pequeña falta de precisión inicial en
la distancia de centro a centro, o esta distancia puede cambiar como un resultado del
desgaste de los cojines, y el contacto de los dientes continúa cumpliendo con la ley
fundamental de las ruedas dentadas.
(b) Los engranajes evolventes pueden emplearse para aplicaciones tales como la transmisión
de las laminadoras en las fábricas de acero, donde la distancia de centro a centro cambia
constantemente.
(c) La superficie de trabajo de la evolvente de una cremallera es de la forma más simple
posible: un plano. Esto reduce a una mínimo la dificultad de producir dientes conjugados
con exactitud – lo cual es una ventaja de fabricación.
(d) Cuando los dientes son fabricados con el cortador de una fresa, el número necesario de
cortadores para cubrir una gama desde el piñón, más pequeño hasta una cremallera, es
menor que el necesario para los perfiles cicloidales. Esto se debe al ligero cambio en la
curvatura del diente cuando se aumente el número de dientes.


La principal desventaja de los dientes evolventes reside en el hecho que se obtienen interferencia
con los piñones que tienen un número reducido de dientes; esto se puede eliminar variando la
altura del addendum o altura de la cabeza y del dedendum o altura del pie, de los dientes
correspondientes.

9.11 Producción de ruedas dentadas

Es importante considerar la manera en que son producidos los dientes. Uno de los primeros
procesos fue el de colar en arena la rueda y los dientes. Este método se emplea todavía en los
engranajes de bajas velocidades y que quedan expuestos a la intemperie. Es seguro que las
superficies del diente se oxiden y se corroan, de tal forma que la falta de precisión inicial tienen
muy poco efecto en la acción.
El segundo método para elaborar las superficies es el de la fresadora, que desbasta o corta el
espacio entre los dientes. Una fresa que tiene un cortador de la misma forma que el espacio entre
los dientes, alimentada con una matriz o forma en blanco, (véase Fig. 9.25) y luego ésta es
alineada para el siguiente corte.

Figura 9. 25
Cortador de la fresa

Un examen de las figuras de este capítulo que muestran engranajes con un número diferente de
dientes engranados, demuestra que la forma de los dientes cambia con el número de dientes del
engranaje, no obstante que el paso sea constante. Como un caso extremo, la cremallera evolvente
tienen los flancos del diente rectos. Esto es importante, ya que la fuerza del diente está en
función de su perfil. Puesto que la forma del diente cambia con el número de dientes en un
engrane, un cortador o fresa debe emplearse para cada tamaño de engrane, no obstante que el


paso permanezca constante. En la realidad, los cortadores se emplean sobre una gama de
números de dientes. Un ejemplo típico de esto se da en la Tabla 9.1 para el sistema de un solo
diente. Cada cortador es el correcto para los números mas chicos del grupo y con un poco de
error para los números grandes. No obstante, los errores introducidos de esta forma pueden ser
parcialmente corregidos variando ligeramente la profundidad del corte sobre la forma en blanco.
Como es difícil obtener altas norma de precisión con los dientes cortados con la fresadora, este
tipo se emplea más satisfactoriamente cuando las cargas y las velocidades son moderadas.

TABLA 9.1
Cortadores de fresa para dientes compuestos. Norma del sistema de 14 ½º
Número del cortador Número de dientes Número del cortador Número de dientes
1 135 a la cremallera 5 21 a 22
1½ 80 a 134 5½ 21 a 22
2 55 a 79 6 17 a 18
2½ 42 a 54 6½ 15 a 16
3 35 a 41 7 14
3½ 30 a 34 7½ 13
4 26 a 29 8 12
4½ 23 a 25

Para precisión en engranajes de alta velocidad, el principio generativo es el que ahora se
emplea casi por completo. Si una cremallera o un engrane con dientes de un perfil deseado se
emplea como cortador, entonces es posible tallar los dientes sobre una matriz con la cual los
dientes estarán conjugados. El proceso por el cual los dientes son conformados sobre el
segundo engrane puede efectuarse como sigue: Supóngase que la forma en blanco o matriz de
la cual se va a cortar está hecho de un material plástico. El engrane y la forma se montan
sobre unas flechas y ruedan juntas de tal forma que sus superficies primitivas tengan la
misma velocidad lineal. Entonces los dientes “ se ruedan “ dentro de la superficie blanda de la
forma. Estos dientes tendrán el perfil correcto.


El proceso “ generativo “ para cortar dientes de un engrane, comúnmente empleado para
producciones comerciales, es llevado a cabo en una forma similar. Por ejemplo, en la matriz
“Fellows” para un engrane, la herramienta cortadora toma la forma de un engrane y se pasa
a través de la forma en blanco recíprocamente. (Véase la Fig. 9.26).
Entre los recorridos de la máquina herramienta, el cortador y la forma en blanco giran
ligeramente, y este movimiento relativo es equivalente al rodamiento de las superficies
primitivas.
Los dientes resultantes tendrán la misma forma que los obtenidos por el procedimiento de
rodarlos “ hacia adentro” descrito anteriormente, sin el requerimiento de emplear una forma
de plástico.

Figura 9.26
Generando un engrane con un
cortador motriz dentado

La herramienta cortadora del tipo de cremallera es muy satisfactoria en vista de que sus
flancos son rectos, y por lo anterior se puede fabricar fácilmente con exactitud, y también
rectificar con facilidad.
La ventaja sobresalientes del método generativo es que el mismo cortador se puede emplear
para conformar engranes con cualquier número de dientes, y con mayor precisión que en los
método en los cuales el perfil del diente debe de ser rectificados sobre el cortador. Si al
cortador se le da un movimiento recíproco a través de la forma en blanco, a cierto ángulo,
resultará un engrane helicoidal.


9.12 Perfiles de dientes normalizados

En vista de los requerimientos de los perfiles para dientes de engranes, se han hecho patrones o
unificado diferentes tipos de dientes. Se tienen normas en sistemas americano y sistema métrico.
Como ejemplo, se presentan cuatro tipos de dientes normados por la Asociación Americana de
Normas (FPS) y por la Asociación Americana de Fabricantes de Engranes (AGMA). Estos son
conocidos como sigue:

a) Sistemas compuesto de 14 ½°
b) Sistema evolvente de profundidad completa a 14 ½°.
c) Sistema evolvente de profundidad completa a 20°.
d) Sistema de evolvente “despuntada” a 20°.

Las proporciones de los dientes para esos sistemas los muestra la tabla 9.2. Debe notarse que los
sistemas compuestos, de profundidad completa a 14 ½° y de profundidad completa a 20° tienen
todos los dientes a las mismas proporciones. Estas proporciones son exactamente las mismas que
las empleadas anteriormente en el sistema “Brown & Sharpe Standard”.

Tabla 9.2 Dientes normalizados


Cada uno de los cuatro sistema normalizados tienen dientes de engranes, los cuales estas
conjugados a una “cremallera básica”. Esta cremallera básica es, por lo anterior, la
normalización, patrón o forma de referencia en el desbastado o fresado de dientes sobre engranes
de cualquier tamaño.
Sistema compuesto a 14 ½°. Este sistema se desarrolla de los perfiles de dientes cicloidales que
hace tiempo se empleaban universalmente. Aproximadamente el tercio central del perfil tiene
una forma evolvente, mientras que el resto es de una naturaleza cicloidal. Estos dientes
generalmente se producen y se conforman con los cortadores de la fresa, no obstante también se
pueden hacer con la fresa matriz. A pesar de que posee algunas ventajas del sistema evolvente,
evita la interferencia y el sobrecorte en los engranes chicos los cuales son problemas
característicos del aquel sistema cuando se empleaban proporciones de dientes normalizados.
Sistema evolvente de la profundidad completa a 14 ½°. La cremallera básica de este sistema se
ilustra en la Fig. 9.27 Este sistema se emplea ampliamente para fabricar dientes de engrane, no
obstante la presente tendencia de normalizar sobre el sistema evolvente de profundidad completa
a 20°.

Figura 9.27
Cremallera evolvente
profundidad completa
a 14 ½°.

Hay interferencia cuando el número de dientes de engranes iguales es menor de 23 o cuando un
cremallera engrana con un piñón con menos de 32 dientes. Por lo anterior se hace necesario
sobrecortar cuando hay un número reducido de dientes, dando como resultado un arco de acción
poco satisfactorio. Por ejemplo con dos engranes de 12 dientes cada uno, el arco de contacto es
0.034 del paso circunferencial, un valor que no se puede emplear. El arco de acción deseado, es
decir, 1.4 veces el paso circunferencial, se obtienen con engranes que tienen 20, 21 o 22 dientes,


donde el valor exacto depende del número de dientes con el engrane que le hace pareja. Este tipo
de dientes es muy satisfactorio, en todo caso, cuando los números de dientes es grande.
Sistema evolvente de profundidad completa a 20°. La cremallera básica (Fig. 9.28) es la misma
del sistema de 14 ½°, exceptuando el ángulo de presión. El empleo de un ángulo de presión
mayor tiende a mejorar la acción del diente cuando el número de dientes es pequeño. Por
ejemplo, se puede obtener un arco de acción igual a 1.4 veces el paso circunferencial con
engranes iguales de 14 dientes. A este respecto, el tipo de dientes indicado da los mejores
resultados que cualquiera de los cuatro tipos normalizados, cuando se usa un número reducido de
dientes. Se emplea para dientes que se tallan con el sistema generativo.

Figura 9.28
Cremallera evolvente de
profundidad completa a 20°.

Sistema de evolvente “despuntada” a 20. la cremallera básica tiene un diente alrededor de 18
por ciento más chico que los sistemas de profundidad completa. Las dificultades con la
interferencia son mucho más reducidas, comparando con los otros dientes evolventes
normalizados. Por esta razón una cremallera con dientes “despuntados” engranará con un piñón
de 17 dientes sin ninguna interferencia. Un par de piñones de 12 dientes da un arco de acción
igual a 1.19 veces el paso circunferencial. Este es un valor que sí se puede emplear. De
cualquier forma, el arco de acción no aumenta rápidamente con el incremento del número de
dientes; una combinación 27-30 solamente tienen un valor de 1.35 veces el paso circunferencial.
Por esta razón se hace especialmente importante cortar con precisión si se quiere evitar una
acción ruidosa.
La Fig. 9.29 muestra una comparación gráfica de un dientes ”despuntado” a 20° con otro a
profundidad completa a 14 ½° con el mismo paso para engranes de igual tamaño. El diente más
chico con la base más amplia, característica peculiar del anterior, nos da un alta resistencia a
través del diente, lo cual explica la conveniencia de emplearlo donde esta sujeto a golpes fuertes.


Figuran 9.29
Comparación de un diente “despuntado” a 20º
con un diente a profundidad completa a 14 ½°

No obstante que el diente “despuntado” a 20° fue diseñado originalmente para emplearse en las
transmisiones de los automóviles ha sido suplantado por el diente de profundidad completa a
20°. Los dientes a profundidad completa son mas largos y es por esto que tienen un arco de
acción mayor, y además mucho más número de dientes hacen contacto para soportar la carga. No
obstante que la resistencia a través de cada diente es menor, el mayor número de dientes en
acción permite sostener cargas mayores.


CUESTIONARIO

9.1 ¿Cuáles son las ventajas de una transmisión de engranajes sobre una rueda de fricción?
9.2 De la explicación de cada uno de los siguientes términos en su aplicación con las ruedas
dentadas. (a) circunferencia primitiva, (b) paso diferencial (c) "paso diametral", (d) punto
primitivo.
9.3 Dedúzcase la expresión para la relación entre el paso circunferencial y el "paso diametral"
para un engrane recto.
9.4 Defínanse los siguientes términos en su aplicación para los engranes rectos- (a) addendum,
(b) dedendum, (c) cara del diente, (d) flanco del diente, (e) espesor de la cara, (f) juego lateral.
9.5 ¿Cuál es la ley fundamental que gobierna el perfil de los dientes?
9.6 ¿Qué es (a) la tolerancia de los dientes de los engranes, (b) el arco de acción, (c) el ángulo de
acceso, (d) el ángulo de receso?
9.7 ¿Cuáles son las formas de las superficies primitivas para los siguientes tipos de engranajes:
(a) helicoidales, (b) engranes comunes, (c) Cónicos, (d) sinfín?
9.8 ¿Cuáles son los tres tipos comunes de engranajes empleados para conectar flechas paralelas?
Haga unos bocetos.
9.9 Cuando se cruzan los árboles, ¿cuáles son los dos tipos de engranajes que se usan para
conectarlos? Haga unos bosquejo.
9.10. ¿Cuáles son los dos tipos de engranajes que se usan para conectar lechas que ni son
paralelas ni se cruzan?
9.11 Delinear (a) un engrane recto, (b) un engrane helicoidal, (e) un engrane cónico recto, (d) un
engrane cónico en espiral.
9.12 Delinear (a) un engrane en ángulo (b) un sinfín.
9.13 ¿Cuáles son las formas geométricas de las superficies primitivas a) para un engrane recto b)
un engrane en ángulo c) un engrane cónico recto d) un engrane cónico en espiral?
9.14 Compruébese que en los engranajes conjugados, la normal a las superficies de los dientes
debe pasar por el punto de contacto primitivo.
9.15 ¿Por qué se emplean las curvas cicloidales y evolventes para los perfiles de los dientes de
los engranes? ¿Se podrían usar otras curvas?
9.16 ¿Qué es el círculo descriptivo en un engrane cicloidal?


