Este documento presenta una introducción a la teoría de los códigos correctores de errores. Explica cómo se utilizan códigos algebraicos para agregar redundancia a la información transmitida a través de canales ruidosos, permitiendo la detección y corrección de errores. También provee ejemplos de cómo se aplican estos códigos en la transmisión de imágenes espaciales y en interfaces digitales.

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Códigos Algebraicos
Y la Informática
«Una Invitación a la Teoría de la Información»
Dr
Lic. Moisés Toledo (el numeros@hotmail.com)
05/10/2010
Lima, Perú

2. Índice
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Introducción 3
Ejemplo Principal 4
Ejemplo de redundancia 1 7
Ejemplo de redundancia 2 8
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Regresando al Ejemplo Principal 9
Resumen 13
Antecedentes Algebraicos 14
Pendiente de aprendizaje 17
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3. Introducción
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En esta presentación, proporcionamos una introducción a los
aspectos matemáticos de la teoría de los códigos correctores
de errores. Esta teoría es aplicada en muchas situaciones las
cuales tienen como característica común que la información
procedente de alguna fuente se transmita por un canal de
comunicación ruidoso a un receptor.
Ejemplos de esto son:
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• Conversaciones telefónicas.
• Dispositivos de almacenamiento como unidades de cinta
magnética que se alimentan de la información almacenada
en la computadora.
• etc
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4. Ejemplo Principal
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• Conocemos de las excelentes fotografías que fueron toma-
das de Marte, Saturno y otros planetas por satélites (Ma-
riners, Voyagers).
• Con la finalidad de transmitir las fotografías tomadas a la
tierra, una fina cuadrícula es ubicada sobre ella y para cada
celda de la cuadrícula el grado de oscuridad es medido, en
una escala de 0 a 63.
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• Estos números son expresados en el sistema binario, esto
es cada celda produce una cadena de seis 0s y 1s.
• Los 0s y 1s son transmitidos como dos señales diferentes
a la estación receptora en la tierra (el laboratorio de pro-
pulsión a chorro del Instituto Tecnológico de California en
Pasadena).
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Ilustramos las cuadrículas que son ubicadas sobre la imagen,
donde las celdas definirán el grado de oscuridad de la zona:
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• Al llegar la señal es muy débil y esta debe amplificarse.
Debido al efecto del ruido térmico sucede ocasionalmente
que la señal que fue transmitida como un 0 es interpretado
por el receptor como un 1, y viceversa.
• Si la 6-tupla de 0s y 1s son transmitidos como tal, entonces
los errores producidos por el receptor tendrán gran efecto
sobre las fotografías.
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• Con la finalidad de prevenir esto, una redundancia es cons-
truida en la señal, esto es la secuencia transmitida consiste
de más información que la necesaria (cadenas largas).
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7. Ejemplo de redundancia 1
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• Nosotros estamos familiarizados con el principio de redun-
dancia del lenguaje cotidiano.
• Las palabras de nuestro lenguaje forman una pequeña par-
te de todas las cadenas posibles de letras.
• Por tanto un “error” de imprenta en una palabra larga es
reconocido, pues la palabra es cambiada por otra que se
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asemeja a la palabra correcta más que la semejanza con
cualquier otra palabra conocida.
• De esta manera el lector corrige el “error de imprenta”.
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8. Ejemplo de redundancia 2
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El sistema utilizado para la interfaz en serie entre un terminal
y una computadora o entre una PC y el teclado.
• Con la finalidad de representar 128 símbolos distintos ,
cadenas de 0s y 1s (esto es los enteros de 0 a 127 en binario)
son usados.
• En la práctica un bit de redundancia es añadido a la 7-
tupla, así la 8-tupla resultante tiene un número par de 1s.
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• Esto se hace por ejemplo en el código de caracteres ASCII.
• Una falla en esta interfaz ocurre muy raramente pero esto
es posible que ocurra con un bit incorrecto.
• Esto resulta en una incorrecta paridad de la 8-tupla (esto
es teniendo un número impar de 1s) en este caso, la 8-tupla
no es aceptada.
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9. Regresando al Ejemplo Principal
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• En el ejemplo principal mencionamos que la 6-tupla de 0s y
1s en la transmisión de fotografías (por ejemplo el Mariner
1969) son reemplazadas por cadenas largas (en adelante
estas serán denominadas palabras).
• En el caso del Mariner 1969 las palabras consistían de 32
símbolos.
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• A este punto, se entiende que un dispositivo tiene que cam-
biar las 64 posibles cadenas de información (6-tuplas de 0s
y 1s) en 64 posibles palabras códigos (32-tuplas de 0s y
1s).
• Dicho dispositivo es denominado el codificador.
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• Las palabras códigos son transmitidas, considerando el rui-
do aleatorio, esto es los errores como algo que se añade al
mensaje (se añaden módulo 2).
• En el extremo receptor, un dispositivo llamado el decodifi-
cador cambia una 32-tupla recibida, si esta no es una de las
64 palabras códigos admisibles, en la palabra código más
probable y entonces determina la correspondiente 6-tupla
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(esta representa la oscuridad de una celda de la cuadrícula
que cubre la imagen).
• Este código tiene la propiedad de que si no más de 7 símbo-
los (el total es 32) son incorrectos, entonces el decodificador
hace la decisión correcta.
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• Por supuesto hay que considerar que hemos pagado una
penalidad para obtener esta posibilidad de corrección de
errores.
• Dicha penalidad es que el tiempo disponible para la trans-
misión de cada bit es sólo 1/5 de lo que estarían disponibles
sin la codificación, lo que lleva a una mayor probabilidad
de error.
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• En la practica, la situación es más complicada, pues no es
el tiempo de transmisión el que cambia, si no la energía
disponible para transmitir un bit.
• Una aplicación notable de la teoría de códigos correctores
de errores es el Disco Compacto de Audio Digital, inven-
tado por Philips (Holanda), esta hace uso de los códigos
Reed Solomon.
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12. Esquema de Transmisión
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Presentamos un esquema, el cual indica las distintas etapas
descritas en los ejemplos anteriores:
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13. Resumen
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• Si deseamos enviar un mensaje por un canal de comunica-
ción (cuyas características dependen de la naturaleza del
mensaje a ser enviado: sonido, imagen o datos) por lo ge-
neral hay que hacer una “traducción” entre el mensaje ori-
ginal (mensaje fuente) y el tipo de mensaje que el canal
está capacitado para enviar, este proceso es denominado
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codificación.
• Una vez codificado el mensaje lo enviamos a través del ca-
nal (el cual puede ser un canal de radiofrecuencia, canal de
micro-ondas, circuito integrado digital, disco de almacena-
miento, etc ) donde el usuario recibe un mensaje codificado
posiblemente erróneo (debido a interferencias) el mensaje
recibido es “traducido” nuevamente a términos originales,
este proceso es denominado decodificación.
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14. Antecedentes Algebraicos
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• La Teoría de Códigos Correctores tuvo su inicio en las in-
vestigaciones de los matemáticos (Golay, Hamming y Shan-
non’s) de Bell Laboratory en la década de 1940, desde sus
inicios este tema ha sido siempre un problema de ingeniería
con aplicación tanto en la transmisión de información (in-
geniería de telecomunicaciones) como en el almacenamien-
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to de la misma en soporte digital (ingeniería informática),
siendo su finalidad el preservar la calidad de la informa-
ción y las comunicaciones contra la amaneza del ruido, la
distorsión o el deterioro del medio de transmisión.
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• El desarrollo de esta teoría se debe a la utilización de téc-
nicas matemáticas cada vez más sofisticadas, dichas técni-
cas recorren múltiples áreas de la matemática como teoría
de probabilidades, el cálculo combinatorio, álgebra lineal,
teoría de cuerpos y geometría algebraica. Son estas dos
ultimas las que dan origen a los Códigos Algebraico Geo-
métricos presentados por Valery Denisovich Goppa en un
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artículo de la Sociedad Matemática Soviética titulado Co-
des on Algebraic Curves en 1977.
• En dicho artículo muestra como la teoría de curvas alge-
braicas sobre cuerpos finitos puede ser usado para construir
códigos con buenos parámetros (la calidad de estos códigos
depende del número de puntos racionales de la curva utili-
zada) vinculando así la Geometría Algebraica y la Teoría
de Códigos Correctores.
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16. aft
• Fue a finales de los años 80, en la que los sucesivos tra-
bajos de Justensen, Larsen, Jensen, Havemose y H∅hold,
Skorobogatov y Vladut, Porter, Shen y Pellikaan, brinda-
ron algoritmos eficientes de decodificación para los Códi-
gos Algebraico Geométricos. Sin embargo algunos de esos
métodos requerían condiciones restrictivas o reducían su
capacidad correctora, unos años después surgieron nuevos
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métodos que resolvieron ese problema de forma efectiva
como el caso de Ehrhard y Duursma.
• En la actualidad se desarrollan algoritmos más rápidos y
eficientes (con el coste de perder algo de generalidad) ba-
sados en el esquema de decodificación mayoritaria de Feng
y Rao, que utilizan o bien relaciones de recurrencia lineal
(como Sakata) o bien Bases de Gröbner (como Saints y
Heegard).
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17. Pendiente de aprendizaje
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En el siguiente diagrama mostramos los diferentes conceptos
que necesitamos para el desarrollo algebraico de la teoría de
códigos:
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