Este documento es el Capítulo 15 del documento http://www.slideshare.net/JamesSmith245/el-lgebra-una-perspectiva-diferente-que-la-integra-con-conocimentos-previos .
Las rectas son importantes en múltiples temas, por lo que figuran prominentemente en el álgebra. Desafortunadamente, presentan muchas dificultades a los alumnos, debido a que existen diferentes versiones de “la ecuación de la recta”, cada una con su propio juego de variables.
Todo resulta más claro cuando el alumno caiga en cuenta que existen diferentes conceptos de “la recta”. Cada concepto especifica la orientación y ubicación de una recta, utilizando una combina-ción distinta, de sus características.
Es más, a cada concepto corresponde su propia versión de “la ecuación de la recta”, en la que fi-guran (como “variables”) las mismas característi-cas utilizadas por su respectivo concepto.
Por lo mismo, muchos problemas se resuelven fácilmente identificando a cuál concepto de recta corresponden los datos. Una vez identificado éste, se sustituyen los datos en la versión de “la ecuación de la recta” apropiada al concepto. De ser ne-cesario, se trasforma la ecuación resultante en cualquiera otra forma que queramos.
This document discusses descriptive statistics for one variable. Descriptive statistics summarize and describe data through measures of central tendency (mean, median, mode), variability (variance, standard deviation), and relative standing (percentiles). The mean is the average value, the median is the middle value, and the mode is the most frequent value. Variance and standard deviation describe how spread out the data is. Percentiles indicate what percentage of values are below a given number. Examples are provided to demonstrate calculating and interpreting these common descriptive statistics.
Geometry 1.1 patterns and inductive reasoningkca1528
This document discusses inductive reasoning and pattern recognition. It provides examples of how observing patterns in areas like weather, geometry, and numbers can help make predictions. Readers are encouraged to look for patterns, make conjectures based on the patterns, and verify their conjectures to determine if they are true or false, sometimes using counterexamples. The document aims to teach inductive reasoning skills through examples of visual and numeric patterns.
Slope measures the steepness of a line and is calculated as the rise over the run between two points on the line. Slope is defined as the change in the y-values divided by the change in the x-values and is represented by the letter m. A line's slope does not change based on the two points used in the calculation. Vertical lines have undefined slopes, horizontal lines have a slope of zero, and all other non-vertical lines have a constant slope that can be found graphically, using a table, or using two points on the line.
Review Of Slope And The Slope Intercept Formulataco40
The document reviews slope and the slope-intercept formula y=mx+b. It provides examples of finding the slope and y-intercept of various lines given their graphs or two points on the line. It also demonstrates how to write the equation of a line given two points and how to find the x- and y-intercepts of a line given its equation.
The document provides an overview of key algebra concepts covered on the ACT exam, including expressions, equations, inequalities, functions, and quadratic equations. It discusses how to simplify and combine like terms in expressions, solve different types of equations (linear, quadratic, absolute value), factor expressions using techniques like greatest common factor and difference of squares, work with fractions and systems of equations. Example problems and step-by-step explanations are provided for many of the concepts. The document is intended as a review of essential algebra skills and strategies for tackling related questions that may appear on the ACT.
1) The mathematical study of probability originated through correspondence between Blaise Pascal and Pierre de Fermat in the 1650s about games of chance. They developed the classical approach to computing probabilities.
2) Later mathematicians like James Bernoulli and Abraham de Moivre generalized the classical method and applied probability to other domains like life insurance and biology.
3) Andrey Kolmogorov developed the first rigorous axiomatic approach to probability in 1933, establishing the modern framework for probability theory.
Este documento resume la conjetura de Goldbach, la cual establece que todo número par mayor que 2 puede escribirse como suma de dos números primos. Explica la historia de esta conjetura planteada por Christian Goldbach en 1742 y los intentos por demostrarla, incluyendo la demostración de la conjetura débil de Goldbach por Harald Helfgott en 2013. También presenta ejemplos y aplicaciones de esta conjetura en criptografía y algoritmos.
This document discusses descriptive statistics for one variable. Descriptive statistics summarize and describe data through measures of central tendency (mean, median, mode), variability (variance, standard deviation), and relative standing (percentiles). The mean is the average value, the median is the middle value, and the mode is the most frequent value. Variance and standard deviation describe how spread out the data is. Percentiles indicate what percentage of values are below a given number. Examples are provided to demonstrate calculating and interpreting these common descriptive statistics.
Geometry 1.1 patterns and inductive reasoningkca1528
This document discusses inductive reasoning and pattern recognition. It provides examples of how observing patterns in areas like weather, geometry, and numbers can help make predictions. Readers are encouraged to look for patterns, make conjectures based on the patterns, and verify their conjectures to determine if they are true or false, sometimes using counterexamples. The document aims to teach inductive reasoning skills through examples of visual and numeric patterns.
Slope measures the steepness of a line and is calculated as the rise over the run between two points on the line. Slope is defined as the change in the y-values divided by the change in the x-values and is represented by the letter m. A line's slope does not change based on the two points used in the calculation. Vertical lines have undefined slopes, horizontal lines have a slope of zero, and all other non-vertical lines have a constant slope that can be found graphically, using a table, or using two points on the line.
Review Of Slope And The Slope Intercept Formulataco40
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Este documento presenta un resumen de los conceptos fundamentales de cálculo vectorial como curvas planas, ecuaciones paramétricas, ecuaciones de rectas y planos en el espacio tridimensional. Incluye ejemplos y problemas típicos sobre estas nociones geométricas.
Este documento proporciona instrucciones sobre cómo interpretar y crear gráficos, incluida la selección de escalas adecuadas, etiquetado de ejes, y tipos de relaciones como lineales, cuadráticas e inversas. También explica cómo ajustar curvas de datos, linealizar relaciones no lineales para determinar ecuaciones empíricas, y el uso de papel log-log para graficar datos.
La ecuación de segundo grado tiene sus orígenes en la antigua Egipto y fue desarrollada por matemáticos como Diofanto de Alejandría. Los egipcios resolvían ecuaciones de la forma x + ax = b o x + ax + bx = 0. La ecuación de segundo grado generalmente se representa como ax2 + bx + c = 0, donde a, b y c son constantes. La resolución de ecuaciones de segundo grado no fue posible hasta el siglo XVI durante el Renacimiento en Italia usando la fórmula general.
Unidad 3 La Recta Y Su Ecuacion Cartesianabrekaluga4
Este documento trata sobre la unidad 3 de geometría analítica, la cual se enfoca en la recta y su ecuación cartesiana. Los propósitos son reafirmar el conocimiento de la geometría analítica al obtener la ecuación de la recta y avanzar en la solución analítica de problemas que involucren relaciones entre figuras rectilíneas. Se explican conceptos como la pendiente de una recta, las diferentes formas de representar la ecuación de una recta, y cómo encontrar la ecuación dada varios elementos de la rect
El documento presenta la unidad sobre la recta y su ecuación cartesiana en geometría analítica. Los propósitos son reafirmar el conocimiento de este método y avanzar en la solución analítica de problemas geométricos. Se explican conceptos como la pendiente de una recta, las distintas formas de obtener la ecuación cartesiana y cómo determinar elementos geométricos a partir de la ecuación.
Unidad 3 La Recta Y Su Ecuacion Cartesianabrekaluga4
Este documento trata sobre la unidad 3 de geometría analítica, que se enfoca en la recta y su ecuación cartesiana. El propósito es reafirmar el conocimiento del método de la geometría analítica al obtener la ecuación de la recta y avanzar en la solución analítica de problemas que involucren relaciones entre figuras rectilíneas. Al finalizar la unidad, los estudiantes deben poder encontrar la ecuación de una recta dados diferentes elementos que la definan, y utilizar la ecuación para resolver problemas geométric
Unidad 3 La Recta Y Su Ecuacion Cartesiana.brekaluga4
This document discusses the straight line and its Cartesian equation. It aims to reinforce knowledge of analytical geometry by obtaining the equation of a line and advancing the analytical solution of problems involving relationships between straight-line figures studied in Euclidean geometry. Some key points are: obtaining the equation of a line given different defining elements; recognizing the different algebraic forms of representing a line and identifying which to use depending on the given conditions; and using the equation of a line to find the elements that define its position and plot its graph.
Este documento presenta definiciones y conceptos básicos sobre vectores, incluyendo: 1) la definición de un vector en R2 y R3 y su interpretación geométrica, 2) las operaciones de álgebra vectorial como suma, diferencia y multiplicación de escalares, y 3) el producto escalar y vectorial. También introduce conceptos sobre ecuaciones de rectas y planos, incluyendo formas de representar la ecuación de una recta y cómo determinar la ecuación de un plano.
Este documento presenta información sobre la pendiente de rectas representadas por ecuaciones lineales. Explica cómo calcular la pendiente usando dos puntos y diferentes fórmulas. También cubre conceptos como rectas paralelas, perpendiculares, ecuaciones de rectas y ángulos de inclinación. El objetivo es determinar la pendiente de varias rectas dadas sus ecuaciones o puntos en un plano cartesiano.
El documento explica los conceptos básicos del plano cartesiano, incluyendo las coordenadas cartesianas (x,y), los ejes x e y, el origen, y cómo representar puntos en el plano. También describe cómo encontrar la ecuación de una recta dado un punto y la pendiente, o dados dos puntos, usando la fórmula de la pendiente y la ecuación principal de la recta.
El documento explica cómo obtener la ecuación de una recta a partir de su pendiente (m) y su ordenada al origen (b). Se demuestra que la ecuación general de una recta es y=mx+b. También cubre conceptos como la pendiente, ángulo entre rectas, ecuación de rectas que pasan por puntos dados y la distancia entre un punto y una recta.
Este documento presenta diferentes tipos de ecuaciones para rectas, incluyendo ecuaciones explícitas, implícitas, punto-pendiente y continuas. También define conceptos como rectas perpendiculares, paralelas e intersecantes y muestra cómo encontrar puntos de intersección entre rectas. Finalmente, concluye resumiendo los diferentes métodos para expresar ecuaciones de rectas.
El documento describe las características fundamentales de las rectas en geometría euclidiana y analítica. Define una recta como una sucesión continua e indefinida de puntos que se extiende en una sola dimensión. Explica que las rectas pueden expresarse mediante ecuaciones cartesiana que relacionan sus pendientes, puntos y vectores directores. Finalmente, introduce conceptos como distancias entre puntos, rectas y sistemas de ecuaciones lineales.
[..Software IDG..] Colisiones e intersecciones entre rectas y segmentosIvan Dragogear
Un simple método para comprobar la colisión de segmentos. Éste sencillo método puede usarse en cualquier lenguaje de programación pero aquí se usa como ejemplo en lenguaje Python.
