Clase 1 de modelos matematicos para todo ingeniero

CINF105 – Optimización
PhD. Armin Lüer-Villagra, PhD. Daniel Morillo-Torres, PhD. Jorge
Sabattin, Marcelo Mercado, PhD. Rodrigo Linfati, PhD. Gustavo
Gatica, Mtr. Alex González
Universidad Andrés Bello et al.
Primer semestre de 2024
PhD. Armin Lüer-Villagra, PhD. Daniel Morillo-Torres, PhD. Jorge Sabattin, Marcelo Mercado, PhD. Rodrigo Linfati, PhD. Gustavo Gat
CINF105 – Optimización Primer semestre de 2024 1 / 39

Unidad 1.
Introducción.
Basado en el capı́tulo 1 del libro “Investigación de Operaciones” de Hamdy
Taha.
Se consideran aspectos de experiencia docente y materiales utilizados por
los académicos.

¿Dónde está la optimización?

¿Dónde está la optimización?
ver
http://www.phpsimplex.com/casos_reales.htm

Orı́genes
Primeros intentos de uso detectados en las ciencias económicas. Me-
diados del siglo XVIII (P.Quesnay, 1759 y K. Walras, 1874)
Inicio formalmente aceptado: II Guerra Mundial.
Leer paper Jesús González y Gustavo Gatica.
Recordar la máquina enigma y orı́gen de la Ciencia de la Computación.

Optimización viene de ... la Investigación de Operaciones?

Es una rama de las Matemáticas aplicadas.

La Enciclopédica Británica la define como “la aplicación de métodos
cientı́ficos a la administración y gestión de organizaciones mili-
tales, gubernamentales, comerciales e industriales”.

La Enciclopédica Británica la define como “la aplicación de métodos
cientı́ficos a la administración y gestión de organizaciones mili-
tales, gubernamentales, comerciales e industriales”.
Dentro de sus disciplinas están, por ejemplo,
Programación dinámica.
Teorı́a de colas.
Ruteo vehicular.
Simulación.
Teorı́a de juegos.
Control de inventarios.
Revenue management.
Programación Matemática u Optimización.

Factores de Impulso
Finales década del 50, ya se han desarrollado muchas técnicas de IO,
en particular, Programación Lineal, programación dinámica, teorı́a de
colas, inventarios entre otros.
En 1947, el Dr. G. Dantzing publica el método SIMPLEX, para solución
de modelos de Programación Lineal.
Quienes mandan generalmente mueven las manos y dicen, He consi-
derado todas las alternativas. Pero eso es casi siempre basura. Lo más
probable es que no pudiesen estudiar todas las combinaciones. Entre-
vista The College Mathematical Journal, 1986.

Dantzig
George Bernard Dantzig nació el 8 de Noviembre de 1914 en Pórtland,
Oregon, USA. Muere el 13 de Mayo de 2005 a los 90 años
Dantzig inventó el método simplex en 1947, siendo aún la herramienta
principal en casi todas las aplicaciones de la programación lineal.
En palabras del propio Dantzig: ”El tremendo poder del Método Sim-
plex me sorprende constantemente”. Citando el simple ejemplo del pro-
blema de asignación (70 personas para 70 tareas) y el enorme poder
computacional que se requerirı́a para analizar todas las permutaciones
y seleccionar la solución óptima, observó lo siguiente: sólo toma un mo-
mento encontrar la solución óptima usando una computadora personal
y un paquete que maneje el método simplex estándar.

¿Dónde está la Verdad?.... Cuál es el trabajo?

Cómo hacer el trabajo

¿Cuál es la metodologı́a de la Investigación de
Operaciones?

Operaciones?
Está centrada en la modelación.

Operaciones?
Un modelo es una aproximación de la realidad, con distintos niveles de
abstracción.

Operaciones?
Un modelo es una aproximación de la realidad, con distintos niveles de
abstracción.
Los pasos son,
Definición del problema.
Construcción del modelo.
Resolución del modelo.
Validación del modelo.
Implementación y control del modelo.

¿Cuál es el trabajo?
Revisar el libro de Bernal!!!

