1) Se define un espacio vectorial como un conjunto E con dos operaciones internas y externas que cumplen ciertas propiedades. 2) Se presentan ejemplos de espacios vectoriales como Rn, Cn, las matrices y los polinomios. 3) Un subespacio vectorial es un subconjunto de E que también es un espacio vectorial con las mismas operaciones.

1. ESPACIOS
VECTORIALES
UCA. Sección Departamental de Matemáticas.
Algeciras.

2. Espacio Vectorial
Sea E un conjunto no vacío, cuyos elementos denotaremos
por x , y , z …. ; y que llamaremos vectores, y K un cuerpo
conmutativo ( K , +, × ) , cuyos elementos representaremos
por α , λ , β ...; y que llamaremos escalares.
Como normalmente K = ℝ o K = ℂ , usaremos como notación
para las operaciones + y × , llamando además 0 al neutro
de + , y 1 al neutro de × .

3. Espacio Vectorial
Definimos en E dos leyes de composición:
( E , ⊕ ) interna, que llamamos suma de vectores, y
( E , , K ) externa de K sobre E , que llamamos producto
de un vector por un escalar
Se dice que E es un espacio vectorial sobre K si se cumplen:
1. ( E , ⊕ ) es un grupo abeliano
( )
2. ∀x, y ∈ E y ∀λ ∈ ℝ se tiene λ x ⊕ y = λ x ⊕ λ y
3. ∀x ∈ E y ∀λ,α ∈ ℝ se tiene ( λ + α ) x = λ x ⊕ λ x
(
4. ∀x ∈ E y ∀λ,α ∈ ℝ se tiene λ α x = ( λ ×α ) x)
5. ∃1∈ℝ ∀x ∈ E se tiene 1 x = x

4. Cuando no haya opción a confundirse podemos utilizar
“+” para ambas sumas, y “.” para ambos productos.
Y anotaremos:
( E , + ) interna, que llamamos suma de vectores, y
( E , ⋅, K ) externa de K sobre E , que llamamos producto
de un vector por un escalar
1. ( E , + ) es un grupo abeliano
( )
2. ∀x, y ∈ E y ∀λ ∈ ℝ se tiene λ ⋅ x + y = λ ⋅ x + λ ⋅ y
3. ∀x ∈ E y ∀λ,α ∈ ℝ se tiene ( λ + α ) ⋅ x = λ ⋅ x + λ ⋅ x
( )
4. ∀x ∈ E y ∀λ,α ∈ ℝ se tiene λ ⋅ α ⋅ x = ( λ ⋅α ) ⋅ x
5. ∃1∈ℝ ∀x ∈ E se tiene 1⋅ x = x

5. Ejemplos de Espacios Vectoriales
• ℝ es espacio vectorial sobre ( ℝ, +, ⋅) con las
n
operaciones:
n
* Suma de vectores en ℝ
( x1 x2 ⋅ ⋅ xn) +( y y2 ⋅ ⋅ yn) =( x +y x2 +y2 ⋅ ⋅ xn +yn)
1 1 1
* Producto por un escalar
α⋅( x1 x2 ⋅ ⋅ xn ) =(α⋅ x1 α⋅ x2 ⋅ ⋅ α⋅ xn )

6. Ejemplos de Espacios Vectoriales
• ℂ es espacio vectorial sobre ( ℝ, +, ⋅) y sobre
n
( ℂ, +, ⋅) con las operaciones:
n
* Suma de vectores en ℂ
( x1 x2 ⋅ ⋅ xn) +( y y2 ⋅ ⋅ yn) =( x +y x2 +y2 ⋅ ⋅ xn +yn)
1 1 1
* Producto por un escalar
α⋅( x1 x2 ⋅ ⋅ xn ) =(α⋅ x1 α⋅ x2 ⋅ ⋅ α⋅ xn )

7. Ejemplos de Espacios Vectoriales
M m×n el conjunto de las matrices definidas en un
cuerpo K conmutativo, es un espacio vectorial sobre
K , con las operaciones:
* Suma de matrices
A + B = ( aij ) + ( bij ) = ( aij + bij )
* Producto por un escalar
λ ⋅ A = λ ⋅ ( aij ) = ( λ ⋅ aij )

8. Ejemplos de Espacios Vectoriales
E=P(x) , polinomios con coeficientes pertenecientes
a un cuerpo conmutativo K.
Es un espacio vectorial sobre K con las operaciones:
* Suma de polinomios
p(x)+q(x)=(a0+a1x+...+anxn)+(b0+b1x+...+bmxm)=
=(a0+b0)+(a1+b1)x+...+(an+bn)xn+...+bmxm (m≥n )
* Producto por un escalar
αp(x) = α(a0+a1x+...+anxn )= α a0+ α a1x+...+ α anxn

9. • R2 con las operaciones
• Suma x = ( x1, x2 ) , y = ( y1, y2 ) ∈ ℝ2
x + y = ( x1, x2 ) + ( y1, y2 ) = ( x1 + y1, x2 + y2 )
• Producto por un escalar:
α x = α ( x1, x2 ) = (α x1,0)
No es un espacio vectorial sobre (R,+,.), ya
que aunque se cumplen las cuatro primeras
condiciones, como puede comprobarse
fácilmente, no se cumple la quinta:
1 x = 1( x1, x2 ) = ( x1,0) ≠ ( x1, x2 )

10. Propiedades deducidas de la definición
1 . ∀ x ∈ E s e v e rific a 0 ⋅ x = 0
2 . ∀ λ ∈ K s e v e rific a λ ⋅ 0 = 0
3. λ ⋅ x = 0 ⇔ λ = 0 ó x = 0
4. ∀ λ ∈ K y ∀ x ∈ E s e v e rific a
(− λ )⋅ x ( ) (
= λ ⋅ −x = − λ ⋅x )
5. ∀ λ ≠ 0 si λ ⋅ x = λ ⋅ y ⇒ x = y
∀x ≠ 0 si λ ⋅ x = α ⋅ x ⇒ λ = α

11. Subespacios vectoriales
Sea (E,+,.K) un espacio vectorial.
Se dice que un subconjunto L de E es un subespacio
vectorial o variedad lineal de E si tiene a su vez
estructura de espacio vectorial sobre K con las
mismas operaciones definidas en E.
En todo espacio vectorial E existen dos subespacios
llamados impropios, son:
L=E y L= 0 {}

12. Teorema de caracterización de
subespacios vectoriales
Las condiciones necesaria y suficiente para que un
subconjunto, no vacío, L de un espacio vectorial E
sea un subespacio vectorial, son:
1. ∀ x, y ∈ L se verifica x + y ∈ L
2. ∀ x ∈ L ∀λ ∈ K se verifica λ ⋅ x ∈ L

13. Ejemplos de Subespacios Vectoriales
1)Los conjuntos TS, TI de las matrices triangulares
superiores e inferiores de orden n son subespacios
vectoriales de Mn.
2) El conjunto de los polinomios de grado menor o igual
que 2, P2(x), es un subespacio vectorial del espacio
vectorial de los polinomios finitos P(x) .
3) El conjunto de los pares ordenados de números reales
con la segunda coordenada igual a 1: {(x,1)/ x∈R} no es
un subespacio vectorial de R2 ; ya que ni la suma ni el
producto por un escalar dan, en general, un vector con
la segunda coordenada igual a 1 .

14. Operaciones con subespacios
• Dados dos subespacios L1, L2 de E definimos la
suma de ambos como el conjunto formado por
todos los vectores que se obtienen sumando
uno cualquiera de L1 con uno cualquiera de L2,
es decir:
{
L1 + L2 = x ∈ E x = x1 + x2 con x1 ∈ L1 , x2 ∈ L2 }
• Dados dos subespacios L1, L2 de E definimos
la intersección de ambos como el conjunto
formado por todos los vectores que pertenecen
a los dos.
{
L1 ∩ L2 = x ∈ E x ∈ L1 y x ∈ L2 }

15. Propiedad
L1+L2 y L1 ∩L2 son subespacios vectoriales de E
Observaciones
L1 ∪ L2 no es subespacio vectorial
L1+L2 es el subespacio vectorial más
pequeño que contiene a L1 ∪ L2

16. Subespacios suplementarios
• Dos subespacios L1, L2 decimos que son
suplementarios cuando cualquier vector
x ∈ E se puede descomponer de forma
única como suma de un vector de L1 más
otro de L2:
i i
∃ x1 ∈ L1 y ∃ x2 ∈ L2 ∀ x ∈ E x = x1 + x2
• Proposición 1.
L1, L2 son dos subespacios suplementarios
{}
si y sólo si L1 +L2 = E y L1 ∩ L2 = 0

17. Proyecciones de un vector sobre
un subespacio paralelamente a
otro suplementario
• Sean L1, L2 dos subespacios suplementarios
de E
Sea un vector cualquiera x ∈ E , entonces
x = x1 + x2 con x1 ∈ L1 , x2 ∈ L2
Al vector x1 se le llama proyección de x
sobre L1 paralelamente a L2.

18. Dependencia e independencia lineal
{
Sea H = u 1, u 2 , ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅u n } un conjunto finito de vectores de E
Se dice que un vector x ∈ E es combinación lineal de
los vectores anteriores o que depende linealmente de ellos
si
n
∃xi ∈ ℝ x = ∑ xi u i
i =1

19. Dependencia e independencia lineal
{ }
Se dice que los vectores H = u 1, u 2 , ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅u n son linealmente
independientes o forman un sistema libre si la igualdad
n
0 = ∑ xi u i ⇒ xi = 0 ∀i
i =1
En caso contrario se dice que son linealmente dependientes
o que forman un sistema ligado de vectores.

20. Propiedades de la dependencia lineal
1)En ningún sistema libre figura el vector cero, es decir, que si en un sistema
de vectores figura el vector cero entre ellos, entonces el sistema es ligado.
2)Cualquier vector, considerado aisladamente, es linealmente independiente o
constituye un sistema libre siempre que sea distinto de cero.
3)La condición necesaria y suficiente para que un conjunto de vectores sea
linealmente dependiente es que al menos uno de ellos se pueda expresar
como combinación lineal de los demás.
4)Dos vectores iguales constituyen siempre un sistema ligado.
5)Cualquier conjunto de vectores que contenga a un sistema ligado es ligado.
6)Cualquier subconjunto de un sistema libre es un sistema libre.

21. Sistema generador de un
espacio vectorial
{ } un conjunto finito de vectores de E.
Sean H = u i
Se dice que H es un sistema generador de E si, ∀x ∈ E
n
∃xi ∈ ℝ x = ∑ xi u i
i =1

22. Base de un espacio
vectorial
{ }
Sea B = u i un conjunto finito de vectores de E.
Se dice que B es una base de E si cumple:
1. B es un sistema libre
2. B es un sistema generador de E

23. { }
Si B = u i es una base de E, ∀x ∈ E se tiene:
n
x = ∑ xi u i
i =1
A las xi ∈ ℝ se le llaman coordenadas de x
respecto de la base B
A las xi ui ∈ E se le llaman componentes de x
respecto de la base B

24. La expresión de x ∈ E respecto de la base B = u i { }
n
x = ∑ xi u i
i =1
La podemos escribir matricialmente, por:
 x1 
 
 x2 
(
x = u1 u2 ⋅ ⋅ un ) 

⋅ 

 ⋅ 
 
xn 


25. Proposición 2
Las coordenadas de un vector respecto de una base
{ }
B = u i son únicas.
Demostración:
Supongamos dos coordenadas distintas ( xi ) y (x )
*
i
n n
Tenemos que: x = ∑i =1
xi u i y x = ∑
i =1
x i* u i
u i ⇒ ∑ ( xi − x ) u i = 0 ⇒
n n n
Luego: ∑x u =∑x
i =1
i i
i =1
*
i
i =1
*
i
x − x = 0 ∀i ⇒ xi = x ∀i
i
*
i
*
i
{}
Ya que los ui son linealmente independientes.

26. Teorema de la base
Todas las bases de un mismo espacio vectorial tienen
el mismo número de vectores.
Definición
Se llama dimensión de un espacio vectorial al número
de vectores que tiene una base y se denota por:
dim E
Base canónica B = e i { }
(
Donde: e i = 0 0 ⋅ ⋅ 1
co lum n a i
⋅ 0 )

27. CAMBIO de BASE
Consideremos dos base de un espacio vectorial E
B = ui { } B* = vi { }
Conocemos las coordenadas de un vector x ∈ E
respecto de la base B, sean ( xi )
 x1 
 
 x2 
x = (u 1 u 2 ⋅ ⋅ u n ) 

⋅ 

 ⋅ 
 
xn 


28. CAMBIO de BASE
Y queremos calcular las coordenadas de x ∈ E
respecto de la base B*, sean ( xi* )
 x 1* 
 * 
 x2 
x = (v 1 v 2 ⋅ ⋅ v n ) 

⋅ 

 ⋅ 
 * 
xn 

Los vectores u i { } son combinación lineal de {v } i

29. CAMBIO de BASE
 u 1 = a1 1 v 1 + a 2 1 v 2 + ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ + a n 1 v n

 u 2 = a1 2 v 1 + a 2 2 v 2 + ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ + a n 2 v n

 ...............................................
u = a v + a v + ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ + a v
 n 1n 1 2n 2 n2 n
Expresado matricialmente
 a11 a12 ⋅ ⋅ a1 n 
 
 a 21 a 22 ⋅ ⋅ a2 n 
(u 1 u2 ⋅ ⋅ ) (
u n = v1 v2 ⋅ ⋅ vn )  ⋅

⋅ ⋅ ⋅ ⋅ 

 ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ 
a an 2 ⋅ ⋅ 
a nn 
 n1

30. CAMBIO de BASE
A la matriz:
 a11 a12 ⋅ ⋅ a1 n 
 
 a 21 a 22 ⋅ ⋅ a2 n 
P= ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ 
 
 ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ 
a an 2 ⋅ ⋅ 
a nn 
 n1
Se le llama matriz de paso de B a B*
Conocida la matriz P podemos calcular las coordenadas ( xi* )

31. CAMBIO de BASE
En efecto:
 x1   x 1* 
   * 
 x2   x2 
(u 1 u 2 ⋅ ⋅ u n )  ⋅

 =

(v 1 v 2 ⋅ ⋅ v n ) 

⋅ 

 ⋅   ⋅ 
 x   * 
 n   xn 
De donde:
 x1   x 1* 
   * 
 x2   x2 
(v 1 v 2 ⋅ ⋅ v n ) P 

⋅  =

(v 1 v 2 ⋅ ⋅ v n ) 

⋅ 

 ⋅   ⋅ 
 
xn   * 
  xn 

32. CAMBIO de BASE
Luego:  x1   x 1* 
   * 
 x 2   x 2 
P  ⋅  =  ⋅ 
   
 ⋅   ⋅ 
 x   x * 
 n   n 
 x 1*   a11 a12 ⋅ ⋅ a1n   x1 
 *    
 x2   a 21 a 22 ⋅ ⋅ a2n   x2 
 ⋅  =  ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅  ⋅ 
    
 ⋅   ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅  ⋅ 
 *  a an2 ⋅ ⋅ 
a nn   
xn 
 xn   n1