SlideShare una empresa de Scribd logo
UNIDAD 3: La recta y su ecuación cartesiana“El conocimiento es el tesoro; pero el juicio es el tesorero del hombre sabio. El que tiene mas conocimiento que juicio ha sido hecho para servir a otros mas que ha si mismo”                                                                             William PennUNIDAD 311
LA RECTA Y                       *PROPOSITOS: Reafirmar el conocimiento deSU ECUACION                     la geometría analítica, al obtener la ecuación CARTESIANA                       de la recta y avanzar e la solución analítica                                           de problemas que involucren relaciones                                           entre figuras rectilíneas estudiadas en                                          geometría analítica.                                         APRENDIZAJES SIGNIFICATIVOS                                         Al finalizar la unidad el alumno debe:                                        º Dada una ecuación lineal con dos variables                                           la identificara como una recta y viceversa.                                        º Encontrar la ecuación de una recta, dados                                           distintos elementos que la definan.                                        º Reconocer las distintas formas de representación                                            algebraica de la recta  e identificar cual de ellas  conviene                                           usar, dependiendo de las condiciones que se proporcionen.UNIDAD 32UNIDAD 3.                               2
º A partir  de la ecuación de una recta, en cualquiera de sus formas, encontrar los elementos que define su posición y trazar su grafica.º Dadas la ecuación de una recta y las coordenadas  de u punto, decidir, sin recurrir a la grafica, si este pertenece o no a la recta.º Dadas las ecuaciones de dos rectas, o bien, los elementos que definen sus posiciones, determinar si se cortan o no y, en su caso, el Angulo de intersección y las coordenadas del punto donde se cortan.º Expresar los argumentos que justifican las condiciones analíticas para el paralelismo o para la perpendicularidad de dos rectas.º A partir de las ecuaciones   de dos rectas, decidir si son paralelas, perpendiculares o simplemente secantes.º Comprobar algunas relaciones geométricas que involucran rectas, estudiadas en geometría euclidiana.º Reconocer las relaciones presentes  en una situación geométrica.UNIDAD 333
º Reforzar  su capacidad  para pasar  de lo particular a lo general y viceversa.º Avanzar en su desempeño  respecto al método de la geometría analítica, al obtener  la ecuación de la recta y resolver problemas que la involucran.º Valorar el álgebra, no solo como una herramienta para obtener resultados numéricos, sino también, para establecer relaciones que proporcionen información  acerca de la problemática que se estudia esto a través de :º Obtener  a partir de una de sus representaciones, las otras formas de la representación de la recta.º Calcular los elementos que define una recta a partir de su ecuación dada en su forma general.TEMATICA:º La recta ubicada  en el plano cartesianoCondiciones necesarias y suficientes para localizar una rectaUNIDAD 344
º  La ecuación cartesiana de la recta cuando se conocen:Las coordenadas de dos de sus puntosLa ordenada de su origen y su pendienteCuando es paralela  a uno de sus ejes de coordenadasSu pendiente y las coordenadas de uno de sus puntosº Tratamiento analítico para determinar a partir de la ecuación de una o dos rectas:Los elementos geométricos que la definen: ángulo de inclinación y uno de sus puntos o dos de sus puntos.Si un punto  cuyas coordenadas se conocen, pertenece o no a una recta.La intersección de dos rectas que se cortan.El ángulo de dos rectas que se cortan.La condición de perpendicularidad o paralelismo de dos rectas.UNIDAD 355
º Solución analítica de problemas de corte euclidianoCalculo del área de un trianguloComprobación en casos concretos de:La concurrencia de las mediatrices de un triangulo
La razón de 1:2 en que el punto de intersección  de las medianas de un triangulo divide a cada una de ellas
La igualdad de loa ángulos en un triangulo isósceles
La igualdad de loa ángulos opuestos  de un paralelogramoUNIDAD 366
                     LA RECTA Y SU ECUACION CARTESIANAPROPOSITOS: Reafirmar el conocimiento del método de la geometría analítica, al obtener  la ecuación de la recta y avanzar en la solución analítica de los problemas que involucran relaciones entre figuras rectilíneas estudiadas en geometría euclidiana.APRENDIZAJES: Dada una ecuación lineal con dos variables, la identificara como una recta y viceversa
Encontrara la ecuación de una recta, dados distintos elementos que la definan
Reconocerá las distintas formas de representación  algebraica  de la recta e identificara cual conviene a usar, dependiendo de las condiciones que se proporcionen
A partir de la ecuación de una recta, en cualquiera de sus formas, encontrara los elementos que definen su posición  y trazara su grafica.TEMATICA:La recta ubicada en el plano cartesianoCondiciones necesarias y suficientes para localizar la rectaLa ecuación cartesiana de la recta, cuando se conocen:Las coordenadas de dos de sus puntosSu pendiente y las coordenadas de uno de sus puntosLa ordenada al origen y su pendienteCuando es paralela a uno de los ejes de coordenadasLA RECTA Y SU ECUACION CARTESIANA                    UNIDAD 377
      A Renato Descartes (1596-1650)  se le considera el primer filosofo de la edad moderna debido que el tuvo el merito de sistematizar el método científico. Además, fue el primero en aplicar el álgebra a la geometría, creando así la geometría analítica. El tema de la línea  recta lo ubicaremos en este campo de la geometría analítica, en donde se pueden  interpretar muchos fenómenos, por ejemplo el movimiento rectilíneo uniforme; siendo la velocidad la constante de proporcionalidad  entre la distancia recorrida  y el tiempo empleado en recorrerla, la formula del movimiento  rectilíneo uniforme es: v = d/t  y considerando la distancia en función del tiempo podemos obtener una grafica de una línea recta y pronosticar movimientos futuros.     Recuerda que e el curso de matematicas1, en la unidad 2 “variación directamente proporcional y funciones lineales” se estudio el tema de funciones lineales, su grafica y su modelo algebraico. Recordaremos estos conceptos con un problema que para su solución nos conduzca a una ecuación lineal.PROBLEMA 3.1Un atleta corre a una velocidad constante de 3 (m/s).Hacer una grafica de la distancia recorrida en función del tiempo, obtener el modelo matemático.Realizaremos un esquema que nos ayude a identificar los datos y las incógnitas del problema.LA RECTA Y SU ECUACION CARTESIANA                    UNIDAD 38INTRODUCCION8
Escribe en tu cuaderno borrador cuales son los datos del problema:Cuales son las incógnitas:Modelo matemático: d = v tSabemos que v = velocidad constante                    d = distancia                    t = tiempoEntonces d = 3t(m) si d=y, t=x tenemos la formulaY=3x que es la ecuación de una línea recta, es decirEl modelo matemático.Para realizar la grafica, encontraremos algunos puntosT(s)                   d(m)              P(t, d) 0                        0                 p1(0,0)10                       30               p2(10,30)20                       60               p3(20,60)30                       90               p4(30,90)40                       120             p5(40,120)50                       150             p6(50,150)LA RECTA Y SU ECUACION CARTESIANA                    UNIDAD 399
Con estos datos construye la grafica en tu cuaderno, que observaras que se trata de  una línea recta.De la tabla se tiene  que por cada aumento de 10 segundos en t, d aumenta en 30 unidades, lo cual es equivalente, por cada unidad de aumento en t, entonces d aumenta en 3 unidades. Por tanto podemos afirmar que la razón de cambio de d al cambio de t es igual a una constante 3.Esto lo puedes observar en la ecuación d = 3tA esta relación constante, se le llama pendiente ( inclinación de la recta).Recordaremos el concepto de pendiente.La pendiente de una línea  que no se vea vertical representa el numero de unidades que se levantan o se caen verticalmente, con cada unidad de cambio horizontal de izquierda a derecha. Por ejemplo, observa los dos puntos: (X1,Y1) y (X2,Y2) en la línea mostrada en la figura al movernos de izquierda a derecha a lo largo de esa línea, un cambio de (Y2-Y1) unidades en la dirección vertical corresponde a un cambio de (X2-X1) unidades en la dirección horizontal, esto es:  Y2-Y1 = el cambio en y  X2-X1 = el cambio en xLA RECTA Y SU ECUACION CARTESIANA                    UNIDAD 31010
La pendiente de la línea recta esta dada  por la razón de estos dos cambios, es decir:                                                    y2 – y1                                          m =                                                     x2 – x1Condiciones necesarias y suficientes para localizar una rectaAngulo de una recta con el eje xPROBLEMA 3.2Juan estaba jugando con un papalote, este se atoro en la punta de un pino que se encontraba a 5 metros de distancia. Juan quiere bajar su papalote con una escalera. Si el pino mide 3 metros  de altura, ¿Cuál es el ángulo, con respecto al piso, con el que debe apoyar la escalera para bajar su papalote?SOLUCION:Para resolver este problema, supongamos que el pie de la escalera que Juan va a colocar se encuentra en el origen; la base del árbol se encuentra en el punto P (5,0), el papalote en Q  (5,3) y a es el ángulo buscado. Así, podemos considerar el siguiente esquema:LA RECTA Y SU ECUACION CARTESIANA                    UNIDAD 31111
                                                           FIGURA 3.3LA RECTA Y SU ECUACION CARTESIANA                    UNIDAD 31212
El     Δ  OPQ  es rectángulo; entonces:tan a = PQ = 3            OP    5a=31El ángulo con el que debe salir la pelota es aproximadamente de 31 grados.DEDUCCION DE LA PENDIENTESea L  una recta no vertical y P1 (X1,Y1) Y P2(X2,Y2) puntos de la recta L. En la siguiente figura se muestra esta recta. Los puntos: P1 (X1,Y1), P2(X2,Y2) y R(XX2,Y1) son los vértices de un triangulo rectángulo, como se muestra en la gráfica.α                                                                             FIGURA 3.4 DEDUCCION DE PENDIENTE                  UNIDAD 313P2aP1R 13
Como la pendiente en el triangulo p1, p2, r  es:   m= tan a = cateto opuesto     = y2- y1                    cateto adyacente    x2 – x1 Por lo tanto podemos decir que:   m = y2- y1                                                            x2- x1             Esta ecuación se conoce como la pendiente de la recta L.Ejemplo ilustrativo: Si L1 es la recta que pasa por los puntos P1 (3,4) y P2 (6,7)Encuentra su pendiente FIGURA 3.5DEDUCCION DE PENDIENTE                               UNIDAD 31414
Sustituye en la formula anterior estos puntos:Escribe el valor que encontraste de m=Para cada recta que pasa por cada uno de los siguientes pares de puntos, calcula su pendiente y construye su grafica en los siguientes sistemas de coordenadas, realiza esta actividad en tu cuaderno.1.- L1: A(3,7) y B(-2,-4)……………………………………………………..m=11/52.- L2:A(-2,5) y B(2,-3)………………………………………………………m=-23.- L3:A(-3,4) y B(5,4)……………………………………………………….m=04.-L5:A(5,3) y B (5,-2)………………………………………………………No existe             FIG. 3.6                                                          FIG. 3.7DEDUCCION DE PENDIENTE                               UNIDAD 31515
                  FIG. 3.8                                              FIG. 3.9Analiza las graficas anteriores, de cada una de las rectas  ¿Cómo es la pendiente? (positiva o negativa) y ¿su ángulo con el eje x? (mayor o menor de 90º) SI m>0 entonces a <90 y si m<0 explica como es     a  :DEDUCCION DE PENDIENTE                               UNIDAD 31616
               DEFINICION DE LA RECTA DADO UN PUNTO Y SU PENDIENTEDefinición de línea recta: Es el lugar geométrico de los puntos en un plano tales que, tomados dos puntos diferentes cualquiera P1 (X1,Y1) y P2(X2,Y2)  el valor de la pendiente m resulta siempre constante.Si m=0 entonces     a =0ºSi m no esta definida entonces a =90º, por que el ángulo de 90º no tiene tangenteGeométricamente, una recta queda perfectamente determinada por uno de sus puntos y su dirección ( ángulo de inclinación) y como consecuencia su pendiente.Es decir la recta que pasa por el punto dado P1(X1,Y1) tiene de pendiente m, su ecuación es: y – y1 =m(x-x1)¿Cómo deducimos esta ecuación?Consideremos el problema de encontrar la ecuación de la recta no vertical que pasa por un punto P(X1,Y1) y tiene de pendiente m.Si Q (x,y) es cualquier otro punto de la recta y sustituimos estos dos puntos en laEcuación  DEFINICION DE LA RECTA DADO UN PUNTO Y SU PENDIENTE             UNIDAD 31717
      Tenemos:                       puesto que Q ≠ P   y la recta no es vertical, entonces      x – x1 ≠0 y Multiplicando por x – x1 ambos lados de la igualdad, obtenemos: y-y1=m(x-x1) y se conoce como la ecuación de la recta dado un punto y su pendienteEs decir: m=   y- y1                      x – x1 y – y1 = m( x- x1)Problema 3.3Encuentra la grafica de la recta si su pendiente es m= -3, y pasa por el punto A(-3,-5), y traza su grafica:SOLUCION:Utilizamos la ecuación anterior: y – y1 =m(x-x1) ; porque conocemos la pendiente y un punto.DEFINICION DE LA RECTA DADO UN PUNTO Y SU PENDIENTE             UNIDAD 31818
Al sustituir en la ecuación anterior, el valor de la pendiente m=-3 y las coordenadas del punto A, que son: A (X1,Y1)=(-3,-5)  nos queda:Y-(-5)=-3  X-(-3)Realizando operaciones necesarias y adecuadamente. La ecuación estará expresada en su forma general:                                                    3x+y+14=0Ahora transformemos la ecuación anterior a la forma de pendiente y ordenada al origen si despejamos y.Y=-3x-14   (esta es la ecuación llamada de pendiente y ordenada al origen).Para hacer la grafica, sigamos los pasos que a continuación se indican:De la ecuación anterior determinemos la pendiente de la recta y un punto por donde pasa esta:    y= -3x-14; es de tipo: y = mx + b DEFINICION DE LA RECTA DADO UN PUNTO Y SU PENDIENTE             UNIDAD 31919
Si comparamos las dos ecuaciones podemos darnos cuenta:m=-3 ( es la pendiente de la recta), con este dato podemos conocer el ángulo de inclinación de la recta en el eje x.b=-14 ( el valor de b es una ordenada al origen de un punto de la recta, lo que quiere decir que su abscisa x=0, es decir el punto en donde la recta se interseca al eje y)Con estos dos valores determinamos un punto de la recta, que al llamarle B y al indicarle sus coordenadas queda: B(0,-14) ECUACION DE LA RECTA CONOCIENDO LA ORDENADA AL ORIGEN Y SU PENDIENTELa ecuación de una recta la podemos obtener de varias maneras, dependiendo de los datos que sepamos de ella y recíprocamente, si tenemos la ecuación de una recta, podemos escribirla en distintas formas y obtener de esas expresiones informaciones diversas acerca de la recta. Un caso importante es cuando conocemos la pendiente m y el punto P donde corta al eje y; su coordenada al origen, que usualmente se simboliza con la letra b. Es decir tomemos al punto P (0,b) y la pendiente m, sustituyamos en la ecuación               y- y1 =m( x – x1)     obtendremos y- b = m( x- 0 ) , de donde se obtiene y=m x +b a esta ultima ecuación se le conoce como la forma pendiente-ordenada al origen, como anteriormente ya se había observado en el ejemplo anterior.ECUACION DE LA RECTA CONOCIENDO LA ORDENADA AL ORIGEN Y SU PENDIENTE     UNIDAD 32020
Problema 3.4Encontrar la ecuación de la recta que tiene de pendiente 2, y corta al eje y en el punto  -3 y construye su grafica en tu cuaderno de cuadricula.Escribe en tu cuaderno la ecuación que aplicarásObserva que tus datos  son: m=2, b=-3Sustituyendo valores y realizando operaciones obtendrás la ecuación: y=2x-3Problema 3.5Calcula la ecuación de L1 si P (4,-1) y m=-1Sustituyendo en la ecuación: y- y1 =m( x – x1)  y- (-1) = -1(x-4) Realiza las operaciones e iguala con cero, obtendrás la ecuación:  x-y+5=0Construye la grafica para los siguientes valores de x:ECUACION DE LA RECTA CONOCIENDO LA ORDENADA AL ORIGEN Y SU PENDIENTE        UNIDAD 32121
Problema 3.6Hallar la ecuación de la recta que pasa por el punto P (4,-1) y tiene un ángulo de inclinación de 45º.Para encontrar el valor de la pendiente, teclea en tu calculadora 45 y luego teclea tan a   entonces m es igual a 1 calcula la ecuación:Construye su grafica FIGURA 3.11ECUACION DE LA RECTA CONOCIENDO LA ORDENADA AL ORIGEN Y SU PENDIENTE        UNIDAD 32222
ECUACION DE LA RECTA DADO DOS PUNTOSLa recta que pasa por los puntos dados   P1 ( x1, y1) y P2 (x 2 ,y2 )   tiene por ecuaciónDeducción de la formula.                                                       FIGURA 3.12ECUACION DE LA RECTA DADO DOS PUNTOS                  UNIDAD 32323
Como el triángulo PP1R3~ al triánguloP1P2R2 entonces, la Tana= m en los dos triángulos es:Problema 3.7Hallar la ecuación de la recta L que pasa por los puntos A(-3,-4) y B(5,6)SOLUCION:Localiza los puntos en el plano y traza la grafica.Escribe en tu cuaderno borrador cuales son los datos:Escribe cual es la incógnita:ECUACION DE LA RECTA DADO DOS PUNTOS                  UNIDAD 32424
                                                       GRAFICA:                                                     FIGURA 3.13ECUACION DE LA RECTA DADO DOS PUNTOS                  UNIDAD 32525
Calcula la pendienteM=Encuentra su ecuación aplicando la formula anterior y sustituyendo cualquier punto A ó B  y el valor de la pendiente que calculaste.La ecuación a la  que debes llegar es:4y-5x+1=0 esta es la ecuación general de la recta.Despejando y=             .Que corresponde a la ecuación conociendo la pendiente y ordenada al origen es decir: y=m x + bConstruye su grafica para los siguientes valores de x:ECUACION DE LA RECTA DADO DOS PUNTOS                  UNIDAD 32626
                                                    FIGURA 3.14Analiza como es su pendiente y su ángulo de inclinación:                          EJERCICIOS QUE DEBES RESOLVER POR EQUIPOSEncuentra la ecuación para cada recta y grafícala, escribe cual es su pendiente, ángulo de inclinación y su ordenada al origen.ECUACION DE LA RECTA DADO DOS PUNTOS                  UNIDAD 32727
Resuelve estos problemas en tu cuaderno.1.- L1: A (-3,4), B (5,6)2.- L2:P1(-5,6), P2(4,-3)3.- L3:P3(3,6),P4(3,-5)4.-L4:P5(-5,-4),P6(7,-4)En cada uno de los problemas siguientes, determina lo que se te pida y haz el trazo de la grafica correspondiente.5.-Encuentra la ecuación de la recta que pasa por el punto: P(2,4) y tiene una pendiente m=5    Solución:    Ecuación: 5x-y-6=06.-Encuentra la ecuación de la recta que pasa por el punto: U(-3,5) y su pendiente es 3     Solución:     Ecuación: 3x-y-11=0ECUACION DE LA RECTA DADO DOS PUNTOS                  UNIDAD 32828
7.-Encuentra la ecuación de la recta que pasa por el punto: B(-5,2) y su pendiente es ¼     Solución:     Ecuación: x-4y+13=08.- Encuentra la ecuación de la recta que pasa por el punto: A(4,-1) y su pendiente es -1/5      Solución:      Ecuación: x+5y+1=0A partir del análisis de las graficas de estas rectas respecto a su pendiente y ángulo de inclinación, plantea una conjetura para cualquier recta en el plano; si m>0, si m<0, si m=0 y si m es consiente de donde el denominador es cero, es decir no esta definido matemáticamente, explica como es el ángulo de inclinación de esta recta con respecto al eje x.                            FORMA GENERAL DE LA ECUACION DE LA RECTAPodemos decir que la ecuación de una recta es una ecuación de primer grado con dos variables y recíprocamente, toda ecuación de primer grado, con dos variables representa una recta.FORMA GENERAL DE LA ECUACION DE LA RECTA            UNIDAD 32929
     La ecuación general de primer grado es de la forma:Ax + By + C =0     La siguiente ecuación:  4y-5x+1=0 esta expresada en su forma general, en donde A=4, B=-5, C=1. Ahora bien, si despejamos  Y  de la ecuación dada, esta estaría expresada en la forma: dad su pendiente y ordenada al origen, es decir y=m x + b, entonces      y=5/4x-1/4 en donde m=5/4 y su ordenada al origen es b=-1/4.  Construye su grafica considerando el plano de la fig. 3.15, su ángulo de inclinación y su ordenada de origen. Completa las siguientes conjeturas en tu cuaderno:     ¿Todas las rectas que tienen una pendiente positiva tienen un ángulo de inclinación?     ¿Todas las rectas que tienen una pendiente negativa tienen un ángulo de inclinación?FORMA GENERAL DE LA ECUACION DE LA RECTA                       UNIDAD 33030
                                                 FIGURA 3.15RESUMEN:1.-Si  en L M>0 (pendiente positiva),  entonces  a <90º (ángulo de inclinación mayor de 90º).FORMA GENERAL DE LA ECUACION DE LA RECTA                       UNIDAD 33131
2.- Si en L m<0 (pendiente negativa), entonces a>90º (ángulo de inclinación mayor de 90º)3.- Si la recta L es paralela al eje x; su pendiente vale cero, es decir m=0 y por lo tanto   a =04.-Si la recta L es paralela al eje y; la pendiente no este definida y su ángulo de inclinación es de 90ºPROBLEMAS:Calcula la pendiente, su ángulo de inclinación y construye una grafica de la recta L1 que pasa por los puntos A (4,-5) y B (6,7)Calcula la ecuación de la recta  L2 que pasa por el punto P(3,6) y su ángulo de inclinación es 30º. Construye su grafica en tu cuaderno.Construcción de la grafica de los problemas 1 y 2FORMA GENERAL DE LA ECUACION DE LA RECTA                       UNIDAD 33232
                                                   FIGURA 3.163) Calcula la pendiente, su ángulo de inclinación y construye una grafica de la recta L1 que pasa por los puntos A(4,-5) y B(5,7) y expresarla en su forma general.4) Calcula la ecuación de la recta L2  que pasa por el punto P(3,6) y su ángulo  de inclinación es de 30º.Construye su grafica.      Sol. Y-58x-4.26=0FORMA GENERAL DE LA ECUACION DE LA RECTA                       UNIDAD 33333
5) Hallar la ecuación , ángulo de inclinación y grafica de la recta L3 y que pasa  por los puntos P1(-3,4) y P2(5,-6).Especifica cual es su ordenada de origen.     Sol. 4y+5x+27=06) Encuentra la ecuación de la recta, conociendo el punto P(5,-2),m=2/3.7) Encuentra la ecuación  y su grafica de la recta, conociendo el punto P(-2,0), y a=135º.                       ECUACION DE LA RECTA EN SU FORMA SIMETRICATenemos la ecuación  simétrica de la recta, cuando se conocen de la recta un punto con ordenada al origen y un segundo punto con abscisa al origen.Cuando una recta interseca al eje de las “y”, a esta intersección se le llama ordenada al origen y se le simboliza “b” y el punto de intersección queda como: A(0,b); de la misma manera cuando una recta interseca al eje de las “x” a esta intersección queda como: B(a,0); son estos dos puntos los que utilizamos para determinar la ecuación de la recta en su forma simétrica.ECUACION DE LA RECTA EN SU FORMA SIMETRICA                 UNIDAD 33434
En esta condiciones la recta puede ser:                                                   FIGURA 3.17Que al determinar la pendiente de la recta con estos dos puntos nos queda:Después sustituimos la pendiente y cualquiera de los puntos en la ecuación:ECUACION DE LA RECTA EN SU FORMA SIMETRICA                 UNIDAD 33535
Si sustituimos m=-a/b, con el punto A (0,b):Nos queda: y-b=Ahora multiplicamos todo por a para eliminar el denominador a; quedándonos:a(y-b) = -b(x-0)Si eliminamos el paréntesis nos queda:ay-ab=-bxAsí tenemos:bx+ay=abY al dividir toda la expresión entre ab, llegamos a:                                                         que es la ecuación de la recta en su forma simétrica ECUACION DE LA RECTA EN SU FORMA SIMETRICA                 UNIDAD 33636
PROBLEMA 3.8Encuentra la ecuación de la recta cuyas intersecciones con los ejes son: a=3 y b=5; hacer la grafica.Solución: Los valores que nos dan, los sustituimos en la ecuación                     , llegando a:;transformando la ecuación con términos enteros tenemos:5x+3y=15; que en su forma general y cuya grafica a continuación se expone:                                                        FIGURA 3.18ECUACION DE LA RECTA EN SU FORMA SIMETRICA                 UNIDAD 33737
PROBLEMAS:Encontrar la ecuación de la recta que tiene de abscisa en el origen a=-2y de ordenada en el origen b= -4; además hacer la grafica de la recta.Determinar las intersecciones a y b con los ejes de la recta que tiene como ecuación: 2x+3y-6=0Encontrar la ecuación de la recta que tiene como abscisa en el origen a=7 y de ordenada en el origen b= -7;ademas hacer la grafica de la recta.Determinar las intersecciones a y b con los ejes de la recta que tiene como ecuación: 4x+5y-14=0; traza su grafica.                 LA INTERSECCION DE DOS RECTAS QUE SE CORTANAprendizajes:El alumno.*Dadas la ecuación de dos rectas, o bien, los elementos que definen sus posiciones, determinara si se cortan o no y, en su caso, el ángulo de intersección y las coordenadas del punto donde se cortan.LA INTERSECCION DE DOS RECTAS QUE SE CORTAN                     UNIDAD 33838
Temática:El ángulo entre dos rectas que se cortan     Si dos rectas se cortan l1 y l2 forman ángulos suplementarios, cada uno de los cuales puede ser tomado como el ángulo que forman dichas rectas. Con el objeto de evitar la ambigüedad, definimos el ángulo que forman l1 y l2 ( o el que forman l2y l1) como aquel que se mide por la amplitud de la rotación de l1, (en sentido contrario al movimiento de las manecillas del reloj) en torno del punto de intersección hasta colocarse sobre l2. Representaremos por θ el ángulo que forman las rectas LA INTERSECCION DE DOS RECTAS QUE SE CORTAN                     UNIDAD 339
LA INTERSECCION DE DOS RECTAS QUE SE CORTAN                     UNIDAD 340
LA INTERSECCION DE DOS RECTAS QUE SE CORTAN                     UNIDAD 341Sean las rectas l1 y l2 de inclinacionesa1y a2y pendientes l1, l2 respectivamente.
LA INTERSECCION DE DOS RECTAS QUE SE CORTAN                     UNIDAD 342Considerando el ángulo θ formado por l1 y l2 y recordando que el ángulo exterior de un triangulo es igual a la suma de los interiores no adyacentes, se tiene:a2=a1+ q                             q= a2- a1 Luego:       tan q=tan (a2-a1)=                    tana1= m1                   tana2= m2Entonces:                         Al aplicar esta formula téngase presente que m1 es la pendiente del lado inicial y m2 la pendiente del lado final del ánguloθ.Recuerda que para encontrar el punto de intersección entre las dos rectas, debes resolver el sistema de ecuaciones, como lo resolviste en la Unidad 1.
PROBLEMA 3.9    Obtener los ángulos interiores del triangulo cuyos vértices son A(5,2), B(-3,4), y C(-6,-3)Calcula las pendientes mAB= mBC=mAC=LA INTERSECCION DE DOS RECTAS QUE SE CORTAN                     UNIDAD 343
Sustituye estos valores en la formula. Para el vértice A,Entonces el Angulo en A mide 32°Calcula el valor del Angulo B Y del ángulo C. Comprueba que 'tus resultados soncorrectos recuerda que la suma de los tres ángulos debe ser Igual a 180LA INTERSECCION DE DOS RECTAS QUE SE CORTAN                     UNIDAD 344
Resuelve los siguientes problemas por equipos1) Encuentra las pendientes de los ángulos del triangulo cuyos vértices son:A (-4,4)  B (2,7)  C (-7,10)2) Hallar las pendientes de las medianas del triangulo cuyos vértices son:A (2,6)  B (8,3) C (-2,-1)3) Probar que el triangulo de vértices A B y C es rectángulo:A (4,8)  B (0,12)  C (-3,1)4) Utilizando las pendientes probar que A B y C están sobre la recta:A (3,5)  B (0,2)   C (-3, 1)LA INTERSECCION DE DOS RECTAS QUE SE CORTAN                     UNIDAD 345
PARALELISMO Y PERPENDICULARIDADAPRENDIZAJES:El Alumno- Expresara los argumentos que justifican las condiciones analíticas para el    paralelismo o para la perpendicularidad de dos rectas- A partir de las ecuaciones de dos rectas decidirá si son paralelas perpendiculares     o simplemente secantesTEMATICA:A) La condición de perpendicularidad o paralelismo de dos rectas.B) Problemas Decimos que dos rectas son paralelas si tienen la misma pendiente y por lo tanto el mismo ángulo de inclinación; es decir L1||L2 si mL1=mL2 y por lo tanto infinito 1= infinito2.Decimos que dos rectas L1 y L2 son perpendiculares si sus pendientes son las recíprocas y de signo contrario; es decir                                                                     y se cumple quePARALELISMO Y PERPENDICULARIDAD                   UNIDAD 346
PARALELISMO Y PERPENDICULARIDAD                   UNIDAD 347PERPENDICULARIDADPARALELISMO
Problema 3.10Encontrar la ecuación de la recta L1 que pasa por el punto A (-2, 2) y es paralela a la recta L2 que pasa por los puntos B (-2, -3) y C (4, 1).Solución: Dibuja una gráfica que ilustres los datos del problema así como la posición delas rectas L1 y L2.Calcula la pendiente de la recta L2 que pasa por los puntos BC, mBC=__________Como la recta L1 pasa por A y es paralela a L2 tiene la misma pendiente por que tiene el mismo ángulo de inclinación, es decir mL1 = mL2  por que infinito 1 = infinito 2mL1 = mL2 = 2/3; entonces mL1=2/3 por que L1||L2.Podemos decir que L1 (recta paralela con la recta L2).Calcula la ecuación de L1 que pasa por el punto A (-2, 2) y es paralela a la recta L2: quepase por los puntos B (-2, -3) y C (4, 1)PARALELISMO Y PERPENDICULARIDAD                   UNIDAD 348
Formula y-y1 =m(x-x1)La grafica te ilustra los datos del problemaRecuerda qua las rectas si son paralelas entonces tienen la misma pendiente. .La ecuación L1 es:: 2x-3y+10=0PARALELISMO Y PERPENDICULARIDAD                   UNIDAD 349
Problema 3.11Hallar la ecuación de la mediatriz del segmento que une los puntos del A(-3, 4) y B(-5,3). Traza una grafica en la que te ilustre cuales son los datos y cual es tu incógnitaPARALELISMO Y PERPENDICULARIDAD                   UNIDAD 350
Calcula el punto medio del segmento ABRecuerda que la fórmula PmAB.PmAB (-1,3.5)Calcula la pendiente en ABRecuerda que la fórmulaMAB=1/8 Argumento Como AB  L entoncesLa pendiente de L (mediatriz) es la reciproca y de signo contrario de AB:mL=-8Calculo de la ecuación de L.y-y1=m(x-x1)     Datos P(-1, 3, 5)m=8Debes llegar a la ecuación y + 8x + 4.5=0PARALELISMO Y PERPENDICULARIDAD                   UNIDAD 351
PARALELISMO Y PERPENDICULARIDAD                   UNIDAD 352
Problema 3.12Hallar la ecuación de la recta que pasa por el punto (-2,3) y es perpendicular a la recta2x-3y + 6=0SoluciónGrafiquemos a la recta 2x-3y + 6=O en el plano cartesiano para tal efecto bastará conencontrar las intersecciones de dicha recta con los ejes coordenados y unir con una línealos puntos de coordenadas encontrados.Sea x=0 en la recta 2x-3y +6=0 y despejemos a la variable y:2(0)-3y+6=0                                       0-3y+6=0                                         -3y+6=0                                           6=3y                                               6                                            3=y                                            2=y                                            y=2Entonces tenemos el punto de coordenadas (x, y) = (O, 2). Sea y = O en la recta 2x - 3y - 6 = 0 y despejemos a la variable x:2X-3(0)+6=0                                               2X-0+6=0                                                  2X+6=0                                                       X=-6/2                                                       X=-3PARALELISMO Y PERPENDICULARIDAD                   UNIDAD 353
Entonces tenemos el punto de coordenadas (x, y) = (-3,0). Ubiquemos los puntos (x, y) = (0,2) y (x, y) = (-3,0) en el plano de coordenadas cartesiano representado en la Figura 3.27PARALELISMO Y PERPENDICULARIDAD                   UNIDAD 354
Problema 3.13Por medio del cálculo de las pendientes, demostrar que los tres puntos A (6,-2), B (2,1) y C (-2,4) son colineales.Solución:Grafica los puntos A (6,-2), B (2,1), C (-2,4) y únelos mediante el trazo de una línea      recta en el siguiente plano cartesiano en tu cuaderno (Figura 3.28)PARALELISMO Y PERPENDICULARIDAD                   UNIDAD 355
Bastará demostrar que las pendientes de los segmentos AB, BC  y  AC   satisfacen la      condición de paralelismo siguiente: Pendiente del segmento AB = pendiente del segmento BC =pendiente del segmento      ACEs decir: mAB = mBC= mACCompleta el cálculo de la pendiente del segmento ABCompleta el cálculo de la pendiente del segmento BCCalcula la  pendiente del segmento ACPARALELISMO Y PERPENDICULARIDAD                   UNIDAD 356
Son las pendientes mAB, mBC  y mAC iguales?___________________Escribe en tu cuaderno una conclusión:Lee con atención los siguientes ejercicios y resuélvelos correctamente, realiza las graficas correspondientes en tu cuaderno : Problemas para resolver:1.- Hallar la ecuación de una recta que pasa por el punto A{1,5) y tiene de pendiente 2. Sol. 2x-y+3=02.-Hallar la ecuación de la recta que pasa por e apunto A(-6,3) y tiene un Angulo de      Inclinación  de 45°                                                         ^.       Sol. x-y+3=01.- Hallar la ecuación de la recta que pasa por el punto A (2,-3) y es paralela ala recta que une los puntos B(4,1) y C (-2,2).      Sol. x +6y+ 162.- Hallar la ecuación de la mediatriz del segmento determinado por los puntos D (7,4) y S(-1.-2)       Sol. 4x­+3y- 15 =0PARALELISMO Y PERPENDICULARIDAD                   UNIDAD 357
3.-Demuestra que L1: 4x- 5y + 12 = 0 y  L2: 5y- 4x + 10 = 0 son paralelas, realiza una grafica que te ilustre el problema.4.- Demuestra que L1: 10x - 12y - 29 = 0 ; L2: 5y + 6x + 7 = 0 son perpendiculares; construye su grafica.5.- Hallar la ecuación de la recta que pasa por el punto P (-2, 3) y es perpendicular a la recta 2x- 3y + 6 = 0    Sol. 2y + 3x = 06) Dos rectas se cortan formando un Angulo de 135°. Sabiendo que la recta final tiene una pendiente de -3, calcular la pendiente de la recta inicial.     Sol.1/27) Dos rectas se cortan formando un Angulo de 45°. La recta inicial pasa por los puntos P (-2,1) y Q (9,7), mientras que la recta final pasa por el punto R(3,9) y por el punto S(-2, y1). Halla el valor de y1     So1. y l  = - 8PARALELISMO Y PERPENDICULARIDAD                   UNIDAD 358
8) Una recta l, pasa por los puntos P (3,2) y Q (-4 -6) y otra recta l2, pasa por el punto R (-7,1) y el punto S cuya ordenada es -6. Hallar la abscisa del punto S sabiendo que      l, es perpendicular a l2.So 19) Demostrar que los tres puntos P (2,5) Q (8-1) y R (-2,1) son los vértices de un triangulo rectángulo y calcular sus ángulos agudossol 33° 4l´ 56°1910) Demostrar que los cuatro puntos P (2,4) Q (7,3), R (6,-2) y S (1,-1) son los vértices de un cuadrado y que sus diagonales son perpendiculares.11) Demostrar que los cuatro puntos P (2,2) Q (5,6) R (9,9) y S (6,5) son los vértices de un rombo y que sus diagonales son perpendiculares y se cortan en su punto medio           SOLUCIÓN ANALITICA DE PROBLEMAS DE CORTE EUCLIDIANO  APRENDIZAJES  El AlumnoComprobara algunas relaciones geométricas que involucran rectas estudiadas enGeometría EuclidianaSOLUCION ANALITICA DE PROBLEMAS DE CORTE EUCLIDIANO         UNIDAD 359
Temática:a) Calculo del área de un Triangulob) Comprobación en casos concretos dec) La concurrencia de las medianas mediatrices y alturas de un triangulod) La Igualdad de los ángulos en un triángulo Isósceles    Recuerda que en tu curso de Matemáticas II en la Unidad 2 CONSTRUCCIONES Y ELEMENTOS GEOMETRICOS BÁSICOS estudiaste los siguientes conceptos los puntos notables de un triangulo (Baricentro Circuncentro, Ortocentro)Investiga en la biblioteca ¿Que es el centro de gravedad de un cuerpo?Observa la figura 3.29 Explica ¿por que se pueden sostener en ese punto los cuerpos?SOLUCION ANALITICA DE PROBLEMAS DE CORTE EUCLIDIANO            UNIDAD 360
Recordemos la definición de baricentro y mediana de un triangulo.Baricentro: Es el punto de intersección de las medianas, también se le conoce como el centro de gravedad de un triangulo.Mediana: Segmento razado desde un vértice hasta el punto medio del lado opuestoRealiza una construcción del concepto de MedianaSOLUCION ANALITICA DE PROBLEMAS DE CORTE EUCLIDIANO            UNIDAD 361
Circuncentro: Punto de intersección de las tres mediatrices; este punto es el centro del circulo circunscrito al triangulo. Mediatriz: Perpendicular trazada en el punto medio de cada ladoConstruye la mediatriz de un trianguloSOLUCION ANALITICA DE PROBLEMAS DE CORTE EUCLIDIANO            UNIDAD 362
Problema 3.14En el triangulo cuyos vértices son A (-5, 6), B (-1, -4) y C (3,2) construye con una regla y compás su baricentro y encuentra este punto de intersección.Solución: Escribe en tu cuaderno la definición de mediana:Ilustremos el problema con una construcción (Fig. 3.32).Escribe en tu cuaderno borrador cuales son los datos del problema:Escribe en tu cuaderno cual es la Incógnita del problema:SOLUCION ANALITICA DE PROBLEMAS DE CORTE EUCLIDIANO            UNIDAD 363
Calculo del punto medio del segmento BCCalculo de la mediana respecto al vértice Mediana respecto al vértice  BSOLUCION ANALITICA DE PROBLEMAS DE CORTE EUCLIDIANO            UNIDAD 364
Recuerda que debes encontrar el punto medio del segmento BCCalcula la pendiente en A y el punto medio (Pm) de BC. Debes llegar al valor m = -716Calcula la ecuación de la mediana respecto al vértice A y llámale LDebes encontrar la ecuaci6n 6y +7x-1 = 0Con el mismo procedimiento encuentra la mediana respecto al vértice B y llámale L2Llegaras a la ecuación x + 1 = 0Resuelve el sistema de ecuaciones para encontrar las coordenadas del baricentro, usa el método de sustitución: 6y + 7x- 1 = 0 X+1 =0El punto de intersección es el baricentro B (-1, 4/3)Problema 3.15 Con los mismos datos del triangulo anterior, es decir A (-6,6), B (-1,- 4) y C (3, 2) encuentra la ecuación de dos de sus mediatrices y resuelve este sistema de ecuaciones para encontrar el Circuncentro. Realicemos una construcción que te ilustre el problema.SOLUCION ANALITICA DE PROBLEMAS DE CORTE EUCLIDIANO            UNIDAD 365
SOLUCION ANALITICA DE PROBLEMAS DE CORTE EUCLIDIANO            UNIDAD 366
CALCULO DE LA MEDIATRIZ L1Encuentra el punto medio de ABDebes encontrar PMAB= (-3,1)Encuentra la pendiente en AMAB =-5/2;   Argumento: como AE   L1 (mediatriz por lo tanto mL1=2/5Calculo de la ecuación L1 (Realiza el calculo en tu cuaderno)Encontraras 5y - 2x - 11 = 0Calculo de la mediatriz L2 (Realiza el calculo en tu cuaderno)En contra ras la ecuación 3y ~ 2x + 1 = 0Calculo del Circuncentro5y-2x-11=0 3y+2x + 2=0Circuncentro C (19/8, 5/4)SOLUCION ANALITICA DE PROBLEMAS DE CORTE EUCLIDIANO            UNIDAD 367
Problema 3.16Hallar el Ortocentro del triangulo determinado por los vértices: A (-2,1), B (4, 7) y C (6, -3). Realiza una construcción con la regla y compás que te ilustre el problema en cuaderno.Solución Recuerda la definición de OrtocentroOrtocentro: Punto donde se cortan las tres alturas del triangulo.Definición de altura de un triangulo: Perpendicular trazada desde un vértice al lado opuesto o a su prolongación. Hay tres alturas, una correspondiente a cada lado.Construcción; Construye la altura L respecto al vértice A y la. Altura L1 respecto al vértice B con la regla y el compás (Recuerda de tu curso de matemáticas II, el tema de construcciones), debes llegar a una construcción como se presenta en la siguiente Fig.SOLUCION ANALITICA DE PROBLEMAS DE CORTE EUCLIDIANO            UNIDAD 368
SOLUCION ANALITICA DE PROBLEMAS DE CORTE EUCLIDIANO            UNIDAD 369
Calcula  la ecuación de la altura (L) respecto al vértice A Calcula la pendiente en BCmBC = -5, Argumento: Como BC   ML entonces ml=1/5 Calcula  altura LFormula: Encontrar la ecuación: 5y - x - 70 = 0  L Calcula la ecuación de la altura L1 (respecto al vértice BCalcula pendiente en ACmAC = -1/2 como AC  L1 entonces mL1= 2. Calcula la ecuación de la altura L1:F6nnula: y – y1= m(x- x1) Datos B (4,7) mL1=2 Escribe la ecuación L1SOLUCION ANALITICA DE PROBLEMAS DE CORTE EUCLIDIANO            UNIDAD 370
Resolviendo el sistema de ecuaciones de L y L1, encuentra el punto de intersección (ortocentro), escribe las ecuaciones L y L1 que encontraste, y resuelve el sistema por cualquier método.L:L1: Ortocentro 0(4/3, 5/3) = (1.33, 1.66)Corrobora la solución con la grafica que construiste al principio de la solución del problema.Problema 3.17Encuéntrala la recta de Euler considerando dos de los tres puntos notables que encontraste en los tres problemas anteriores (Baricentro, Circuncentro y Ortocentro)SOLUCION ANALITICA DE PROBLEMAS DE CORTE EUCLIDIANO            UNIDAD 371
SOLUCION ANALITICA DE CORTE EUCLIDIANO              UNIDAD 372
Consideremos el punto del Baricentro P (-4,4/3) y el punto del Circuncentro k (-19/8,10/8).Apliquemos la ecuación de la recta que pasa por dos puntos:Recta de Euler:33y-2x-46=0Podemos verificar que el Ortocentro es un punto da la recta O (14/8,12/8); O (7/4,6/4). SOLUCION ANALITICA DE CORTE EUCLIDIANO              UNIDAD 373
Problema 3.18      Realiza una construcción con la regla y el compás, en donde se ilustre el baricentro, en el triangulo determinado por los puntos A (2, 5), B (-6, 3) y C (-2,-4) en la Fig. 3.30       Escribe cuales son tus datos      Escribe cual es la incógnita:       Realiza la construcciónResuelve el problema y comprueba el resultado que sea correctoSOLUCION ANALITICA DE CORTE EUCLIDIANO              UNIDAD 374
PROBLEMAS1.- Determinar la ecuación de la recta que contiene al punto R (5, 3) y es perpendicular a la recta cuya ecuación es 7x +9y +1 = 02.- Determinar la ecuación de la mediatriz del segmento determinado por los puntos A (7, 4) y B (-1, -2)3.- En el triangulo de vértices A (-2, 1), B (4, 7) y C (6, -3). Hallar la ecuación de la recta que pasa por el vértice A y es paralela al lado opuesto BC4.- Encuentra el baricentro del triangulo determinado por los puntos A (-2, 1), B (4, 7) yC (6,-3)5.- Calcula el Circuncentro del triangulo determinado por los puntos A (-5, 6), B (-1, -4)  y C (3, 2)SOLUCION ANALITICA DE CORTE EUCLIDIANO              UNIDAD 375
CALCULO DE AREA DE UN TRIANGULOEncontrar el área del triangulo cuyos vértices son: A (-2,-3), B (3,3), C (2,6). Escribe cuales son los datos del problema: Escribe cual es la incógnita del problema:Realiza una construcción que te ilustren los datos y la incógnita del problemaCALCULO DEL AREA DE UN TRIANGULO                UNIDAD 376
Solución:Para calcular el área de un triangulo conociendo sus vértices utilizaremos la siguiente formula:están enumerados en sentido contrario al movimiento de las manecillas del reloj. Sustituyendo tenemos:CALCULO DEL AREA DE UN TRIANGULO                UNIDAD 377
Podemos comprobar que el resultado es correcto usando la fórmula. Área= (Base X Altura)/2Para obtener la altura del triángulo, recuerda que tiene tres alturas el triangulo, calculemos la altura que va del vértice C a su lado opuesto AB en forma perpendicular. Calcula la ecuación de la recta AB:Debes llegar a la ecuaci6n: 6x-5y-3=0Aplicaremos la siguiente formula par encontrar la distancia del punto C ha esta recta que es la altura del triangulo:Calcula la distancia de la base del triangulo con la siguiente formulaCALCULO DEL AREA DE UN TRIANGULO                UNIDAD 378
Debes encontrar que d=7.81 Calculando el áreaLo que comprueba que el área del triangulo es correctaProblema 3.20Verifica que en un triangulo isósceles los ángulos opuestos a los lados iguales miden lo mismo. Consideremos el siguiente problema:Demostrar que los puntos A (1,1), B (5,3) y C (6,-4) son los vértices de un triangulo isósceles y, encuentra uno de los ángulos igualesCalcula su área:Cuales son los datos:Cual es la incógnita:CALCULO DEL AREA DE UN TRIANGULO                UNIDAD 379
CALCULO DEL AREA DE UN TRIANGULO                UNIDAD 380
Calculo del ángulo ACalculo de la pendiente ACCalculo de lo pendiente AB.CALCULO DEL AREA DE UN TRIANGULO                UNIDAD 381

