Este documento describe el uso de técnicas de regresión lineal para establecer límites superiores al número cromático de gráficos aleatorios. Se analizaron 3,690 gráficos aleatorios y se obtuvieron aproximaciones a su número cromático usando un algoritmo optimizado. Luego, se usaron métodos de regresión lineal para desarrollar un modelo que estima el límite superior del número cromático basado en el grado mínimo del gráfico. Este modelo proporciona una mejora sustancial en comparación con lí

1. Modelos para la Estimación de una Cota Superior del Número Cromático de
Grafos Aleatorios Usando Regresión Lineal
Gustavo Dejean, Departamento de Computación
Universidad Nacional del Oeste
San Antonio de Padua, Pcia. de Buenos Aires
email: dejean2010@gmail.com
Resumen
La contribución principal del presente trabajo es
mostrar cómo, usando técnicas del análisis de regresión
lineal, se pueden establecer cotas superiores a los
números cromáticos de los grafos aleatorios.
Se analizaron 3690 grafos aleatorios entre los rangos
del 1% al 90 % de adyacencia y entre 100 nodos a 500
nodos. Para cada uno de ellos, se obtuvo una
aproximación a su número cromático con un algoritmo
simple y optimizado, para obtener un mejor
acercamiento a su número cromático. Se obtuvo una
superficie tridimensional: % de adyacencia – cantidad
de nodos y mejor coloración obtenida. Por último se
usaron métodos de análisis de regresión lineal para
obtener un buen Modelo estimador. Se probaron muchas
variables candidatas. Se determinó que el grado mínimo
de los grafos aleatorios es un buen estimador de la cota
superior de su número cromático usando Regresión
Lineal Simple. Otro modelo más preciso, usando
Regresión Multilineal, mejoró el anterior modelo.
Ambos Modelo son una mejora sustancial en
comparación a la cota del teorema de Brooks [1]. Los
resultados son válidos dentro de los rangos probados.
1. Introducción
Los grafos aleatorios constituyen una importante
rama de la Teoría de Grafos. Los primeros estudios datan
de principios de la década de 1950 [2,3], casi diez años
después, los investigadores P. Erdös y A. Renyi
descubriendo importantes propiedades en esta clase de
grafos, introduciendo el término “Teoría de Grafos
Aleatorios” a esta área del conocimiento [4,5]. El
objetivo de Erdös, fue estudiar el Método Probabilístico,
sin embargo, actualmente, los grafos aleatorios, tiene
aplicaciones muy diferentes a los objetivos originales de
su creador, y se utilizan en diversas áreas del
conocimiento como ser: las Redes Sociales, Modelos de
Epidemias, de Comunicaciones y Biológicas. Para cada
aplicación, pueden surgir diferentes variantes de los
grafos aleatorios de Erdös: Grafos Geométricos
Aleatorios, Regulares Aleatorios, Planares aleatorios y
árboles aleatorios. El Modelo básico de Erdös, sigue
teniendo plena vigencia y es campo de estudio en la
actualidad. La coloración de grafos consiste en asignar
un color a cada nodo de un grafo de manera tal que no
queden dos nodos adyacentes con el mismo color. A la
cantidad mínima de colores necesarios para colorear un
grafo se la llama el número cromático del grafo,
denotado por χ (G) [1]. Cada grafo tiene un número
cromático asociado, que puede tomar valores dentro del
rango que va desde 1 hasta N, (1 ≤ χ (G) ≤ N) siendo N
la cantidad de nodos del grafo. Un grafo completamente
conexo es un grafo simple, donde cada par
de vértices está conectado por una arista. Los grafos
completamente conexos necesitan de N colores y un
grafo sin aristas necesita solamente un color. La cantidad
de arcos que tiene un grafo completamente conexo es n
(n-1) / 2.
Hallar el número cromático de un grafo es un problema
NP-Hard, por lo cual, es importante tener un modelo
para estimar su valor. Un gafo aleatorio G(N, p), es un
gafo donde cada arco tiene una probabilidad p de existir.
Si p = 0.5, la cantidad promedio de arcos que habrá en
los grafos G(N, 0.5) será la mitad de la máxima cantidad
de arcos posible, esto es: n x (n-1)/ 4. (donde n es la
cantidad de nodos que tiene el grafo). Un Grafo regular
G(N,k) es un grafo donde cada nodo tiene exactamente
grado k. El porcentaje de adyacencia de un grafo se
calcula en función de la cantidad máxima posible de
arcos:
%ady = cantidad de arcos x 100 x 2 / n x (n – 1)
Se define la densidad de un grafo como el coeficiente
entre la cantidad de arcos que tiene y la cantidad
máxima de arcos posibles:
densidad = 2 x cantidad de arcos / n x (n – 1)
En los grafos aleatorios, la densidad es aproximadamente
igual a la probabilidad p. Por lo tanto, a p lo podemos
expresar como:
p ≈ densidad
La cota superior de χ (G) más usada y conocida es la del
Teorema de Brooks, de 1941 [1,6] que dice: Sea G un
grafo conexo que no es ni completo ni un ciclo impar.
Entonces χ (G) ≤ ∆ (G); donde ∆ (G) es el grado
máximo de G. Otro teorema menos restrictivo es el
Teorema de Vizing (1964) [1, 6] y dice: Para todo grafo
G se tiene χ (G) ≤ ∆ (G) +1. La cota inferior más usada
está relacionada a la existencia de subgrafos
completamente conexos o cliquer, Un k-cliquer necesita

2. exactamente k colores para colorearlo. Si un grafo G
contiene un k-cliquer, entonces se tiene que su número
cromático no podrá ser inferior a k, por lo tanto será una
cota inferior, esto es: k ≤ χ (G). Esta cota inferior, en la
práctica, es poco útil pues determinar si un grafo
contiene un k-cliquer es también un problema NP-
completo. Otra cota inferior está relacionada con la
saturación de aristas y también son malas cotas para los
grafos regulares y aleatorios.
La contribución principal del presente trabajo es mostrar
cómo, usando técnicas del análisis de regresión lineal, se
pueden establecer cotas superiores a los números
cromáticos de los grafos aleatorios.
En las secciones siguientes, se describen la construcción
del lote experimental, la selección y mejoras del
algoritmo básico usado para obtener una cota superior de
χ (G) y la construcción del conjunto de datos para el
análisis de Regresión Lineal. Luego, se muestra un
gráfico tridimensional donde se observa como es la
superficie que describe el comportamiento de las cotas
superiores halladas del número cromático en grafos
aleatorios. Por último, se detalla el análisis realizado
sobre el conjunto de datos experimentales y dos
modelos de ajuste obtenidos con su correspondiente
error.
2. Elementos del Trabajo y metodología
2.1. Construcción de un lote de casos
experimentales
Para hallar una cota superior del número cromático
primeramente se construyó un lote de datos
experimental, consistente en 3690 archivos, cada uno de
ellos representa un grafo aleatorio con una determinada
probabilidad pi y una determinada cantidad de nodos Ni.
Para crear el lote experimental, se preparó un algoritmo
generador de grafos aleatorios, dándole como input 6
parámetros: las cantidades iniciales y finales, de nodos y
de probabilidad, y el incremento para ambos
parámetros. Los mismos, se inicializaron con N= 100
hasta N=500 con un incremento de 10; y desde p=0,01
hasta p=0,90 con un incremento de 0.01. Esto permitió
obtener un lote de casos experimentales que abarcó un
rango grande de valores posibles de N y p. El programa
se desarrolló en Java y se usó la función rand para crear
dichos grafos.
2.2. Elección del algoritmo para obtener una
cota superior de χ(G) para cada grafo
A esta fase se la puede dividir en tres etapas:
estudio del comportamiento de tres algoritmos
conocidos, pero que en la literatura no se encuentran
referencias a su comportamiento relativo. 2da etapa:
mejoramiento de los algoritmos con técnicas pseudo-
probabilísticas o por saturación de combinaciones
aleatorias y análisis de resultados obtenidos. La tercer
etapa fue adaptar el mejor algoritmo para hacerlo más
eficiente y obtener una cota superior del χ (G) para cada
grafo. Los algoritmos básicos implementados fueron los
siguientes: Wells-Powell, Matula y el secuencial o
aleatorio. Téngase presente que en esencia se tratan del
mismo algoritmo y que solamente se diferencian en la
heurística usada para procesar su input. En general, es
de uso práctico obtener una cota del número cromático
tomando un resultado de alguno de estos algoritmos [10]
para luego optimizarlo con algoritmos que usan
técnicas avanzadas como ser simulated annealing [11] o
Ants algorimos [14] y branch and cut [13]. Para elegir la
mejor cota, se estudió el desempeño relativo de los tres
algoritmos básicos o heurísticas. Se ejecutó cada uno de
estos algoritmos 1000 veces para colorear tres grafos
con p= 50, 75 y 80% de adyacencia. Al graficar los
resultados en tres histogramas (uno por cada grafo) se
concluyó que los mejores resultados (para este tipo de
grafos) siempre son del algoritmo de Powell, seguido por
el aleatorio. También se observó que al ejecutar el
mismo algoritmo muchas veces se alcanzan mejoras
que llegan al 10% para cualquiera de los tres algoritmos.
A esta técnica la podemos considerar como buscar una
saturación de coloraciones posibles al ejecutar miles de
veces cada algoritmo. Una vez seleccionado el algoritmo
de Powell, se lo optimiza para que use sus propios
resultados intermedios como poda en cada iteración, a
fin de poder procesar la mayor cantidad de veces cada
grafo en un tiempo mínimo. Se usó como corte el
resultado obtenido en la primera pasada y luego cada vez
que se obtuvo una menor cantidad de colores, se tomó
este nuevo valor para cortar cualquier otra ejecución que
requiera más de ese número. Se realizaron 10 mil
corridas para cada uno de los 3690 grafos del lote
experimental. La mejor coloración que generó para cada
grafo (menor número), se grabó en un archivo junto con
los datos físicos del grafo. A parte, en otro archivo, se
guardó el grafo coloreado. Todos los resultados se
comprobaron con otro programa probador para verificar
el correcto funcionamiento del algoritmo de coloreo.
2.3 Preparación del conjunto de datos para el
análisis
El conjunto de datos se formó de la siguiente
manera: una fila por cada archivo del lote experimental
(3690 filas) y teniendo como variables (columnas) los
datos físicos de cada archivo del lote experimental, esto
es, cantidad de nodos, cantidad de arcos, porcentaje de
adyacencia, cantidad de arcos, grado máximo, grado
mínimo, promedio entre el grado máximo y grado
mínimo, densidad, densidad al cuadrado, densidad al
cubo, grado máximo multiplicado por la densidad, y
muchas combinaciones más, la variable objetivo o clase
es el menor número obtenido en la coloración. Obsérvese
que muchas variables son recalculables a partir de otras,
pero lo que interesa aquí, es encontrar “la mejor
variable” para predecir a la variable objetivo, así es que

3. en el trabajo, se probaron muchas otras variables que
se fueron dejando de lado a medida que se demostraba
que eran no significativas. Se utilizaron dos programa
específicos para el estudio del análisis de regresión
lineal: SPSS® y JMP®.
Figura 1: cotas superiores halladas para cada grafo del
lote experimental luego de ejecutar el algoritmo de
Powell diez mil veces por cada grafo.
En la Figura 1, se muestra como se distribuyeron
los resultados de las diez mil corridas para cada
archivo del lote experimental. Puede observarse que en
el rango del 10% de adyacencia al 80% de adyacencia
los resultados se mantienen aproximadamente lineales
con respecto al porcentaje de adyacencia y cantidad de
nodos. Mientras que a valores superiores al 80% de
adyacencia, los valores se disparan notablemente.
3. Resultados
Primeramente se encontró un Modelo Lineal
Simple, fácil de usar y calcular. Para ello, se analizaron
numerosas variables. El análisis visual de las gráficas de
dispersión, probó que el grado mínimo de un grafo
aleatorio es un buen estimador para el rango de valores:
0,01 ≤ p ≤ 0,80 y 100 ≤ N ≤500. El Modelo Lineal
Simple (MLS) hallado para ese rango de valores es:
estimación(MLS) de χ (G) =
6,198 + 0,302 * grado mínimo
Este modelo tiene un valor para el estadístico de R
cuadrado de 0,991; con un error estándar de la
estimación de 2,321. Los residuos mínimos y máximos
son: -7,89 y 9,40 respectivamente y el residuo medio es
igual a cero. El p-value es igual 0. En la figura 2, se
muestra el gráfico de dispersión y la recta obtenida y en
la figura 3, se muestra como se distribuyen los residuos
de la estimación. Lo anterior indica que se trata de un
muy buen ajuste. Este Modelo predice, por ejemplo, que
un grafo aleatorio G(N,p) con N, p dentro del rango de
valores especificado, su número cromático está acotado
por:
χ (G) ≤ estimación(MLS) + 3*error estándar
donde la estimación se obtiene aplicando el modelo y
el error estándar es 2,321; Se debe sumar a la estimación
del Modelo, el triple de su error estándar para obtener
una cota superior confiable al 99,74 %. Todo esto,
gracias a que se demostró que los residuos siguen una
distribución Normal. Formalmente se expresa como una
probabilidad:
P[ χ (G) ≤ estimación (MLS) + 3*error estándar] ≈ 0,9974
Por ejemplo: Si se quiere obtener la cota superior de un
grafo G(N,p) con N y p dentro del rango de valores
especificado, y cuyo grado mínimo sea igual a 78, se
calcula:
estimación(MLS) + 3*error estándar = 29,75 + 6,96 = 36,71
o sea: P[ χ (G) ≤ 36,71] ≈ 0,9974
Por el contrario, la probabilidad de que dicho grafo tenga
un número cromático superior a los 36 colores es de
0.0026, esto es de: (1 – 0.9974). En el lote experimental,
se tienen 22 casos con grado mínimo igual a 78 y todos
cumplen con la desigualdad ≤ 36.
Figura 2. Gráfico de dispersión y la recta que lo ajusta.
El resultado queda expresado en forma independiente a
los valores de N y p, y se observan casos donde, con
distintos valores de N y de p, si su grado mínimo
coincide, la estimación es aproximadamente la misma
para todos. Todos los supuestos del Modelo lineal simple
se cumplen menos el de Durbin-Watson (1951) ya que
el valor de este estadístico da 0,86 y esto indica que los
residuos no son totalmente independientes [7,8].
Efectivamente, los errores se hacen más grandes a
medida que aumenta la variable dependiente. A pesar
de este incumplimiento, en el lote experimental se
verificó que, solamente en 59 casos de los 3239 casos,
la estimación más 3*error estándar es inferior a la

4. cantidad de colores obtenida con el algoritmo, esto
represente que solamente el 0,018% de los casos
sobrepasaron la cota superior propuesta. En la práctica,
no hace falta sumar tres veces su error estándar, pues
como ya se dijo, el algoritmo usado para construir el
lote experimental es básico y existen muchos algoritmos
que usan técnicas avanzadas y producen resultados que
se encuentran muy por debajo de los utilizados aquí.
Figura 3. Histograma de los de los residuos para el
modelo regresión Lineal Simple
Para mejorar el error de la estimación, se halló un
segundo Modelo Lineal de Regresión Múltiple (MLRM):
estimación(MLRM) de χ (G) =
donde: d = densidad y dgradoMax = d * grado_max
Obsérvese que en particular se trata de un modelo
polinómico cúbico, pero haciendo las transformaciones
triviales se puede escribir como un modelo Lineal
Múltiple [7]. Este modelo, da un mejor ajuste que el
modelo lineal simple para el rango de valores ya
considerado. El estadístico R cuadrado es de 0.999, y el
error estándar de la estimación es de 0,703. Los residuos
mínimos y máximos son de -3,707 y 3,378
respectivamente, con una media igual a cero. En la figura
4 se muestra como se distribuyen los residuos de la
estimación usando el Modelo de Regresión Lineal
Múltiple y en la figura 5, se muestra la gráfica de
probabilidad Normal. Esto demuestra que el Modelo
cumple el supuesto de Normalidad de los Residuos. El
estadístico Durbin-Watson que proporciona información
sobre el grado de independencia entre los residuos es
igual a 1,733; por lo tanto, se puede afirmar que el
Modelo cumple con el supuesto de Independencia de los
Residuos. Todo esto dentro del rango de valores ya
mencionado. Si se reemplaza el valor de d por el de
p, se obtiene una aproximación aceptable.
Figura 4. Histograma de los de los residuos para el
modelo regresión Múltiple
Análogamente a como se procedió en el MLS, se
tiene:
P[ χ (G) ≤ Estimación (MLRM) + 3*error estándar] ≈ 0,9974
Se verificó que en el lote experimental, solamente en 23
casos de los 3239 casos, la cota calculada con el Modelo
fue inferior a la cantidad de colores obtenida con el
algoritmo, esto represente que solamente el 0,007% de
los casos, sobrepasaron la cota superior propuesta.
Por ejemplo, si tenemos un grafo aleatorio
G(N=300,p=0.4) y con grado máximo igual a 96, su
número cromático está acotado superiormente, con una
probabilidad de 0.9974 por 35 colores:
χ (G) ≤ estimación(MLRM) + 3 * error estándar = 35,78
En este caso, la estimación aplicada al Modelo es 33,68
y el error estándar es igual a 0,703. En la Tabla 2, tercera
fila, se muestra este caso, que pertenece al lote
experimental. Obsérvese que la cota del Teorema de
Brooks, para este caso, da 147 (su grado máximo), y
queda lejos de la cota obtenida aplicando el Modelo.
Nuevamente es oportuno aclarar que, en la práctica, no
hace falta sumar tres veces su error estándar por las
mismas razones ya mencionadas.
Una limitante del modelo, era que su validez estaba
solamente dentro del rango de valores específico. Para
validar su poder de predicción fuera de ese rango, se
construyó otro lote experimental compuesto por 187
grafos aleatorios que van desde 0 ≤ p ≤ 0,80 y 500 ≤ N
≤1000, con paso de 0.05 para p y de 50 para N. A estos
grafos se les ejecuto el mismo algoritmo que a los
anteriores y también con 10000 corridas, para cada
grafo. Al nuevo conjunto de datos obtenido, se le
aplicaron ambos modelos, sin aplicar la suma del error
estándar. En el caso del Modelo lineal de regresión

5. simple (MLRS), las estadísticas descriptivas de los
residuos fueron: cantidad de casos= 176; mínimo valor:
-9,7; máximo valor: 26,16; suma= 1353; media= 7,69;
Figura 5. Gráfico P-P, que prueba visualmente la
distribución Normal de los residuos
desviación estándar= 7,51. Es decir, que los residuos no
siguen una distribución Normal ni su media es cero. Sin
embargo, puede notarse que como cota superior es
válida, pues los residuos están desplazados hacia los
valores positivos, esto es porque la pendiente verdadera
para este nuevo rango de valores es de 0.281 o sea que es
menor que la del MLRS usado. En el caso del Modelo
Multilineal, las estadísticas descriptivas de los residuos
dan mejores resultados: cantidad de casos= 176; mínimo
valor: -2,9; máximo valor: 11,76; suma= 479; media= -
2,72; desviación estándar= 2,63. Se observa también que
los residuos no siguen la distribución Normal, pero su
media está desplazada hacia los valores positivos, por
este motivo, se puede afirmar que el Modelo sigue
siendo aceptablemente bueno en el nuevo rango de
valores, aunque se observe cierta degradación en el
ajuste del modelo. Otra prueba, realizada para ambos
modelos fue testearlos con los datos experimentales
documentados en el trabajo de Davis Johnson [11]. En
dicho trabajo, en las tablas I, II,V y VI, se muestran
resultados experimentales para grafos aleatorios de 125,
250, 500 y 1000 nodos con p=0,1; 0,5 y 0,9; los
resultados obtenidos en aquel experimento, para el
algoritmo RLF (Recursive Larges First) son bastante
semejantes a los mostrados en el presente trabajo para el
grafo de 125 nodos donde la diferencia es de dos colores
y se agranda la diferencia para N=500 (67 en el
presente trabajo vs. 49). Para otros algoritmos más
eficaces usados en [11], la diferencia es aún mayor.
El grado máximo se calculó aproximadamente a partir de
los datos del lote experimental. Aplicando el MRLM se
obtiene que en todos los casos se cumplen las cotas
propuestas, incluso los cuatro casos que corresponden a
p=0.9 que está fuera del rango aplicable al modelo por
no haber sido tenido en cuenta en el cálculo del Modelo.
En todos los casos, se obtuvo una cota superior muy
alejada de la cota del Teorema de Brook.
4. Conclusiones
Ambos Modelos de Regresión Lineal presentados,
predicen una mejor cota superior del número cromático
de grafos aleatorios que la del Teorema de Brooks. En la
tabla 2, se muestran los residuos para ambos modelos
para un conjunto de grafos sacados del primer lote
experimental, se puede observar que los residuos para el
MLRM varían entre uno y cero, mientras que la cota de
Brooks (el grado máximo) en todos los casos, toma
valores muy alejados de los resultados obtenidos con el
algoritmo de Powell modificado, esto origina residuos
muy grandes y por ese motivo, la cota de Brooks, no es
una buena cota ni tiene utilidad práctica. La limitante de
ambos modelos, es que su validez está dentro de un
rango de valores. El Modelo Lineal de Regresión
Simple, es más limitado que el MLRM, tanto en la
calidad de la cota, medida con el error estándar de las
estimaciones, como en la robustez frente a cambios en
los rangos de valores de p y N. En contraparte, el MLS
tiene la simpleza de poder predecir la cota superior como
la tercera parte de su grado mínimo aproximadamente.
Los Modelos presentados, se hicieron a partir de
coloraciones encontradas con un algoritmo simple, aun
cuando se hayan corrido miles de veces, es conocido
que existen otras soluciones que usen menos colores.
Así es de esperar, que las cotas que dan ambos modelos
sean holgadas y se podrían mejorar. Esta partida de
malas coloraciones puede estar ocultando una naturaleza
“más lineal” de la figura 1, pues la diferencias van
creciendo con el valor de p. El estudio realizado se
puede extender fácilmente a los grafos regulares (grado
mínimo = grado máximo) ya que estos tiene un
comportamiento parecido a los grafos aleatorios por el
motivo que cuando p aumenta, el grafo aleatorio tiende
a ser muy regular. El análisis de regresión multivariante
puede ser una herramienta útil para buscar cotas para
otros algoritmos NP-completos, más en los casos donde
no importa los detalles del resultado final sino solamente

6. una estimación de su resultado óptimo. Queda abierta la
tarea de encontrar otro Modelo que abarque rangos de
valores mayores a los estudiados y que parta de un
conjunto de datos donde la variable objetivo sea el
resultado de la aplicación de algoritmos avanzados.
Agradecimientos
A las autoridades de la Universidad Nacional del
Oeste y en especial al Mg. Antonio Fotti, por facilitar la
tarea de investigación.
Referencias
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[11] Johnson David – Aragon C. Optimization by simulated
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[12] Douglas West. Introduction to Graph Theory. Prentice
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Journal of Comuting and Information Technology – CIT 8,
2000, 2, 131-136. -
http://www.researchgate.net/publication/47397330_How_Well
_Can_Ants_Color_Grap
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