Relaciones de orden y equivalencia. Walter Scarsella. Asignatura: Estructuras discretas

1. Relaciones de Equivalencia y
Relaciones de Orden
Alumno: Walter Alejandro Scarsella Paz
Curso: Estructuras Discretas
UFT

2. Relaciones de Equivalencia
• Una relación R en A, es una relación de equivalencia, si R es reflexiva,
simétrica y transitiva (RST).
• Se define clase de equivalencia del elemento a, como:
[a] = {x  A / x R a}
[a] = {Los vértices desde donde se llega a a, en un solo paso}
• El conjunto de todas las clases de equivalencia de A, es el conjunto A/R,
denominado el conjunto cociente:
A/R = {[a] / a A }
• Ejm.: A={0,1,2,3,4,5,6}
R={(x,y)  A*A / (x-y) es divisible por 3}
R= {(0,0), (0,3), (0,6), (1,1), (1,4), (2,2), (2,5), (3,0), (3,3), (3,6),
(4,1),(4,4), (5,2), (5,5), (6,0), (6,3), (6,6)}

3. Relaciones de Equivalencia
• R={(x,y)  A*A / (x-y) es divisible por 3}
El gráfico de R será:
2 5
0
6
3
1 4
[0]={x  A / (x-0) es divisible por 3}={0,3,6}
[1]={x  A / (x-1) es divisible por 3}={1,4}
[2]={x  A / (x-2) es divisible por 3}={2,5}
[3]={x  A / (x-3) es divisible por 3}={0,3,6}=[0]
[4]={1,4} = [1]
[5]={2,5} = [2]
[6]= [3] = [0]
A/R = {[0], [1], [2]} = {{0,3,6},{1,4},{2,5}}= CONJUNTO COCIENTE
Observar los 3 grupos que se
forman, en cada uno de ellos,
los elementos están totalmente
relacionados.
Estos grupos se denominan
“bloques de partición”, aquí
hay 3 bloques de partición:
{0,3,6},{1,4} y {2,5}

4. Relaciones de Equivalencia
• Teorema: Sea R una relación de equivalencia en A, con a, b  A, entonces:
• [a] = [b] ↔ a R b
• [a] ≠ [b] ↔ [a][b] = Ø
• Partición: Una partición de un conjunto no vacío A, es una colección
P= {A1, A2, ..An}, de subconjuntos no vacíos de A, tales que:
• AiAj = Ø , si i ≠ j
• A1A2 …An = A
Los subconjuntos Ai, son llamados bloques de partición.
• Teorema:
Concordancia entre Relaciones de equivalencia y Particiones
• Dada una relación de equivalencia R en A, entonces,
el conjunto cociente A/R es una partición de A.
• Dada una partición P de A, entonces se puede formar
una relación de equivalencia R, definida por:
x R y ↔ Ai P, tal que: xAi  yAi

5. Relaciones de Orden
• Una relación R en A, es de orden parcial, si R es reflexiva,
antisimétrica y transitiva (RAT).
• Se dice entonces que, el conjunto A es un conjunto
parcialmente ordenado, y se denota por:
(A,R) ó (A, ≤) ó A (Observar que ≤ es lo mismo que R)
• R-1 también es un orden parcial llamado el dual del orden
parcial R
• Si a y b son elementos de (A, ≤), se dice que:
• a < b si (a ≤ b y a ≠ b)
• a y b son comparables si: a ≤ b ó b ≤ a
• Si cada par de elementos de A son comparables, entonces, A es
un conjunto totalmente ordenado.

6. Relaciones de Orden
• Ejm.: A es el conjunto de todos los subconjuntos del conjunto S
≠ Ø , la relación R de inclusión de conjuntos,  es una relación
de orden parcial:
Obsérvese que la
relación R es reflexiva,
antisimétrica y transitiva
En el gráfico, R es lo mismo que ≤ , y lo mismo que 
Se dice que {1} < {1,2}, ya que {1} ≤ {1,2} y {1} ≠ {1,2}
{1}y{2} no son comparables, pues ni {1} ≤{2} ni {1}≤{2},
luego, A no es un conjunto totalmente ordenado (orden total).
Ejm: S= {1,2} A={Ø, {1}, {2}, {1,2}}
Ø
{1}
{2}
{1,2}

7. Relaciones de Orden
• Ejm.: Sea A= Z+ , y sea R la relación ≤ :
a ≤ b ↔ (b-a) es un número natural
• Obsérvese que cualquier par de números a y b, cumplen, o
bien a ≤ b o bien b ≤ a
• Luego cada par de números a y b son comparables, por lo
tanto, esta relación es un orden total, o A es un conjunto
totalmente ordenado.
• La relación de divisibilidad R, definida por:
a R b ↔ a | b ↔ a es divisor de b
• R si es una relación de orden (reflexiva antisimetrica y
transitiva). Es una relación de orden parcial.
• R no es un orden total, ya que no todas las parejas de
números son comparables, por ejemplo, 3 y 4 no son
comparables, ya que no cumplen ni 3 | 4 , ni 4 | 3
• El dual de R (es divisor de), R-1 (es múltiplo de) también es
un orden parcial


