El documento describe conceptos básicos de las relaciones y funciones matemáticas. Introduce el plano cartesiano y cómo se usa para localizar puntos mediante coordenadas. Explica los conjuntos, subconjuntos, productos cartesianos y diferentes tipos de relaciones como correspondencias y funciones. Define dominio, rango y tipos de funciones como lineales y cuadráticas, ilustrando sus gráficas.

1. 1
RELACIONES Y FUNCIONES
X2MD
ING. LEYDA MAYRE ESCALANTE TORRES
INSTITUTO UNIVERSITARIO DE LA FRONTERA
SEDE SAN CRISTÓBAL

2. Relaciones y Funciones 2
EL PLANO COORDENADO REAL (plano cartesiano)
El plano cartesiano está formado por dos rectas numéricas
perpendiculares, una horizontal y otra vertical que se cortan en un punto. La recta
horizontal es llamada eje de las abscisas o de las equis (x), y la vertical, eje de las
ordenadas o de las yes, (y); el punto donde se cortan recibe el nombre de origen.
El plano cartesiano tiene como finalidad describir la posición de puntos,
los cuales se representan por sus coordenadas o pares ordenados.
Las coordenadas se forman asociando un valor del eje de las equis a uno
de las yes, respectivamente, esto indica que un punto (P) se puede ubicar en el
plano cartesiano tomando como base sus coordenadas, lo cual se representa como:
P (x, y) = par ordenado

3. Conjuntos y Subconjuntos 3
Para localizar puntos en el
plano cartesiano se debe llevar a
cabo el siguiente procedimiento:
1. Para localizar la abscisa o
valor de x, se cuentan las
unidades correspondientes hacia
la derecha si son positivas o
hacia la izquierda si son
negativas, a partir del punto de
origen, en este caso el cero.
2. Desde donde se localiza el
valor de x, se cuentan las
unidades correspondientes (en el
eje de las ordenadas) hacia
arriba si son positivas o hacia
abajo, si son negativas y de esta
forma se localiza cualquier
punto dadas ambas coordenadas.
3. Se divide en cuatro cuadrantes
Localiza los puntos
A (2,-6) B (0,10)

4. Conjuntos y Subconjuntos 4
PRODUCTO CARTESIANO
Considere dos conjuntos arbitrarios A y B. El conjunto de todas las parejas
ordenadas (a, b) en donde a ∈ A y b ∈ B se llama producto o producto cartesiano de A y
B.
La definición de producto cartesiano puede extenderse fácilmente al caso de
más de dos
conjuntos.
Se llama producto cartesiano de dos conjuntos A y B y se representa A x B, al
conjunto de pares ordenados (a, b), tales que el primer elemento pertenece al primer
conjunto y el segundo elemento al segundo conjunto. Es decir:
A x B = {(a, b) / a ∈ A, b ∈ B}
El producto cartesiano, en general, no es conmutativo. Es decir: A x B ≠ B x A.
Puede ocurrir que los conjuntos A y B sean coincidentes

5. Conjuntos y Subconjuntos 5
EJEMPLO
Si A = {a, b, c} y B = {1, 2, 3, 4}, el producto cartesiano es:
A x B = {(a, 1), (a, 2), (a, 3), (a, 4), (b, 1), (b, 2), (b, 3), (b, 4), (c, 1), (c, 2), (c, 3),
(c, 4)}
Se puede representar gráficamente por medio de puntos en un plano,
como se muestra a continuación. Aquí, cada punto P representa una pareja
ordenada (a, b) de números reales y viceversa; la línea vertical a través de P
encuentra al eje x en a, y la línea horizontal a través de P encuentra el eje y en b.
A esta representación se le conoce como diagrama cartesiano.

6. Conjuntos y Subconjuntos 6
Hay otra manera de visualizar una relación y es
a través de una representación gráfica, donde se
destaquen los puntos en el plano que pertenecen a A y los
puntos que pertenecen a B. Se trazan flechas que indican
la relación que existe entre cada elemento del conjunto A
y su correspondiente en el conjunto B. A esta
representación gráfica se le conoce como un diagrama de
flechas.
CORRESPONDENCIAS Y APLICACIONES ENTRE CONJUNTOS
A partir de la definición de producto cartesiano, introduciremos las relaciones
más importantes que se pueden establecer entre los elementos de dos conjuntos dados.
Correspondencias
Dados dos conjuntos A y B, se denomina correspondencia ƒ entre A y B a un
subconjunto del producto cartesiano de A por B.

