Tema_1.2_CONJUNTOS.pdf

ALGEBRA
CONJUNTOS
ÁREA DE ALGEBRA
DEPARTAMENTO DE CIENCIAS EXACTAS

CURSO DE NIVELACIÓN POR CARRERAS
1
Tema # 2
Índice Pág.
2.1. Notación de conjuntos 2
2.2. Conjuntos 5
2.3. Operaciones con conjuntos 16
Recursos complementarios 36
Bibliografía 38
Actividad de aprendizaje autónomo 39

2
Tema # 2
2.1. Notación y determinación de conjuntos
Así como en la Geometría las ideas de Punto, Recta y Plano son conceptos básicos que se
admiten sin definición; las ideas de Conjunto, Elemento y Pertenencia son, también, ideas no
susceptibles de definición.
Conjunto: Intuitivamente un conjunto es la reunión, colección o agrupación de objetos reales o
ideales, a estos objetos se les denominan elementos ó miembros del conjunto, y de ellos se dice
que pertenecen al conjunto.
Notación: Para denotar a los conjuntos se usan letras mayúsculas: A, B, C, X, etc. y para
representar a sus elementos se usan letras minúsculas: a, b, c, etc.
Relación de Pertenencia: Si un objeto “x” es elemento de un conjunto A, se dice que “x pertenece
al conjunto A” ó que “x está en A”, y se denota por: x  A. En caso contrario, “x no pertenece a A”
y se denota por: x  A.
Ejemplo: Si A es el conjunto formado por: 8, -2, 6, {0,1}, 3 y 1; y B es el conjunto constituido
por: 0 y 1; escribimos:
A = {8, -2, 6, { 0, 1 }, 3 , 1 }; B = { 0, 1 }.
En este caso:
8  A...( V ) -2  A...( V )
6  A...( V ) 1  A  1  B...( V )
0  A...( V ) 3  B...( V )
{ 0, 1}  A...( V ) { { 0, 1} }  A...( V )

3
Tema # 2
Se observa, además, que el conjunto B pertenece al conjunto A.
DETERMINACIÓN DE CONJUNTOS
POR EXTENSIÓN O EN FORMA TABULAR
Cuando se indica explícitamente cada uno de los elementos del conjunto.
Ejemplo:
A = {2, 3, 5, 7, 11} B = {1, 4, 9, 16, 25}
C = {a, e, i, o, u}
POR COMPRENSIÓN O EN FORMA CONSTRUCTIVA
Cuando los elementos del conjunto son caracterizados mediante una propiedad común.
Ejemplo:
A = {p / p es un número primo  p  12}
B = {x2
/ x  Z+
 x  5}
C = {x / x es una vocal}
Esquema general:
Conjunto =














)
(Pr
elemento
opiedadaes
ticas
Caracteris
del
Forma

4
Tema # 2
Ejemplo:
T = {x / x es un pronombre personal en Inglés}
DIAGRAMAS DE VENN-EULER
Para representar gráficamente a los conjuntos se usan los Diagramas de Venn-Euler que son
regiones planas limitadas por figuras geométricas cerradas, como se ilustra a continuación con
los conjuntos A y B del ejemplo dado anteriormente.
7  A  7  B (V)
9  B → 0  B (V)
{ 0, 1 }  B  -2  A (V)
{ 1 }  B  { 0, 1 }  A (V)

5
Tema # 2
2.2. Conjuntos
Clasificación de Conjuntos
Existen varias clasificaciones de conjuntos; pero en este caso se ha tomado la siguiente
clasificación:
POR LA RELACIÓN ENTRE LOS ELEMENTOS
CONJUNTOS INTERSECANTES o SOLAPADOS
Se dice que los conjuntos A y B son disjuntos cuando no poseen elementos comunes
Simbólicamente: A y B son solapados   x / x  A  x  B
Ejemplo. Siendo: A = {1, 2, 5, 8, 10} y B = {1, 3, 5, 6, 15}.  A y B son disjuntos
Gráficamente:
CONJUNTOS DISJUNTOS
Se dice que los conjuntos A y B son disjuntos cuando no poseen elementos comunes

6
Tema # 2
Simbólicamente: A y B son disjuntos   x / x  A  x  B
Ejemplo. Siendo: A = {2, 3, 4} y B = {5, 6, 7}.  A y B son disjuntos
Gráficamente:
CONJUNTOS EQUIPOTENTES O COORDINABLES.
Para hablar de estos conjuntos de alguna forma, el proceso de contar sus elementos siempre
termina. Dos conjuntos son equipotentes o coordinables cuando el número de sus elementos son
iguales.
Ejemplo. Siendo: A = { 10, 11, 12 }
B = { m, n, p }
 A y B son equipotentes.
Simbólicamente: A ‹ › B  n( A ) = n( B )

7
Tema # 2
POR EL NUMERO DE ELEMENTOS
CONJUNTO FINITO
Un conjunto es finito cuando posee una cantidad limitada de elementos, es decir el proceso de
contar sus elementos termina en algún momento.
Ejemplo
:
A = {x / x es un hablante nativo de Quechua}
B = {x / x es un mes del año}
CONJUNTO INFINITO
Un conjunto es infinito cuando tiene una cantidad ilimitada de elementos diferentes, es decir el
proceso de contar sus elementos nunca termina.
Ejemplo :
A = {p / p es un número primo}
B = {x / x  R  8  x  9}
C = {x / x es una estrella de universo}
CONJUNTO NULO O VACIO
Es aquel conjunto que carece de elementos.

8
Tema # 2
Ejemplo
:
A = { x / x es el actual Virrey del Perú }
B = { x / x  N  7  x  8 }
Notación:  = { } = 
 x
x
x 
/ .
A = B =  = { }.
CONJUNTO UNITARIO O SINGLETON
Es el conjunto que tiene un sólo elemento.
Ejemplo: A = {x / x  Z  10  x  12} = {11}
B = {2, 2, 2, 2, 2, ..........., 2.} = {2}
CONJUNTO UNIVERSO
Es un conjunto referencial para el estudio de una situación particular que contiene a todos los
conjuntos considerados. No existe un conjunto universo absoluto.
Ejemplo:
A = {1, 2, 3}; B = {2, 4, 6, 8}
Pueden ser conjuntos universales: U = {1, 2, 3, 4, 5, 6, .............}
U = {x / x  N}

9
Tema # 2
Gráficamente el conjunto universo se representa generalmente mediante un rectángulo.
Relaciones entre conjuntos
Entre dos conjuntos cualesquiera se pueden establecer las siguientes relaciones:
RELACIÓN DE INCLUSIÓN: 
Se dice que un conjunto A está incluido, contenido ó es un subconjunto del conjunto B, si todo
elemento de A es también elemento de B. Se denota por: A  B.
Es decir: A  B  [  x  A / x  A  x  B ].
Se lee: “A es subconjunto de B si y sólo si todo x de A es tal que si x  A entonces x B”.
Observación: A partir de la definición, basta que un sólo elemento de A no pertenezca B para
asegurar que A no está incluido o contenido en B; en tal caso se denota por:
A  B.
Ejemplo. Si A = { q, s }

10
Tema # 2
B = { p, q, r, s }
 A  B
Observación: Si un conjunto tiene “n” elementos entonces tiene: 2n
subconjuntos
Ejemplo. Si B = { a, b }  Los subconjuntos de B son: , { a }, { b }, { a, b }.
 Numero de subconjuntos de B es: 22
= 4.
Ejemplo. Siendo B = { 3, { 3 }, { 4 }, { { 4 } } }.
Dar el valor de verdad a las siguientes proposiciones:
- { 3 }  B …………. (V)
- { 3 }  B …………. (V)
- { { 3 } }  B …………. (V)
- { { { 4 } } }  B …………. (V)
- { { 4 } }  B …………. (V)
- 7  B …………. (F)
- 7  B …………. (F)

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Tema # 2
Gráficamente se representa:
Ejemplo: Demostrar que la proposición A  B, equivale a demostrar que:
“Existe al menos un x  A tal que x  B”.
En efecto, la proposición: A  B equivale a decir: “No es cierto que A está contenido en B”; esto
es:
A  B  ~ [ A  B ]
 ~ [ x  A / x  A  x  B ] Definición
  x  A / ~ ( x  A  x  B ) Aplicando la negación
  x  A / x  A   ( x  B ) ] Ley de p  q
  x  A / [ x  A  x  B ] Negación
 A  B   x  A / (x  A  x  B )
Propiedades de la Inclusión.
La relación de Inclusión entre conjuntos goza de las siguientes propiedades:

12
Tema # 2
Reflexiva: A  A,  conjunto A.
Antisimétrica: Si A  B y B  A entonces A = B. (*)
Transitiva: Si A  B y B  C entonces A  C.
 A,   A.
(*) Corresponde a la definición de Conjuntos Iguales, que se verá a continuación.
IGUALDAD DE CONJUNTOS (=)
Los conjuntos A y B son iguales si y sólo si tienen exactamente los mismos elementos. Se denota
por: A = B  [(A  B)  (B  A)]. En caso contrario se escribe A  B.
Nota: La definición establece la necesidad de demostrar la doble inclusión a fin de demostrar la
igualdad de dos conjuntos.
Ejemplo. Establecer si los siguientes conjuntos son iguales:
A = { 1, -2, 6 }, B = { 1, -2, 6, 1, 6 }.
Se verifica que A = B pues todo elemento de B es también elemento de A, B  A; y todo elemento
de A es elemento de B, A  B.
Observación.Del ejemplo se concluye que un conjunto no varía si sus elementos repetidos se
escriben una sola vez, en este caso { 1, -2, 6, 1, 6 } = { 1, -2, 6 }.
Propiedades de la Igualdad

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Tema # 2
Reflexiva: A = A,  A.
Simétrica: A = B  B = A.
Transitiva: A = B  B = C  A = C.
Ejemplo. Dados los conjuntos: A = { x / x  Z  x + 3 = x2
– 9 } y B = { -3, 4 }.
De A : x + 3 = x2
- 9
x2
– x –12 = 0
x -4
x 3
( x – 4 )( x + 3 ) = 0
x = -3 ó 4
A = B
EQUIVALENCIA DE CONJUNTOS
CONJUNTOS COMPARABLES.

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Tema # 2
Los conjuntos A y B son comparables si: A  B ó B  A.
Si A  B ó B  A se dice que A y B son no comparables.
CONJUNTOS DIFERENTES ()
Dos conjuntos son diferentes si uno de ellos tiene por lo menos un elemento que no posee el otro.
Se define: A  B  A  B  B  A
Ejemplo. Dados: A = { x / ( x – 1 )( x – 2 )( x – 3 ) x = 0 } y B = { 0, 1, 2, 3, 4 }
De A: ( x – 1 )( x – 2 )( x – 3 ) x = 0 x = 0; 1; 2; 3
 A  B.
SUBCONJUNTO PROPIO.
Se dice que el conjunto A es un subconjunto propio del conjunto B, si A  B  A  B. En otras
palabras, A es subconjunto propio de B, si A  B  B tiene uno ó más elementos que no
pertenecen a A.
Gráficamente,

15
Tema # 2
CONJUNTOS NUMÉRICOS
Son típicos en matemática los siguientes conjuntos numéricos:
 
 
 
 
1
1
,
exp
0
,
....
,
3
,
2
,
1
,
0
,
1
,
2
,
3
...,
....
,
4
,
3
,
2
,
1
,
0
2
'
'
−
=

=
−



+
=


=

=









=
−
−
−
=
=
i
i
y
x
iy
x
C
Q
Q
Z
fracción
de
forma
en
resarse
pueden
no
que
decimales
Q
d
Z
d
n
d
n
Q
Z
N
DIAGRAMAS LINEALES
Son representaciones graficas que sirven para indicar relaciones de inclusión entre conjuntos
Si : A  B  A = B  A B
PROPIEDAD: N  Z  Q  R  C

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Tema # 2
2.3. Operaciones con Conjuntos
Entre conjuntos se pueden realizar las siguientes operaciones: Unión, Intersección y
Diferencia.
UNIÓN DE CONJUNTOS
La Unión de los conjuntos A y B es otro conjunto, denotado por A  B formado por todos los
elementos que pertenecen a A, a B ó a ambos.
A  B = { x / x  A  x  B}
Para representar gráficamente A  B, se tendrá presente las relaciones entre los conjuntos dados
en cada caso particular.
Solapados Subconjuntos Disjuntos
Observación.De la definición se deduce que A  (A  B) y B  (A  B).
Ejemplo. Si A = { 2, 3, 4, 5, 6, 7 }, B = { 3, 4, 5, 6 }, C = { 2, 3, 6, 8, 10 }.
Hallar (a) A  B (b) B  C. Representar gráficamente cada caso.

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Tema # 2
Solución.
A  B = { x / x  A  x  B } = { 2, 3, 4, 5, 6, 7 }
B  C = { x / x  B  x  C} = { 3, 4, 5, 6, 2, 8, 10 }
Se observa que B  A, y que B y C son no comparables con algún elemento común, luego se
tiene:
Ejemplo. Sea A = {x  R / x2
– 1 = 0}, B = {x  R / x2
+ 3 = 0} y M = R.
Hallar (a) A  B (b) M  B (c) A  M
Solución.
A = {-1, 1 }, B = , M = R;
Luego: A  B = A   = { x / x  A  x   } pero no existe x  .

18
Tema # 2
Entonces:
a. A  B = {-1, 1}, es decir A   = A,  A.
b. M  B = R
c. A  M = { x / x  A  x  M } } = R.
INTERSECCIÓN DE CONJUNTOS
La Intersección de los conjuntos A y B es el conjunto denotado con A  B formado por los
elementos comunes a ambos conjuntos. Es decir,
A  B = { x / x  A  x  B }
Gráficamente.
Nota: ( A  B )  A y ( A  B )  B
Conjuntos Disjuntos: A y B son disjuntos si A  B = .
Ejemplo. Siendo A = { 2, 4, a }, B = { a, b, c, d }, C = { b, c }. Hallar
a. A  B, b. B  C c. A  C

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Tema # 2
Representar gráficamente cada caso.
Solución.
A  B = { x / { x / x  A  x  B } = { a }
B  C = { x / x  B  x  C } = { b, c }
A  C = { x / x  A  x  C } = 
Tenemos:
A  B, B  C A  B
Nota. Si X  Y, entonces X  Y = X.
DIFERENCIA DE CONJUNTOS
La Diferencia de los conjuntos A y B, en ese orden, denotado por A – B, es el conjunto formado
por todos los elementos de A que no pertenecen a B. Es decir,
A – B = { x / x  A  x  B }
Se lee: “A diferencia B” ó “A menos B”

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Tema # 2
Gráficamente:
A partir de la definición se deduce que:
A – B  B – A b. A – A =  c. A – B = A  B´
COMPLEMENTO DE UN CONJUNTO.
El complemento del conjunto A respecto al conjunto universal U, es el conjunto A’ formado por
todos los elementos de U que no están en A. Es decir,
Ac
= A’ = {x / x  U  x  A}
En otras palabras, el complemento de A es el conjunto formado por los x  A, esto es:
A’ = U – A.
Gráficamente:

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Tema # 2
Otras notaciones: AC
ó A’.
Observaciones: A  A’ = U
A  A’ = 
A – B = A  B’
Ejemplo. Hallar AC
, si A = {x / x  Z, x es impar}.
Solución: AC
= {x / x  U  x  A}
Siendo: U = Z
A´ = { x / x  Z, x es par .}
DIFERENCIA SIMÉTRICA DE CONJUNTOS.
La Diferencia Simétrica de los conjuntos A y B, denotado por A  B, es el conjunto formado por
todos los elementos que pertenecen solamente a A ó solamente a B, es decir:
A  B = (A – B)  (B – A)
Gráficamente:

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Tema # 2
Ejemplo. Si A = {2, 3, 4, 5, 6, 7}, B = {1, 4, 6, 7, 9} y C = { 1, 9 }.
Hallar: a. A  B b. B  C c. A  C
Solución.
A  B = (A – B)  (B – A), donde:
A – B = { x / x  A  x  B } = { 2, 3, 5 }
B – A = { x / x  B  x  A } = { 1, 9 }
Entonces A  B = { 2, 3, 5, 1, 9 }.
B  C = ( B – C ) U  = B – C;
Es decir: B  C = {x /x  B  x  C }={4, 6, 7}
C – B = {x / x  C  x  B} = x   pues C  B.
Luego, B  C = ( B – C )   = B – C,
Es decir: B  C = { 4, 6, 7 }.

23
Tema # 2
Análogamente, siendo A y C conjuntos disjuntos:
A  C = {2, 3, 4, 5, 6, 7, 1, 9}
Gráficamente, A  B
Observaciones
1. Si C  B entonces B  C es el complemento de C con respecto a B.
2. Si A y B son conjuntos disjuntos entonces A  B = A  B.
3. A  B = (A  B) - (A  B).
LEYES DEL ÁLGEBRA DE CONJUNTOS
Las definiciones de las operaciones con conjuntos, son:
A  B   x  A / x  A  x  B
A = B  A  B  B  A
A  B = { x / x  A  x  B }
A  B = { x / x  A  x  B }

24
Tema # 2
A – B = { x / x  A  x  B } ó A – B = A  B’
A  B = ( A – B )  ( B – A )
A’ = { x / x  U  x  A} ó A’ = { x / x  A }
A continuación se presentan las Propiedades de las Operaciones con conjuntos, y se demuestran
algunas de ellas.
Idempotencia A  A = A
A  A = A
Conmutativa A  B = B  A
A  B = B  A
Asociativa A  ( B  C ) = ( A  B )  C
A  ( B  C ) = ( A  B )  C
Distributiva A  ( B  C ) = ( A  B )  ( A  C )
A  ( B  C ) = ( A  B )  ( A  C )
Identidad A   = A
A   = 
A  U = U
A  U = A
Complemento A  Ac
= U
A  Ac
= 

25
Tema # 2
( Ac
)c
= A
U c
=  , c
= U
Leyes de D' Morgan ( A  B )' = A'  B'
( A  B )' = A'  B'
Leyes de Absorción A  ( A  B ) = A
A  ( A  B ) = A
Por definición A – B = A  B’
A  B = (A – B)  (B – A)
A  B = (A  B) - (A  B)
A – ( B  C) = (A – B)  (A – C)
A – ( B  C) = (A – B)  (A – C)
Ejemplos:
1.- Mostrar que los siguientes conjuntos son vacíos:
(A U B)c  (C U B c) c = 
( A c
 B c
)  ( C c
 ( B c
) c
) Ley de De Morgan
( A c
 B c
)  ( C c
 B ) Complemento
A c
 B c
 C c
 B Asociatividad
A c
 C c
 B  B c
Conmutatividad
A c
 C c
 ( B  B c
) Asociatividad
( A c
 C c
)   Complemento

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Tema # 2
 Identidad
2.- Demostrar que:
(A − C ) U ( B − C) = (A U B) − C
(A  C c
) U (B  C c
) = Definición
(A U B)  C c
= Distribución
(A U B) − C  (A U B) − C Definición
CONJUNTO POTENCIA o CONJUNTO DE PARTES
Definición. El Conjunto Potencia de un conjunto A, denotado por P (A), es el conjunto formado
por todos los subconjuntos de A. Es decir:
P(A) = {x / x  A}
Nota. 1) X  P (A)  X  A.
2) A  P (A),   P (A); pues: A  A ,   A.
Ejemplos
1. Si A = {1, 2, 3}, entonces {1}  A, {2}  A, etc.
Entonces: P (A) = {  , { 1 } , { 2 } , { 3 } , { 1, 2 } , { 1, 3 } , { 2, 3 } , A }.

27
Tema # 2
2. P () = {  }.
3. A = {x / x – 4 = 0}  P (A) = {  , A }.
4. Dado el siguiente conjunto:
A = { , {  }, { {  } }, { { {  } } } }
Determinar el valor de verdad de cada proposición.
  A ......... ( V )
  A ......... ( V )
{ {  } }  A ......... ( V )
{ {  } }  A ......... ( V )
{ {  } }  P (A) ......... ( V )
{ { {  } } }  P (A) ......... ( V )
{ { { {  } } } }  P (A) ......... ( V )
Propiedades del P (A):
A  B  P (A)  P (B).
A = B  P (A) = P (B).
[P (A)  P (B) ]  P (A B).
P (A  B) = P (A)  P (B).

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Tema # 2
NÚMERO DE ELEMENTOS o NÚMERO CARDINAL DE UN CONJUNTO
Naturalmente que la idea del número de elementos de un conjunto finito cualesquiera, es primitiva
por lo que se admite como la cantidad de elementos que hay en un conjunto.
Se denota por, n( A ) = Card (A).
Nota. ( A ) también se llama número cardinal del conjunto A.
Ejemplo. Si A = {a,b,c} y B = {1,-3,5,{3},2}, entonces
n(A)= 3, n(B)= 5, n[P(A)] = 23
= 8, n[P(B)] = 25
= 32.
Propiedades:
1) Si A y B son conjuntos finitos disjuntos, entonces:
n(A  B) = n( A ) + n( B ), si A  B = 
2) Si A y B son conjuntos finitos arbitrarios, no necesariamente disjuntos, expresamos:

29
Tema # 2
n(A – B) = n(A) + n(A  B) o n(A) = n(A – B) + n(A  B)
3) Si A y B son conjuntos finitos arbitrarios, no necesariamente disjuntos, entonces:
n(A  B) = n(A) + n(B) – n(AB)
4) Si A, B y C son conjuntos finitos tales que: A  B  C   entonces:
n(A  B  C) = n(A) + n(B) + n(C)– n(AB) – n(AC) – n(BC) + n(A  B  C).
Problemas de Aplicación
Para cualquier problema de aplicación, es necesario seguir los siguientes pasos:
1. Identificar todos los conjuntos que se involucran en el problema
2. Analizar cuál sería el conjunto universo
3. Identificar las relaciones que guardan cada conjunto con otro
4. Realizar un diagrama de Venn y ubicar los elementos comunes entre los conjuntos
5. Realizar un análisis de las condiciones del problema e ir completando los datos faltantes.

30
Tema # 2
Ejemplo 1: En una escuela de educación básica existe 27 profesores, 16 son profesores de
materias generales (PG), 8 son profesores de artes (PA), 9 enseñan inglés (PI), 4 imparten
materias generales y arte, pero ningún docente enseña materias generales e inglés.
¿Cuántos profesores enseñan artes e inglés?
¿Cuántos únicamente enseñan inglés?
Solución:
n(U) = 27, 𝑛(𝑃𝐺) = 16, 𝑛(𝑃𝐴) = 8, 𝑛(𝑃𝐼) = 9
12
U
4
4 - x
9-x
x
PG PA PI
Se sabe que el universo se conforma por 27 personas y de la figura se obtiene:
27 = 12 + 4 + (4 − 𝑥) + 𝑥 + (9 − 𝑥)
27 = 29 − 𝑥
𝑥 = 29 − 27
𝑥 = 2
Son dos profesores los que enseñan artes e inglés.
Solamente siete profesores enseñan inglés.

31
Tema # 2
Ejemplo 2: En una encuesta realizada a un grupo de 200 estudiantes de bachillerato, dieron
como resultado los siguientes datos sobre de las preferencias acerca de las carreras que
desearían estudiar en la universidad: Educación Infantil (EI) 56, Turismo (T) 60, Idiomas (I) 84,
Educación Infantil y Turismo 16, Educación Infantil e Idiomas 20, Turismo e Idiomas 10. Además,
se sabe que 6 personas desearían estudiar cualquiera de las tres carreras.
¿Cuántos estudiantes no desean estudiar ninguna carrera?
¿Cuántos estudiantes desean únicamente estudiar Idiomas?
Solución
n(U) = 200, 𝑛(𝐸𝐼) = 56, 𝑛(𝑇) = 60, 𝑛(𝐼) = 84
40
U
10
26
60
14
T
EI
I
6
4
Se sabe que el universo se conforma por 200 estudiantes y de la figura, se obtiene:
𝐸 = 𝐸𝐼 ∪ 𝑇 ∪ 𝐼
𝑛(𝐸) = 26 + 10 + 6 + 14 + 40 + 4 + 60
𝑛(𝐸) = 160
𝑛(𝐸′) = 40
40 estudiantes no desean estudiar una carrera universitaria.
60 estudiantes sólo desean estudiar Idiomas.

32
Tema # 2
Ejemplo 3: De un grupo de 100 alumnos: 49 no hablan Inglés, 53 no hablan Francés y 27 no
hablan Inglés ni Francés. ¿Cuántos alumnos hablan uno de los idiomas?
Solución:
Hablan Inglés = I Hablan Francés = F
n( I ’ ) = 49  n( I ) = 51,
n( F ’ ) = 53  n( F ) = 47.
Gráficamente:
Por dato:
a + 27 = 49  a = 22,
b + 27 = 53  b = 26.
Luego:
a + c = 48.
Ejemplo 4: Un alumno de la facultad, efectúa una encuesta sobre un grupo de 100 estudiantes,
acerca de los hábitos de estudio en la Biblioteca de Ingeniería y aporta los siguientes datos:

33
Tema # 2
Estudian trigonometría: 40
Estudian álgebra: 55
Estudian geometría: 55
Estudian trigonometría y álgebra: 15
Estudian trigonometría y geometría: 20
Estudian álgebra y geometría: 30
Estudian las tres materias: 10
No van a la biblioteca: 05
¿Puede asegurarse que la encuesta realizada es correcta?
Desarrollo:
Sean T = {x/x estudia trigonometría}
A = {x/x estudia álgebra}
G = {x/x estudia geometría}
Observación: Para desarrollar esta clase de ejercicios se recomienda:
A) “Dibujar” el diagrama de Venn y ubicar los datos dados.
B) Se debe iniciar por aquel que puede señalarse con certeza.
C) Una vez que el diagrama se completa, se puede leer el número de estudiantes que estudia
cualquier combinación de materias.

34
Tema # 2
Gráficamente:
Analíticamente:
n(T U A U G) = n(T) + n(A) + n(G) – n(TA) – n(TG) – n(GA) + n(TAG)
n(T U A U G) = 40 + 55 + 55 - 15 - 20 - 30 + 10 = 95
95 Estudiantes que asisten a la biblioteca.
100 – 95 = 5 Estudiantes que no asisten a la biblioteca.
Producto Cartesiano
García (2010) y Recalde (s.f) definen al producto cartesiano como:
“Sean A y B dos conjuntos, definimos el producto cartesiano de A con B, notado A x B, como el
conjunto
𝐴 × 𝐵 = {(𝑎, 𝑏)/𝑎 ∈ 𝐴 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵}”

35
Tema # 2
Ejemplo:
Si 𝐴 = {𝑎, 𝑏, 𝑐} y 𝐵 = {𝑐, 𝑑}, hallar el producto cartesiano A x B
Solución:
El producto cartesiano A x B lo forman los pares ordenados en donde el primer elemento
pertenece a A y el segundo elemento pertenece a B.
𝐴 × 𝐵 = {(𝑎, 𝑐); (𝑎, 𝑑); (𝑏, 𝑐); (𝑏, 𝑑); (𝑐, 𝑐); (𝑐, 𝑑)}

36
Tema # 2
Recursos complementarios / Videos
1.1. Conceptos Básicos
https://www.youtube.com/watch?v=KmcRMlv9_T4
1.2. Determinación de Conjuntos
https://www.youtube.com/watch?v=PvfmttWrGM0
1.3. Relaciones entre Conjuntos
https://www.youtube.com/watch?v=bTlDOqSOxwA
1.4. Clasificación de Conjuntos
https://www.youtube.com/watch?v=bTlDOqSOxwA
1.5. Representación gráfica de Conjuntos
https://www.youtube.com/watch?v=1EbYydBSmPE
1.6. Operaciones con Conjuntos
https://www.youtube.com/watch?v=gFFA-tNh77wDesarrollo del subtema
https://www.youtube.com/watch?v=2OSlnP8Ki6k
https://www.youtube.com/watch?v=HycTCvOlTo0
https://www.youtube.com/watch?v=_fcr1F9I01I
https://www.youtube.com/watch?v=2JzZr7YUbdY
https://www.youtube.com/watch?v=YZRRUFG2UOY
https://www.youtube.com/watch?v=nOQ0Y0lfzwM
1.7. Problemas de Aplicación
https://www.youtube.com/watch?v=cvAIXa5B-hw
https://www.youtube.com/watch?v=jkRhd4b13YA
https://www.youtube.com/watch?v=pQXSrshARQA

37
Tema # 2
https://www.youtube.com/watch?v=u6kvSbAfIfs

38
Tema # 2
Bibliografía
1. Castillo, C., Navas , F., & Toro, J. L. (2016). Fundamentos de Matemática. Quito: EPN.
2. Espinoza Ramos, E. (2004). Álgebra Pre Universitaria. Lima-Perú: Servicios Gráficos J.J.
3. Flores P., M. (2018). Álgebra. Teoría y Práctica. Lima: San Marcos.
4. Gamarra Morales, H. (2016). Arimética. Teoría y Práctica. Lima: San Marcos.
5. González, H. (s.f.). Matemática General. Santiago de Chile.
6. Mena Cervantes, V. (2011). Precálculo. México: I.P.N.
7. Rojo, A. (1996). Álgebra I. Buenos Aires.
8. García, J. (2010). Problemas de Matemática Universitaria. Ecuador. Escuela Politécnica del
Ejército
9. Recalde, A (s.f). Apuntes de Clase Algebra. Ecuador. Departamento de Ciencias Exactas-Escuela
Politécnica del Ejército.

39
Tema # 2
Actividades de aprendizaje autónomo
Revise la información referente al tema de “Conjuntos”, y resuelva los siguientes ejercicios:
1. Tabule los siguientes conjuntos:
a) 𝐴 = {𝑥 ∈ ℝ: 𝑥3
− 𝑥 = 0} b) 𝐵 = {𝑥 ∈ ℝ: 3𝑥2
− 𝑥 + 5 = 0}
c) 𝐶 = {𝑥 ∈ ℕ: 𝑥2
+ 5𝑥 + 6 = 0} d)
𝐷 = {𝑥 ∈ ℚ: 𝑥 + 5 =
13
2
}
2. Exprese los siguientes conjuntos en la forma {𝑥: 𝑝(𝑥)}, siendo el conjunto de referencia el
conjunto de los números enteros.
a) Conjunto de los números pares mayores que -101.
b) Conjunto de los números impares menores que 1234876.
c) Conjunto de los números enteros mayores que -4.
d) Conjunto de los números enteros múltiplos de 5.
3. Sean los conjuntos 𝐴 = {1, 2, {1, 2}, {3, 4}}, 𝐵 = {1, 2 }, 𝐶 = {2, 1}, 𝐷 = {3, 4}, 𝐸 = {{1, 2}}, 𝐹 =
{{3, 4}}, 𝐺 = {2}. ¿Cuáles de las siguientes afirmaciones son verdaderas?
a) 𝐵 ⊂ 𝐶 d) 𝐷 ⊂ 𝐴 g) 𝐹 ⊂ 𝐴 j) 𝐹 ∈ 𝐴
b) 𝐶 ∈ 𝐴 e) 𝐵 ∈ 𝐴 h) 𝐷 ∈ 𝐴 k) 𝜙 ∈ 𝐴
c) 𝜙 ⊂ 𝐴 f) 𝐺 ⊂ 𝐶 i) 𝐺 ∈ 𝐸 l) 𝐵 ⊂ 𝐶
4. Sean los conjuntos:
𝑈 = {𝑥/𝑥 > 0 ∧ 𝑥 ≤ 10}; 𝐴 = {1,3,5,7,9}; 𝐵 = {2,4,6,8,10}; 𝐶 = {1,2,3,5,7}
Hallar:
a) [(𝐴 ∪ 𝐶) ∩ 𝐵] ∪ (𝐵 − 𝐶)
b) [(𝐴 − 𝐵)’ ∩ (𝐴 ∆ 𝐵)′] ∩ 𝐵
c) (𝐴 ∩ 𝐶)′
∆ (𝐵 − 𝐶)
5. Sean los conjuntos:
𝑈 = {𝑥/𝑥 > 0 ∧ 𝑥 ≤ 10}; 𝐴 = {1,3,5,7,9}; 𝐵 = {2,4,6,8,10}; 𝐶 = {1,2,3,5,7}
Determinar la cardinalidad de:

40
Tema # 2
[(𝐵 ∆ 𝐶) ∩ 𝐴] ∪ (𝐶 − 𝐴)
6. Si 𝐴 = {∅}, 𝐵 = {𝑃(𝐴)}, 𝐶 = 𝐵 − 𝐴 y 𝐷 = 𝑃(𝐶), determinar 𝐵 ∩ 𝐷
7. Si 𝐴 = {𝑎 + 𝑏, 𝑎 + 2𝑏 − 3,12} es un conjunto unitario, determinar el valor de 𝑐 = 𝑎2
+ 𝑏2
8. Dados los conjuntos:
𝑈 = {−2, −1,0,1,2,3,4}; 𝐴 = {0,1,2,3}; 𝐵 = {−2,0,2,4}; 𝐹 = {𝑥 ∈ 𝑈/𝑥 ∉ 𝐴 ∨ 𝑥 ∉ 𝐵}
𝐺 = {∈ 𝑈/𝑥 ∈ 𝐴 ⟹ 𝑥 ∈ 𝐵}
Hallar 𝑃(𝐻), siendo 𝐻 = 𝐹 − 𝐺
9. En una encuesta a 200 personas reveló la siguiente información concerniente a 3 candidatos
𝐴, 𝐵 y 𝐶 de un cierto club social, que se presentaban a 3 diferentes cargos:
- 28 a favor de A y B; 98 a favor de A o B pero no de C
- 42 a favor de B pero no de A o C
- 64 a favor de C pero no de A o B
- 14 a favor de A y C pero no de B
¿Cuántas personas estaban a favor de los 3 candidatos?
10.De una encuesta a 60 personas ser recibió la siguiente información:
- 7 personas consumen avena y chía, pero no consumen linaza.
- 6 personas consumen chía y linaza, pero no avena.
- 3 personas consumen avena y linaza, pero no chía.
- 50 personas consumen al menos uno de estos productos
- 11 personas consumen avena y chía.
11.Se tiene un conjunto de 420 personas que ven los canales A, B y C, y se observa que: 240 no
ven el canal A, 180 no ven el canal B, 150 no ven el canal C. Los que vieron por lo menos dos
canales son 230 personas, ¿cuántas personas ven los tres canales?
12.Después de una cata de vinos de un grupo de 150 personas se analizó su preferencia entre dos
tipos de vinos, obteniendo los siguientes resultados:
- 30 personas gustan del vino tinto, pero no el moscato
- 20 personas no gustan de vino alguno
- 80 hombres prefieren el moscato

41
Tema # 2
- 10 mujeres prefieren solo el moscato
Determinar el número de mujeres que prefieren el vino tinto y el moscato.
13.Entre los varones que se alojan en un hotel: 40 eran ecuatorianos de los cuales 3/4 tenían
peluca; 60 eran ingenieros. De los ecuatorianos con peluca la mitad eran ingenieros, 5 de cada
6 ingenieros tenían peluca. Calcular cuántos varones que tenían peluca no eran peruanos ni
ingenieros sí en el hotel se alojan 85 varones con peluca.
14.Simplificar aplicando las leyes de la teoría de conjuntos:
( )
  ( ) ( )
 
C
B
A
C
B
B
A
C
C
AC


−



−
=

( ) ( ) ( ) ( )
C
B
A
B
A
B
A
C
A
C
C
C


=





( ) ( )
  
=


−
 A
C
B
C
B

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