9.17 ¿Qué es una evolvente? Muéstrese como trazar una evolvente cuando se conoce un punto
sobre la evolvente y el diámetro del círculo base.
9.18 ¿Cuál es la trayectoria de contacto de un par de engranes evolventes?
9.19 ¿Cuál es la relación que debe existir entre el arco de acción y el paso circunferencial?
9.20 ¿Qué es el ángulo de presión de un par de engranes evolventes? ¿Cambia este durante el
periodo de contacto de un par de dientes correspondientes
9.21 ¿Cuáles son las ventajas prácticas de los engranes evolventes sobre los cicloidales?
9.22 Un engrane con dientes evolventes normalizados a 14 ½° de profundidad completa, tiene un
diámetro primitivo de 6 pulg. (15.2 cm) y un "paso diametral" de 4. Calcule lo siguiente: (a) el
número de dientes, (b) el addendum, (c) la altura activa, (d) la tolerancia, (e) el diámetro del pie
del diente, (f) diámetro exterior, (g) diámetro del circulo base.
9.23 Igual que el problema 9.22; pero los dientes son del tipo "despuntado" normalizados por la
Asociación Americana de Fabricantes de Engranes (AGMA).
9.24 Igual al Probl. 9.22 exceptuando que el diámetro de engrane es de 4 pulg. (10.16 cm) y el
paso diametral es de 5.
9.25 Un engrane tiene 20 dientes con un paso circunferencial de 2 pulg. (5.08 cm), los dientes son
del tipo evolvente normalizado a 14 ½°. Calcule (a) el diámetro primitivo, (b) el addendum, (c) la
tolerancia, (d) la altura activa, (e) el diámetro del pie del diente, (f) el diámetro exterior, (g) el
diámetro del círculo base
9.26 Dos árboles están separados 10 pulg. (25.4 cms.) el uno del otro y deben de ser conectados
por engranes rectos de dientes exteriores; uno de los árboles gira a 400 rpm, y el otro a 600 rpm.
Encuéntrese los diámetros primitivos y el número de dientes si el "paso diametral" es 4. ¿Cuál es
d valor del paso circunferencial?
Resp. 12 pulg. (30.5 cm); 8 pulg. (20.3 cm); 48; 32; 0.7854 pulg (19.9492 mm)
9.27 A y B son dos engranes rectos que se corresponden. A tiene treinta dientes y un paso
diametral de 3 y B tienen un diámetro primitivo igual a 15 pulg. (38.1 cm). Los dientes son
evolventes del tipo normalizado a 14 ½°. Encuéntrese a) el número de dientes que tiene B. b) la
distancia entre los centros de la flechas c) el paso circunferencia d) el addendum e) el dedendum
f) el diámetro de pie del engrane A g) el diámetro exterior de A h) el diámetro del círculo base
del engrane A i) la relación de velocidad de A y B.


9.28 Un engrane recto A tiene 20 dientes de 2 pulgadas (5.08 cm) de paso circunferencial y
engrana con otro B que tiene 28 dientes. Localizar la distancia entre los centros de las flechas y la
relación de velocidad.
9.29 La flecha A soporta un engrane recto con dientes internos. Su diámetro primitivo es de 20
pulg. y el paso diametral es de 3. La flecha B soporta el engrane correlativo al de A con 12
dientes. Encuéntrese la distancia de centro a centro y la relación de velocidad de las flechas.
9.30 Un par de engranes que tienen dientes evolventes “despuntados” a 20° hacen contacto
interno. Las flechas se encuentran a 10 pulg. de centro a centro y la relación de velocidad angular
es de 3:1. El paso diametral es de 4. Encuéntrese a) los diámetros primitivos de los engranes b) en
número de dientes de cada engrane c) el addendum de cada engrane d) el dedendum de cada
engrane e) el diámetro del circulo base del piñón.
9.31 Un par de engranes rectos 2 y 3 tienen un contacto interno sobre el 3. El número de dientes
sobre 2 es de 20 y la relación de velocidad de 2 a 3 es de 5:2. La distancia entre centros es de 7.5
pulg. (19.05cm). Los dientes son de perfil evolvente a 14 ½°. Encuéntrese a) el número de
dientes en 3, b) el paso circunferencial de 2 y 3; c) el paso diametral; d) el diámetro exterior del
2; e) la altura total del diente.

CAPÍTULO 10

TRENES DE ENGRANES

10.1 Valor del tren

Un mecanismo que transmite movimiento desde una flecha motriz hasta una flecha accionada,
por mediación de dos o mas engranes se denomina un tren de engranaje. Los problemas
concernientes a los cálculos de las relaciones de velocidades de estos trenes se considerarán en
este capítulo.
El valor del tren se define como la relación de:
± Velocidad angular de la ultima rueda (accionada)
Velocidad angular de la primera rueda (motriz)

Estas velocidades se miden en los trenes de engranaje ordinarios con referencia a la bancada fija
sobre la cual están motadas y soporta las flechas de los engranes.
El signo positivo de un valor del tren indica que la primera y última ruedas giran en el mismo
sentido; el signo negativo indica que giran en sentidos opuestos.
La ley general de los engranes mostró que las relaciones de velocidades se ajusta para cualquier
par de ruedas dentadas, ya sean engranes comunes, engranes helicoidales, engranes cónicos, etc.
Esta ley establece que la relación de velocidad de un par de engranes esta en relación inversa al
número de dientes. De esta manera el método para encontrar el valor del tren en términos del
numero de dientes es el mismo para todos los trenes de engranajes, no importando la variedad de
engranes que contengan.