Definición del problema

Se busca identificar el sistema en estudio, los objetivos y las alternativas
de decisión disponibles.

La identificación del sistema incluye desarrollar un modelo conceptual
del sistema (identificar componentes y relaciones, lı́mites, fronteras,
etc.).

etc.).
La determinación de los objetivos debe estar alineada con los reque-
rimientos del solicitante (empresa, gobierno, personas).

etc.).
La determinación de los objetivos debe estar alineada con los reque-
rimientos del solicitante (empresa, gobierno, personas).
Las alternativas de decisión sirven para saber qué se podrá modificar
respecto a la situación actual.

Definición de Modelo
Representación abstracta del mundo real o de una porción del mundo
real de nuestro interés, mas simple y manipulable a efectos de análisis
y que necesariamente debe ser representativo del sistema bajo estudio
según el objetivo de este último.
Cómo se clasifica:
Fı́sico
Análogo.
Matemático
Descriptivos
Normativos
Optimizables
Determinı́sticos
Probabilı́sticos (Incertidumbre)

Definición de Modelo
Simple
Robusto
Fácil de usar
Fácil de comunicar
Adaptativo
Completo en los puntos principales
Rico en valor de la razón costo / beneficio

Proceso de Construcción de Modelos
Revisar el libro de Bernal!!!

Construcción del modelo

Un modelo es una representación idealizada de una situación u objeto
concreto con un objetivo concreto.

Un modelo es una representación idealizada de una situación u objeto
concreto con un objetivo concreto.
Los modelos de IO poseen los siguientes elementos.
Parámetros.
Variables de decisión.
Restricciones.
Función objetivo.

Parámetros: también llamadas variables exógenas. Son las decisiones
que son o han sido tomadas fuera del ámbito del sistema considerado.
Para efectos del modelo, son datos.

Variables de decisión: también llamadas variables endógenas. Son las
decisiones que deben ser tomadas. Son las que definen la respuesta
entregada por el modelo.

Restricciones: expresan las relaciones que deben cumplirse entre
las decisiones tomadas para el problema. Se expresan como funciones
de las variables y los parámetros.

Restricciones: expresan las relaciones que deben cumplirse entre
las decisiones tomadas para el problema. Se expresan como funciones
de las variables y los parámetros.
Función objetivo: también llamada medida de efectividad. Mide la
‘bondad’ de las decisiones en términos del cumplimiento de un objetivo.
Es una función de las variables de decisión y parámetros.

Espacio de Soluciones
Depende de lo complejo del problema.
Se puede representar gráficamente

¿Por qué son tan difı́ciles de resolver?
Complejidad: La dificultad de un problema (con tamaño n) está definida
con base en el número de operaciones básicas [f(n)] necearı́as para
resolverlo en el peor de los casos.

¿Por qué son tan difı́ciles de resolver?

Qué elementos están presentes... el flujo

¿De qué modelos estamos hablando?
Modelo determinı́stico.
Es un modelo estático.
Es un modelo que no suboptimiza.
Hay temas avanzados en IO, que pueden romper estas limitaciones.

¿Algunos tips para generar modelos
No debe generar un modelo complicado cuando uno simple es sufi-
ciente.
El problema NO debe ajustarse al modelo o método de solución.
La fase deductiva de la modelación debe realizarse rigurosamente.
Los modelos se deben validar antes de su implantación.
Nunca debe pensarse que el modelo es el sistema real.
Los modelos no pueden reemplazar al tomador de decisiones,
sólo auxiliarlos.
Uno de los primeros beneficios de la modelación reside en el desarrollo
del modelo.
Un modelo es tan bueno o tan malo como la información con la que
trabaja.
Los modelos no pueden reemplazar al tomador de decisiones

Palabras de Cierre
Es muy difı́cil procurar una solución verdadera para un problema mal
formulado... para formular lo mejor es la matemática

Ejemplos de modelos de Investigación de operaciones
Problema: Diseñar la red de una aerolı́nea.
Función objetivo: maximizar
utilidad de la compañı́a.
Variables: ubicación de aeropuertos
de combinación, vuelos directos a
habilitar, precio a cobrar, etc.
Parámetros: distancia entre
ciudades, demanda, costos de todo
tipo, etc.
Restricciones: reglas de captura,
deben existir vuelos de conexión
para que los pasajeros puedan
viajar, etc.

