Este documento presenta conceptos básicos de teoría de conjuntos, incluyendo la definición de conjunto, notación de conjuntos, conjuntos especiales como el conjunto unitario, conjunto vacío y conjunto universal. También explica relaciones entre conjuntos como subconjuntos, e introduce operaciones entre conjuntos como unión, intersección, diferencia y diferencia simétrica. Finalmente, utiliza diagramas de Venn para ilustrar gráficamente las relaciones entre conjuntos.

1. ESCUELA MILITAR DE INGENIERIA
INDICE
1.- Concepto.
2.- Notación de conjunto.
3.-Conjuntos especiales.
3.1.- Conjunto unitario.
3.2.- Conjuntos finitos e infinitos.
3.4.- Conjunto vacío.
3.5.- Conjunto universal.
4.- Relaciones entre conjuntos.
5.- Diagrama de Venn Euler.
6.-Operaciones entre conjuntos.
6.1.-Unión de conjuntos.
6.2.-Intercepción de conjuntos.
6.3.-Diferencia de conjuntos.
6.4.-Diferencia simétrica.

2. ESCUELA MILITAR DE INGENIERIA

3. ESCUELA MILITAR DE INGENIERIA
ÁLGEBRA DE CONJUNTO
1.- DEFINICIÓN DE CONJUNTO
El concepto de conjunto es conjunto es fundamental en todas las ramas de las
matemáticas. Es una lista, colección o clase de objetos bien definidos, objetos
que, como se verán pueden ser cualquier cosa: números, personas, letras,
etc. Estos objetos se llaman elementos o miembros de un del conjunto.
Ejemplo:
-Los números 1,3, 7 y 10.
-Las vocales del alfabeto a, e, i o, u.
-Los estudiantes Tomás, Ricardo y Enrique.
-Los ríos de los Estados Unidos.
-Los estudiantes ausentes de la escuela.
Un conjunto es una colección de elementos que se agrupan mediante algunas
características en común y que solo aparecen una sola vez.
2.- NOTACIÓN DE CONJUNTO
usaremos letras mayúsculas para presentar los conjuntos e incluiremos sus
elementos dentro de llaves, separándolos por comas.
El símbolo E (es elemento de). Así (a E S) se lee (a es elemento de S).
3. CONJUNTOS ESPECIALES
3.1.- CONJUNTO UNITARIO
Es todo conjunto que está formado por un sólo y único elemento.
Ejemplo:
A = {5}

4. ESCUELA MILITAR DE INGENIERIA
B = {números pares entre 6 y 10} = {8}
C = {la capital del Perú} = {Lima}
D = {x / 2x = 6} = {3}
A = {1}
B = {x I x es la solución de }
C = {números pares entre 2 y 6} = {4}
D = {La capital del México}
3.2.- CONJUNTOS FINITOS E INFINITOS
Los conjuntos pueden ser finitos o infinitos. Es finito si consta d e un cierto
número de elementos distintos, es decir, si al contar los diferentes elementos
del conjunto el proceso de contar puede acabar. Si no, el conjunto es infinito.
Ejemplo:
Si M es el conjunto de los días de la semana, entonces M es finito.
Si N= {2, 4, 6,8...}, N es infinito.
Si P={x/x es un río de la tierra}, P es también finito aunque sea difícil contar
los ríos del mundo.
3.3.- CONJUNTO VACÍO
Es un conjunto que carece de elementos. Este conjunto se suele llamar
conjunto nulo.
Ejemplo:
Si A es el conjunto de personas vivientes mayores de 200 años, A es vacío
según la s estadísticas conocidas.
Sea B = {x/x2 = 4, x es impar}. B es entonces un conjunto vacío.

5. ESCUELA MILITAR DE INGENIERIA
3.4.- CONJUNTO UNIVERSAL
En toda aplicación de la teoría de conjuntos todos los conjuntos que se
consideran serán muy probablemente subconjuntos de un mismo conjunto
dado. Este conjunto se llamará conjunto universal o universo del discurso y
se denotará por U.
Ejemplo:
En geometría plana el conjunto universal es el de todos los puntos del plano.
En los estudios sobre población humana el conjunto universal es el de toda la
gente del mundo.
4.- RELACIONES ENTRE CONJUNTOS
Un conjunto A es subconjunto de un conjunto B, si todo elemento de A es un
elemento de B. Todo conjunto es subconjunto de sí mismo.
Un conjunto A se dice subconjunto de B, , si todos los elementos de A
pertenecen a B el reciproco no es necesario, pero si sucede, el conjunto A es igual
a B. A esta relación se le conoce como relación de inclusión.
RELACION DE INCLUSIÓN: Se dice que un conjunto A está incluido en otro B, si
todos los elementos del conjunto A pertenecen al conjunto B.
PROPIEDADES DE LOS SUBCONJUNTOS:
Los subconjuntos tienen las siguientes propiedades:
REFLEXIVA.- Todo conjunto es subconjunto de si mismo.
A⊂A

6. ESCUELA MILITAR DE INGENIERIA
ANTISIMETRICA.- Si dados dos conjuntos A y B se verifica A ⊂ B, entonces se
deduce que B ⊄ A.
A⊂BàA⊄B
TRANSITIVA.- Dados tres conjuntos A, B y C, si se verifica
A ⊂ B y B ⊂ C entonces A ⊂ C
A = {x I x es par}
B = {2, 4, 6,8}
C = {vocales}
D = {abecedario}
Los subconjuntos se expresan de la siguiente manera:
A⊂B (A es subconjunto de B)
C⊂_D (C es subconjunto de D)
Los elementos del conjunto A esta contenido en B pero al revés no es cierto, es
decir B no es subconjunto de A y se representa como: .
5.- DIAGRAMA DE VENN - EULER
Se logra ilustrar de manera sencilla e instructiva las relaciones entre los
conjuntos mediante los llamados diagramas de Venn- Euler, simplemente, que
representa un conjunto con un área plana, por lo general delimitada por un
círculo.
Los diagramas de VENN son representaciones gráficas y planas de las relaciones
entre conjuntos, de forma que facilitan la comprensión de la teoría de conjuntos.

7. ESCUELA MILITAR DE INGENIERIA
6.-OPERACIONES ENTRE CONJUNTOS
6.1.- UNIÓN DE CONJUNTOS
La unión de dos conjuntos A y B, la cuál se denota por A U B, es el conjunto
de todos los elementos que están en el conjunto A y/o en el conjunto B.
La unión de los conjuntos A y B es el conjunto formado por todos los elementos
que pertenecen a “A” o “B” o a ambos. Se denota: A U B. La unión de conjuntos se
define como:
A U B = {x I x ∈ A o x ∈ B}
En forma gráfica la unión puede tener varios casos, como el siguiente en el que
se muestra cuando los conjuntos son disjuntos
Cuando los conjuntos tienen algunos elementos en común:

8. ESCUELA MILITAR DE INGENIERIA
Cuando todos los elementos de un conjunto están contenidos en el otro, no es
necesario que los conjuntos sean iguales:
1.- Dados los siguientes conjuntos: A = {2,4,6,8,10}, B = {0,1,2,3 }, C = { -2,-1,
0,3} construye los diagramas de Venn-Euler de a).- AUB, b).- AUC, c).- BUC
6.2.- INTERSECCIÓN DE CONJUNTOS:
La intersección de dos conjuntos A y B, la cual se denotará por A B, es el
conjunto de elementos que están a la vez en ambos conjuntos A y B.
A B ={x l x E A y x E B}.
Se define la intersección de dos conjuntos A y B al conjunto de elementos

