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UNIDADES TECNOLÓGICAS DE SANTANDER


                                              UNIDAD 4
                 FACTORIZACIÒN Y FRACCIONES ALGEBRAICAS
FACTORIZACION

Factorizar una expresión algebraica consiste en escribirla como un producto.
Cuando realizamos las multiplicaciones:
                     2              3     2
       1.       2x(x – 3x + 2) = 2x – 6x + 4x
                                  2
       2.       (x + 7)(x + 5) = x + 12x + 35

Vemos que las expresiones de la izquierda son los factores y las de la derecha son las expresiones
a factorizar, es decir, la factorización es el proceso inverso de la multiplicación.

CASOS DE FACTORIZACIÓN

1. FACTOR COMUN

1.1 Factor común monomio: Con este método buscamos el factor común de todos y cada uno
de los términos del monomio. Es decir, cuando tenemos una expresión de dos o más expresiones
algebraicas y se presenta un término común; se debe sacar como factor común.

Ejemplo 1: ¿cuál es el factor común monomio en 12x + 18y − 24z?

             Entre los coeficientes es el 6, o sea, 6·2x + 6·3y − 6· 4z = 6(2x + 3y − 4z)

Ejemplo 2:    ¿Cuál es el factor común monomio en: 5a2 − 15ab − 10ac?
              El factor común entre los coeficientes es 5 y entre los factores literales es a (el de
              menor grado), por lo tanto

               5a2 − 15ab − 10ac = 5a·a − 5a·3b − 5a · 2c = 5a(a − 3b − 2c)

Ejemplo 3:     ¿Cuál es el factor común en 6x2y − 30xy2 + 12x2y2 ?
               El factor común es “6xy “porque
               6x2y − 30xy2 + 12x2y2 = 6xy(x − 5y + 2xy)

1.2 Factor común polinomio: Es el polinomio que aparece en cada término de la expresión.
En este método se busca el factor común de todos y cada uno de los términos de un polinomio.
Pero el resultado será otro polinomio.

Ejemplo 1:        5x2(x − y) + 3x(x − y) + 7(x − y)
               - Factor común "(x − y)", el otro factor será lo que queda del polinomio. (5x2 + 3x + 7)
                 Entonces se obtiene como resultado: (x − y) (5x2 + 3x +7)

Ejemplo 2:     Factoriza    2a (m − 2n) − b (m − 2n) =
          Existe un factor común que es (m − 2n) → 2a (m − 2n) − b (m - 2n) = (m − 2n) (2a − b)

1.3 Factor común por agrupación de términos: En este caso de factorización hacemos uso de
los dos métodos anteriores.
 Ejemplo: 5x4y + 3x3y −9xy −15xy2:
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        Primero debemos agruparlo y factorizar los términos que agrupamos: seria así:
        1º 5x4y − 15xy2 = 5xy (x3 − 3y)
        2º 3x3y − 9xy = 3y (x3 −3y)
        Y por último si unimos los dos factores comunes monomios quedaría así:
        5xy (x3 −3y) +3y (x3 −3y): Después se aplica el factor común polinomio.
        Entonces el resultado será el siguiente: (x3 −3y) (5xy +3y)

2. FACTORIZACION DE TRINOMIOS

2.1 Trinomio cuadrado perfecto
Para que un trinomio sea cuadrado perfecto: el primer y tercer término deben tener raíz cuadrada y
el segundo término debe ser el doble producto de las bases de los dichos términos.

Ejemplo:
Factorizar   9 x 2 − 30 x + 25

 °
                                                        2
1° Halla la raíz principal del primer término 9x ;               3x · 3x

 °                                          25 con el signo del segundo término; −5 · −5
2° Halla la raíz principal del tercer término
   luego la factorización de 9 x − 30 x + 25 = ( 3 x − 5 )( 3 x − 5 ) = ( 3 x − 5 )
                                2                                                   2




2.2 Trinomio cuadrado perfecto por adición o sustracción:

En este caso se intenta transformar una expresión (binomio o trinomio), en otra igual en la que se
pueda aplicar trinomio cuadrado perfecto.

Ejemplo:      m 4 − 10m 2 n 2 + 9n 4

Resolviéndolo queda:
                                 m 4 − 10m 2 n 2 + 9n 4 + 4m 2 n 2 − 4m 2 n 2
                                       m 4 − 6m 2 n 2 + 9 n 4 − 4 m 2 n 2
                                          (m   2
                                                   − 3n 2   ) − (2mn )
                                                            2              2

Aplicamos diferencia de cuadrados:

                            ( m 2 − 3n 2 ) + ( 2mn )  ( m 2 − 3n 2 ) − ( 2mn ) 
                                                                               

2.3 Trinomio de la forma: x 2n + bx n + c

El trinomio de la forma   x 2n + bx n + c se puede descomponer en dos factores binomiales mediante
el siguiente proceso:

Ejemplo 1:
Descomponer        x2 + 6x + 5

 °
1° Hallar dos factores que den el primer término                x·x

 °
2° Hallar los divisores del tercer término, seccionando aquellos cuya suma sea “6”
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  1 y 5      ó -1 y - 5
  Pero la suma debe ser +6 luego serán             ( x + 5)( x + 1)
⇒ x + 6 x + 5 = ( x + 5 )( x + 1)
       2


Ejemplo 2:

Factorizar x + 4 x y − 12 y
                4       2         2

                                                  4                     2    2
1º Hallar dos factores del primer término, o sea x :                   x ·x

2º Hallar los divisores de 12y2, estos pueden ser:                 6y · −2y          ó     −6y · 2y
                                                                  4y · −3y           ó     −4y · 3y
                                                                  12y · −y           ó     −12y · y

Pero la suma debe ser +4, luego servirán            6y y −2y, es decir:

                 x 4 + 4 x 2 y − 12 y 2 = ( x 2 + 6 y )( x 2 − 2 y )
2.4 Trinomio de la forma ax 2n + bx n + c

Ejemplo:
Factorizar 2 x − 11x + 5
                 2



1º El primer término se descompone en dos factores                          2x · x

2º Se buscan los divisores del tercer término              5·1         ó         -5 · -1

3º Parcialmente la factorización sería               (2x + 5) (x + 1)
                                                        2
      Pero no sirve pues da:                         2x + 7x + 5
       Se reemplaza por                              (2x - 1) (x - 5)
                                                       2
      y en este caso nos da:                         2x - 11x + 5
Por lo tanto,   2 x 2 − 11x + 5 = ( x − 5 )( 2 x − 1)
Vale aclarar que este no es el único método. En la presentación se aplica el método que sugiere
Baldor.

3. FACTORIZACION DE BINOMIOS

3.1 Diferencia de dos cuadrados:

Ejemplo:
Factorizar      9 x 2 − 16 y 2
Raíz cuadrada del primer término            9 x2 = 3x
Y raíz cuadrada del segundo término            16 y 2 = 4 y
Luego la factorización de        9 x 2 − 16 y 2 = ( 3x + 4 )( 3x − 4 )

3.2 Cubo perfecto de un binomio

Ejemplo:
Factorizar           a 3 + 3 a 2 + 3a + 1
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Todos los signos de los términos son positivos
 3
     a 3 = a : Raíz cúbica del primer término del cuatrinomio.
3
    1 = 1 : Raíz cúbica del cuarto término del cuatrinomio.

    ( )
3 a 2 (1) = 3a 2 Triplo del cuadrado de la raíz cúbica del primer término por la raíz cúbica del cuarto:
                 Igual al segundo término del cuatrinomio.

3(a )(1) = 3a Triplo de la raíz cúbica del primer término del cuatrinomio por el cuadrado de la raíz
cúbica
                del cuarto término: igual al tercer término del cuatrinomio.
Por lo tanto:
                 a 3 + 3a 2 + 3a + 1 Desarrollo de un cubo perfecto de binomios.
                 a 3 + 3a 2 + 3a + 1 = (a + 1)
                                              3



3.3 Suma o diferencia de cubos perfectos

3.3.1 Diferencia de cubos:          a 3 − b3 = ( a − b ) ( a 2 + ab + b 2 )

Ejemplo:          8 − x3 = ( 2 − x ) ( 4 + 2 x + x2 )

3.3. 2 Suma de cubos:           a 3 + b 3 = ( a + b ) ( a 2 − ab + b 2 )

Ejemplo:         27 a 3 + 1 = ( 3a + 1) ( 9a 2 − 3a + 1)

FRACCIONES ALGEBRAICAS

DEFINICIONES
Fracción algebraica: es el cociente indicado de dos expresiones algebraicas, es decir de la forma
 p( x)
       donde el polinomio p(x) es el numerador y q(x) el denominador de la fracción algebraica, con
 q( x)
q(x) ≠ 0.
Ejemplos:
     x+5                                  8            3
(a)        ( x ≠ 3)                (b)          x ≠ − 
     x −3                               2x + 3         2
     2x − 3y                               3x + 4
(c )                                (d ) 2           ( x ≠ 4, x ≠ − 2)
        7                               x − 2x − 8

Simplificación de fracciones algebraicas

Simplificar una fracción algebraica es convertirla en una fracción equivalente reducida a su mínima
expresión, o sea, una fracción algebraica es reductible (se puede simplificar) si su numerador y su
denominador se pueden dividir por un mismo factor.
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 Una fracción después de simplificada se dice que es irreducible.

       •   Para simplificar una fracción cuyos términos sean monomios se dividen el numerador y el
           denominador por sus factores comunes hasta lograr que la fracción sea irreducible.
       •   Para simplificar una fracción cuyos términos sean polinomios se descomponen en
           factores los polinomios y se suprimen los factores comunes en el numerador y el
           denominador hasta lograr que la fracción sea irreducible.

 Ejemplos

 Simplificar las siguientes fracciones algebraicas:

     24a 3b 3     8a 2 ⋅ 3ab3    8a 2
 (a)           =               =
     21ab5         7b 2 ⋅ 3ab3   7b 2
       x 2 − 7x + 12
 (b)
           x 2 − 16
 Observa que podemos factorizar el numerador y denominador de la fracción dada, ya que:
  x 2 − 7x + 12 = ( x − 4)( x − 3)
  x 2 − 16 = ( x + 4)( x − 4)
 Luego:
            x 2 − 7 x + 12   ( x − 4)( x − 3)   x−3
                           =                  =
                x − 16
                 2
                             ( x + 4)( x − 4)   x+4

Mínimo común múltiplo de expresiones algebraicas

La operación de reducir las fracciones algebraicas al mínimo común denominador consiste en
convertirlas en fracciones equivalentes que tengan el mismo denominador y que éste sea el menor
posible.
Para encontrar el m.c.m. debemos, en primer lugar, factorizar cada uno de los polinomios en sus
factores primos y luego obtener el producto de los distintos factores primos, eligiendo en cada caso
el de mayor exponente
Ejemplo:

Reducir al mínimo común denominador
    x          3                        2x       x+3
          , 2         ,                        ,
x + 5x + 6 x + 6x + 9
  2
                                     x + 3x + 2 x + 2
                                      2

Al factorizar los denominadores obtenemos:
 ( x + 2)( x + 3) , ( x + 3)2 , ( x + 2)( x + 1) , ( x + 2) ; m.c.m. = ( x + 2)( x + 3) 2 ( x + 1)


OPERACIONES CON FRACCIONES ALGEBRAICAS

En las operaciones con fracciones algebraicas se aplican las mismas reglas que se utilizan en
aritmética para el cálculo de fracciones numéricas.
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1. Suma y Resta
Reglas:
    •     Se simplifican las fracciones, si es posible.
    •     Se reducen las fracciones dadas al mínimo común denominador
    •     Se divide el denominador común entre cada uno de los denominadores y cada cociente lo
          multiplicamos por su respectivo numerador.
    •     Se suman o restan los numeradores que resulten y se divide este resultado por el
          denominador común.
    •     Se reducen términos semejantes en el numerador, si los hubiere.
    •     Se simplifica la fracción que resulte, si es posible.

Ejemplo:
    5a − 9b 7 a − 2b 8a − 5b   (5a − 9b) + (7 a − 2b) − (8a − 5b)   4a − 6b
           +        −        =                                    =
    2a − 3b 2a − 3b 2a − 3b                 2a − 3b                 2a − 3b

 Luego, factorizando el numerador y simplificando, se obtiene:
                             2(2a − 3b)
                                        =2
                             (2a − 3b)
           5a − 9b 7 a − 2b 8a − 5b
 Entonces:        +        +         = 2
           2a − 3b 2a − 3b 2a − 3b

 2. Multiplicación
 Reglas:
     • Se descomponen en factores y se simplifican las fracciones, si es posible.
     • Se halla el producto de las expresiones que queden en los numeradores y el producto
        resultante se divide por el producto de las expresiones que queden en los denominadores.
 Ejemplo:
  m 2 − 5m + 6    m3 − m    7 m + 21
     m −9
       2
               m + 2 m − 8m 7 m 2 − 7
                3     2



 Factoricemos y simplifiquemos
 (m − 3)(m − 2)   m(m 2 − 1)   7(m + 3)
                ⋅            ⋅           =
 (m + 3)(m − 3) m(m + 2m − 8) 7(m 2 − 1)
                   2




 (m − 3)(m − 2) m(m + 1)(m − 1)    7(m + 3)        1
               ⋅                ⋅               =
 (m + 3)(m − 3) m(m + 4)(m − 2) 7(m + 1)(m − 1)   m+4

 Entonces:
 m 2 − 5m + 6     m3 − m     7 m + 21    1
              ⋅ 3          ⋅          =
    m −9
      2
               m + 2 m − 8m 7 m − 7
                      2         2
                                        m+4
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3. División
Reglas:
    •   Se multiplica el dividendo por el divisor invertido
    •   Se descomponen en factores y se simplifican las fracciones, si es posible.

Ejemplo:
    2x − 4 y     6 xy − 12 y 2   2 x − 4 y 15 x + 45 y
               ÷               =           •
    5 x + 15 y   15 x + 45 y     5 x + 15 y 6 xy − 12 y 2
Factoricemos y simplifiquemos
    2( x − 2 y ) 15( x + 3 y )     1
                •                =
    5( x + 3 y ) 6 y ( x − 2 y )   y
          2x − 4 y     6 xy − 12 y 2   1
Entonces:            ÷               =
          5 x + 15 y   15 x + 45 y     y

4. Operaciones combinadas

Para resolver una expresión algebraica con distintas operaciones se realizan en primer lugar
aquellas indicadas dentro de los paréntesis. Si no los hay, las multiplicaciones y divisiones tienen
prioridad.

Ejemplo:
    3x − 3 y         6x − 6 y       x2 − y 2
    2              ÷            • 2
    x + 2 xy + y     2 x + 2 y  x − xy + y 2
                  2



Calculemos el cociente del paréntesis y luego multipliquemos.

                                  3( x − y ) 2( x + y )     x2 − y2
                                             •          • 2
                                  ( x + y ) 2 6( x − y ) x − xy + y 2

Factoricemos y simplifiquemos

                        3( x − y ) 2( x + y ) ( x − y )( x + y )     x− y
                                   •         • 2                 = 2
                        ( x + y ) 6( x − y ) x − xy + y
                                 2                           2
                                                                  x − xy + y 2

Entonces:
                   3x − 3 y         6x − 6 y       x2 − y 2       x− y
                   2              ÷            • 2            = 2
                   x + 2 xy + y     2 x + 2 y  x − xy + y      x − xy + y 2
                                 2                            2

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Factorización y fracciones algebraicas

  • 1. UNIDADES TECNOLÓGICAS DE SANTANDER UNIDAD 4 FACTORIZACIÒN Y FRACCIONES ALGEBRAICAS FACTORIZACION Factorizar una expresión algebraica consiste en escribirla como un producto. Cuando realizamos las multiplicaciones: 2 3 2 1. 2x(x – 3x + 2) = 2x – 6x + 4x 2 2. (x + 7)(x + 5) = x + 12x + 35 Vemos que las expresiones de la izquierda son los factores y las de la derecha son las expresiones a factorizar, es decir, la factorización es el proceso inverso de la multiplicación. CASOS DE FACTORIZACIÓN 1. FACTOR COMUN 1.1 Factor común monomio: Con este método buscamos el factor común de todos y cada uno de los términos del monomio. Es decir, cuando tenemos una expresión de dos o más expresiones algebraicas y se presenta un término común; se debe sacar como factor común. Ejemplo 1: ¿cuál es el factor común monomio en 12x + 18y − 24z? Entre los coeficientes es el 6, o sea, 6·2x + 6·3y − 6· 4z = 6(2x + 3y − 4z) Ejemplo 2: ¿Cuál es el factor común monomio en: 5a2 − 15ab − 10ac? El factor común entre los coeficientes es 5 y entre los factores literales es a (el de menor grado), por lo tanto 5a2 − 15ab − 10ac = 5a·a − 5a·3b − 5a · 2c = 5a(a − 3b − 2c) Ejemplo 3: ¿Cuál es el factor común en 6x2y − 30xy2 + 12x2y2 ? El factor común es “6xy “porque 6x2y − 30xy2 + 12x2y2 = 6xy(x − 5y + 2xy) 1.2 Factor común polinomio: Es el polinomio que aparece en cada término de la expresión. En este método se busca el factor común de todos y cada uno de los términos de un polinomio. Pero el resultado será otro polinomio. Ejemplo 1: 5x2(x − y) + 3x(x − y) + 7(x − y) - Factor común "(x − y)", el otro factor será lo que queda del polinomio. (5x2 + 3x + 7) Entonces se obtiene como resultado: (x − y) (5x2 + 3x +7) Ejemplo 2: Factoriza 2a (m − 2n) − b (m − 2n) = Existe un factor común que es (m − 2n) → 2a (m − 2n) − b (m - 2n) = (m − 2n) (2a − b) 1.3 Factor común por agrupación de términos: En este caso de factorización hacemos uso de los dos métodos anteriores. Ejemplo: 5x4y + 3x3y −9xy −15xy2:
  • 2. UNIDADES TECNOLÓGICAS DE SANTANDER Primero debemos agruparlo y factorizar los términos que agrupamos: seria así: 1º 5x4y − 15xy2 = 5xy (x3 − 3y) 2º 3x3y − 9xy = 3y (x3 −3y) Y por último si unimos los dos factores comunes monomios quedaría así: 5xy (x3 −3y) +3y (x3 −3y): Después se aplica el factor común polinomio. Entonces el resultado será el siguiente: (x3 −3y) (5xy +3y) 2. FACTORIZACION DE TRINOMIOS 2.1 Trinomio cuadrado perfecto Para que un trinomio sea cuadrado perfecto: el primer y tercer término deben tener raíz cuadrada y el segundo término debe ser el doble producto de las bases de los dichos términos. Ejemplo: Factorizar 9 x 2 − 30 x + 25 ° 2 1° Halla la raíz principal del primer término 9x ; 3x · 3x ° 25 con el signo del segundo término; −5 · −5 2° Halla la raíz principal del tercer término luego la factorización de 9 x − 30 x + 25 = ( 3 x − 5 )( 3 x − 5 ) = ( 3 x − 5 ) 2 2 2.2 Trinomio cuadrado perfecto por adición o sustracción: En este caso se intenta transformar una expresión (binomio o trinomio), en otra igual en la que se pueda aplicar trinomio cuadrado perfecto. Ejemplo: m 4 − 10m 2 n 2 + 9n 4 Resolviéndolo queda: m 4 − 10m 2 n 2 + 9n 4 + 4m 2 n 2 − 4m 2 n 2 m 4 − 6m 2 n 2 + 9 n 4 − 4 m 2 n 2 (m 2 − 3n 2 ) − (2mn ) 2 2 Aplicamos diferencia de cuadrados: ( m 2 − 3n 2 ) + ( 2mn )  ( m 2 − 3n 2 ) − ( 2mn )     2.3 Trinomio de la forma: x 2n + bx n + c El trinomio de la forma x 2n + bx n + c se puede descomponer en dos factores binomiales mediante el siguiente proceso: Ejemplo 1: Descomponer x2 + 6x + 5 ° 1° Hallar dos factores que den el primer término x·x ° 2° Hallar los divisores del tercer término, seccionando aquellos cuya suma sea “6”
  • 3. UNIDADES TECNOLÓGICAS DE SANTANDER 1 y 5 ó -1 y - 5 Pero la suma debe ser +6 luego serán ( x + 5)( x + 1) ⇒ x + 6 x + 5 = ( x + 5 )( x + 1) 2 Ejemplo 2: Factorizar x + 4 x y − 12 y 4 2 2 4 2 2 1º Hallar dos factores del primer término, o sea x : x ·x 2º Hallar los divisores de 12y2, estos pueden ser: 6y · −2y ó −6y · 2y 4y · −3y ó −4y · 3y 12y · −y ó −12y · y Pero la suma debe ser +4, luego servirán 6y y −2y, es decir: x 4 + 4 x 2 y − 12 y 2 = ( x 2 + 6 y )( x 2 − 2 y ) 2.4 Trinomio de la forma ax 2n + bx n + c Ejemplo: Factorizar 2 x − 11x + 5 2 1º El primer término se descompone en dos factores 2x · x 2º Se buscan los divisores del tercer término 5·1 ó -5 · -1 3º Parcialmente la factorización sería (2x + 5) (x + 1) 2 Pero no sirve pues da: 2x + 7x + 5 Se reemplaza por (2x - 1) (x - 5) 2 y en este caso nos da: 2x - 11x + 5 Por lo tanto, 2 x 2 − 11x + 5 = ( x − 5 )( 2 x − 1) Vale aclarar que este no es el único método. En la presentación se aplica el método que sugiere Baldor. 3. FACTORIZACION DE BINOMIOS 3.1 Diferencia de dos cuadrados: Ejemplo: Factorizar 9 x 2 − 16 y 2 Raíz cuadrada del primer término 9 x2 = 3x Y raíz cuadrada del segundo término 16 y 2 = 4 y Luego la factorización de 9 x 2 − 16 y 2 = ( 3x + 4 )( 3x − 4 ) 3.2 Cubo perfecto de un binomio Ejemplo: Factorizar a 3 + 3 a 2 + 3a + 1
  • 4. UNIDADES TECNOLÓGICAS DE SANTANDER Todos los signos de los términos son positivos 3 a 3 = a : Raíz cúbica del primer término del cuatrinomio. 3 1 = 1 : Raíz cúbica del cuarto término del cuatrinomio. ( ) 3 a 2 (1) = 3a 2 Triplo del cuadrado de la raíz cúbica del primer término por la raíz cúbica del cuarto: Igual al segundo término del cuatrinomio. 3(a )(1) = 3a Triplo de la raíz cúbica del primer término del cuatrinomio por el cuadrado de la raíz cúbica del cuarto término: igual al tercer término del cuatrinomio. Por lo tanto: a 3 + 3a 2 + 3a + 1 Desarrollo de un cubo perfecto de binomios. a 3 + 3a 2 + 3a + 1 = (a + 1) 3 3.3 Suma o diferencia de cubos perfectos 3.3.1 Diferencia de cubos: a 3 − b3 = ( a − b ) ( a 2 + ab + b 2 ) Ejemplo: 8 − x3 = ( 2 − x ) ( 4 + 2 x + x2 ) 3.3. 2 Suma de cubos: a 3 + b 3 = ( a + b ) ( a 2 − ab + b 2 ) Ejemplo: 27 a 3 + 1 = ( 3a + 1) ( 9a 2 − 3a + 1) FRACCIONES ALGEBRAICAS DEFINICIONES Fracción algebraica: es el cociente indicado de dos expresiones algebraicas, es decir de la forma p( x) donde el polinomio p(x) es el numerador y q(x) el denominador de la fracción algebraica, con q( x) q(x) ≠ 0. Ejemplos: x+5 8  3 (a) ( x ≠ 3) (b) x ≠ −  x −3 2x + 3  2 2x − 3y 3x + 4 (c ) (d ) 2 ( x ≠ 4, x ≠ − 2) 7 x − 2x − 8 Simplificación de fracciones algebraicas Simplificar una fracción algebraica es convertirla en una fracción equivalente reducida a su mínima expresión, o sea, una fracción algebraica es reductible (se puede simplificar) si su numerador y su denominador se pueden dividir por un mismo factor.
  • 5. UNIDADES TECNOLÓGICAS DE SANTANDER Una fracción después de simplificada se dice que es irreducible. • Para simplificar una fracción cuyos términos sean monomios se dividen el numerador y el denominador por sus factores comunes hasta lograr que la fracción sea irreducible. • Para simplificar una fracción cuyos términos sean polinomios se descomponen en factores los polinomios y se suprimen los factores comunes en el numerador y el denominador hasta lograr que la fracción sea irreducible. Ejemplos Simplificar las siguientes fracciones algebraicas: 24a 3b 3 8a 2 ⋅ 3ab3 8a 2 (a) = = 21ab5 7b 2 ⋅ 3ab3 7b 2 x 2 − 7x + 12 (b) x 2 − 16 Observa que podemos factorizar el numerador y denominador de la fracción dada, ya que: x 2 − 7x + 12 = ( x − 4)( x − 3) x 2 − 16 = ( x + 4)( x − 4) Luego: x 2 − 7 x + 12 ( x − 4)( x − 3) x−3 = = x − 16 2 ( x + 4)( x − 4) x+4 Mínimo común múltiplo de expresiones algebraicas La operación de reducir las fracciones algebraicas al mínimo común denominador consiste en convertirlas en fracciones equivalentes que tengan el mismo denominador y que éste sea el menor posible. Para encontrar el m.c.m. debemos, en primer lugar, factorizar cada uno de los polinomios en sus factores primos y luego obtener el producto de los distintos factores primos, eligiendo en cada caso el de mayor exponente Ejemplo: Reducir al mínimo común denominador x 3 2x x+3 , 2 , , x + 5x + 6 x + 6x + 9 2 x + 3x + 2 x + 2 2 Al factorizar los denominadores obtenemos: ( x + 2)( x + 3) , ( x + 3)2 , ( x + 2)( x + 1) , ( x + 2) ; m.c.m. = ( x + 2)( x + 3) 2 ( x + 1) OPERACIONES CON FRACCIONES ALGEBRAICAS En las operaciones con fracciones algebraicas se aplican las mismas reglas que se utilizan en aritmética para el cálculo de fracciones numéricas.
  • 6. UNIDADES TECNOLÓGICAS DE SANTANDER 1. Suma y Resta Reglas: • Se simplifican las fracciones, si es posible. • Se reducen las fracciones dadas al mínimo común denominador • Se divide el denominador común entre cada uno de los denominadores y cada cociente lo multiplicamos por su respectivo numerador. • Se suman o restan los numeradores que resulten y se divide este resultado por el denominador común. • Se reducen términos semejantes en el numerador, si los hubiere. • Se simplifica la fracción que resulte, si es posible. Ejemplo: 5a − 9b 7 a − 2b 8a − 5b (5a − 9b) + (7 a − 2b) − (8a − 5b) 4a − 6b + − = = 2a − 3b 2a − 3b 2a − 3b 2a − 3b 2a − 3b Luego, factorizando el numerador y simplificando, se obtiene: 2(2a − 3b) =2 (2a − 3b) 5a − 9b 7 a − 2b 8a − 5b Entonces: + + = 2 2a − 3b 2a − 3b 2a − 3b 2. Multiplicación Reglas: • Se descomponen en factores y se simplifican las fracciones, si es posible. • Se halla el producto de las expresiones que queden en los numeradores y el producto resultante se divide por el producto de las expresiones que queden en los denominadores. Ejemplo: m 2 − 5m + 6 m3 − m 7 m + 21 m −9 2 m + 2 m − 8m 7 m 2 − 7 3 2 Factoricemos y simplifiquemos (m − 3)(m − 2) m(m 2 − 1) 7(m + 3) ⋅ ⋅ = (m + 3)(m − 3) m(m + 2m − 8) 7(m 2 − 1) 2 (m − 3)(m − 2) m(m + 1)(m − 1) 7(m + 3) 1 ⋅ ⋅ = (m + 3)(m − 3) m(m + 4)(m − 2) 7(m + 1)(m − 1) m+4 Entonces: m 2 − 5m + 6 m3 − m 7 m + 21 1 ⋅ 3 ⋅ = m −9 2 m + 2 m − 8m 7 m − 7 2 2 m+4
  • 7. UNIDADES TECNOLÓGICAS DE SANTANDER 3. División Reglas: • Se multiplica el dividendo por el divisor invertido • Se descomponen en factores y se simplifican las fracciones, si es posible. Ejemplo: 2x − 4 y 6 xy − 12 y 2 2 x − 4 y 15 x + 45 y ÷ = • 5 x + 15 y 15 x + 45 y 5 x + 15 y 6 xy − 12 y 2 Factoricemos y simplifiquemos 2( x − 2 y ) 15( x + 3 y ) 1 • = 5( x + 3 y ) 6 y ( x − 2 y ) y 2x − 4 y 6 xy − 12 y 2 1 Entonces: ÷ = 5 x + 15 y 15 x + 45 y y 4. Operaciones combinadas Para resolver una expresión algebraica con distintas operaciones se realizan en primer lugar aquellas indicadas dentro de los paréntesis. Si no los hay, las multiplicaciones y divisiones tienen prioridad. Ejemplo:  3x − 3 y 6x − 6 y  x2 − y 2  2 ÷  • 2  x + 2 xy + y 2 x + 2 y  x − xy + y 2 2 Calculemos el cociente del paréntesis y luego multipliquemos. 3( x − y ) 2( x + y ) x2 − y2 • • 2 ( x + y ) 2 6( x − y ) x − xy + y 2 Factoricemos y simplifiquemos 3( x − y ) 2( x + y ) ( x − y )( x + y ) x− y • • 2 = 2 ( x + y ) 6( x − y ) x − xy + y 2 2 x − xy + y 2 Entonces:  3x − 3 y 6x − 6 y  x2 − y 2 x− y  2 ÷  • 2 = 2  x + 2 xy + y 2 x + 2 y  x − xy + y x − xy + y 2 2 2