Sistema de Coordenadas Polares Sistema de referencia constituido por un eje que pasa por el origen. La primera coordenada es la distancia existente entre el origen y el punto, mientras que la segunda es el ángulo que forman el eje y la recta que pasa por ambos puntos. Las coordenadas polares son un sistema que definen la posición de un punto en un espacio bidimensional consistente en un ángulo y una distancia. En muchos casos es útil utilizar las coordenadas cartesianas para definir una función en el plano o en el espacio. Aunque en muchos otros, definir ciertas funciones en dichas coordenadas puede resultar muy tedioso y complicado. En dichos casos, hacer uso de las coordenadas polares o esféricas puede simplificarnos la vida.

1. UNIVERSIDAD "FERMÍN TORO"
SISTEMAS INTERACTIVOS DE EDUCACIÓN A DISTANCIA (SAIA)
CABUDARE.
APELLIDO Y NOMBRE: Hidalgo Medwini
SECCIÓN SAIA: MAT241-SAIAA-1
PROFESOR: Mendez Domingo
FECHA: 07/05/2018

2. En esta unidad se introducen las coordenadas polares y algunos ejemplos que ilustran su utilidad para representar, mediante ecuaciones con
dichas coordenadas, algunas curvas clásicas como la Cardioide, la Lemniscata de Bernoulli, los Lazos, las Cónicas y algunas espirales, entre otras.
Como se podrá observar en algunos ejemplos de representación de las curvas en coordenadas polares, sólo es preciso definir las mismas de
cada punto: r (distancia al polo) y t (ángulo con el eje polar), en función de las coordenadas cartesianas x e y.
En este tipo de representación los puntos del plano tienen asociados dos coordenadas: su distancia al polo y el ángulo con el eje polar. A la
distancia se le suele llamar radio y se designa por la letra r o la letra griega r (rho), al ángulo se le suele designar por la letra griega q (theta).
Es un conjunto de valores que permiten definir
unívocamente la posición de cualquier punto de un
espacio geométrico respecto de un punto denominado
origen. El conjunto de ejes, puntos o planos que
confluyen en el origen y a partir de los cuales se
calculan las coordenadas de cualquier punto,
constituyen lo que se denomina sistema de referencia.
Es un conjunto de valores que permiten definir
unívocamente la posición de cualquier punto de un espacio
geométrico respecto de un punto denominado origen. El
conjunto de ejes, puntos o planos que confluyen en el
origen y a partir de los cuales se calculan las coordenadas
de cualquier punto constituyen lo que se denomina sistema
de referencia.
La representación de un punto en el plano o el
espacio, se puede hacer mediante diferentes sistemas
de coordenadas. En estos momentos nos ocupan los
sistemas de coordenadas rectangulares y polares.
Es lógico pensar que existe una equivalencia entre
los diferentes sistemas, en este caso nos ocuparemos
de la conversión del rectangular al polar y viceversa.

3. Las calculadoras dibujan
gráficas de r = f (θ) al
hallar el valor de f (θ) para
numerosos valores de θ a
intervalos espaciados
regularmente, y dibujando
luego los puntos
resultantes (x,y).
Cuando se dibujan
gráficas en coordenadas
polares, debe identificarse
algunos valores
mostrados de θ
correspondientes a r = 0 o
donde r alcanza un
máximo o un mínimo.
Además, debe identificar
el rango de valores de θ
que producen una copia
de la curva polar, cuando
ésta es apropiada. Se
deduce que muchas
curvas familiares tienen
ecuaciones polares
sencillas.
La gráfica de una
ecuación polar
r = f(θ) es el
conjunto de puntos
(x,y) para los cuales
x = r cos θ ,
y = r sen θ y r = f
(θ).
El método para graficar estas
funciones es el siguiente, primero
graficamos la función r = r(θ) en
coordenadas rectangulares y a partir
de esa gráfica trazamos la
correspondiente en polares.
Guiándonos con la dependencia de r
con respecto a θ.
Recordemos
que θ es la variable
independiente y
generalmente va
de 0 a 2π.

4. Puesto que un punto puede representarse
de formas diferentes en coordenadas
polares, debe tenerse especial cuidado al
determinar los puntos de intersección de
dos gráficas polares, por lo que se sugiere
realizar el dibujo de las ecuaciones,
inclusive cuando más adelante calculemos
el área de una región polar.
De igual forma el problema de hallar los
puntos de intersección de dos gráficas
polares con el de encontrar los puntos
de colisión de dos satélites en órbita
alrededor de la tierra, dichos satélites no
entrarían en colisión en tanto lleguen a
los puntos de intersección en tiempos
diferentes (valores de q).

5. El desarrollo de una fórmula para
el área de una región polar va
paralelo al de zonas en sistema de
coordenadas rectangulares, pero
con sectores de un círculo en lugar
de rectángulos como elementos
básicos de dicha área.
En la figura se observa que la superficie
de un sector circular de radio r viene
dada por:
𝐴 =
1
2
𝜃. 𝑟2
𝑑𝑜𝑛𝑑𝑒 𝜃 𝑒𝑛 𝑟𝑎𝑑𝑖𝑎𝑛𝑒𝑠
Consideremos la función dada por r= f(q), donde f es continua y no negativa en el
intervalo [a, b] . La región limitada por la gráfica para hallar el área de esta región,
partimos el intervalo [ a , b ] en n subintervalos iguales a = q < q < q <........< q <
q = b
A continuación aproximamos el área de la región por la suma de las mismas de
los n sectores.
Luego de haber notado el teorema anterior,
podemos decir que usar la fórmula para
hallar el área de una región limitada por la
gráfica de una función continua no negativa.
Sin embargo, no es necesariamente válida
si f toma valores positivos y negativos en el
intervalo [a, b].
NOTA:
Algunas veces lo más difícil a la hora de
hallar el área de una región polar es
determinar los límites de integración. Un
buen dibujo de la región puede ayudar
mucho en estos casos.

6. TEOREMA Área en Coordenadas polares
Si 𝑓 es continua y no negativa en el intervalo 𝛼, 𝛽 , 0 < β − 𝛼 ≤ 2𝜋,
entonces el área de la región limitada (o acotada) por la gráfica de 𝑟 =
𝑓 (𝜃) entre las rectas radiales 𝜃 = 𝛼 𝑦 𝜃 = 𝛽 está dada por
𝐴 =
1
2 𝛼
𝛽
𝑓 (𝜃) 2
𝑑𝜃
=
1
2 𝛼
𝛽
𝑟2
𝑑𝜃
0 < 𝛽 − 𝛼 ≤ 2𝜋.
Tomando el límite cuando 𝑛 → ∞ se obtiene
𝐴 = lim
𝑛→∞
1
2
𝑖=1
𝑛
𝑓 (𝜃𝑖) 2
∆𝜃
=
1
2 𝛼
𝛽
𝑓 (𝜃) 2
𝑑𝜃
Lo cual conduce al teorema siguiente
• 𝐴 ≈ 𝑖=1
𝑛 1
2
∆ 𝜃 𝑓(𝜃𝑖
2

7. Es fácil ver cómo se forma una figura
parecida a una rosa con cuatro pétalos. La
función para este gráfico es:
Analógicamente al gráfico de la rosa de
cuatro pétalos, este gráfico es parecido pero
tiene sólo tres hojas o pétalos en su forma
gráfica. Un ejemplo es el siguiente:
El siguiente gráfico es como los dos
anteriores, pero ahora con ocho hojas o
pétalos, tal como lo vemos en la siguiente
función graficada:

8. Un caso interesante y especial que se
puede dar es el que se muestra en la
gráfica que vemos a continuación, donde
se aprecia una rosa de tres pétalos
precisamente dentro de otra rosa de tres
pétalos u hojas.
Para este ejemplo se presenta una cardioide
simétrica con respecto al eje polar y que
apunta hacia la derecha. Podemos observar
que se distingue una figura como de un
corazón, razón por la cual se llama este
gráfico cardioide. Habiendo visto el primer gráfico de una
cardiode, se presenta otro gráfico de este
tipo pero ahora apunta hacia arriba, tal como
lo vemos a en el gráfico de la siguiente
función:

9. Un limaçon o las gráficas polares que generan
limaçones son las funciones en coordenadas
polares con la forma:
r = 1 + b cos
Ahora veamos un ejemplo concreto de un gráfico
de este tipo, donde se muestra un caracol que
apunta hacia la derecha y que tiene un lazo interior.

10. Esta nueva función nos presenta una forma conocida por todos y es
precisamente la circunferencia, la cual será formada en el gráfico polar
mediante la siguiente función:

11. En matemáticas, una leminscata es un tipo de curva descrita por la siguiente ecuación en coordenadas
polares:
𝑟2
= 𝑎2
cos 2 𝜃La representación gráfica de esta ecuación genera una curva similar a ∞ . La curva se
ha convertido en el símbolo del infinito y es ampliamente utilizada en matemáticas. El
símbolo en sí mismo es, a veces, llamado lemniscata.

12. Hay curvas polares que tienen varios
siglos de existir, mientras que esta que
trataremos en este momento es bastante
reciente, pues fue desarrollada por el
matemático inglés T.J. Freeth, quien
descubrió esta curva en 1879.
Fue utilizada por un griego
llamado Diocles para resolver el
problema de la duplicación del
cubo. El gráfico aparece de esta
forma:
Tal como podemos generar funciones
de parábolas en coordenadas
cartesianas, lo podemos hacer también
en coordenadas polares.

13. Nicómenes nació sobre el año 280 antes de Cristo
en Grecia y murió en el año 210 a.C. Se sabe muy
poco de su vida pero es famoso por su "Las líneas
de la Concoide".

14. La espiral más simple la podemos encontrar al mirar
una cuerda enrollada sobre sí misma. La forma de una
espiral la vemos en una serpiente enrollada por
ejemplo.