Este documento trata sobre la derivada y su interpretación geométrica. Define la derivada como el límite de la pendiente de la recta secante cuando h tiende a cero. Explica cómo calcular derivadas de funciones elementales usando la definición y reglas de derivación. Finalmente, presenta un ejemplo de aplicación de derivadas para calcular el costo marginal de producción.

1. • Interpretación geométrica.
• Logro de la sesión.
• Saberes previos.
• Definición de la Derivada.
• Aplicación.
Temas.
• Conclusiones.

2. Logro de la sesión.
• Al finalizar la sesión de aprendizaje el estudiante:
• Realiza cálculos de derivadas de funciones, aplicando
la definición y usando las reglas de derivación.
• Determina la pendiente de la recta tangente a la
gráfica de una curva, en un punto dado.
• Así como plantea y resuelve
problemas aplicadas a la economía.

3. Saberes previos
Hallar la pendiente de la recta que
pasa por el punto 𝟐; 𝟏 y 𝟒; 𝟐
𝟐; 𝟏
𝟒; 𝟐
𝒚𝟐 − 𝒚𝟏
𝒙𝟐 − 𝒙𝟏
=
2-1
4-2
=
1
𝟐

4. x
y
0
x
)
( 0
x
f Tangente!!!
Secante!!!

5. x
y
0
x
)
( 0
x
f
)
( 0 h
x
f +
h
x +
0
h
0
h
h
x +
)
( 0 h
x
f +
Interpretación geométrica
Pendiente de la recta secante Ls
𝑚𝐿𝑆
=
𝑓 𝑥0 + ℎ − 𝑓 𝑥0
ℎ
Pendiente de la recta tangente Lt
𝑚𝐿𝑇
= lim
ℎ→0
𝑚𝐿𝑆
= lim
ℎ→0
𝑓 𝑥0 + ℎ − 𝑓 𝑥0
ℎ

6. La derivada de la función f en x0 se denota por f (x0) y
se define por:
Se dice que f es derivable en x0 si dicho límite existe.
Al proceso de calcular la derivada se llama diferenciación.
𝑓′ 𝑥0 = lim
ℎ→0
𝑓 𝑥0 + ℎ − 𝑓 𝑥0
ℎ
La derivada de f en un valor xo
Una función f es derivable si lo es en cada punto de su
dominio.
Notación: 𝑓´(𝑥) =
𝑑
𝑑𝑥
𝑓(𝑥) = 𝑦´ =
𝑑
𝑑𝑥
𝑦
Dom(f ) = {x  dom( f ) : f (x) existe}.
MA635 - Cálculo Diferencial e Integral para Economistas

7. Ejemplo 1:
Usando la definición, determine la derivada de f e
indique su dominio.
𝑓 𝑥 = 3𝑥 + 2
𝑓′ 𝑋 = lim
ℎ→0
𝑓 𝑥 + ℎ − 𝑓 𝑥
ℎ
= lim
ℎ→0
3ℎ
ℎ
+
2
ℎ
=
= lim
ℎ→0
3𝑥 + 3ℎ − 3𝑥 + 2
ℎ
= lim
ℎ→0
3ℎ + 2
ℎ
= lim
ℎ→0
3 𝑥 + ℎ − 3𝑥 + 2
ℎ
= 3 + 0 = 3
Solución:
𝐷𝑜𝑚𝑓 = 𝑅

8. 1. Si f(x) = c, entonces f (x) = 0
2. Si f(x) = mx, entonces f (x) = m
3. Si f (x) = xr, entonces f (x) = rxr-1
4. Si f(x) = ex, entonces f (x) = ex
5. Si f(x) = ln(x), entonces f (x) = 1/x
Derivadas de funciones elementales
𝑐 ∈ ℝ
𝑟 ∈ ℝ
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Reglas de derivación

9. Determine las derivadas de:
a. 𝑓(𝑥) = 4𝑥5
c. 𝑓 𝑡 = 18
Ejemplo 2:
b. 𝑓 𝑥 = 2𝑥4
20. 𝑥4
f (x) =
f (x) =
f (x) =
8. 𝑥3
0

10. 1/3
La gráfica de la curva
presenta una línea tangente vertical
en 0
y x
x


La gráfica de la curva
presenta un punto ánguloso
cuando 0
y x
x


¡Cuidado!
Se muestra la gráfica de dos funciones continuas en x = 0 pero, no
son derivables en x = 0
Teorema:
Si f es derivable en x0 , entonces f es continua en x0.
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11. 0
b
a c d e x
y
f
Ejemplo 3:
A partir de la gráfica de f , ¿para qué valores de x, la
función no es derivable?
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12. El costo total, en soles, para producir x metros de cierta tela es:
C(x) = 100x2 + 400x + 5000 soles
• ¿Cuál será el costo marginal C´(x) cuando se producen 2.5
metros de tela ?
Aplicación :
Solución:
x:
Variables:
C:
Longitud de la tela (m)
Costo total por producir x
metros de tela
Costo marginal=
C´(x) = 200x + 400 + 0
Restricción(Dominio):
X >= 0
Piden:
C´ = ? X = 2.5 m
C´(2.5) = 200(2.5) +
400
C´(x)
C´(2.5) = 900
Rpta. El costo marginal por producir
2.5 m de tela es 900 soles
S/.

13. Practiquemos
Accedemos a
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14. Conclusiones
La derivada de
una función f en
x0 es:
La pendiente de la recta
tangente a la gráfica de la
función f en x0
La razón de cambio instantánea
de la función f en x0
lim
ℎ→0
𝑓 𝑥0 + ℎ − 𝑓 𝑥0
ℎ

15. Gracias