10.2 Un tren de engranaje simple

Es uno en el cual no existen dos ruedas rígidamente ajustada a la misma flecha, para que giren a
la misma velocidad angular. La figura 10.1 muestra un tren de este tipo.
Aquí el movimiento se transmite de 2 hasta 5 a través de las ruedas 3 y 4. Por definición, el valor
del tren es ω51/ω21. Los círculos primitivos de los engranes giran juntos sin deslizamientos; de
esta forma la velocidad de la líneas primitiva es la misma para todos. Se deduce que la rueda 5, a

CINEMÁTICA DE LAS MÁQUINAS TRENES DE ENGRANES 211

través del contacto con la 4, girará a la misma velocidad de la línea primitiva como si estuviera
engranada con la 2.

Figura 10.1
Tren de engranes simple

Los tamaños de las ruedas intermedias 3 y 4 o el numero de dientes que contengan, no tienen
ningún efecto sobre el valor del tren. Por esta razón, 3 y 4 comúnmente se denomina “locas o
parásitas”. Esto en parte no esta bien dicho, en vista de que las ruedas trasmiten en la misma
forma en que lo hacen las ruedas 2 y 5.
Si quitáramos la rueda 4 del tren de engranaje y la 5 se moviera desde la 3, la rueda 5 tendría la
misma velocidad, pero en sentido opuesto. Por lo anterior, el número de las ruedas locas controla
el signo del valor el tren de engranaje.
En vista de lo anterior es evidente que el valor del tren para un tren de engranaje simple, es
igual a la relación inversa del número de engranajes de la Fig. 9.1,
V.T. = ω51 = N2
ω21 N5
donde N2 y N5 son el numero de dientes.
Inspeccionado, se observa que las ruedas 2 y 5 giran en sentidos opuestos , lo cual explica el
signo negativo. Substituyendo por el número de dientes indicado en la figura, obtenemos
ω51 = -30 = -2
ω21 45 3

La figura 10.2 muestra un tren de engranaje simple que contiene un engrane anular o interno 2, el
cual mueve una rueda loca 3 que a su vez mueve la rueda 4.

Figura 10.2
Tren de engrane simple con
engrane anular


La relación del tren es: ω41 = -100= -2 ½
ω21 40

Empleamos el signo negativo, ya que la rueda motriz gira en sentido de las manecillas del reloj,
cuando la rueda accionada gira en sentido contrario a las manecillas el reloj.

10.3 Un tren de engranaje compuesto

Es aquel en el cual, cuando menos un par de ruedas se encuentran rígidamente fijas a la misma
flecha para que las dos giren a la misma velocidad angular. Uno de estos trenes se muestran en la
fig. 10.3.

Figura 10.3
Tren de engrane compuesto

En este tren la transmisión es a través de 2, 3, 4, 5, en ese orden y las ruedas 3 y 4 se encuentra
montadas sobre la misma flecha. Para localizar la relación del tren proseguimos como sigue:
Considerando las ruedas 2 y 3,
ω31 =N2
ω21 N3

También considerando las ruedas 4 y 5,
ω51= N4
ω41 N5

Multiplicando las ecuaciones A y B obtenemos

ω31 ω51 = N2 N4
ω21 ω41 N3 N5

pero ω31=ω41 en vista de que estas ruedas están motadas sobre la misma flecha.

Por esto ω51 = N2 N4
ω21 N3 N5


Si denominamos a la primera rueda de cada par de engranes la motriz y a la segunda rueda la
accionada, podemos escribir:

Valor del tren = ± El producto del numero de dientes de las motrices
El producto del numero de dientes de las accionadas

El signo como dijimos anteriormente, depende de si la rotación del extremo accionada del tren es
el mismo o si es opuesto al extremo motriz. Los trenes de engranajes compuestos comúnmente
se emplean cuando la reducción de velocidad es grande.
En casos como tales, un tren de engranaje simple con la misma relación de velocidad, podría
requerir el uso de un engranaje muy grande.

10.3.1 Trenes de engranaje recurrentes compuestos

Se dice que un tren de engranaje es recurrente cuando la primera y última rueda son coaxiales.
Los trenes de engranajes en las transmisiones de los automóviles que se usan para “primera” , “
segunda” o “ reversa” son de este tipo. La primera y última rueda son coaxiales de tal forma que
se pueden acolar conjuntamente cuando el automóvil esta en “ tercera “. Los engranes de un torno
forma parte de un tren de engranaje recurrente. En la Fig. 10.4 se muestra un tren recurrente de 4
engranes comunes, 3 y 4 se encuentran fijos a la misma flecha.

Figura 10.4
Tren de engrane recurrentes

La distancia entre centro y centro de las flechas en R2+ R3 = R4 + R5.
Si todas las ruedas tienen dientes del mismo paso o módulo, el numero de dientes es
proporcional a sus radios primitivos. Por esto, si R2 = C X N2 entonces R3 = C X N3 , R4 = C X


N4, R5 = C X N5, donde C es constante. Sustituyendo estos valores en la ecuación arriba
mencionada obtenemos
N2 + N3 = N4 + N5
EJEMPLO: En la Fig. 10.4 se muestra un tren de 4 engranes recurrentes, con un valor del tren de
1/6. La rueda 2 tiene 20 dientes; la rueda 3, 40 dientes. Encontrar el numero de dientes para las
ruedas 4 y 5 considerando que el paso de los dientes es el mismo para todas las ruedas.
El valor del tren es

Por lo tanto:
(A)

También:
(B)

Las ecuaciones A y B solucionan N4 y N5. Por consiguiente encontramos que N4 = 15 y N5 = 45.
Transmisión del automóvil. La figura 10.5 ilustra un tipo común de transmisión para un
automóvil que ofrece tres velocidades: avance, neutral y reversa. El miembro mas importante
consiste en la flecha motriz A y la flecha accionada B, los engranes F, G, H, L están rígidamente
conectados uno otro y giran sobre una flecha lateral. La ilustración muestra la transmisión en su
posición neutra. Los engranes C y F siempre se encuentran engranados, para que la unidad F, G,
H, I siempre este en movimiento.
El sistema de engranaje se controla por la palanca M que acciona los engranes D o E hacia la
derecha o hacia la izquierda según se desee la transmisión trabaja como sigue:
(a)Tercera velocidad (transmisión directa). El engrane D se mueve hacia la izquierda, los dientes
internos de D engranan con C. Las flechas A y B giran ahora a la misma velocidad.
(b)Segunda velocidad. El engrane D se corre hacia la derecha, engranando con G. El tren de
engranaje recurrente D, F, G, D, ocasiona que B gire el mimo sentido que A, pero a una
velocidad reducida.