Aplicaciones de Investigación de operaciones
Problema: Zonificar la operación de una empresa en la Región
Metropolitana.
Función objetivo: minimizar
distancia dentro de cada zona.
Variables: a qué zona pertenece
cada celda.
Parámetros: distancia entre celdas,
demanda, costos de todo tipo.
Restricciones: cada celda le
pertenece a una zona, debe
contener a ciertos puntos, las zonas
deben ser idealmente compactas,
etc.

Problema: programar cirugı́as lectivas en quirófanos.
Función objetivo: minimizar costos
totales de los quirófanos.
Variables: cuándo y a qué
quirófano se asigna una cirugı́a.
Parámetros: cirugı́as a programar,
duración de éstas, recursos
requeridos, etc.
Restricciones: tiempo disponible
por quirófano, tiempos de limpieza,
disponibilidad para cirugı́as de
emergencia, etc.

Problema: determinar horario semanal.
Función objetivo: ¿ninguno,
minimizar ventanas, minimizar horas
extra?.
Variables: cuándo y a qué
actividades realizar.
Parámetros: duración de
actividades, metas de actividades,
datos de ventanas horarias, etc.
Restricciones: tiempo por dı́a y
semana, respetar ventanas horarias,
cumplimiento de metas, etc.

Cuando se le dan valores a las variables, se obtiene una solución del
problema.

problema.
Si la solución cumple todas las restricciones, se le llama solución fac-
tible.

problema.
tible.
Aquella solución que es la mejor en términos de la función objetivo, es
la solución óptima del problema (pueden ser varias).

problema.
tible.
Aquella solución que es la mejor en términos de la función objetivo, es
la solución óptima del problema (pueden ser varias).
Un ejemplo, próxima clase!

Restricciones del Dominio
Se establece el valor factible de las variables de decisión. Para fines de
la programación lineal se establece que todas las variables deben tomar
valores positivos.
En caso de formular problemas en donde sea necesario valores negativos
en las variables se emplean las variable irrestrictas.
Las restricciones usuales son de no negatividad, enteros o binarios.

Primer problema de Optimización

Reddy Mikks es una empresa que produce pinturas de interior y exterior desde
dos materias primas M1 y M2. La siguiente tabla muestra los datos básicos del
problema.

problema.
Ton. de MP por ton. de Disponibilidad
Materia prima Pint. de ext. Pint. de int. diaria (ton.)
M1 6 4 24
M2 1 2 6
Util. por ton. 5 4

problema.
M1 6 4 24
M2 1 2 6
Util. por ton. 5 4
Una investigación de mercado revela que la demanda diaria de pintura de interior
no puede exceder la de la pintura de exterior por más de una tonelada. Además la
demanda diaria máxima de pintura de interior es 2 toneladas.

problema.
M1 6 4 24
M2 1 2 6
Util. por ton. 5 4
Una investigación de mercado revela que la demanda diaria de pintura de interior
no puede exceder la de la pintura de exterior por más de una tonelada. Además la
demanda diaria máxima de pintura de interior es 2 toneladas.
Determine las cantidades de cada pintura a producir diariamente, para maximizar
la utilidad total diaria.

Para este problema,

Para este problema,
1 (Variables) ¿Qué decisiones deben tomarse?

Para este problema,
Cuánto producir de cada tipo de pintura (en toneladas).

Para este problema,
2 (Función objetivo) ¿Cómo medimos la “bondad” de las decisiones to-
madas?

Para este problema,
madas?
Por la utilidad que genera para la empresa

Para este problema,
madas?
3 (Restricciones) ¿Qué condiciones deben cumplir las decisiones que to-
memos?

Para este problema,
madas?
memos?
No sobrepasar la disponibilidad de M1.

Para este problema,
madas?
memos?

Para este problema,
madas?
memos?
Condiciones de la investigación de mercado.

Para este problema,
madas?
memos?
Condiciones de la investigación de mercado.
Dominio de la producción (no negativo).

