División algebraica

1. ÁLGEBRA
CURSO
ALPHA
ALPHA
ALPHA
ALPHA
ALPHA
ALPHA
R
Q
O
T
r
m
h
ACADEMIA
ACADEMIA
ACADEMIA
q
Somos tu mejor alternativa académica...!!
Docente: David Honores Montalvo
DIVISIÓN ALGEBRAICA
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ALPHA
01
ÁLGEBRA
Dados dos polinomios de grados no nulos
llamados dividendo y divisor, efectuar la
división consiste en hallar otros dos únicos
polinomios llamados cociente y residuo.
l. Identidad fundamental
D(x)=d(x)q(x)+R(x)
donde
– D(x): polinomio dividendo
– d(x): polinomio divisor
– q(x): polinomio cociente
– R(x): polinomio residuo o resto
2. Propiedades
a. El grado del cociente es igual a la diferencia
de grados entre el dividendo y el divisor.
°[q] = °[D]−°[d]
b. El grado máximo que puede tomar el
residuo es igual al grado del divisor
disminuido en 1.
máx °[R]=°[d]−1
3. Métodos para dividir polinomios
Dados los polinomios en una sola variable estos
deben ser completos y ordenados en forma
descendente. Si faltase algún término, en su
lugar se reemplazará un término con
coeficiente cero.
3.1. Método clásico o división normal
Seguiremos los mismos pasos de la división de
enteros.
Ejemplo
4 3 2
Dividir (4x +2x −6x −10x) entre (2x+3)
Resolución:
4 3 2
4x + 2x − 6x − 10x + 0 2x + 3
4 3 3 2
−4x − 6x 2x −2x −5
3 2
−4x −6x
3 2
4x +6x
−10x + 0
10x +15
15
De donde
3 2
q(x) = 2x −2x −5 y R(x) = 15
3.2. Por coeficientes separados.
Es un caso similar a la división normal con la
diferencia que en este caso sólo se trabajan con
los coeficientes. En este caso sí se exige que los
polinomios, tanto dividendo y divisor, sean
completos y ordenados en forma descendente.
Ejemplo
4 3 3 2
Dividir (4x +2x −6x −6x −l0x) entre (2x+3)
Resolución:
Usando únicamente los coeficientes.
4 2 −6 −10 0 2 3
−4 −6 2 −2 −5
0 −4 −6
4 6
0 0 −10 0
10 15
0 15
David Honores Montalvo
÷
÷
÷
÷
÷
÷

2. ACADEMIA
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02 ÁLGEBRA
DIVISIÓN ALGEBRAICA
Academia ALPHA
Ya que el cociente y el residuo son también
polinomios completos y ordenados en forma
descendente.
2
q(x) = 2x −2x−5 y R(x) = 15
3.3. Método de Guillermo Horner
Es un método general para dividir polinomios
de cualquier grado. Este método exige que los
polinomios, tanto dividendo y divisor, sean
completos y ordenados en forma descendente.
Esquema de Horner
Considere
4 3 2
D(x) = a x +a x +a x +a x+a
0 1 2 3 4
2
d(x) = b x +b x+b
0 1 2
b a a a a a
0 0 1 2 3 4
−b1
−b2
q q q r r
0 1 2 0 1
Coef. del cociente Coef. del residuo
De donde:
2
q(x) = q x +q x +q y R(x) = r x + r
0 1 2 0 1
Observaciones
• El primer coeficiente del divisor d(x)
mantiene su signo, los demás coeficientes
van con signo cambiado.
• La línea (punteada) vertical que separa los
coeficientes del cociente con los
coeficientes del resto, se traza contando
desde el último coeficiente del dividendo, un
número de espacios igual al grado del divisor.
En nuestro esquema °[d(x)]=2, luego 2
coeficientes del dividendo quedan a la
derecha la línea vertical.
Procedimiento
I. Determinaremos el primer coeficiente del
cociente
II. Multiplicamos q por cada uno de los
0
coeficientes −b , −b y colocar los
1 2
resultados en una fila, de una columna
hacia atrás.
III.
IV. Multiplicamos q por cada uno de los
1
coeficientes −b , −b (como II)
1 2
V.
VI. Si se tuvieran más coeficientes, se sigue
este procedimiento hasta que la última
multiplicación toque la última columna.
VII. Para el residuo solamente sumaremos los
elementos de cada columna
respectivamente.
Ejemplo
5 4 2 3 2
Dividir 12x −x +3x +5 entre 3x +2x −1
Resolución:
Completando el dividendo y el divisor; en el
esquema se tiene:
−9 6
3 12 −1 0 3 0 5
−2 −8 0 4
0 6 0 −3
1 −4 0 2
4 −3 2 3 −3 7
Coef. del cociente Coef. del residuo
De donde:
2 2
q(x) = 4x −3x + 2 y R(x) = 3x − 3x + 7
3.2. Método de Ruffini
Considerado como caso particular del método
de Horner, y se aplicará cuando el divisor es
lineal o transformable d(x)=Ax+B; A≠0.
Esquema de Ruffini
Considere
4 3 2
D(x) = a x +a x +a x +a x+a
0 1 2 3 4
d(x) =Ax+B
David Honores Montalvo
0
0
0
a
q
b
=
0 1 0
1
0
a b q
q
b
-
=
2 0 2 1 1
2
0
a q b b q
q
b
- -
=
1442443 15253
1442443 1442443
(+) (+)
(+)
(+)
(+)
÷

3. David Honores Montalvo
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Ax+B=0 a a a a a
0 1 2 3 4
÷A q q q q r
0 1 2 3 0
b b b b
0 1 2 3
coef. del cociente
De donde:
3 2
q(x) = b x +b x +b x+b y R(x) = r
0 1 2 3 0
Ejemplo
28 7 21 7
Dividir (2x −14x +2x −5) entre (x −3)
Resolución:
7
Haciendo un cambio de variable x =y
Se tiene, utilizando el esquema
2 2 0 −14 −5
6 24 72 174
y=3
2 8 24 58 169
coef. del cociente residuo
Entonces
3 2
q(y) = 2y + 8y + 24y + 58
7
pero, y = x reemplazando se tiene
2 1 14 7
q(x) = 2x + 8x + 24x + 58
R(x) = 169
4. Teorema de Renatus Descartes (Teorema
del Resto)
Regla práctica para calcular el resto de
Paso 1
El divisor se iguala a cero (d(x)=0).
Paso 2
Se elige una variable conveniente y se despeja
esta variable.
Paso 3
La variable elegida se busca en el dividendo
para reemplazarla, luego se realizan las
operaciones indicadas y obtenemos el resto.
PROBLEMAS
1. Calcule el cociente de dividir
4 3 2 2
2x +13x +26x +50x+15 entre 2x +3x+5
2 2
A) x +5x+3 B) x +3x+2
2 2
C) x −x+1 D) x +x−1
2
E) x −x+1
2. De la división
4 3 2 2
6x +ax +bx +cx+d entre 3x +x−1
el resto R(x)=x+2 indique el valor de
−abcd si los coeficientes del cociente
disminuyen de uno en uno
A) 20 B) 40 C) 100
D) 200 E) 0
3. En el siguiente esquema de Horner
2 A B C D E
a a a
1 2
2−a b b
1 2
c c
1 2
3 B 1−B 2 3
Calcule el valor que toma A+ B+ C+ D+ E
A) 4 B) 8 C) 19
D) 21 E) 25
4. Al dividir un polinomio P(x) de 3er. grado
por (x−1) se obtiene 6 y el P(x) es divisible
2
por x +2. Además P(2) = 18, Halle P(0)
A) 2 B) 3 C) 4
D) 5 E) 6
5 4 3
5. En la división exacta, (x +bx +ax ) entre
2
(x +2x+3) calcule ab
A) 6 B) 4 C) 8
D) 10 E) 5
n
6. De la división (x +2x+3) entre (x−1)
calcule n si la suma de coeficientes más el
residuo es 38
A) 21 B) 22 C) 25
D) 30 E) 35
B
A
x = -
144424443
14544244543 123
D( ) b
R( ) D
a b a
x
x
x
æ ö
® = -
ç ÷
+ è ø
D( )
d( )
x
x

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04 ÁLGEBRA
7. Hallar el cociente entre P(x) y Q(x), si
3 2
P(x)=(x+3) −6(x+3) +11(x+3)−6
2
Q(x)=(x+3) −3(x+3)+2
A) x B) 2x C) 3x
D) −2x E) −x
8. De la división
n n−1 n−2
(x +x +x + ...+x+1) entre (x−1)
calcule el resto, si la suma de coeficientes
del cociente es 36.
A) 10 B) 9 C) 8
D) 7 E) 5
9. En la división
calcule el residuo.
A) −1 B) 0 C) 1
D) 2 E) 3
10. Dado un Polinomio P(x) de 6to. grado es
2 4
divisible por (x +1) y (x + 1) además
P(1)=8. Halle el resto de dividir
P(x)÷(x−2)
A) 170 B) 175 C) 176
D) 177 E) 196
11. Sea la división de polinomios P(x)÷d(x)
3
cuyo cociente es q(x)=x +x−1.
¿Cuál es el grado del cociente en la división
3 3
P (x)÷ d (x)?
A) 6 B) 7 C) 9
D) 10 E) 11
12. Al dividir se obtiene un residuo en la
división
2n 2n
[(x+1) +(x−1) ] entre [(x+1)(x−1)]
n n n
A) 4 B) 2 C) 3
n
D) 8 E) 1
13. Si al dividir
el residuo es 2x+3
el residuo es 2x−1
Halle el residuo de dividir
2
(P (x)+P (x))÷(x +2)
1 2
A) 4x B) 4x+2 C) 4x−1
D) x E) x−2
3
14. Calcule el resto P (x)÷(x+1)
Si P(x)÷(x+ 1) su residuo es 2.
A) 8 B) 10 C) 11
D) 12 E) 5
15. Efectúe las divisiones e indique la suma de
sus restos.
4 3 2
a. (3x + 5x −6x +18) ÷ (x+2)
3 2
b. (6x −11x + 6x+7) ÷ (3x−1)
A) 7 B) 8 C) 9
D) 10 E) 11
5 4
16. Si f(x)=x −5x +3x+2
Halle el resto de dividir
A) 17 B) 34 C) 36
D) 40 E) 41
17. Dado el Polinomio
2 3 n
P(x)=(x+1)(x +2)(x +3)...(x +n)
Se divide por
n n−1 2
q(x) =(x +x +...+x +x+1)
¿Cuál es el grado de q(x)?
Si el grado del cociente es
A) 12 B) 13 C) 14
D) 15 E) 16
David Honores Montalvo
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6 4 2
6 11 6
( 3)( 3)
x x x
x x
- + -
- +
f ( 3) f (7 )
2
x x
x
+ + -
-
n(3n 25)
2
-
1
2
P ( )
2
x x
x
-
+
2
2
P ( )
2
x x
x
+
+