Este documento explica los conceptos básicos de los espacios vectoriales. Define un espacio vectorial como una estructura algebraica creada a partir de un conjunto no vacío, una operación interna de suma y una operación externa de producto por escalares, que cumplen con 8 propiedades fundamentales. Explica que los elementos de un espacio vectorial se llaman vectores y los elementos del cuerpo se llaman escalares. Proporciona ejemplos de cómo ubicar puntos en un espacio vectorial tridimensional y cómo resolver problemas algebraicos relacionados con subespac

1. REPÚBLICA BOLIVARIANA DE VENEZUELA
MINISTERIO PARA EL PODER POPULAR DE LA
EDUCACIÓN
UNIDAD EDUCATIVA COLEGIO “PABLO NERUDA
Barquisimeto Noviembre 2014

2. Espacio vectorial
La determinación de un punto en el espacio euclidiano se puede realizar por medio
de un sistema de coordenadas que consta de tres rectas, usualmente perpendiculares
dos a dos, que concurren en un punto (origen) de modo similar a las líneas que
confluyen en un rincón de una habitación normal. Es usual también designar a estas
rectas con los nombres de: eje x, eje y, eje z . En cada uno de estos ejes se define un
sistema de coordenadas abscisas cuyas unidades de medida son congruentes, a menos
que se advierta lo contrario

3. Espacio vectorial
Un espacio vectorial es una estructura algebraica creada a partir de un conjunto no vacío, una operación
interna (llamada suma, definida para los elementos del conjunto) y una operación externa (llamada producto por
un escalar, definida entre dicho conjunto y otro conjunto, con estructura de cuerpo), con 8 propiedades
fundamentales
A los elementos de un espacio vectorial se les llama vectores y a los elementos del cuerpo, escalares.
Entre escalares y vectores que cumple las siguientes condiciones:
Es decir cumple con las propiedades conmutativa, asociativa, distributiva , elemento neutro y opuesto
entre otras.
Es costumbre denotar el espacio vectorial (V, K) simplemente por V ; también se que V es un K
espacio vectorial dice
- Podemos visualizar un espacio vectorial también así:

4. Ejemplos
Como se ha visto existen 3 coordenadas (x,y,z) una para cada eje en el espacio, para graficar se
ubica en su respectivo eje y se proyecta. Todos los ejes poseen un origen en común
Ubica en el espacio vectorial los siguientes puntos, (1,0,0) , (0,0,2) , (0,1,0)

5. Ejemplos
También se pueden ubicar puntos en el espacio que se proyecten y creen figuras geométricas como un
cuadrado
Por otra parte existen ejemplos netamente con operaciones algebraicas
El valor de x para que el vector (1, x, 5) ∈ R3pertenezca al subespacio < (1, 2, 3),(1, 1, 1) >.Solución. (1, x, 5)
pertenece al subespacio < (1, 2, 3),(1, 1, 1) > si y solo si (1, x, 5) es combinación lineal de (1, 2, 3) y (1, 1, 1), o
sea, si existen α, β ∈ R tales que
(1, x, 5) = α(1, 2, 3) + β(1, 1, 1),
Pero entonces,
1 = α + β
x = 2α + β
5 = 3α + β
y resolviendo el sistema anterior, tenemos α = 2, β = −1 y x = 3.

6. El vector (2, 1, −3) es combinacion lineal de los vectores (1, −1, 1),(1, 0, 0),(1, 1, 0),ya que existen α1, α2, α3 ∈
R tales que:
(2, 1, −3) = α1(1, −1, 1) + α2(1, 0, 0) + α3(1, 1, 0) = (α1 + α2 + α3, −α1 + α3, α1)
de donde se obtiene el sistema:
α1 + α2 + α3 = 2
−α1 + α3 = 1
α1 = −3
cuya solución es α1 = −3, α2 = 7, α3 = −2. Por tanto, existen α1, α2, α3 ∈ R tales
que: (2, 1, −3) = −3(1, −1, 1) + 7(1, 0, 0) − 2(1, 1, 0).
Ubica en el espacio vectorial los siguientes puntos, A(a,0,0) , B(0,b,0) , (0,0,C)

7. • http://www.virtual.unal.edu.co/cursos/ciencias/2001004/l
ecciones_html/cap1/cap1s2.html
• http://es.wikipedia.org/wiki/Espacio_vectorial
• http://cvb.ehu.es/open_course_ware/castellano/experimentales/algebra/rel2.pdf
• http://www.ugr.es/~jurbano/aed/AED-Tema_4-Espacios_vectoriales.pdf