Temas matemáticos

1. MATEMATICA RESUMEN
TEMA 1 NÚMEROS REALES
Números
naturales
Son los que hemos aprendido de forma natural,  1, 2, 3, 4, ..., 78,...
Números enteros
Son todos los que podemos escribir sin cifras decimales, , incluyen los
naturales.
..., -6, -2, -1, 0, 1, 2, 8, ....
Números
racionales
Son todos los números que podemos escribir en forma de fracción o los
decimales exactos y periódicos, 
3
,0'87, 3'7,8'672,
2


Números
irracionales
Son los decimales con infinitas cifras no periódicas. , ,0'1010010001...

2
Fracciones
equivalentes
Son las fracciones que al pasarlas a forma decimal tienen la misma
expresión. Se cumple que dos fracciones son equivalentes si
a c
ad bc
b d
  
3 9
2 6
 

Representación
de fracciones en
la recta
Se divide el segmento unidad en tantas partes como nos indica el
denominador y se toman tantas particiones como indica el numerador.
Si el numerador es mayor que el denominador calculamos la cantidad de
unidades enteras que debemos tomar (dividiendo sin decimales) y
dividimos la unidad siguiente en tantas partes como nos indica el
denominador y se toman tantas particiones como indica el resto.
8 3
2 2
Reducción de
fracciones al
mismo
denominador
1. Calculamos el mcm de los denominadores.
2. Hallamos los numeradores de forma que obtengamos fracciones
equivalentes a las dadas (multiplicando numerador y denominador por
la misma cantidad)
3 5
Dadas: y
4 6
 
m.c.m. 4,6 12
 
9 10
y
12 12
Suma o resta de
fracciones con el
mismo
denominador
Se conserva el denominador y se suman, o se restan, los numeradores. Se
SIMPLIFICA siempre que se pueda.
3 2 5
1
5 5 5
  
Suma o resta de
fracciones con
distinto
denominador
Se reducen las fracciones a común denominador.
Se conserva el denominador común y se suman, o se restan, los
numeradores. Se SIMPLIFICA siempre que se pueda.
3 1 3 4 7
8 2 8 8 8
   
Multiplicación de
fracciones
Se multiplican los numeradores y el resultado se pone en el numerador; se
multiplican los denominadores y el resultado se pone en el denominador.
Se SIMPLIFICA siempre que se pueda.
4 1 4 2
9 2 18 9
  
División de
fracciones
Se multiplica el primer numerador por el segundo denominador y el
resultado se pone en el numerador; se multiplican los términos restantes y
el resultado se pone en el denominador. Se SIMPLIFICA siempre que se
pueda.
4 1 8
:
9 2 9

Operaciones
combinadas
1. Las operaciones del interior de los paréntesis.
2. Multiplicaciones y divisiones.
3. Sumas y restas.
4. Se SIMPLIFICA siempre que se pueda.
Resolveremos correctamente todo tipo
de castillos.
TEMA 2 POTENCIAS Y RAICES
Potencias
Producto de potencias con la
misma base
Se mantiene la base y se suman los exponentes 2 3 2 3 5
3 3 3 3 243

   
Cociente de potencias con la
misma base
Se mantiene la base y se restan los exponentes
2 3 2 3 1 1
3 :3 3 3
3
 
  
Potencia de una potencia Se mantiene la base y se multiplican los exponentes  
3
2 2 3 6
3 3 3 729

  
Producto de potencias con el
mismo exponente
Se multiplican las bases y se mantiene el exponente  
2
2 2 2
2 3 2 3 6 36
    
Cociente de potencias con el
mismo exponente
Se dividen las bases y se mantiene el exponente  
2
2
2 2 2
2 :3 2:3
3
 
   
 
Potencia de exponente cero
Si la base no es cero, es siempre 1 ( 0
0 es
indeterminado)
0 0
3 1, 7 1
 
Potencia de exponente
negativo
Se escribe la fracción inversa con exponente positivo
2
2
1
3
3



2. MATEMATICA RESUMEN
Raíces
Producto de raíces · ·
a b a b

25·
100 2500 50
 
25·
100 25· 100 5·
10 50
  
Cociente de raíces
a a
b b

100
25 5
4
 
100 100 10
5
4 2
4
  
Suma o resta
Solamente con radicales semejantes, es decir, mismo
índice y mismo radicando.
 
a x b x a b x
  
3 3 5 3 6 3 2 3
  
Potencias con exponente
fraccionario (relación entre
potencias y raíces)
Es igual a una raíz que tiene por índice el denominador
de la fracción y por radicando la misma base elevada al
numerador de la fracción.
z
z
n
n
a a

2
3 2 3
3
2 2 4
 
4
4
4
4 4
81 3 3 3
  
TEMA 3 EXPRESIONES ALGEBRAICAS
Expresión
algebraica
Es toda combinación de números y letras unidos
por los signos de las operaciones aritméticas:
suma, resta, multiplicación y división
4 2
3 6 4 6
x x x
  
Monomio
Es una expresión algebraica en la que tenemos la
multiplicación como única operación (y la
potenciación con exponente natural) Suele estar
formado por un número (coeficiente) y alguna
letra (parte literal).
4 2 5 4
5 , 3'76 , 6
x x h xy z

Grado de un
monomio
Cantidad total de letras que tiene, contando sus
multiplicidades. Es decir la suma de los
exponentes de todas las letras.
5 4
6 tiene grado 10
xy z
Variables
Cada una de las letras que forman parte de una
expresión algebraica.
5 4
6 tiene tres variables
que son x, y, z
xy z
Monomios
semejantes
Son los que tienen la parte literal igual (las mismas
letras con los mismos grados)
2 2
3 , 9
x h x h

Binomio Suma o resta de dos monomios 4 2
5 3'76
x x h
 
Trinomio Suma o resta de tres monomios 4 2
5 3'76 7
x x x
  
Polinomio Suma o resta de varios monomios (2, 3, 4, 5, ...) 4 2
5 36 6 4
x x x
   
Término (en
un polinomio)
Cada uno de los monomios que forman parte de
un polinomio se llama término.
4 2
5 3'76 Está
formado por 2 términos.
x x h
 
Grado de un
polinomio
El mayor de los grados de los términos que forman
el polinomio.  
4 2
5 3'76 Tiene
grado 4 4 3
x x h
 

Término
principal
Es el término de mayor grado en un polinomio. Su
coeficiente es el coeficiente principal.
4 2
4
5 36 6 4 El término principal
es 5 , el coeficiente principal es -5.
x x x
x
   

Término
independiente
Es el término de grado 0, el que no tiene letras.
4 2
5 36 6 4 El
término independiente es 4
x x x
   
Valor
numérico
Es el resultado de sustituir cada variable por
números y realizar las operaciones.
 
 
2
2
2 4 Valor numérico
para 3: 3 3 2·3 4 9 6 4 7
p x x x
x p
  
       
Polinomio
ordenado
Sus términos van de mayor a menor grado, o
viceversa.
4 2
5 36 6 4
x x x
   
Polinomio
completo
Tiene términos de todos los grados inferiores al
mayor.
4 3 2
5 2 6 6 4
x x x x
    
Polinomio
opuesto
Se obtiene cambiando todos los signos de sus
términos.
4 2
5 36 6 4
x x x
    y 4 2
5 36 6 4
x x x
  
Suma (resta)
de monomios
Para poder sumar (restar) dos monomios deben
ser semejantes. Se suman (restan) los
coeficientes y se mantiene la misma parte literal.
 