Más contenido relacionado

La actualidad más candente

Ecuación de la recta prof. Mónica Lordi
Ecuación de la recta   prof. Mónica LordiEcuación de la recta   prof. Mónica Lordi
Ecuación de la recta prof. Mónica Lordi
karicanteros
 
Ecuacion de la recta pendiente
Ecuacion de la recta pendienteEcuacion de la recta pendiente
Ecuacion de la recta pendiente
Julian Andres
 
Geometria analitica
Geometria analiticaGeometria analitica
Geometria analitica
MARIANO MELGAR
 
Posiciones relativas de dos rectas en el plano
Posiciones relativas de dos rectas en el planoPosiciones relativas de dos rectas en el plano
Posiciones relativas de dos rectas en el plano
Mina Zamima Llano Balcázar
 
Ecuacion de la recta ppt.ppt mark
Ecuacion de la recta ppt.ppt markEcuacion de la recta ppt.ppt mark
Ecuacion de la recta ppt.ppt mark
jmedinah666
 
Geometría Analítica
Geometría AnalíticaGeometría Analítica
Geometría Analítica
Carlos Vázquez
 
Diapositivas de geometria analitica, ecuacion de la recta
Diapositivas de geometria analitica, ecuacion de la rectaDiapositivas de geometria analitica, ecuacion de la recta
Diapositivas de geometria analitica, ecuacion de la recta
ESCUELA SUPERIOR POLITÉCNICA DE CHIMBORAZO
 
Expocicion Geometria Analitica La Recta
Expocicion Geometria Analitica La RectaExpocicion Geometria Analitica La Recta
Expocicion Geometria Analitica La Recta
Luis Alfredo Gómez Rodríguez
 
Ecuacion de la recta punto-pendiente
Ecuacion de la recta punto-pendienteEcuacion de la recta punto-pendiente
Ecuacion de la recta punto-pendiente
rubiie
 
La recta
La rectaLa recta
La recta
alexferneyb95
 
Unidad 2 linea recta
Unidad 2 linea rectaUnidad 2 linea recta
Unidad 2 linea recta
alejandra3014
 
Geometría Analítica
Geometría AnalíticaGeometría Analítica
Geometría Analítica
Ronny Tonato
 
La recta
La rectaLa recta
Pendiente de una recta
Pendiente de una rectaPendiente de una recta
Pendiente de una recta
Jair Gonzalez
 
Ecuacion de la recta en su forma Punto pendiente
Ecuacion de la recta en su forma Punto pendienteEcuacion de la recta en su forma Punto pendiente
Ecuacion de la recta en su forma Punto pendiente
aleman18
 
Ecuación principal de la recta
Ecuación principal de la rectaEcuación principal de la recta
Ecuación principal de la recta
María Pizarro
 
Ecuacion de la recta el su forma General
Ecuacion de la recta el su forma GeneralEcuacion de la recta el su forma General
Ecuacion de la recta el su forma General
aleman18
 
Recta
RectaRecta
Ejercicios resueltos
Ejercicios resueltosEjercicios resueltos
Ejercicios resueltos
roger9019
 
Ecuaciones De La Recta
Ecuaciones De La RectaEcuaciones De La Recta
Ecuaciones De La Recta
Juanjo Expósito
 

La actualidad más candente (20)

Ecuación de la recta prof. Mónica Lordi
Ecuación de la recta   prof. Mónica LordiEcuación de la recta   prof. Mónica Lordi
Ecuación de la recta prof. Mónica Lordi
 
Ecuacion de la recta pendiente
Ecuacion de la recta pendienteEcuacion de la recta pendiente
Ecuacion de la recta pendiente
 
Geometria analitica
Geometria analiticaGeometria analitica
Geometria analitica
 
Posiciones relativas de dos rectas en el plano
Posiciones relativas de dos rectas en el planoPosiciones relativas de dos rectas en el plano
Posiciones relativas de dos rectas en el plano
 
Ecuacion de la recta ppt.ppt mark
Ecuacion de la recta ppt.ppt markEcuacion de la recta ppt.ppt mark
Ecuacion de la recta ppt.ppt mark
 
Geometría Analítica
Geometría AnalíticaGeometría Analítica
Geometría Analítica
 
Diapositivas de geometria analitica, ecuacion de la recta
Diapositivas de geometria analitica, ecuacion de la rectaDiapositivas de geometria analitica, ecuacion de la recta
Diapositivas de geometria analitica, ecuacion de la recta
 
Expocicion Geometria Analitica La Recta
Expocicion Geometria Analitica La RectaExpocicion Geometria Analitica La Recta
Expocicion Geometria Analitica La Recta
 
Ecuacion de la recta punto-pendiente
Ecuacion de la recta punto-pendienteEcuacion de la recta punto-pendiente
Ecuacion de la recta punto-pendiente
 
La recta
La rectaLa recta
La recta
 
Unidad 2 linea recta
Unidad 2 linea rectaUnidad 2 linea recta
Unidad 2 linea recta
 
Geometría Analítica
Geometría AnalíticaGeometría Analítica
Geometría Analítica
 
La recta
La rectaLa recta
La recta
 
Pendiente de una recta
Pendiente de una rectaPendiente de una recta
Pendiente de una recta
 
Ecuacion de la recta en su forma Punto pendiente
Ecuacion de la recta en su forma Punto pendienteEcuacion de la recta en su forma Punto pendiente
Ecuacion de la recta en su forma Punto pendiente
 
Ecuación principal de la recta
Ecuación principal de la rectaEcuación principal de la recta
Ecuación principal de la recta
 
Ecuacion de la recta el su forma General
Ecuacion de la recta el su forma GeneralEcuacion de la recta el su forma General
Ecuacion de la recta el su forma General
 
Recta
RectaRecta
Recta
 
Ejercicios resueltos
Ejercicios resueltosEjercicios resueltos
Ejercicios resueltos
 
Ecuaciones De La Recta
Ecuaciones De La RectaEcuaciones De La Recta
Ecuaciones De La Recta
 

Destacado

Unidad 3 La Recta Y Su Ecuacion Cartesiana
Unidad 3 La Recta Y Su Ecuacion CartesianaUnidad 3 La Recta Y Su Ecuacion Cartesiana
Unidad 3 La Recta Y Su Ecuacion Cartesiana
brekaluga4
 
Ecuacion de la recta
Ecuacion de la rectaEcuacion de la recta
Ecuacion de la recta
Joharlenys
 
Plano Cartesiano y Geometría
Plano Cartesiano y GeometríaPlano Cartesiano y Geometría
Plano Cartesiano y Geometría
apoloniofigueroa
 
Unidad3
Unidad3Unidad3
Sesion 2 MATEMATICA
Sesion 2 MATEMATICASesion 2 MATEMATICA
Sesion 2 MATEMATICA
Cesar Bardales Flores
 
Ejercicios de matematica1 ecuacion de la recta
Ejercicios de matematica1 ecuacion de la rectaEjercicios de matematica1 ecuacion de la recta
Ejercicios de matematica1 ecuacion de la recta
antoniojesus96
 
FUNCIÓN LINEAL
FUNCIÓN LINEALFUNCIÓN LINEAL
FUNCIÓN LINEAL
JUANCA650
 
Ecuaciones de las líneas paralelas y perpendiculares
Ecuaciones de las líneas paralelas y perpendicularesEcuaciones de las líneas paralelas y perpendiculares
Ecuaciones de las líneas paralelas y perpendiculares
conyrdz
 
áCidos nucleicos artificiales
áCidos nucleicos artificialesáCidos nucleicos artificiales
áCidos nucleicos artificiales
Omar Enrique Alvarez Arellano
 
Soluciones unidad 8
Soluciones unidad 8Soluciones unidad 8
Soluciones unidad 8
klorofila
 
Ecuación de la recta - Prof. Mónica Lordi
Ecuación de la recta - Prof. Mónica LordiEcuación de la recta - Prof. Mónica Lordi
Ecuación de la recta - Prof. Mónica Lordi
blogdevon
 
Soluciones cónicas
Soluciones cónicasSoluciones cónicas
Soluciones cónicas
klorofila
 
Pendiente de una recta
Pendiente de una rectaPendiente de una recta
Pendiente de una recta
María Pizarro
 
Matema Tica Basica 1
Matema Tica Basica  1Matema Tica Basica  1
Matema Tica Basica 1
alexander caballero
 
Costos fijos y costos variables
Costos fijos y costos variablesCostos fijos y costos variables
Costos fijos y costos variables
linocup
 
Enlace 2014
Enlace 2014Enlace 2014
Enlace 2014
Beticlh
 
Circunferencia que pasa por tres puntos
Circunferencia que pasa por tres puntosCircunferencia que pasa por tres puntos
Circunferencia que pasa por tres puntos
math class2408
 
Sistemas de Referencia y Coordenadas ArcGis 10
Sistemas de Referencia y Coordenadas ArcGis 10Sistemas de Referencia y Coordenadas ArcGis 10
Sistemas de Referencia y Coordenadas ArcGis 10
Eduardo_Ch
 
Ejercicio 4
Ejercicio 4Ejercicio 4
Ejercicio 4
Ana RF
 
4.1 diferenciacion numerica
4.1 diferenciacion numerica4.1 diferenciacion numerica
4.1 diferenciacion numerica
morenito9001
 

Destacado (20)

Unidad 3 La Recta Y Su Ecuacion Cartesiana
Unidad 3 La Recta Y Su Ecuacion CartesianaUnidad 3 La Recta Y Su Ecuacion Cartesiana
Unidad 3 La Recta Y Su Ecuacion Cartesiana
 
Ecuacion de la recta
Ecuacion de la rectaEcuacion de la recta
Ecuacion de la recta
 
Plano Cartesiano y Geometría
Plano Cartesiano y GeometríaPlano Cartesiano y Geometría
Plano Cartesiano y Geometría
 
Unidad3
Unidad3Unidad3
Unidad3
 
Sesion 2 MATEMATICA
Sesion 2 MATEMATICASesion 2 MATEMATICA
Sesion 2 MATEMATICA
 
Ejercicios de matematica1 ecuacion de la recta
Ejercicios de matematica1 ecuacion de la rectaEjercicios de matematica1 ecuacion de la recta
Ejercicios de matematica1 ecuacion de la recta
 
FUNCIÓN LINEAL
FUNCIÓN LINEALFUNCIÓN LINEAL
FUNCIÓN LINEAL
 
Ecuaciones de las líneas paralelas y perpendiculares
Ecuaciones de las líneas paralelas y perpendicularesEcuaciones de las líneas paralelas y perpendiculares
Ecuaciones de las líneas paralelas y perpendiculares
 
áCidos nucleicos artificiales
áCidos nucleicos artificialesáCidos nucleicos artificiales
áCidos nucleicos artificiales
 
Soluciones unidad 8
Soluciones unidad 8Soluciones unidad 8
Soluciones unidad 8
 
Ecuación de la recta - Prof. Mónica Lordi
Ecuación de la recta - Prof. Mónica LordiEcuación de la recta - Prof. Mónica Lordi
Ecuación de la recta - Prof. Mónica Lordi
 
Soluciones cónicas
Soluciones cónicasSoluciones cónicas
Soluciones cónicas
 
Pendiente de una recta
Pendiente de una rectaPendiente de una recta
Pendiente de una recta
 
Matema Tica Basica 1
Matema Tica Basica  1Matema Tica Basica  1
Matema Tica Basica 1
 
Costos fijos y costos variables
Costos fijos y costos variablesCostos fijos y costos variables
Costos fijos y costos variables
 
Enlace 2014
Enlace 2014Enlace 2014
Enlace 2014
 
Circunferencia que pasa por tres puntos
Circunferencia que pasa por tres puntosCircunferencia que pasa por tres puntos
Circunferencia que pasa por tres puntos
 
Sistemas de Referencia y Coordenadas ArcGis 10
Sistemas de Referencia y Coordenadas ArcGis 10Sistemas de Referencia y Coordenadas ArcGis 10
Sistemas de Referencia y Coordenadas ArcGis 10
 
Ejercicio 4
Ejercicio 4Ejercicio 4
Ejercicio 4
 
4.1 diferenciacion numerica
4.1 diferenciacion numerica4.1 diferenciacion numerica
4.1 diferenciacion numerica
 

Similar a Unidad 3 La Recta Y Su Ecuacion Cartesiana

Unidad 2 y 3 calculo vectorial
Unidad 2  y 3 calculo vectorialUnidad 2  y 3 calculo vectorial
Unidad 2 y 3 calculo vectorial
Andy Hernandez
 
Ecuaciones Paramétricas
Ecuaciones ParamétricasEcuaciones Paramétricas
Ecuaciones Paramétricas
RominaMndezDunn
 
Ecuaciones paramétricas
Ecuaciones paramétricas  Ecuaciones paramétricas
Ecuaciones paramétricas
claudiabolivar3
 
Calse modelo
Calse modeloCalse modelo
Calse modelo
jose gonzalez
 
Ecuaciones parametricas
Ecuaciones parametricasEcuaciones parametricas
Ecuaciones parametricas
KariannaBravo
 
Matematica
MatematicaMatematica
Matematica
RicardoAzocar3
 
ECUACIÓN DE LA RECTA
ECUACIÓN DE LA RECTAECUACIÓN DE LA RECTA
ECUACIÓN DE LA RECTA
LUZANGELICAANCCASIRU
 
Ecuaciones paramétricas
Ecuaciones paramétricas Ecuaciones paramétricas
Ecuaciones paramétricas
KariannaBravo
 
Ecuaciones Parametricas
Ecuaciones ParametricasEcuaciones Parametricas
Ecuaciones Parametricas
josegonzalez1606
 
Ecuaciones parametricas
Ecuaciones parametricas Ecuaciones parametricas
Ecuaciones parametricas
MiguelFuentes114
 
GUÍA DE ESTUDIO DE MATEMÁTICA EN LEARNING
GUÍA DE ESTUDIO DE MATEMÁTICA EN LEARNINGGUÍA DE ESTUDIO DE MATEMÁTICA EN LEARNING
GUÍA DE ESTUDIO DE MATEMÁTICA EN LEARNING
Leydis Julio
 
Guia de estudio de matemática en learning
Guia de estudio de matemática en learningGuia de estudio de matemática en learning
Guia de estudio de matemática en learning
fpgomezd
 
Vectores en el espacio
Vectores en el espacioVectores en el espacio
Vectores en el espacio
DavidMejias19
 
ecuaciones parametricas
ecuaciones parametricasecuaciones parametricas
ecuaciones parametricas
JuanLuisOrdazCairo
 
Guia matematica
Guia matematicaGuia matematica
RECTAS , DEFICION, EN EL PLANO UY EN EL ESPACIO Y SU CONCEPTO COMPLETO
RECTAS , DEFICION, EN EL PLANO UY EN EL ESPACIO Y SU CONCEPTO COMPLETORECTAS , DEFICION, EN EL PLANO UY EN EL ESPACIO Y SU CONCEPTO COMPLETO
RECTAS , DEFICION, EN EL PLANO UY EN EL ESPACIO Y SU CONCEPTO COMPLETO
anaseminario40
 
Teoria electrogmanetica
Teoria electrogmaneticaTeoria electrogmanetica
Teoria electrogmanetica
Jean Serrano
 
Pensamiento geométrico y aanalítico.pptx
Pensamiento geométrico y aanalítico.pptxPensamiento geométrico y aanalítico.pptx
Pensamiento geométrico y aanalítico.pptx
danitr0398
 
ECUACIÓN DE LA RECTA.pptx
ECUACIÓN DE LA RECTA.pptxECUACIÓN DE LA RECTA.pptx
ECUACIÓN DE LA RECTA.pptx
DILVERPACHECOREYES
 
geometria-analitica-la-recta.ppt
geometria-analitica-la-recta.pptgeometria-analitica-la-recta.ppt
geometria-analitica-la-recta.ppt
VeronicaAlbuja3
 

Similar a Unidad 3 La Recta Y Su Ecuacion Cartesiana (20)

Unidad 2 y 3 calculo vectorial
Unidad 2  y 3 calculo vectorialUnidad 2  y 3 calculo vectorial
Unidad 2 y 3 calculo vectorial
 
Ecuaciones Paramétricas
Ecuaciones ParamétricasEcuaciones Paramétricas
Ecuaciones Paramétricas
 
Ecuaciones paramétricas
Ecuaciones paramétricas  Ecuaciones paramétricas
Ecuaciones paramétricas
 
Calse modelo
Calse modeloCalse modelo
Calse modelo
 
Ecuaciones parametricas
Ecuaciones parametricasEcuaciones parametricas
Ecuaciones parametricas
 
Matematica
MatematicaMatematica
Matematica
 
ECUACIÓN DE LA RECTA
ECUACIÓN DE LA RECTAECUACIÓN DE LA RECTA
ECUACIÓN DE LA RECTA
 
Ecuaciones paramétricas
Ecuaciones paramétricas Ecuaciones paramétricas
Ecuaciones paramétricas
 
Ecuaciones Parametricas
Ecuaciones ParametricasEcuaciones Parametricas
Ecuaciones Parametricas
 
Ecuaciones parametricas
Ecuaciones parametricas Ecuaciones parametricas
Ecuaciones parametricas
 
GUÍA DE ESTUDIO DE MATEMÁTICA EN LEARNING
GUÍA DE ESTUDIO DE MATEMÁTICA EN LEARNINGGUÍA DE ESTUDIO DE MATEMÁTICA EN LEARNING
GUÍA DE ESTUDIO DE MATEMÁTICA EN LEARNING
 
Guia de estudio de matemática en learning
Guia de estudio de matemática en learningGuia de estudio de matemática en learning
Guia de estudio de matemática en learning
 
Vectores en el espacio
Vectores en el espacioVectores en el espacio
Vectores en el espacio
 
ecuaciones parametricas
ecuaciones parametricasecuaciones parametricas
ecuaciones parametricas
 
Guia matematica
Guia matematicaGuia matematica
Guia matematica
 
RECTAS , DEFICION, EN EL PLANO UY EN EL ESPACIO Y SU CONCEPTO COMPLETO
RECTAS , DEFICION, EN EL PLANO UY EN EL ESPACIO Y SU CONCEPTO COMPLETORECTAS , DEFICION, EN EL PLANO UY EN EL ESPACIO Y SU CONCEPTO COMPLETO
RECTAS , DEFICION, EN EL PLANO UY EN EL ESPACIO Y SU CONCEPTO COMPLETO
 