Figura 10.5
Transmisión por engranajes
deslizables de un automóvil

c) Primera velocidad. Se mueve el engrane E, hacia la izquierda para que engrane con H. El tren
de engranaje C, F, H, E mueve a B en el mismo sentido que A, pero con una reducción de
velocidad de un valor mas grande que en la posición de la segunda velocidad, debido a la
reducción en la relación del numero de dientes, NH:NE comparado con NG:ND.
(d) Reversa. El engrane E se mueve hacia la derecha engranando con una rueda loca situada
detrás del plano de la lección y que engrana con L. Esta rueda loca no esta indicada en la figura.
El movimiento ahora se transmite a través de G, F, L hacia la rueda loca y a través de ella hasta
E, ocasionando que B gire en un sentido opuesto al de A.

10.4 Trenes de engranes epicicloidales o planetarios

En los trenes de engranajes comunes discutidos anteriormente, las ruedas giran con referencia a
ejes fijos. El marco soporta las ruedas y forma el eslabón fijo en el mecanismo. Por otro lado, en
un tren de engranaje epicicloidal, los ejes de algunas de las ruedas se encuentran en movimiento,
y uno de los engranes generalmente se convierte en el eslabón fijo. Un tren de engranaje común
y corriente se puede convertir en un tren epicicloidal fijando una de las ruedas, y ocasionando que
gire el marco que soporta los ejes de las ruedas. El tren de engranaje epicicloidal de la Fig. 10.6


tiene una rueda 1 estacionaria, y el marco 3 gira alrededor del perno en A con el resultado de que
2 gira alrededor sobre 1.

Figura 10.6
Tren de engranes
epicicloidal

Lo que frecuentemente deseamos saber sobre un tren epicicloidal, es la relación entre velocidad
angular de las ruedas movidas y la velocidad angular del marco que soporta los ejes de las ruedas.
En la fig. 10.6 esta es ω21/ω31 midiéndose las dos velocidades con respecto a la rueda fija. Esta
cantidad podemos denominarla el valor epicicloidal, consideraremos un método para calcularlo.
Método general para calcular las relaciones de velocidad de trenes de engranajes epicicloidales
(que también se puede emplear cuando ningún miembro se sostiene fijo), se describe a
continuación, consistiendo de tres pasos.
1.-Todo el tren de engranaje se encuentra enclavado para que no haya movimiento relativo de
las partes, y luego se gira una revolución en el sentido de las manecillas del reloj, Como
resultado, cada miembro del tren girará un revolución en el sentido de las manecillas del reloj.
Esto se puede aclarar si giramos lentamente este libro una revolución, y notamos que cada
miembro en la ilustración del tren hace una revolución con referencia a su propio eje.
2.-El tren epicicloidal se convierte ahora en un tren ordinario si enclavamos el marco sobre el
cual se encuentran montados los engranes, y al mismo tiempo liberamos el engrane fijo. El
engrane que anteriormente era fijo se gira ahora una revolución en sentido contrario a las
manecillas del reloj, y el numero de vueltas que efectúan los miembro se apunta en una
tabulación.
3.- El resultado neto de las operación anteriores se debe localizar sumando algebraicamente el
número de revolución s que hace cada miembro del tren. El movimiento resultante del engranaje
“fijo” siempre es cero; por esto, los desplazamientos angulares de los otros engranes son iguales
como si el tren hubiese permanecido epicicloidal. De estos desplazamientos angulares se puede
calcular la relación de velocidad del tren.


Ejemplo 1.-Aplicando los métodos antes mencionado al ten de engranaje epicicloidal de la Fig.
10.7 Obtenemos: (1) el tren es enclavado y todo el mecanismo se gira una revolución en el
sentido de las manecillas del reloj, (2) el brazo 4 se traba y el engrane 1 gira una vuelta en sentido
contrario al de las manecillas el reloj, o sea en dirección negativa, y el número de vueltas de los
otros engranes se anota en la tabulación; (3) el movimiento resultante de los miembros
concernientes se encuentran sumando algebraicamente los valores obtenidos en la tabulación
para los pasos 1 y 2.

Figura 10.7

1-240

Esto se ilustra en la tabla 10.1. Entonces, mientras el brazo 4 hace +1 vuelta, el engrane 3 hace
+5 vueltas, y la relación ω31/ω41 es igual a +5.
Tablas 10.1
Giros
Pasos 1 2 3 4
1 +1 +1 +1 +1
2 -1 ..... +4 0
3 0 .... +5 +1

Ejemplo 2. En las Figuras 10.8 y 10.9 se ilustra un tren epicicloidal compuesto, en el cual el
brazo 6, que soporta los engranes 3 y 4, no es el eslabón motriz ni el accionado. El motriz 2
engrana con la rueda 3, que a su vez engrana con la rueda angular estacionaria 1. Los engranes 3
y 4 se encuentran fijos a la flecha que esta sostenida por el brazo 6, el cual se encuentra libre
para girar sobre la flecha A. El engrane 4 se encuentra engranado con la rueda angular 5, la cual
esta enclavada a la flecha movida B.
El primer paso para localizar la relación del tren es el de solidarizar el tren y girar todo el
mecanismo una vuelta en dirección positiva (en sentido de las manecillas del reloj). El segundo


es el de trabar el brazo 6, gira la rueda fija 1, una revulsión en dirección negativa (en sentido
contrario de las manecillas del reloj), y tabular los giros efectuados por los otros engranes.


El tercer paso es el de sumar algebraicamente los movimientos obtenidos en los pasos tomados
anteriormente para localizar el movimientos resultante. Esto se efectúa en la tabla número 10.2.

Tabla 10.2
Giros
Pasos 1 2 3 4 5 6
1 +1 +1 +1 +1 +1 +1
2 -1 +57 - 57 - 57 - 57 x 12 0
27 15 15 15 54
3 0 +28 .... .... +7 +1
9 45

Por esto, mientras el engrane 2 hace +28/9 vueltas, el engranaje 5 hace +7/45 vueltas. La
relación de velocidad ω51/ω21= 7/45 = +1/20.
28/9
De ahí que mientras la flecha A hace 20 vueltas la flecha B gira 1 vez la misma dirección.
Ejemplo 3. La Fig. 10.10 muestra el arreglo para un tren epicicloidal compuesto recurrente, que
da una gran reducción de velocidad desde la flecha motriz A hasta la flecha C. La flecha A
mueve el brazo 5, que soporta la flecha B a la cual se encuentran enclavados las ruedas
dentadas 2 y 3. La rueda 1 es solidaria. Por lo anterior la rotación A ocasiona que 2 gire sobre 1;
mientras que 3 mueve a 4, el cual se encuentra enclavado a la flecha movida C.