9. ESCUELA MILITAR DE INGENIERIA
que son comunes a A y B. Se denota por A ∩ B, que se lee: A intersección
B.
A ∩B = {x I x∈ A y x ∈ B} y mediante un diagrama de Venn-Euler:
En el siguiente gráfico se muestra la intersección de dos conjuntos disjuntos:
Todos los elementos de A están contenidos en B

10. ESCUELA MILITAR DE INGENIERIA
Ejemplos:
1.- Dados los siguientes conjuntos: A = {2,4,6,8,10}, B = {0,1,2,3 }, C = { -1,-2,
0,3} construye los diagramas de Venn-Euler de a).- A∩B, b).- A∩C, c).- B∩C
;
b).- A∩C,
c).- B∩C
6.3.- DIFERENCIA DE CONJUNTOS:
Se denomina diferencia de dos conjuntos A y B al conjunto formado por todos los
elementos de A pero que no pertenecen a B.
La diferencia se denota por: A - B que se lee: A diferencia B o A menos B. Se
define la diferencia de dos conjuntos también como:
A - B = {x / x Ayx B}
Mediante un diagrama de Venn - Euler:

11. ESCUELA MILITAR DE INGENIERIA
Cuando no tienen Cuando tienen Cuando todos los elementos de un
elementos comunes elementos comunes conjunto pertenecen a otro conjunto
Ejemplos:
1. Dados los conjuntos: A = { a, b, c, d, e }, B = { a, e } y C = { d, f, g }, efectuar y
construir los diagramas respectivos:
a) A - C b) B - C c) A - B
Tenemos:
a) A = { a, b, c, d, e } y C = { d, f, g }
A - C = { a, b, c, e }
Representación gráfica de la diferencia de conjuntos
AyC
b) B = { a, e } y C = { d, f, g }
B - C = { a, e }
Representación gráfica de la diferencia de conjuntos B y
C
c) A = { a, b, c, d, e } y B = { a, e }
A - B = { b, c, d }

12. ESCUELA MILITAR DE INGENIERIA
Representación gráfica de la diferencia de conjuntos
AyB
6.4.-Diferencia simétrica
La diferencia simétrica de A y B es el conjunto que contiene todos los elementos
de A y de B salvo aquellos que pertenecen a ambos.
En teoría de conjuntos, la diferencia simétrica de dos conjuntos es una operación
que resulta en otro conjunto cuyos elementos son aquellos que pertenecen a
alguno de los conjuntos iníciales, sin pertenecer a ambos a la vez. Por ejemplo, la
diferencia simétrica del conjunto de los números pares P y el conjunto de los
cuadrados perfectos C es un conjunto D que contiene los cuadrados impares y los
pares no cuadrados:
P = {2, 4, 6, 8, 10, 12, 14, 16,...}
C = {1, 4, 9, 16, 25,...}
D = {1, 2, 6, 8, 9, 10, 12, 14, 18...}
La diferencia simétrica de conjuntos se denota por Δ, por lo que P Δ C = D.

13. ESCUELA MILITAR DE INGENIERIA
Definición
Diferencia simétrica de dos conjuntos A y B.
Dados dos conjuntos A y B, su diferencia simétrica, A Δ B, es un conjunto que
contiene los elementos de A y los de B, excepto los que son comunes a ambos:
La diferencia simétrica de dos conjuntos A y B es otro conjunto A Δ B cuyos
elementos son todos los elementos de A o B, a excepción de los elementos
comunes a ambos:
Ejemplo.
• Sean A = {a, ♠, 5, Z} y B = {8, #, a, Γ, ♠}. La diferencia simétrica es A Δ B =
{5, Γ, #, Z, 8}.
• Sean los conjuntos de polígonos T = {pentágonos} y R = {polígonos
regulares}. La diferencia simétrica contiene los polígonos regulares y
pentágonos que no sean ambas cosas a la vez, o sea: R Δ T =
{Pentágonos irregulares y polígonos regulares que no posean 5 lados}.
La definición de la diferencia simétrica puede reducirse fácilmente a las
operaciones de unión, intersección y diferencia: