Este documento presenta conceptos clave sobre la derivada de funciones, incluyendo: 1) cómo definir y calcular la derivada, 2) reglas para derivar funciones comunes como exponenciales, logaritmos y trigonométricas, y 3) cómo usar la derivada para analizar funciones mediante la identificación de puntos críticos, extremos y puntos de inflexión.

1. 1
Derivada de una función.
Aplicaciones

2. Habilidades:
. Definir la derivada de una función.
. Interpretar geométricamente la derivada de
una función.
. Determinar los puntos críticos de una función.
. Determinar los extremos absolutos de una
función continua en un intervalo cerrado.
. Describir el concepto de punto de inflexión de
una gráfica.
. Analizar la concavidad de una función a
través de su segunda derivada.
. Resolver problemas de máximos y mínimos de
una función en una variable.

3. La Pendiente de una Curva
¿Una curva tiene pendiente?
Entenderemos por pendiente de una
curva a la pendiente de la recta que
mas se asemeja (ajusta) a la curva.
¿y cuál es esta recta?

4. x
y
0
x
)
( 0
x
f
)
( 0 h
x
f +
h
x +
0

5. x
y
0
x
)
( 0
x
f
)
( 0 h
x
f +
h
x +
0

6. x
y
0
x
)
( 0
x
f
)
( 0 h
x
f +
h
x +
0

7. x
y
0
x
)
( 0
x
f
)
( 0 h
x
f +
h
x +
0

8. x
y
0
x
)
( 0
x
f )
( 0 h
x
f +
h
x +
0

9. x
y
0
x
)
( 0
x
f )
( 0 h
x
f +
h
x +
0
Tangente
0 

h

10. Observar que para un valor x=a del dominio de la función f(x)
en el caso de existir una recta tangente a la gráfica de f en el
punto (a,f(a)), podemos realizar una relación entre el punto a y
el valor de este límite denotado por f ’(a) y llamado derivada
de la función f en el punto x=a
De allí que podemos definir la función derivada
Función Derivada
La derivada de una función f con respecto a la variable
x es la función cuyo valor en x en el caso de existir es:
h
x
f
h
x
f
Lim
x
f
h
)
(
)
(
)
(
'
0

+



11. REGLAS DE DERIVACIÓN
4. Si f es derivable y c constante, se tiene:
 
   
x
f
c
x
cf 


3. Sea f(x) = xn, entonces:
  1


 n
nx
x
f


n
1. Sea f(x) = k, entonces:
  0

 x
f


k
D (c) = 0
x
2. Sea f(x) = x, entonces:
  1

 x
f

12. 5. Si f y g son funciones derivables y a y b
son constantes se tiene que:
6. Si f y g son funciones derivables, entonces
la derivada del producto es:
   
         
x
g
x
f
x
g
x
f
x
g
x
f 

+





Reglas de Derivación
   
     
x
g
b
x
f
a
x
bg
x
af 
+



+

13. Reglas de Derivación
7. Si f y g son funciones derivables y no
es cero, entonces la derivada del cociente
es:
)
(x
g
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
2
x
g
x
g
x
f
x
g
x
f
x
g
x
f 












8. Si y , entonces la regla
de la cadena se define por:
 n
x
g
x
f )
(
)
( 
  )
(
)
(
)
(
1
x
g
x
g
n
x
f
n


 


n

14. Derivada de funciones exponenciales
i)
ii)
Derivada de funciones logarítmicas
i)
ii)
Derivada de funciones Trigonométricas
i)
ii)
x
x
f
x
x
f
1
)
(
;
ln
)
( 


   
 
x
g
e
x
f
e
x
f x
g
x
g



 )
(
;
)
(
 
  )
(
)
(
1
)
(
;
ln
)
( x
g
x
g
x
f
x
g
x
f 



x
x
e
x
f
e
x
f 

 )
(
;
)
(
Derivadas de funciones EXP, LOG y TRIG.
)
´(
)).
(
(
)
´(
,
))
(
(
)
( x
u
x
u
Sen
x
f
x
u
Cos
x
f 


)
´(
)).
(
(
)
´(
,
))
(
(
)
( x
u
x
u
Cos
x
f
x
u
Sen
x
f 


15. LA DERIVADA
EN EL
ANALISIS DE
FUNCIONES

16. Extremos de una función
Sea D (intervalo) contenido en el Dom(f)
El punto a є D se llama Punto mínimo en D si:
D
x
x
f
a
f 

 )
(
)
(
Al valor f(a) se le llama mínimo de la función
f(x) en D
Ejemplo: f(x)=x2-4x+5

17. Extremos de una función
Sea D (intervalo) contenido en el Dom(f)
El punto a є D se llama Punto máximo en D si:
D
x
x
f
a
f 

 )
(
)
(
Al valor f(a) se le llama máximo de la función
f(x) en D
Ejemplo: f(x)=4x-x2+2

18. •Llamamos punto extremo en D si es
punto máximo o mínimo
•Llamamos valor extremo de la
función al valor máximo o mínimo de
dicha función.

19. TEOREMA
f ’(c) = 0
Si c es un punto de extremo local de f,
entonces
•Llamamos punto extremo en D si es punto máximo o mínimo
•Llamamos valor extremo de la función al valor máximo o
mínimo de dicha función.
OBSERVACIÓN:

20. PUNTOS CRITICOS
Definición:
Un número c del dominio de f se llama
número crítico o punto crítico de f si f ’(c)
= 0.
Ejemplo: Determinar el
punto crítico de:
1
3
)
( 2
3
+

 x
x
x
f

21. 1. Hallar todos los puntos críticos de f en [a, b]
2. Hallar f(c) para cada punto crítico c
3. Calcular f(a) y f(b)
4. El mayor de los números hallados en 2 y 3 es el
máximo absoluto de f en [a,b] y el menor el
mínimo absoluto.
Procedimiento para determinar los máximos o
mínimos de una función continua f en [a, b]
Ejemplo: Determinar los valores máximo y mínimo
absolutos de:







+

 4
;
2
1
1
3
)
( 2
3
en
x
x
x
f

22. TEOREMA
Sea f continua en [a, b] y derivable en
(a;b), entonces:
1. Si f ’(x) 0 en (a; b) entonces
f es estrictamente CRECIENTE en [a,b]
2. Si f ’(x) 0 en (a; b) entonces
f es estrictamente DECRECIENTE en [a;b]
>


23. Ejemplo:
Determinar los intervalos de crecimiento y
decrecimiento de:
1
9
6
)
( 2
3
+
+

 x
x
x
x
f

24. Criterio de la primera derivada
Si c es un punto crítico de f y f es
derivable alrededor de c, entonces:
i) Si f ´ cambia de + a - en la vecindad de c
entonces c es un punto de MÁXIMO local de f
ii) Si f ´ cambia de - a + en la vecindad c
entonces c es un punto de MÍNIMO local de f

25. Ejemplo:
Determinar los valores extremos locales de:
1
9
6
)
( 2
3
+
+

 x
x
x
x
f

26. abajo
<
-
TEOREMA
Sea f derivable en el intervalo (a, b),
que contiene a c, tal que existe f ’’(c),
entonces:
1. Si f ’’(c) 0 la gráfica de f es cóncava hacia
en x = c
arriba
>
+
2. Si f ’’(c) 0 la gráfica de f es cóncava hacia
en x = c

27. Criterio de la segunda derivada
Sea c un punto crítico de f en el cual f ’(c) = 0
entonces:
1.Si f ’’(c) > 0, c es un punto de mínimo local.
2. Si f ’’(c) < 0, c es un punto de máximo local

28. PUNTO DE INFLEXIÓN
La gráfica de f tiene en el punto
(c, f(c)) un punto de inflexión si:
1 f es continua en c
2 La gráfica tiene tangente en
el punto
sentido en c
3 La concavidad cambia de

29. PROCEDIMIENTO PARA DETERMINAR LOS PUNTOS DE
INFLEXION
i) Determinar los puntos donde f ’’ es cero o
no existe
ii) Verificar si cada uno de estos puntos es de
inflexión. Esto es:
• Si f es continua
•Si la derivada existe o tiene límite
infinito (tang. vertical)
• Si f ’’ cambia de signo

30. Ejemplo:
Determinar:
a) Intervalos de concavidad.
b) Puntos de inflexión
c) Trazar la gráfica de f
Para:
1
9
6
)
( 2
3
+
+

 x
x
x
x
f