Este documento proporciona instrucciones sobre cómo interpretar y crear gráficos, incluida la selección de escalas adecuadas, etiquetado de ejes, y tipos de relaciones como lineales, cuadráticas e inversas. También explica cómo ajustar curvas de datos, linealizar relaciones no lineales para determinar ecuaciones empíricas, y el uso de papel log-log para graficar datos.

1. Interpretación de gráficos LF 100 Lic. Marlon Recarte 1

2. Al hacer un grafico se deben tomar en cuanta ciertas cosas Los gráficos se hacen en papel milimetrado Seleccionar una escala adecuada para ambos ejes x variable independiente y variable dependiente Los gráficos deben quedar en el centro del papel Se deberán colocar nombre a los ejes y además las unidades de las variables en los ejes (m, seg, m/s etc.) 2

3. 3

4. Existen muchas relaciones entre variables, algunos ejemplos son: 4 1.Relación lineal Es aquella cuya grafica es una línea recta

5. Relación lineal En este tipo, la relación entre las variables es: Donde al número m se le conoce como pendiente y a b se le conoce como intercepto en el eje y ¿Cómo se obtiene m y b? 5

6. b es el punto sobre el cual la gráfica corta al eje y b 6

7. (x2, y2) Δy = y2-y1 (x1, y1) θ Δx = x2-x1 Lo anterior indica que para encontrar la pendiente se necesitan 2 puntos sobre la recta o el ángulo de esta con el eje horizontal 7

8. 2.Relación cuadrática También es conocida como parábola, la relación entre las variables tiene la forma b b es el intercepto en el eje y , k es una constante 8

9. 3.Relación inversa También es conocida como hipérbola, la relación entre las variable tiene la forma Esta grafica no tiene intercepto en el eje y 9

10. Ajuste de curvas 10

11. Supongamos que tenemos una serie de mediciones Deseamos determinar la relación entre variables que mejor se ajusta a los datos. 11

12. Al graficar 12

13. Supongamos que una relación lineal es la que mejor se ajusta a los datos . Obviamente una recta no pasará por todos los puntos, por lo que debemos seleccionar una recta que pase por la mayor cantidad de puntos tal que los errores (separación entre el punto y la recta) sean mínimos, aunque el criterio mas fuerte debe ser el de minimizar el error. 13

14. Tracemos varias rectas y veamos la separación entre la recta y los puntos que no están en la recta (errores) Primer ajuste 14

15. Segundo ajuste 15

16. Tercer ajuste 16

17. Cuarto ajuste 17

18. Quinto ajuste 18

20. ¿Cuál de los ajustes es mejor? Eso dependerá de la visualización de la persona, pero vemos que los mejores ajustes son el primero y el cuarto. 20

21. Debemos tener claro que al calcular la pendiente se deben tomar los puntos que estén en la recta, es decir que no se consideran los puntos que no pasan por la misma, estos puntos se deben encerrar (puntos error) 21

22. La misma idea se debe seguir en el caso que la relación no sea lineal, Que la curva toque la mayor cantidad de puntos y que el error sea lo mas pequeño posible 22

23. Ecuaciones empíricas Una ecuación empírica se encuentra a partir de datos experimentales observados. Usualmente la ecuación empírica se puede encontrar examinado la grafica. Cuando la grafica de la ecuación empírica es una línea recta es sencillo determinar las constantes de la ecuación, es decir el intercepto y la pendiente 23

24. Pero en el caso de una curva de la forma Es fácil determinar el intercepto pero hasta el momento no tenemos una forma de determinar k, no podemos usar la formula de pendiente porque esta es solo para relaciones lineales, entonces ¿Cómo podemos determinar k? 24

25. La formula de pendiente es valida solo para relaciones lineales entonces podríamos utilizar dicha formula si transformáramos la relación no lineal en una relación lineal 25

26. Muchas ecuaciones no lineales se pueden transformar en lineales al cambiar las variables con las cuales se grafican, ha esto se le conoce como linealización Relación no lineal, variables x,y Relación lineal, nuevas variables x*,y* Lo que debemos aprender, es como seleccionar las nuevas variables a fin de linealizar gráficos 26

27. Linealizar: Método para obtener una relación lineal a partir de una relación no lineal, y consiste en una correcta selección de variables independientes dependientes o ambas a fin de obtener la forma: y* y x* son variables 27

28. Supongamos que queremos linealizar una relación cuadrática (nota: tenemos la tabla de datos) Debemos seleccionar nuevas variables para que la ecuación anterior tenga la forma: Lo mas sensato es mantener a y como variable dependiente y considerar a x2como variable independiente, por lo que para linealizar deberíamos graficar: 28

29. 29 Veamos ejemplos de selección de variables

30. 30

31. 31 pendiente intercepto

32. Veamos un ejemplo Determinar la ecuación empírica de la siguiente lista de datos. Al graficar 32

33. Si prolongamos la grafica observamos que el intercepto en el eje y es cero, es decir b=0 además asumamos que es una relación cuadrática 33

34. 34 Considerando a x2 como variable independiente

35. La ecuación empírica es Y=ƒ(x2) es una relación lineal por lo k será igual a la pendiente del gráfico linealizado Si seleccionamos dos puntos sobre el grafico linealizado 35

36. 36

37. La ecuación empírica es Y=ƒ(x2) es una relación lineal por lo k será igual a la pendiente del gráfico linealizado Si seleccionamos dos puntos sobre el grafico linealizado Por la tanto 37

38. Otro ejemplo Determinar la ecuación empírica de la siguiente lista de datos. Graficando 38 Si prolongamos la grafica vemos que el intercepto b es igual a 0.5

39. La forma de la ecuación empírica es Para linealizar se debe seleccionar a xn como variable independiente y graficar El problema es que no sabemos el valor de n, pero sabemos que al seleccionar el n correcto la grafica resultante debería ser lineal 39 Veamos lo siguiente

40. 40

41. 41

42. 42

43. 43

44. Vemos que la grafica es lineal para y = ƒ(x0.5) Por lo que con seguridad podemos decir que n=0.5 Entonces k es igual a la pendiente del grafico linealizado 44

45. 45 El problema de esto es que tendríamos que probar varios “n” hasta que la grafica sea una línea recta, lo cual es un poco complicado porque n es un numero real y sabemos que hay infinitos números reales, aunque algunas veces nos darán sugerencias. Debemos entonces utilizar un método que nos ahorre todo esto, aunque cuando conocemos el “n” debemos hacerlo como se explico.

46. Si tenemos una ecuación empírica Sabemos que con la grafica y=ƒ(x) lo único que podemos encontrar es el valor de b (ya que no conocemos n), entonces b es conocido, si despejamos Aplicando logaritmo base 10 Usando propiedades de logaritmos 46

47. Notemos que tiene la forma Por lo que debemos seleccionar a log(y-b) como variable dependiente y a log(x) como variable independiente y graficar Además la pendiente de este grafico es igual al valor de n y el intercepto es igual a log(k) 47

48. Resolvamos el ejemplo anterior ahora por este método Recordando que b=0.5 48

49. 49

50. Entonces El intercepto en el eje y es 0.3 por lo tanto Log(k)=0.3 K=100.3 = 1.995 ≈ 2 Que son los mismos resultados que habíamos obtenido. 50

51. Notemos que se deben hacer evaluaciones de logaritmos las cuales pueden llevar algo de tiempo, podemos evitar esto usando un papel especial que esta en escala logarítmica, dicho papel se conoce como papel LOG-LOG 51

52. 52

53. De la hoja anterior podemos ver que la escala de los ejes es diferente a la de papel milimetrado normal, esto es por que, es una escala en potencias de 10 10n 10n+1 10n+2 ciclo ciclo 53

54. Por ejemplo, si iniciamos con 100 =1 100 5 3 102 2 101 30 40 20 Cada línea representa un valor de 1 unidad es decir 2,3,4 hasta 10 Cada línea representa un valor de 10 unidades es decir 20,30,40 hasta 100 54

55. Por ejemplo, si iniciamos con 10-2 =0.01 0.01 1 0.03 0.02 0.1 0.4 0.2 0.3 Cada línea representa un valor de 0.01 es decir 0.02, 0.03, 0.04 hasta 0.1 Cada línea representa un valor de 0.1es decir 0.2, 0.3 hasta 1 55

56. La escala en el otro eje se nombra de manera similar. Según los datos que tengamos nombraremos la escala y graficamos y-b=ƒ(x) 56

57. 57

58. Resolvamos el ejemplo que hicimos por el método log(y-b) =ƒ(log(x)) 3 2 1 0.1 10 1 2 0.1 58

59. Recordando la formula El valor de n seria la pendiente del grafico, pero hay una pequeña variante 59

60. 3 2 d2 1 d1 0.1 10 1 2 0.1 60

61. Las distancias d1 y d2 las encontramos midiendo su dimensión con la regla 61

62. Si evaluamos en x=1 Quiere decir que k lo encontramos proyectando la grafica en el eje y-b cuando x=1 62

63. 3 2 1 0.1 10 1 2 Obtenemos que k=2 63

64. 64 ¿Qué pasa si el “1” no esta en nuestro eje? Para este caso se deben hacer un cambio de escalas en los valores a graficar, ejemplo si están en centímetros pasar a metros, o ...

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66. 66 NO VENGO A VER SI PUEDO,SI NO PORQUE PUEDO VENGO. Nunca toméis el estudio como una obligación, sino como la envidiable oportunidad de aprender, como medio de conseguir una gran alegría personal, de la que participarán vuestros padres, y como beneficio de la sociedad a la que pertenece vuestro trabajo futuro. Albert Einstein

67. Gracias por su atención