Este documento explica diferentes sistemas de coordenadas como el cartesiano, cilíndrico y esférico. También describe la simetría de puntos respecto a otros puntos, el origen, ejes y rectas. Por último, define las funciones de varias variables, incluyendo su dominio y rango.
Este documento presenta una clase modelo sobre geometría analítica de la línea recta. Explica conceptos como coordenadas de puntos, distancia entre puntos, pendiente, inclinación, ecuaciones de rectas y diferentes formas de representar la ecuación de una recta. Incluye ejemplos resueltos y problemas propuestos para que los estudiantes practiquen y apliquen los conceptos.
Las ecuaciones paramétricas permiten representar curvas y superficies mediante valores que varían según un parámetro en lugar de una variable independiente. Esto permite describir curvas que no son funciones de una variable. Ejemplos comunes son las ecuaciones paramétricas de una circunferencia y elipse, donde el parámetro es el ángulo. Las ecuaciones paramétricas simplifican en ocasiones la derivación e integración al tratar tanto coordenadas como funciones del parámetro.
Este documento describe funciones de varias variables y sistemas de coordenadas. Explica que las funciones de varias variables tienen más de una variable independiente que controlan el valor de la variable dependiente. También describe diferentes sistemas de coordenadas como cartesianas, polares, cilíndricas y esféricas, y cómo transformar entre ellos. Incluye ejemplos de funciones de varias variables y cómo calcular su dominio.
Este documento resume las diferentes ecuaciones de rectas, incluyendo la ecuación general, ecuación punto pendiente, ecuación continua, y define rectas perpendiculares, paralelas e intersecantes. Explica cómo hallar la ecuación de una recta dados dos puntos o un punto y su pendiente, y cómo encontrar el punto de intersección de dos rectas.
Coordenadas Polares (Definiciones y Ejemplos)Medwini
Sistema de Coordenadas Polares
Sistema de referencia constituido por un eje que pasa por el origen. La primera coordenada es la distancia existente entre el origen y el punto, mientras que la segunda es el ángulo que forman el eje y la recta que pasa por ambos puntos.
Las coordenadas polares son un sistema que definen la posición de un punto en un espacio bidimensional consistente en un ángulo y una distancia.
En muchos casos es útil utilizar las coordenadas cartesianas para definir una función en el plano o en el espacio. Aunque en muchos otros, definir ciertas funciones en dichas coordenadas puede resultar muy tedioso y complicado. En dichos casos, hacer uso de las coordenadas polares o esféricas puede simplificarnos la vida.
Using a Common Theme to Find Intersections of Spheres with Lines and Planes v...James Smith
After reviewing the sorts of calculations for which Geometric Algebra (GA) is especially convenient, we identify a common theme through which those types of calculations can be used to find the intersections of spheres with lines, planes, and other spheres.
Via Geometric Algebra: Direction and Distance between Two Points on a Spheric...James Smith
As a high-school-level example of solving a problem via Geometric (Clifford) Algebra, we show how to calculate the distance and direction between two points on Earth, given the locations' latitudes and longitudes. We validate the results by comparing them to those obtained from online calculators. This example invites a discussion of the benefits of teaching spherical trigonometry (the usual way of solving such problems) at the high-school level versus teaching how to use Geometric Algebra for the same purpose.
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Unidad 3 La Recta Y Su Ecuacion Cartesiana.brekaluga4
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Similar a Cómo entender y usar fórmulas para las rectas (20)
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Solution of a Vector-Triangle Problem Via Geometric (Clifford) AlgebraJames Smith
As a high-school-level application of Geometric Algebra (GA), we show how to solve a simple vector-triangle problem. Our method highlights the use of outer products and inverses of bivectors.
Via Geometric (Clifford) Algebra: Equation for Line of Intersection of Two Pl...James Smith
As a high-school-level example of solving a problem via Geometric Algebra (GA), we show how to derive an equation for the line of intersection between two given planes. The solution method that we use emphasizes GA's capabilities for expressing and manipulating projections and rotations of vectors.
Solution of a Sangaku ``Tangency" Problem via Geometric AlgebraJames Smith
Because the shortage of worked-out examples at introductory levels is an obstacle to widespread adoption of Geometric Algebra (GA), we use GA to solve one of the beautiful \emph{sangaku} problems from 19th-Century Japan. Among the GA operations that prove useful is the rotation of vectors via the unit bivector
Un acercamiento a los determinantes e inversos de matricesJames Smith
Este documento presenta un resumen de tres oraciones sobre los determinantes e inversos de matrices. Introduce los conceptos de matrices y sistemas de ecuaciones lineales, y explica cómo la resolución de sistemas lleva a las ideas de determinantes de matrices y la inversa de una matriz. Finalmente, compara las versiones matricial y no matricial de resolver sistemas lineales.
Understanding the "Chain Rule" for Derivatives by Deriving Your Own VersionJames Smith
Because the Chain Rule can confuse students as much as it helps them solve real problems, we put ourselves in the shoes of the mathematicians who derived it, so that students may understand the motivation for the rule; its limitations; and why textbooks present it in its customary form. We begin by finding the derivative of sin2x without using the Chain Rule. That exercise, having shown that even a comparatively simple compound function can be bothersome to differentiate using the definition of the derivative as a limit, provides the motivation for developing our own formula for the derivative of the general compound function g[f(x)]. In the course of that development, we see why the function f must be continuous at any value of x to which the formula is applied. We finish by comparing our formula to that which is commonly given.
As a demonstration of the coherence of Geometric Algebra's (GA's) geometric and algebraic concepts of bivectors, we add three geometric bivectors according to the procedure described by Hestenes and Macdonald, then use bivector identities to determine, from the result, two vectors whose outer product is equal to the initial sum. In this way, we show that the procedure that GA's inventors defined for adding geometric bivectors is precisely that which is needed to give results that coincide with those obtained by calculating outer products of vectors that are expressed in terms of a 3D basis. We explain that that accomplishment is no coincidence: it is a consequence of the attributes that GA's designers assigned (or didn't) to bivectors.
Learning Geometric Algebra by Modeling Motions of the Earth and Shadows of Gn...James Smith
Because the shortage of worked-out examples at introductory levels is an obstacle to widespread adoption of Geometric Algebra (GA), we use GA to calculate Solar azimuths and altitudes as a function of time via the heliocentric model. We begin by representing the Earth's motions in GA terms. Our representation incorporates an estimate of the time at which the Earth would have reached perihelion in 2017 if not affected by the Moon's gravity. Using the geometry of the December 2016 solstice as a starting point, we then employ GA's capacities for handling rotations to determine the orientation of a gnomon at any given latitude and longitude during the period between the December solstices of 2016 and 2017. Subsequently, we derive equations for two angles: that between the Sun's rays and the gnomon's shaft, and that between the gnomon's shadow and the direction ``north" as traced on the ground at the gnomon's location. To validate our equations, we convert those angles to Solar azimuths and altitudes for comparison with simulations made by the program Stellarium. As further validation, we analyze our equations algebraically to predict (for example) the precise timings and locations of sunrises, sunsets, and Solar zeniths on the solstices and equinoxes. We emphasize that the accuracy of the results is only to be expected, given the high accuracy of the heliocentric model itself, and that the relevance of this work is the efficiency with which that model can be implemented via GA for teaching at the introductory level. On that point, comments and debate are encouraged and welcome.
Solution of a High-School Algebra Problem to Illustrate the Use of Elementary...James Smith
This document is the first in what is intended to be a collection of solutions of high-school-level problems via Geometric Algebra (GA). GA is very much "overpowered" for such problems, but students at that level who plan to go into more-advanced math and science courses will benefit from seeing how to "see" basic problems in GA terms, and to then solve those problems using GA identities and common techniques.
Nuevo Manual de la UNESCO para la Enseñanza de CienciasJames Smith
Este documento presenta el prefacio de una nueva edición del Manual de la Unesco para la Enseñanza de las Ciencias. Explica que la nueva edición actualiza el contenido y proporciona más material científico para cursos introductorios de ciencias. Detalla el proceso de revisión llevado a cabo por expertos de varios países bajo la coordinación de la Universidad de Maryland. El objetivo del manual es proveer ideas y recursos para que los maestros puedan enseñar ciencias de manera práctica utilizando materiales disponibles local
Calculating the Angle between Projections of Vectors via Geometric (Clifford)...James Smith
We express a problem from visual astronomy in terms of Geometric (Clifford) Algebra, then solve the problem by deriving expressions for the sine and cosine of the angle between projections of two vectors upon a plane. Geometric Algebra enables us to do so without deriving expressions for the projections themselves.
Estimation of the Earth's "Unperturbed" Perihelion from Times of Solstices an...James Smith
Published times of the Earth's perihelions do not refer to the perihelions of the orbit that the Earth would follow if unaffected by other bodies such as the Moon. To estimate the timing of that ``unperturbed" perihelion, we fit an unperturbed Kepler orbit to the timings of the year 2017's equinoxes and solstices. We find that the unperturbed 2017 perihelion, defined in that way, would occur 12.93 days after the December 2016 solstice. Using that result, calculated times of the year 2017's solstices and equinoxes differ from published values by less than five minutes. That degree of accuracy is sufficient for the intended use of the result.
Projection of a Vector upon a Plane from an Arbitrary Angle, via Geometric (C...James Smith
We show how to calculate the projection of a vector, from an arbitrary direction, upon a given plane whose orientation is characterized by its normal vector, and by a bivector to which the plane is parallel. The resulting solutions are tested by means of an interactive GeoGebra construction.
Formulas and Spreadsheets for Simple, Composite, and Complex Rotations of Vec...James Smith
We show how to express the representations of single, composite, and "rotated" rotations in GA terms that allow rotations to be calculated conveniently via spreadsheets. Worked examples include rotation of a single vector by a bivector angle; rotation of a vector about an axis; composite rotation of a vector; rotation of a bivector; and the "rotation of a rotation". Spreadsheets for doing the calculations are made available via live links.
How to Effect a Composite Rotation of a Vector via Geometric (Clifford) AlgebraJames Smith
We show how to express the representation of a composite rotation in terms that allow the rotation of a vector to be calculated conveniently via a spreadsheet that uses formulas developed, previously, for a single rotation. The work presented here (which includes a sample calculation) also shows how to determine the bivector angle that produces, in a single operation, the same rotation that is effected by the composite of two rotations.
A Modification of the Lifshitz-Slyozov-Wagner Equation for Predicting Coarsen...James Smith
The story behind this article is instructive, and even a bit troubling. I wrote it in 1991 as a continuation of part of my Doctoral thesis, which I’d completed a few years earlier. During that research, I’d found that scientists who’d done very fine laboratory work on Ostwald ripening during the 1960s had made a curious error in simple mass balances when deriving a rate equation for Ostwald ripening starting from the minimum-entropy-production-rate (MEPR) principle.
