1. UNIVERSIDAD NACIONAL DEL SANTA
CEPUNS
Ciclo 2014-III
Tablilla
Babilónica
ÁLGEBRA
“TEOREMA DE RESTO - DIVISIBILIDAD”
TEOREMA DEL RESTO
Se obtiene:
b
b
b
P (  ) =[a(  )  b ]Q(  )+ R(x)
a
a
a
b
b b
b
P (  ) =[   ]Q(  )+R (x)
a
a a
a
b
b
Como vemos 

= 0; con lo
a
a
cual:
b
Resto = R (x) = P ( 
)
a
L.q.q.d.
Este teorema es importante por
que nos permite encontrar el
resto de la división, sin efectuarla.
Enunciado.- El resto de dividir
un polinomio racional P(x) entre
un divisor binomio de la forma (a
x  b) o cualquier otro divisor
transformable a binomio; se
obtiene al calcular el valor
b
numérico de P (  )
a
CASOS QUE SE PRESENTAN
DEMOSTRACIÓN DE TEOREMA:
En
concordancia
con
los
elementos
de
la
división,
tenemos:
Dividendo : P(x)
Divisor : a x  b
Cociente : Q (x)
Resto
: R (x) (incógnita)
Primer Caso:
P( x )
ax  b
Reglas para determinar el Resto:
1º .Divisor igual a cero : a x 
b=0
2º .Hallamos el valor de x: x
b
= 
a
3º .Reemplazamos el valor de
“x” en
el polinomio dividendo y el valor
obtenido es el resto de la división
De la identidad fundamental:
DdQ+R
Se tiene:
P (x) = (a x  b) Q (x) + R (x)
b
Evaluando
P(x) para X = 
a
Centro Preuniversitario de la UNS
Semana Nº 06
1
S-06
Ingreso Directo

2. Lic. José Azañero –Lic. Walter Torres-Lic. Saul Barron-Lic. Alex Ríos.
Ejemplo # 1:
Hallar el resto de la división:
2x 9  3 x 5  5 x 4  7 x  6
x 1
-6 k = 6

Solución
Aplicando las reglas tendríamos:
1º.- Divisor = 0  x + 1 = 0
2º.- Cálculo de x  x = -1
3º.- Reemplazando en el
dividendo;
x = -1, obtenemos:
Resto = 2(-1)9 – 3(-1)5 + 5(-1)4 –
7(-1) + 6
teniendo en cuenta que :
(-)
Par
=+

(-)
Impar
Rpta.
P( x )
axn  b
;(n2)
Reglas para determinar el resto:
1º.- Divisor = 0
 axn  b = 0
b
2º.- Cálculo de xn  xn = 
a
3º.- Reemplazamos el valor de xn
en el polinomio dividendo y el
valor obtenido es el resto de la
división:
=Ejemplo # 1:
Hallar el resto de la división:
x 5  2x 3  5 x 2  3 x  2
Rpta.
x2  2
Solución:
Expresando el dividendo en
función de “x2” se tendría:
Ejemplo # 2.- Determine el
valor de “k” en la división
exacta.
( x2 )2 x  2( x2 )x  5( x2 )  3x  2
2 x3 - (3 k - 2) x2 - x  6 k
x2
Solución
Como la división es exacta, el
resto, es igual a cero y de
acuerdo a las reglas del teorema
del resto tendríamos:
1º.- Divisor = 0  x + 2 = 0
2º.- Cálculo de x  x = -2
3º.- Resto = 0
2 (-2)3 – (3k – 2) (-2)2 – (-2) +
6k = 0
-16 – 12 k + 8 + 2 + 6k = 0
Centro Preuniversitario de la UNS
k = –1
Segundo caso:
Resto = -2 + 3 + 5 + 7 + 6
Resto = 19
Álgebra.
x2  2
Aplicando las reglas:
1º.- x2 + 2 = 0  x2 = -2
2º.- Por consiguiente:
R(x) =(-2)2 x + 2(-2) x–5(-2)+3 x -2
R (x) = 4 x – 4 x + 10 + 3 x – 2

2
S-06
R (x) = 3 x + 8
Rpta.
Ingreso Directo

3. Lic. José Azañero –Lic. Walter Torres-Lic. Saul Barron-Lic. Alex Ríos.
Ejemplo # 2:
Con la cual, se tendría :
Si el resto de la división:
ax
7
5
 3 x  bx
2
(2x 23  x 5 3) ( x  1)
5
( x 2  x  1) ( x  1)
2
es:
Álgebra.
x 1
x – 6. Hallar (a + b)
2x 24  2x 23  x 6  x 5  3x  3
x3  1
Solución
Expresando el dividendo en
función de x2, se tendría:
Expresando el dividendo en función de
x3:
a( x2 )x  3( x2 )2 x  b( x2 )  5
2( x 3 )8  2( x 3 ) 7 x 2 ( x 3 ) 2  ( x 3 ) x 2  3x  3
x3 1
x2  1
Del teorema del resto:
1º.- x2 + 1 = 0

x2 = -1
Recordemos que: si al dividendo y
al divisor se multiplican por una
2º.- R(x) = a (-1)3 x + 3 (-1)2 x + b (-1)
misma cantidad, el cociente no se
–5
altera pero el resto queda afectado
por la cantidad que se está
R (x) = (-a + 3) x – b – 5
multiplicando; en consecuencia:
Como: R(x)  x - 6
Se cumple que:
Por el Teorema del resto:
(-a + 3) x – b – 5  x – 6
1º.- x3 – 1 = 0  x3 = 1
Comparando los coeficientes:
2º.- Con lo cual:
i) -a + 3 = 1  a = 2
(x - 1) R(x) = 2(1)8 – 2(1)7 x2 – (1)2 +
ii) –b – 5 = - 6  b = 1
+ (1) x2 + 3x – 3
 a + b = 3 Rpta.
(x - 1) R (x) = - x2 + 3 x – 2
-x2 + 3 x – 2
R (x) = ----------------Ejemplo # 3:
x - 1
Hallar el resto de la división:
Por la regla de Ruffini:
23
5
 x 3
2x
x
2
-1
 x 1
x=1
Solución
Siendo el divisor un trinomio hay
que transformarlo a binomio,
mediante la identidad
+3
- 1
+2
-1
-
2
+ 2
0
Obtenemos:
Resto:
R(x) = -x + 2
Rpta
(x2 + x + 1) ( x – 1) = x3 – 1
Centro Preuniversitario de la UNS
3
S-06
Ingreso Directo

4. Lic. José Azañero –Lic. Walter Torres-Lic. Saul Barron-Lic. Alex Ríos.
Álgebra.
PROBLEMAS PROPUESTOS
6. Hallar
1. Halle el resto:
100
x
2 x13  3x 6  2
x2  x 1
a) 2x+3
b) 2x
d) 3x
e) N.A.
2(m-2n+1)x4 + (m+p)x3 + (7n+2p)x2 –
3x -18 cuando se divide entre
exacta:
F(x)
b) 2
=
x3+2x2-x-2
Si
c) 3
R(1)=R(2)=R(3)=R(4)=.....=0,
determinar el valor numérico de: E =
m+n+p
residuo
de
a) 6
2
2
x 2  5x  3
a) 49
e) 2
e) 45
c) 47
cumplirse de modo que el polinomio:
A
2

 B2 x3  2BA  Bx2  4 ABx B2B  A
sea divisible entre
4. Calcular el resto en la siguiente
a) 0
 32x  x  3x  7
2 x  6 x 2  10x  2
3
b) 4x+1
d) 3x+2
c) -1
e) 4
2
9. Calcular el resto y la suma de
3
a) 5x
A  Bx  B  A
b) 1
d) 3
división:
5
c) 4
8. Encontrar la relación necesaria por
b) 48
d) 46
b) 5
d) 3
dividir:
xx 1x  4x  5x  6  70
x  1
un
polinomio R(x) = ax + bx + c.
e) 5
15
arroja
2
x yz
el
c) 9800
7. Sabiendo que el polinomio P(x) = x5 +
x  y 3  x  z 3   y  z 3  4n  17xyz
3. Calcular
polinomio:
+ ax + b es divisible entre (x+1)2
d) 8900
c) 3-2x
división
d) 4
el
b) 8100
2. Calcular el valor de “n” en la
a) 1
si
a) 9900
e) 2x+5
siguiente
“ab”
coeficientes
c) -5x+6
e) 8x+3
del
cociente
siguiente
m  1x
5. Cual es el resto de la división:
m 3
la
división:
 2mx  m  1x  7m
x 1
3
a) 11m;m3+11m+2
x 367  2
x2  x 1
en
b) 13m;m2+13m+3
c) 12m; m2+11m+2 d) 11m;m2+11m+12
a) x-2
b) x+2
d) x+1
e) 11m;m2+11m+2
c) x2+1
e) N.A.
Centro Preuniversitario de la UNS
4
S-06
Ingreso Directo

5. Lic. José Azañero –Lic. Walter Torres-Lic. Saul Barron-Lic. Alex Ríos.
son iguales a 16. Calcular la suma de
10. Hallar el resto en:
n
2n
2n 3
 x 2  5x  7    x 2  5x  5   8x  152n 1   x 2  5 












x2
Siendo “n” un número entero positivo.
a) 0
b) 1
d) 3
e) 4
c) 2
de
d) 39
c) 38
e) 40
ax 3a  bx 3b1  cx 3c  2
x2  x 1
a) (b-c)x-(c-a) b) (c-b)x-(a-c) c) (b2-c)x-(c-a)
d) (b-c)x2-(c-a)
sea:
x 2m  x m y n  y 2n
b) 37
división:
dividir:
x 5 m  x 3m y n  x m y 4 n  y 5 n
sus coeficientes.
a) 36
15. Calcular el resto en la siguiente
11. Calcular un valor de: y+n para que el
residuo
Álgebra.
e) (b-c2)x-(c-a2)
16. Un polinomio de 6° grado, tiene raíz
4
1
  .
4
cúbica
exacta,
es
divisible
separadamente por: (x-1) y (2x+1) y
a) 0
b) 2
d) -5
c) -4
e) 7
si se le divide por: (x-2) el resto es
1000.
Calcular
su
término
independiente.
12. Hallar
el
resto
x  5  x  4
x  5x  4
11
13
a) 3x
a) -4
b) -5
d) -7
2
b) 6x+8
d) 2x-7
en:
e) -8
17. Calcular
c) 3x+5
e) N.A.
y
13. Al dividir un polinomio P(x) entre
m
“m+n”
y  a
c) -6
si
la
 1283a  y 
y  2a
3m
división:
2n
es
exacta:
(x+3) se obtuvo por residuo -5 y un
a) 22
b) 21
cociente cuya suma de coeficientes
d) 19
e) 18
c) 20
es igual a 3. Encontrar el residuo de
dividir P(x) entre (x-1).
a) 5
b) 6
d) 8
18. Determinar “m” si la división es
c) 7
e) 9
exacta:
x
14. Un polinomio de cuarto grado es
divisible
entre
(x+2)
tiene
2

2
a) -3
cuadrada exacta. Al dividirlo entre
b) 2
d) -4
raíz

 y2  z2  m x4  y4  z4
x yz

c) -2
e) -6
(x-2) y (x+1) los restos obtenidos
Centro Preuniversitario de la UNS
5
S-06
Ingreso Directo

6. Lic. José Azañero –Lic. Walter Torres-Lic. Saul Barron-Lic. Alex Ríos.
19. Calcular el resto de la división:
25.
x  y 2  x  y 2 z  1  zz  1  13
Hallar
4x
a) 1
e) 40
c) 42
26.
20. Calcular el resto de la división:
b) 6
e) 3
21. Determinar
c) 5
“m”
polinomio:

para
4
4
2 2
que
2 2
sea divisible entre (x+y+z)
a) 2
b) -3
d) 3
e) -2
el
e) 4
x
x
a) 4
2n
n
x x x
x n  x n  2
b) 5
n
c) 6
2 n
d) 7
Centro Preuniversitario de la UNS
x
de
dividir:
2
 ( x  3)  2(2x  1)
Calcular el resto en :
2 n2
[( x )
a) 0
d) x
SUMATIVO 2014 - II
3n
2n
se obtiene como residuo 90. Calcular “n”.
a) 1
b) 2
c) 3
d) 4
e) 5
4
de
c) 3
2
29.
resto
e) 1
x  2x  2
b) 320 c) 302 d) 203 e) 300
el
b) 2x
Luego
( x  1)
x 53 x  8  x  4  6
23. El resto
, es :
x 2  8x  1
24. Calcular
d) 2
es
e) N.A.
28.
SUMATIVO 2014 - I
a) 230
c) 3
d) 6
d) 3
e) 4
Hallar el resto de la división:
a) x - 1
c) 4
8x 2  5x38  1  20 x 20  1  10N  x10  1  2 Nx6  4 x 2  3
















4x4  4
53
d) -2
( x  5)51  ( x  4) 40  9
( x 2  9 x  20)
como residuo de dividir:
c) 3/4
c) 2
b) 4

2 2
SUMATIVO 2013 - III
b) 2
1
Determine el valor de ”n” si el
residuo
de
la
división:
27.
22. El polinomio de grado cero que se obtiene
, es:
a) -2
b) -1
a) 5
x  y z m x y  y z z x
4
2
en:
x  3n x  1n  nxx  1x  5  1
 x  2 2
21  18x , donde “n” es par.
2x  18  3x  14  x  12  1
x x  2 
a) 7
d) 4
residuo
2n2
3 n
2
b) 43
d) 41
el
2 x  1
x  1 2 x  1  x 2
3 n 3
x  y  z 5
a) 44
Álgebra.
30.
dividir:
 ( x 1)
3n
 2 x 2 n1 ]( x3  2)2 n  x 2 n1
; n  Z
2
x  x 1
b) 1
e) -x
c) 1
Calcular el valor de "n" para que:
n
( x3  8)  .( x 2  8 x  16)  29 x 4 (2  x) 4
2
x2  2 x  2
Presente un resto de 11 200.
a) 6
b) 5
c) 2
d) 3
e) 4
e) 8
6
S-06
Ingreso Directo