7. Conjuntos y Subconjuntos 7
Al conjunto de los pares de una correspondencia se le denomina grafo, y se
representa
por G.
Se definen también los siguientes conjuntos:
• El conjunto A es el conjunto inicial o conjunto de partida, que es del que salen las
flechas.
• El conjunto B es el conjunto final o conjunto de llegada, que es al que llegan las
flechas.
• El conjunto original es el conjunto formado por los elementos del conjunto inicial de
los que parte alguna flecha. Por tanto, el conjunto original está incluido en el conjunto
inicial.
• El conjunto imagen es el conjunto formado por los elementos del conjunto final a los
que llega alguna flecha. Por tanto, el conjunto imagen está incluido en el conjunto
final.

8. Conjuntos y Subconjuntos 8
EJEMPLO
Si A = {a, b, c}, B = {1, 2, 3, 4}, y un grafo G = [(a, 2), (b, 2), (b, 3), (c, 4)}. Vemos que
G es un subconjunto de A x B, es decir, G ⊂ (A x B).
La correspondencia está representada gráficamente en:
a) un diagrama cartesiano o matricial.
b) Un diagrama de flechas.
•El conjunto inicial es el conjunto A.
• El conjunto final es el conjunto B.
• El conjunto original es: Orig (ƒ) = {a, b, c}.
• El conjunto imagen es: Im (ƒ) = {2, 3, 4}.

9. Conjuntos y Subconjuntos 9
FUNCIONES
Una función entre dos conjuntos A y B [ F: A →B ] es cualquier relación
que asigne a todos y cada uno de los elementos de A ( conjunto de partida, dominio o
preimagen). Uno y solo uno de los elementos de B ( conjunto de llegada, rango o
imagen), es decir una función es una relación que asocia cada elemento de conjunto A
un solo elemento del conjunto B.
“ Toda función es una relación pero no toda relación es una función ”
Así, en la figura siguiente podemos observar gráficamente el comportamiento de la
función raíz cuadrada de un número

10. Conjuntos y Subconjuntos 10
DOMINIO DE UNA FUNCIÓN
Es el conjunto formado por los elementos que tienen imagen. Los valores que le
damos a “X” ( variable independiente) forman el conjunto de partida. Gráficamente lo
miramos en el eje horizontal ( abscisas), leyendo como escribimos de izquierda
a derecha.
El dominio de una función está formado por aquellos valores de “X” (números
reales) para los que se puede calcular la imagen f(x)
En la gráfica anterior notamos que si le asignamos
los valores “-2” y “-1” a la “X” estos no tienen
imagen, por lo tanto no pertenecen al dominio de la
función estudiada. Esto es lógico ya que los
números negativos no tienen raíces reales sino raíces
imaginarias.

11. Conjuntos y Subconjuntos 11
RANGO DE UNA FUNCIÓN
Es el conjunto formado por las imágenes.
Son los valores que toma la función "Y" (variable
dependiente), por eso se denomina “f(x)”, su valor
depende del valor que le demos a "X".
Gráficamente lo miramos en el eje
vertical (ordenadas), leyendo de abajo a arriba.
El Rango de una función es el conjunto
formado por las imagenes f(x) de los valores de “X”
que pertenecen al Dominio de dicha función.
La manera más efectiva para determinar
el Rango consiste en graficar la función y ver los
valores que toma “Y” de abajo hacia arriba.
D
O
M
I
N
I
O
R
A
N
G
O

12. Conjuntos y Subconjuntos 12
TIPOS DE FUNCIONES
1. Función o inyectiva: Una correspondencia ƒ es inyectiva cuando cada
elemento del conjunto imagen es imagen de un solo elemento del conjunto original; es
decir, a cada elemento del conjunto final puede llegarle una o ninguna flecha.
ƒ inyectiva ⇔ ∇ y1, y2 ∈ B, donde y1 = ƒ(x1), y2 = ƒ(x2), si y1 = y2 ⇒ x1 = x2, ∇ x1,
x2 ∈ A
Ejemplo:

13. Conjuntos y Subconjuntos 13
2. Función sobreyectiva: Una correspondencia ƒ es
sobre cuando el conjunto imagen coincide con el
conjunto final; es decir, cuando todo elemento del
conjunto final es imagen de al menos uno del inicial.
3. Función biyectiva: Es la aplicación que a la vez es
inyectiva y sobreyetiva. Obsérvese que en este caso, si
los dos conjuntos son finitos, deben tener el mismo
cardinal.

14. Conjuntos y Subconjuntos 14
LA FUNCIÓN LINEAL
El gran matemático suizo Leonhard Euler vivió en el siglo XVII, y su obra es la
más voluminosa que haya sido escrita hasta ahora por matemático alguno. Aparte de haber
escrito sobre muchas áreas de la Matemática conocidas en su época, como la Geometría,
la Aritmética, el Álgebra y el Cálculo, creó los fundamentos de nuevas ramas del
conocimiento matemático como lo son la Teoría de Grafos y la Topología Combinatoria.
Además abordó problemas de Mecánica, Óptica, Electricidad y Acústica con las poderosas
herramientas matemáticas que poseía, explicando así fenómenos naturales como el
movimiento de la Luna, el flujo del calor y la estructura matemática subyacente a la
Música.
El concepto de función fue creado por Euler y ha sido utilizado desde entonces
en prácticamente todas las ramas de la Matemática.
El concepto matemático de función permite, entre otras cosas, organizar
información que se obtiene a través de datos numéricos tomados de algún fenómeno, y
estudiar la manera en que esos datos se relacionan entre ellos. Por ejemplo, se tienen los
siguientes datos acerca de los kilómetros recorridos por un ciclista en entrenamiento, en
intervalos de tiempo de 15 minutos:

15. Conjuntos y Subconjuntos 15
Un observador cuidadoso notará que, en cada
intervalo de 15 minutos, el número de kilómetros avanzados
es siempre el mismo: 6 Kms. Si se representan estos datos
en el plano cartesiano, ubicando el tiempo en horas en el eje
de las abscisas y la distancia recorrida en el eje de las
ordenadas, se obtiene algo así:
Tomando en cuenta que
15 minutos = 1/4 de hora,
30 minutos = 1/2 hora
los puntos representados son:
P: (1/4,6), Q: (1/2,12),
R: (3/4,18), S: (1,24)
Estos datos permiten concluir que el ciclista va a una
velocidad constante, y que una línea recta representa
su recorrido en kilómetros a través del tiempo

16. Conjuntos y Subconjuntos 16
Hay muchos tipos de funciones, pero el ejemplo anterior es de las
llamadas funciones lineales. Tiene ese "apellido" de "lineal" toda función que tenga una
representación gráfica en el plano cartesiano que consista en una línea recta, o un
segmento de recta.
Una línea recta en el plano cartesiano tiene una ecuación de la forma . La
función lineal tendrá, entonces, la forma:
Pendiente de la funcion
lineal: señala inclinacion
Punto de corte con el eje Y

17. Conjuntos y Subconjuntos 17
GRAFICA DE LA FUNCION LINEAL
m > 0
m < 0

18. Conjuntos y Subconjuntos 18
Por ejemplo, las funciones siguientes son todas lineales:

19. Conjuntos y Subconjuntos 19
Resolver la siguiente función
F(-5) = 3(-5)-2 = -15-2 = -17
F(-4) = 3(-4)-2 = -12-2 = -14
X
-5 -17
-4 -14
-3 -11
-2 -8
-1 -5
0 -2
1 1
2 4
3 7
4 10
5 13

20. FUNCION CUADRATICA
Son funciones polinómicas es de segundo grado, siendo su gráfica una parábola.
f(x) = ax² + bx + c
Representación gráfica de la parábola
Podemos construir una parábola a partir de estos puntos:
1. Vértice: Por el vértice pasa el eje de simetría de la parábola.
La ecuación del eje de simetría es:
Conjuntos y Subconjuntos 20

21. Conjuntos y Subconjuntos 21
2. Puntos de corte con el eje OX
La función corta al eje x cuando y vale 0, dada la función
es decir:
las distintas soluciones de esta ecuación de segundo grado, son los casos de corte con
el eje x, que se obtienen, como es sabido, por la expresión:
Si la función no corta al eje x, la fórmula anterior no tiene solución (en los reales).
Dos puntos de corte: (x1, 0) y (x2, 0) si b² − 4ac > 0
Un punto de corte: (x1, 0) si b² − 4ac = 0
Ningún punto de corte si b² − 4ac < 0
3. Punto de corte con el eje OY
En el eje de ordenadas la primera coordenada es cero, por lo que tendremos:
f(0) = a · 0² + b · 0 + c = c (0,c)

22. Representar la función f(x) = x² − 4x + 3.
1. Vértice
xv = − (−4) / 2 = 2 yv= 2² − 4· 2 + 3 = −1
V(2, −1)
2. Puntos de corte con el eje OX
(3, 0) (1, 0)
3. Punto de corte con el eje OY
(0, 3)
Conjuntos y Subconjuntos 22