Supongamos que el numero de dientes del los engranes son 1-60 dientes 2-61 dientes, 3-60
dientes, 4-61 dientes. La flecha gira 100 rpm. En sentido de las manecillas del reloj. Localizar la
velocidad y la dirección de la rotación de la flecha C.

Figura 10.10

Siguiendo el procedimiento usual, primeramente giramos todo el tren 1 vueltas en sentido de las
manecillas del reloj (+1). Entonces sostenemos el brazo fijo 5, giramos el engrane fijo 1, una
vuelta en dirección opuesta y encontramos el numero de vueltas efectuado por los otros
engranes, como lo muestra el paso 2 de la tabla. Finalmente, el movimiento resultante se obtiene
en el paso 3 sumando los pasos 1 y 2 algebraicamente, como lo muestra la tabla 10.3.
Tabla 10.3
Giros
Pasos 1 2 3 4 5
1 +1 +1 +1 +1 +1
2 -1 + 60 + 60 - 60 x 60 0
61 61 61 61
3 0 .... .... + 121 +1
3721

De esta se puede observar que , si la flecha A hace 100 rpm en sentido de las manecillas del reloj,
C hace 100(121/3721) = 3.25 rpm en la misma dirección.
Este caso ilustra el método por el cual se puede obtener una gran reducción de velocidad
empleando un tren epicicloidal, usando engranes que son mas o menos del mismo tamaño. El
tren puede ser de forma compacta.


Seria instructivo investigar un poco mas este ejemplo cambiando los dos pares de engranes.
Entonces el número de dientes en los engranes será: 1-61 dientes, 2-60 dientes, 3-61 dientes, 4-60
dientes. La flecha A gira otra vez 100 rpm en sentido de las manecillas del reloj, y se requiere
encontrar la velocidad y dirección del giro de la flecha C.
El procedimiento es exactamente el mismo que el anterior y se sumariza en la tabla 10.4.
Tabla 10.4
Giros
Pasos 1 2 3 4 5
1 +1 +1 +1 +1 +1
2 -1 + 61 + 61 - 61 x 61 0
60 60 60 60
3 0 .... .... - 121 +1
3600

De esta se puede observar que, si la flecha A gira a 100 rpm en sentido de las manecillas del
reloj, la flecha C gira 100(121/3600) = 3.36 rpm en dirección opuesta.
Por lo anterior, simplemente cambiando los 2 juegos de engranes, es suficiente para ocasionar
que la dirección del giro de la flecha movida se invierta permaneciendo el tamaño del tren y
longitud del brazo 5 sin alteraciones.

10.4.1 Trenes epicicloidales que no tienen un engrane fijo

Ocasionalmente se podrá emplear un tren de engranaje epicicloidal cuando ningún engrane se
retiene fijo. El ejemplo más común de este caso es el diferencial de un automóvil cuando este se
encuentra dando una vuelta; esto será considerado posteriormente.
El procedimiento en problemas de este tipo es similar al método esbozado anteriormente,
exceptuando que en primer paso, en vez de que el tren solidario gire una revolución, este girará
tantas revoluciones como las que el brazo efectúe por unidad de tiempo; y en el segundo paso,
donde el brazo es enclavado, el engrane cuya velocidad absoluta es conocida, debe girar en la
dirección indica el número de veces tal, que sumando las vueltas de todo el tren en el primer
paso dé el total algebraico correcto. Posiblemente esto podrá ilustrarse mejor mediante un
ejemplo.


Ejemplo 1.- En la fig 10.11 la flecha A gira 100 rpm en sentido de las manecillas del reloj,
moviendo un tren de engranaje epicicloidal, engranando la rueda 2 con la 3 y la 4 con la 5. Debe
tomarse en cuanta que los engranes 2 y 4 sobre la flecha A no forman parte del tren epicicloidal,
sino que solamente lo mueven. El número de dientes de cada engrane se muestra en la figura. Se
desea conocer la dirección del giro y la velocidad de la flecha B.

Figura 10.11

La velocidad del engrane 3, o del brazo 7 el cual esta fijo a 3, es 100 X 40/20 = -200 rpm. La
velocidad del engrane 5 es 100 X 20/40 = -50 rpm. La tabla 10.5 debe establecerse ahora para
hacer la lista de los engranes en el tren epicicloidal.
Tabla 10.5
Giros
Pasos 3o7 5 6 8 9
1 - 200 - 200 - 200 - 200 - 200
2 0 + 150 - 150 x 40 - 150 x 40 - 150 x 40 x 15
50 50 50 75

3 - 200 - 50 - 320 - 320 - 176

Para el paso 1 todo el tren gira a 200 revoluciones en sentido contrario de las manecillas del reloj,
la cual es la velocidad y el sentido de rotación del brazo 7. Para el paso 2 el brazo 7 se mantiene
fijo y el engrane 5 gira un número de vueltas en la dirección apropiada para que su movimiento


resultante sea el que realmente ocurre, o sea –50 rpm. Evidentemente el valor requerido es +150
rpm. Con el brazo 7 fijo, y girando el engrane 5 a +150 revoluciones, las revolución de los otros
engranes se pueden localizar y apuntar. En el paso 3, se calcula el movimiento resultante
mediante una suma algebraica y se encuentra que el engrane 9, o sea la flecha B, gira –176 rpm,
esto es, en sentido contrario a las manecillas del reloj.
Ejemplo 2. La fig. 10.12 muestra el diagrama esquemático de un diferencial de automóvil. La
potencia se recibe a través de la flecha motriz desde el motor por medio de la transmisión y es
retransmitida a través de los engranes cónicos 2 y 3. Sobre el engrane 3 se encuentran unos
pernos que soportan los engranes cónicos y 4 y 4´ los cuales engranan con las ruedas 5 y 6. Los
engranes 5 y 6 se encuentran enclavados a los ejes a los cuales también se encuentran fijas las
ruedas.