M1 6 4 24
M2 1 2 6
Util. por ton. 5 4

M1 6 4 24
M2 1 2 6
Util. por ton. 5 4
Variables.

M1 6 4 24
M2 1 2 6
Util. por ton. 5 4
Variables.
x1:

M1 6 4 24
M2 1 2 6
Util. por ton. 5 4
Variables.
x1: toneladas de pintura de
exterior a producir
x2:

M1 6 4 24
M2 1 2 6
Util. por ton. 5 4
Variables.
exterior a producir
x2: toneladas de pintura de in-
terior a producir

M1 6 4 24
M2 1 2 6
Util. por ton. 5 4
Variables.
exterior a producir
terior a producir
Función objetivo.

M1 6 4 24
M2 1 2 6
Util. por ton. 5 4
Variables.
exterior a producir
terior a producir
Función objetivo.
Z = max 5x1 + 4x2

M1 6 4 24
M2 1 2 6
Util. por ton. 5 4
Variables.
exterior a producir
terior a producir
Función objetivo.
Z = max 5x1 + 4x2
Restricciones.

M1 6 4 24
M2 1 2 6
Util. por ton. 5 4
Variables.
exterior a producir
terior a producir
Función objetivo.
Z = max 5x1 + 4x2
Restricciones.
Disponibilidad M1:

M1 6 4 24
M2 1 2 6
Util. por ton. 5 4
Variables.
exterior a producir
terior a producir
Función objetivo.
Z = max 5x1 + 4x2
Restricciones.
Disponibilidad M1:
6x1 + 4x2 ≤ 24 (1)

M1 6 4 24
M2 1 2 6
Util. por ton. 5 4
Variables.
exterior a producir
terior a producir
Función objetivo.
Z = max 5x1 + 4x2
Restricciones.
Disponibilidad M1:
6x1 + 4x2 ≤ 24 (1)
Disponibilidad M2:

M1 6 4 24
M2 1 2 6
Util. por ton. 5 4
Variables.
exterior a producir
terior a producir
Función objetivo.
Z = max 5x1 + 4x2
Restricciones.
Disponibilidad M1:
6x1 + 4x2 ≤ 24 (1)
Disponibilidad M2: x1 + 2x2 ≤ 6

M1 6 4 24
M2 1 2 6
Util. por ton. 5 4
Variables.
exterior a producir
terior a producir
Función objetivo.
Z = max 5x1 + 4x2
Restricciones.
Disponibilidad M1:
6x1 + 4x2 ≤ 24 (1)
Investigación de mercado,
parte 1:

M1 6 4 24
M2 1 2 6
Util. por ton. 5 4
Variables.
exterior a producir
terior a producir
Función objetivo.
Z = max 5x1 + 4x2
Restricciones.
Disponibilidad M1:
6x1 + 4x2 ≤ 24 (1)
parte 1: −x1 + x2 ≤ 1 (3)

M1 6 4 24
M2 1 2 6
Util. por ton. 5 4
Variables.
exterior a producir
terior a producir
Función objetivo.
Z = max 5x1 + 4x2
Restricciones.
Disponibilidad M1:
6x1 + 4x2 ≤ 24 (1)
parte 1: −x1 + x2 ≤ 1 (3)
parte 2:

M1 6 4 24
M2 1 2 6
Util. por ton. 5 4
Variables.
exterior a producir
terior a producir
Función objetivo.
Z = max 5x1 + 4x2
Restricciones.
Disponibilidad M1:
6x1 + 4x2 ≤ 24 (1)
parte 1: −x1 + x2 ≤ 1 (3)
parte 2: x2 ≤ 2 (4)

M1 6 4 24
M2 1 2 6
Util. por ton. 5 4
Variables.
exterior a producir
terior a producir
Función objetivo.
Z = max 5x1 + 4x2
Restricciones.
Disponibilidad M1:
6x1 + 4x2 ≤ 24 (1)
parte 1: −x1 + x2 ≤ 1 (3)
parte 2: x2 ≤ 2 (4)
Naturaleza de las va-
riables de decisión:

M1 6 4 24
M2 1 2 6
Util. por ton. 5 4
Variables.
exterior a producir
terior a producir
Función objetivo.
Z = max 5x1 + 4x2
Restricciones.
Disponibilidad M1:
6x1 + 4x2 ≤ 24 (1)
parte 1: −x1 + x2 ≤ 1 (3)
parte 2: x2 ≤ 2 (4)
Naturaleza de las va-
riables de decisión:
x2 ≥ 0 (5), x1 ≥ 0 (6)

¿Cómo encontrar solución? Gráficamente!

máx Z = 5x1 +4x2
s.a. 6x1 +4x2 ≤ 24 (1)
x1 +2x2 ≤ 6 (2)
−x1 +x2 ≤ 1 (3)
x2 ≤ 2 (4)
x2 ≥ 0 (5)
x1 ≥ 0 (6)
x∗
1 = 3, x∗
2 = 1,5, z∗
= 21

máx Z = 5x1 + 4x2

máx Z = 5x1 + 4x2
A ⇒ x1 = 0, x2 = 0, Z = 0

máx Z = 5x1 + 4x2
A ⇒ x1 = 0, x2 = 0, Z = 0
B ⇒ x1 = 0, x2 = 1, Z = 4

máx Z = 5x1 + 4x2
A ⇒ x1 = 0, x2 = 0, Z = 0
B ⇒ x1 = 0, x2 = 1, Z = 4
C ⇒ x1 = 1, x2 = 2, Z = 13

máx Z = 5x1 + 4x2
A ⇒ x1 = 0, x2 = 0, Z = 0
B ⇒ x1 = 0, x2 = 1, Z = 4
C ⇒ x1 = 1, x2 = 2, Z = 13
D ⇒ x1 = 2, x2 = 2, Z = 18

máx Z = 5x1 + 4x2
A ⇒ x1 = 0, x2 = 0, Z = 0
B ⇒ x1 = 0, x2 = 1, Z = 4
C ⇒ x1 = 1, x2 = 2, Z = 13
D ⇒ x1 = 2, x2 = 2, Z = 18
E ⇒ x1 = 3, x2 = 1,5, Z = 21

máx Z = 5x1 + 4x2
A ⇒ x1 = 0, x2 = 0, Z = 0
B ⇒ x1 = 0, x2 = 1, Z = 4
C ⇒ x1 = 1, x2 = 2, Z = 13
D ⇒ x1 = 2, x2 = 2, Z = 18
E ⇒ x1 = 3, x2 = 1,5, Z = 21
F ⇒ x1 = 4, x2 = 0, Z = 20

máx Z = 5x1 + 4x2
A ⇒ x1 = 0, x2 = 0, Z = 0
B ⇒ x1 = 0, x2 = 1, Z = 4
C ⇒ x1 = 1, x2 = 2, Z = 13
D ⇒ x1 = 2, x2 = 2, Z = 18
E ⇒ x1 = 3, x2 = 1,5, Z = 21
F ⇒ x1 = 4, x2 = 0, Z = 20
Como E tiene la mayor evaluación de la función objetivo, es la solución
óptima del problema. x∗
1 = 3, x∗
2 = 1,5, z∗ = 21.

En resumen
Para modelar un problema se requiere definir,
Datos del problema, que no pueden manipularse (parámetros).
Las decisiones posibles (variables).
Una medida de cuán buenas son las decisiones que se toman (función
objetivo).
Las condiciones que se deben cumplir (restricciones).
Luego, el modelamiento corresponde llevar esto a expresiones matemáti-
cas.
Los problemas con 2 variables pueden resolverse gráficamente.
Próxima clase: otro modelo, y su generalización estructurada.
Lectura muy recomendada
Revisar el archivo “Capı́tulo 1 OVV”.

En resumen
La Investigación de Operaciones es una rama de las matemáticas apli-
cadas.
Aplica métodos cientı́ficos a la toma de decisiones.
Nos enfocaremos en la optimización o programación matemática.
Primero en formular modelos matemáticos, y luego resolverlos.
Vimos un ejemplo de como formular un primer modelo de optimización.

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