Recta y su ecuación cartesiana

UNIDAD 3: La recta y su ecuación cartesiana “El conocimiento es el tesoro; pero el juicio es el tesorero del hombre sabio. El que tiene mas conocimiento que juicio ha sido hecho para servir a otros más que ha si mismo” William Penn UNIDAD 3 1 1

LA RECTA Y *PROPÓSITOS: Reafirmar el conocimiento de SU ECUACIÓN la geometría analítica, al obtener la ecuación CARTESIANA de la recta y avanzar e la solución analítica de problemas que involucren relaciones entre figuras rectilíneas estudiadas en geometría analítica. APRENDIZAJES SIGNIFICATIVOS Al finalizar la unidad el alumno debe: º Dada una ecuación lineal con dos variables la identificara como una recta y viceversa. º Encontrar la ecuación de una recta, dados distintos elementos que la definan. º Reconocer las distintas formas de representación algebraica de la recta e identificar cual de ellas conviene usar, dependiendo de las condiciones que se proporcionen. UNIDAD 3 2 UNIDAD 3. 2

º A partir de la ecuación de una recta, en cualquiera de sus formas, encontrar los elementos que define su posición y trazar su grafica. º Dadas la ecuación de una recta y las coordenadas de u punto, decidir, sin recurrir a la gráfica, si este pertenece o no a la recta. º Dadas las ecuaciones de dos rectas, o bien, los elementos que definen sus posiciones, determinar si se cortan o no y, en su caso, el ángulo de intersección y las coordenadas del punto donde se cortan. º Expresar los argumentos que justifican las condiciones analíticas para el paralelismo o para la perpendicularidad de dos rectas. º A partir de las ecuaciones de dos rectas, decidir si son paralelas, perpendiculares o simplemente secantes. º Comprobar algunas relaciones geométricas que involucran rectas, estudiadas en geometría euclidiana. º Reconocer las relaciones presentes en una situación geométrica. UNIDAD 3 3 3

º Reforzar su capacidad para pasar de lo particular a lo general y viceversa. º Avanzar en su desempeño respecto al método de la geometría analítica, al obtener la ecuación de la recta y resolver problemas que la involucran. º Valorar el álgebra, no solo como una herramienta para obtener resultados numéricos, sino también, para establecer relaciones que proporcionen información acerca de la problemática que se estudia esto a través de : º Obtener a partir de una de sus representaciones, las otras formas de la representación de la recta. º Calcular los elementos que define una recta a partir de su ecuación dada en su forma general. TEMATICA: º La recta ubicada en el plano cartesiano Condiciones necesarias y suficientes para localizar una recta UNIDAD 3 4 4

º La ecuación cartesiana de la recta cuando se conocen: Las coordenadas de dos de sus puntos La ordenada de su origen y su pendiente Cuando es paralela a uno de sus ejes de coordenadas Su pendiente y las coordenadas de uno de sus puntos º Tratamiento analítico para determinar a partir de la ecuación de una o dos rectas: Los elementos geométricos que la definen: ángulo de inclinación y uno de sus puntos o dos de sus puntos. Si un punto cuyas coordenadas se conocen, pertenece o no a una recta. La intersección de dos rectas que se cortan. El ángulo de dos rectas que se cortan. La condición de perpendicularidad o paralelismo de dos rectas. UNIDAD 3 5 5

º Solución analítica de problemas de corte euclidiano Calculo del área de un triangulo Comprobación en casos concretos de: ,[object Object]

La razón de 1:2 en que el punto de intersección de las medianas de un triangulo divide a cada una de ellas

La igualdad de los ángulos en un triángulo isósceles

La igualdad de loa ángulos opuestos de un paralelogramoUNIDAD 3 6 6

LA RECTA Y SU ECUACION CARTESIANA PROPÓSITOS: Reafirmar el conocimiento del método de la geometría analítica, al obtener la ecuación de la recta y avanzar en la solución analítica de los problemas que involucran relaciones entre figuras rectilíneas estudiadas en geometría euclidiana. APRENDIZAJES: ,[object Object]

Encontrara la ecuación de una recta, dados distintos elementos que la definan

Reconocerá las distintas formas de representación algebraica de la recta e identificara cual conviene a usar, dependiendo de las condiciones que se proporcionen

A partir de la ecuación de una recta, en cualquiera de sus formas, encontrara los elementos que definen su posición y trazará su gráfica.TEMATICA: La recta ubicada en el plano cartesiano Condiciones necesarias y suficientes para localizar la recta La ecuación cartesiana de la recta, cuando se conocen: Las coordenadas de dos de sus puntos Su pendiente y las coordenadas de uno de sus puntos La ordenada al origen y su pendiente Cuando es paralela a uno de los ejes de coordenadas LA RECTA Y SU ECUACION CARTESIANA UNIDAD 3 7 7

A Renato Descartes (1596-1650) se le considera el primer filósofo de la edad moderna debido que el tuvo el mérito de sistematizar el método científico. Además, fue el primero en aplicar el álgebra a la geometría, creando así la geometría analítica. El tema de la línea recta lo ubicaremos en este campo de la geometría analítica, en donde se pueden interpretar muchos fenómenos, por ejemplo el movimiento rectilíneo uniforme; siendo la velocidad la constante de proporcionalidad entre la distancia recorrida y el tiempo empleado en recorrerla, la formula del movimiento rectilíneo uniforme es: v = d/t y considerando la distancia en función del tiempo podemos obtener una grafica de una línea recta y pronosticar movimientos futuros. Recuerda que e el curso de Matematicas1, en la unidad 2 “variación directamente proporcional y funciones lineales” se estudio el tema de funciones lineales, su gráfica y su modelo algebraico. Recordaremos estos conceptos con un problema que para su solución nos conduzca a una ecuación lineal. PROBLEMA 3.1 Un atleta corre a una velocidad constante de 3 (m/s).Hacer una grafica de la distancia recorrida en función del tiempo, obtener el modelo matemático. Realizaremos un esquema que nos ayude a identificar los datos y las incógnitas del problema. LA RECTA Y SU ECUACION CARTESIANA UNIDAD 3 8 INTRODUCCION Figura 3.1 8

Escribe en tu cuaderno borrador cuales son los datos del problema: Cuales son las incógnitas: Modelo matemático: d = v t Sabemos que v = velocidad constante d = distancia t = tiempo Entonces d = 3t(m) si d=y, t=x tenemos la fórmula Y=3x que es la ecuación de una línea recta, es decir El modelo matemático. Para realizar la gráfica, encontraremos algunos puntos T(s) d(m) P(t, d) 0 0 p1(0,0) 10 30 p2(10,30) 20 60 p3(20,60) 30 90 p4(30,90) 40 120 p5(40,120) 50 150 p6(50,150) LA RECTA Y SU ECUACION CARTESIANA UNIDAD 3 9 9

Con estos datos construye la gráfica en tu cuaderno, que observaras que se trata de una línea recta. De la tabla se tiene que por cada aumento de 10 segundos en t, d aumenta en 30 unidades, lo cual es equivalente, por cada unidad de aumento en t, entonces d aumenta en 3 unidades. Por tanto podemos afirmar que la razón de cambio de d al cambio de t es igual a una constante 3. Esto lo puedes observar en la ecuación d = 3t A esta relación constante, se le llama pendiente ( inclinación de la recta). Recordaremos el concepto de pendiente. La pendiente de una línea que no se vea vertical representa el número de unidades que se levantan o se caen verticalmente, con cada unidad de cambio horizontal de izquierda a derecha. Por ejemplo, observa los dos puntos: (X1,Y1) y (X2,Y2) en la línea mostrada en la figura, al movernos de izquierda a derecha a lo largo de esa línea, un cambio de (Y2-Y1) unidades en la dirección vertical corresponde a un cambio de (X2-X1) unidades en la dirección horizontal, esto es: Y2-Y1 = el cambio en y X2-X1 = el cambio en x LA RECTA Y SU ECUACION CARTESIANA UNIDAD 3 10 10

La pendiente de la línea recta esta dada por la razón de estos dos cambios, es decir: m = y2 – y1 x2 – x1 Condiciones necesarias y suficientes para localizar una recta Ángulo de una recta con el eje x PROBLEMA 3.2 Juan estaba jugando con un papalote, este se atoro en la punta de un pino que se encontraba a 5 metros de distancia. Juan quiere bajar su papalote con una escalera. Si el pino mide 3 metros de altura, ¿Cuál es el ángulo, con respecto al piso, con el que debe apoyar la escalera para bajar su papalote? SOLUCION: Para resolver este problema, supongamos que el pie de la escalera que Juan va a colocar se encuentra en el origen; la base del árbol se encuentra en el punto P (5,0), el papalote en Q (5,3) y a es el ángulo buscado. Así, podemos considerar el siguiente esquema: LA RECTA Y SU ECUACION CARTESIANA UNIDAD 3 11 11

FIGURA 3.3 LA RECTA Y SU ECUACION CARTESIANA UNIDAD 3 12 12

El Δ OPQ es rectángulo; entonces: tan a = PQ = 3 OP 5 a=31 El ángulo con el que debe colocarse la escalera es aproximadamente de 31 grados. DEDUCCIÓN DE LA PENDIENTE Sea L una recta no vertical y P1 (X1,Y1) Y P2(X2,Y2) puntos de la recta L. En la siguiente figura se muestra esta recta. Los puntos: P1 (X1,Y1), P2(X2,Y2) y R(X2,Y1) son los vértices de un triangulo rectángulo, como se muestra en la gráfica. α FIGURA 3.4 DEDUCCION DE PENDIENTE UNIDAD 3 13 P2 a P1 R 13

Como la pendiente en el triángulo p1, p2, r es: m= tan a = cateto opuesto = y2- y1 cateto adyacente x2 – x1 Por lo tanto podemos decir que: m = y2- y1 x2- x1 Esta ecuación se conoce como la pendiente de la recta L. Ejemplo ilustrativo: Si L1 es la recta que pasa por los puntos P1 (3,4) y P2 (6,7) Encuentra su pendiente FIGURA 3.5 DEDUCCION DE PENDIENTE UNIDAD 3 14 P2(6,7) 14

Sustituye en la fórmula anterior estos puntos: Escribe el valor que encontraste de m= Para cada recta que pasa por cada uno de los siguientes pares de puntos, calcula su pendiente y construye su grafica en los siguientes sistemas de coordenadas, realiza esta actividad en tu cuaderno. 1.- L1: A(3,7) y B(-2,-4)……………………………………………………..m=11/5 2.- L2:A(-2,5) y B(2,-3)………………………………………………………m=-2 3.- L3:A(-3,4) y B(5,4)……………………………………………………….m=0 4.-L5:A(5,3) y B (5,-2)………………………………………………………No existe FIG. 3.6 FIG. 3.7 DEDUCCION DE PENDIENTE UNIDAD 3 15 15

FIG. 3.8 FIG. 3.9 Analiza las gráficas anteriores, de cada una de las rectas ¿Cómo es la pendiente? (positiva o negativa) y ¿su ángulo con el eje x? (mayor o menor de 90º) SI m>0 entonces a <90 y si m<0 explica como es a : DEDUCCION DE PENDIENTE UNIDAD 3 16 16

DEFINICIÓN DE LA RECTA DADO UN PUNTO Y SU PENDIENTE Definición de línea recta: Es el lugar geométrico de los puntos en un plano tales que, tomados dos puntos diferentes cualquiera P1 (X1,Y1) y P2(X2,Y2) el valor de la pendiente m resulta siempre constante. Si m=0 entonces a =0º Si m no esta definida entonces a =90º, por que el ángulo de 90º no tiene tangente Geométricamente, una recta queda perfectamente determinada por uno de sus puntos y su dirección ( ángulo de inclinación) y como consecuencia su pendiente. Es decir la recta que pasa por el punto dado P1(X1,Y1) tiene de pendiente m, su ecuación es: y – y1 =m(x-x1) ¿Cómo deducimos esta ecuación? Consideremos el problema de encontrar la ecuación de la recta no vertical que pasa por un punto P(X1,Y1) y tiene de pendiente m. Si Q ( x, y) es cualquier otro punto de la recta y sustituimos estos dos puntos en la Ecuación DEFINICION DE LA RECTA DADO UN PUNTO Y SU PENDIENTE UNIDAD 3 17 17

Tenemos: puesto que Q ≠ P y la recta no es vertical, entonces x – x1≠0 y Multiplicando por x – x1 ambos lados de la igualdad, obtenemos: y-y1=m(x-x1) y se conoce como la ecuación de la recta dado un punto y su pendiente Es decir: m= y- y1 x – x1 y – y1 = m( x- x1) Problema 3.3 Encuentra la grafica de la recta si su pendiente es m= -3, y pasa por el punto A(-3,-5), y traza su gráfica: SOLUCIÓN: Utilizamos la ecuación anterior: y – y1 =m(x-x1) ; porque conocemos la pendiente y un punto. DEFINICION DE LA RECTA DADO UN PUNTO Y SU PENDIENTE UNIDAD 3 18 18

Al sustituir en la ecuación anterior, el valor de la pendiente m=-3 y las coordenadas del punto A, que son: A (X1,Y1)=(-3,-5) nos queda: Y-(-5)=-3 X-(-3) Realizando operaciones necesarias y adecuadamente. La ecuación estará expresada en su forma general: 3x+y+14=0 Ahora transformemos la ecuación anterior a la forma de pendiente y ordenada al origen si despejamos y. Y=-3x-14 (esta es la ecuación llamada de pendiente y ordenada al origen). Para hacer la grafica, sigamos los pasos que a continuación se indican: De la ecuación anterior determinemos la pendiente de la recta y un punto por donde pasa esta: y= -3x-14; es de tipo: y = mx + b DEFINICION DE LA RECTA DADO UN PUNTO Y SU PENDIENTE UNIDAD 3 19 19

Si comparamos las dos ecuaciones podemos darnos cuenta: m=-3 ( es la pendiente de la recta), con este dato podemos conocer el ángulo de inclinación de la recta en el eje x. b=-14 ( el valor de b es una ordenada al origen de un punto de la recta, lo que quiere decir que su abscisa x=0, es decir el punto en donde la recta se interseca al eje y) Con estos dos valores determinamos un punto de la recta, que al llamarle B y al indicarle sus coordenadas queda: B(0,-14) ECUACIÓN DE LA RECTA CONOCIENDO LA ORDENADA AL ORIGEN Y SU PENDIENTE La ecuación de una recta la podemos obtener de varias maneras, dependiendo de los datos que sepamos de ella y recíprocamente, si tenemos la ecuación de una recta, podemos escribirla en distintas formas y obtener de esas expresiones informaciones diversas acerca de la recta. Un caso importante es cuando conocemos la pendiente m y el punto P donde corta al eje y; su coordenada al origen, que usualmente se simboliza con la letra b. Es decir tomemos al punto P (0,b) y la pendiente m, sustituyamos en la ecuación y- y1 =m( x – x1) obtendremos y- b = m( x- 0 ) , de donde se obtiene y=m x +b a esta ultima ecuación se le conoce como la forma pendiente-ordenada al origen, como anteriormente ya se había observado en el ejemplo anterior. ECUACION DE LA RECTA CONOCIENDO LA ORDENADA AL ORIGEN Y SU PENDIENTE UNIDAD 3 20 20

Problema 3.4 Encontrar la ecuación de la recta que tiene de pendiente 2, y corta al eje y en el punto -3 y construye su grafica en tu cuaderno de cuadricula. Escribe en tu cuaderno la ecuación que aplicarás Observa que tus datos son: m=2, b=-3 Sustituyendo valores y realizando operaciones obtendrás la ecuación: y=2x-3 Problema 3.5 Calcula la ecuación de L1 si P (4,-1) y m=-1 Sustituyendo en la ecuación: y- y1 =m( x – x1) y- (-1) = -1(x-4) X+y+1-4=0 Realiza las operaciones e iguala con cero, obtendrás la ecuación: x+y-3=0 Construye la grafica para los siguientes valores de x: ECUACION DE LA RECTA CONOCIENDO LA ORDENADA AL ORIGEN Y SU PENDIENTE UNIDAD 3 21 21

Problema 3.6 Hallar la ecuación de la recta que pasa por el punto P (4,-1) y tiene un ángulo de inclinación de 45º. Para encontrar el valor de la pendiente, teclea en tu calculadora 45 y luego teclea tan a entonces m es igual a 1 calcula la ecuación: Construye su gráfica FIGURA 3.11 ECUACION DE LA RECTA CONOCIENDO LA ORDENADA AL ORIGEN Y SU PENDIENTE UNIDAD 3 22 22

ECUACIÓN DE LA RECTA DADO DOS PUNTOS La recta que pasa por los puntos dados P1 ( x1, y1) y P2 (x 2 ,y2 ) tiene por ecuación Deducción de la formula. FIGURA 3.12 ECUACION DE LA RECTA DADO DOS PUNTOS UNIDAD 3 23 23

Como el triángulo PP1R3~ al triángulo P1P2R2 entonces, la Tana= m en los dos triángulos es: Problema 3.7 Hallar la ecuación de la recta L que pasa por los puntos A(-3,-4) y B(5,6) SOLUCION: Localiza los puntos en el plano y traza la grafica. Escribe en tu cuaderno borrador cuales son los datos: Escribe cual es la incógnita: ECUACION DE LA RECTA DADO DOS PUNTOS UNIDAD 3 24 24

GRAFICA: FIGURA 3.13 ECUACION DE LA RECTA DADO DOS PUNTOS UNIDAD 3 25 25

Calcula la pendiente M= Encuentra su ecuación aplicando la formula anterior y sustituyendo cualquier punto A ó B y el valor de la pendiente que calculaste. La ecuación a la que debes llegar es:4y-5x+1=0 esta es la ecuación general de la recta. Despejando y= .Que corresponde a la ecuación conociendo la pendiente y ordenada al origen es decir: y=m x + b Construye su grafica para los siguientes valores de x: ECUACION DE LA RECTA DADO DOS PUNTOS UNIDAD 3 26 26

FIGURA 3.14 Analiza como es su pendiente y su ángulo de inclinación: EJERCICIOS QUE DEBES RESOLVER POR EQUIPOS Encuentra la ecuación para cada recta y grafícala, escribe cual es su pendiente, ángulo de inclinación y su ordenada al origen. ECUACION DE LA RECTA DADO DOS PUNTOS UNIDAD 3 27 27

Resuelve estos problemas en tu cuaderno. 1.- L1: A (-3,4), B (5,6) 2.- L2:P1(-5,6), P2(4,-3) 3.- L3:P3(3,6),P4(3,-5) 4.-L4:P5(-5,-4),P6(7,-4) En cada uno de los problemas siguientes, determina lo que se te pida y haz el trazo de la grafica correspondiente. 5.-Encuentra la ecuación de la recta que pasa por el punto: P(2,4) y tiene una pendiente m=5 Solución: Ecuación: 5x-y-6=0 6.-Encuentra la ecuación de la recta que pasa por el punto: U(-3,5) y su pendiente es 3 Solución: Ecuación: 3x-y+11=0 ECUACION DE LA RECTA DADO DOS PUNTOS UNIDAD 3 28 28

7.-Encuentra la ecuación de la recta que pasa por el punto: B(-5,2) y su pendiente es ¼ Solución: Ecuación: x-4y+13=0 8.- Encuentra la ecuación de la recta que pasa por el punto: A(4,-1) y su pendiente es -1/5 Solución: Ecuación: x+5y+1=0 A partir del análisis de las graficas de estas rectas respecto a su pendiente y ángulo de inclinación, plantea una conjetura para cualquier recta en el plano; si m>0, si m<0, si m=0 y si m es consiente de donde el denominador es cero, es decir no esta definido matemáticamente, explica como es el ángulo de inclinación de esta recta con respecto al eje x. FORMA GENERAL DE LA ECUACIÓN DE LA RECTA Podemos decir que la ecuación de una recta es una ecuación de primer grado con dos variables y recíprocamente, toda ecuación de primer grado, con dos variables representa una recta. FORMA GENERAL DE LA ECUACION DE LA RECTA UNIDAD 3 29 29

La ecuación general de primer grado es de la forma: Ax + By + C =0 La siguiente ecuación: 4y-5x+1=0 esta expresada en su forma general, en donde A=4, B=-5, C=1. Ahora bien, si despejamos Y de la ecuación dada, esta estaría expresada en la forma: dad su pendiente y ordenada al origen, es decir y=m x + b, entonces y=5/4x-1/4 en donde m=5/4 y su ordenada al origen es b=-1/4. Construye su grafica considerando el plano de la fig. 3.15, su ángulo de inclinación y su ordenada de origen. Completa las siguientes conjeturas en tu cuaderno: ¿Todas las rectas que tienen una pendiente positiva tienen un ángulo de inclinación? ¿Todas las rectas que tienen una pendiente negativa tienen un ángulo de inclinación? FORMA GENERAL DE LA ECUACION DE LA RECTA UNIDAD 3 30 30

FIGURA 3.15 RESUMEN: 1.-Si en L M>0 (pendiente positiva), entonces a <90º (ángulo de inclinación mayor de 90º). FORMA GENERAL DE LA ECUACION DE LA RECTA UNIDAD 3 31 31

2.- Si en L m<0 (pendiente negativa), entonces a>90º (ángulo de inclinación mayor de 90º) 3.- Si la recta L es paralela al eje x; su pendiente vale cero, es decir m=0 y por lo tanto a =0 4.-Si la recta L es paralela al eje y; la pendiente no este definida y su ángulo de inclinación es de 90º PROBLEMAS: Calcula la pendiente, su ángulo de inclinación y construye una grafica de la recta L1 que pasa por los puntos A (4,-5) y B (6,7) Calcula la ecuación de la recta L2 que pasa por el punto P(3,6) y su ángulo de inclinación es 30º. Construye su grafica en tu cuaderno. Construcción de la gráfica de los problemas 1 y 2 FORMA GENERAL DE LA ECUACION DE LA RECTA UNIDAD 3 32 32

FIGURA 3.16 3) Calcula la pendiente, su ángulo de inclinación y construye una grafica de la recta L1 que pasa por los puntos A(4,-5) y B(5,7) y expresarla en su forma general. 4) Calcula la ecuación de la recta L2 que pasa por el punto P(3,6) y su ángulo de inclinación es de 30º.Construye su grafica. Sol. Y-58x-4.26=0 FORMA GENERAL DE LA ECUACION DE LA RECTA UNIDAD 3 33 33

5) Hallar la ecuación , ángulo de inclinación y grafica de la recta L3 y que pasa por los puntos P1(-3,4) y P2(5,-6).Especifica cual es su ordenada de origen. Sol. 4y+5x+27=0 6) Encuentra la ecuación de la recta, conociendo el punto P(5,-2),m=2/3. 7) Encuentra la ecuación y su grafica de la recta, conociendo el punto P(-2,0), y a=135º. ECUACIÓN DE LA RECTA EN SU FORMA SIMÉTRICA Tenemos la ecuación simétrica de la recta, cuando se conocen de la recta un punto con ordenada al origen y un segundo punto con abscisa al origen. Cuando una recta interseca al eje de las “y”, a esta intersección se le llama ordenada al origen y se le simboliza “b” y el punto de intersección queda como: A(0,b); de la misma manera cuando una recta interseca al eje de las “x” a esta intersección queda como: B(a,0); son estos dos puntos los que utilizamos para determinar la ecuación de la recta en su forma simétrica. ECUACION DE LA RECTA EN SU FORMA SIMETRICA UNIDAD 3 34 34

En esta condiciones la recta puede ser: FIGURA 3.17 Que al determinar la pendiente de la recta con estos dos puntos nos queda: Después sustituimos la pendiente y cualquiera de los puntos en la ecuación: ECUACION DE LA RECTA EN SU FORMA SIMETRICA UNIDAD 3 35 35

Si sustituimos m=-b/a, con el punto A (0,b): Nos queda: y-b=-b/a(x-0) Ahora multiplicamos todo por a para eliminar el denominador a; quedándonos: a(y-b) = -b(x-0) Si eliminamos el paréntesis nos queda: ay-ab=-b x Así tenemos: b x+a y=ab Y al dividir toda la expresión entre ab, llegamos a: que es la ecuación de la recta en su forma simétrica ECUACION DE LA RECTA EN SU FORMA SIMETRICA UNIDAD 3 36 36

PROBLEMA 3.8 Encuentra la ecuación de la recta cuyas intersecciones con los ejes son: a=3 y b=5; hacer la grafica. Solución: Los valores que nos dan, los sustituimos en la ecuación , llegando a: ;transformando la ecuación con términos enteros tenemos: 5x+3y=15; que en su forma general y cuya grafica a continuación se expone: FIGURA 3.18 37 ECUACION DE LA RECTA EN SU FORMA SIMETRICA UNIDAD 3 37

PROBLEMAS: Encontrar la ecuación de la recta que tiene de abscisa en el origen a=-2y de ordenada en el origen b= -4; además hacer la grafica de la recta. Determinar las intersecciones a y b con los ejes de la recta que tiene como ecuación: 2x+3y-6=0 Encontrar la ecuación de la recta que tiene como abscisa en el origen a=7 y de ordenada en el origen b= -7;ademas hacer la grafica de la recta. Determinar las intersecciones a y b con los ejes de la recta que tiene como ecuación: 4x+5y-14=0; traza su grafica. LA INTERSECCIÓN DE DOS RECTAS QUE SE CORTAN Aprendizajes: El alumno. *Dadas la ecuación de dos rectas, o bien, los elementos que definen sus posiciones, determinara si se cortan o no y, en su caso, el ángulo de intersección y las coordenadas del punto donde se cortan. LA INTERSECCION DE DOS RECTAS QUE SE CORTAN UNIDAD 3 38 38

Temática: El ángulo entre dos rectas que se cortan Si dos rectas se cortan l1 y l2 forman ángulos suplementarios, cada uno de los cuales puede ser tomado como el ángulo que forman dichas rectas. Con el objeto de evitar la ambigüedad, definimos el ángulo que forman l1 y l2 ( o el que forman l2y l1) como aquel que se mide por la amplitud de la rotación de l1, (en sentido contrario al movimiento de las manecillas del reloj) en torno del punto de intersección hasta colocarse sobre l2. Representaremos por θ el ángulo que forman las rectas LA INTERSECCION DE DOS RECTAS QUE SE CORTAN UNIDAD 3 39

LA INTERSECCION DE DOS RECTAS QUE SE CORTAN UNIDAD 3 40

LA INTERSECCION DE DOS RECTAS QUE SE CORTAN UNIDAD 3 41 Sean las rectas l1 y l2 de inclinacionesa1y a2y pendientes l1, l2 respectivamente.

LA INTERSECCION DE DOS RECTAS QUE SE CORTAN UNIDAD 3 42 Considerando el ángulo θ formado por l1 y l2 y recordando que el ángulo exterior de un triangulo es igual a la suma de los interiores no adyacentes, se tiene: a 2= a 1+ θ θ = a 2- a 1 Luego: tan θ =tan(a 2- a 1)= Tan a 1=m1 Tan a 2=m2 Entonces: tan θ= m2-m1 1+m1m2 Al aplicar esta formula téngase presente que m1 es la pendiente del lado inicial y m2 la pendiente del lado final del ángulo θ. Recuerda que para encontrar el punto de intersección entre las dos rectas, debes resolver el sistema de ecuaciones, como lo resolviste en la Unidad 1.

PROBLEMA 3.9 Obtener los ángulos interiores del triangulo cuyos vértices son A(5,2), B(-3,4), y C(-6,-3) Calcula las pendientes mAB= m AB= m BC= m AC= LA INTERSECCION DE DOS RECTAS QUE SE CORTAN UNIDAD 3 43 B A C

Sustituye estos valores en la formula. Para el vértice A, Entonces el Angulo en A mide 32° Calcula el valor del Angulo B Y del ángulo C. Comprueba que tus resultados son correctos recuerda que la suma de los tres ángulos debe ser Igual a 180 LA INTERSECCION DE DOS RECTAS QUE SE CORTAN UNIDAD 3 44

Resuelve los siguientes problemas por equipos 1) Encuentra las pendientes de los ángulos del triangulo cuyos vértices son: A (-4,4) B (2,7) C (-7,10) 2) Hallar las pendientes de las medianas del triangulo cuyos vértices son: A (2,6) B (8,3) C (-2,-1) 3) Probar que el triangulo de vértices A B y C es rectángulo: A (4,8) B (0,12) C (-3,1) 4) Utilizando las pendientes probar que A B y C están sobre la recta: A (3,5) B (0,2) C (-3, 1) LA INTERSECCION DE DOS RECTAS QUE SE CORTAN UNIDAD 3 45

PARALELISMO Y PERPENDICULARIDAD APRENDIZAJES: El Alumno - Expresara los argumentos que justiﬁcan las condiciones analíticas para el paralelismo o para la perpendicularidad de dos rectas - A partir de las ecuaciones de dos rectas decidirá si son paralelas perpendiculares o simplemente secantes TEMATICA: A) La condición de perpendicularidad o paralelismo de dos rectas. B) Problemas Decimos que dos rectas son paralelas si tienen la misma pendiente y por lo tanto el mismo ángulo de inclinación; es decir L1||L2 si mL1=mL2 y por lo tanto α1=α2. Decimos que dos rectas L1 y L2 son perpendiculares si sus pendientes son las recíprocas y de signo contrario; es decir y y se cumple que PARALELISMO Y PERPENDICULARIDAD UNIDAD 3 46

PARALELISMO Y PERPENDICULARIDAD UNIDAD 3 47 PERPENDICULARIDAD PARALELISMO L1||L2 mL1=mL2

Problema 3.10 Encontrar la ecuación de la recta L1 que pasa por el punto A (-2, 2) y es paralela a la recta L2 que pasa por los puntos B (-2, -3) y C (4, 1). Solución: Dibuja una gráfica que ilustres los datos del problema así como la posición de las rectas L1 y L2. Calcula la pendiente de la recta L2 que pasa por los puntos BC, mBC=__________ Como la recta L1 pasa por A y es paralela a L2 tiene la misma pendiente por que tiene el mismo ángulo de inclinación, es decir mL1 = mL2 por que infinito 1 = infinito 2 mL1 = mL2 = 2/3; entonces mL1=2/3 por que L1||L2. Podemos decir que L1 (recta paralela con la recta L2). Calcula la ecuación de L1 que pasa por el punto A (-2, 2) y es paralela a la recta L2: que pase por los puntos B (-2, -3) y C (4, 1) PARALELISMO Y PERPENDICULARIDAD UNIDAD 3 48

Formula y-y1 =m(x-x1) La grafica te ilustra los datos del problema Recuerda qua las rectas si son paralelas entonces tienen la misma pendiente. .La ecuación L1 es:: 2x-3y+10=0 PARALELISMO Y PERPENDICULARIDAD UNIDAD 3 49

Problema 3.11 Hallar la ecuación de la mediatriz del segmento que une los puntos del A(-3, 4) y B(-5,3). Traza una grafica en la que te ilustre cuales son los datos y cual es tu incógnita PARALELISMO Y PERPENDICULARIDAD UNIDAD 3 50

Calcula el punto medio del segmento AB Recuerda que la fórmula Pm AB. Pm AB (-1,3.5) Calcula la pendiente en AB Recuerda que la fórmula MAB=1/8 Argumento Como AB L entonces La pendiente de L (mediatriz) es la reciproca y de signo contrario de AB: mL=-8 Calculo de la ecuación de L. y-y1=m(x-x1) Datos P(-1, 3, 5) m=8 Debes llegar a la ecuación y + 8x + 4.5=0 PARALELISMO Y PERPENDICULARIDAD UNIDAD 3 51

PARALELISMO Y PERPENDICULARIDAD UNIDAD 3 52

Problema 3.12 Hallar la ecuación de la recta que pasa por el punto (-2,3) y es perpendicular a la recta 2x-3y + 6=0 Solución Grafiquemos a la recta 2x-3y + 6=O en el plano cartesiano para tal efecto bastará con encontrar las intersecciones de dicha recta con los ejes coordenados y unir con una línea los puntos de coordenadas encontrados. Sea x=0 en la recta 2x-3y +6=0 y despejemos a la variable y: 2(0)-3y+6=0 0-3y+6=0 -3y+6=0 6=3y 6 3=y 2=y y=2 Entonces tenemos el punto de coordenadas (x, y) = (O, 2). Sea y = O en la recta 2x - 3y - 6 = 0 y despejemos a la variable x: 2X-3(0)+6=0 2X-0+6=0 2X+6=0 X=-6/2 X=-3 PARALELISMO Y PERPENDICULARIDAD UNIDAD 3 53

Entonces tenemos el punto de coordenadas (x, y) = (-3,0). Ubiquemos los puntos (x, y) = (0,2) y (x, y) = (-3,0) en el plano de coordenadas cartesiano representado en la Figura 3.27 PARALELISMO Y PERPENDICULARIDAD UNIDAD 3 54

Problema 3.13 Por medio del cálculo de las pendientes, demostrar que los tres puntos A (6,-2), B (2,1) y C (-2,4) son colineales. Solución: Gráfica los puntos A (6,-2), B (2,1), C (-2,4) y únelos mediante el trazo de una línea recta en el siguiente plano cartesiano en tu cuaderno (Figura 3.28) PARALELISMO Y PERPENDICULARIDAD UNIDAD 3 55

Bastará demostrar que las pendientes de los segmentos AB, BC y AC satisfacen la condición de paralelismo siguiente: Pendiente del segmento AB = pendiente del segmento BC =pendiente del segmento AC Es decir: mAB = mBC= mAC Completa el cálculo de la pendiente del segmento AB Completa el cálculo de la pendiente del segmento BC Calcula la pendiente del segmento AC PARALELISMO Y PERPENDICULARIDAD UNIDAD 3 56

Son las pendientes mAB, mBC y mAC iguales?___________________ Escribe en tu cuaderno una conclusión: Lee con atención los siguientes ejercicios y resuélvelos correctamente, realiza las graficas correspondientes en tu cuaderno : Problemas para resolver: ,[object Object],Hallar la ecuación de la recta que pasa por e apunto A(-6,3) y tiene un ángulo de inclinación de 45° Sol. x-y+3=0 ,[object Object], Sol. x +6y+ 16 ,[object Object], Sol. 4x+3y- 15 =0 PARALELISMO Y PERPENDICULARIDAD UNIDAD 3 57

Demuestra que L1: 4x- 5y + 12 = 0 y L2: 5y- 4x + 10 = 0 son paralelas, realiza una grafica que te ilustre el problema. Demuestra que L1: 10x - 12y - 29 = 0 ; L2: 5y + 6x + 7 = 0 son perpendiculares; construye su grafica. Hallar la ecuación de la recta que pasa por el punto P (-2, 3) y es perpendicular a la recta 2x- 3y + 6 = 0 Sol. 2y + 3x = 0 Dos rectas se cortan formando un Angulo de 135°. Sabiendo que la recta final tiene una pendiente de -3, calcular la pendiente de la recta inicial. Sol.1/2 Dos rectas se cortan formando un ángulo de 45°. La recta inicial pasa por los puntos P (-2,1) y Q (9,7), mientras que la recta final pasa por el punto R(3,9) y por el punto S(-2, y1). Hallar el valor de y1 So1. y l = - 8 PARALELISMO Y PERPENDICULARIDAD UNIDAD 3 58

Una recta l1 pasa por los puntos P (3,2) y Q (-4 -6) y otra recta l2, pasa por el punto R (-7,1) y el punto S cuya ordenada es -6. Hallar la abscisa del punto S sabiendo que l1 es perpendicular a l2. Sol. 1 Demostrar que los tres puntos P (2,5) Q (8-1) y R (-2,1) son los vértices de un triángulo rectángulo y calcular sus ángulos agudos sol 33° 4l´ 56°19´ Demostrar que los cuatro puntos P (2,4) Q (7,3), R (6,-2) y S (1,-1) son los vértices de un cuadrado y que sus diagonales son perpendiculares. Demostrar que los cuatro puntos P (2,2) Q (5,6) R (9,9) y S (6,5) son los vértices de un rombo y que sus diagonales son perpendiculares y se cortan en su punto medio SOLUCIÓN ANALITICA DE PROBLEMAS DE CORTE EUCLIDIANO APRENDIZAJES El Alumno Comprobara algunas relaciones geométricas que involucran rectas estudiadas en Geometría Euclidiana SOLUCION ANALITICA DE PROBLEMAS DE CORTE EUCLIDIANO UNIDAD 3 59

Temática: a) Calculo del área de un Triángulo b) Comprobación en casos concretos de c) La concurrencia de las medianas mediatrices y alturas de un triangulo d) La Igualdad de los ángulos en un triángulo Isósceles Recuerda que en tu curso de Matemáticas II en la Unidad 2 CONSTRUCCIONES Y ELEMENTOS GEOMETRICOS BÁSICOS estudiaste los siguientes conceptos los puntos notables de un triangulo (Baricentro Circuncentro, Ortocentro) Investiga en la biblioteca ¿Que es el centro de gravedad de un cuerpo? Observa la figura 3.29 Explica ¿por que se pueden sostener en ese punto los cuerpos? SOLUCION ANALITICA DE PROBLEMAS DE CORTE EUCLIDIANO UNIDAD 3 60

Recordemos la definición de baricentro y mediana de un triangulo. Baricentro: Es el punto de intersección de las medianas, también se le conoce como el centro de gravedad de un triangulo. Mediana: Segmento trazado desde un vértice hasta el punto medio del lado opuesto Realiza una construcción del concepto de Mediana SOLUCION ANALITICA DE PROBLEMAS DE CORTE EUCLIDIANO UNIDAD 3 61

Circuncentro: Punto de intersección de las tres mediatrices; este punto es el centro del circulo circunscrito al triangulo. Mediatriz: Perpendicular trazada en el punto medio de cada lado Construye la mediatriz de un triángulo SOLUCION ANALITICA DE PROBLEMAS DE CORTE EUCLIDIANO UNIDAD 3 62

Problema 3.14 En el triangulo cuyos vértices son A (-5, 6), B (-1, -4) y C (3,2) construye con una regla y compás su baricentro y encuentra este punto de intersección. Solución: Escribe en tu cuaderno la definición de mediana: Ilustremos el problema con una construcción (Fig. 3.32). Escribe en tu cuaderno borrador cuales son los datos del problema: Escribe en tu cuaderno cual es la Incógnita del problema: SOLUCION ANALITICA DE PROBLEMAS DE CORTE EUCLIDIANO UNIDAD 3 63

Calculo del punto medio del segmento BC Calculo de la mediana respecto al vértice A Mediana respecto al vértice B Recuerda que debes encontrar el punto medio del segmento BC Fórmula de Pm Calcula la pendiente en A y el punto medio (Pm) de BC. Debes llegar al valor m = -7/6 Calcula la ecuación de la mediana respecto al vértice A y llámale L Debes encontrar la ecuaci6n 6y +7x-1 = 0 SOLUCION ANALITICA DE PROBLEMAS DE CORTE EUCLIDIANO UNIDAD 3 64

Con el mismo procedimiento encuentra la mediana respecto al vértice B y llámale L2 Llegaras a la ecuación x + 1 = 0 Resuelve el sistema de ecuaciones para encontrar las coordenadas del baricentro, usa el método de sustitución: 6y + 7x- 1 = 0 X+1 =0 El punto de intersección es el baricentro B (-1, 4/3) Problema 3.15 Con los mismos datos del triangulo anterior, es decir A (-5,6), B (-1,- 4) y C (3, 2) encuentra la ecuación de dos de sus mediatrices y resuelve este sistema de ecuaciones para encontrar el circuncentro. Realicemos una construcción que te ilustre el problema. SOLUCION ANALITICA DE PROBLEMAS DE CORTE EUCLIDIANO UNIDAD 3 65

SOLUCION ANALITICA DE PROBLEMAS DE CORTE EUCLIDIANO UNIDAD 3 66

CALCULO DE LA MEDIATRIZ L1 Encuentra el punto medio de AB Debes encontrar PMAB= (-3,1) Encuentra la pendiente en A MAB =-5/2; Argumento: como AB L1 (mediatriz por lo tanto mL1=2/5 Calculo de la ecuación L1 (Realiza el calculo en tu cuaderno) Encontraras 5y - 2x - 11 = 0 Calculo de la mediatriz L2 (Realiza el calculo en tu cuaderno) Encontrarás la ecuación 5y+2x + 1 = 0 Cálculo del circuncentro 5y-2x-11=0 3y+2x + 2=0 Circuncentro C (9/8, 5/4) SOLUCION ANALITICA DE PROBLEMAS DE CORTE EUCLIDIANO UNIDAD 3 67

Problema 3.16 Hallar el Ortocentro del triangulo determinado por los vértices: A (-2,1), B (4, 7) y C (6, -3). Realiza una construcción con la regla y compás que te ilustre el problema en cuaderno. Solución Recuerda la definición de Ortocentro Ortocentro: Punto donde se cortan las tres alturas del triangulo. Definición de altura de un triangulo: Perpendicular trazada desde un vértice al lado opuesto o a su prolongación. Hay tres alturas, una correspondiente a cada lado. Construcción; Construye la altura L respecto al vértice A y la. Altura L1 respecto al vértice B con la regla y el compás (Recuerda de tu curso de matemáticas II, el tema de construcciones), debes llegar a una construcción como se presenta en la siguiente Fig. SOLUCION ANALITICA DE PROBLEMAS DE CORTE EUCLIDIANO UNIDAD 3 68

SOLUCION ANALITICA DE PROBLEMAS DE CORTE EUCLIDIANO UNIDAD 3 69

Calcula la ecuación de la altura (L) respecto al vértice A Calcula la pendiente en BC mBC = -5, Argumento: Como BC ML entonces ml=1/5 Calcula altura L Formula: Encontrar la ecuación: 5y - x - 70 = 0 L Calcula la ecuación de la altura L1 (respecto al vértice B Calcula pendiente en AC mAC = -1/2 como AC L1 entonces mL1= 2. Calcula la ecuación de la altura L1: Fórmula: y – y1= m(x- x1) Datos B (4,7) mL1=2 Escribe la ecuación L1 SOLUCION ANALITICA DE PROBLEMAS DE CORTE EUCLIDIANO UNIDAD 3 70

Resolviendo el sistema de ecuaciones de L y L1, encuentra el punto de intersección (ortocentro), escribe las ecuaciones L y L1 que encontraste, y resuelve el sistema por cualquier método. L: L1: Ortocentro 0(4/3, 5/3) = (1.33, 1.66) Corrobora la solución con la gráfica que construiste al principio de la solución del problema. Problema 3.17 Encuéntrala la recta de Euler considerando dos de los tres puntos notables que encontraste en los tres problemas anteriores (Baricentro, Circuncentro y Ortocentro) SOLUCION ANALITICA DE PROBLEMAS DE CORTE EUCLIDIANO UNIDAD 3 71

SOLUCION ANALITICA DE CORTE EUCLIDIANO UNIDAD 3 72 Recta de Euler

Consideremos el punto del Baricentro P (-4,4/3) y el punto del circuncentro k (-19/8,10/8). Apliquemos la ecuación de la recta que pasa por dos puntos: Recta de Euler: 33y-2x-46=0 Podemos verificar que el Ortocentro es un punto da la recta O (14/8,12/8); O (7/4,6/4). SOLUCION ANALITICA DE CORTE EUCLIDIANO UNIDAD 3 73

Problema 3.18 Realiza una construcción con la regla y el compás, en donde se ilustre el baricentro, en el triangulo determinado por los puntos A (2, 5), B (-6, 3) y C (-2,-4) en la Fig. 3.30 Escribe cuales son tus datos Escribe cual es la incógnita: Realiza la construcción Resuelve el problema y comprueba el resultado que sea correcto SOLUCION ANALITICA DE CORTE EUCLIDIANO UNIDAD 3 74

PROBLEMAS 1.- Determinar la ecuación de la recta que contiene al punto R (5, 3) y es perpendicular a la recta cuya ecuación es 7x +9y +1 = 0 2.- Determinar la ecuación de la mediatriz del segmento determinado por los puntos A (7, 4) y B (-1, -2) 3.- En el triangulo de vértices A (-2, 1), B (4, 7) y C (6, -3). Hallar la ecuación de la recta que pasa por el vértice A y es paralela al lado opuesto BC 4.- Encuentra el baricentro del triangulo determinado por los puntos A (-2, 1), B (4, 7) y C (6,-3) 5.- Calcula el Circuncentro del triangulo determinado por los puntos A (-5, 6), B (-1, -4) y C (3, 2) SOLUCION ANALITICA DE CORTE EUCLIDIANO UNIDAD 3 75

CALCULO DE AREA DE UN TRIANGULO Encontrar el área del triangulo cuyos vértices son: A (-2,-3), B (3,3), C (2,6). Escribe cuales son los datos del problema: Escribe cual es la incógnita del problema: Realiza una construcción que te ilustren los datos y la incógnita del problema CALCULO DEL AREA DE UN TRIANGULO UNIDAD 3 76

Solución: Para calcular el área de un triangulo conociendo sus vértices utilizaremos la siguiente formula: están enumerados en sentido contrario al movimiento de las manecillas del reloj. Sustituyendo tenemos: CALCULO DEL AREA DE UN TRIANGULO UNIDAD 3 77

Podemos comprobar que el resultado es correcto usando la fórmula. Área= (Base X Altura)/2 Para obtener la altura del triángulo, recuerda que tiene tres alturas el triángulo, calculemos la altura que va del vértice C a su lado opuesto AB en forma perpendicular. Calcula la ecuación de la recta AB: Debes llegar a la ecuaci6n: 6x-5y-3=0 Aplicaremos la siguiente formula par encontrar la distancia del punto C ha esta recta que es la altura del triangulo: Calcula la distancia de la base del triangulo con la siguiente formula CALCULO DEL AREA DE UN TRIANGULO UNIDAD 3 78

Debes encontrar que d=7.81 Calculando el área Lo que comprueba que el área del triangulo es correcta Problema 3.20 Verifica que en un triangulo isósceles los ángulos opuestos a los lados iguales miden lo mismo. Consideremos el siguiente problema: Demostrar que los puntos A (1,1), B (5,3) y C (6,-4) son los vértices de un triangulo isósceles y, encuentra uno de los ángulos iguales Calcula su área: Cuales son los datos: Cual es la incógnita: CALCULO DEL AREA DE UN TRIANGULO UNIDAD 3 79

CALCULO DEL AREA DE UN TRIANGULO UNIDAD 3 80

Calculo del ángulo A Calculo de la pendiente AC Cálculo de lo pendiente AB. CALCULO DEL AREA DE UN TRIANGULO UNIDAD 3 81

Recta y su ecuación cartesiana

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