Figura 10.12

Cuando el automóvil esta viajando sobre un camino recto, el diferencial gira “punta sobre
punta” esto es, no hay movimiento relativo entre los engranes 4 o 4´ y los engranes 5 y 6 . De
cualquier forma, cuando el automóvil recorre una curva una rueda y su eje debe correr más
despacio y la otra mas aprisa para prevenir el deslizamiento de la llanta sobre el camino. Esto
ocasiona un movimiento relativo de los piñones en el tren epicicloidal del cual 3 es el brazo,
y los otros engranes son 4 o 4´, 5 y 6 . Suponiendo que en un camino recto cada eje gira a
100 rpm, pero en una curva la velocidad de la rueda derecha se reduce a 50 rpm. ¿cuál será la
velocidad del eje izquierdo, tomando en cuanta que la velocidad de la flecha motriz
permanece sin cambio?
Siguiendo el método descrito anteriormente (véase tabla 10.6), sabemos que la velocidad de
la corona o brazo 3 es +100 rpm. Por consiguiente, en el paso 1 giramos el tren + 100
revoluciones. En el paso 2 la corona o brazo 3, se mantiene fijo y el piñón 6 se gira un


numero de vueltas en la dirección adecuada para que su movimiento resultante sea el que
realmente ocurre, o sea +50 rpm. Este valor es –50 vueltas manteniendo la corona 3 fija y
girando el piñón 6, -50 vueltas; aparentemente el piñón 5 girará + 50 vueltas. Esto es cierto
en vista de que los piñones 5 y 6 son del mismo tamaño y los piñones 4 y 4´ actúan
simplemente como intermedios o locos. Después de anotar los valores en la tabla, se
encuentra el movimiento resultante en el paso 3.
Tablas 10.6
Giros
Pasos 3 5 6
1 +100 +100 +100
2 0 +50 - 50
3 +100 +150 +50

Debe observarse que la velocidad de una rueda se incrementa la misma cantidad que la otra se
reduce. Si la parte posterior se levanta y una de las ruedas se mantiene fija, la otra girara el doble.
Esta situación ocurre frecuentemente en el invierno, cuando una rueda del automóvil reposa sobre
el hielo el cual tiene un bajo coeficiente de fricción y la otra reposa sobre el camino seco que
tiene un alto coeficiente de fricción. En estos casos el automóvil debe empujarse para que salga
de esta condición antes de poder conducirlo normalmente.

10.5 Aplicaciones de trenes de engranaje epicicloidales

No obstante que los trenes de engranajes epicicloidales tienen la particularidad de ser ruidosos, se
amplían en diferenciales de automóvil, en motores eléctricos con reductor integral de engranes,
polipastos ( Fig. 10.13) y alguno reductores de velocidad (Fig.10.14)
La fig. 10.13 muestra una aplicación de un tren de engranaje epicicloidal compuesto recurrente,
en un polipasto. El aparato se opera por medio de una cadena manual a la derecha, al cual
accionada la estrella, esta tienen un diámetro relativamente grande. La estrella esta conectada a
una flecha que transmite el movimiento al tren de engranaje en la izquierda. Este tren es
epicicloidal y contienen un engrane interno fijo; además tiene como miembro accionado un
bastidor que soporta los pequeños piñones giratorios. Este bastidor se encuentra unido


sólidamente a una camisa, la cual también sostiene la estrella que acciona la cadena donde esta
montado la grúa en el centro del polipasto. Un embrague automático en el lado derecho de la
caja sostiene la carga hasta que la cadena manual es jalada hacia abajo.

Figura 10.14
Figura 10.13 Reductor de velocidad con tren de
Polipasto de engranes engranes epicicloidales

Haciendo una elección apropiada del diámetro de la estrella y del tamaño de los engranes, se
puede diseñar el aparato con cualquier relación de velocidad deseada para la grúa y la cadena
manual. Si no consideramos las pérdidas por fricción , la relación de la tracción de la cadena de
carga a la tracción de la cadena manual, es la recíproca de su relación de velocidad, en vista de
que el trabajo efectuado por ambos es el mismos.
Cuando se requiere una reducción en la relación de revoluciones entre el elemento motriz o y el
accionado de una máquina, por ejemplo, cuando se emplea un motor eléctrico para mover una
máquina a baja velocidad, comúnmente se usa un reductor de velocidad del tipo epicicloidal,
parecido al mostrado en la Fig. 10.14, como sustituto para bandas, cadenas, o engranes expuestos.
Un engrane interno o anular es el miembro fijo.


CUESTIONARIO

10.1 Defínase los siguientes términos en su aplicación a los trenes de engranajes a)valor del tren ,
b)tren de engranaje simple, c) tren de engranaje compuesto d)tren de engranaje recurrente.
10.2 Un tren de engrane se compone de un engrane recto interno o anular 2 y de un engrane 3
con el cual hace contacto. Las dos ruedas dentadas giran sobre centros fijos que se encuentran a
6 plg. (15.24 cm) el uno del otro. El engrane 2 gira a 30 rpm y el 3 a 120 rpm. Localícense a) el
diámetro primitivo para los dos engranes b) el numero de dientes de ambos si el paso diámetro al
es 4.
Resp. a) 16 plg. (40.64 cm) 4 pulg. (10.16 cm) b)64, 16.
10.3 Calcúlese el valor del tren del siguiente tren de engranajes:
15 dientes
20dientes
30 dientes
45 dientes
10.4 Calcúlese el valor del tren del siguiente tren
30 dientes
75 dientes – 10 pulg.(25.4 cm) diámetro primitivo
12 pulg. (30.48 cm) diámetro primitivo -50 dientes
60 dientes Resp: 5/18

10.5 Calcúlese el valor del tren del siguiente tren de engranajes:
10 dientes, engrane recto
30 dientes, engrane recto- 40 dientes, engrane recto
120 dientes, engrane recto-sinfín de un hilo
40 dientes, rueda serpentina

10.6 Un tren de engranaje recurrente compuesto de cuatro ruedas dentadas 2, 3, 4, 5, tiene un
valor del tren de 1:4 ½ , siendo todos los dientes de los engranes del mismo paso. 2 tiene 40
dientes, 3 tiene 60 dientes. Encontrar el número de dientes de 4 y 5. Si el paso diametral es 3,
encuéntrese la distancia entre los centros de las flechas.
Resp. N4 = 25; N5 = 75; 16.667 pulg.. (42.23cm)
10.7 El tren de engranaje posterior de un torno esta compuesto como sigue: el engrane 2 con 16
dientes en el mismo perno con la polea cónica mueve el 3 con 72 dientes. La rueda dentada 4 esta
conectada rígidamente con la 3 y mueve la 5, la cual esta conectada con el husillo de la máquina.
El valor del tren es 1:13 ½ encuéntrese el numero de dientes de 4 y 5.