8. Diagramas de Hasse
• Son diagramas simplificados para los órdenes parciales.
• Se obtiene a partir de los digrafos:
• Borrando los lazos
• Borrando las aristas implicadas por la propiedad transitiva
• Se dibujan las aristas apuntando hacia arriba (se omiten las flechas)
• Los círculos de los nodos ahora son puntos
• Ejm: Sea A= D6 = conjunto de divisores positivos de 6 = {1,2,3,6}
• Sea R la relación de divisibilidad en D6

1
2 3
6
6
2 3
1

9. Diagramas de Hasse
• Ejm: Sea A= D18 = conjunto de
divisores positivos de 18 =
{1,2,3,6,9,18}
Sea R = | , la relación de
divisibilidad en D18
Ejm: Sea A= {1,2,3,4,5}
Sea R = ≤
a ≤ b ↔ (b-a) es un número natural
1
2
3
4
5
Obsérvese que R es un orden total
32
6
1
9
18
≡
32
9 6
18
1

10. Diagramas de Hasse
• Ejm: (A, | )
A= D30 = {1,2,3,5,6,10,15,30}
2
1
3
10 156
5
30
Ejm: (A, | )
A= D24 = {1,2,3,4,6,8,12,24}
2
1
3
128
64
24

11. Orden parcial producto
• Sean (A1, ≤1) y (A2, ≤2) 2 conjuntos parcialmente ordenados, entonces:
• (A1x A2 , ≤ ) es un conjunto parcialmente ordenado, ≤ es el orden parcial
producto, y : (a1,a2) ≤ (b1,b2)  (a1 ≤1 b1) y (a2 ≤2 b2)
• Por ejm.:
(a,2)
(a,1)
(a,3)
(b,2) (b,3)(a,4)
(b,1)
(b,4)
1
2
A1
a
b
A2
(1,a)
(1,b)(2,a)
(2,b)
A1x A2
a
b
A1 32
4
1
A2 A1x A2

12. Puntos extremos
Sea (A, ≤ ) un conjunto parcialmente ordenado:
Maximal y minimal de A:
a A es un elemento maximal de A, si no hay c A / a < c
{No existe un c  A , mayor que a}
a A es un elemento minimal de A, si no hay c A / c < a
{No existe un c  A , menor que a}
Teorema: Todo conjunto parcialmente ordenado no vacío y finito, tiene al menos un
maximal y al menos un minimal.
Máximo y mínimo de A:
a A es el máximo de A, si: ( x ≤ a x A)
a A es el mínimo de A, si: ( a ≤ x x A)
Teorema: Todo conjunto parcialmente ordenado, tiene a lo mucho un máximo, y a
lo mucho un mínimo.
Si existe máximo se denota por I (elemento unidad)
Si existe mínimo se denota por 0 (elemento cero)
Cota superior e inferior: Dado (A, ≤ ), y dado B, un subconjunto de A:
a A es una cota superior de B, si: x ≤ a x B
a A es una cota inferior de B, si: a ≤ x x B


13. Puntos extremos
Supremo e ínfimo: Dado (A, ≤ ), y dado B, un subconjunto de A:
a A es el supremo de B (mínima cota superior de B), si:
siendo a una cota superior de B, y
siendo c una cota superior de B,
entonces: a ≤ c
a A es el ínfimo de B (máxima cota inferior de B), si:
siendo a una cota inferior de B, y
siendo c una cota inferior de B,
entonces: c ≤ a
Teorema: B tiene a lo mucho un supremo, y a lo mucho un ínfimo.
Ejm: a
f
cb
d e
hg
maximal de A: a
minimal de A: g, h
máximo de A: a
mínimo de A: No existe
Siendo B= {c,d,e} :
cota superior: c,a
cota inferior: g
supremo: c
ínfimo: g
Hallar con B={b,c}, luego con B={c,f} y con B={b,c,d}

14. Puntos extremos
maximal de A: a, d
minimal de A: h, j
máximo de A: No existe
mínimo de A: No existe
Siendo B= {b, c,
f} :
cota superior: a
cota inferior: f, h
supremo: a
ínfimo: f
Ejm:
a
f
cb d
e
h
g
i
j
Siendo B= {c, f, g} :
cota superior: c, a
cota inferior: No hay
supremo: c
ínfimo: No hay
Siendo B= {e, f} :
cota superior:
b,c,a
cota inferior: h
supremo: No hay
ínfimo: h