El documento describe las funciones y sus gráficas. Explica qué es una función, cómo se representan gráficamente, y cómo se pueden transformar funciones mediante desplazamientos, reflexiones y estiramientos. También analiza las funciones crecientes y decrecientes, y cómo encontrar máximos y mínimos en funciones cuadráticas.

1. Funciones © copywriter

2. Bosquejo Capítulo : F U N C I O N E S 2.1 ¿Que es función? 2.2 Gráficas de funciones 2.3 Funciones crecientes y decrecientes 2.4 Transformaciones de funciones 2.5 Funciones cuadráticas 2.6 Modelado de funciones 2.7 Combinación de funciones 2.8 Funciones uno a uno y su inversa © copywriter

3. ¿Qué es una función? Una función es una regla. Para representar funciones, ha esta se le asignan letras, f, g, h . Una función f ,es una que asigna a cada elemento x en un conjunto A, exactamente, llamado f(x) , en conjunto B. © copywriter

4. … función Cuando se escribe f(2) , se entiende “aplicar la regla f al número 2”. Al aplicar la regla se obtiene f(2) = 2 2 = 4 . De manera similar, f(3) = 3 2 = 9. Otra forma, f(4) = 4 2 = 16. En general; f(x) = x 2 . © copywriter

5. La función El área de un círculo es una función de su radio. En número de bacterias en un cultivo es una función del tiempo. El peso de un astronauta es una función de su elevación. El precio de un artículo es una función de la demanda de ese artículo. La altura es una función de la edad. La temperatura es una función de la fecha. El costo de enviar por correo un paquete es una función del peso. © copywriter

6. Ilustración de una función B A f Otra forma de ilustrar una función es mediante el diágrama de flechas. Cada flecha conecta a cada elemento de A con un elemento de B. La flecha indica que se relacionan. © copywriter

7. Función cuadrática La función cuadrática asigna a cada número real x su cuadrado x 2 . Evaluar f(3), f(-2) y . Hallar el dominio y el rango de f. Trazar el diágrama de máquina para f. © copywriter

8. Evaluar : Dominio y Rango: El dominio de f es el conjunto R de todos los números reales . El rango consiste en los valores de f(x) , es decir, los números de la forma x 2 . Como x 2 ≥ 0 para todos los números reales x , se puede ver que el rango de f es: Diágrama de máquina: © copywriter

9. Evaluación de una función Sea f(x) = 3x 2 + x – 5. Evalúe cada valor de la función dado. -2 -2 5 0 0 - 5 4 4 47 ½ ½ -15/4 © copywriter

10. Función definida por partes Un teléfono celular cuesta $39 al mes. El plan incluye 400 minutos gratis y cada minuto adicional de uso cuesta 20 centavos. El costo mensual es una función de la cantidad de minutos empleados, y se expresa como; Determine C(100), C(400), C(480). Solución: © copywriter si si

11. Solución: Una función es una regla. Tarifa 1: Tarifa 2: Tarifa 3: Ya que 100 ≤ 400, se tiene C(100) = 39 Ya que 400 ≤ 400, se tiene C(400) = 39 Ya que 480 > 400, se tiene C(480) = 55 © copywriter si si

12. Conclusión El plan tiene un cargo mensual de: $39.00 por 100 minutos. $39.00 por 400 minutos. $55.00 por 480 minutos. © copywriter

13. Ejercicios Sección 2.1 Página 155 Ejercicios: 1 – 57 En el salón: 13, 16, 18, 20, 22, 24 Aplicación: 60, 62 y 64 gráficas © copywriter

14. 2.2 Gráfica de Funciones © copywriter

15. 2.2 Gráficas de Funciones La gráfica de una función Si f es una función con dominio A, entonces la gráfica de f es el conjunto de pares ordenados. En otras palabras, la gráfica de f es el conjunto de los puntos (x, y) tales que y = f(x); es decir, la gráfica de f es la gráfica de la ecuación y = f(x). © copywriter

16. Gráfica de funciones Trace la gráfica de las siguientes funciones. © copywriter

17. Gráfica de funciones Valor Absoluto © copywriter Traze la gráfica de

18. Funciones por parte f(x)=2x + 1 x > 1 © copywriter f(x)=x 2 x 1

19. Ecuaciones que definen funciones y = 2 y 2 = 4 Si es función NO es función GRAFICA © copywriter

20. Ejercicios Sección 2.2 Página 167 Ejercicios: 1 – 21, 27 – 50 Aplicación: 84, 86 © copywriter

21. 2.3 Funciones crecientes y decrecientes; tasa de cambio promedio © copywriter

22. 2.3 Funciones crecientes y decrecientes; tasa de cambio promedio Las funciones se emplean con frecuencia para modelar cantidades cambientes. Es importante saber donde sube y gráfica y donde baja. © copywriter

23. Funciones crecientes y decrecientes a b c d f es CRECIENTE f es DECRECIENTE f es CRECIENTE Solución: f es CRECIENTE en: f es DECRECIENTE en: © copywriter B A C D

24. Definición f es creciente en un intervalo l si f(x 1 ) < f(x 2 ) siempre que x 1 < x 2 en l. f es decreciente en un intervalo l f(x 1 ) > f(x 2 ) siempre que x 1 < x 2 en l. x 1 x 2 f f(x 2 ) x 1 x 2 f f(x 2 ) f(x 1 ) f(x 1 ) creciente decreciente © copywriter

25. 0 10 20 30 40 50 60 70 80 x (años) W (lb) 200 150 100 50 Ejemplo: La siguiente gráfica da el peso W de una persona de la edad x . Determine los intervalos en los que la función W es creciente y en los que es decreciente. Solución: f es CRECIENTE en: ; CONSTANTE: f es DECRECIENTE en: . Esto significa que la persona ganó peso hasta los 25 años, luego entre 35 y 40. Perdió entre 40 y 50. © copywriter

26. Ejemplo: Gráfica para hallar intervalos donde crece y disminuye la función a) Traze la gráfica de la función b) Halle el dominio y el rango de la función. c) Encuentre los intervalos en los que f crece y disminuye. Solución: a) Traze la gráfica de la función: © copywriter -20 20 -1 10 X Y

27. Ejemplo: Gráfica para hallar intervalos donde crece y disminuye la función Solución: b) Halle el dominio y el rango de la función. c) Encuentre los intervalos en los que f crece y disminuye. © copywriter

28. Tasa de cambio promedio La tasa de cambio promedio de la función y = f(x) entre x = a y x = b es: © copywriter

29. La tasa de cambio promedio es la pendiente de la recta secante entre x = a y x = b en la gráfica de f , es decir, la recta que pasa por (a, f(a)) y (b, (f(b)) . f(b) y = f(x) 0 a b f(b) – f(a) b – a f(a) y x © copywriter

30. Ejemplo La función: a) x = 1 y x = 3 9 16 4 © copywriter

31. Ejemplo La función: b) x = 4 y x = 7 9 16 4 © copywriter

32. Ejercicio 13; Pág. 179 © copywriter

33. Práctica 2.3: En el salón: 14, 15, 16, 17, 18 y 19 Asignación: 1 – 30 Problemas de aplicación: 22, 24, 26, 32, 34,36 ( Para Entregar; 35 pts ) © copywriter

34. 2.4 Transformaciones de funciones © copywriter

35. 2.4 Transformaciones de funciones En esta sección se estudia como ciertas transformaciones de una función afectan una gráfica. Las transformaciones son desplazamiento, reflexión y estiramiento. Veamos la definición Ejemplo: Desplazamientos vérticales de gráficas Gráfica © copywriter -20 20 10

36. Desplazamientos vérticales c y = f(x) + c y = f(x) Suponga que c > 0 Para gráficar y = f(x) + c , desplace c unidades hacia arriba la gráfica de y = f(x) . Para gráficar y = f(x) – c , desplace c unidades hacia abajo la gráfica de y = f(x) . c y = f(x) y = f(x) – c © copywriter x y x y

37. Ejemplo: Desplazamientos vérticales Use la gráfica f(x) = x 3 – 9x; usando la siguiente información para bosquejar la gráfica de cada función. a) g(x) = x 3 – 9x + 10 b) h(x) = x 3 – 9x – 20 f(x) = x 3 – 9x g(x) = x 3 – 9x + 10 h(x) = x 3 – 9x – 20 -30 30 Hacer gráficas © copywriter

38. Desplazamientos horizontales y = f(x) y = f(x – c) y = f(x + c) y = f(x) c c Suponga que c > 0. Para gráficar y = f(x – c) , desplace la gráfica de y = f(x) a la derecha c unidades. Para gráficar y = f(x + c) , desplace la gráfica de y = f(x) a la izquierda c unidades. © copywriter x y x y

39. Desplazamientos horizontales g(x) = (x + 4) 2 f(x) = x 2 h(x) = (x – 2) 2 Usemos la gráfica de f(x) = x 2 para trazar la gráfica de las siguientes funciones. a) g(x) = (x + 4) 2 b) h(x) = (x – 2) 2 Hacer gráficas © copywriter - 4 0 2

40. Ejemplo: Combinación de desplazamientos Bosqueje la gráfica de: (3, 4) grafica © copywriter 0

41. Reflexión de gráficas y = f(x) y = -f(x) y = f(-x) y = f(x) Para gráficar y = -f(x) , refleje la gráfica de y = f(x) en el eje x . Para gráficar y = f(-x) , refleje la gráfica de y = f(x) en el eje y . © copywriter x y x y

42. Ejemplo: Reflexión de gráficas Trace la gráfica de cada función: Hacer gráficas © copywriter 0

43. Pág. 190; Ejercicio 11 f(x) = x 2 g(x) = (x – 2) 2 11) 12) f(x ) = x 3 g(x) = x 3 + 3 © copywriter 0 2 0 2

44. Estiramiento y acortamiento vértical Para gráficar y = cf(x) : Si c>1 , alarge verticalmente la gráfica de y = f(x) por un factor de c . Si 0 < c < 1 , acorte verticalmente la gráfica de y = f(x) por un factor de c . y = cf(x) y = f(x) y = f(x) y = cf(x) c > 1 0 < c < 1 © copywriter x y x y

45. Acortamiento y alargamiento horizontal La gráfica de y = f(cx) : Si c > 1, acorte la gráfica de y = f(x) horizontalmente por un factor de 1/c. Si 0 < c < 1, alargue la gráfica de y = f(x) horizontalmente por un factor de 1/c. y = f(cx) y = f(x) y = f(cx) y = f(x) © copywriter x y x y

46. Funciones par e impar f(-x) f(x) -x x Sea f una función: f es par si f(-x) = f(x) para toda x en el dominio de f . f es impar si f(-x) = -f(x) para toda x en el dominio de f . f(x) f(-x) -x x La gráfica de una función par es simétrica con respecto al eje x. La gráfica de una función impar es simétrica con respecto al origen. © copywriter x y x y

47. Ejercicio de práctica: Pág. 190 Ejercicio 19 : Se da la gráfica de f. Bosqueje las gráficas de las siguientes funciones. y = f(x – 2) y = f(x) – 2 y =2 f(x) y = -f(x) + 3 y = f(-x) y = ½ f(x – 1) Gráfica a) b) c) d) © copywriter

48. f) e) Cont… © copywriter

49. Problemas para resolver Pág. 190 1 – 55 61 – 68 © copywriter

50. 2.5 Funciones cuadráticas: máximos y mínimos © copywriter

51. 2.5 Funciones cuadráticas: máximos y mínimos Un valor máximo o mínimo de una función es el valor más grande o más pequeño de la función en un intervalo. En esta sección se aprende a cómo hallar los valores máximo y mínimo de funciones cuadráticas y otras. Una función cuadrática es una función f de la forma: f(x) = ax 2 + bx + c donde a , b y c son números reales y a ≠ o © copywriter

52. Forma estándar de una función cuadrática Una función cuadrática f(x) = ax 2 + bx + c se puede expresar en la forma estándar f(x) = a(x – h ) 2 + k completando el cuadrado. La gráfica de f es un parábola con vértice ( h, k ); la parábola se abre hacia arriba si a > 0 o hacia abajo si a < 0 . 0 h x y k Vértice (h, k) 0 h x y k Vértice (h, k) f(x) = a(x – h) 2 + k, a > 0 f(x) = a(x – h) 2 + k, a < 0 © copywriter

53. Ejemplo: Forma estándar de una función cuadrática Sea f(x) = 2x 2 – 12x + 23 Exprese f en forma estándar Bosqueje la gráfica Solución: Como el coeficiente de x 2 no es 1, se debe factorizar este. f(x) = 2x 2 – 12x + 23 = 2(x 2 – 6x) + 23 Ahora aplica completar al cuadrado = 2(x 2 – 6x + ___) + 23 – 2(___) = 2(x – 3) 2 + 5 La forma estándar es f(x) = 2(x – 3) 2 + 5 9 9 © copywriter

54. Ejemplo: Forma estándar de una función cuadrática b) Bosqueje la gráfica 0 3 x y 5 Vértice (3, 5) f(x) = 2(x – 3) 2 + 5 © copywriter

55. Valor máximo o mínimo de una función cuadrática Se f una función cuadrática con forma estándar f(x) = a(x – h) 2 + k. El valor máximo o míinimo de f ocurre en x = h. Si a > 0, entonces el valor mínimo de f es f(h) = k. Si a < 0, entonces el valor máximo de f es f(h) = k. 0 h x y k mínimo 0 h x y k máximo f(x) = a(x – h) 2 + k, a > 0 f(x) = a(x – h) 2 + k, a < 0 © copywriter

56. Ejemplo: Valor mínimo de una función cuadrática f(x) = 5x 2 – 30x + 49 Halla: Forma estándar Gráfica Valor mínimo Forma estándar: f(x) = 5(x 2 – 6x) + 49 = 5(x 2 – 6x + ____) + 49 – 5(____) = 5(x – 3) 2 + 4 b) Gráfica 9 9 0 3 x y 4 Valor mínimo 4 f(x) = a(x – h) 2 + k, a > 0 Valor mínimo Como el coeficiente de x 2 es positivo, f tiene un valor mínimo. Valor mínimo es f(3) = 4 GRAFICA © copywriter

57. Ejemplo: Valor máximo de una función cuadrática f(x) = -x 2 + x + 2 Halla: Forma estándar Gráfica Valor mínimo Forma estándar: f(x) = -x 2 + x + 2 = -(x 2 – x) + 2 = -(x 2 – x + ____) + 2 – (-1)(____) = -(x – ½) 2 + 9/4 b) Gráfica 1/4 1/4 0 1 2 x y ½ Valor máximo es 9/4 f(x) = a(x – h) 2 + k, a < 0 Valor mínimo Como el coeficiente de x 2 es negativo, f tiene un valor máximo. Valor máximo es f(1/2) = 9/4. (1/2, 9/4) GRAFICA © copywriter

58. Valor máximo o mínimo de una función cuadrática El valor máximo o mínimo de una función cuadrática f(x) = ax 2 + bx + c ocurre en: Si a > 0, entonces el valor mínimo es Si a < 0, entonces el valor máximo es © copywriter

59. Ejemplo: Halla valores máximos y mínimos de funciónes cuadráticas Halla el valor máximo o mínimo de cada función cudrática. f(x) = x 2 + 4x b) g(x) = -2x 2 + 4x – 5 Como a > 0, la función tiene el valor mínimo: f(-2) = -4 Como a < 0, la función tiene e valor máximo: f(1) = -3 GRAFICA © copywriter

60. Página 200 Ejercicios 1, 7 y 8, 19 y 20 y 38 (Para resolver en el salón) Ejercicios asignados: 1 – 58 Aplicación: 59 © copywriter

61. 2.7 Combinación de Funciones © copywriter

62. Combinación de Funciones En esta sección se estudian diferentes formas de combinar funciones para construir otras. SUMA, DIFERENCIAS, PRODUCTOS Y COCIENTES Dos funciones f y g se pueden combinar para formar nuevas funciones f + g , f – g , f(g) y f/g de una manera similar a la forma en que se suma, resta, multiplicación y divide números reales. Se define la información f + g por: (f + g)(x) = f(x) + g(x) © copywriter

63. Algebra de Funciones Sean f y g funciones con dominio A y B. Entonces las funciones f + g, f – g, fg y f/g se definen como: (f + g)(x) = f(x) + g(x) (f – g)(x) = f(x) – g(x) (fg)(x) = f(x)g(x) © copywriter

64. Ejemplo: Combinación de funciones y sus dominios Solución : El dominio de f es {x / x ≠ 2} y el dominio de g es {x / x ≥ 0}. La intersección de los dominios de f y g es: {x / x ≥ 0 y x ≠ 2} = [0, 2) U (2, ∞) © copywriter

65. Dominio {x / x ≥ 0 y x ≠ 2} Dominio {x / x ≥ 0 y x ≠ 2} Dominio {x / x ≥ 0 y x ≠ 2} Dominio {x / x ≥ 0 y x ≠ 2} Solución: En el dominio de f/g se excluye 0 porque g(0) = 0. © copywriter

66. b) Cada uno de estos valores existe porque x = 4 está en el dominio de cada función. 4 4 4 4 4 Solución: 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4 © copywriter

67. Ejemplo: Determine la composición de funciones © copywriter

68. Solución: a) Se tiene; g(x) Definición de f compuesta con g. x – 3 Definición de g. x – 3 Definición de f. f(x) Definición de g compuesta con f. x 2 Definición de f. x 2 – 3 Definición de g. © copywriter

69. Solución: b) Se tiene: © copywriter

70. Ejemplo Determine la composición de funciones El dominio f compuesta por g es {x / 2 – x ≥ 0} = {x / x ≤ 2} = (-∞, 2). © copywriter

71. © copywriter x ≥ 0 y para esté definida se debe tener es decir o bien x ≤ 4

72. © copywriter

73. Ejemplo: Una composición de tres funciones © copywriter

74. Ejemplo: Cómo reconocer una composición de funciones © copywriter

75. 2.7 Ejercicios (Para realizar en el salón) Encuentre f + g, f – g, fg y f/g y sus dominios: © copywriter

76. 2.7 Ejercicios 1 – 10 13 – 54 © copywriter

77. 2.8 Funciones uno a uno y sus inversas © copywriter

78. La inversa de una función es una regla actúa en la salida de la función y produce la entrada correspondientes. Así, la inversa “deshase” o invierte lo que ha hecho la función. No todas las funciones tienen inversas; las que sí tienen se llaman funciones uno a uno. A B A B f g f es función g NO es función © copywriter

79. Definición de una función uno a uno Una función con dominio A se llama función uno a uno si no hay dos elementos de A que tengan la misma imagen, es decir, f(x 1 ) ≠ f(x 2 ) siempre que x 1 ≠ x 2 © copywriter

80. Prueba de la recta horizontal Una función es uno a uno si y sólo si ninguna recta horizontal cruza su gráfica de una vez; y = f(x) f(x 1 ) f(x 2 ) x 1 x 2 La función no es uno a uno porque f(x 1 ) = f(x 2 ). © copywriter

81. Ejemplo: Decidir si una función es uno a uno ¿La función f(x) = x 3 es uno a uno? f(x) = x 3 Por la prueba horizontal es uno a uno. © copywriter

82. Ejemplo: Decidir si una función es uno a uno ¿La función g(x) = x 2 es uno a uno? g(x) = x 2 Por la prueba horizontal es NO uno a uno. © copywriter

83. Ejemplo: Mostrar si una función es uno a uno Muestre que la función f(x) = 3x + 4 es uno a uno. Solución: Suponga que hay números x 1 y x 2 tales que f(x 1 ) = f(x 2 ) . Entonces, 3 x 1 + 4 = 3 x 2 + 4 3 x 1 = 3 x 2 x 1 = x 2 © copywriter

84. Definición de la inversa de una función Sea f una función uno a uno con dominio A y rango B. Entonces su función inversa f -1 tiene dominio en B y rango en A y está definida por; f -1 (y) = x ↔ f(x) = y para cualquier y en B. A B f f -1 Dominio de f -1 = rango de f Rango de f -1 = dominio de f © copywriter

85. Ejemplo: Encuentre f -1 para valores específicos Si f(1) = 5, f(3) = 7 y f(8) = -10 encuentre f -1 (5), f -1 (7) y f -1 (-10). Solución: Obtenemos lo siguiente de la definición de f -1 ; f -1 (5) = 1 porque f(1) = 5 f -1 (7) = 3 porque f(3) = 7 f -1 (-10) = 8 porque f(8) = -10 1 3 8 5 7 -10 1 3 8 5 7 -10 A B C D En forma de gráfica : f f -1 © copywriter

86. Propiedad de la función inversa Sea f una función uno a uno con dominio A y rango B. La función inversa f -1 satisface las siguientes propiedades de cancelación. f -1 (f(x)) = x para toda x en A f(f -1 (x)) = x para toda x en B A la inversa, cualquier función f -1 que satisface estas ecuaciones es la inversa de f. © copywriter

87. Ejemplo Verificar que dos funciones son inversas Muestre que f(x) = x 3 y g(x) = x 1/3 son inversas entre sí. Solución: El dominio y el rango de f y de g son todos los Reales. g(f(x)) = g( ) = ( ) = x f(g(x)) = f( ) = ( ) = x Por consiguiente, son inversas entre sí. x 3 x 1/3 x 3 1/3 x 1/3 3 f(g(x)) = f( ) = = © copywriter Ejercicio 22, página 230: f(x) = 2x – 5; g(x) = Solución: