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Álgebra. Unidad 1. Números reales y complejos
1.1 Números naturales
1.2 Números enteros
1.3 Números racionales
1.4 Números irracionales

Los números naturales son los números que en la historia del hombre primero sirvieron para contar los
objetos, no solo para su contabilización sino también para ordenarlos. Estos números se inician a partir del
número 1. No hay una cantidad total o final de números naturales, son infinitos. Los números naturales son el: 1,
2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10… etc. Como vemos estos números no admiten fracciones (decimales). Cabe aclarar que el
número cero en ocasiones es considerado como un numero natural, pero generalmente no es así.
Por otro lado, se dice que los números naturales siempre tienen un número sucesor. Y los números
naturales no discriminan entre números pares e impares, los comprenden a todos ellos. No admiten fracciones ni
tampoco números negativos. Se distinguen de los números enteros, ya que los enteros también comprenden a los
números negativos. En cuanto a la expresión escrita de los números naturales, estos se representan con la letra
N, en mayúscula.
Los números naturales además son la base primordial sobre la cual se fundamentan todas operaciones
y funciones matemáticas, la suma, restas, multiplicaciones y divisiones. También a las funciones trigonométricas y
las ecuaciones. En definitiva son los elementos básicos sin los cuales la matemática no podría darse, también
todas las ciencias que utilicen este tipo de cálculos como la geometría, la ingeniería, química, física, todas
requieren de la matemática y de los números naturales.
Fuente: https://concepto.de/numeros-naturales/#ixzz7O3Ps75Yz

Figura 1.1.1 Clasificación de los números.

1.2 Números enteros
Un número entero es un elemento del conjunto numérico que contiene los números naturales; que son N =
{0,1,2,3,4,…} o N*= {0,1,2,3,4,...}; dependiendo de cómo se definan, sus opuestos, y en la segunda definición,
además el cero. Los enteros negativos, como −1 o −13 (se leen «menos uno», «menos trece», etc.), son menores
que cero y también son menores que todos los enteros positivos. Para resaltar la diferencia entre positivos y
negativos, se puede escribir un signo «menos» delante de los negativos: -1, -5, etc. Y si no se escribe signo al
número se asume que es positivo.
El conjunto de todos los números enteros se representa por la letra Z ={...,-4,-3,-2,-1,0,+1,+2,+3,...}

1.3 Números racionales
Los números racionales son aquellos números que pueden ser expresados como una relación entre dos enteros.
Por ejemplo, las fracciones 1/3 y -1111/8 ambas son números racionales. Todos los enteros están incluídos en los
números racionales, ya que cualquier entero z puede ser escrito como la relación z /1.

1.4 Números irracionales
Un número es irracional si posee infinitas cifras decimales no periódicas, por tanto no se pueden expresar en
forma de fracción. El número irracional más conocido es pi, que se define como la relación entre la longitud de la
circunferencia y su diámetro.
El número áureo, Φ, utilizado por artistas de todas las épocas (Fidias, Leonardo da Vinci, Alberto Durero, Dalí,..)
en las proporciones de sus obras.

Unidad 2. Sistemas de ecuaciones lineales
2.1 Método de sustitución
2.2 Método de igualación
2.3 Método de eliminación

2.1 Método de sustitución
El método de sustitución es una manera de resolver sistemas de ecuaciones. Para usar el método de
sustitución, toma una ecuación y encuentra una expresión para una de las variables en términos de la otra
variable. Luego sustituye esa expresión por la variable en la segunda ecuación.
3x + 2y = 1
x – 5y = 6 solución x=1 & y= -1
1.- 4.- 7.- 6x – 5y = -9
4X + 3y = 13
2.- 5.- 8.-
3.- 6.- -2x + y = 8 9.-
x – 4y = -5

2.2 Método de igualación
El método de igualación consiste en aislar en ambas ecuaciones la misma incógnita para poder igualar
las expresiones, obteniendo así una ecuación con una sola incógnita.
3x + 2y = 1
x – 5y = 6
1.- 4.- 7.- 6x – 5y = -9
4X + 3y = 13
2.- 5.- 8.-
3.- 6.- -2x + y = 8 9.-
x – 4y = -5

2.2 Método de reducción o eliminación
El método de reducción consiste en operar entre las ecuaciones como, por ejemplo, sumar o restar
ambas ecuaciones, de modo que una de las incógnitas desaparezca. Así, obtenemos una ecuación con una sola
incógnita.
3x + 2y = 1
x – 5y = 6
1.- 4.- 7.- 6x – 5y = -9
4X + 3y = 13
2.- 5.- 8.-
3.- 6.- -2x + y = 8 9.-
x – 4y = -5

Ejercicio 1
Resuelva los siguientes sistemas de ecuaciones por los tres métodos:

Unidad 3. Polinomios
3.1 Expresiones algebraicas
3.2 Polinomios
3.3 Términos semejantes
3.4 Adición de polinomios
3.5 Multiplicación de polinomios
3.6 Teorema del binomio
3.7 División de polinomio

3.1 Expresiones algebraicas
Es la representación de un símbolo algebraico o de una o más operaciones algebraicas ejemplos:
1. a 2. 5x 3. (a+b)c 4. (5x-3y)a / x²
5. x + 2 6. x² + 4x + 4 7. x – 4 – y 8. a² +4ab + c²
Término es una expresión algebraica que consta de un solo símbolo o de varios símbolos no
separados entre sí por el signo + o -. Por lo tanto a 3b, 2xy, 4a/3x son términos.
Los elementos de un término son cuatro: el signo, el coeficiente, la parte literal y el grado. Los tipos de termino
son entero, fraccionario, racional, irracional, homogéneos y heterogeneos.
Términos enteros: 5a, 6a⁴b⁴, 2a/ 5.
Términos fraccionarios: 3a/b, a/b, x/y.
Términos racional al que no tiene radical como los ejemplos anteriores.
Término irracional aquellos que tienen radicales como √a, ³√b , ⁵√c
Término homogéneo 4x⁴y & 6x²y³ son de quinto orden absoluto.
Término heterogéneo 5a & 5a² son de diferente orden primer y segundo orden respectivamente.

3.2 Polinomios
Polinomio es una expresión algebraica que consta de más de un término como
a+b a+x-y x³+2x²+x+7
Monomio es unas expresión algebraica que consta de un solo termino como
3a -5b x²y
Binomio es un polinomio que consta de dos términos como
a + b a + x x - y
Trinomio es un polinomio que consta de tres términos como
a+b+c x²-5x+6

3.3 Términos semejantes
Dos o más términos son semejantes cuando tienen la misma parte literal, o sea, cuando tienen iguales letras
afectadas de iguales exponentes:
2a y a -2b y 8b -5a²b² y -8a²b² x³ y 3x³
Reducción de términos semejantes es una operación que tiene por objeto convertir en un solo término dos o más
términos semejantes.
En la reducción se pueden tener:
a) Términos semejantes del mismo signo.
b) Reducción de dos términos semejantes de distinto signo.
c) Reducción de dos o más términos semejantes de signos distintos.

3.4 Adición de polinomios
La suma o adición es una operación que tiene por objeto reunir dos o más expresiones algebraicas
(sumandos) en una sola expresión algebraica (suma)
La suma de a y b es a + b, por que la ultima expresión es la reunión de las dos expresiones algebraicas
dadas a y b.
La suma a y -b es a-b porque esta última expresión es la reunión de las dos expresiones dadas a y -b.
a) sumar m, n Ejercicios:
b) sumar x, y
c) sumar a, b, c
d) sumar w, -x, y, -z
e) Sumar (a-b) + (2a+3b-c) + (-4a+5b)

3.5 Multiplicación de polinomios
La multiplicación es una operación que tiene por objeto, dadas dos cantidades llamadas multiplicando y
multiplicador, hallar una tercera cantidad, llamada producto, que sea respecto del multiplicando, en valor absoluto
y signo, lo que el multiplicador es respecto de la unidad positiva.
El multiplicando y multiplicador son llamados factores del producto.
El orden de los factores no altera el producto. Ley conmutativa de la multiplicación
Los factores de un producto pueden agruparse de cualquier modo. Ley asociativa de la multiplicación
abcd = (ab) x (cd) = a x (bcd) = (abc) x d
Ley de signos + x + = +; + x - = - ; - x + = - ; - x - = +
Ley de exponentes a⁴ x a³ x a² = a⁹
Ley de coeficientes 2a² x 3 ab = 6a³b
Ejercicios:

3.6 Teorema del binomio
El teorema del binomio, también llamado binomio de Newton, expresa la enésima potencia de un
binomio como un polinomio.
Ejemplo:
Ejercicios:
1. (4a+3b)²
2. (4a+3b)³
3. (3x-y)⁴
4. (2x² + 3y²)³

3.7 División de polinomios
La división es una operación que tiene por objeto, dado el producto de dos factores (dividendo) y uno de
los factores (divisor), hallar el otro factor (cociente).
Es una de las 4 operaciones fundamentales entre polinomios. Permite tomar a dos polinomios
cualesquiera f ( x ) f(x) f(x) y g ( x ) g(x) g(x) no nulo para obtener su división.
Dividir: 3x³ + 10x² +11x+6 entre x+2
Ejercicios:

Unidad 4. Descomposición en factores
4.1 Factor común
4.2 Trinomios
4.3 Diferencia de cuadrados
4.4. Suma y diferencia de cubos
4.5. Factorización por agrupación
4.6. Simplificación de fracciones

4.1 Factor común
Se conoce como factor común al número o variable que se encuentra en todos los términos de un
polinomio. Ejemplo:
a(a +b) = a² + ab = a(a+b)
Por ejemplo poner en factores a² + 2a = a(a+2)
Factorizar o descomponer en dos factores. Ejercicios:

4.1 Factor común
Factor común de un polinomio.
Ejemplo:
x(a+b) + m(a+b) = (x + m)(a + b)
2x(a – 1) – y(a – 1) = (2x – y) (a - 1)
Factorizar o descomponer en dos factores. Ejercicios:

4.2 Trinomios
Un trinomio cuadrado perfecto es un trinomio que resulta de la multiplicación de
un binomio por sí mismo o elevado al cuadrado. Por ejemplo:
(x + 3)² = (x + 3)(x + 3) = x² + 6x + 9.
El trinomio x² + 6x + 9 es un trinomio cuadrado perfecto.
Factorización de trinomios
1. Se extrae la raíz cuadrada del primer y tercer términos del trinomio. Dichas raíces serán
el primer y el segundo componentes del binomio que se busca.
2. Se verifica que el segundo término del trinomio corresponda al doble producto del primer
término del binomio por el segundo, respetando las leyes de los signos.
3. Se eleva al cuadrado.
Factorizar o descomponer en dos factores.
Ejercicio:

4.3 Diferencia de cuadrados
Se extrae la raíz cuadrada al minuendo y al sustraendo y se multiplica la suma de
estas raíces cuadradas por la diferencia de dichas raíces. Por ejemplo:
a² - b² = (a + b)(a - b) = a² – ab + ba - b²
1 – a² = (1 + a) (1 – a) = 1 – a + a – a²
Ejercicios:

4.4 Suma y diferencia de cubos
Para la suma de dos cubos perfectos se descompone en dos factores, el primero
es la suma de sus raíces cúbicas, y el segundo se compone de el cuadrado de la primera
raíz menos el producto de ambas raíces más el cuadrado de la segunda raíz. Por ejemplo:
a³ + b³ = (a + b)(a² – ab + b²)
Para la diferencia de dos cubos perfectos se descompone en dos factores, el
primero es la diferencia de sus raíces cúbicas, y el segundo se compone de el cuadrado de
la primera raíz más el producto de ambas raíces más el cuadrado de la segunda raíz. Por
ejemplo:
a³ – b³ = (a – b) (a² + ab + b² )
Ejercicios:

4.5 Factorización por agrupación
Factorizar un polinomio involucra escribirlo como un producto de dos o más polinomios. Es lo opuesto al
proceso de la multiplicación de polinomios. Por ejemplo:
2x² + 8x + 3x + 12 = 2x (x + 4) + 3(x + 4) = (2x + 3)(x + 4)
Factorizar los siguientes polinomios Ejercicios:
1. 3x² + 6x + 4x + 8 = 3x (x +2) + 4(x + 2) = (3x + 4)(x+2)
2. 9x² + 6x + 12x + 8
3. 5x² + 10x + 2x + 4
4. 8x² + 6x + 4x + 3
5. 3x² − 6x − 4x + 8

Una fracción algebraica es un tipo de fracción cuyo numerador y cuyo denominador son expresiones
algebraicas. Por ejemplo:
a/b.
Reducir las siguientes expresiones. Ejercicios:

Simplificación de una fracción algebraica polinomica es un tipo de fracción cuyo numerador y cuyo
denominador son expresiones algebraicas polinomicas. Por ejemplo:
a/b.
Reducir las siguientes expresiones. Ejercicios:

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