El documento presenta información sobre diagramas de Venn y operaciones con conjuntos. Introduce los diagramas de Venn para 3 conjuntos y muestra ejemplos de cómo representar gráficamente la intersección de conjuntos. Luego explica los diagramas lineales y cómo usarlos para mostrar relaciones de inclusión entre conjuntos. Por último, define la operación de unión de conjuntos y cómo representarla gráfica y simbólicamente.

1. UNIDAD 1 MATEMÁTICAS
CICLO 2 MODULO 2
Prosigamos en la explicación iniciada en el fascículo anterior sobre
diagramas de Venn.
En el fascículo anterior vimos un diagrama de Venn cuando
intervienen hasta dos conjuntos, es decir, un conjunto universal y
otro conjunto cualquiera que es subconjunto. Puede observar la
última página del fascículo anterior.
Pasemos a considerar los mismos diagramas de Venn. Pero en el
cual intervienen 3 conjuntos: El universal y dos conjuntos,
subconjuntos del universal.
EJEMPLO
Representar mediante los diagramas de Venn los conjuntos
siguientes:
U = {x/x sea dígito}
A = {0, 2, 5, 7}
B = {0, 1, 5, 8}
La representación gráfica de los conjuntos U, a y B es:
A B
2. 1.
3. 0. 6.
5.
7. 8.
9. 4.

2. ¡IMPORTANTE!
1) Los elementos que no pertenecen a los conjuntos A y B. Deben
escribirse dentro del Universal pero fuera de los conjuntos
correspondientes (Observe la Figura).
2) Si los conjuntos A y B tienen elementos comunes como es el
caso de “0” y “5” que son comunes a los dos conjuntos deben
escribirse en el área común a los dos conjuntos. (observe la
figura).
Veamos otro ejemplo
Si
U = {a, b, c, d, e, f, g}
A = {b, d, e}
B = {a, b, d, e, f}
Entonces:
B
a. A
d.
b. e.
f.
c. g.
¡IMPORTANTE!
Como todos los elementos del conjunto “A” están en “B” para
graficarlo, se puede colocar “A” dentro de “B”.
Elaborar 4 casos más de gráficas de conjuntos.
Ejercicios
1) Representan en un diagrama de Venn los siguientes conjuntos:

3. U = {x/x es un dígito}
A = {0, 1, 2, 3, 4, 5}
B = {4, 5, 6, 7}
C = {1, 3, 5, 7, 9}
A B
.0 .6
.4
.2
.5
.3 .7
.1 .8
.9
C
Explicación:
1) Los 3 conjuntos A, B y C se representan con óvalos de tal
manera que resulte una región en común; en esta región se
escriben los elementos comunes de los 3 conjuntos que en el
presente ejemplo es solamente el número 5 (observe que 5 está
en a, en B y en C).
2) En forma similar existe una región común para los conjuntos
tomados de dos en dos.
a) En la región común para los conjuntos A y B se escriben los
elementos que están tanto en A como en B; en el ejemplo son 4
y 5, como el 5 ya está, sólo se escribe el 4 (en la parte común
de A y B pero no de C).
b) En la región común de A y C se escriben los elementos que
están tanto en A como en C; en el ejemplo son 1, 3 y 5; como el
5 ya está, sólo se escriben 1 y 3 (en la parte común de A y C
pero no de B).
c) En la región común de B y C los repetidos de B y C que en este
ejemplo son 5 y 7, como el 5 ya está, solo se escribe el 7 en la
parte que le corresponde.

4. DIAGRAMAS LINEALES
En el fascículo anterior se tuvo en cuenta los diagramas inglés Jhon
Venn. (Óvalos y Rectángulos) pero además presentan los
diagramas lineales.
DEFINICIÓN:
Diagrama Lineal es una forma de indicar por medio de Rectas cierta
forma de inclusión de conjuntos, considerando el que se encuentra,
o los que se encuentren, en la parte superior, como conjuntos que
contienen a los que se encuentran en la parte inferior.
Véase un ejemplo para aclarar la idea.
Establecer un diagrama lineal de los conjuntos A y B teniendo en
cuenta que B contiene a A
Solución
AB
B
A
Véase otro ejemplo
Elaborar un diagrama lineal de los conjuntos A, B y C; en el cual se
muestre que C contiene a B y B contiene a A.
Simbólicamente
ABC
Solución
C

5. B
A
Establecer un Diagrama Lineal de los siguientes conjuntos:
O = {1}
P = {1, 2}
S = {1, 2, 3}
T = {1, 2, 3}
Solución
T S
P
O
Elaborar un diagrama lineal de los conjuntos:
N = {1, 2, 3}
M = {1, 2}
L = {2}
Solución
N
M

6. L
Elaborando otro ejemplo
Realizar un diagrama lineal que relacione los siguientes conjuntos:
A = {0, 1, 2,}
B = {1, 2, 3, 4}
C = {0, 1, 2, 3, 4, 5}
D = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7}
D
C
A B
Considerando el diagrama siguiente:
F
G
H I J
Cuáles afirmaciones son verdaderas y cuales falsas.
1) F. Contiene a todos los conjuntos

7. 2) H y I son disyuntos
3) HG
4) I y H son disyuntos
El diagrama Lineal de estos conjuntos es:
U
F
J
G
H I
OPERACIONES CON CONJUNTOS
UNIÓN DE CONJUNTOS
DEFINICIÓN
Unir dos conjuntos es establecer un nuevo conjunto que reúna el
total de los elementos de ambos conjuntos, que generalmente se le
llama conjunto unión.
El símbolo de unión es: U
Se lee: Unión o Reunión
EJEMPLO

8. Si se requiere unir el conjunto A y el conjunto B
Simbólicamente se presenta.
AUB
Se lee:
A unión B ó
Unión de A y B
EJEMPLO
Tomando los conjuntos A = {a, b, c} y B = {d, e, f}
De acuerdo a la definición se cumple que:
A = {a, b, c} y B = {d, e, f}
A U B = {a, b, c, d, e, f}
REPRESENTACIÓN GRÁFICA
Cuando se quiere presentar gráficamente la unión de dos conjuntos
lo acostumbrado es usar un conjunto Universal, es decir, un
paralelogramo y dentro de él se grafican los conjuntos
correspondientes. Presentando algún sistema de rayado o de
sombra que indique que los conjuntos constituyen unión:
Ejemplo:
Se requiere unir los conjuntos A y B.
Representar gráficamente dicha unión.
Con sistema de rayado

9. A B
AUB
Con sistema de sombra
A B
AUB
Otra forma de simbolizar la unión de conjuntos es la siguiente:
La unión de los conjuntos A1, A2, A3 ...... An.
Se lee: La unión de los conjuntos A Sub-uno, A sub-dos, A sub-tres,
puntos suspensivos A Sub-ene.
Usando el símbolo de unión “U” podemos simbolizarlo así:
A1, U A2, U A3 ...... U An
Se lee: A sub-uno, unión A sub-dos, unión A3 unión ....
..... A sub-ene
OTRO Símbolo matemático utilizado es:
n Este símbolo en matemáticas
significa: La unión U de los
conjuntos con el subíndice i
variando desde uno hasta ene.

10. i=1
¡IMPORTANTE!
La i indica los subíndices de los conjuntos, es decir, el numerito
pequeño que se escribe en la parte inferior. En el símbolo visto dice
que i inicia variando desde uno hasta n. Si se quisiera que los
subíndices iniciaran desde el tres, por decir algo, i=3, entonces el
símbolo quedaría:
n Se lee: La unión de los conjuntos
con el subíndice i variando desde
3 hasta n.
i=3
Volviendo a escribir el ejemplo visto
A1, U A2, U A3 ...... U An
Se lee: El conjunto A sub-uno unido al conjunto A sub-dos unido el
conjunto A sub-tres .... unido al conjunto A sub-ene.
Se puede escribir
n
Ai
i = 1, 2, 3, ....n
i=1
Se lee: La unión de los conjuntos A con subíndice i que varia
desde uno hasta n. i o el subíndice i es igual a 1, 2, 3
hasta n también se puede leer: El subíndice i que debe
utilizarse es 1, 2, 3 hasta n subíndices

11. Elaboremos otro ejemplo
Establecer el conjunto unión de los conjuntos m1, m2, m3, m4 y m5.
En símbolos se puede escribir:
5
Mi = {x/x  i para algún i, i = 1, 2, 3, 4, 5}
i=1
Se lee: Establecer la unión de los conjuntos “M” cuyo subíndice es i
que varia desde 1 hasta 5.
Ejemplo:
Sean los conjuntos:
M1 = {a, e}
M2 = {a, i}
M3 = {e, i, o}
M4 = {o, u}
M5 = {a, o, u}
Entonces:
5
Mi = M1 U M2 U M3 U M4 U M5 = {a, e, i, o, u}
i=1
Se lee: La unión de los conjuntos M1 cuyo subíndice varía de 1
a 5 es igual a M1 unión M2 unión M3 unión M4 unión M5
que es igual a el conjunto cuyos elementos son a, e, i, o,
u.
Sabiendo que la unión de dos conjuntos es la unión de todos sus
elementos se puede decir. Simbólicamente.

12. A u B = {x/x  A o X  B }
Se lee:
La unión de los conjuntos a y B es igual al conjunto de las equis tal
que equis es elemento del conjunto A o X es elemento del conjunto
B.
¡IMPORTANTE!
Hay algunos libros que presentan la unión de conjuntos unidos con
el signo más.
Ejemplo:
La unión de los conjuntos a y B la presenta A + B y la llaman suma
conjuntista de A y B.
Hay varios casos que se derivan de la unión de conjuntos.
1) Por ser una suma, la unión de conjuntos es Conmutativa. Es
decir, el orden de los sumandos no altera la suma. Y se tiene
que;
A U B = B U A Ley conmutativa.
2) Los conjuntos sumandos empiezan a ser Subconjuntos del
conjunto suma y tenemos que:
A  (AUB) y B  (AUB)
3) Si hay más de dos conjuntos se presenta la Ley Asociativa y se
tiene:
A U (BUC) = (AUB) UC Ley Asociativa
4) Como en el conjunto unión no hay repetición de elementos, se
presenta que si un conjunto se une consigo mismo es igual al
mismo conjunto.
y queda:
A U A = A Ley Equivalente o idempotente.

13. 5) Si un conjunto se une con su universo teniendo en cuenta que
en el conjunto unión no se repiten elementos el resultados sería
el Conjunto Universo y queda:
AUU = U Ley de Denominación.
6) También es verificable que si un conjunto se une con un
conjunto vacío, ya que el conjunto vacío representa cero
elementos, el resultado será el mismo conjunto y se tiene:
A U =A Ley de Identidad
INTERSECCIÓN ENTRE CONJUNTOS
DEFINICIÓN
Intersección de dos o más conjuntos, es el conjunto formado con los
elementos comunes en los conjuntos.
El símbolo de la intersección es el mismo de la unión pero al
contrario.
Se lee:
Intersección ó interceptado con:
EJEMPLO:
Si se quiere presentar la intersección de los conjuntos A y B,
simbólicamente queda:
A B
Se lee:

14. A intersección B
La intersección también se puede definir:
A B = {x/x  A y x  B}
Se lee:
El conjunto intersección de los conjunto A y B es igual al conjunto
de las equis, siendo X elemento del conjunto A y equis elemento del
conjunto B.
PRESENTACIÓN GRÁFICA DE LA INTERSECCIÓN
Presentar gráficamente la intersección de los conjuntos A y B.
A B
A B
La parte sombreada. Donde se presenta la parte común a los dos
conjuntos es lo que gráficamente se llama intersección.
Veamos un Ejemplo:
Tomando los conjuntos:
U = {x/x es un dígito}
A = {1, 2, 3}

15. B = {1, 3, 5}
OBSERVACIONES
1) El conjunto universal es un conjunto donde se encuentran todos
los dígitos es decir:
Los números del 0 al 9
2) Observe que los elementos 1 y 3 son comunes a ambos
conjuntos. Estos elementos comunes a ambos conjuntos son
los que constituyen el conjunto Intersecto o en otras palabras el
1 y el 3 son los que constituyen el conjunto Intersección de los
conjuntos.
Simbólicamente se tiene:
A = {1, 2, 3}
B = {1, 3, 5}
A B = {1, 3}
Se lee: El conjunto A intersección B es igual al conjunto formado
por los elementos 1 y 3.
Elaborando el mismo Problema Gráficamente
.2
.1 .3
A=
.3
.1 .5
B=

16. Metiendo en el universal de los dígitos se tiene:
A B
4.
6. .1
7. .2
8. .3
9.
0.
A B
OBSERVACIONES
1) Como el conjunto universal, representa todos los números
dígitos, los dígitos que no pertenecen a los conjuntos A y B se
colocan fuera de los conjuntos como son: 44, 6, 7, 8, 9, 0.
2) Como no se repiten elementos en un conjunto y los elementos 1
y 3 están repetidos, se escriben una sola vez, pero como dichos
elementos pertenecen a ambos conjuntos, se escriben en la
parte intersecta. Es decir, en la parte sombreada. Esto indica
que dichos elementos se encuentran en ambos conjuntos.
3) Los elementos 2 y 5 se dejan en el conjunto que corresponde:
4) Toda la gráfica corresponde a mostrar el conjunto intersección
entre A y B
5) Simbólicamente se puede decir:
A B = {1, 3} Porque: 1, 3  A y 1, 3  B