Este documento define elementos notables como maximales, minimales, cotas superiores e inferiores en un conjunto parcialmente ordenado (CPO). También define reticulados como CPO donde cada par de elementos tiene una mínima cota superior y máxima cota inferior. Presenta ejemplos y propiedades de estos conceptos.

1. RETICULADOS
Ing. Edecio R. Freitez

2. Elementos notables en un CPO
Definición: Considérese un conjunto parcialmente
ordenado (A, R ). Un elemento a Є A se llama elemento
maximal de a si a R x implica que a = x, para todo x
perteneciente a A, es decir, (" x)( x Є A Ù a R x Þ a = x )
Observación: Intuitivamente esto quiere decir, que aЄA
es elemento maximal sí y sólo sí no existe en A un
elemento distinto que lo siga.
 Definición: Un elemento a Є A se llama elemento
minimal xRa implica que x = a, para todo x
perteneciente a A, es decir,
(" x)( xЄA Ù xRa Þ x = a ).

3. Elementos notables en un CPO
Observación: Intuitivamente esto quiere decir,
que aЄA es elemento minimal sí y sólo sí no
existe en A un elemento distinto que lo preceda.
Ejemplo: Sea el conjunto parcialmente ordenado
cuyo diagrama de Hesse es :

4. Elementos notables en un CPO
Los elementos a, b y c son elementos maximales de A, y los
elementos d, e y f son los elementos minimales de A.
Comentario: se puede apreciar que como no existe una línea recta
entre e y f, no se puede decir que eRf ni que fRe.
Ejemplo: Sea A el conjunto parcialmente ordenado de todos los
números reales no negativos con el orden usual R. Entonces el cero
es el elemento minimal de A y no existen elementos maximales.
Teorema. Sea A un conjunto parcialmente ordenado, no vacío y
finito con orden parcial “R". Entonces A tiene al menos un elemento
maximal y al menos un elemento minimal.

5. Elementos notables en un CPO
Demostración: Sea aЄA, si a no es maximal, es posible
encontrar bЄA tal que aRb. si b no es maximal, es posible
encontrar cЄA tal que bRc. Como A es un conjunto finito
podemos obtener una cadena de la forma aRbRcR...Rm.
Luego m es un elemento maximal.
Definición. A un elemento aЄA se le llama máximo de A, si
xRa para todo xЄA. A un elemento bЄA se le llama mínimo de
A, si bRx para todo xЄA. Es decir,
a es elemento máximo de A sí y sólo sí (" x)(xЄA Þ xRa)
b es elemento mínimo de A sí y sólo sí (" x)(xЄA Þ bRx).

6. Elementos notables en un CPO
Ejemplo: Sea S = {a,b,c} y sea A = P(S). Entonces el
conjunto vacío es el elemento mínimo de A y S es el
elemento máximo con el orden parcial “R".
Teorema: Un conjunto parcialmente ordenado tiene a
lo sumo un elemento máximo y uno mínimo.
Demostración: Supongamos que a y b son los
elementos máximos de un conjunto parcialmente
ordenado A. Entonces aRb puesto que b es máximo y
bRa porque a también e máximo. Por la propiedad
antisimétrica se concluye que a = b.

7. Elementos notables en un CPO
Definición: Sea (A, R ) un conjunto parcialmente ordenado y
BЄA. Un elemento aЄA se le llama cota superior de B si bRa
para todo bЄB. Un elemento cЄA se le llama cota inferior de
B si cRx para todo xЄB.
Ejemplo: Sea el conjunto parcialmente ordenado, A = {a,
b, c, d, e, f, g, h} cuyo diagrama de Hasse es:

8. Elementos notables en un CPO
• Hallar cotas superiores e inferiores de los siguientes
subconjuntos de A:
• B1 = {a, b} B2 = {c, d, e}
Solución: B1 no tiene cotas inferiores y sus cotas superiores
son c, d, e, f, g, h.
B2 tiene como cotas superiores a f, g y h y como cotas
inferiores c, a y b.
Definición. Sea (A, R) un conjunto parcialmente ordenado y
BЄA. Un elemento aЄA se le llama mínima cota superior de B
si a es una cota superior de B y se cumple que aRa1 siempre
que a1 sea una cota superior de B.

9. Elementos notables en un CPO
 De igual manera, a un elemento aЄA se le llama máxima cota inferior de B
si a es una cota inferior de B y se cumple que a1Ra siempre que a1 sea
una cota inferior de B.
 Ejemplo: Sea A, el conjunto parcialmente ordenado del ejemplo dado
anteriormente, con los subconjuntos B1 y B2 ya definidos. Halle la mínima
cota superior y la máxima cota inferior de B1 y B2.
 Solución: B1 no tiene cotas inferiores por lo tanto carece de máxima cota
inferior. La mínima cota superior de B1 es c.
 Observación: Puesto que las cotas inferiores de B2 son c, a y b entonces la
máxima cota inferior es c. Las cotas superiores de B2 son a f, g y h; pero f y
g no son comparables por lo tanto B2 no tiene mínima cota superior.

10. Elementos notables en un CPO
Teorema. Sea (A, R ) un conjunto parcialmente
ordenado. Entonces un subconjunto B de A tiene cuando
más una mínima cota superior y una máxima cota
inferior.

11. Reticulado
 Definición: Un reticulado o red es un conjunto parcialmente ordenado mediante
una relación de orden, en el cual cada subconjunto {a, b} de este, que consta de dos
elementos, tiene una mínima cota superior y una máxima cota inferior.
 Notación: Se escribirá la mínima cota superior del conjunto {a,b} como m.c.s({a,
b}) y se denotará por "a + b". Similarmente se escribirá la máxima cota inferior del
conjunto {a, b} como M.C.I({a, b}) y se denotará por "a. b".
 Ejemplo: Sea S un conjunto no vacío y sea L = P(S). Se sabe que la operación "Í "
define una relación de orden parcial en P(S). Acá se cumple que A + B (m.c.s({A,
B})) es la unión de A y B y A B (M.C.I({A, B})) es la intersección de A y B.
 Se concluye entonces que P(S) con el orden parcial definido por la relación "Í " es
un Reticulado.

12. Reticulado
Definición: Sea n un entero positivo y sea Dn el conjunto de
todos los divisores positivos de n. Entonces el conjunto Dn
ordenado por la relación de divisibilidad es un Reticulado.
Así, si n = 20 entonces D20 = {1, 2, 4, 5, 10, 20} y se cumple
que para cualesquiera a, bЄD20:
a + b = m.c.s({a, b}) es el mínimo común múltiplo de a y b.
a.b = M.C.I({a, b}) es el máximo común divisor de a y b.
A continuación se muestra el diagrama de Hasse asociado a
esta situación:

13. Reticulado
Ejemplo: El conjunto parcialmente ordenado representado por el
siguiente diagrama de Hasse no es un Reticulado.

14. Reticulado
El Diagrama dado anteriormente no es un Reticulado porque el
conjunto {f, g} no posee mínima cota superior, es decir f + g
no existe.
Definición. Sea (R, ≤ ) un reticulado. A un subconjunto no
vacío S, de L se le llama una subreticulado de L si se cumplen
las siguientes dos condiciones:
(a + b) Є S. a, bЄS.
a.b ЄS. a, bЄS.

15. Reticulado
 Ejemplo: Dado D20 = {1, 2, 4, 5, 10, 20} ordenado por la relación de divisibilidad,
entonces los siguientes conjuntos son subreticulados de D20.
D10 = {1, 2, 5, 10} ; D4 = {1, 2, 4}
Propiedades de los Reticulados.
1. a ≤ a + b; b ≤ a + b (por ser a + b una cota superior del conjunto {a, b}).
2. a ≤ c y b ≤ c si y sólo si a + b ≤ c (por ser a + b la mínima cota superior del
conjunto {a, b}).
3. a.b ≤ a; a.b ≤ b (por ser a.b cota inferior de {a, b}).
4. c ≤ a y c ≤ b sí y sólo si c ≤ a. b (por ser a.b la máxima cota interior de a y b).

16. Reticulado
Teorema. Sea R un Reticulado entonces para cualquiera a,bЄR se
cumple:
1. a + b = b sí y sólo sí a ≤ b.
2. a.b = a sí y sólo sí a ≤ b.
3. a.b = a sí y sólo sí a + b = b.
Demostración: (Apartado 1) Suponga que a + b = b; como a ≤ a
+ b se concluye que a ≤ b. Recíprocamente si a ≤ b, entonces como
b ≤ b se tiene que b es una cota superior de {a, b}. Por la definición
de mínima cota superior se tiene que a + b ≤ b. Como a + b es cota
superior, se cumple que b ≤ a + b. De acá se concluye que b = a +
b.

17. Reticulado
 Teorema. Sea R un Reticulado, entonces:
▫ Ley de Idempotencia.
a + a = a a.a = a.
▫ Ley conmutativa.
a + b = b + a a.b = b.a.
▫ Ley asociativa.
a + (b + c) = (a + b) + c a(b.c) = (a.b)c.
▫ Ley de absorción.
a + a.b = a a(a + b) = a.
 Demostración : (Apartado 4.) Se tiene que a · b ≤ a por ser a.b cota inferior; y como
a ≤ a se tiene entonces que a es una cota superior de a.b y a. Como la mínima cota
superior de los elementos a.b y a es a + a.b, se concluye entonces que a + a.b ≤ a. De la
definición de mínima cota superior, se tiene que a £ a + a.b Por lo tanto, a = a + ab.

18. Reticulado
Teorema. Sea R un Reticulado. Entonces para cada a, b y c en R
no cumple:
1. Sí a ≤ b entonces a + c ≤ b + c a.c ≤ b.c.
2. Sí a ≤ b y c ≤ d entonces a + c ≤ b + d a.c ≤ b.d.
Tipos especiales de Reticulados.
Definición. Un Reticulado R se llama acotado si tiene un
elemento máximo y un elemento mínimo. El elemento máximo
se denotará 1 y el elemento mínimo 0.
Definición. Un Reticulado R, se llama distributivo si para todo
a, b y c Є R, se cumple:
- a + (b.c) = (a + b)(a + c).
- a(b + c) = (ab) + (a.c).

19. Reticulado
Ejemplo: El conjunto potencia de S, P(S) ordenado por
la relación “ Inclusión " es un reticulado distributiva ya
que las operaciones de unión o intersección distribuyen
la una respecto a la otra.
Ejemplo: Muestre que el reticulado cuyo diagrama de
Hasse se muestra, no es un Reticulado distributivo.

20. Reticulado
Solución: Del diagrama de Hasse se puede afirmar:
b + c = 1
a(b + c) = a 1 = a tenemos que a (b + c) = a (1)
Mientras que:
a b = b
a c = 0
entonces,
ab + ac = b + o = b (2)
De (1) y (2) se concluye que:
a(b + c) ¹ ab + a c

21. Reticulado
Definición. Sea R un Reticulado acotada con un elemento
máximo 1 y un elemento mínimo 0, y sea a Є L. A un elemento
a’ Є L se le llama complemento de a si cumple las siguientes
dos condiciones:
a + a’ = 1.
a a’ = 0.
Definición. Un Reticulado R se llama complementado sí es
acotado y si cada elemento en R tiene un complemento.
Teorema. Sea R un Reticulado distributivo complementado.
Entonces para cada a Є L se cumple que a’ es único.

22. Reticulado
• Demostración: Suponga que a’ y a" son los complementos de a,
entonces:
a + a’ =1 a + a" =1
a a" = 0 a a’’ = 0
Usando las leyes distributivas se tiene:
a’ = a’ + 0 = a’ + (a a’’) = (a + a’)( a’ + a’')
= (a’ + a)( a’ + a’')
= 1 ( a’ + a’')
= a’ + a’'
a’’ = a’’ + 0 = a’’ + (a a’) = (a’’ + a)( a’’ + a’)
= (a + a")( a’ + a’')
= 1 ( a’ + a’')
= a’ + a’'
Se concluye entonces que a’ = a" y el complemento de a es único.

23. Gracias por su Atención