Teoria electrogmanetica
Teoria electrogmaneticaTeoria electrogmanetica
Teoria electrogmanetica
 
Pensamiento geométrico y aanalítico.pptx
Pensamiento geométrico y aanalítico.pptxPensamiento geométrico y aanalítico.pptx
Pensamiento geométrico y aanalítico.pptx
 
ECUACIÓN DE LA RECTA.pptx
ECUACIÓN DE LA RECTA.pptxECUACIÓN DE LA RECTA.pptx
ECUACIÓN DE LA RECTA.pptx
 
geometria-analitica-la-recta.ppt
geometria-analitica-la-recta.pptgeometria-analitica-la-recta.ppt
geometria-analitica-la-recta.ppt
 

Último

PLAN ANUAL DE TRABAJO (PAT) 2024 MINEDU PERÚ
PLAN ANUAL DE TRABAJO (PAT) 2024 MINEDU PERÚPLAN ANUAL DE TRABAJO (PAT) 2024 MINEDU PERÚ
PLAN ANUAL DE TRABAJO (PAT) 2024 MINEDU PERÚ
Ferrer17
 
Enseñar a Nativos Digitales MP2 Ccesa007.pdf
Enseñar a Nativos Digitales MP2 Ccesa007.pdfEnseñar a Nativos Digitales MP2 Ccesa007.pdf
Enseñar a Nativos Digitales MP2 Ccesa007.pdf
Demetrio Ccesa Rayme
 
PPT: Un día en el ministerio de Jesús.pptx
PPT: Un día en el ministerio de Jesús.pptxPPT: Un día en el ministerio de Jesús.pptx
PPT: Un día en el ministerio de Jesús.pptx
https://gramadal.wordpress.com/
 
Semana 1 Derecho a interponer recursos y reparación.
Semana 1 Derecho a interponer recursos y reparación.Semana 1 Derecho a interponer recursos y reparación.
Semana 1 Derecho a interponer recursos y reparación.
SergioAlfrediMontoya
 
fichas descriptivas para primaria 2023-2024
fichas descriptivas para primaria 2023-2024fichas descriptivas para primaria 2023-2024
fichas descriptivas para primaria 2023-2024
Verito51
 
DIBUJANDO CON MATEMÁTICA LA GIMNASIA OLÍMPICA. Por JAVIER SOLIS NOYOLA
DIBUJANDO CON MATEMÁTICA LA GIMNASIA OLÍMPICA. Por JAVIER SOLIS NOYOLADIBUJANDO CON MATEMÁTICA LA GIMNASIA OLÍMPICA. Por JAVIER SOLIS NOYOLA
DIBUJANDO CON MATEMÁTICA LA GIMNASIA OLÍMPICA. Por JAVIER SOLIS NOYOLA
JAVIER SOLIS NOYOLA
 
Recursos digitales para trabajar la educación literaria en el aula: abriendo ...
Recursos digitales para trabajar la educación literaria en el aula: abriendo ...Recursos digitales para trabajar la educación literaria en el aula: abriendo ...
Recursos digitales para trabajar la educación literaria en el aula: abriendo ...
IGNACIO BALLESTER PARDO
 
Presentación sobré la culturas Lima, la cultura Paracas y la cultura Vicús.
Presentación  sobré la culturas Lima,  la  cultura Paracas y la cultura Vicús.Presentación  sobré la culturas Lima,  la  cultura Paracas y la cultura Vicús.
Presentación sobré la culturas Lima, la cultura Paracas y la cultura Vicús.
Juan Luis Cunya Vicente
 
PLAN DE TRABAJO DIA DEL LOGRO 2024 URP.docx
PLAN DE TRABAJO DIA DEL LOGRO 2024 URP.docxPLAN DE TRABAJO DIA DEL LOGRO 2024 URP.docx
PLAN DE TRABAJO DIA DEL LOGRO 2024 URP.docx
william antonio Chacon Robles
 
diapositivas paco yunque.pptx cartelera literaria
diapositivas paco yunque.pptx cartelera literariadiapositivas paco yunque.pptx cartelera literaria
diapositivas paco yunque.pptx cartelera literaria
TheeffitaSantosMedin
 
04. ESTADÍSTICA (comunicación) (J.C) 3.pptx
04. ESTADÍSTICA (comunicación) (J.C) 3.pptx04. ESTADÍSTICA (comunicación) (J.C) 3.pptx
04. ESTADÍSTICA (comunicación) (J.C) 3.pptx
jvcar1815
 
2. LA ENERGIA Y TIPOSGRADO SEXTO.SANTA TERESApptx
2. LA ENERGIA Y TIPOSGRADO SEXTO.SANTA TERESApptx2. LA ENERGIA Y TIPOSGRADO SEXTO.SANTA TERESApptx
2. LA ENERGIA Y TIPOSGRADO SEXTO.SANTA TERESApptx
nelsontobontrujillo
 
Fichero Léxico / Pandemia Lingüística / USCO
Fichero Léxico / Pandemia Lingüística / USCOFichero Léxico / Pandemia Lingüística / USCO
Fichero Léxico / Pandemia Lingüística / USCO
mariahernandez632951
 
Tu, Tu Hijo y la Escuela Ken Robinson Ccesa007.pdf
Tu,  Tu Hijo y la  Escuela  Ken Robinson  Ccesa007.pdfTu,  Tu Hijo y la  Escuela  Ken Robinson  Ccesa007.pdf
Tu, Tu Hijo y la Escuela Ken Robinson Ccesa007.pdf
Demetrio Ccesa Rayme
 
IMAGENES SUBLIMINALES EN LAS PUBLICACIONES DE LOS TESTIGOS DE JEHOVÁ
IMAGENES SUBLIMINALES EN LAS PUBLICACIONES DE LOS TESTIGOS DE JEHOVÁIMAGENES SUBLIMINALES EN LAS PUBLICACIONES DE LOS TESTIGOS DE JEHOVÁ
IMAGENES SUBLIMINALES EN LAS PUBLICACIONES DE LOS TESTIGOS DE JEHOVÁ
Claude LaCombe
 
Crear infografías: Iniciación a Canva (1 de julio de 2024)
Crear infografías: Iniciación a Canva (1 de julio de 2024)Crear infografías: Iniciación a Canva (1 de julio de 2024)
Crear infografías: Iniciación a Canva (1 de julio de 2024)
Cátedra Banco Santander
 
Introducción a la seguridad básica (3 de julio de 2024)
Introducción a la seguridad básica (3 de julio de 2024)Introducción a la seguridad básica (3 de julio de 2024)
Introducción a la seguridad básica (3 de julio de 2024)
Cátedra Banco Santander
 
Como hacer que te pasen cosas buenas MRE3 Ccesa007.pdf
Como hacer que te pasen cosas buenas  MRE3  Ccesa007.pdfComo hacer que te pasen cosas buenas  MRE3  Ccesa007.pdf
Como hacer que te pasen cosas buenas MRE3 Ccesa007.pdf
Demetrio Ccesa Rayme
 
Fundamentos del diseño audiovisual para presentaciones y vídeos (2 de julio d...
Fundamentos del diseño audiovisual para presentaciones y vídeos (2 de julio d...Fundamentos del diseño audiovisual para presentaciones y vídeos (2 de julio d...
Fundamentos del diseño audiovisual para presentaciones y vídeos (2 de julio d...
Cátedra Banco Santander
 
Aplicaciones móviles de grabación (2 de julio de 2024)
Aplicaciones móviles de grabación (2 de julio de 2024)Aplicaciones móviles de grabación (2 de julio de 2024)
Aplicaciones móviles de grabación (2 de julio de 2024)
Cátedra Banco Santander
 

Último (20)

PLAN ANUAL DE TRABAJO (PAT) 2024 MINEDU PERÚ
PLAN ANUAL DE TRABAJO (PAT) 2024 MINEDU PERÚPLAN ANUAL DE TRABAJO (PAT) 2024 MINEDU PERÚ
PLAN ANUAL DE TRABAJO (PAT) 2024 MINEDU PERÚ
 
Enseñar a Nativos Digitales MP2 Ccesa007.pdf
Enseñar a Nativos Digitales MP2 Ccesa007.pdfEnseñar a Nativos Digitales MP2 Ccesa007.pdf
Enseñar a Nativos Digitales MP2 Ccesa007.pdf
 
PPT: Un día en el ministerio de Jesús.pptx
PPT: Un día en el ministerio de Jesús.pptxPPT: Un día en el ministerio de Jesús.pptx
PPT: Un día en el ministerio de Jesús.pptx
 
Semana 1 Derecho a interponer recursos y reparación.
Semana 1 Derecho a interponer recursos y reparación.Semana 1 Derecho a interponer recursos y reparación.
Semana 1 Derecho a interponer recursos y reparación.
 
fichas descriptivas para primaria 2023-2024
fichas descriptivas para primaria 2023-2024fichas descriptivas para primaria 2023-2024
fichas descriptivas para primaria 2023-2024
 
DIBUJANDO CON MATEMÁTICA LA GIMNASIA OLÍMPICA. Por JAVIER SOLIS NOYOLA
DIBUJANDO CON MATEMÁTICA LA GIMNASIA OLÍMPICA. Por JAVIER SOLIS NOYOLADIBUJANDO CON MATEMÁTICA LA GIMNASIA OLÍMPICA. Por JAVIER SOLIS NOYOLA
DIBUJANDO CON MATEMÁTICA LA GIMNASIA OLÍMPICA. Por JAVIER SOLIS NOYOLA
 
Recursos digitales para trabajar la educación literaria en el aula: abriendo ...
Recursos digitales para trabajar la educación literaria en el aula: abriendo ...Recursos digitales para trabajar la educación literaria en el aula: abriendo ...
Recursos digitales para trabajar la educación literaria en el aula: abriendo ...
 
Presentación sobré la culturas Lima, la cultura Paracas y la cultura Vicús.
Presentación  sobré la culturas Lima,  la  cultura Paracas y la cultura Vicús.Presentación  sobré la culturas Lima,  la  cultura Paracas y la cultura Vicús.
Presentación sobré la culturas Lima, la cultura Paracas y la cultura Vicús.
 
PLAN DE TRABAJO DIA DEL LOGRO 2024 URP.docx
PLAN DE TRABAJO DIA DEL LOGRO 2024 URP.docxPLAN DE TRABAJO DIA DEL LOGRO 2024 URP.docx
PLAN DE TRABAJO DIA DEL LOGRO 2024 URP.docx
 
diapositivas paco yunque.pptx cartelera literaria
diapositivas paco yunque.pptx cartelera literariadiapositivas paco yunque.pptx cartelera literaria
diapositivas paco yunque.pptx cartelera literaria
 
04. ESTADÍSTICA (comunicación) (J.C) 3.pptx
04. ESTADÍSTICA (comunicación) (J.C) 3.pptx04. ESTADÍSTICA (comunicación) (J.C) 3.pptx
04. ESTADÍSTICA (comunicación) (J.C) 3.pptx
 
2. LA ENERGIA Y TIPOSGRADO SEXTO.SANTA TERESApptx
2. LA ENERGIA Y TIPOSGRADO SEXTO.SANTA TERESApptx2. LA ENERGIA Y TIPOSGRADO SEXTO.SANTA TERESApptx
2. LA ENERGIA Y TIPOSGRADO SEXTO.SANTA TERESApptx
 
Fichero Léxico / Pandemia Lingüística / USCO
Fichero Léxico / Pandemia Lingüística / USCOFichero Léxico / Pandemia Lingüística / USCO
Fichero Léxico / Pandemia Lingüística / USCO
 
Tu, Tu Hijo y la Escuela Ken Robinson Ccesa007.pdf
Tu,  Tu Hijo y la  Escuela  Ken Robinson  Ccesa007.pdfTu,  Tu Hijo y la  Escuela  Ken Robinson  Ccesa007.pdf
Tu, Tu Hijo y la Escuela Ken Robinson Ccesa007.pdf
 
IMAGENES SUBLIMINALES EN LAS PUBLICACIONES DE LOS TESTIGOS DE JEHOVÁ
IMAGENES SUBLIMINALES EN LAS PUBLICACIONES DE LOS TESTIGOS DE JEHOVÁIMAGENES SUBLIMINALES EN LAS PUBLICACIONES DE LOS TESTIGOS DE JEHOVÁ
IMAGENES SUBLIMINALES EN LAS PUBLICACIONES DE LOS TESTIGOS DE JEHOVÁ
 
Crear infografías: Iniciación a Canva (1 de julio de 2024)
Crear infografías: Iniciación a Canva (1 de julio de 2024)Crear infografías: Iniciación a Canva (1 de julio de 2024)
Crear infografías: Iniciación a Canva (1 de julio de 2024)
 
Introducción a la seguridad básica (3 de julio de 2024)
Introducción a la seguridad básica (3 de julio de 2024)Introducción a la seguridad básica (3 de julio de 2024)
Introducción a la seguridad básica (3 de julio de 2024)
 
Como hacer que te pasen cosas buenas MRE3 Ccesa007.pdf
Como hacer que te pasen cosas buenas  MRE3  Ccesa007.pdfComo hacer que te pasen cosas buenas  MRE3  Ccesa007.pdf
Como hacer que te pasen cosas buenas MRE3 Ccesa007.pdf
 
Fundamentos del diseño audiovisual para presentaciones y vídeos (2 de julio d...
Fundamentos del diseño audiovisual para presentaciones y vídeos (2 de julio d...Fundamentos del diseño audiovisual para presentaciones y vídeos (2 de julio d...
Fundamentos del diseño audiovisual para presentaciones y vídeos (2 de julio d...
 
Aplicaciones móviles de grabación (2 de julio de 2024)
Aplicaciones móviles de grabación (2 de julio de 2024)Aplicaciones móviles de grabación (2 de julio de 2024)
Aplicaciones móviles de grabación (2 de julio de 2024)
 

Unidad 3 La Recta Y Su Ecuacion Cartesiana

  • 1. UNIDAD 3: La recta y su ecuación cartesiana“El conocimiento es el tesoro; pero el juicio es el tesorero del hombre sabio. El que tiene mas conocimiento que juicio ha sido hecho para servir a otros mas que ha si mismo” William PennUNIDAD 311
  • 2. LA RECTA Y *PROPOSITOS: Reafirmar el conocimiento deSU ECUACION la geometría analítica, al obtener la ecuación CARTESIANA de la recta y avanzar e la solución analítica de problemas que involucren relaciones entre figuras rectilíneas estudiadas en geometría analítica. APRENDIZAJES SIGNIFICATIVOS Al finalizar la unidad el alumno debe: º Dada una ecuación lineal con dos variables la identificara como una recta y viceversa. º Encontrar la ecuación de una recta, dados distintos elementos que la definan. º Reconocer las distintas formas de representación algebraica de la recta e identificar cual de ellas conviene usar, dependiendo de las condiciones que se proporcionen.UNIDAD 32UNIDAD 3. 2
  • 3. º A partir de la ecuación de una recta, en cualquiera de sus formas, encontrar los elementos que define su posición y trazar su grafica.º Dadas la ecuación de una recta y las coordenadas de u punto, decidir, sin recurrir a la grafica, si este pertenece o no a la recta.º Dadas las ecuaciones de dos rectas, o bien, los elementos que definen sus posiciones, determinar si se cortan o no y, en su caso, el Angulo de intersección y las coordenadas del punto donde se cortan.º Expresar los argumentos que justifican las condiciones analíticas para el paralelismo o para la perpendicularidad de dos rectas.º A partir de las ecuaciones de dos rectas, decidir si son paralelas, perpendiculares o simplemente secantes.º Comprobar algunas relaciones geométricas que involucran rectas, estudiadas en geometría euclidiana.º Reconocer las relaciones presentes en una situación geométrica.UNIDAD 333
  • 4. º Reforzar su capacidad para pasar de lo particular a lo general y viceversa.º Avanzar en su desempeño respecto al método de la geometría analítica, al obtener la ecuación de la recta y resolver problemas que la involucran.º Valorar el álgebra, no solo como una herramienta para obtener resultados numéricos, sino también, para establecer relaciones que proporcionen información acerca de la problemática que se estudia esto a través de :º Obtener a partir de una de sus representaciones, las otras formas de la representación de la recta.º Calcular los elementos que define una recta a partir de su ecuación dada en su forma general.TEMATICA:º La recta ubicada en el plano cartesianoCondiciones necesarias y suficientes para localizar una rectaUNIDAD 344
  • 5. º La ecuación cartesiana de la recta cuando se conocen:Las coordenadas de dos de sus puntosLa ordenada de su origen y su pendienteCuando es paralela a uno de sus ejes de coordenadasSu pendiente y las coordenadas de uno de sus puntosº Tratamiento analítico para determinar a partir de la ecuación de una o dos rectas:Los elementos geométricos que la definen: ángulo de inclinación y uno de sus puntos o dos de sus puntos.Si un punto cuyas coordenadas se conocen, pertenece o no a una recta.La intersección de dos rectas que se cortan.El ángulo de dos rectas que se cortan.La condición de perpendicularidad o paralelismo de dos rectas.UNIDAD 355
  • 6. º Solución analítica de problemas de corte euclidianoCalculo del área de un trianguloComprobación en casos concretos de:La concurrencia de las mediatrices de un triangulo
  • 7. La razón de 1:2 en que el punto de intersección de las medianas de un triangulo divide a cada una de ellas
  • 8. La igualdad de loa ángulos en un triangulo isósceles
  • 9. La igualdad de loa ángulos opuestos de un paralelogramoUNIDAD 366
  • 10. LA RECTA Y SU ECUACION CARTESIANAPROPOSITOS: Reafirmar el conocimiento del método de la geometría analítica, al obtener la ecuación de la recta y avanzar en la solución analítica de los problemas que involucran relaciones entre figuras rectilíneas estudiadas en geometría euclidiana.APRENDIZAJES: Dada una ecuación lineal con dos variables, la identificara como una recta y viceversa
  • 11. Encontrara la ecuación de una recta, dados distintos elementos que la definan
  • 12. Reconocerá las distintas formas de representación algebraica de la recta e identificara cual conviene a usar, dependiendo de las condiciones que se proporcionen
  • 13. A partir de la ecuación de una recta, en cualquiera de sus formas, encontrara los elementos que definen su posición y trazara su grafica.TEMATICA:La recta ubicada en el plano cartesianoCondiciones necesarias y suficientes para localizar la rectaLa ecuación cartesiana de la recta, cuando se conocen:Las coordenadas de dos de sus puntosSu pendiente y las coordenadas de uno de sus puntosLa ordenada al origen y su pendienteCuando es paralela a uno de los ejes de coordenadasLA RECTA Y SU ECUACION CARTESIANA UNIDAD 377
  • 14. A Renato Descartes (1596-1650) se le considera el primer filosofo de la edad moderna debido que el tuvo el merito de sistematizar el método científico. Además, fue el primero en aplicar el álgebra a la geometría, creando así la geometría analítica. El tema de la línea recta lo ubicaremos en este campo de la geometría analítica, en donde se pueden interpretar muchos fenómenos, por ejemplo el movimiento rectilíneo uniforme; siendo la velocidad la constante de proporcionalidad entre la distancia recorrida y el tiempo empleado en recorrerla, la formula del movimiento rectilíneo uniforme es: v = d/t y considerando la distancia en función del tiempo podemos obtener una grafica de una línea recta y pronosticar movimientos futuros. Recuerda que e el curso de matematicas1, en la unidad 2 “variación directamente proporcional y funciones lineales” se estudio el tema de funciones lineales, su grafica y su modelo algebraico. Recordaremos estos conceptos con un problema que para su solución nos conduzca a una ecuación lineal.PROBLEMA 3.1Un atleta corre a una velocidad constante de 3 (m/s).Hacer una grafica de la distancia recorrida en función del tiempo, obtener el modelo matemático.Realizaremos un esquema que nos ayude a identificar los datos y las incógnitas del problema.LA RECTA Y SU ECUACION CARTESIANA UNIDAD 38INTRODUCCION8
  • 15. Escribe en tu cuaderno borrador cuales son los datos del problema:Cuales son las incógnitas:Modelo matemático: d = v tSabemos que v = velocidad constante d = distancia t = tiempoEntonces d = 3t(m) si d=y, t=x tenemos la formulaY=3x que es la ecuación de una línea recta, es decirEl modelo matemático.Para realizar la grafica, encontraremos algunos puntosT(s) d(m) P(t, d) 0 0 p1(0,0)10 30 p2(10,30)20 60 p3(20,60)30 90 p4(30,90)40 120 p5(40,120)50 150 p6(50,150)LA RECTA Y SU ECUACION CARTESIANA UNIDAD 399
  • 16. Con estos datos construye la grafica en tu cuaderno, que observaras que se trata de una línea recta.De la tabla se tiene que por cada aumento de 10 segundos en t, d aumenta en 30 unidades, lo cual es equivalente, por cada unidad de aumento en t, entonces d aumenta en 3 unidades. Por tanto podemos afirmar que la razón de cambio de d al cambio de t es igual a una constante 3.Esto lo puedes observar en la ecuación d = 3tA esta relación constante, se le llama pendiente ( inclinación de la recta).Recordaremos el concepto de pendiente.La pendiente de una línea que no se vea vertical representa el numero de unidades que se levantan o se caen verticalmente, con cada unidad de cambio horizontal de izquierda a derecha. Por ejemplo, observa los dos puntos: (X1,Y1) y (X2,Y2) en la línea mostrada en la figura al movernos de izquierda a derecha a lo largo de esa línea, un cambio de (Y2-Y1) unidades en la dirección vertical corresponde a un cambio de (X2-X1) unidades en la dirección horizontal, esto es: Y2-Y1 = el cambio en y X2-X1 = el cambio en xLA RECTA Y SU ECUACION CARTESIANA UNIDAD 31010
  • 17. La pendiente de la línea recta esta dada por la razón de estos dos cambios, es decir: y2 – y1 m = x2 – x1Condiciones necesarias y suficientes para localizar una rectaAngulo de una recta con el eje xPROBLEMA 3.2Juan estaba jugando con un papalote, este se atoro en la punta de un pino que se encontraba a 5 metros de distancia. Juan quiere bajar su papalote con una escalera. Si el pino mide 3 metros de altura, ¿Cuál es el ángulo, con respecto al piso, con el que debe apoyar la escalera para bajar su papalote?SOLUCION:Para resolver este problema, supongamos que el pie de la escalera que Juan va a colocar se encuentra en el origen; la base del árbol se encuentra en el punto P (5,0), el papalote en Q (5,3) y a es el ángulo buscado. Así, podemos considerar el siguiente esquema:LA RECTA Y SU ECUACION CARTESIANA UNIDAD 31111
  • 18. FIGURA 3.3LA RECTA Y SU ECUACION CARTESIANA UNIDAD 31212
  • 19. El Δ OPQ es rectángulo; entonces:tan a = PQ = 3 OP 5a=31El ángulo con el que debe salir la pelota es aproximadamente de 31 grados.DEDUCCION DE LA PENDIENTESea L una recta no vertical y P1 (X1,Y1) Y P2(X2,Y2) puntos de la recta L. En la siguiente figura se muestra esta recta. Los puntos: P1 (X1,Y1), P2(X2,Y2) y R(XX2,Y1) son los vértices de un triangulo rectángulo, como se muestra en la gráfica.α FIGURA 3.4 DEDUCCION DE PENDIENTE UNIDAD 313P2aP1R 13
  • 20. Como la pendiente en el triangulo p1, p2, r es: m= tan a = cateto opuesto = y2- y1 cateto adyacente x2 – x1 Por lo tanto podemos decir que: m = y2- y1 x2- x1 Esta ecuación se conoce como la pendiente de la recta L.Ejemplo ilustrativo: Si L1 es la recta que pasa por los puntos P1 (3,4) y P2 (6,7)Encuentra su pendiente FIGURA 3.5DEDUCCION DE PENDIENTE UNIDAD 31414
  • 21. Sustituye en la formula anterior estos puntos:Escribe el valor que encontraste de m=Para cada recta que pasa por cada uno de los siguientes pares de puntos, calcula su pendiente y construye su grafica en los siguientes sistemas de coordenadas, realiza esta actividad en tu cuaderno.1.- L1: A(3,7) y B(-2,-4)……………………………………………………..m=11/52.- L2:A(-2,5) y B(2,-3)………………………………………………………m=-23.- L3:A(-3,4) y B(5,4)……………………………………………………….m=04.-L5:A(5,3) y B (5,-2)………………………………………………………No existe FIG. 3.6 FIG. 3.7DEDUCCION DE PENDIENTE UNIDAD 31515
  • 22. FIG. 3.8 FIG. 3.9Analiza las graficas anteriores, de cada una de las rectas ¿Cómo es la pendiente? (positiva o negativa) y ¿su ángulo con el eje x? (mayor o menor de 90º) SI m>0 entonces a <90 y si m<0 explica como es a :DEDUCCION DE PENDIENTE UNIDAD 31616
  • 23. DEFINICION DE LA RECTA DADO UN PUNTO Y SU PENDIENTEDefinición de línea recta: Es el lugar geométrico de los puntos en un plano tales que, tomados dos puntos diferentes cualquiera P1 (X1,Y1) y P2(X2,Y2) el valor de la pendiente m resulta siempre constante.Si m=0 entonces a =0ºSi m no esta definida entonces a =90º, por que el ángulo de 90º no tiene tangenteGeométricamente, una recta queda perfectamente determinada por uno de sus puntos y su dirección ( ángulo de inclinación) y como consecuencia su pendiente.Es decir la recta que pasa por el punto dado P1(X1,Y1) tiene de pendiente m, su ecuación es: y – y1 =m(x-x1)¿Cómo deducimos esta ecuación?Consideremos el problema de encontrar la ecuación de la recta no vertical que pasa por un punto P(X1,Y1) y tiene de pendiente m.Si Q (x,y) es cualquier otro punto de la recta y sustituimos estos dos puntos en laEcuación DEFINICION DE LA RECTA DADO UN PUNTO Y SU PENDIENTE UNIDAD 31717
  • 24. Tenemos: puesto que Q ≠ P y la recta no es vertical, entonces x – x1 ≠0 y Multiplicando por x – x1 ambos lados de la igualdad, obtenemos: y-y1=m(x-x1) y se conoce como la ecuación de la recta dado un punto y su pendienteEs decir: m= y- y1 x – x1 y – y1 = m( x- x1)Problema 3.3Encuentra la grafica de la recta si su pendiente es m= -3, y pasa por el punto A(-3,-5), y traza su grafica:SOLUCION:Utilizamos la ecuación anterior: y – y1 =m(x-x1) ; porque conocemos la pendiente y un punto.DEFINICION DE LA RECTA DADO UN PUNTO Y SU PENDIENTE UNIDAD 31818
  • 25. Al sustituir en la ecuación anterior, el valor de la pendiente m=-3 y las coordenadas del punto A, que son: A (X1,Y1)=(-3,-5) nos queda:Y-(-5)=-3 X-(-3)Realizando operaciones necesarias y adecuadamente. La ecuación estará expresada en su forma general: 3x+y+14=0Ahora transformemos la ecuación anterior a la forma de pendiente y ordenada al origen si despejamos y.Y=-3x-14 (esta es la ecuación llamada de pendiente y ordenada al origen).Para hacer la grafica, sigamos los pasos que a continuación se indican:De la ecuación anterior determinemos la pendiente de la recta y un punto por donde pasa esta: y= -3x-14; es de tipo: y = mx + b DEFINICION DE LA RECTA DADO UN PUNTO Y SU PENDIENTE UNIDAD 31919
  • 26. Si comparamos las dos ecuaciones podemos darnos cuenta:m=-3 ( es la pendiente de la recta), con este dato podemos conocer el ángulo de inclinación de la recta en el eje x.b=-14 ( el valor de b es una ordenada al origen de un punto de la recta, lo que quiere decir que su abscisa x=0, es decir el punto en donde la recta se interseca al eje y)Con estos dos valores determinamos un punto de la recta, que al llamarle B y al indicarle sus coordenadas queda: B(0,-14) ECUACION DE LA RECTA CONOCIENDO LA ORDENADA AL ORIGEN Y SU PENDIENTELa ecuación de una recta la podemos obtener de varias maneras, dependiendo de los datos que sepamos de ella y recíprocamente, si tenemos la ecuación de una recta, podemos escribirla en distintas formas y obtener de esas expresiones informaciones diversas acerca de la recta. Un caso importante es cuando conocemos la pendiente m y el punto P donde corta al eje y; su coordenada al origen, que usualmente se simboliza con la letra b. Es decir tomemos al punto P (0,b) y la pendiente m, sustituyamos en la ecuación y- y1 =m( x – x1) obtendremos y- b = m( x- 0 ) , de donde se obtiene y=m x +b a esta ultima ecuación se le conoce como la forma pendiente-ordenada al origen, como anteriormente ya se había observado en el ejemplo anterior.ECUACION DE LA RECTA CONOCIENDO LA ORDENADA AL ORIGEN Y SU PENDIENTE UNIDAD 32020
  • 27. Problema 3.4Encontrar la ecuación de la recta que tiene de pendiente 2, y corta al eje y en el punto -3 y construye su grafica en tu cuaderno de cuadricula.Escribe en tu cuaderno la ecuación que aplicarásObserva que tus datos son: m=2, b=-3Sustituyendo valores y realizando operaciones obtendrás la ecuación: y=2x-3Problema 3.5Calcula la ecuación de L1 si P (4,-1) y m=-1Sustituyendo en la ecuación: y- y1 =m( x – x1) y- (-1) = -1(x-4) Realiza las operaciones e iguala con cero, obtendrás la ecuación: x-y+5=0Construye la grafica para los siguientes valores de x:ECUACION DE LA RECTA CONOCIENDO LA ORDENADA AL ORIGEN Y SU PENDIENTE UNIDAD 32121
  • 28. Problema 3.6Hallar la ecuación de la recta que pasa por el punto P (4,-1) y tiene un ángulo de inclinación de 45º.Para encontrar el valor de la pendiente, teclea en tu calculadora 45 y luego teclea tan a entonces m es igual a 1 calcula la ecuación:Construye su grafica FIGURA 3.11ECUACION DE LA RECTA CONOCIENDO LA ORDENADA AL ORIGEN Y SU PENDIENTE UNIDAD 32222
  • 29. ECUACION DE LA RECTA DADO DOS PUNTOSLa recta que pasa por los puntos dados P1 ( x1, y1) y P2 (x 2 ,y2 ) tiene por ecuaciónDeducción de la formula. FIGURA 3.12ECUACION DE LA RECTA DADO DOS PUNTOS UNIDAD 32323
  • 30. Como el triángulo PP1R3~ al triánguloP1P2R2 entonces, la Tana= m en los dos triángulos es:Problema 3.7Hallar la ecuación de la recta L que pasa por los puntos A(-3,-4) y B(5,6)SOLUCION:Localiza los puntos en el plano y traza la grafica.Escribe en tu cuaderno borrador cuales son los datos:Escribe cual es la incógnita:ECUACION DE LA RECTA DADO DOS PUNTOS UNIDAD 32424
  • 31. GRAFICA: FIGURA 3.13ECUACION DE LA RECTA DADO DOS PUNTOS UNIDAD 32525
  • 32. Calcula la pendienteM=Encuentra su ecuación aplicando la formula anterior y sustituyendo cualquier punto A ó B y el valor de la pendiente que calculaste.La ecuación a la que debes llegar es:4y-5x+1=0 esta es la ecuación general de la recta.Despejando y= .Que corresponde a la ecuación conociendo la pendiente y ordenada al origen es decir: y=m x + bConstruye su grafica para los siguientes valores de x:ECUACION DE LA RECTA DADO DOS PUNTOS UNIDAD 32626
  • 33. FIGURA 3.14Analiza como es su pendiente y su ángulo de inclinación: EJERCICIOS QUE DEBES RESOLVER POR EQUIPOSEncuentra la ecuación para cada recta y grafícala, escribe cual es su pendiente, ángulo de inclinación y su ordenada al origen.ECUACION DE LA RECTA DADO DOS PUNTOS UNIDAD 32727
  • 34. Resuelve estos problemas en tu cuaderno.1.- L1: A (-3,4), B (5,6)2.- L2:P1(-5,6), P2(4,-3)3.- L3:P3(3,6),P4(3,-5)4.-L4:P5(-5,-4),P6(7,-4)En cada uno de los problemas siguientes, determina lo que se te pida y haz el trazo de la grafica correspondiente.5.-Encuentra la ecuación de la recta que pasa por el punto: P(2,4) y tiene una pendiente m=5 Solución: Ecuación: 5x-y-6=06.-Encuentra la ecuación de la recta que pasa por el punto: U(-3,5) y su pendiente es 3 Solución: Ecuación: 3x-y-11=0ECUACION DE LA RECTA DADO DOS PUNTOS UNIDAD 32828
  • 35. 7.-Encuentra la ecuación de la recta que pasa por el punto: B(-5,2) y su pendiente es ¼ Solución: Ecuación: x-4y+13=08.- Encuentra la ecuación de la recta que pasa por el punto: A(4,-1) y su pendiente es -1/5 Solución: Ecuación: x+5y+1=0A partir del análisis de las graficas de estas rectas respecto a su pendiente y ángulo de inclinación, plantea una conjetura para cualquier recta en el plano; si m>0, si m<0, si m=0 y si m es consiente de donde el denominador es cero, es decir no esta definido matemáticamente, explica como es el ángulo de inclinación de esta recta con respecto al eje x. FORMA GENERAL DE LA ECUACION DE LA RECTAPodemos decir que la ecuación de una recta es una ecuación de primer grado con dos variables y recíprocamente, toda ecuación de primer grado, con dos variables representa una recta.FORMA GENERAL DE LA ECUACION DE LA RECTA UNIDAD 32929
  • 36. La ecuación general de primer grado es de la forma:Ax + By + C =0 La siguiente ecuación: 4y-5x+1=0 esta expresada en su forma general, en donde A=4, B=-5, C=1. Ahora bien, si despejamos Y de la ecuación dada, esta estaría expresada en la forma: dad su pendiente y ordenada al origen, es decir y=m x + b, entonces y=5/4x-1/4 en donde m=5/4 y su ordenada al origen es b=-1/4. Construye su grafica considerando el plano de la fig. 3.15, su ángulo de inclinación y su ordenada de origen. Completa las siguientes conjeturas en tu cuaderno: ¿Todas las rectas que tienen una pendiente positiva tienen un ángulo de inclinación? ¿Todas las rectas que tienen una pendiente negativa tienen un ángulo de inclinación?FORMA GENERAL DE LA ECUACION DE LA RECTA UNIDAD 33030
  • 37. FIGURA 3.15RESUMEN:1.-Si en L M>0 (pendiente positiva), entonces a <90º (ángulo de inclinación mayor de 90º).FORMA GENERAL DE LA ECUACION DE LA RECTA UNIDAD 33131
  • 38. 2.- Si en L m<0 (pendiente negativa), entonces a>90º (ángulo de inclinación mayor de 90º)3.- Si la recta L es paralela al eje x; su pendiente vale cero, es decir m=0 y por lo tanto a =04.-Si la recta L es paralela al eje y; la pendiente no este definida y su ángulo de inclinación es de 90ºPROBLEMAS:Calcula la pendiente, su ángulo de inclinación y construye una grafica de la recta L1 que pasa por los puntos A (4,-5) y B (6,7)Calcula la ecuación de la recta L2 que pasa por el punto P(3,6) y su ángulo de inclinación es 30º. Construye su grafica en tu cuaderno.Construcción de la grafica de los problemas 1 y 2FORMA GENERAL DE LA ECUACION DE LA RECTA UNIDAD 33232
  • 39. FIGURA 3.163) Calcula la pendiente, su ángulo de inclinación y construye una grafica de la recta L1 que pasa por los puntos A(4,-5) y B(5,7) y expresarla en su forma general.4) Calcula la ecuación de la recta L2 que pasa por el punto P(3,6) y su ángulo de inclinación es de 30º.Construye su grafica. Sol. Y-58x-4.26=0FORMA GENERAL DE LA ECUACION DE LA RECTA UNIDAD 33333
  • 40. 5) Hallar la ecuación , ángulo de inclinación y grafica de la recta L3 y que pasa por los puntos P1(-3,4) y P2(5,-6).Especifica cual es su ordenada de origen. Sol. 4y+5x+27=06) Encuentra la ecuación de la recta, conociendo el punto P(5,-2),m=2/3.7) Encuentra la ecuación y su grafica de la recta, conociendo el punto P(-2,0), y a=135º. ECUACION DE LA RECTA EN SU FORMA SIMETRICATenemos la ecuación simétrica de la recta, cuando se conocen de la recta un punto con ordenada al origen y un segundo punto con abscisa al origen.Cuando una recta interseca al eje de las “y”, a esta intersección se le llama ordenada al origen y se le simboliza “b” y el punto de intersección queda como: A(0,b); de la misma manera cuando una recta interseca al eje de las “x” a esta intersección queda como: B(a,0); son estos dos puntos los que utilizamos para determinar la ecuación de la recta en su forma simétrica.ECUACION DE LA RECTA EN SU FORMA SIMETRICA UNIDAD 33434
  • 41. En esta condiciones la recta puede ser: FIGURA 3.17Que al determinar la pendiente de la recta con estos dos puntos nos queda:Después sustituimos la pendiente y cualquiera de los puntos en la ecuación:ECUACION DE LA RECTA EN SU FORMA SIMETRICA UNIDAD 33535
  • 42. Si sustituimos m=-a/b, con el punto A (0,b):Nos queda: y-b=Ahora multiplicamos todo por a para eliminar el denominador a; quedándonos:a(y-b) = -b(x-0)Si eliminamos el paréntesis nos queda:ay-ab=-bxAsí tenemos:bx+ay=abY al dividir toda la expresión entre ab, llegamos a: que es la ecuación de la recta en su forma simétrica ECUACION DE LA RECTA EN SU FORMA SIMETRICA UNIDAD 33636
  • 43. PROBLEMA 3.8Encuentra la ecuación de la recta cuyas intersecciones con los ejes son: a=3 y b=5; hacer la grafica.Solución: Los valores que nos dan, los sustituimos en la ecuación , llegando a:;transformando la ecuación con términos enteros tenemos:5x+3y=15; que en su forma general y cuya grafica a continuación se expone: FIGURA 3.18ECUACION DE LA RECTA EN SU FORMA SIMETRICA UNIDAD 33737
  • 44. PROBLEMAS:Encontrar la ecuación de la recta que tiene de abscisa en el origen a=-2y de ordenada en el origen b= -4; además hacer la grafica de la recta.Determinar las intersecciones a y b con los ejes de la recta que tiene como ecuación: 2x+3y-6=0Encontrar la ecuación de la recta que tiene como abscisa en el origen a=7 y de ordenada en el origen b= -7;ademas hacer la grafica de la recta.Determinar las intersecciones a y b con los ejes de la recta que tiene como ecuación: 4x+5y-14=0; traza su grafica. LA INTERSECCION DE DOS RECTAS QUE SE CORTANAprendizajes:El alumno.*Dadas la ecuación de dos rectas, o bien, los elementos que definen sus posiciones, determinara si se cortan o no y, en su caso, el ángulo de intersección y las coordenadas del punto donde se cortan.LA INTERSECCION DE DOS RECTAS QUE SE CORTAN UNIDAD 33838
  • 45. Temática:El ángulo entre dos rectas que se cortan Si dos rectas se cortan l1 y l2 forman ángulos suplementarios, cada uno de los cuales puede ser tomado como el ángulo que forman dichas rectas. Con el objeto de evitar la ambigüedad, definimos el ángulo que forman l1 y l2 ( o el que forman l2y l1) como aquel que se mide por la amplitud de la rotación de l1, (en sentido contrario al movimiento de las manecillas del reloj) en torno del punto de intersección hasta colocarse sobre l2. Representaremos por θ el ángulo que forman las rectas LA INTERSECCION DE DOS RECTAS QUE SE CORTAN UNIDAD 339
  • 46. LA INTERSECCION DE DOS RECTAS QUE SE CORTAN UNIDAD 340
  • 47. LA INTERSECCION DE DOS RECTAS QUE SE CORTAN UNIDAD 341Sean las rectas l1 y l2 de inclinacionesa1y a2y pendientes l1, l2 respectivamente.
  • 48. LA INTERSECCION DE DOS RECTAS QUE SE CORTAN UNIDAD 342Considerando el ángulo θ formado por l1 y l2 y recordando que el ángulo exterior de un triangulo es igual a la suma de los interiores no adyacentes, se tiene:a2=a1+ q q= a2- a1 Luego: tan q=tan (a2-a1)= tana1= m1 tana2= m2Entonces: Al aplicar esta formula téngase presente que m1 es la pendiente del lado inicial y m2 la pendiente del lado final del ánguloθ.Recuerda que para encontrar el punto de intersección entre las dos rectas, debes resolver el sistema de ecuaciones, como lo resolviste en la Unidad 1.
  • 49. PROBLEMA 3.9 Obtener los ángulos interiores del triangulo cuyos vértices son A(5,2), B(-3,4), y C(-6,-3)Calcula las pendientes mAB= mBC=mAC=LA INTERSECCION DE DOS RECTAS QUE SE CORTAN UNIDAD 343
  • 50. Sustituye estos valores en la formula. Para el vértice A,Entonces el Angulo en A mide 32°Calcula el valor del Angulo B Y del ángulo C. Comprueba que 'tus resultados soncorrectos recuerda que la suma de los tres ángulos debe ser Igual a 180LA INTERSECCION DE DOS RECTAS QUE SE CORTAN UNIDAD 344
  • 51. Resuelve los siguientes problemas por equipos1) Encuentra las pendientes de los ángulos del triangulo cuyos vértices son:A (-4,4) B (2,7) C (-7,10)2) Hallar las pendientes de las medianas del triangulo cuyos vértices son:A (2,6) B (8,3) C (-2,-1)3) Probar que el triangulo de vértices A B y C es rectángulo:A (4,8) B (0,12) C (-3,1)4) Utilizando las pendientes probar que A B y C están sobre la recta:A (3,5) B (0,2) C (-3, 1)LA INTERSECCION DE DOS RECTAS QUE SE CORTAN UNIDAD 345
  • 52. PARALELISMO Y PERPENDICULARIDADAPRENDIZAJES:El Alumno- Expresara los argumentos que justifican las condiciones analíticas para el paralelismo o para la perpendicularidad de dos rectas- A partir de las ecuaciones de dos rectas decidirá si son paralelas perpendiculares o simplemente secantesTEMATICA:A) La condición de perpendicularidad o paralelismo de dos rectas.B) Problemas Decimos que dos rectas son paralelas si tienen la misma pendiente y por lo tanto el mismo ángulo de inclinación; es decir L1||L2 si mL1=mL2 y por lo tanto infinito 1= infinito2.Decimos que dos rectas L1 y L2 son perpendiculares si sus pendientes son las recíprocas y de signo contrario; es decir y se cumple quePARALELISMO Y PERPENDICULARIDAD UNIDAD 346
  • 53. PARALELISMO Y PERPENDICULARIDAD UNIDAD 347PERPENDICULARIDADPARALELISMO
  • 54. Problema 3.10Encontrar la ecuación de la recta L1 que pasa por el punto A (-2, 2) y es paralela a la recta L2 que pasa por los puntos B (-2, -3) y C (4, 1).Solución: Dibuja una gráfica que ilustres los datos del problema así como la posición delas rectas L1 y L2.Calcula la pendiente de la recta L2 que pasa por los puntos BC, mBC=__________Como la recta L1 pasa por A y es paralela a L2 tiene la misma pendiente por que tiene el mismo ángulo de inclinación, es decir mL1 = mL2 por que infinito 1 = infinito 2mL1 = mL2 = 2/3; entonces mL1=2/3 por que L1||L2.Podemos decir que L1 (recta paralela con la recta L2).Calcula la ecuación de L1 que pasa por el punto A (-2, 2) y es paralela a la recta L2: quepase por los puntos B (-2, -3) y C (4, 1)PARALELISMO Y PERPENDICULARIDAD UNIDAD 348
  • 55. Formula y-y1 =m(x-x1)La grafica te ilustra los datos del problemaRecuerda qua las rectas si son paralelas entonces tienen la misma pendiente. .La ecuación L1 es:: 2x-3y+10=0PARALELISMO Y PERPENDICULARIDAD UNIDAD 349
  • 56. Problema 3.11Hallar la ecuación de la mediatriz del segmento que une los puntos del A(-3, 4) y B(-5,3). Traza una grafica en la que te ilustre cuales son los datos y cual es tu incógnitaPARALELISMO Y PERPENDICULARIDAD UNIDAD 350
  • 57. Calcula el punto medio del segmento ABRecuerda que la fórmula PmAB.PmAB (-1,3.5)Calcula la pendiente en ABRecuerda que la fórmulaMAB=1/8 Argumento Como AB L entoncesLa pendiente de L (mediatriz) es la reciproca y de signo contrario de AB:mL=-8Calculo de la ecuación de L.y-y1=m(x-x1) Datos P(-1, 3, 5)m=8Debes llegar a la ecuación y + 8x + 4.5=0PARALELISMO Y PERPENDICULARIDAD UNIDAD 351
  • 59. Problema 3.12Hallar la ecuación de la recta que pasa por el punto (-2,3) y es perpendicular a la recta2x-3y + 6=0SoluciónGrafiquemos a la recta 2x-3y + 6=O en el plano cartesiano para tal efecto bastará conencontrar las intersecciones de dicha recta con los ejes coordenados y unir con una línealos puntos de coordenadas encontrados.Sea x=0 en la recta 2x-3y +6=0 y despejemos a la variable y:2(0)-3y+6=0 0-3y+6=0 -3y+6=0 6=3y 6 3=y 2=y y=2Entonces tenemos el punto de coordenadas (x, y) = (O, 2). Sea y = O en la recta 2x - 3y - 6 = 0 y despejemos a la variable x:2X-3(0)+6=0 2X-0+6=0 2X+6=0 X=-6/2 X=-3PARALELISMO Y PERPENDICULARIDAD UNIDAD 353
  • 60. Entonces tenemos el punto de coordenadas (x, y) = (-3,0). Ubiquemos los puntos (x, y) = (0,2) y (x, y) = (-3,0) en el plano de coordenadas cartesiano representado en la Figura 3.27PARALELISMO Y PERPENDICULARIDAD UNIDAD 354
  • 61. Problema 3.13Por medio del cálculo de las pendientes, demostrar que los tres puntos A (6,-2), B (2,1) y C (-2,4) son colineales.Solución:Grafica los puntos A (6,-2), B (2,1), C (-2,4) y únelos mediante el trazo de una línea recta en el siguiente plano cartesiano en tu cuaderno (Figura 3.28)PARALELISMO Y PERPENDICULARIDAD UNIDAD 355
  • 62. Bastará demostrar que las pendientes de los segmentos AB, BC y AC satisfacen la condición de paralelismo siguiente: Pendiente del segmento AB = pendiente del segmento BC =pendiente del segmento ACEs decir: mAB = mBC= mACCompleta el cálculo de la pendiente del segmento ABCompleta el cálculo de la pendiente del segmento BCCalcula la pendiente del segmento ACPARALELISMO Y PERPENDICULARIDAD UNIDAD 356
  • 63. Son las pendientes mAB, mBC y mAC iguales?___________________Escribe en tu cuaderno una conclusión:Lee con atención los siguientes ejercicios y resuélvelos correctamente, realiza las graficas correspondientes en tu cuaderno : Problemas para resolver:1.- Hallar la ecuación de una recta que pasa por el punto A{1,5) y tiene de pendiente 2. Sol. 2x-y+3=02.-Hallar la ecuación de la recta que pasa por e apunto A(-6,3) y tiene un Angulo de Inclinación de 45° ^. Sol. x-y+3=01.- Hallar la ecuación de la recta que pasa por el punto A (2,-3) y es paralela ala recta que une los puntos B(4,1) y C (-2,2). Sol. x +6y+ 162.- Hallar la ecuación de la mediatriz del segmento determinado por los puntos D (7,4) y S(-1.-2) Sol. 4x­+3y- 15 =0PARALELISMO Y PERPENDICULARIDAD UNIDAD 357
  • 64. 3.-Demuestra que L1: 4x- 5y + 12 = 0 y L2: 5y- 4x + 10 = 0 son paralelas, realiza una grafica que te ilustre el problema.4.- Demuestra que L1: 10x - 12y - 29 = 0 ; L2: 5y + 6x + 7 = 0 son perpendiculares; construye su grafica.5.- Hallar la ecuación de la recta que pasa por el punto P (-2, 3) y es perpendicular a la recta 2x- 3y + 6 = 0 Sol. 2y + 3x = 06) Dos rectas se cortan formando un Angulo de 135°. Sabiendo que la recta final tiene una pendiente de -3, calcular la pendiente de la recta inicial. Sol.1/27) Dos rectas se cortan formando un Angulo de 45°. La recta inicial pasa por los puntos P (-2,1) y Q (9,7), mientras que la recta final pasa por el punto R(3,9) y por el punto S(-2, y1). Halla el valor de y1 So1. y l = - 8PARALELISMO Y PERPENDICULARIDAD UNIDAD 358
  • 65. 8) Una recta l, pasa por los puntos P (3,2) y Q (-4 -6) y otra recta l2, pasa por el punto R (-7,1) y el punto S cuya ordenada es -6. Hallar la abscisa del punto S sabiendo que l, es perpendicular a l2.So 19) Demostrar que los tres puntos P (2,5) Q (8-1) y R (-2,1) son los vértices de un triangulo rectángulo y calcular sus ángulos agudossol 33° 4l´ 56°1910) Demostrar que los cuatro puntos P (2,4) Q (7,3), R (6,-2) y S (1,-1) son los vértices de un cuadrado y que sus diagonales son perpendiculares.11) Demostrar que los cuatro puntos P (2,2) Q (5,6) R (9,9) y S (6,5) son los vértices de un rombo y que sus diagonales son perpendiculares y se cortan en su punto medio SOLUCIÓN ANALITICA DE PROBLEMAS DE CORTE EUCLIDIANO APRENDIZAJES El AlumnoComprobara algunas relaciones geométricas que involucran rectas estudiadas enGeometría EuclidianaSOLUCION ANALITICA DE PROBLEMAS DE CORTE EUCLIDIANO UNIDAD 359
  • 66. Temática:a) Calculo del área de un Triangulob) Comprobación en casos concretos dec) La concurrencia de las medianas mediatrices y alturas de un triangulod) La Igualdad de los ángulos en un triángulo Isósceles Recuerda que en tu curso de Matemáticas II en la Unidad 2 CONSTRUCCIONES Y ELEMENTOS GEOMETRICOS BÁSICOS estudiaste los siguientes conceptos los puntos notables de un triangulo (Baricentro Circuncentro, Ortocentro)Investiga en la biblioteca ¿Que es el centro de gravedad de un cuerpo?Observa la figura 3.29 Explica ¿por que se pueden sostener en ese punto los cuerpos?SOLUCION ANALITICA DE PROBLEMAS DE CORTE EUCLIDIANO UNIDAD 360
  • 67. Recordemos la definición de baricentro y mediana de un triangulo.Baricentro: Es el punto de intersección de las medianas, también se le conoce como el centro de gravedad de un triangulo.Mediana: Segmento razado desde un vértice hasta el punto medio del lado opuestoRealiza una construcción del concepto de MedianaSOLUCION ANALITICA DE PROBLEMAS DE CORTE EUCLIDIANO UNIDAD 361
  • 68. Circuncentro: Punto de intersección de las tres mediatrices; este punto es el centro del circulo circunscrito al triangulo. Mediatriz: Perpendicular trazada en el punto medio de cada ladoConstruye la mediatriz de un trianguloSOLUCION ANALITICA DE PROBLEMAS DE CORTE EUCLIDIANO UNIDAD 362
  • 69. Problema 3.14En el triangulo cuyos vértices son A (-5, 6), B (-1, -4) y C (3,2) construye con una regla y compás su baricentro y encuentra este punto de intersección.Solución: Escribe en tu cuaderno la definición de mediana:Ilustremos el problema con una construcción (Fig. 3.32).Escribe en tu cuaderno borrador cuales son los datos del problema:Escribe en tu cuaderno cual es la Incógnita del problema:SOLUCION ANALITICA DE PROBLEMAS DE CORTE EUCLIDIANO UNIDAD 363
  • 70. Calculo del punto medio del segmento BCCalculo de la mediana respecto al vértice Mediana respecto al vértice BSOLUCION ANALITICA DE PROBLEMAS DE CORTE EUCLIDIANO UNIDAD 364
  • 71. Recuerda que debes encontrar el punto medio del segmento BCCalcula la pendiente en A y el punto medio (Pm) de BC. Debes llegar al valor m = -716Calcula la ecuación de la mediana respecto al vértice A y llámale LDebes encontrar la ecuaci6n 6y +7x-1 = 0Con el mismo procedimiento encuentra la mediana respecto al vértice B y llámale L2Llegaras a la ecuación x + 1 = 0Resuelve el sistema de ecuaciones para encontrar las coordenadas del baricentro, usa el método de sustitución: 6y + 7x- 1 = 0 X+1 =0El punto de intersección es el baricentro B (-1, 4/3)Problema 3.15 Con los mismos datos del triangulo anterior, es decir A (-6,6), B (-1,- 4) y C (3, 2) encuentra la ecuación de dos de sus mediatrices y resuelve este sistema de ecuaciones para encontrar el Circuncentro. Realicemos una construcción que te ilustre el problema.SOLUCION ANALITICA DE PROBLEMAS DE CORTE EUCLIDIANO UNIDAD 365
  • 72. SOLUCION ANALITICA DE PROBLEMAS DE CORTE EUCLIDIANO UNIDAD 366
  • 73. CALCULO DE LA MEDIATRIZ L1Encuentra el punto medio de ABDebes encontrar PMAB= (-3,1)Encuentra la pendiente en AMAB =-5/2; Argumento: como AE L1 (mediatriz por lo tanto mL1=2/5Calculo de la ecuación L1 (Realiza el calculo en tu cuaderno)Encontraras 5y - 2x - 11 = 0Calculo de la mediatriz L2 (Realiza el calculo en tu cuaderno)En contra ras la ecuación 3y ~ 2x + 1 = 0Calculo del Circuncentro5y-2x-11=0 3y+2x + 2=0Circuncentro C (19/8, 5/4)SOLUCION ANALITICA DE PROBLEMAS DE CORTE EUCLIDIANO UNIDAD 367
  • 74. Problema 3.16Hallar el Ortocentro del triangulo determinado por los vértices: A (-2,1), B (4, 7) y C (6, -3). Realiza una construcción con la regla y compás que te ilustre el problema en cuaderno.Solución Recuerda la definición de OrtocentroOrtocentro: Punto donde se cortan las tres alturas del triangulo.Definición de altura de un triangulo: Perpendicular trazada desde un vértice al lado opuesto o a su prolongación. Hay tres alturas, una correspondiente a cada lado.Construcción; Construye la altura L respecto al vértice A y la. Altura L1 respecto al vértice B con la regla y el compás (Recuerda de tu curso de matemáticas II, el tema de construcciones), debes llegar a una construcción como se presenta en la siguiente Fig.SOLUCION ANALITICA DE PROBLEMAS DE CORTE EUCLIDIANO UNIDAD 368
  • 75. SOLUCION ANALITICA DE PROBLEMAS DE CORTE EUCLIDIANO UNIDAD 369
  • 76. Calcula la ecuación de la altura (L) respecto al vértice A Calcula la pendiente en BCmBC = -5, Argumento: Como BC ML entonces ml=1/5 Calcula altura LFormula: Encontrar la ecuación: 5y - x - 70 = 0 L Calcula la ecuación de la altura L1 (respecto al vértice BCalcula pendiente en ACmAC = -1/2 como AC L1 entonces mL1= 2. Calcula la ecuación de la altura L1:F6nnula: y – y1= m(x- x1) Datos B (4,7) mL1=2 Escribe la ecuación L1SOLUCION ANALITICA DE PROBLEMAS DE CORTE EUCLIDIANO UNIDAD 370
  • 77. Resolviendo el sistema de ecuaciones de L y L1, encuentra el punto de intersección (ortocentro), escribe las ecuaciones L y L1 que encontraste, y resuelve el sistema por cualquier método.L:L1: Ortocentro 0(4/3, 5/3) = (1.33, 1.66)Corrobora la solución con la grafica que construiste al principio de la solución del problema.Problema 3.17Encuéntrala la recta de Euler considerando dos de los tres puntos notables que encontraste en los tres problemas anteriores (Baricentro, Circuncentro y Ortocentro)SOLUCION ANALITICA DE PROBLEMAS DE CORTE EUCLIDIANO UNIDAD 371
  • 78. SOLUCION ANALITICA DE CORTE EUCLIDIANO UNIDAD 372
  • 79. Consideremos el punto del Baricentro P (-4,4/3) y el punto del Circuncentro k (-19/8,10/8).Apliquemos la ecuación de la recta que pasa por dos puntos:Recta de Euler:33y-2x-46=0Podemos verificar que el Ortocentro es un punto da la recta O (14/8,12/8); O (7/4,6/4). SOLUCION ANALITICA DE CORTE EUCLIDIANO UNIDAD 373
  • 80. Problema 3.18 Realiza una construcción con la regla y el compás, en donde se ilustre el baricentro, en el triangulo determinado por los puntos A (2, 5), B (-6, 3) y C (-2,-4) en la Fig. 3.30 Escribe cuales son tus datos Escribe cual es la incógnita: Realiza la construcciónResuelve el problema y comprueba el resultado que sea correctoSOLUCION ANALITICA DE CORTE EUCLIDIANO UNIDAD 374
  • 81. PROBLEMAS1.- Determinar la ecuación de la recta que contiene al punto R (5, 3) y es perpendicular a la recta cuya ecuación es 7x +9y +1 = 02.- Determinar la ecuación de la mediatriz del segmento determinado por los puntos A (7, 4) y B (-1, -2)3.- En el triangulo de vértices A (-2, 1), B (4, 7) y C (6, -3). Hallar la ecuación de la recta que pasa por el vértice A y es paralela al lado opuesto BC4.- Encuentra el baricentro del triangulo determinado por los puntos A (-2, 1), B (4, 7) yC (6,-3)5.- Calcula el Circuncentro del triangulo determinado por los puntos A (-5, 6), B (-1, -4) y C (3, 2)SOLUCION ANALITICA DE CORTE EUCLIDIANO UNIDAD 375
  • 82. CALCULO DE AREA DE UN TRIANGULOEncontrar el área del triangulo cuyos vértices son: A (-2,-3), B (3,3), C (2,6). Escribe cuales son los datos del problema: Escribe cual es la incógnita del problema:Realiza una construcción que te ilustren los datos y la incógnita del problemaCALCULO DEL AREA DE UN TRIANGULO UNIDAD 376
  • 83. Solución:Para calcular el área de un triangulo conociendo sus vértices utilizaremos la siguiente formula:están enumerados en sentido contrario al movimiento de las manecillas del reloj. Sustituyendo tenemos:CALCULO DEL AREA DE UN TRIANGULO UNIDAD 377
  • 84. Podemos comprobar que el resultado es correcto usando la fórmula. Área= (Base X Altura)/2Para obtener la altura del triángulo, recuerda que tiene tres alturas el triangulo, calculemos la altura que va del vértice C a su lado opuesto AB en forma perpendicular. Calcula la ecuación de la recta AB:Debes llegar a la ecuaci6n: 6x-5y-3=0Aplicaremos la siguiente formula par encontrar la distancia del punto C ha esta recta que es la altura del triangulo:Calcula la distancia de la base del triangulo con la siguiente formulaCALCULO DEL AREA DE UN TRIANGULO UNIDAD 378
  • 85. Debes encontrar que d=7.81 Calculando el áreaLo que comprueba que el área del triangulo es correctaProblema 3.20Verifica que en un triangulo isósceles los ángulos opuestos a los lados iguales miden lo mismo. Consideremos el siguiente problema:Demostrar que los puntos A (1,1), B (5,3) y C (6,-4) son los vértices de un triangulo isósceles y, encuentra uno de los ángulos igualesCalcula su área:Cuales son los datos:Cual es la incógnita:CALCULO DEL AREA DE UN TRIANGULO UNIDAD 379
  • 86. CALCULO DEL AREA DE UN TRIANGULO UNIDAD 380
  • 87. Calculo del ángulo ACalculo de la pendiente ACCalculo de lo pendiente AB.CALCULO DEL AREA DE UN TRIANGULO UNIDAD 381
  • 88. CALCULO DEL AREA DE UN TRIANGULO UNIDAD 382Apliquemos la siguiente formula:Calculo del Angulo B.La pendiente AB.Calculo de la pendiente BC.
  • 89. Calculo del Angulo B:CALCULO DEL AREA DE UN TRIANGULO UNIDAD 383
  • 90. Problemas:1.-Dado el triangulo con vértices A (0, 0), B(-2,-2), C(3,-4), Prueba que la recta que pasa por los puntos medios de los lados AB y AC: es paralela al lado BC.2.- Sea el siguiente triangulo determinado por los vértices A (-3,2), B (2,5), C (-4,6), Prueba que la recta que pasa por los puntos medios de los lados AB y AC es paralela al lado BC.3.- Encuentra el baricentro, el Circuncentro y el ortocentro del triangulo cuyos vértices son los puntos A (-3,2), B (6, 2) , C(6,5), así como la recta de Euler. Sol. (3,3), (312,712), (B,2)4.- Encuentra el baricentro, el Circuncentro, y el ortocentro del triangulo cuyos vértices son los puntos A (-2,1), B (4,7) y C (6,-3), así como la recta de Euler. - SOL. (8/3, 5/3), (10/3, 5/3), (4/3,5/3)5.- Encuentra el área del triangulo determinado por sus vértices A (-5,-3), B (2,5), C(7,-4) Sol. Área=103/2CALCULO DEL AREA DE UN TRIANGULO UNIDAD 384
  • 91. 6.-Encuentra el área de un triangulo cuyos vértices son: A (1,-1), B (5,-1), C (3,5)Sol. Área =12.7.- Hallar los ángulos interiores del triangulo cuyos vértices son los puntos A (-2,1), B (3,4), C (5,-2) Comprobar los resultados. Sol. 77°28 ,54°10 ,48°228 - Demostrar que los puntos A (1,1), B (5,3), C (8,0) y D (4,-2) son los vértices de un paralelogramo y hallar su Angulo obtuso.Sol 10,89,269.- Demostrar que los puntos A (1,1), B (5,3) y C (6,-4) son vértices de un triangulo isósceles, hallar uno de los ángulos iguales.Sol. 71 ,3410.- Demostrar que los tres puntos A (2,5), B (8,-1) y C (-2,1) son los vértices de un triangulo rectángulo halla sus ángulos agudos.CALCULO DEL AREA DE UN TRIANGULO UNIDAD 385
  • 92. EXAMEN DE AUTOEVALUACION.1.- Hallar la pendiente, Angulo de inclinación y ordenada al origen de la recta:2y +3x= 7 2.- Hallar la ecuación de la recta que pasa por el punto A(2, -3) y es paralela a la recta que une los puntos B(4, 1) y C(-2, 2)3.- Hallar la ecuación de la mediatriz del segmento determinado por los puntos D(-3, 2) y P(1, 6)4.- Hallar el baricentro del triangulo determinado por los puntos A(-2, 1), B(4, 7) y C(6, -3). Realiza una construcción con la regla y el compás que ilustre el problema (considera las medianas respecto al vértice A y respecto al vértice B) para determinar el baricentro.5.- Encuentra el Circuncentro del triangulo determinado por los puntos A(-3,1), B(5,6) y C(2,-6). Realiza una construcción con la regla y el compás ( considera las mediatrices de los lados AB y AC para encontrar el Circuncentro)CALCULO DEL AREA DE UN TRIANGULO UNIDAD 386
  • 93. BIBLIOGRAFIA1.- Lehmann, CH Geometría Analítica, Limusa, México 1980 2.- Joseph H Kindle-Geometric Analytical, Mc. GrawHill3 .- Francisco José Ortiz Campos , Matemáticas y Geometría Analítica , Publicaciones Cultural4.- Abelardo Guzmán Herrera, Geometría y trigonometría, Publicaciones cultural. 5.- Louis Leithold, Algebra y Trigonometría con Geometría Analítica, Ed. Haria. México.6.- Ma. Lesvia Morales Suárez, Cuadernos de trabajo para matemáticas IV C.C.H. Vallejo.7.-Arquímedes Caballero C. Geometría Analítica, Esfinge. 20038.- Fernando Filloy, Fernando Hitt, Geometría Analítica, Grupo Editorial Iberoamérica, 1987.9.- Elena de Oteyza, Emma Lam Osnaya, etc. Geometría Analítica y Trigonometría, Pearson educación. 2001.87UNIDAD 3