Las ecuaciones paramétricas permiten representar curvas y superficies mediante valores que varían según un parámetro en lugar de una variable independiente. Esto permite describir curvas que no son funciones de una variable. Ejemplos comunes son las ecuaciones paramétricas de una circunferencia y elipse, donde el parámetro es el ángulo. Las ecuaciones paramétricas simplifican en ocasiones la derivación e integración al tratar tanto coordenadas como funciones del parámetro.

1. República Bolivariana de Venezuela
Ministerio del poder popular para la Educación
Instituto Universitario Politécnico
“SANTIAGO MARIÑO”
ING. CIVIL
TUTOR: BACHILLER:
Daniel J Guzman
C.I: 26.543.453
Barcelona, Noviembre 2019

2. Una ecuación paramétrica permite representar una o varias curvas o superficies en el plano o en el espacio,
mediante valores arbitrarios o mediante una constante, llamada parámetro, en lugar de mediante una variable
independiente de cuyos valores se desprenden los de la variable dependiente. Un ejemplo simple de la
cinemática, es cuando se usa un parámetro de tiempo (t) para determinar la posición y la velocidad de un
móvil.
En el uso estándar del sistemas de coordenadas, una o dos variables (dependiendo de si se utilizan dos o
tres dimensiones respectivamente) son consideradas como variables independientes, mientras que la restante
es la variable dependiente, con el valor de ésta siendo equivalente al de la imagen de la función cuando los
restantes valores son sus parámetros. Así por ejemplo la expresión de un punto cualquiera equivale a la
expresión .

3. Un vector en R es un arreglo ordenado de n números reales.
Podemos escribir un vector como la lista de sus componentes:
Equivalentemente, como una columna
Podemos sumar dos vectores del mismo tamaño, y también multiplicar vectores por números.

4. Gráficamente, la suma en R2 se representa:

5. Un vector tiene magnitud, dirección con sentido positivo o negativo y punto de aplicación.
Pero una cantidad vectorial puede estar completamente especificada si solo se da su magnitud
y su dirección.
Por ejemplo: Se mueve un cuerpo 45° al norte del este aplicando una fuerza de500 Newton.

6. PLANO CARTESIANO
El plano cartesiano es un sistema de referencia bidimensional, es decir que tiene dos variables
para la ubicación de un lugar geométrico específico.
Está conformado por dos rectas perpendiculares entre sí denominados ejes del plano, la
horizontal recibe el nombre de eje “x” o abscisa, en tanto la vertical recibe el nombre de eje “y” o
ordenadas.
La intersección de estos dos ejes se llama origen (0,0), que es el centro del sistema cartesiano.
Además, se numeran los cuadrantes que tiene el plano de la siguiente manera:

7. CÓMO UBICAR UN PUNTO EL PLANO CARTESIANO
Es importante denotar que un punto representa un lugar geométrico en el plano cartesiano, está
conformado por dos variables: una en el eje “x” y otra en el eje “y”, a este punto lo llamaremos
par ordenado (x,y).
Por ejemplo: Ubicar el par ordenado (4,5) en el plano cartesiano.
1. Ubicar en el origen
2. Avanzar en un movimiento horizontal la cantidad de veces que indica la primera coordenada,
hacia la derecha si la coordenada “x” es positiva o hacia a la izquierda si la coordenada “x” es
negativa.
3. Finalmente, avanzar en movimiento vertical la cantidad de veces que indica la segunda
coordenada, hacia arriba si la coordenada “y” es positiva o hacia abajo si la coordenada “y” es
negativa.
Entonces, K representa el punto (4,5).

8. CÓMO UBICAR UN PUNTO EL PLANO CARTESIANO

9. VECTOR EN EL PLANO CARTESIANO
Un vector es una herramienta geométrica que en el plano cartesiano generará una transformación
que podrá mover objetos dentro de él hacia otros lugares geométricos de éste.
Los vectores actúan sobre figuras o puntos, moviéndolos según las coordenadas que éste tenga.
Por ejemplo, para aplicar el vector traslación (-2,-4) sobre el punto del ejemplo anterior, debemos
seguir el siguiente procedimiento:
1. Nos ubicamos en el punto al que aplicaremos el vector traslación.
2. Avanzamos en un movimiento horizontal la cantidad de veces que indica la primera coordenada,
hacia la derecha si la primera coordenada “x” es positiva o hacia a la izquierda si la coordenada “x”
es negativa.
3. Luego, avanzamos en movimiento vertical la cantidad de veces que indica la segunda
coordenada, hacia arriba si la segunda coordenada es positiva o hacia abajo si la segunda
coordenada es negativa.

10. VECTOR EN EL PLANO CARTESIANO
Entonces al aplicar el vector traslación de (-2,-4) al punto K (4,5), el nuevo punto quedará ubicado
en M (2,1):
Se puede encontrar el punto trasladado de una forma rápida y fácil. Basta con sumar las coordenadas
del punto con su vector traslación: (4,5) + (-2,-4 ) = (4-2,5-4) = (2,1). Así, las coordenadas del nuevo
punto serán (2,1).
No olvidar que un vector se puede aplicar a una figura también, para eso se debe tomar por separado
cada uno de los puntos de la figura y aplicar el proceso antes mencionado.

11. COMBINACIÓN LINEAL DE VECTORES
Una combinación lineal de n vectores:
n R es un vector que se puede escribir de la forma:
Donde r1, r2…son escalares reales.
Un ejemplo sencillo de combinación lineal de dos vectores es

12. VECTOR UNITARIO
Un vector unitario es un vector con magnitud 1, sin unidades. Su única finalidad consiste en
direccionar, es decir, describir una dirección en el espacio. Los vectores unitarios ofrecen una
notación cómoda para muchas expresiones que incluyen componentes de vectores.
Siempre incluiremos un acento circunflejo o “sombrero” sobre el símbolo de un vector unitario para
distinguirlo de los vectores ordinarios cuya magnitud podría o no ser 1.
En un sistema de coordenadas x-y podemos definir un vector unitario que apunte en la dirección
del eje 1x y un vector unitario que apunte en la dirección del eje 1y.
Así, expresamos la relación entre vectores componentes y componentes, como sigue:

13. VECTOR UNITARIO
Los signos igual y más en negritas indican igualdad y suma de vectores.
Cuando representamos dos vectores y en términos de sus componentes, podemos expresar la
resultante usando vectores unitarios como sigue:

14. PRODUCTO DE VECTORES
El producto vectorial de Gibbs o producto cruz es una operación binaria entre dos vectores en
un espacio tridimensional. El resultado es un vector perpendicular a los vectores que se
multiplican, y por lo tanto normal al plano que los contiene. Debido a su capacidad de obtener un
vector perpendicular a otros dos vectores, cuyo sentido varía de acuerdo al ángulo formado entre
estos dos vectores, esta operación es aplicada con frecuencia para resolver problemas
matemáticos, físicos o de ingeniería.

15. Las ecuaciones Paramétricas permiten representar una curva o superficie en el plano o en el
espacio, mediante valores que recorren un intervalo de números reales, mediante una
variable, llamada parámetro, considerando cada coordenada de un punto como una función
dependiente del parámetro.
En el uso estándar del sistema de coordenadas, una o dos variables (dependiendo de si se
utilizan dos o tres dimensiones respectivamente) son consideradas como variables
independientes, mientras que la restante es la variable dependiente, con el valor de esta
siendo equivalente al de la imagen de la función cuando los restantes valores son sus
parámetros. Así por ejemplo la expresión de un punto cualquiera {(x,y)} equivale a la
expresión {(x,f(x))}.
Esta representación tiene la limitación de requerir que la curva sea una función de {x} en {y},
es decir que todos los valores {x} tengan un valor {y} solo un valor correspondiente en {y}. No
todas las curvas cumplen con dicha condición. Para poder trabajar con la misma como si se
tratara de una función, lo que se hace es elegir un dominio y una imagen diferentes, en donde
la misma sí sea función. Para hacer esto, tanto x como y son considerados variables
dependientes, cuyo resultado surge de una tercera variable (sin representación gráfica)
conocida como «parámetro».

16. En algunos casos, ayuda a simplificar la derivación y la integración, en vez del caso {y=f(x)} o
de {z=F(x,y)}. Un caso paradigmático, la representación de la cicloide por ecuaciones
paramétricas.
Ejemplo N°1:
Sea {3x-2y-5=0} la ecuación general de una recta, entonces caben las ecuaciones
paramétricas
Ejemplo N°2:
Dada la ecuación {y=x^{2},} una parametrización tendrá la forma:

17. Una parametrización posible sería.
CURVA NOTABLES
CIRCUNFERENCIAS:
Una circunferencia con centro en el origen de coordenadas y radio r verifica que
Una expresión paramétrica es
Ecuación paramétrica de
la circunferencia goniométrica. La
variable t es el ángulo y sus puntos
son: (x, y) = (cost, sint).

18. ELIPSE
Una elipse con centro en (X0, yo), que se intersecte con el eje X en (X0 ± α,0), y con el eje Y en (0,
y0 ± b), verifica que:
Una expresión paramétrica es

19. REPRESENTACIÓN PARAMÉTRICA DE UNA CURVA
La representación paramétrica de una curva en un espacio n-dimensional consiste en n funciones
de una variable t que en este caso es la variable independiente o parámetro (habitualmente se
considera que t es un número real y que los puntos del espacio n-dimensional están representados
por n coordenadas reales), de la forma donde xi representa la i-ésima
coordenada del punto generado al asignar valores del intervalo [a, b] a t.
Por ejemplo, para representar una curva en el espacio se usan 3 funciones x = x(t), y = y(t), z = z(t)
Es común que se exija que el intervalo [a, b] sea tal que a cada punto a ≤ t < b le corresponda un
punto distinto de la curva; si las coordenadas del punto obtenido al hacer t = a son las mismas del
punto correspondiente a t = b la curva se denomina cerrada.

20. REPRESENTACIÓN PARAMÉTRICA DE UNA CURVA
Se dice que un punto de la curva correspondiente a un valor t del intervalo es un punto ordinario si
las derivadas de las funciones paramétricas existen en y son continuas en ese punto y al menos
una es distinta de 0. Si un arco de curva está compuesto solamente de puntos ordinarios se
denomina suave.
Es común resumir las ecuaciones paramétricas de una curva en una sola ecuación vectorial
donde êk representa al vector unitario correspondiente a la coordenada k-ésima. Por ejemplo, las
funciones paramétricas de un círculo unitario con centro en el origen son x = cos t, y = sen t.
Podemos reunir estas ecuaciones como una sola ecuación de la forma
Siendo (î ĵ) la base usual del espacio
bidimensional real

21. Es un sistema de coordendas bidimensional en el cual cada punto del plano se determina por un ángulo y
una distancia.
De manera más precisa, se toman: un punto O del plano, al que se le llama origen o polo, y una recta
dirigida (o rayo, o segmento OL) que pasa por O, llamada eje polar (equivalente al eje x del sistema
cartesiano), como sistema de referencia.
Con este sistema de referencia y una unidad de medida métrica (para poder asignar distancias entre cada
par de puntos del plano), todo punto P del plano corresponde a un par ordenado (r, θ) donde r es la
distancia de P al origen y θ es el ángulo formado entre el eje polar y la recta dirigida OP que va de O a P. El
valor θ crece en sentido antihorario y decrece en sentido horario. La distancia r (r ≥ 0) se conoce como la
«coordenada radial» o «radio vector», mientras que el ángulo es la «coordenada angular» o «ángulo polar».

22. En el caso del origen , O, el valor de r es cero, pero el valor de θ es indefinido. En ocasiones se adopta la
convención de representar el origen por (0,0º).
En el plano de ejes xy con centro de coordenadas en el punto O se puede definir un sistema de
coordenadas polares de un punto M del plano, definidas por la distancia r al centro de coordenadas, y el
ángulo del vector de posición sobre el eje x.
Conversión de coordenadas polares a rectangulares
Definido un punto en coordenadas polares por su ángulo θ sobre el eje x, y su distancia r al centro de
coordenadas, se tiene:
X = r cos θ
Y = r sen θ

23. Definido un punto del plano por sus coordenadas rectangulares (x,y), se tiene que la coordenada polar r es:
Para determinar la coordenada angular θ, se deben distinguir dos casos:
Para = 0, el ángulo θ puede tomar cualquier valor real.
Para ≠ 0, para obtener un único valor de θ, debe limitarse a un intervalo de tamaño 2π. Por convención, los
intervalos utilizados son [0, 2π) y (−π, π].
Para obtener θ en el intervalo [0, 2π), se deben usar las siguientes fórmulas ( denota la inversa de la
función tangente):

24. Para obtener θ en el intervalo (−π, π], se deben usar las siguientes fórmulas:

25. o equivalentemente

26. Muchos lenguajes de programación modernos evitan tener que almacenar el signo del numerador y del
denominador gracias a la implementación de la función atan2, que tiene argumentos separados para el
numerador y el denominador. En los lenguajes que permiten argumentos opcionales, la función atan puede
recibir como parámetro la coordenada x.

27. se presentan ventanas en las que se presentan de diferentes curvas cartesianas cuando están dadas
mediante su ecuación en forma paramétrica, para la construcción de conceptos matemáticos no solo basta
trabajar las actividades dentro de un solo sistema de representación, sino que se deben realizar las tareas
de conversión entre distintas representación. Son éstas tareas las que propiciarán la construcción de los
conceptos matemáticos también se induce la conversión del registro algebraico al registro gráfico. Además,
los gráficos de la curvas para que SE puedan hallar las respectivas ecuaciones cartesianas, de una lista de
ecuaciones propuestas, y así trabajar la conversión en sentido contrario, es decir del registro gráfico al
algebraico

28. •Kong Requena. Cálculo Diferencial. 2002
•"Geometría Analítica" de Gordon Fuller (1991) pág. 223
•Ortega, Manuel R. (1989-2006). Lecciones de física (4 volúmenes). Monytex
•Resnick, Robert & Krane, Kenneth S. (2001). Physics (en inglés). Nueva York:
John Wiley & Sons
•Spiegel, M. & Abellanas, L. (1988). Fórmulas y tablas de matemática aplicada

29. https://www.youtube.com/watch?v=SBc7Je9WQv0
https://www.youtube.com/watch?v=UVqs1dat91g
https://www.youtube.com/watch?v=uCm3HvF-EtQ