That error led the 1960s scientists to reject (with commendable honesty) their hypothesis that the MEPR principle is applicable to Ostwald ripening. Like all the rest of us metallurgists back then, I didn’t catch that error, until I examined the derivation of the MEPR-based rate equation in detail during my thesis work. However, I didn’t manage to re-derive the rate equation fully until I took up the subject again in the early 1990s. The scientists who did such fine lab work in the 1960s would no doubt have been pleased to learn that their empirical results agreed quite well with predictions made by the corrected equation. Thus, those scientists were correct in their hypothesis about the MEPR principle’s applicability.
I continue to wonder how we metallurgists overlooked, for more than two decades, the simple error that led those scientists to conclude, mistakenly but honestly, that they’d been wrong.
I never did manage to publish this article, but the same derivations and analyses were published by other researchers within a few years. Some of the reviewers’ comments on the article are addressed in the second article in this document, “Comments on ‘Ostwald Ripening Growth Rate for Nonideal Systems with Significant Mutual Solubility’”.
ACERTIJO DESCIFRANDO CÓDIGO DEL CANDADO DE LA TORRE EIFFEL EN PARÍS. Por JAVI...JAVIER SOLIS NOYOLA
El Mtro. JAVIER SOLIS NOYOLA crea y desarrolla el “DESCIFRANDO CÓDIGO DEL CANDADO DE LA TORRE EIFFEL EN PARIS”. Esta actividad de aprendizaje propone el reto de descubrir el la secuencia números para abrir un candado, el cual destaca la percepción geométrica y conceptual. La intención de esta actividad de aprendizaje lúdico es, promover los pensamientos lógico (convergente) y creativo (divergente o lateral), mediante modelos mentales de: atención, memoria, imaginación, percepción (Geométrica y conceptual), perspicacia, inferencia y viso-espacialidad. Didácticamente, ésta actividad de aprendizaje es transversal, y que integra áreas del conocimiento: matemático, Lenguaje, artístico y las neurociencias. Acertijo dedicado a los Juegos Olímpicos de París 2024.
SEMIOLOGIA DE HEMORRAGIAS DIGESTIVAS.pptxOsiris Urbano
Evaluación de principales hallazgos de la Historia Clínica utiles en la orientación diagnóstica de Hemorragia Digestiva en el abordaje inicial del paciente.
José Luis Jiménez Rodríguez
Junio 2024.
“La pedagogía es la metodología de la educación. Constituye una problemática de medios y fines, y en esa problemática estudia las situaciones educativas, las selecciona y luego organiza y asegura su explotación situacional”. Louis Not. 1993.
La Unidad Eudista de Espiritualidad se complace en poner a su disposición el siguiente Triduo Eudista, que tiene como propósito ofrecer tres breves meditaciones sobre Jesucristo Sumo y Eterno Sacerdote, el Sagrado Corazón de Jesús y el Inmaculado Corazón de María. En cada día encuentran una oración inicial, una meditación y una oración final.
LA PEDAGOGIA AUTOGESTONARIA EN EL PROCESO DE ENSEÑANZA APRENDIZAJEjecgjv
La Pedagogía Autogestionaria es un enfoque educativo que busca transformar la educación mediante la participación directa de estudiantes, profesores y padres en la gestión de todas las esferas de la vida escolar.
Dosificación de los aprendizajes U4_Me gustan los animales_Parvulos 1_2_3.pdf
Cómo entender y usar fórmulas para las rectas
1. Capítulo 15
Sobre las rectas
as rectas son importantes en múltiples temas,
por lo que figuran prominentemente en el
álgebra. Desafortunadamente, presentan muchas
dificultades a los alumnos, debido a que existen di-
ferentes versiones de “la ecuación de la recta”, ca-
da una con su propio juego de variables.
Todo resulta más claro cuando el alumno caiga
en cuenta que existen diferentes conceptos de “la
recta”. Cada concepto especifica la orientación y
ubicación de una recta, utilizando una combina-
ción distinta, de sus características.
Es más, a cada concepto corresponde su propia
versión de “la ecuación de la recta”, en la que fi-
guran (como “variables”) las mismas característi-
cas utilizadas por su respectivo concepto.
Por lo mismo, muchos problemas se resuelven
fácilmente identificando a cuál concepto de recta
corresponden los datos. Una vez identificado éste,
se sustituyen los datos en la versión de “la ecua-
ción de la recta” apropiada al concepto. De ser ne-
cesario, se trasforma la ecuación resultante en
cualquiera otra forma que queramos.
En este capítulo:
● Las ecuaciones para rectas.
● Los tres conceptos distintos, de las rectas; y las ecua-
ciones que corresponden a cada concepto.
● Cómo trasformar las ecuaciones.
● Problemas típicos.
● Resumen del capítulo.
L
2. Un repaso del álgebra
Página 2 de 14
Las ecuaciones para rectas
Es probable que conozcas varias ecuaciones para las rectas. Todas nos
cuentan, por medio de una ecuación, la relación que existe entre las co-
ordenadas x y y de todos los puntos que pertenecen a una recta.
Algunas de las “Ecuaciones de la Recta”
Pero, ante un problema que trata de rectas, ¿cuál ecuación deberíamos
usar? Como lo mencionamos en la introducción, cada ecuación es apro-
piada a cierto concepto de la recta. Sin exageración, podríamos decir
que cada una es la ecuación “natural” para la recta, según su respectivi-
to concepto de ésta.
A continuación, veremos ejemplos que ilustran estas ideas.
Los tres conceptos distintos, de las rectas
Los tres conceptos se presentarán con referencia a la siguiente recta L,
y un punto arbitrario (P) que a ella pertenece. Para cada ejemplo, se
proporcionará su propia ecuación “natural” para la recta.
Concepto I: La recta como una línea con una orientación
dada, y que pasa por un punto dado.
En el siguiente diagrama, la línea es L. “D” es el punto dado. Su ubica-
ción es precisada por medio de las coordenadas de D con respecto a un
sistema de referencia cartesiano. La orientación de L es dada por medio
del número m, lo cual es la pendiente de L con respecto a los ejes del
mismo sistema de referencia:
Éstas son las ecuaciones más
comunes de la recta, pero no
son las únicas.
3. Capítulo 15 Sobre las rectas
Página 3 de 14
La ecuación “natural” para esta situación es
.
Enfatizo que todos los puntos que pertenecen a L tienen coordenadas
que cumplen dicha relación.
A modo de ejemplo, ¿cuál es las ecuación, de la forma ,
para la recta de pendiente 3, que pasa por el punto (2,1)? Bueno, el pun-
to dado es (2,1), por lo que xD = 2, y yD = 1. La pendiente (m) es 3. En-
tonces, sustituimos estos valores en “la ecuación natural”
,
para obtener
. (Véase el diagrama, abajo.)
Un tipo especial de “línea con una orientación dada, y que pasa por un
punto dado” es aquello en que el punto dado se encuentra sobre el eje y
del sistema de referencia:
Interpretación geométrica
de la fórmula .
En este concepto, la orienta-
ción y ubicación de la recta
son precisados por medio de
tres números: la pendiente
m, y las coordenadas x y y
del punto dado (D).
4. Un repaso del álgebra
Página 4 de 14
En estos casos, la coordenada x del punto D es cero (0), y nuestra
“ecuación natural” resulta más simple:
.
En esta última ecuación, podemos despejar al y para obtener la bien
conocida fórmula
.
Nótese que b es la ordenada (o sea, la coordenada y) del punto de
intersección de L con el eje y. Así que dicho punto se encuentre direc-
tamente arriba del origen del sistema de referencia. Por lo tanto, se dice
que b es “la ordenada en el origen” de la recta L, y que la ecuación
“ ” es la fórmula “pendiente-ordenada en el origen” para la
recta.
A modo de ilustración, consideremos de nuevo la recta R en el
ejemplo anterior. Esta vez, “ampliemos el campo de vista” para ver el
punto intersección de R con el eje y:
Los pasos en el despeje de y:
.
5. Capítulo 15 Sobre las rectas
Página 5 de 14
El punto intersección de L con el eje y es -5, y la pendiente m es 3, en-
tonces la ecuación de la forma “pendiente-ordenada en el origen” es
3 5 .
Cabe mencionar que en el ejemplo anterior, en el que mostramos el
uso de la ecuación , obtuvimos para la misma recta R, la ecua-
ción
3 .
Entonces, al parecer hemos obtenido dos relaciones distintas, entre las
coordenadas x y y de los puntos que pertenecen a R. Pero, ¿son distin-
tas, en verdad? Es importante resolver esta duda, pero ¿cómo hacerlo?
Es razonable empezar por despejar al y en la ecuación 3, para
ver si la ecuación que resulte coincide con aquella que obtuvimos a par-
tir de la ordenada en el origen de R:
3 .
2 3 2
1 3 6
1 1 3 6 1
3 5.
Entonces sí, coinciden, por lo que podemos decir que
6. Un repaso del álgebra
Página 6 de 14
Las ecuaciones 3 y 3 5 nos cuentan una y
la misma relación entre x y y. Ambas corresponden al
mismo concepto de la recta, pero parten de elecciones
distintas, del punto que precisa la ubicación de la recta.
Ésta es una muestra de lo que veremos es una maniobra altamente
útil: la de trasformar la ecuación “natural” para un concepto, en una que
pueda resultar más conveniente para nuestros trabajos posteriores. En
el caso presente, vimos que una ecuación de la forma tiene
una interpretación geométrica bastante llamativa, por lo que es fácil
memorizarla e identificar las cantidades que en ella figuran. En cambio,
una ecuación de la forma nos cuenta más claramente, la
relación entre las coordenadas x y y de los puntos que pertenecen a la
recta. Por lo tanto, ante un problema en el que sabemos la pendiente de
una recta y las coordenadas de un punto por el que la recta pasa, a me-
nudo adoptamos la siguiente estrategia:
1. Sustituir en ., los datos apropiados al problema entre
manos; y
2. De ser necesario, transformar la ecuación resultante, en una de
la forma .
Concepto II: Una línea que pasa por dos puntos dados.
En este concepto, la ubicación y orientación de una recta se especifican
por identificar dos puntos por los que la recta pasa. En otras palabras,
“dos puntos que pertenecen a la recta”, o “dos puntos que se encuentran
sobre la recta”. En el diagrama siguiente, los dos puntos dados son D1 y
D2, L es la recta que pasa por éstos, y P es algún punto arbitrio sobre L.
La ecuación adecuada (“natural”) para esta situación es
1
1
2 1
2 1
.
Es decir, que todos los puntos que pertenecen a L tienen coordenadas
que cumplen dicha relación.
Por ejemplo, ¿cuál ecuación, de la forma 1
1
2 1
2 1
corres-
ponde a la recta que pasa por los puntos (2,1) y (3,4)? Bueno, tomemos
En este concepto, la
orientación y ubicación
de la recta son precisa-
dos por medio de tres
números: la pendiente
m, y las coordenadas x
y y del punto dado (D).
Interpretación geométrica
de la fórmula
1
1
2 1
2 1
.
Nótese que igualmente, se
cumple
2 1
2 1
.
En verdad, no importa cuál
de los puntos se etiqueta de
D1, y cuál de D2.
7. Capítulo 15 Sobre las rectas
Página 7 de 14
como D1, el punto (2,1), y como D2 el punto (3,4). Entonces, sustituimos
estos valores en “la ecuación natural”
1
,
para obtener
. (Véase el diagrama, abajo.)
Obtenida la ecuación , puede que nos convenga transformarla
en una de la forma , o . Por supuesto,
3 ,
la cual es de la forma . Es más, hemos visto que partiendo de
una ecuación tal, se puede obtener una de la forma por
despejar al y. Entonces,
3 3 5 .
Concepto III: Una recta es el conjunto de todos los puntos
cuyas coordenadas cumplen una ecuación “lineal”; o sea,
del primer grado.
En los dos conceptos anteriores, sus ecuaciones “naturales” expresaron
una relación geométrica entre (1) las características que precisaban la
ubicación y orientación de L, y (2) las coordenadas de los puntos que a
ella pertenecen. Vimos que a partir de la ecuación “natural”, pudimos
desarrollar una que expresara en forma más conveniente, la relación
matemática entre las coordenadas de sus puntos.
Nuestro tercer concepto es diferente, por cuanto nos presenta una
ecuación tal, junto con un marco de referencia cartesiano, y nos dice
que la recta L es aquella para la que todos sus puntos tienen coordena-
También, (entre otras),
,
y
.
El alumno debería demostrar
que llegamos a la misma
3 5
partiendo de las variantes
arriba presentadas. A saber,
de
,
y
.
8. Un repaso del álgebra
Página 8 de 14
das que cumplen la ecuación. Porque P pertenece a la recta L, la misma
ecuación la cumplen las coordenadas x y y de P.
La ecuación que nos cuanta la relación entre las coordenadas tiene, por
lo general, tiene una de las siguientes formas:
, o
.
Hemos visto que la forma apareció también en el pri-
mer Concepto de la recta, en el que ésta ecuación es la “natural” cuando
el “punto dado” es el punto intersección de L con el eje y. Ahora vemos
que esta forma es “natural” también, para el Concepto III. Entonces, de
vuelta a la recta que hemos estado usando como nuestro ejemplo,
Cómo trasformar las ecuaciones
Hemos visto unos cuantos ejemplos de cómo trasformar las ecuaciones
para rectas, pero nos servirá practicar un poco más.
Ejemplo:
Trasformar la ecuación en una de la forma
.
Una solución:
Partiendo de , “despejamos al b”, para obtener
L
El Concepto III,
y “La gráfica de una
ecuación”
A diferencia de los otros dos
conceptos, en el uso más
común del tercer concepto, L
no es una recta “real”. En
cambio, es “la gráfica” de la
ecuación dada.
Para dibujar L, empeza-
mos por identificar unos
cuantos “pares ordenados”
(x,y) que cumplan la ecua-
ción.
Acto seguido, usamos
estos pares como coordena-
das de puntos en una hoja
cuadriculada (la forma más
conveniente del plano carte-
siano).
Por fin, se unen los pun-
tos con una regla, para “di-
bujar la gráfica” de la ecua-
ción.
9. Capítulo 15 Sobre las rectas
Página 9 de 14
,
en la que -m se identifica con A, 1 con B, y b con C.
Ejemplo:
Trasformar la ecuación 2 4 en una de la forma
.
Una solución:
Partiendo de 2 4 , “despejamos al -4”, para obtener
2 4 ,
en la que -2 se identifica con A, 1 con B, y -4 con C.
Ejemplo:
Trasformar la ecuación en una de la forma
.
Una solución:
Partiendo de , despejamos al y, para obtener
,
en la que se identifica con m, y con b.
Ejemplo:
Trasformar la ecuación 3 4 5 en una de la forma
.
Una solución:
Partiendo de 3 4 5, despejamos al y, para obtener
,
en la que se identifica con m, y con b.
Problemas típicos
1. ¿Cuál es la ecuación (forma: ) de la recta de pendiente 2,
que pasa por el punto (3,5)?
Solución:
Los datos son la pendiente y las coordenadas del punto dado, por lo
que usamos el Concepto I. Su ecuación “natural” es , en
la que sustituimos nuestros dados para obtener
.
Ésta no tiene la forma solicitada, entonces la trasformamos en
2 1 .
2. ¿Cuál es la ecuación (forma: ) de la recta de pen-
diente 3, que corta el eje y en el punto (0,4)?
Igualmente,
2 4 .
10. Un repaso del álgebra
Página 10 de 14
Primera solución:
Los datos son la pendiente y las coordenadas del punto dado, por lo
que usamos el Concepto I. Su ecuación “natural” es , en
la que sustituimos nuestros dados para obtener
.
Ésta no tiene la forma solicitada, entonces la trasformamos en
3 4 .
Segunda solución:
Los datos son la pendiente y la ordenada en el origen, por lo que
usamos el Concepto I, pero con la “ecuación “natural” ,
en la que sustituimos nuestros dados para obtener
.
la que tiene la forma solicitada.
3. ¿Cuál es la ecuación (forma: ) de la recta que pasa por
los puntos (2,4) y (4,0)?
Solución:
Los datos son las coordenadas de los dos puntos dados, por lo que
usamos el Concepto II. Su ecuación “natural” es
1
,
en la que sustituimos nuestros dados para obtener
.
Ésta no tiene la forma solicitada, entonces la trasformamos en
2 8 .
4. Encontrar las coordenadas del punto de intersección de la recta que
posa por los puntos (1,-1) y (3,3), con aquella que pasa por los pun-
tos (2,7) y (4,3).
Solución:
El punto de intersección pertenece a ambas rectas, por lo que sus
coordenadas cumplen las ecuaciones para ambas rectas. Entonces,
encontraremos, para cada recta, una ecuación de la forma
. Los datos para cada recta son las coordenadas de dos
“puntos dados”, por lo que usamos primero, el Concepto II y su
ecuación “natural”,
1
.
Para la primera recta, esta ecuación se convierte en
2 3 . (Primera recta.)
Para la segunda recta, tenemos
Igualmente,
.
11. Capítulo 15 Sobre las rectas
Página 11 de 14
2 11 . (Segunda recta.)
Ahora, etiquetemos de P el punto de intersección, y sus coorde-
nadas de (xP,yP). Todos los puntos que pertenecen a la primera re-
cta cumplen la ecuación 2 3. Debido a que P pertenecen a
esta recta, xP y yP cumplen esta ecuación. Entonces, sabemos que
2 3 .
Pero P pertenece a la segunda recta también, luego (así como
para todos los puntos que la pertenecen) xP y yP cumplen
2 11. Por lo tanto, sabemos que
2 11 .
Estas dos ecuaciones ( 2 3 y 2 11) nos
permiten identificar las coordenadas xP y yP. De 2 3 y
2 11 se tiene que
2 3 2 11 , luego , lo que nos lleva a 4 :
5. Un OVNI es observado por dos personas. (Véase el siguiente dia-
grama.) La línea de vista entre el OVNI y la primera persona (A) tie-
ne una pendiente de con respecto al horizontal. El segundo obser-
vador (B) nota que el OVNI está alineado con el punto del árbol. En-
cuentre la distancia horizontal entre A y el OVNI, y también la altitud
del OVNI con respecto a A.
12. Un repaso del álgebra
Página 12 de 14
Solución:
Así como en todos los problemas reales, podemos definir cualquier
marco de referencia que nos convenga. Es razonable elegir la ubi-
cación de A para el origen, y para el eje x, una recta horizontal que
pasa por A.
De esta forma, la distancia horizontal entre el OVNI y el obser-
vador A será la coordenada x del OVNI. Su coordenada y será la al-
titud del OVNI con respecta a A. Para identificar dichas coordena-
das, encontramos el punto de intersección (P) de dos rectas:
Ubicación
del OVNI
Punto
del árbol
Para ambos ejes, la unidad de medida es “metros”.
Árbol:
Altura 30 m
200 m
180 m
20 m
13. Capítulo 15 Sobre las rectas
Página 13 de 14
El ejemplo previo nos mostró cómo encontrar las coordenadas
de P. Primero, encontraremos una ecuación de la forma
para cada recta. Para la recta que pasa por A, sabemos la pendien-
te, y su ordenada en el origen (b) es cero. Entonces,
(para la recta que pasa por A).
Sabemos que esta relación se verifica para todos los puntos que
pertenecen a esta recta, por lo que se verifica para P. Entonces,
.
Para la recta que pasa por B y C, tenemos las coordenadas de
los dos puntos, por lo que empezamos con una ecuación de la forma
:
.
Despejando al y, se obtiene
320 (para la recta que pasa por B y C).
Sabemos que esta relación se verifica para todos los puntos que
pertenecen a esta segunda recta, por lo que se verifica para P. En-
tonces,
320 .
Así como en el ejemplo previo, hemos obtenido dos ecuaciones
con dos incógnitas. Al resolver este sistema de ecuaciones, se en-
cuentra que
120 , 140 ,
o sea, que con respecto a A, el OVNI está a una distancia horizontal
de 120 m, con una altitud de 140 m.
Resumen del capítulo.
● Hay varios conceptos de la recta. Cada uno especifica la ubicación y
orientación de una recta utilizando un conjunto distinto, de sus ca-
racterísticas.
● A cada concepto corresponde su propia versión de “la ecuación de
la recta”, en la que figuran (como “variables”) las mismas caracterís-
ticas utilizadas por su respectivo concepto.
● Muchos problemas se resuelven fácilmente identificando a cuál con-
cepto de recta corresponden los datos. Una vez identificado éste, se
sustituyen los datos en la versión de “la ecuación de la recta” apro-
piada al concepto. De ser necesario, se trasforma la ecuación resul-
tante en cualquiera otra forma que queramos.
● Para cualquiera recta dada, su ecuación nos cuenta una relación
entre coordenadas, que se verifica para todos y cada uno de los
puntos que pertenecen a la recta.
Un poco de la resolución:
De las dos ecuaciones
y
320 ,
Se obtiene que
320
320
320
320
320
· 320
120 .
14. Un repaso del álgebra
Página 14 de 14
● Al resolver problemas reales, podemos definir cualquier marco de
referencia que nos convenga.