10.8 Determínese el número de dientes para los cuatro engranes helicoidales de un tren de
engranaje recurrente compuesto, si todos los dientes tienen un “diametral pitch” igual a 12, la
distancia entre los ejes centrales de la flecha es de 2 ½ pulg. (6.35cm) y el valor del tren es 1:6.
10.9 Se desea conectar dos árboles paralelos cuyos ejes centrales se encuentran a 6 pulg. (15.24
cm) de separación con un par de engranes rectos. El paso diametral debe ser alguno de los que se
muestran en la Fig. 9.16. Determinar el número de dientes en cada engrane obteniendo un valor
del tren de 5:1 Especifique el paso diametral empleado. ¿cuáles otros factores probablemente
tendrán que considerarse al hacer la selección final del número de dientes empleados?
10.10 Un tren de engranaje compuesto de reducción triple, se emplea para reducir la velocidad de
una flecha motriz desde 1250 rpm hasta 10 rpm en pasos iguales. Si la distancia entre los ejes de
las flechas es 12 plg (30.48 cm) sucesivamente, y el número de dientes en cada engrane motriz es
de 28 dientes, determínese el paso diametral de los dientes de los engranes.
10.11 Cuando un automóvil queda en el engrane intermedio, el tren de engranaje en actividad se
compone de los siguientes dientes, siendo el primero el que esta directamente conectado con el
motor:
24 dientes
41 dientes- 34dientes
31 dientes-11dientes, piñón cónico
56 dientes, engrane cónico.
a) Encuéntrese la relación entre la velocidad del eje posterior y la velocidad del motor.
b) Si las ruedas tienen 30 pulg. (76.2 cm) de diámetro, calcular la velocidad del motor
correspondiente a una velocidad del carro de 20 millas por hora (32.2 k/h)
Resp. a) 1:7.93 b) 1775 rpm
10.12 En la transmisión de automóvil ilustrada en la Fig. 10.5 calcúlese las cuatro posibles
relación de velocidad de la flecha B a la A cuando los números de dientes de los engranes son
como sigue:
C-22, F-39, G-32, D-29, E-38, H-23, L-18

10.13 ¿Qué es un tren de engranaje epicicloidal? ¿Cómo puede convertirse un tren de engranaje
ordinario en epicicloidal?
10.14 Un tren epicicloidal consiste de un tren de engranaje simple de dos ruedas dentadas 1 y 2
las cuales están soportadas por el bastidor 3. La rueda 1 esta fija: la rueda 2 gira en sentido


contrario a las manecillas del reloj a 100 rpm. La rueda 1 tiene 60 dientes, 2-180 dientes.
Calcúlese la velocidad y la dirección del movimiento del bastidor 3.
10.15 Un engrane epicicloidal consiste de un simple tren de engranes dos ruedas 1 y 2 colocadas
en una estructura 3, la rueda 1 esta fija; la 2 da vueltas en sentido contrario a las manecillas del
reloj a 100 revoluciones por minuto. La rueda 1 tiene 40 dientes, 2-50 dientes. Encontrar la
velocidad y dirección del movimiento de 3.
Resp. 55.56 rpm en el sentido contrario a las manecillas del reloj.
10.16 El orden de los engranes de un tren epicicloidal recurrente es 1, 2, 3,4. El brazo 5 pivotea
alrededor del centro de 1 y soporta las ruedas 2 y 3 las cuales se encuentran fijas sobre los
extremos del mismo perno. La rueda 1 tiene 30 dientes, 2-50, 3—20, 4-60. El brazo 5 es movido
a 150 rpm. Calcúlese la velocidad de 4 cuando 1 esta fijo.
Resp. 120 rpm
10.17 Un tren epicicloidal esta compuesto de un engrane anular fijo 1, con 1510 dientes.
Engranando con 1 se encuentra la rueda 2 la cual mueve a la 4 a través de la rueda loca 3. La 4 es
concéntrica con la 1. Las ruedas 2 y 3 se sostiene sobre un brazo, el cual gira en el sentido de las
manecillas del reloj a 100 rpm. La rueda 2 tiene 25 dientes, 3-30 dientes 4-40 dientes. Calcúlese
la velocidad y el sentido de rotación de 4.
10.18 Un tren epicicloidal contienen una rueda anular fija 1, con 200 dientes. Engranando con 1
se encuentra la rueda 2 con 90 dientes, la cual mueve a la 3 con 20 dientes. La rueda 3 es
concéntrica con la 1. La rueda 2 se sostiene sobre un brazo 4, el cual gira sobre el eje de 1. La
rueda 3 es la motriz, y gira a 100 rpm en el sentido de las manecillas del reloj. Encuéntrese la
velocidad del brazo 4.
10.19 El tren epicicloidal empleado en un polipasto se muestra esquemáticamente en la Fig.
P10.19. La estrella para la cadena manual es de 12 pulg. (30.48 cm) de diámetro y la estrella de la
cadena para la carga es de 6 pulg. (15.24 cm) de diámetro. El engrane 1 se encuentra fijo al perno
de la estrella de la cadena manual. Los engranes 3 y 3´ pivotean sobre brazos que se encuentran
adjuntos a la estrella de la cadena de carga. La rueda anular 1 se encuentra estacionaria. El
numero de dientes esta indicado en la figura. Calcúlese a) la relación de velocidad de las cadenas,
b) la carga que puede elevarse si tiramos de la cadena manual con una fuerza de 100 libras
(415.359 kg) ( sin considerar pérdidas por fricción)
Resp. a) 1:13.3 b) 1333 lb. (60.464 kg)


Figura P10.19

10.20 Efectúese el cálculo de la relación de velocidad del tren epicicloidal ilustrado en la figura
10.14.
10.21 Encuéntrese la relación de velocidad obtenida por el uso del tren de engranaje mostrado en
la Fig. P10.21

Figura P10.21 Figura P10.22

10.22 Determínese la relación en la cual el peso W es alzado por el uso del tren de engranaje
mostrado en la fig P10.22.

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BIBLIOGRAFÍA

Calero, Pérez Roque; Carta, González José Antonio. (1999). Fundamentos de mecanismos y
máquinas para ingenieros. Madrid. McGraw Hill/ Interamericana de España, S.A.
Erdman, Arthur G; Sandor, George N. (1998). Diseño de mecanismos. Análisis y síntesis. 3ª.
Ed. México. Prentice Hall.
Guillet . (1993). Cinemática de las máquinas. México. Compañía Editorial Continental, S.A.
de C.V.
Mabie, Hamilton H; Reinholtz, F. Charles. (2001). Mecanismos y dinámica de maquinaria.
México. Limusa Wiley
Shigley, Joseph Hedward, Uicker, Jhon Joseph Jr. ((1998). Teoría de máquinas y mecanismos.
México. McGraw Hill.

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