es una clase de segundo bachillerato para supletorio

1. CLASE DE MATEMÁTICAS
1. Orden en el conjunto de los números reales
2. Funciones reales
3. Análisis de la función cuadrática
4. Intersección grafica de una recta y una parábola como solución de un sistema de dos ecuaciones
5. Ecuación de segundo grado
6. El espacio euclídeo R2
7. Distancia entre dos puntos
8. Ecuación vectorial de la recta
9. Ecuación paramétrica de la recta
10. Rectas paralelas y perpendiculares ; intersección de la recta

2. ORDEN EN EL CONJUNTO DE LOS NÚMEROS REALES
 Tipos de intervalos:

3. -6 -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
11
-6 -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
11
-6 -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
11

4. ORDEN EN EL CONJUNTO DE LOS NÚMEROS REALES
 Operaciones con intervalos
Los intervalos son conjuntos de números reales, por lo tanto, se pueden realizar las operaciones definidas
entre conjuntos: unión, intersección, diferencia, diferencia simétrica y complemento.
Para los conjuntos definidos como intervalos, el conjunto universal o de referencia U es el conjunto de los
números reales R. Cualquier subintervalo se denota por una letra mayúscula. Si A está contenido en los
números reales, gráficamente, se puede representar de la siguiente manera:
El intervalo A = [a,b] = {x ∈ R/a ≤ x ≤ b}, es un subconjunto de
números reales y en la recta real se
representa de la siguiente forma:

5. 1.1. COMPLEMENTO DE UN INTERVALO
 El complemento de
un conjunto A, A ′ = A
c = {x/x ∈/ A}, en
palabras, se define
como el conjunto de
todos los elementos
que no están en A ó
lo que le falta a A
para ser igual al
universal.
 El complemento de un intervalo A
= [a,b], es A ′ = (−∞,a)∪(b,∞). Son
todos los números reales que no
pertenecen a A. Se representa en la
recta real de la siguiente manera:
 Ejemplo: Encontrar y graficar los complementos de los intervalos A = [3,5] y B
= [−2,3). Para el conjunto A, su complemento es A ′ = (−∞,3)∪(5,∞).
gráficamente, se representa de la siguiente manera: Para el intervalo B, su
complemento es B ′ = (−∞,−2)∪[3,∞) y gráficamente se representa por:

6. EJERCICIO 1:

7. EJERCICIO 2:

8. 1.2. UNIÓN ENTRE CONJUNTOS E INTERVALOS
La unión entre los conjuntos A y B se define
como A ∪ B = {x/x ∈ A ∨ x ∈ B}. El conjunto A ∪
B está formado por todos los elementos que
pertenecen a A o pertenecen a B sin repetirlos.
En la unión de dos conjuntos A y B se pueden
presentar tres situaciones:

9. 1.A Y B NO TIENEN ELEMENTOS EN COMÚN, COMO SE MUESTRA EN LA
SIGUIENTE FIGURA.

10. 2.A Y B TIENEN ELEMENTOS EN COMÚN
• Ejemplo :Los intervalos A = (−3,0] y B = (−1,2), tienen al intervalo (−1,0] en común. gráficamente se
representan de la siguiente manera:
• La unión A∪B = (−3,0]∪(−1,2) = (−3,2), que se representa gráficamente como sigue:
• Al efectuar la unión entre conjuntos, los elementos en común no se repiten.

11. 3. UNO DE LOS DOS CONJUNTOS ESTA TOTALMENTE CONTENIDO EN EL
OTRO. EN LA FIGURA SIGUIENTE, EL CONJUNTO B, ES TOTALMENTE
CONTENIDO EN EL A.
• Ejemplo: Los intervalos A = (−3,0] y B = [−2,−1]. El intervalo B,
está totalmente contenido en el intervalo A. gráficamente se
representan de la siguiente manera:
• La unión A∪B = (−3,0]∪[−2,−1] = (−3,0], que se representa
gráficamente como sigue:
• Al realizar la unión entre conjuntos los elementos en común no se
repiten.

12. EJERCICIO 1:

13. EJERCICIO 2:

14. 1.3. INTERSECCIÓN DE CONJUNTOS E INTERVALOS
La intersección entre los conjuntos A y B se
define como A∩B = {x/x ∈ A∧x ∈ B}. El
conjunto A∩B está formado por todos los
elementos comunes entre los dos conjuntos
sin repetirlos. En general, en la intersección
de dos conjuntos A y B se pueden considerar
tres situaciones:

15. 1.A Y B NO TIENEN ELEMENTOS EN COMÚN, COMO SE MUESTRA EN
LA SIGUIENTE FIGURA.
Los intervalos A = (−3,0] y B = [1,2), no tienen elementos en común. Gráficamente
se representan de la siguiente manera:
La intersección A∩B = (−3,0]∩[1,2) = 0/ (conjunto vacío), que no tiene una
representación gráfica en la recta real.

16. 2. A Y B TIENEN ELEMENTOS EN COMÚN.
Los intervalos A = (−3,0] y B = (−1,2), tienen al intervalo (−1,0] en común. Estos elementos, son la
intersección de los dos conjuntos.
La intersección A∩B = (−3,0]∩(−1,2) = (−1,0], se
representa gráficamente como sigue:
el elemento −1 ∈ A, pero −1 ∈/ B, por lo tanto −1 ∈/ A∩B. Para
que un elemento esté en la intersección, debe pertenecer a
ambos intervalos.

17. 3. UNO DE LOS DOS CONJUNTOS ESTÁ TOTALMENTE CONTENIDO EN EL
OTRO. EN LA FIGURA SIGUIENTE, EL CONJUNTO B, ESTÁ TOTALMENTE
CONTENIDO EN EL A.
Figura 11: A∩B = B, si B está contenido en
A, .
Para los intervalos A = (−3,0] y B = [−2,−1], el
intervalo B, está totalmente contenido en el
intervalo A. Gráficamente se representan de la
siguiente manera:
En la intersección A∩B = (−3,0]∩[−2,−1] = B,
los elementos que están en la intersección son
todos los de B
Se puede observar que los elementos en
común no se repiten, y solamente estos se
representan en la recta real.

18. EJERCICIO 1:

19. EJERCICIO 2 :

20. 1.4. DIFERENCIA ENTRE CONJUNTOS E INTERVALOS
La diferencia entre los conjuntos A y B se
define como A−B = {x/x ∈ A∧x ∈/ B}. El
conjunto A−B está formado por todos los
elementos que pertenecen a A y no
pertenecen a B. En la diferencia de dos
conjuntos A y B se pueden considerar tres
situaciones:

21. A Y B NO TIENEN ELEMENTOS EN COMÚN, COMO SE MUESTRA EN
LA SIGUIENTE FIGURA.
Los intervalos A = (−3,0] y B = [1,2),
no tienen elementos en común.
Gráficamente, la diferencia, se
representan de la siguiente manera:
La diferencia A−B = (−3,0]−[1,2) = A.
En este caso, todos los elementos de B
no están en A.

22. A Y B TIENEN ELEMENTOS EN COMÚN.
• Los intervalos A = (−3,0] y B = (−1,2), tienen al
intervalo (−1,0] en común. Gráficamente se
representan de la siguiente manera:
• La diferencia A−B = (−3,0]−(−1,2) = (−3,−1], que se
representa gráficamente como sigue:
• Observe que −1 ∈ A y −1 ∈/ B, por lo tanto −1 ∈ A−B

23. UNO DE LOS DOS CONJUNTOS ESTÁ TOTALMENTE CONTENIDO EN EL OTRO.
EN LA FIGURA SIGUIENTE, EL CONJUNTO B, ESTÁ TOTALMENTE CONTENIDO
EN EL A
Figura 14: A−B, si B está totalmente contenido en A.
• Los intervalos A = (−3,0] y B = [−2,−1]. El intervalo B,
está totalmente contenido en el intervalo A.
Gráficamente se representan de la siguiente manera:
• La diferencia A−B = (−3,0]−[−2,−1] = (−3,−2)∪(−1,0],
que se representa gráficamente como sigue:
• Observe que los elementos que pertenecen a los dos
intervalos no están en la diferencia. La diferencia entre
intervalos no es conmutativa, es decir A−B 6= B−A.
Para los intervalos A = (−3,0] y B = (−1,2) se tiene que
A−B = (−3,−1] y B−A = (0,2). Gráficamente estos dos
últimos intervalos se representan de la siguiente
manera:

24. EJERCICIO 1 :

25. EJERCICIO 2 :

26. 1.5. DIFERENCIA SIMÉTRICA DE CONJUNTOS E INTERVALOS
La diferencia simétrica entre los
conjuntos A y B se define como
A△B = (A−B)∪(B−A). Para el caso
en el que A y B tienen elementos
en común, A△B se representa de
la siguiente manera:
Los intervalos A = (−3,0] y B = (−1,2), tienen al intervalo
(−1,0] en común. Gráficamente se representan de la
siguiente manera:
La diferencia simétrica A△B = {(−3,0]−(−1,2)}∪
{(−1,2)−(−3,0]} = (−3,−1]∪(0,2), que se representa
gráficamente como sigue:

27. COMPRUEBE QUE A△B = (A∪B)−(A∩B).

28. FUNCIONES REALES
• Se llama Función Real, a toda función de variable real (perteneciente a R, el conjunto de los números reales),
definida de R en R, tal que asocia números reales con números reales.
F: f(x) R –> R
• Al señalar que es de variable real, se parte de la base de que el conjunto de partida, es R, vale decir el
conjunto de Números Reales.
• Al señalar que está definida “de R en R”, queremos significar que el conjunto de llegada también es R, vale
decir el conjunto de Números Reales.
• En toda función real, se distinguen al menos dos variables, éstas son:
• Variable independiente (generalmente llamada “x”) cuyo valor no está condicionado por ningún otro valor (de
ahí su nombre)
• Variable dependiente (generalmente llamada “y” o también “f(x)” )cuyo valor se halla condicionado por el
valor que toma x, o sea la variable independiente de la que hablábamos antes.

29. 1.1 FUNCIÓN AFÍN
La Función Afín es aquella función polinómica de primer
grado* que tiene la siguiente fórmula: f(x) = mx + n ;donde
m y n son dos constantes diferentes de cero
Podemos observar que la función afín tiene las siguientes
propiedades: corta al eje vertical (eje de ordenadas) en el
punto n tiene pendiente m

30. REPRESENTACIÓN GRÁFICA DE LA FUNCIÓN AFÍN:
Ejemplos de Función Afín:
Veamos algunos ejemplos de
funciones afines:
f(x) = x + 1
f(x) = 2x -9
f(x) = √x + √2
f(x) = -x – 2
f(x) = -1/2 x + 3
f(x) = 100x + 1/2

31. FUNCIÓN AFÍN

33. EJERCICIOS RESUELTOS FUNCIONES ELEMENTALES
 - Dadas las siguientes funciones, se pide: a) Dominio b) Reprentación gráfica c) Imagen o recorrido
d)Monotonía e) Acotación f) Extremos relativos g) Extremos absolutos h) Simetría i) Periodicidad

41. FUNCION DEFINIDAA TROZOS

44. Función par
Función impar

48. FUNCIÓN POTENCIA ENTERA NEGATIVO CON N=-1, -2
Inicialmente las funciones potencia tienen la siguiente forma:
y = a·xⁿ
Donde a es una constante y n representa el grado de la potencia.
Cuando n representa un número negativo esta pasa a transformarse en una
hipérbola, de tal manera que posee unas asíntotas que vienen dado por los ejes
ordenados.
1- Cuando n = -1 , entonces:
y = a·x⁻¹ → y = a/x donde a es una constante cualquiera.
2- Cuando n = -2. entonces:
y = a·x⁻² → y = a/x² donde a es una constante cualquiera
Ejemplos de gráficas. Si el exponente es par tendrá la forma de la curva
morada y si es impar tendrá la forma de la gráfica rosada.

50. Una función que tiene una potencia entera negativa: el exponente
necesariamente es impar y la base es negativa.
Una función de base negativa y exponente par da como resultado una una
potencia positiva
Una función de base negativa y exponente impar da como resultado una una
potencia negativa
Propiedades:
a⁻ⁿ = 1/aⁿ
aⁿ = (-a)ⁿ si n es par
(-a) ⁿ = - (aⁿ) si n es impar
Potencia = aᵇ, donde a es la base y b el exponente
Una función que tiene una potencia entera negativa, es decir que el resultado es
negativo, entonces el exponente necesariamente es impar y la base es negativa.
Una función de base negativa y exponente par da como resultado una una
potencia positiva
Una función de base negativa y exponente impar da como resultado una una
potencia negativa

53. Función Valor Absoluto : La Función Valor Absoluto es aquella que siempre tiene
valor positivo ya que incorpora el valor absoluto dentro de su fórmula
(representado entre barras verticales).El ejemplo más básico de función valor
absoluto es el siguiente :f(x) = |x| Esta función equivale a:f(x) = x si x>0f(x) = 0 si x
= 0f(x) = -x si x<0

54. Ejemplos de Funciones Valor Absoluto:

57. La función cuadratica necesita para ser grafica 8 puntos, entre ellos el vértice.
Al graficar una función cuadrática en un plano cartesiano se obtiene una Parábola, la cual puede tener la concavidad hacia arriba o
hacia abajo. Para identificar que tipo de concavidad tendrá la función cuadrática, basta con observar el coeficiente del primer término, es
decir, el término que tiene la variable elevada al cuadrado.
Si el coeficiente es positivo entonces la concavidad será hacia arriba, en caso contrario la concavidad será hacia abajo.

60. 1. Recta y parábola
Recordamos la ecuación de una recta:
El coeficiente m es la pendiente y n es la ordenada en el origen.
La ecuación de una parábola es

61. 2. Intersección

72. Fórmula del módulo de un vector de dos dimensiones
Dado un vector v de dos dimensiones con coordenadas
(v1,v2), el módulo sería tal que:

76. •El ángulo entre dos vectores perpendiculares (que tienen la misma dirección)
es de 0º.
•El ángulo entre dos vectores ortogonales (o perpendiculares) es de 90º.

77. Distancia entre dos puntos – Fórmula
y ejemplos
La distancia entre dos puntos puede ser calculada usando la
fórmula de la distancia. Por su parte, la fórmula de la
distancia es derivada usando el teorema de Pitágoras en el
plano cartesiano, en donde la distancia representa a la
hipotenusa de un triángulo rectángulo y las distancias
en x y y representan a los catetos del triángulo.
A continuación, aprenderemos a derivar la fórmula de la
distancia entre dos puntos. Además, usaremos esta fórmula
para resolver algunos ejercicios de práctica.

79. EJEMPLO 1 Determina la distancia entre los puntos (1, 3) y (5, 6).

80. EJERCICIO 5 Determina la distancia entre los puntos (-6, -7) y (-2, -1).

82. ECUACIÓN VECTORIAL DE LA RECTA

85. ECUACIONES PARAMÉTRICAS DE LA RECTA

88. ECUACIÓN CONTINUA DE LA RECTA

90. ECUACIÓN IMPLÍCITA O GENERAL (O CARTESIANA) DE LA RECTA

95. LA ECUACIÓN IMPLÍCITA A PARTIR DE LA ECUACIÓN CONTINUA

96. EJERCICIOS

97. LA ECUACIÓN CARTESIANA DE LA RECTA, CUANDO SE CONOCEN:

105. POSICIÓN RELATIVA ENTRE RECTAS
 Para dar indicaciones o situarnos en un plano, es
habitual utilizar las posiciones relativas de las
rectas.
 Dos rectas en el plano pueden ser paralelas si no
tienen puntos en común, secantes si se cortan en
un punto y coincidentes si comparten todos sus
puntos.

106. Rectas paralelas
• tienen vectores directores proporcionales,
• tienen la misma pendiente.
Al conjunto de todas las rectas paralelas a una determinada recta r : Ax + By + C
= 0, se le denomina haz de rectas paralelas. Las rectas que forman el haz tienen la
forma:
Ax + By + k = 0 donde k ∈ R
Al conjunto de todas las rectas paralelas a una determinada recta r : Ax + By + C
= 0, se le denomina haz de rectas paralelas. Las rectas que forman el haz tienen la
forma: