Este documento presenta los contenidos y objetivos de la Unidad 1 de Matemática sobre conjuntos numéricos y funciones. La unidad cubre temas como números reales, intervalos, topología en R, clasificación de puntos, conjuntos abiertos y cerrados, funciones inyectivas, sobreyectivas y biyectivas, y composición de funciones. Al finalizar la unidad, los estudiantes deberán poder resolver ecuaciones e inecuaciones, clasificar puntos y conjuntos, trabajar con diferentes tipos de funciones y representarlas gráficamente.
El documento presenta un resumen de los números reales, incluyendo conjuntos numéricos como naturales, enteros, racionales e irracionales. Explica las propiedades de cierre, conmutatividad, asociatividad, elementos neutros y operaciones básicas sobre los números reales. También cubre intervalos, ecuaciones y métodos para resolver ecuaciones de segundo grado.
El documento presenta conceptos básicos de álgebra como desigualdades, inecuaciones, intervalos y operaciones con ellos. Introduce las desigualdades, definidas como comparaciones entre números reales usando símbolos como <, >, ≤, ≥. Luego explica inecuaciones, que involucran cantidades desconocidas y solo se verifican para ciertos valores de las incógnitas. Finalmente, cubre temas como intervalos acotados y no acotados, y operaciones entre ellos como unión e intersección.
Este documento presenta conceptos básicos de teoría de conjuntos. Define conjuntos, notación de conjuntos, pertenencia, inclusión, cardinalidad, diagramas de Venn y Euler, y tipos especiales de conjuntos como el vacío, unitario y universal. El objetivo es establecer correctamente la noción de conjunto y utilizar adecuadamente símbolos y herramientas para representar y resolver problemas con conjuntos.
El documento explica conceptos básicos de álgebra, incluyendo expresiones algebraicas, términos algebraicos, clasificación de expresiones, y grados de expresiones y polinomios. Define expresiones algebraicas, términos algebraicos, y términos semejantes. Explica cómo clasificar expresiones según la naturaleza de sus exponentes y número de términos. También describe cómo calcular grados relativos y absolutos de monomios, polinomios y expresiones.
Este documento presenta conceptos fundamentales sobre desigualdades numéricas. Introduce la relación de orden entre números reales y define los diferentes tipos de desigualdades. Explica la noción de intervalos en los números reales y describe las operaciones básicas que se pueden realizar con ellos. Finalmente, introduce conceptos como cota superior, cota inferior, supremo e ínfimo de un conjunto.
El documento presenta información sobre ecuaciones de primer grado. Explica que una ecuación de primer grado es una igualdad condicional entre dos expresiones algebraicas que contiene al menos una variable. Para resolver una ecuación de primer grado basta con aplicar propiedades de los números reales para despejar la variable y hallar su valor. También advierte que al manipular ecuaciones se deben tener cuidado para no introducir soluciones extrañas.
Expresiones algebraicas, factorizacion y radicacionJoseMiguelSivira1
Este documento explica conceptos básicos de álgebra como expresiones algebraicas, monomios, binomios, trinomios, polinomios, sumas, restas, multiplicación, división y valor numérico de expresiones algebraicas. También cubre factorización por productos notables.
El documento habla sobre expresiones algebraicas y polinomios. Define expresiones algebraicas racionales y irracionales, y clasifica expresiones según la naturaleza de sus exponentes o el número de términos. Explica el grado de monomios y polinomios, y define polinomios especiales como homogéneos, ordenados, completos e idénticos. Incluye ejemplos y reglas para operaciones algebraicas.
El documento presenta un resumen de los números reales, incluyendo conjuntos numéricos como naturales, enteros, racionales e irracionales. Explica las propiedades de cierre, conmutatividad, asociatividad, elementos neutros y operaciones básicas sobre los números reales. También cubre intervalos, ecuaciones y métodos para resolver ecuaciones de segundo grado.
El documento presenta conceptos básicos de álgebra como desigualdades, inecuaciones, intervalos y operaciones con ellos. Introduce las desigualdades, definidas como comparaciones entre números reales usando símbolos como <, >, ≤, ≥. Luego explica inecuaciones, que involucran cantidades desconocidas y solo se verifican para ciertos valores de las incógnitas. Finalmente, cubre temas como intervalos acotados y no acotados, y operaciones entre ellos como unión e intersección.
Este documento presenta conceptos básicos de teoría de conjuntos. Define conjuntos, notación de conjuntos, pertenencia, inclusión, cardinalidad, diagramas de Venn y Euler, y tipos especiales de conjuntos como el vacío, unitario y universal. El objetivo es establecer correctamente la noción de conjunto y utilizar adecuadamente símbolos y herramientas para representar y resolver problemas con conjuntos.
El documento explica conceptos básicos de álgebra, incluyendo expresiones algebraicas, términos algebraicos, clasificación de expresiones, y grados de expresiones y polinomios. Define expresiones algebraicas, términos algebraicos, y términos semejantes. Explica cómo clasificar expresiones según la naturaleza de sus exponentes y número de términos. También describe cómo calcular grados relativos y absolutos de monomios, polinomios y expresiones.
Este documento presenta conceptos fundamentales sobre desigualdades numéricas. Introduce la relación de orden entre números reales y define los diferentes tipos de desigualdades. Explica la noción de intervalos en los números reales y describe las operaciones básicas que se pueden realizar con ellos. Finalmente, introduce conceptos como cota superior, cota inferior, supremo e ínfimo de un conjunto.
El documento presenta información sobre ecuaciones de primer grado. Explica que una ecuación de primer grado es una igualdad condicional entre dos expresiones algebraicas que contiene al menos una variable. Para resolver una ecuación de primer grado basta con aplicar propiedades de los números reales para despejar la variable y hallar su valor. También advierte que al manipular ecuaciones se deben tener cuidado para no introducir soluciones extrañas.
Expresiones algebraicas, factorizacion y radicacionJoseMiguelSivira1
Este documento explica conceptos básicos de álgebra como expresiones algebraicas, monomios, binomios, trinomios, polinomios, sumas, restas, multiplicación, división y valor numérico de expresiones algebraicas. También cubre factorización por productos notables.
El documento habla sobre expresiones algebraicas y polinomios. Define expresiones algebraicas racionales y irracionales, y clasifica expresiones según la naturaleza de sus exponentes o el número de términos. Explica el grado de monomios y polinomios, y define polinomios especiales como homogéneos, ordenados, completos e idénticos. Incluye ejemplos y reglas para operaciones algebraicas.
Este documento presenta los conceptos fundamentales del álgebra, incluyendo la división de polinomios, la regla de Ruffini para dividir un polinomio por x-a, la factorización de polinomios, fracciones algebraicas, y la resolución de ecuaciones de segundo grado y ecuaciones bicuadráticas. Explica los procedimientos para llevar a cabo estas operaciones algebraicas y define conceptos clave como raíces, discriminante, y soluciones de ecuaciones.
Este documento presenta conceptos fundamentales sobre funciones reales. Explica que una función es una correspondencia entre dos conjuntos de números reales que asigna a cada elemento de un dominio exactamente un elemento de un rango. Luego define dominio e imagen y explica cómo graficar funciones y determinar sus dominios e imágenes. Finalmente, presenta ejemplos de funciones polinómicas, racionales y logarítmicas.
El documento resume la historia y desarrollo del álgebra, comenzando con las primeras ecuaciones en la antigua Sumeria. Explica que los métodos para resolver ecuaciones de primer y segundo grado se descubrieron hace miles de años, mientras que ecuaciones de grado superior condujeron al desarrollo de los números complejos. Finalmente, se estableció que no es posible resolver algebraicamente ecuaciones de grado mayor que cuatro.
El documento define los diferentes tipos de ecuaciones polinómicas, incluyendo ecuaciones de primer, segundo, tercer y n-ésimo grado. También describe ecuaciones polinómicas racionales e irracionales, así como ecuaciones no polinómicas como exponenciales, logarítmicas y trigonométricas.
El documento describe los axiomas y propiedades fundamentales de los números reales. Define las operaciones básicas de adición, multiplicación, división y sus propiedades. Explica los axiomas de la igualdad, orden y supremo. También presenta teoremas importantes para resolver ecuaciones de primer y segundo grado.
El documento presenta una introducción a los logaritmos, incluyendo las definiciones de logaritmo, las bases más comunes (10 y e), conversiones entre formas logarítmicas y exponenciales, propiedades de los logaritmos y funciones logarítmicas, leyes de los logaritmos y resolución de ecuaciones con logaritmos. El documento contiene ejemplos para ilustrar cada uno de estos conceptos.
Este documento habla sobre ecuaciones y los diferentes tipos de ecuaciones que existen. Explica que una ecuación es una igualdad entre expresiones algebraicas y que el número de soluciones depende del tipo de ecuación. Luego describe las ecuaciones de primer grado, que tienen una o ninguna solución, y las ecuaciones de segundo grado, que pueden tener dos soluciones reales, una solución doble, o ninguna solución real dependiendo del discriminante. Finalmente, explica cómo resolver ecuaciones de segundo grado completas e incompletas.
Este documento proporciona una introducción al álgebra. Explica que el álgebra es la rama de las matemáticas que utiliza letras para representar relaciones aritméticas. Brevemente describe la historia del álgebra y algunos de los matemáticos más importantes. También define conceptos clave como ecuaciones, polinomios, factores y operaciones algebraicas básicas. Finalmente, explica métodos para resolver ecuaciones de primer y segundo grado, así como sistemas de ecuaciones.
Este documento resume los conceptos básicos del álgebra. Explica que el álgebra utiliza letras para representar relaciones aritméticas y que sus operaciones fundamentales son la adición, sustracción, multiplicación y división. También proporciona una breve historia del álgebra y presenta algunos de los matemáticos más importantes. Además, define los símbolos y operaciones básicas del álgebra como polinomios, ecuaciones y sistemas de ecuaciones.
Este documento presenta 30 preguntas de opción múltiple sobre relaciones binarias y conjuntos. Las preguntas involucran conceptos como dominio, rango, intersección de conjuntos, propiedades de relaciones (reflexividad, simetría, transitividad), gráficas de relaciones y áreas determinadas por relaciones.
Este documento describe los métodos para integrar funciones racionales. Explica que las funciones racionales impropias pueden escribirse como una suma de funciones polinomiales y propias. Para integrarlas, primero se divide el polinomio de grado mayor entre el de grado menor, y luego se integra. También cubre funciones racionales propias, factorizando el polinomio divisor para hallar las constantes de integración mediante sumas de fracciones o sistemas de ecuaciones. Proporciona ejemplos para ilustrar los pasos.
Este documento presenta información sobre sumas, restas, multiplicaciones y divisiones de expresiones algebraicas. Explica los conceptos básicos de cada operación y provee ejemplos resueltos paso a paso para ilustrar los procedimientos correctos. También define conceptos clave como productos notables y cómo usarlos para factorizar polinomios de manera más eficiente.
Este documento define ecuaciones de segundo grado y proporciona ejemplos. Las ecuaciones de segundo grado adoptan la forma típica ax2 + bx + c, donde x es la incógnita y a, b y c son coeficientes constantes. Se dan ejemplos de ecuaciones completas e incompletas de segundo grado. También se explica que las ecuaciones incompletas pueden reducirse a las formas ax2 + c = 0, ax2 + bx = 0 o ax2 = 0.
Este documento resume los diferentes tipos de ecuaciones de primer y segundo grado. Explica que las ecuaciones de primer grado son de la forma ax+b=0 y tienen una única solución, mientras que las ecuaciones de segundo grado completas son de la forma ax2+bx+c=0. También cubre las ecuaciones de segundo grado incompletas de los tipos I y II, y cómo resolver problemas planteando ecuaciones.
Este documento presenta una introducción a los diferentes tipos de números, comenzando con los números naturales y enteros, y luego ampliando el conjunto a los números racionales e irracionales. Explica que los números naturales surgieron para contar objetos y que los enteros se expandieron añadiendo ceros y números negativos. Luego, los racionales permiten divisiones al incluir fracciones, aunque algunos problemas no pueden resolverse aquí, dando lugar a los irracionales con decimales no periódicos.
Este documento explica conceptos básicos sobre expresiones algebraicas como valor numérico, monomios, polinomios, operaciones (suma, resta, multiplicación, división) y factorización. Define cada concepto y proporciona ejemplos para ilustrar cómo aplicar las propiedades y realizar cálculos con expresiones algebraicas siguiendo el orden correcto de operaciones.
O documento resume a primeira estimativa da safra de café de 2015-2016 no Brasil realizada pela Conab e Mapa. A produção total deve ficar entre 44,11 e 46,61 milhões de sacas, podendo ter queda de 2,7% ou aumento de 2,8% em relação à safra anterior. Haverá redução na produção de conilon de 6,3% a 8,8% devido à estiagem do ano passado, mas o arábica pode crescer 0,6% a 6,5%. No entanto, a estiagem atual gera incerte
El documento resume la situación de varios hospitales en liquidación en el departamento de Antioquia, Colombia. Se detalla el proceso de liquidación de cada hospital, incluyendo la calificación y pago de acreedores, constitución de plantas transitorias, y pago de nóminas y pensiones. También se discute el proceso de formación de Redes Integradas de Servicios de Salud y la asignación de recursos a través de la Estampilla Pro-Hospitales.
La inteligencia artificial (IA) se define como la inteligencia mostrada por artefactos creados por humanos como los computadores. La historia de la IA comenzó en 1956 y pasó por periodos de auge y abandono de la investigación. Algunas técnicas y campos de la IA incluyen el aprendizaje automático, redes neuronales artificiales y la ingeniería del conocimiento. La IA se usa ampliamente hoy en día en aplicaciones como vehículos exploradores, aviones de combate, trenes y la cinematografía.
Como cambiar el tamaño del video en tu bloggerfsdklfhkj
El documento proporciona 7 pasos para insertar un video de YouTube en una entrada de blog. Estos incluyen crear una nueva entrada, hacer clic en "insertar video", buscar el video en YouTube y seleccionarlo, editar el código HTML para modificar el ancho y alto del video, y hacer clic en "publicar".
El documento define el asma ocupacional y describe sus características. Se distingue entre asma ocupacional inmunológica e irritante. El asma ocupacional inmunológica generalmente es precedida por síntomas de rinoconjuntivitis y está causada por agentes que inducen anticuerpos IgE, mientras que el asma irritante se presenta luego de 24 horas de exposición a irritantes. Los factores de riesgo incluyen atopia, tabaquismo y factores genéticos. El diagnóstico se confirma mediante pruebas
Este documento presenta los conceptos fundamentales del álgebra, incluyendo la división de polinomios, la regla de Ruffini para dividir un polinomio por x-a, la factorización de polinomios, fracciones algebraicas, y la resolución de ecuaciones de segundo grado y ecuaciones bicuadráticas. Explica los procedimientos para llevar a cabo estas operaciones algebraicas y define conceptos clave como raíces, discriminante, y soluciones de ecuaciones.
Este documento presenta conceptos fundamentales sobre funciones reales. Explica que una función es una correspondencia entre dos conjuntos de números reales que asigna a cada elemento de un dominio exactamente un elemento de un rango. Luego define dominio e imagen y explica cómo graficar funciones y determinar sus dominios e imágenes. Finalmente, presenta ejemplos de funciones polinómicas, racionales y logarítmicas.
El documento resume la historia y desarrollo del álgebra, comenzando con las primeras ecuaciones en la antigua Sumeria. Explica que los métodos para resolver ecuaciones de primer y segundo grado se descubrieron hace miles de años, mientras que ecuaciones de grado superior condujeron al desarrollo de los números complejos. Finalmente, se estableció que no es posible resolver algebraicamente ecuaciones de grado mayor que cuatro.
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Este documento resume los conceptos básicos del álgebra. Explica que el álgebra utiliza letras para representar relaciones aritméticas y que sus operaciones fundamentales son la adición, sustracción, multiplicación y división. También proporciona una breve historia del álgebra y presenta algunos de los matemáticos más importantes. Además, define los símbolos y operaciones básicas del álgebra como polinomios, ecuaciones y sistemas de ecuaciones.
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El documento proporciona 7 pasos para insertar un video de YouTube en una entrada de blog. Estos incluyen crear una nueva entrada, hacer clic en "insertar video", buscar el video en YouTube y seleccionarlo, editar el código HTML para modificar el ancho y alto del video, y hacer clic en "publicar".
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El documento describe el sistema LiDAR (Light Detection and Ranging), el cual utiliza un láser para medir distancias y generar modelos tridimensionales de alta precisión. Explica que el sistema LiDAR aerotransportado consta de un escáner láser, receptor GNSS, sistema inercial, unidad de tiempo y una PC para almacenar datos. Luego de realizar vuelos y capturar datos, estos son procesados para generar productos como Modelos Digitales del Terreno y de Superficie, ortofotos y cartografía.
Adobe flash player andres blanco reyesBaljeet-sama
Adobe Flash Player es una aplicación que reproduce archivos SWF creados con Adobe Flash u otras herramientas. Estos archivos se reproducen en un entorno determinado como un navegador a través de un complemento. Flash Player está disponible para los principales navegadores y sistemas operativos y era popular para reproducir video en las páginas web antes de HTML5.
O documento relata que:
1) Cafeicultores assinaram um abaixo-assinado apoiando a instalação de uma fábrica da Nestlé no Brasil para processar cápsulas de café.
2) A Nestlé propõe investimentos em pesquisa no Brasil para desenvolver novos cafés e substituir importações.
3) O Conselho Nacional do Café esclareceu os compromissos da Nestlé com a cadeia produtiva de café no Brasil.
O documento descreve o uso do Excel para análise de dados ecológicos de populações, incluindo organização de dados em tabelas, produção de gráficos, e realização de testes estatísticos como t-test, ANOVA e regressão linear.
O documento resume a primeira estimativa da safra de café de 2015-2016 no Brasil realizada pela Conab e Mapa. A produção total deve ficar entre 44,11 e 46,61 milhões de sacas, podendo ter queda de 2,7% ou aumento de 2,8% em relação à safra anterior. Haverá redução na produção de conilon de 6,3% a 8,8% devido à estiagem do ano passado, mas o arábica pode crescer 0,6% a 6,5%. No entanto, a estiagem atual gera incerte
Este documento describe los orígenes del federalismo rioplatense luego de la caída del poder central en 1820, dando lugar a estados autónomos provinciales independientes. Luego de la derrota del ejército de Buenos Aires, el cabildo asumió el gobierno y cada provincia buscó afirmarse de manera soberana. Aunque hubo intentos de unión a través de pactos federales, prevaleció la autonomía provincial con figuras como Rosas gobernando Buenos Aires de manera absoluta. El documento también analiza el papel de los caudil
La Corporación de Estudios Tecnológicos del Norte del Valle es una organización ubicada en Cartago que realiza investigaciones tecnológicas. En julio de 2010, la corporación continuó sus estudios sobre nuevas tecnologías para beneficiar a la región del norte del valle de Costa Rica.
La teletransportación implica mover objetos o partículas instantáneamente sin métodos de transporte convencionales. El término fue acuñado en 1930 y Einstein definió el principio como una "asombrosa acción a distancia". Experimentos cuánticos han demostrado que partículas subatómicas permanecen conectadas sin importar la distancia, lo que sugiere que la teletransportación podría ser posible para sistemas digitales avanzados.
Reunión sobre la subida salarial de 2013 en el SIMACGT Tragsatec
La reunión en el SIMA sobre la subida salarial de 2013 para los trabajadores de Tragsatec finalizó sin acuerdo. La dirección de la empresa se negó a aplicar las tablas salariales del convenio colectivo alegando restricciones legales y la situación financiera de la empresa. Los mediadores sugirieron estudiar una redistribución de los bonus de los directivos para pagar las diferencias salariales a los trabajadores, pero la dirección sólo se comprometió a estudiarlo sin compromiso. El sindicato CGT considera que ningún traba
La memoria es un proceso psicológico básico que permite almacenar y recuperar información y experiencias pasadas. Existen diferentes tipos de memoria como la memoria sensorial, a corto plazo y a largo plazo. La bibliografía citada estudia estos procesos psicológicos básicos.
1) O Conselho Nacional do Café recomenda que os estados declarem emergência sanitária para combater a broca do café, permitindo o uso de um novo inseticida.
2) Há preocupação com o rendimento da safra de café de 2014 devido aos efeitos do veranico.
3) Os estoques privados de café no Brasil cresceram 9,2% em relação ao ano passado, atingindo o maior nível desde 2007.
Este documento clasifica los datos en dos categorías principales: analógicos y binarios. Los datos analógicos toman valores continuos como la temperatura o la altura, mientras que los datos binarios se expresan solo como 1s y 0s para representar texto, imágenes y audio que los procesadores pueden leer e interpretar. También define los datos como la unidad básica de información y explica cómo se miden las velocidades de los procesadores.
El blog trata sobre el fútbol, el deporte más popular del mundo jugado entre dos equipos de 11 jugadores cada uno. El objetivo es introducir la pelota en la portería contraria siguiendo las reglas establecidas por la FIFA, el organismo rector del fútbol a nivel internacional.
Os zoológicos estão no meio de uma polêmica> Os defensores consideram as instituições essenciais para a conservação da fauna silvestre e a educação ambiental. Para os críticos, são prisões de animais mentalmente doentes.
O CMN aprovou o orçamento de R$ 4,136 bilhões do Funcafé para 2015, destinando recursos para linhas de crédito como custeio, estocagem e financiamento de cooperativas. O governo de Minas Gerais investirá R$ 5 milhões no georreferenciamento do parque cafeeiro do estado. Os fundos hedge começaram a reduzir suas posições curtas no café antes do rali de preços da última semana.
Todas las operaciones se resuelven de
izquierda a derecha.
Si existen signos de agrupación, primero se
efectúan todas las operaciones que se encuentran
dentro de éstos.
Si hay dos o más signos de agrupación, uno
dentro de otro, se realizan las operaciones de adentro
hacia afuera.
1) El documento presenta un cuaderno de trabajo para estudiantes de segundo año de ciencias con ejercicios de matemáticas. 2) El autor quiere presentar un instrumento práctico que facilite el aprendizaje dentro y fuera del aula. 3) El contenido incluye sistemas de coordenadas, funciones reales, dominios, funciones exponenciales y logarítmicas, y números complejos.
1) El documento presenta un cuaderno de trabajo para estudiantes de segundo año de ciencias con ejercicios de matemáticas. 2) El autor busca presentar un instrumento práctico que facilite el aprendizaje dentro y fuera del aula. 3) El contenido incluye sistemas de coordenadas, funciones reales, dominios, funciones exponenciales, logaritmos y números complejos.
Este documento presenta conceptos básicos de teoría de números como divisibilidad, números primos, máximo común divisor (MCD) y mínimo común múltiplo (MCM). También cubre conversiones entre diferentes bases numéricas, incluyendo binaria, octal y hexadecimal. Finalmente, explica cómo realizar sumas de números enteros expresados en diferentes bases.
Los números reales incluyen números naturales, enteros, racionales e irracionales. Los números racionales pueden expresarse como fracciones m/n, mientras que los irracionales tienen expansiones decimales infinitas no periódicas. Las propiedades de los números reales incluyen la conmutatividad, asociatividad y distributividad de la suma y multiplicación, así como la existencia de elementos neutros y opuestos.
Los números reales incluyen números naturales, enteros, racionales e irracionales. Los números racionales pueden expresarse como fracciones m/n, mientras que los irracionales tienen expansiones decimales infinitas no periódicas. Las propiedades de los números reales incluyen la conmutatividad, asociatividad y distributividad de la suma y multiplicación, así como la existencia de elementos neutros y opuestos.
El documento presenta los temas de la primera semana de Matemática I. Estos incluyen conjuntos, relaciones y operaciones con conjuntos, el sistema de números reales y ecuaciones lineales con una variable. Se define qué es un conjunto y sus elementos, y se explican conceptos como determinación de conjuntos, relación de pertenencia, tipos de conjuntos numéricos y no numéricos, y relaciones entre conjuntos como inclusión e igualdad. También se describen operaciones básicas entre conjuntos como unión, intersección y diferencia.
Este documento resume los principales tipos de números reales, incluyendo racionales e irracionales. Explica que los números reales (R) están formados por todos los números racionales e irracionales. También describe las propiedades de los intervalos, semirrectas y entornos de números reales, así como las operaciones con potencias, radicales y expresiones decimales de números racionales.
Este documento introduce conceptos básicos sobre conjuntos y números reales. Explica que un conjunto es una colección de objetos con al menos una característica en común, y define operaciones como la unión, intersección y diferencia entre conjuntos. También describe la correspondencia entre números reales y puntos en una recta numérica, e introduce los números irracionales como aquellos puntos cuya coordenada no puede ser expresada como un número racional.
Este documento presenta una unidad sobre matemáticas para profesores y estudiantes de licenciatura en ciencias naturales. La unidad cubre varios temas matemáticos incluyendo fracciones algebraicas, exponentes y radicales, ecuaciones y desigualdades, funciones logarítmicas, el binomio de Newton, pares ordenados y el producto cartesiano, relaciones y funciones, funciones algebraicas e inversas, y funciones trascendentes. El documento es parte de un curso en la Universidad Pedagógica de El Salvador.
El primer documento explica cómo representar números enteros en la recta numérica, incluyendo números positivos y negativos. El segundo documento trata sobre cómo representar números decimales en la recta numérica transformándolos primero a fracciones. El tercer documento cubre el producto, división y elevación de potencias.
Este documento define desigualdades e inecuaciones. Define signos de relación como >, <, ≥ y ≤ y sus usos para comparar números reales. Explica conceptos como intervalos, propiedades de desigualdades, axiomas, teoremas y métodos para resolver inecuaciones de primer, segundo y mayor grado.
Este documento presenta un resumen de los conceptos y métodos para resolver sistemas de inecuaciones. Incluye definiciones de desigualdades, valor absoluto, intervalos y clases. Explica cómo resolver inecuaciones lineales, con valor absoluto y cuadráticas, usando métodos analíticos y gráficos.
Este documento presenta un resumen de los conceptos y métodos para resolver sistemas de inecuaciones. Incluye definiciones de desigualdades, valor absoluto, intervalos y clases. Explica cómo resolver inecuaciones lineales, con valor absoluto y cuadráticas, usando métodos analíticos y gráficos.
Este documento presenta un curso propedéutico de matemáticas para el año 2013. Sus objetivos generales son que los alumnos recuerden el lenguaje algebraico y cómo usarlo para resolver problemas, así como repasar procesos básicos con monomios y polinomios. También busca que apliquen leyes de exponentes al resolver operaciones algebraicas con monomios y polinomios.
Este documento resume conceptos clave de matemáticas como números, álgebra, funciones y geometría. Explica las reglas de divisibilidad, tipos de números como naturales, enteros, racionales e irracionales. Cubre temas de álgebra como ecuaciones, desigualdades, sistemas de coordenadas y funciones. También resume conceptos geométricos como ángulos y tipos de triángulos.
Universidad Técnica Particular de Loja
Ciclo Académico Abril Agosto 2011
Carrera:Ciencias de la Computación
Docente: Ing. Ricardo Blacio Maldonado
Ciclo: Segundo
Bimestre: Primero
2. 2
UNIDAD 1: Introducción
Contenidos
Números reales: Valor absoluto: definición y enunciado de sus propiedades.
Intervalos.
Conceptos de topología en R: Entornos y entornos reducidos en R.
Clasificación de puntos de un conjunto en R. Conjuntos abiertos, cerrados.
Frontera de un conjunto. Conjuntos acotados.
Revisión del concepto de función: Definición. Dominio y codominio. Conjunto
imagen Funciones inyectivas, sobreyectivas y biyectivas. Función inversa.
Composición de funciones. Reconocimiento de funciones lineales, cuadráticas,
homográficas, exponenciales, logarítmicas, trigonométricas, circulares
inversas, hiperbólicas y sus inversas.
Objetivos
Al finalizar la unidad los alumnos deberán poder:
Resolver ecuaciones e inecuaciones.
Reconocer soluciones extrañas.
Expresar los conjuntos solución de inecuaciones utilizando
intervalos.
Clasificar puntos de un conjunto.
Reconocer conjuntos abiertos y cerrados.
Reconocer cuándo una función está bien definida.
Encontrar los dominios naturales de distintas funciones.
Representar gráficamente las funciones mencionadas en
los contenidos.
Clasificar funciones.
Restringir dominio y/o codominio para encontrar la
función inversa de una función dada.
Componer funciones.
3. 3
1. Revisión de los contenidos estudiados en el Seminario Pre-
universitario
Actividad 1: Resuelvan los ejercicios 0.1, 0.2 , 0.3 y 0.4 inclusive del
capítulo 1 de la Guía de T.P.
2. Logaritmo.
Resuelvan las siguientes ecuaciones:
a) 2x = 8 c) 10x = 30
b) x 1
3
9
d) 5x = 2
En estas ecuaciones, la incógnita está en el exponente; por lo tanto, la
adición, la sustracción, la multiplicación, la división, la potenciación y la
radicación no permiten despejarla. Necesitamos de otra operación, que se
denomina “logaritmación”.
Definición: Si 1a a b
, se llama “logaritmo en base a de
b” al número c tal que ac = b.
En símbolos: c
alog b c a b
La expresión alog b se lee “ logaritmo en base a de b”
Analicemos el porqué de las condiciones pedidas a a y b
Si a = 0, ¿Tiene sentido escribir 0c = b? ¿Por qué?
Si a = 1, ¿Tiene sentido escribir 1c = b? ¿Por qué?
Si a<0, por ejemplo a = -4 y b=2, ¿existe algún número real tal que
c
( 4) 2?
Si b=0, sería ac = 0. Entonces, ¿para qué valor de a, es posible? En ese
caso, ¿cuánto valdría c?
Si b<0, por ejemplo b = -4, sería 2c = -4, ¿Es posible encontrar algún
número real c que cumpla esa condición?
4. 4
Entonces, en el conjunto de números reales:
La base de un logaritmo es un número real positivo y distinto
de 1.
Sólo se calculan logaritmos de números positivos.
Tomando la ecuación a), expresamos: 2x log 8 3 .
Un poco de historia acerca de los logaritmos....
John Napier, nacido en Edimburgo (Escocia) en 1550, fue el precursor en el cálculo
logarítmico. Hijo de un rico terrateniente, que más tarde fue nombrado caballero real, tuvo
una vida cómoda, se formó con los mejores maestros en sus primeros años y luego estudió
en la Universidad de Saint Andrew. Interesado por cuestiones matemáticas, a fines del siglo
XVI escribe Rabdología donde presenta un original método con varillas y cuadros para
efectuar multiplicaciones entre números grandes.
Napier cuenta que, con el propósito constante de estudiar métodos abreviados de cálculo,
trabajó 20 años antes de publicar su sistema de logaritmos, que recién publica en 1614.Su
obra es continuada por Henry Briggs (1561-1630) que lo había visitado en Edimburgo.
Briggs construye la primera tabla de logaritmos en base 10 que publica en 1617, año de la
muerte de Napier.
Propiedades:
1. log t
a a t t
2. log 1a a
3. log 1 0a
4. log ( ) log loga a auv u v Siendo u,v números positivos
5.
log
log
log
b
x
b
u
u
x
Siendo u un número positivo y x>0 ˄ x≠1
6. log log loga a a
u
u v
v
Siendo u,v números positivos
7. log .logn
a au n u Siendo u un número positivo y n, cualquier
real
5. 5
8. log log n
n
a a
u u Siendo u un número positivo y n≠0
9. logab u
a u Siendo u un número positivo
Demostración de algunas propiedades:
4. log ( ) log loga a auv u v Siendo u,v números positivos
Partimos del segundo miembro:
Por definición de logaritmo:
x
a
y
a
log u x a u
log v y a v
(*)
Multiplicando miembro a miembro y aplicando propiedades de la potenciación,
se tiene: x y
a u.v
Si aplicamos logaritmos en ambos miembros y por la propiedad 1, resulta:
x y
a a alog a log u.v x y log u.v
Reemplazando x e y por (*) llegamos a: log log log ( )a a au v uv
9.
log a u
a u Siendo u un número positivo
Sea ax log u , entonces, por definición de logaritmo: x
a u , es decir:
logab u
a u
De manera similar se demuestran todas las propiedades.
Actividad 2:
Demuestren las propiedades 6 y 7 de los logaritmos y súbanla al campus
virtual
Actividad 3:
i) Resuelvan las siguientes ecuaciones:
6. 6
a) 2
2 2log x 1 log (x 1) 1 b)
2
2x x 1
e .e 1
c) 3 3log (x 1) log (x 1) 2 d) 3x
60 5.2 35
e) 4 4log x 3log 3 3 f) 2x 1 3x 1
3 5
ii) Resuelvan los ejercicios 7 ,9 y 17 del capítulo 1 de la Guía de T.P.
3.- Conjuntos acotados. Supremo, ínfimo. Máximo y mínimo.
NOCIONES DE TOPOLOGÍA.
DEFINICIONES
Cota superior e inferior de un conjunto.
Dado un subconjunto A de números reales, diremos que k es una cota
superior de A si y sólo si todos los elementos de A son menores o iguales que k.
En símbolos:
k es cota superior de A x A x k:
La menor de las cotas superiores se llama supremo. Si pertenece al conjunto se
dice que es un máximo.
Dado un subconjunto A de números reales, diremos que k es una cota
inferior de A si y sólo si todos los elementos de A son mayores o iguales que k.
En símbolos: k es cota inferior de A x A x k:
La mayor de las cotas inferiores se llama ínfimo. Si pertenece al conjunto se
dice que es un mínimo.
Un conjunto es acotado si y sólo si está acotado superior e inferiormente.
Ejemplo:
Dados A =
1
x / x con n
n
y B =
n
1
x /x con n
n
, se pide:
a) Reconocer elementos de A y B.
b) Dar, si es posible, dos cotas inferiores y dos superiores de cada conjunto.
c) Indicar, si existen supremo e ínfimo. Decidir si son máximo y mínimo,
respectivamente.
d) ¿Alguno de los conjuntos es acotado?
7. 7
Resolución
a) Los elementos de A que se obtienen al darle a n valores 1, 2, 3, etc. son:
1 1 1 1
1; ; ; ; ;...
2 3 4 5
.
Los elementos de B que se obtienen al darle a n valores 1, 2, 3, etc. son:
1 1 1 1
1; ; ; ; ;...
2 3 4 5
b) Busquemos cotas de A. Como los elementos de A son números positivos y
todos menores o iguales a 1, podemos afirmar que cualquier real negativo o cero
es cota inferior de A; y cualquier número real mayor o igual a 1 es cota superior
de A.
Busquemos cotas de B. Como
n
1
n : 1
n
, podemos afirmar que
cualquier real menor o igual a -1 es cota inferior de B; y cualquier número real
mayor o igual a 1 es cota superior de B.
c) Como 0, que no pertenece al conjunto A, es la mayor de las cotas inferiores,
resulta que 0 es ínfimo. A no tiene mínimo. Por otro lado, 1 que sí pertenece al
conjunto A es la mayor de las cotas superiores, resulta que 1 es supremo y
máximo del conjunto A.
–1, que pertenece al conjunto B, es la mayor de las cotas inferiores, por lo tanto
–1 es ínfimo y mínimo del conjunto. La menor de las cotas superiores es
1
2
, ya
que para n>1,
1 1
n 2
. Entonces
1
2
es supremo y máximo de B.
d) Como ambos conjuntos tienen cota inferior y superior, resultan acotados.
DISTANCIA. ENTORNOS
Distancia en la recta:
Dados en la recta dos puntos A y B de abscisas a y b respectivamente, la
distancia entre A y B es el valor absoluto de la diferencia entre a y b
A B d(A;B)= |b – a|
Propiedades
La distancia es una “función” que le asigna a cada par de puntos un número real
que cumple con las siguientes condiciones:
1) La distancia entre dos puntos cualesquiera del espacio es no negativa.
A,B : (A B d(A,B) 0 )
a b
8. 8
2) La distancia entre dos puntos es cero si y sólo si los puntos son coincidentes.
A,B: ( A B [d(A,B)=0 A = B] )
3) Verifica la propiedad simétrica.
A,B: (A B d(A,B)= d(B,A) )
4) Verifica la propiedad triangular.
A,B, C : ( A B C d(A,B) + d(B,C) d(A,C) ) .
Entorno de un punto:
Si x0 es un punto de una recta, se llama entorno simétrico de x0 de radio o
amplitud al conjunto de puntos de la recta que se encuentran a una distancia
de x0 menor que
(////|////)
x0- x0 x0+
E(x0;) ={x /d(x;x0) < }={ x /| x – x0 | < }={x / - < x-x0 < }
Resulta: E(x0;)= { x / x0 - < x < x0+ } = (x0- ;x0+)
Un entorno es siempre un intervalo abierto. Además, cualquier
intervalo abierto puede escribirse como un entorno cuyo centro es el punto
medio del intervalo y cuyo radio es la distancia entre un extremo y el
centro. El centro se obtiene como semisuma de los extremos y el radio como
semidiferencia de los mismos.
(a, b ) = E
b a b a
2 2
;
Ejemplo: El intervalo (-1,3) puede escribirse como
3 ( 1) 3 ( 1)
E ;
2 2
=E(1; 2)
Entorno reducido:
Es el entorno sin su centro. Se indica con una señal, asterisco o coma, junto a la
E. (E*(x0;) o E´(x0;b) y se lee: “entorno reducido de centro x0 y radio ”).
E*(x0;)=E(x0; )- {x0}= {x / d(x;x0)< xx0}
por definición de distancia
aplicando prop. de módulo
Sumando “x0” en los tres
miembros de la desigualdad
Por definición de intervalo abierto.
9. 9
Si xx0, resulta d(x;x0)0, entonces:
E*(x0;)= {x / d(x;x0)< d(x;x0)0}
Pero como la distancia es siempre mayor o igual a cero, si no es cero, sólo puede
ser positiva, es decir: E*(x0;) ={ x / 0<d(x;x0) < }.
Si tenemos en cuenta la definición de distancia, se tiene:
E*(x0;)={x / 0 < | x – x0 | < }
CLASIFICACIÓN DE PUNTOS DE UN CONJUNTO.
DEFINICIONES
Sea C
i) x0 es punto interior de C si y sólo si existe al menos un entorno de x0
incluido en C.
En símbolos:
x0 es punto interior de C 0 E(x0; ) C
Al conjunto de puntos interiores de C lo indicamos Co.
ii) Un conjunto es abierto si y sólo si todos sus puntos son interiores.
C es abierto C = Co
iii) x0 es punto exterior de C si y sólo si existe un entorno de x0 al que no
pertenece ningún elemento de C.
x0 es punto exterior a C 00/ E(x C ; )
iv) x0 es punto frontera de C si y sólo si no es interior ni exterior.
x0 es punto frontera de C 0 00, x E(x ; ) x´ E(x ; )/ x C x´ C
v) Frontera de un conjunto es el conjunto al que pertenecen todos los
puntos frontera del mismo. A la frontera del conjunto C, la indicamos FC .
vi) x0 es punto aislado de C si y sólo si x0 C pero existe un entorno
reducido de x0 al que no pertenecen puntos de C.
x0 es punto aislado de C x0 C 00/ E*( ; ) Cx
vii) x0 es punto de acumulación de C si y sólo si cualquier entorno
reducido de x0 tiene intersección no vacía con C.
( //// //// )
x0- x0 x0+
10. 10
En símbolos:
x0 es punto de acumulación de C 0 ,E* (x0; ) C
viii) Al conjunto de puntos de acumulación de C, lo llamamos conjunto
derivado de C y lo indicamos C’.
ix) Un conjunto es cerrado si y sólo si le pertenecen todos sus puntos de
acumulación.
En símbolos: C es cerrado C´ C
Ejemplo:
Consideremos C ={x / | x – 2 | < 3 x=7}
Veamos cómo podemos representar al conjunto:
| x – 2 | < 3 -3 < x-2 < 3 -3 + 2 < x < 3 + 2 -1 < x < 5
Es decir: C = { x /-1<x<5 x = 7}
Co = {x / -1 < x < 5} FC = {-1,5,7}
7 es punto aislado C´= [ -1, 5]
El conjunto no es abierto ni cerrado.
Además, C está acotado. –1 es ínfimo de C (pero no es mínimo) y 7 es supremo y
máximo del conjunto.
Actividad 4: Para los conjuntos solución de las inecuaciones propuestas
en el ejercicio 0.1 del Capítulo 1 de la Guía de T.P,
a) Analicen si son o no conjuntos acotados
b) En caso de ser posible determinen conjunto de cotas superiores,
conjunto de cotas inferiores, supremos e ínfimos (indiquen si son
máximos o mínimos respectivamente)
Actividad 5: Escriban los siguientes conjuntos como intervalos y
analicen si corresponden o no a entornos o a entornos reducidos. Si la
respuesta es afirmativa, determinen centro y radio; de lo contrario, justifiquen
x / dist(x,3) 2 x / dist(x,3) 2
x / dist(x,3) 2 x / dist(x,3) 2
x / dist(x,3) 2 x 3 x / 0 dist(x,3) 2
a) b)
c) d)
e) f)
-1 5 7
C
11. 11
Actividad 6: Resuelvan los ejercicios 1 y 2 del capítulo 1 de la Guía de
T.P
4. Revisión oral del concepto de función
Pueden releer el concepto en el módulo del Seminario Pre-Universitario
Actividad 7: Resuelvan los ejercicios 4,5, y 6 del capítulo 1 de la Guía de
T.P
5. Composición de funciones.
Además de las operaciones básicas (suma, resta, multiplicación y
división) entre funciones, también existe otra operación llamada composición
mediante la cual se genera una nueva función a partir de otras. Luego de
comentar el texto que aparece a continuación con el grupo de trabajo, podrán
resolver las actividades propuestas:
OPERACIONES ENTRE FUNCIONES
Si sumamos, restamos, multiplicamos y dividimos funciones obtenemos nuevas
funciones.
Dadas dos funciones :f A y :g B definimos
Suma de f y g: :f g A B /(f+g)(x) = f(x) + g(x)
Diferencia de f y g: :f g A B /(f-g)(x) = f(x) – g(x)
Producto de f y g: :f g A B /(f.g)(x) = f(x) . g(x)
Cociente de f y g: / :f g C /(f/g)(x) = f(x)/g(x) donde
/ ( ) 0C x A B g x
Muestren un ejemplo en el que no sea posible definir alguna de estas
operaciones
12. 12
COMPOSICIÓN DE FUNCIONES
Ejemplo:
Consideremos dos funciones f:AB y g:BC definidas a través de estos
diagramas
Podemos pensar en una función h:AC / h(x)=g[f(x)]
Es decir, la función h podría representarse así:
La función h es la “composición” de f con g. Se escribe: g 0 f
DEFINICIÓN
Dadas dos funciones f:AB y g:BC, se llama función compuesta de f con g a
la función g 0 f definida de A en C tal que (g 0 f)(x) = g[f(x)].
Observación: Para que la composición sea posible es suficiente que Im(f) D(g).
Con restricciones adecuadas, también puede aplicarse la misma idea si
Im(f)D(g)
Ejemplos:
1) Sea f: / f(x) = 2x + 1 y g: / g(x) = x2
Como Im(f) = D(g), puede definirse la función g0f: /
(g0 f)(x)=g[f(x)]=g(2x+1)=(2x+1)2
Como Im(g) = 0 D(f)
, también puede definirse: f0 g: /
(f 0 g )(x)=f[g(x)]=f(x2 )=2x2 +1.
C
h
A
d
c
b
a
n
m
A B
Cf g
a
b
c
1
2
m
n
d 3
13. 13
Con este ejemplo podemos concluir además, que la composición de
funciones no es conmutativa.
2)Hallar fog(x) siendo
2
f : 3 /f(x) 1
x 3
y 2
g: /g(x) x 1
Para que exista fog(x)debe ocurrir que g(x) 3 porque f(3).
Por lo tanto debe plantearse:
2 2
g(x) 3 x 1 3 x 4 x 2
De donde debe ser: x 2 x 2
Por lo tanto: fog : 2,2
Para obtener su fórmula, hacemos
2
2
2
fog(x) f g x f x 1 1
x 1 3
2
2
fog(x) 1
x 4
Obsérvese que en este caso: D fog 2;2 , pero D(g)
3) Sea f : /f(x) ln x
y g: 0 /g(x) x
En este caso Im(f) no está incluida en Dom(g) ya que Im(f)= , mientras que
Dom(g)= 0
Como Im(f)D(g) , el dominio de g0 f será aquel subconjunto del D(f) tal que
su imagen por f sea [0,+); es decir aquellos números reales cuyo logaritmo
natural sea mayor o igual que 0.
Pero: lnx 0 x 1.
Entonces podemos definir: g0 f: [1,+) / (g0 f) (x) = g[f(x)]= - lnx
En cambio, como Im(g)D(f) = , la composición f0 g no puede realizarse.
Actividad 8: Contesten los puntos a),b) y d) correspondientes a los
ítems iii) del ejercicio 8 del capítulo 1 de la Guía de T.P
14. 14
6. Funciones inyectivas, sobreyectivas y biyectivas. Función
inversa
CLASIFICACIÓN DE FUNCIONES
DEFINICIONES:
Función inyectiva
La función f definida de A en B es inyectiva o uno-uno si y sólo si elementos
distintos del dominio tienen imágenes distintas. O bien, si y sólo si las
imágenes de dos elementos son iguales entonces, esos elementos también lo
son.
En símbolos: f:AB es inyectiva
1 2 1 2 1 2x A, x A :[f(x ) f(x ) x x ]
Ejemplos:
1) f: 0
/ f(x) = x2 no es inyectiva pues f(1) = f(-1) pero 1 -1
Una restricción adecuada del dominio permite convertir una función que
NO es inyectiva en inyectiva.
2) f * : 0
/ f(x) = x2
x
y
15. 15
-4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5 6 7 8
1
2
3
4
5
6
x
y
3)La función f : /f(x) 3x 2 es inyectiva porque:
a , b : f(a) f(b) 3a 2 3b 2 3a 3b a b
Función sobreyectiva
La función f definida de A en B,es sobreyectiva , suprayectiva o suryectiva si
y sólo si todos los elementos de B son imagen de algún elemento de A. Es
decir, el conjunto imagen coincide con B.
En símbolos:
f: A B es sobreyectiva y B, x A/y f(x)
Si nos referimos a los ejemplos anteriores, podemos decir que la
primera función es sobreyectiva pues cualquier número real positivo es
cuadrado de dos números reales y el cero es el cuadrado de cero.
Es decir, en el ejemplo 1 se definió f: 0
y resulta Im(f) = 0
Si se define f**: , si bien el gráfico no se modifica, la función no sería
sobreyectiva ya que no existe ningún número real tal que su cuadrado sea,
por ejemplo, igual a -1.
Siempre es posible hacer que una función sea sobreyectiva restringiendo el
codominio al conjunto de imágenes que corresponda.
Función biyectiva
f: A B es biyectiva f es inyectiva y f es sobreyectiva.
a) f * es inyectiva.
En efecto:
Sean x1 R0
+ x2 0
/
f *(x1)= f *(x2) 2 2
1 2x x
2 2
1 2x x , como las bases en
los radicandos de ambos
miembros son NO negativas,
es válida la simplificación de
exponente e índice, entonces
resulta: x1 = x2 y por lo tanto
f* es inyectiva.
También resultaría inyectiva si
se tomase como dominio 0
.
16. 16
Ninguna de las funciones de los ejemplos anteriores es biyectiva. Para que lo
sea deberemos restringir al mismo tiempo dominio y codominio.
Ejemplo: 2
1 0 0 1: / ( )f f x x
es biyectiva
En efecto:
i) f1 es inyectiva
Sean x1 0
x2 0
/f 1(x1)= f 1 (x2) 2 2 2 2
1 2 1 2x x x x 1 2x x
Como x1 0
x2 0
, sus módulos son iguales a sus opuestos es decir:
- x1 = - x2
Luego x1= x2 , de donde f1 es inyectiva.
ii) f1 es sobreyectiva.
Sea 2
0 / | |y y x y x x y x y
(Existen pues y 0
)
Si tomamos 0 /x x y
, resulta f1(x) = f1(
2
)y y y
Hemos probado que: 0 0 1y , x y /y f (x)
, por lo tanto f1 es
sobreyectiva
De i) y ii) se tiene f1 biyectiva
Entonces podemos definir: g0 f: [1,+) / (g0 f) (x) = g[f(x)]= - lnx
En cambio, como Im(g)D(f) = , la composición f0 g no puede realizarse.
17. 17
FUNCIÓN IDENTIDAD. FUNCIÓN INVERSA
DEFINICIONES
Función identidad
Dado un conjunto A no vacío, se llama “identidad en A” a la función
IdA:AA / IdA(x)=x, es decir que a cada elemento de un conjunto le asigna
como imagen el mismo elemento.
Si f es una función de A en B, se cumple que f 0 IdA = f , y IdB 0 f = f .
Definida de en , la identidad es y = f(x) = x
Función inversa
Sea f : A B/y f(x) una función tal que f(a)=h. Se trata de definir una
función que aplicada a “h” dé por resultado “a”. Pero se pretende que esto
ocurra con todos los pares de f y no sólo con el par (a;h).
Analicen si es posible definir una función que cumpla esa condición, para las
funciones f : A B que quedan definidas por cada uno de estos diagramas
1) 2)
Investiguen qué condiciones debe cumplir f de A en B para que exista una
función de B en A que cumpla con lo pedido.
Definición
Dada una función f:AB , se dice que tiene función inversa ( se escribe f -1)
si y sólo si existe una función de B en A / f0 f -1= IdB y f -1
0 f = Id A.
A
B
a
A
b
A
c
A
1
2
A
3
f A
B
a
A
b
A
c
A
1
2
A
3
f
x
y
18. 18
Observación importante
Si f no es sobreyectiva, en la inversa habría elementos de B sin imagen; si f
no es inyectiva, en la inversa existirían elementos de B con más de una
imagen, por lo tanto podemos asegurar que la condición necesaria y
suficiente para que f -1 sea función es que f sea biyectiva
Ejemplo:
Las funciones f : /f(x) 2x y
x
g : /g(x)
2
son biyectivas por
ser lineales y además
o o
2x
g f : es tal que g f(x) g f x g 2x x
2
x x
fog : es tal que fog(x) f g x f 2. x
2 2
Entonces son funciones inversas, es decir: 1
g f
y 1
f g
Estrategia para hallar la función inversa de una función dada
Sea f : A B/y f(x) una función inversible (tiene inversa).
Si el par ha; a la gráfica de )(xf entonces el par inverso ah; a la gráfica
de )(1
xf
, y así ocurre con todos los pares.
Por lo tanto lo que es “x” para una función, es “y” para su inversa y lo que es
“y” para una función, es “x” para su inversa.
Entonces la fórmula que representa a ambas funciones es la misma sólo que
las variables están permutadas.
En el ejemplo anterior, )(xf tiene por fórmula a xy 2 . Si se permutan las
variables, resulta: yx 2 en la cual “y” es función de “x”; despejando “y”
queda
2
x
y que es la fórmula de la función inversa
2
)(1 x
xf
.
Conclusión:
Para hallar la fórmula de la función inversa de una dada hay
que invertir las variables y despejar “y”.
Obtención de la función inversa
Consideremos f: / f(x) = x3 + 1.
19. 19
Es sencillo deducir del gráfico que esta función es biyectiva:
Si f: es biyectiva, entonces existe 1 1
f : / x f (y)
, donde ahora
x representa la imagen e y un elemento del dominio.
Si ( 2;9) pertenece a f , entonces (9;2) pertenece a f
1
Si y = x3 + 1 3x y 1.
Para evitar problemas en la representación gráfica hacemos un cambio de
nombre a las variables: como en la función inversa x representa imágenes, la
anotaremos como y; como y indica un elemento del dominio, lo
reemplazaremos por x.
Entonces:
1 1 3
f : / y f (x) x 1
Representamos a continuación, en un mismo gráfico la función y su inversa:
-8 -6 -4 -2 2 4 6 8 10
-4
-2
2
4
6
x
y
y=f(x)
y=f-1 (x)
Observamos que, si se utiliza la misma escala sobre los dos ejes, los
gráficos son simétricos respecto de la recta y = x. Además las curvas, si
se cortan, lo hacen sobre dicha recta.
Resulta sencillo comprobar que la función inversa también es biyectiva.
Si una función NO es biyectiva, para obtener su función inversa deben
restringirse dominio y/o codominio hasta transformarla en biyectiva.
-8 -6 -4 -2 2 4 6 8 10
-4
-2
2
4
6
x
y
20. 20
Ejemplo: Se desea obtener la función inversa de f: / f(x) = x2 ,
debemos restringir dominio y codominio (tal como se vio en pág.12) para
transformarla en biyectiva. Es decir, definimos f1 : 2
0 0 1/f (x) x
. Ya
probamos que así definida, resulta biyectiva. Entonces existe 1
1 0 0f :
/
x = f y1
1
( )
Si y = x2 , entonces | x |= y x y x y . Como x 0 x y
Para facilitar la representación , cambiamos de nombre las variables; resulta
que:
1 1
1 0 0 1f : /f (x) x
Veamos la representación de ambas funciones:
Se observa, como en el caso anterior,
simetría respecto de la recta y = x
Actividad 9:
Completen el punto c) del ítem iii del ejercicio 8 y resuelvan el ejercicio 11 i) y
12 del capítulo 1 de la Guía de T.P
7. Funciones exponenciales y logarítmicas
Las funciones exponenciales proporcionan un modelo matemático importante
para distintas situaciones vinculadas a la Economía, al crecimiento poblacional,
al decaimiento radioactivo, etc.
En algunas de las ecuaciones de la Actividad 2, aplicaron las propiedades de
una nueva operación y obtuvieron el logaritmo de determinados números
positivos. Ahora, definiremos las funciones exponencial y logarítmica.
Luego de la discusión con los integrantes del grupo de estudio y habiendo
hechas las consultas necesarias para despejar todas las dudas, podrán resolver
las actividades propuestas.
FUNCIÓN EXPONENCIAL
Definición:
f : es una función exponencial si y sólo si responde a la forma :
f(x)= bx con b>0 y b 1
-6 -5 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5 6 7 8
-2
-1
1
2
3
4
5
x
y
y=f(x)
y=f-1(x)
21. 21
Su nombre se debe a que la variable independiente (x) es el exponente de la
expresión o fórmula.
Su base es una constante (b) la cual debe cumplir ciertos requisitos, como se
indica en la definición (ser un número real positivo y distinto de 1).
- Si b no fuese positivo, x no podría tomar todos los valores reales:
Ejemplos:
1) Si -1b , no podría ocurrir que
2
1
x , ya que ( 1
1
x 2b -1)
2) Si 0b , no podría ocurrir que x <0, ya que 0 no tiene inverso
multiplicativo ( recíproco) y además si x 0, 0 0 x
a. Si 1b , entonces 11 xx
bf(x) . Se trataría de la función constante
1y .
Veamos algunos ejemplos de funciones exponenciales:
1. : / ( ) 2 x
f f x 2. : / ( ) 3 x
f f x 3. : / ( ) 10 x
f f x
4. : / ( ) 0,5 x
f f x 5. : / ( ) 0,1 x
f f x
x x
xf 2)(
0 1
1 2
2 …
3 …
-1 ½=0,5
-
2
¼=0,25
-
3
…
x x
xf 3)(
0 1
1 3
2 …
3 …
-1 1/3=0,3…
-
2
1/9=0,1…
-
3
…
x x
xf 10)(
0 1
1 …
2 …
3 …
-1 …
-
2
…
-
3
…
x x
xf 5,0)(
0 1
1 …
2 …
3 …
-1 …
-
2
…
-
3
…
x x
xf 1,0)(
0 1
1 …
2 …
3 …
-1 …
-
2
…
-
3
…
22. 22
Actividad 10:
Consideren
: / ( ) ( , 1)x
f f x b b b y la función lineal
: / ( ) g g x x a . Definan y grafiquen of g y og f
FUNCIÓN LOGARÍTMICA
Definida de en
, la exponencial f(x) = bx con b > 0 y b 1 es biyectiva, por
lo tanto existe f –1 , definida de
en . Para obtenerla cambiamos el nombre
de las variables en y = a x , es decir , escribimos: x = a y . Luego despejamos “y”.
Y obtenemos log by x
Conclusiones:
Sea : / ( ) ( , 1)
x
f f x b b b
Si 1b la función es CRECIENTE
Si 1b0 la función es DECRECIENTE
x
y
2 x
y
3 x
y
10 x
y
0,1 x
y0,5 x
y
Observando los diversos gráficos, respondan:
o Df
o fIm
o Ordenada al origen=
o Raíces o ceros=
o
CC
o Asíntotas:
23. 23
Resulta que llamamos función logarítmica a la función
g: / ( ) log ,
bg x x con b > 0 y b 1 ( porque es la misma “b” que es base
de la función exponencial).
Las características del gráfico de la función logarítmica dependen de que la
base sea mayor que 1 o que esté comprendida entre 0 y 1, y se pueden
deducir de la simetría que existe entre una función y su inversa.
Actividad 11: Resuelvan los ejercicios 8 (ítems restantes), 10, 11 iii) y iv)
y 13 del capítulo 1 de la Guía de T.P
8. Funciones trigonométricas
Encontrarán el tema desarrollado en el módulo del Seminario Pre-
Universitario y a continuación aparecen un conjunto de fórmulas
trigonométricas que les serán de utilidad en el transcurso del año y la definición
de función periódica.
y=logo,5 x
x
y=(0,5)x
y
y=log2 x
y= 2x
x
y
24. 24
FÓRMULAS USUALES DE TRIGONOMETRÍA:
Función periódica
Sea A un subconjunto de reales sin cota superior ni inferior y sea p un número
real. Se dice que una función f no constante definida de A en es periódica con
período primitivo p si y sólo si p es el menor número real positivo que verifica
f(x) f(x p), x A
Actividad 12: Resuelvan el ejercicio 14 del capítulo 1 de la Guía de T.P
9. Funciones circulares inversas ( o trigonométricas inversas).
Definida de en , la función y = sen x no es inyectiva ni sobreyectiva,
pero puede transformarse en biyectiva con sólo restringirla de [- /2, /2]
en [-1,1]. Por lo tanto podemos definir su función inversa de [-1,1] en
[-/2,/2].
Si y = senx, cambiamos el nombre de las variables: x = sen y .
Para despejar “y”debemos definir una nueva función:
2 2
sen a cos a 1
sen a .cosec a 1, a k ,con k Z
cos a . sec a 1, a (2k 1). , con k Z
2
tg a . cot g a 1, a (2k 1). a k , con k Z
2
2 2
2 2
sen a
tg a , a (2k 1). , con k Z
2cos a
1 tg a sec a , a (2k 1). , con k Z
2
1 cot g a cosec a , a k , con k Z
p q p q p q p q
cos p cos q 2 cos .cos ; cos p cos q 2sen .sen
2 2 2 2
p q p q
sen p sen q 2 sen .cos
2 2
2 2
2
sen(a b) sen a .cos b cos a .sen b ; cos a b cos a .cos b sen a .sen b
sen 2a 2 sen a .cos a ; cos 2a cos a sen a
tg(a) tg(b) 2tg(a)
tg(a b) ; tg 2a
1 tg(a)tg(b) 1 tg (a)
25. 25
“y” es el arco cuyo seno es “ x”
“y” = arc sen “x”
A continuación mostramos los gráfico de ambas funciones y el de la recta
y=x respecto de la cual son simétricos
-4 -3.5 -3 -2.5 -2 -1.5 -1 -0.5 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 5
-2
-1.5
-1
-0.5
0.5
1
1.5
2
2.5
3
x
y
y=sen(x)
y=arc sen(x)
Con el mismo criterio se define como inversa de f:[0,][-1,1]/f(x) = cos x,
a : f- -1:[-1,1][0, ]/ f- -1 (x)=arc cos x.
-3.5 -3 -2.5 -2 -1.5 -1 -0.5 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 5 5.5 6
-3
-2
-1
1
2
3
4
5
x
y
y=cos(x)
y=arc cos(x)
Para que la tangente admita función inversa hay que considerarla definida
de (-/2,/2) en . Su inversa, y= arc tg x se define de en (-/2,/2)
26. 26
-3.5 -3 -2.5 -2 -1.5 -1 -0.5 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 5 5.5 6
-4
-3
-2
-1
1
2
3
4
5
x
y
y=tg(x)
y=arc tg(x)
Actividad 13: Resuelvan los ejercicios 3 y 16 del capítulo 1 de la Guía de
T.P
10. Funciones hiperbólicas y sus inversas.
Veremos sólo tres:
a) Sh:
x x
e e
/ f(x) Shx
2
b) Ch:
x x
e e
/ f(x) Chx
2
c) Th:
x x
x x
e e
/ f(x) Thx
e e
La función seno hiperbólico es biyectiva de en , por lo tanto
admite inversa. Si Shx se expresa a partir de exponenciales, es lógico pensar
que su inversa, que se llama “Argumento Shx”, puede expresarse a partir de
logaritmos.
1 2
f : / f(x) ArgSh(x) ln x 1 x
Del mismo modo, f: 0 [1, )/ f(x) Chx
es biyectiva y, por lo tanto
admite inversa: 1
0f :[1, )
definida por 1 2
f (x) ArgChx ln x x 1
Gráficos de las funciones hiperbólicas
x x
e e
f : /f(x) Sh(x)
2
27. 27
x x
x x
e e
f : /f(x) Th(x)
e e
x x
e e
f : /f(x) Ch(x)
2
28. 28
Veamos algunas propiedades de las funciones hiperbólicas:
1)
Shx
Thx
Chx
( La demostración es muy simple).
2) 2 2
Ch x Sh x 1
En efecto:
2 2x x x x
2 2 e e e e
Ch x Sh x
2 2
2x x x 2x 2x x x 2x
e 2e e e e 2e e e
4 4
=
2x x x 2x 2x x x 2x x x
e 2e e e e 2e e e 4e e
4 4
=1
3) 2 2
Ch x Sh x Ch(2x)
2 2x x x x
2 2 e e e e
Ch x Sh x
2 2
=
2x x x 2x 2x x x 2x
e 2e e e e 2e e e
4
2x 2x 2x 2x
2(e e ) e e
Ch(2x)
4 2
FUNCIONES HIPERBÓLICAS INVERSAS
Función ArgSh(x)
La función seno hiperbólico es biyectiva de en , por lo tanto admite
inversa. Si Shx se expresa a partir de exponenciales, es lógico pensar que su
29. 29
inversa , que se llama “Argumento Shx”, puede expresarse a partir de
logaritmos.
En efecto
y y 2y y y 2y
2e e e 2e .e e
y Shx Shy x x
2 4
2y y y 2y 2y y y 2y 2
2 4 e 2e .e e | e 2e .e e
1 x Ch y
4 4
Resulta:
y y
y y
2
e e
x
2
e e
1 x
2
Sumando miembro a miembro se tiene:
2 y 2
x 1 x e y ln x 1 x ArgSh[x]
Es decir, para
x x
e e
f : / f(x) Sh(x)
2
, la función inversa es
1 2
f : / f(x) ArgSh(x) ln x 1 x
Función ArgCh(x)
y= Shx
y= x
y= ArgShx
30. 30
1 2
f (x) ArgChx ln x x 1
También g: ( 1,1)/f(x) Thx es biyectiva y resulta su función inversa
1 1 1 x
g :( 1,1) / g(x) ArgThx ln
2 1 x
.
y=Chx
y=x
y=ArgChx
y=Thx
y=x
y=ArgThx
31. 31
También g: ( 1,1)/f(x) Thx es biyectiva y resulta su función inversa
1 1 1 x
g :( 1,1) / g(x) ArgThx ln
2 1 x
.