2 2 2 2
3 9 3 9 6
x h x h x h x h
     
 
2 2 2 2
3 9 3 9 12
x h x h x h x h
      

3. MATEMATICA RESUMEN
Suma de
polinomios
Es un nuevo polinomio formado por la suma de los
monomios semejantes y los términos no
semejantes de ambos.
3
2
3 2
3 6 2
5 7
3 5
x x
x x
x x x
 

 
  
Resta de
polinomios
Se suma el minuendo con el opuesto del
sustraendo.
3 3
2 2
3 2
3 6 2 3 6 2
5 7 5 7
3 11 9
x x x x
x x x x
x x x
   
 
    

  
Producto de
monomios
Es un monomio con coeficiente el producto de los
coeficientes y como parte literal el producto de las
letras (si tenemos la misma variable se suman los
exponentes)
3 2 4 2
3 ·6 18
x y xz x yz

Producto de
polinomios
Se multiplica cada monomio de un factor por todos
los monomios del otro factor.
3
2
3
5 3 2
5 3 2
3 6 2
7
21 42 14
3 6 2
3 27 2 42 14
x x
x
x x
x x x
x x x x
 


 
 
   
División de
monomios
Se dividen los coeficientes y se restan los
exponentes de las variables.
7 2 5
9 :3 3
x x x

División de
polinomios
Se divide el término principal del dividendo entre el
término principal del divisor, el monomio resultante
se escribe en el cociente. Se multiplica este
monomio por el divisor y se escribe debajo del
dividendo el opuesto del resultado. Sumamos esto
con el dividendo y obtenemos un resto provisional.
Repetimos el proceso hasta que este resto
provisional tiene grado menor que el divisor.
4 3 2 2
4 3 2 2
3 2
3 2
2
2
3 5 4 2 5 1
5 2 6
2 4 4
2 10 2
6 2 2
6 30 6
28 4
Dividendo Divisor
Cociente
Resto
x x x x x x
x x x x x
x x x
x x x
x x
x x
x
     
    
  
 
 
  
 
TEMA 4 ECUACIONES
Igualdades,
expresiones con
un signo =
Formadas
por:
Números y operaciones. Numérica 34 20 14
 
Números, letras y operaciones. Algebraica 2
3 4 20 2
x x
  
Según sea
cierta o no:
Identidad: Siempre es cierta 5 3 2
  , 5 3 2
x x x
 
Contradicción, absurdo o incompatible:
nunca es cierta
5 7 2
 
Ecuación: Se cumple solo para ciertos
valores de las letras. Resolver una ecuación
consiste en averiguar para qué valores de
las letras se cumple la igualdad.
2
3 4 2
x x
 
TEMA 5 PROPORCIONALIDAD
Razón Entre dos números es el cociente, la razón entre a y b es a
b
. 3
La razón entre 3 y 5 es:
5
Proporción
Es la igualdad entre dos o más razones. a c
b d
 Los números a y d se llaman
extremos, los números b y c se llaman medios.
3 9 30
...
5 15 50
  
Regla de tres simple
directa
Dos magnitudes son directamente proporcionales si al aumentar una, aumenta la
otra, siguiendo una proporción.
Dadas dos magnitudes directamente proporcionales, tenemos que calcular un valor qué
falta.
·
a b b c
x
c x a


 



Regla de tres simple
inversa
Dos magnitudes son inversamente proporcionales si al aumentar una, la otra
disminuye, siguiendo una proporción.
Dadas dos magnitudes inversamente proporcionales, tenemos que calcular un valor
qué falta.
·
a b a b
x
c x c


 



Regla de tres
compuesta
Debemos estudiar cada una de las magnitudes, y mirar si forma proporcionalidad
directa o inversa, con la magnitud en la que tenemos la incógnita, x.
Supongamos que tenemos:
D. D. I.
' ' '
'· '· ·
· · '
a b c d
a b c x
a b c d
x
a b c
  
  
 
Porcentajes Se trata siempre de reglas de tres simples directas:
Porcentaje ahora Euros? ahora
Porcentaje antes/después Euros? antes/después




