Este documento presenta conceptos básicos de conjuntos y números reales. Define conjuntos mediante enumeración o propiedades comunes de sus elementos. Explica operaciones con conjuntos como unión, intersección, diferencia y complemento. Finalmente, introduce diferentes tipos de números reales y conceptos como valor absoluto, desigualdades y entornos.

1. República Bolivariana de Venezuela
Ministerio del Poder Popular para la Educación Universitaria
Universidad Andrés Eloy Blanco
Barquisimeto -Estado Lara
UNIDAD II
Plano Numérico y Números Reales
Autora: Pérez Andrelis
Higiene y Seguridad Laboral
Trayecto inicial
Sección: HS0102

2. Definición de conjuntos
En la vida cotidiana se habla a menudo de objetos agrupados en conjuntos:
el conjunto de los utensilios de cocina, muebles, libros de una biblioteca etc. En
todos estos casos, se usa la palabra “conjunto” con el significado de colección de
varios objetos, que reciben el nombre de elementos del mismo. En matemáticas,
se acostumbra a denotar los conjuntos con letras mayúsculas, B, C,…, X, Y, Z y a
los elementos de los de los conjuntos en minúsculas a, b, c,…, x, y, z. un conjunto
se puede definir enumerando todos sus elementos (definición por extensión o
enumeración) o dando una propiedad común a todos sus elementos (definición por
compresión o propiedad). Tanto los elementos como la propiedad que define un
conjunto, se suelen representar entre las laves ([ ]). Por ejemplo, dando el
conjunto M de los dedos de una mano, su definición por extensión es M: [pulgar,
índice, medio, anular y meñique], que se lee <<El conjunto formado por los dedos
pulgar, índice, medio, anular, y meñique >>. El mismo conjunto queda definido por
compresión como M: [x/x es dedo de la mano], que se lee: <<El conjunto M,
formado por los elementos x tales que x es un dedo de la mano>>.
Es habitual representar los conjuntos mediante los llamados diagrama de
Venn en, en los que se delimitan porciones de plano mediante líneas cerradas. El
diagrama de Venn del conjunto M de los dedos de una mano tiene al aspecto del
dibujo siguiente:
El lenguaje de la teoría de conjuntos utiliza algunos términos específicos, cuyo
significado es imprescindible conocer.

3. OPERACIONES CON CONJUNTOS.
Las operaciones con conjuntos también conocidas como álgebra de conjuntos,
nos permiten realizar operaciones sobre los conjuntos para obtener otro conjunto.
De las operaciones con conjuntos veremos los siguientes unión, intersección,
diferencia, diferencia simétrica y complemento.
UNIÓN O REUNIÓN DE CONJUNTOS.
Es la operación que nos permite unir dos o más conjuntos para formar otro
conjunto que contendrá a todos los elementos que queremos unir pero sin que se
repitan. Es decir dado un conjunto A y un conjunto B, la unión de los conjuntos A y
B será otro conjunto formado por todos los elementos de A, con todos los
elementos de B sin repetir ningún elemento. El símbolo que se usa para indicar la
operación de unión es el siguiente: ∪. Cuando usamos diagramas de Venn, para
representar la unió de conjuntos, se sombrean los conjuntos que se unen o se
forma uno nuevo. Luego se escribe por fuera la operación de unión.
Ejemplo
Dados dos conjuntos A={1,2,3,4,5,6,7,} y B={8,9,10,11} la unión de estos tendría lo
siguiente:
También se puede graficar del siguiente modo:

4. INTERSECCIÓN DE CONJUNTOS.
Es la operación que nos permite formar un conjunto, sólo con los elementos
comunes involucrados en la operación. Es decir dados dos conjuntos A y B, la de
intersección de los conjuntos A y B, estará formado por los elementos de A y los
elementos de B que sean comunes, los elementos no comunes A y B, será
excluido. El símbolo que se usa para indicar la operación de intersección es el
siguiente: ∩.
Ejemplo
Dados dos conjuntos A={1,2,3,4,5} y B={4,5,6,7,8,9} la intersección de estos
conjuntos será A∩B={4,5}. Usando diagramas de Venn se tendría lo siguiente:
DIFERENCIA DE CONJUNTOS.
Es la operación que nos permite formar un conjunto, en donde de dos
conjuntos el conjunto resultante es el que tendrá todos los elementos que
pertenecen al primero pero no al segundo. Es decir dados dos conjuntos A y B, la
diferencia de los conjuntos entra A y B, estará formado por todos los elementos de

5. A que no pertenezcan a B. El símbolo que se usa para esta operación es el mismo
que se usa para la resta o sustracción, que es el siguiente: -.
Ejemplo
Dados dos conjuntos F={x/x estudiantes que juegan fútbol} y B={x/x
estudiantes que juegan básquet}, la diferencia de F con B, será F-B={x/x
estudiantes que sólo juegan fútbol}. Usando diagramas de Venn se tendría lo
siguiente:
DIFERENCIA DE SIMÉTRICA DE CONJUNTOS.
Es la operación que nos permite formar un conjunto, en donde de dos
conjuntos el conjunto resultante es el que tendrá todos los elementos que no sean
comunes a ambos conjuntos. Es decir dados dos conjuntos A y B, la diferencia
simétrica estará formado por todos los elementos no comunes a los conjuntos A y
B. El símbolo que se usa para indicar la operación de diferencia simétrica es el
siguiente: △.
Ejemplo
Dados dos conjuntos A={1,2,3,4,5} y B={4,5,6,7,8,9} la diferencia simétrica de
estos conjuntos será A △ B={1,2,3,6,7,8,9}. Usando diagramas de Venn se tendría
lo siguiente:

6. COMPLEMENTO DE UN CONJUNTO.
Es la operación que nos permite formar un conjunto con todos los
elementos del conjunto de referencia o universal, que no están en el conjunto. Es
decir dado un conjunto A que está incluido en el conjunto universal U, entonces el
conjunto complemento de A es el conjunto formado por todos los elementos del
conjunto universal pero sin considerar a los elementos que pertenezcan al
conjunto A. En esta operación el complemento de un conjunto se denota con un
apostrofe sobre el conjunto que se opera, algo como esto A' en donde el conjunto
A es el conjunto del cual se hace la operación de complemento.
Números
reales
Los números reales son cualquier número que corresponda a un punto en
la recta real y pueden clasificarse en números naturales, enteros, racionales e
irracionales.
En otras palabras, cualquier número real está comprendido entre menos
infinito y más infinito y podemos representarlo en la recta real.
Los números reales son todos los números que encontramos más
frecuentemente dado que los números complejos no se encuentran de manera
accidental, sino que tienen que buscarse expresamente.
Los números reales se representan mediante la letra R ↓

7. Diferentes clases de números reales
DESIGUALDAD
Desigualdad matemática es una proposición de relación de orden existente
entre dos expresiones algebraicas conectadas a través de los signos: desigual que
≠, mayor que >, menor que <, menor o igual que ≤, así como mayor o igual que ≥,
resultando ambas expresiones de valores distintos.
Por tanto, la relación de desigualdad establecida en una expresión de esta
índole, se emplea para denotar que dos objetos matemáticos expresan valores
desiguales.
Algo a notar en las expresiones de desigualdad matemática es que, aquellas
que emplean:
 mayor que >
 Menor que <
 Menor o igual que ≤

8.  Mayor o igual que ≥
Estas son desigualdades que nos revelan en qué sentido la una desigualdad no es
igual.
Ahora bien, los casos de aquellas desigualdades formuladas como:
 Menor que <
 Mayor que >
Son desigualdades conocidas como desigualdades “estrictas”.
En tanto, que los casos de desigualdades formuladas como:
 Menor o igual que ≤
 Mayor o igual que ≥
Son desigualdades conocidas como desigualdades “no estrictas o más bien,
amplias”.
La desigualdad matemática es una expresión que está formada por dos
miembros. El miembro de la izquierda, al lado izquierdo del signo igual y el
miembro de la derecha, al lado derecho del signo de igualdad. Veamos el ejemplo
siguiente:
3x + 3 < 9
La solución del enunciado anterior nos revela el planteamiento de
desigualdad de las expresiones.
VALOR ABSOLUTO
El valor absoluto representa la distancia desde el origen o cero de una recta
numérica hasta un número o un punto. Geométricamente los valores absolutos de
|x| son números reales de x y es un valor geométrico sin tener en cuenta su signo,

9. sea este positivo (+) o negativo (-). Así, por ejemplo, 5 es el valor absoluto de +5 y
de -5. Los valores absolutos están representados por dos líneas verticales, tales
como |x| (el cual se lee como módulo de x).
El valor absoluto se representa como |A| , donde A es el número cuyo valor
absoluto tiene que ser determinado.
Valor absoluto de un número real a, se escribe |a|, es el mismo número a
cuando es positivo o cero, y opuesto de a, si a es negativo.
|5| = 5 |-5 |= 5 |0| = 0
|x| = 2 x = −2 x = 2
|x|< 2 − 2 < x < 2 x (−2, 2 )
|x|> 2 x< 2 ó x>2 (−∞, 2 ) (2, +∞)
|x −2 |< 5 − 5 < x − 2 < 5
− 5 + 2 < x < 5 + 2 − 3 < x < 7
Propiedades:
1 Los números opuestos tienen igual valor absoluto.
|a| = |−a|
Ejemplo: |5| = |−5| = 5
2 El valor absoluto de un producto es igual al producto de los valores absolutos de
los factores.
|a · b| = |a|· |b|

10. Ejemplo:
|5 · (−2)| = |5| · |(−2)|
|−10| = |5| · |2|
10 = 10
3 El valor absoluto de una suma es menor o igual que la suma de los valores
absolutos de los sumandos.
|a + b| ≤ |a| + |b|
Ejemplo:
|5 + (−2)| ≤ |5| + |(−2)|
|3| = |5| + |2|
3 ≤ 7
Distancia
La distancia entre dos números reales a y b, que se escribe d(a, b), se define
como el valor absoluto de la diferencia de ambos números:
d(a, b) = |b − a|
Ejemplo:
La distancia entre −5 y 4 es:
d(−5, 4) = |4 − (−5)| =
= |4 + 5| = |9|
Definición de entorno

11. Se llama entorno de centro a y radio r, y se denota por Er(a) o E(a,r), al intervalo
abierto (a-r, a+r).
Er(a) = (a-r, a+r)
Los entornos se expresan con ayuda del valor absoluto.
Er(0) = (-r, r) se expresa también |x|<r, o bien,
-r < x < r.
Er(a) = (a-r, a+r) se expresa también |x-a|<r, o bien,
a − r < x < a+r.
Entornos laterales
Por la izquierda
Er(a-
) = (a-r, a]
Por la derecha
Er(a+
) = [a, a+r)
Entorno reducido
Se emplea cuando se quiere saber qué pasa en las proximidades del punto, sin
que interese lo que ocurre en dicho punto.
E r
*
(a) = { x (a − r, a + r), x ≠ a}

12. Desigualdades de valor absoluto (>):
La desigualdad | x | > 4 significa que la distancia entre x y 0 es mayor que 4.
Así, x < -4 O x > 4. El conjunto solución es .
Cuando se resuelven desigual des de valor absoluto, hay dos casos a considerar.
Caso 1: La expresión dentro de los símbolos de valor absoluto es positiva.
Caso 2: La expresión dentro de los símbolos de valor absoluto es negativa.
En otras palabras, para cualesquiera números reales a y b , si | a | > b ,
entonces a > b O a < - b .
Ejemplo
Resuelva y grafique.
Separe en dos desigualdades.
Reste 2 de cada lado en cada desigualdad.
La gráfica se vería así: