Este documento describe las características y aplicaciones de diferentes funciones matemáticas como funciones trigonométricas, cuadráticas, afines, logarítmicas y exponenciales. Explica que las funciones son relaciones entre cantidades que se usan para resolver problemas en diversas áreas como ciencias, ingeniería y vida cotidiana. También provee ejemplos específicos de cómo se aplican funciones afines, cuadráticas y logarítmicas en economía, física, geología, astronomía y química.

1. 1. Introducción
En el presente trabajo, se detallarán las características de las
diferentes funciones matemáticas y susaplicaciones sobre las distintas ciencias y la vida
cotidiana.
Las funciones a las que nos dedicaremos son las siguientes:
Función Trigonométrica
Función Cuadrática
Función Afín (Lineal)
Función Logarítmica
Función Exponencial
Función Polinómica
El principal objetivo de esta monografía es poder entender el uso de las funciones y así poder
utilizarlas frente a los problemas diarios. El método deinvestigación es la consulta bibliográfica
y el análisis de la misma.
2. Funciones
Una función, en matemáticas, es el término usado para indicar la relación
o correspondencia entre dos o más cantidades. El término función fue usado por primera vez
en 1637 por el matemático francés René Descartes para designar una potencia xn de la variable
x. En 1694 el matemático alemán Gottfried Wilhelm Leibniz utilizó el término para referirse a
varios aspectos de una curva, como su pendiente. Hasta recientemente, su uso más
generalizado ha sido el definido en 1829 por el matemático alemán, J.P.G. Lejeune-Dirichlet
(1805-1859), quien escribió: "Una variable es un símbolo que representa un número dentro de
un conjunto de ello. Dos variables X y Y están asociadas de tal forma que al asignar un valor a
X entonces, por alguna regla o correspondencia, se asigna automáticamente un valor a Y, se
dice que Y es una función (unívoca) de X. La variable X, a la que se asignan libremente valores,
se llama variable independiente, mientras que la variable Y, cuyos valores dependen de la X, se
llama variables dependientes. Los valores permitidos de X constituyen
el dominio de definición de la función y los valores que toma Y constituye su recorrido".
Una función f de A en B es una relación que le hace corresponder a cada elemento x E A uno y
solo un elemento y E B, llamado imagen de x por f, que se escribe y=f (x). En símbolos, f: A à B
Es decir que para que una relación de un conjunto A en otro B sea función, debe cumplir dos
condiciones, a saber:
Todo elemento del conjunto de partida A debe tener imagen.
La imagen de cada elemento x E A debe ser única. Es decir, ningún elemento del dominio
puede tener más de una imagen.
El conjunto formado por todos los elementos de B que son imagen de algún elemento del
dominio se denomina conjunto imagen o recorrido de f.
Observaciones:
En una función f: Aà B todo elemento x E A tiene una y solo una imagen y E B.
Un elemento y E B puede:
No ser imagen de ningún elemento x E A
Ser imagen de un elemento x E A
Ser imagen de varios elementos x E A.
La relación inversa f-1 de una función f puede no ser una función.

2. Formas de expresión de una función
Mediante el uso de tablas:
X Y
-1 1
0 0
½ ¼
1 1
2 4
Gráficamente: cabe aclarar que llamamos gráfica de una función real de variable real al
conjunto de puntos del plano que referidos a un sistema de ejescartesianos ortogonales tienen
coordenadas [x, f (x)] donde x E A
3. Aplicaciones de las funciones reales
Generalmente se hace uso de las funciones reales, (aún cuando el ser humano no se da
cuenta), en el manejo de cifras numéricas en correspondencia con otra, debido a que se está
usando subconjuntos de los números reales. Las funciones son de mucho valor y utilidad para
resolver problemas de la vida diaria, problemas de finanzas, de economía, de estadística,
de ingeniería, de medicina, de química y física, de astronomía, de geología, y de cualquier área
social donde haya que relacionar variables.
Cuando se va al mercado o a cualquier centro comercial, siempre se relaciona un conjunto de
determinados objetos o productos alimenticios, con elcosto en pesos para así saber cuánto
podemos comprar; si lo llevamos al plano, podemos escribir esta correspondencia en una
ecuación de función "x" como el precio y la cantidad de producto como "y".
Función Afín
Se puede aplicar en muchas situaciones, por ejemplo en economía (uso de la oferta y
la demanda) los ecónomos se basan en la linealidad de esta función y las leyes de la oferta y la
demanda son dos de las relaciones fundamentales en cualquier análisis económico. Por
ejemplo, si un consumidordesea adquirir cualquier producto, este depende del precio en que
el artículo esté disponible. Una relación que especifique la cantidad de un artículo
determinado que los consumidores estén dispuestos a comprar, a varios niveles de precios, se
denomina ley de demanda. La ley más simple es una relación del tipo P= mx + b, donde P es el
precio por unidad del artículo y m y b son constantes.
Muchas son las aplicaciones de la función lineal en el caso de la medicina. Ciertas situaciones
requieren del uso de ecuaciones lineales para el entendimiento de ciertos fenómenos. Un
ejemplo es el resultado del experimento psicológico de Stenberg, sobre recuperación
de información.
Esta dada por la formula y=mx+b donde m y b son números reales llamados pendiente y
ordenada al origen respectivamente. Su gráfica es una recta.

3. Dada la ecuación y=mx+b:
Si m=0, entonces y=b. Es decir, se obtiene la función constante, cuya gráfica es una recta
paralela al eje x que pasa por el punto (0,b).
Si b=0, entonces y=mx. Esta ecuación tiene por gráfica una recta que pasa por el origen de
coordenadas (0,0).
Función Cuadrática
El estudio de las funciones cuadráticas resulta de interés no sólo en matemática sino también
en física y en otras áreas del conocimiento como por ejemplo: la trayectoria de una pelota
lanzada al aire, la trayectoria que describe un río al caer desde lo alto de una montaña, la forma
que toma una cuerda floja sobre la cual se desplaza un equilibrista, el recorrido desde el origen,
con respecto al tiempo transcurrido, cuando una partícula es lanzada con una velocidad inicial.
Puede ser aplicada en la ingeniería civil, para resolver problemas específicos tomando como
punto de apoyo la ecuación de segundo grado, en laconstrucción de puentes colgantes que se
encuentran suspendidos en uno de los cables amarrados a dos torres.
Los biólogos utilizan las funciones cuadráticas para estudiar los efectos nutricionales de los
organismos.
Existen fenómenos físicos que el hombre a través de la historia ha tratado de explicarse.
Muchos hombres de ciencias han utilizado como herramienta principal para realizar sus
cálculos la ecuación cuadrática. Como ejemplo palpable, podemos mencionar que la altura S
de una partícula lanzada verticalmente hacia arriba desde el suelo está dada por S= V0t - ½
gt2, donde S es la altura, V0 es la velocidad inicial de la partícula, g es la constante de gravedad
y t es el tiempo.
La función cuadrática responde a la formula: y= a x2 + b x + c con a =/ 0. Su gráfica es una
curva llamada parábola cuyas características son:
Si a es mayor a 0 es cóncava y admite un mínimo. Si a es menor a 0 es convexa y admite un
máximo.
Vértice: Puntos de la curva donde la función alcanza el máximo o el mínimo.
Eje de simetría: x = xv.
intersección con el eje y.
Intersecciones con el eje x: se obtiene resolviendo la ecuación de segundo grado.
Función Logarítmica
La geología como ciencia requiere del planteamiento de ecuaciones logarítmicas para
el cálculo de la intensidad de un evento, tal como es el caso de un sismo. La magnitud R de un
terremoto está definida como R= Log (A/A0) en la escala de Richter, donde A es la intensidad y
A0 es una constante. (A es la amplitud de un sismógrafo estándar, que está a 100 kilómetros
del epicentro del terremoto).
Los astrónomos para determinar una magnitud estelar de una estrella o planeta utilizan ciertos
cálculos de carácter logarítmico. La ecuación logarítmica les permite determinar la brillantez y
la magnitud.
En la física la función logarítmica tiene muchas aplicaciones entre las cuales se puede
mencionar el cálculo del volumen "L" en decibeles de un sólido, para el cual se emplea la
siguiente ecuación L= 10 . Log (I/I0) , donde I es la intensidad del sonido (la energía cayendo
en una unidad de área por segundo), I0 es la intensidad de sonido más baja que
el oído humano puede oír (llamado umbral auditivo). Una conversación en voz alta tiene
un ruidode fondo de 65 decibeles.
El logaritmo en base b de un número a es igual a N, si la base b elevada a N da como resultado

4. a.
Logb a = N si bN = a
Notación logarítmica
Notación exponencial
4. Consecuencias de la definición de logaritmo
1. El logaritmo de 1, en cualquier base, es 0: logb 1 = 0, ya que b0 = 1
2. El logaritmo de un número igual a la base es 1: logb a = 1, ya que b1 = a
3. El logaritmo de una potencia cuya base es igual a la base del logaritmo es igual al exponente
de la potencia: logb am = m, ya que bm = am
4. No existe el logaritmo en cualquier base de un número negativo o cero.
5. El logaritmo de un número N mayor que cero y menor que 1, estrictamente, 0<N<1, es
negativo si la base b del logaritmo es b>1.
6. El logaritmo de un número N mayor que cero y menor que 1, estrictamente, 0<N<1, es
positivo si la base b del logaritmo es b<1.
7. El logaritmo de un número N>1 es positivo si la base es b>1.
8. El logaritmo de un número N>1 es negativo si la base es b<1.
Propiedades de los logaritmo
Logaritmo de un producto
El logaritmo de un producto de dos números es igual a la suma de los logaritmos de cada uno
de ellos.
logb(X · Y)= logb X + logb Y
Logaritmo de un cociente
El logaritmo de un cociente de dos números es igual al logaritmo del numerador menos el
logaritmo del denominador.
Logaritmo de una potencia
El logaritmo de una potencia es igual al exponente multiplicado por el logaritmo de la base de
la potencia.
loga Xn = n loga X
Logaritmo de una raíz
El logaritmo de una raíz es igual al logaritmo del radicando dividido entre el índice de la raíz.
Función Exponencial
Se aplica a la química y física. En algunos elementos radioactivos son de tal naturaleza que su
cantidad disminuye con respecto al tiempo, se cumple la ley exponencial y se dice que el
elemento decrece o decae.
En la química, el PH de una sustancia se define como : H = -Log H+ , donde H+ es la
concentración de iones de una sustancia expresada en moles por litro. El PH del agua destilada
es 7. Una sustancia con un PH menor que 7, se dice que es ácida, mientras que su PH es mayor

5. que 7, se dice que es base. Los ambientalistas miden constantemente el PH del agua de lluvia
debido al efecto dañino de la "lluvia ácida" que se origina por las emisiones de dióxido de
azufre de las fábricas y plantas eléctricas que trabajan con carbón.
Otras de la aplicación de las funciones exponencial fue con el descubrimiento del Polonio
(elemento radioactivo) descubierto por Marie Curie en 1 898 decae exponencialmente de
acuerdo a la función: m = m0 e-0,005t, donde m0 es la masa inicial del Polonio, m es la masa
al cabo de un tiempo y t es el tiempo en días.
El crecimiento poblacional (Demografía) de una región o población en años, parece estar sobre
una curva de característica exponencial que sugiere elmodelo matemático dado por: N = N0
ekt, donde N0 es la población inicial, t es el tiempo transcurrido en años y k es una constante.
(En 1798, el economista inglés Thomas Malthus observó que la relación N = N0 ekt era válida
para determinar el crecimiento de la población mundial y estableció, además, que como la
cantidad de alimentos crecía de manera lineal, el mundo no podía resolver el problema del
hambre. Esta lúgubre predicción ha tenido un impacto tan importante en
el pensamiento económico, que el modelo exponencial de crecimiento poblacional se conoce
con el nombre de modelo Malthusiano).
En la medicina, muchos medicamentos son utilizados para el cuerpo humano, de manera que
la cantidad presente sigue una ley exponencial de disminución.
En Matemática Financiera (Administración), para el cálculo de interés compuesto se emplean
las funciones exponenciales. Por ejemplo: supongamos que se tiene cierta cantidad inicial
de dinero P0 que se coloca a un interés anual del i%. Al final del primer año se tendrá
el capital inicial más lo que se ha ganado de interés P0i, si este proceso se continúa por n años,
la expresión que se obtiene está dada por: P= P0 (1+i)n, donde P es el capital final si los
intereses se acumulan en un período de tiempo, P0 es el capital inicial, i es la tasa de interés
(anual, mensual, diaria) y n es el período de tiempo (año, meses, días, etc.).
Se llama función exponencial de base a, siendo a un número real positivo y distinto de 1, a la
función f(x) = expa x y se lee «exponencial en base a de x».
Propiedades de la función exponencial y = ax
1a. Para x = 0, la función toma el valor 1: f(0) = a0 = 1
2a. Para x = 1, la función toma el valor a: f(1) = a1 = a
3a. La función es positiva para cualquier valor de x: f(x )>0.
Esto es debido a que la base de la potencia, a, es positiva, y cualquier potencia de base positiva
da como resultado un número positivo.
4a . Si la base de la potencia es mayor que 1, a>1, la función es creciente.
5a. Si la base de la potencia es menor que 1, a<1, la función es decreciente.
Ecuaciones Exponenciales
Las ecuaciones en las que la incógnita aparece como exponente son ecuaciones exponenciales.
No hay ninguna fórmula general que indique cómo resolver cualquier ecuación exponencial.
Sólo la práctica ayuda a decidir, en cada caso, qué camino tomar.
Para resolver estas ecuaciones hay que tener presente algunos resultados y propiedades:
1. ax = ay x=y
Conviene, por tanto, siempre que sea posible, expresar los dos miembros de la ecuación como
potencias de la misma base.

6. 5. Funciones Trigonométricas
Las funciones trigonométricas son valores sin unidades que dependen de la magnitud de un
ángulo. Se dice que un ángulo situado en un plano de coordenadas rectangulares está en su
posición normal si su vértice coincide con el origen y su lado inicial coincide con la parte
positiva del eje x.
En la figura 3, el punto P está situado en una línea recta que pasa por el origen y que forma un
ángulo q con la parte positiva del eje x. Las coordenadas x e y pueden ser positivas o negativas
según el cuadrante (I, II, III, IV) en que se encuentre el punto P; x será cero si el punto P está
en el eje y o y será cero si P está en el eje x. La distancia r entre el punto y el origen es siempre
positiva e igual a ¶x2+ y2, aplicando el teorema de Pitágoras.
Las seis funciones trigonométricas más utilizadas se definen de la siguiente manera:
Como la x y la y son iguales si se añaden 2p radianes al ángulo —es decir, si se añaden 360°— es
evidente que sen (q + 2p) = sen q. Lo mismo ocurre con las otras cinco funciones. Dadas sus
respectivas definiciones, tres funciones son las inversas de las otras tres, es decir,
Si el punto P, de la definición de función trigonométrica, se encuentra en el eje y, la x es cero;
por tanto, puesto que la división por cero no está definida en el conjunto de los números reales,
la tangente y la secante de esos ángulos, como 90°, 270° y -270° no están definidas. Si el punto
P está en el eje x, la y es 0; en este caso, la cotangente y la cosecante de esos ángulos, como 0°,
180° y -180° tampoco está definida. Todos los ángulos tienen seno y coseno, pues r no puede
ser igual a 0.
Como r es siempre mayor o igual que la x o la y, los valores del sen q y cos q varían entre -1 y
+1. La tg q y la cotg q son ilimitadas, y pueden tener cualquier valor real. La sec q y la cosec q
pueden ser mayor o igual que +1 o menor o igual que -1.
Como se ha podido ver en los anteriores apartados, el valor de las funciones trigonométricas no
depende de la longitud de r, pues las proporciones son sólo función del ángulo.

7. Si q es uno de los ángulos agudos de un triángulo rectángulo (figura 4), las definiciones de las
funciones trigonométricas dadas más arriba se pueden aplicar a q como se explica a
continuación. Si el vértice A estuviera situado en la intersección de los ejes x e y de la figura 3,
si AC descansara sobre la parte positiva del eje x y si B es el punto P de manera que AB = AP =
r, entonces el sen q = y/r = a/c, y así sucesivamente:
Los valores numéricos de las funciones trigonométricas de ciertos ángulos se pueden obtener
con facilidad. Por ejemplo, en un triángulo rectángulo isósceles, se tiene que q = 45 ° y que b =
a, y además se sabe, por el Teorema de Pitágoras, que c2= b2+ a2. De aquí se deduce que c2=
2a2 o que c = a¶2. Por tanto
Los valores numéricos de las funciones trigonométricas de un ángulo cualquiera se pueden
hallar de forma aproximada
dibujando el ángulo en su posición normal utilizando la regla, el compás y el transportador de
ángulos. Si se miden x, y y r es fácil calcular las proporciones deseadas. En realidad, basta con
calcular los valores del sen q y del cos q para unos cuantos ángulos específicos, pues los valores
de los demás ángulos y las demás funciones se calculan utilizando las igualdades que se
mencionan en el siguiente apartado.
Las razones trigonométricas se pueden utilizar, fundamentalmente, para resolver triángulos,
así como para resolver diferentes situaciones problemáticas en otras ciencias.
En Topografía se puede determinar la altura de un edificio, teniendo la base y el ángulo. Por
ejemplo, la torre de Pisa, fue construida sobre una base de arena poco consistente; debido a ello
ésta se aparta cada vez más de su vertical. Originalmente tenía una altura de 54,6m,
aproximadamente. En 1990 un observador situado a 46 m del centro de la base de la torre,
determinó un ángulo de elevación de 54º a la punta de la torre, el observador para determinar
al desplazamiento (hundimiento en el suelo es muy pequeño, comparado con la altura de la

8. torre) aplicó la ley del seno para determinar el ángulo de inclinación y la ley del coseno para
determinar el desplazamiento de la torre.
En Óptica, en las dispersiones en prisma o cuando un rayo de luz atraviesa una placa de cierto
material.
En la Aviación, si dos aviones parten de una base aérea a la misma velocidad formando un
ángulo y siguiendo en trayectorias rectas, se puede determinar la distancia que se encuentran
entre los mismos.
El capitán de un barco puede determinar el rumbo equivocado del barco, siempre en línea
recta, ordenando modificar el rumbo en grado para dirigirse directamente al punto destino
correcto.
Funciones Polinómicas
Expresión matemática formada por una suma de productos de números reales (o más
generalmente de números de cualquier anillo), por potencias enteras de una variable
generalmente representada por la letra x; es decir, un polinomio es una expresión del tipo P(x)
= a + bx + cx2 + dx3 + ex4..., en la que la mayor potencia de la variable se la llama grado del
polinomio.
Un polinomio se puede también interpretar como una función real de variable real, en la que la
x es una variable numérica de la función; así, por ej., P(x) = 3x + 2, sería la función que asigna
al valor 1, P(1) + 3.1 +2 = 5, etc. De esta manera (interpretando las x como variables numéricas)
se pueden generalizar las operaciones definidas en los números reales a operaciones de
polinomios, que quedan entonces definidas como:
Suma de polinomios: Se suman todos los términos aplicando axn + bxn = (a + b)xn; así, por ej.,
(3x2 + 4x + 2) + (5x – 1) = 3x2 + (4 + 5) x + (2-1) = 3x2 + 9x + 1.
Producto de un número por un polinomio: Se multiplican todos los términos por el número.
Resta de Polinomios: Para restar polinomios se multiplica el segundo por –1 y se suman.
Producto de Polinomios: Se multiplica cada uno de los términos de un polinomio por todos los
del otro [teniendo en cuenta que (axn) . (bxm) = abxn+m], y se suman los resultantes
División de polinomios: generalmente es irrealizable (su resultado no es un polinomio).
P. Booleano: expresión simbólica constituida por la aplicación repetida de algunas operaciones
sobre un retículo distributivo complementado.
P. Característico: Nombre que recibe, para una matriz A, el determinante de A – xl, donde / es
la matriz identidad. Es de gran importancia dado que esta asociado a todas
las matrices semejantes y es útil para reducirlas a su forma canónica.
P. Formal: Sucesión indefinida de elementos de un anillo A en la que a partir de un cierto lugar
todos los términos son nulos. Sus términos se numeran comenzando por el índice 0, existiendo
por tanto un desfase de una unidad entre el índice que caracteriza un término y su orden.
P. Homogéneo: Aquel cuyos sumandos son todos de igual grado respecto del conjunto de las
variables, por lo que un polinomios de estas características constituye una función homogénea
cuyo grado de homogeneidad coincide con el grado mencionado.
P. Irreducible: Llamado también polinomio primo, es aquel P del anillo k que no puede
descomponerse en producto de polinomios de grado inferior pertenecientes a k.
P. Nulo: Aquel cuyos coeficientes son todos nulos.
P. Primitivo: El que tiene sus coeficientes primos entre sí.
6. Conclusiones

9. Tras el estudio de las nombradas funciones matemáticas, podemos concluir en que son muy
importantes tanto para las matemáticas como para muchas otras ciencias, en especial la física y
la química.
El objetivo planteado en la introducción se cumplió, ya que se pudo observar a lo largo
del desarrollo los diferentes usos de las funciones en la vida diaria y, al haber también
estudiado las ecuaciones matemáticas, nos queda un modelo que podemos aplicar frente a
cierta problemática.
Creemos que el resultado obtenido tras el trabajo de investigación fue positivo, ya que se
cumple la consiga en cuanto a la información teórica, y creemos que también
esta monografía nos será útil en la practica.
7. Bibliografía
Enciclopedia Microsoft Encarta 1999
Internet: www.altavista.com; www.yahoo.com.ar
Análisis matemático I, Notas de Teoría y práctica; 2da edición.
Enciclopedia Clarín, Tomo 20
Resumen
Teniendo como consigna la investigación de las funciones matemáticas, comenzamos a
interiorizarnos en el tema buscando la definición de la palabra función. Luego, nos inclinamos
sobre ciertas funciones matemáticas específicas, tales como la función trigonométrica,
cuadrática, logarítmica, exponencial, afín y polinómica.
Para cada una de las funciones, reconocimos sus aplicaciones sobre otras ciencias y además
aprendimos los modelos de ecuaciones matemáticas, que nos permiten resolver cualquier
situación que se nos presente en la vida diaria.
Obtuvimos un resultado muy positivo al finalizar la monografía, debido a que incorporamos
gran cantidad de nuevos conocimientos y también descubrimos una nueva manera de enfrentar
problemáticas en campos donde creíamos que la matemática era inútil.
Desde el punto de vista personal, creemos que las funciones matemáticas han facilitado la labor
en muchas ciencias y son sumamente necesarias para obtener resultados precisos para cada
situación.
Función matemática
No debe confundirse con Función (informática).

10. En la imagen se muestra una función entre un conjunto de polígonos y un conjunto de números. A cada polígono le
corresponde su número de lados.
Una función vista como una «caja negra», que transforma los valores u objetos de «entrada» en los valores u
objetos de «salida»
En matemáticas, se dice que una magnitud o cantidad es función de otra si el valor de la primera
depende exclusivamente del valor de la segunda. Por ejemplo el área A de un círculo es función de
2
su radio r: el valor del área esproporcional al cuadrado del radio, A = π·r . Del mismo modo, la
duración T de un viaje de tren entre dos ciudades separadas por una distancia d de 150 km
depende de la velocidad v a la que este se desplace: la duración es inversamente proporcional a la
velocidad, T = d / v. A la primera magnitud (el área, la duración) se la denomina variable
dependiente, y la cantidad de la que depende (el radio, la velocidad) es la variable independiente.
De manera más abstracta, el concepto general de función, aplicación o mapeo se refiere en
matemáticas a una regla que asigna a cada elemento de un primer conjunto un único elemento de
un segundo conjunto. Por ejemplo, cadanúmero entero posee un único cuadrado, que resulta ser
un número natural (incluyendo el cero):
... −2 → +4, −1 → +1, ±0 → ±0,
+1 → +1, +2 → +4, +3 → +9, ...
Esta asignación constituye una función entre el conjunto de los números enteros Z y el conjunto de
los números naturales N. Aunque las funciones que manipulan números son las más conocidas, no

11. son el único ejemplo: puede imaginarse una función que a cada palabra del español le asigne
su letra inicial:
..., Estación → E, Museo → M, Arroyo → A, Rosa → R, Avión → A, ...
Esta es una función entre el conjunto de las palabras del español y el conjunto de las letras
del alfabeto español.
La manera habitual de denotar una función f es:
f: A → B
a → f(a),
donde A es el dominio de la función f, su primer conjunto o conjunto de partida; e B es
el codominio de f, su segundo conjunto o conjunto de llegada. Por f(a) se denota la regla
o algoritmo para obtener la imagen de un cierto objeto arbitrario adel dominio A, es decir,
el (único) objeto de B que le corresponde. En ocasiones esta expresión es suficiente para
especificar la función por completo, infiriendo el dominio y codominio por el contexto. En el
ejemplo anterior, las funciones «cuadrado» e «inicial», llámeseles f y g, se denotarían
entonces como:
f: Z → N
2 2
k → k , o sencillamente f(k) = k ;
g: V → A
p → Inicial de p;
si se conviene V = {Palabras del español} y A = {Alfabeto español}.
Una función puede representarse de diversas formas: mediante el citado
algoritmo para obtener la imagen de cada elemento, mediante una tabla
de valores que empareje cada valor de la variable independiente con su
imagen —como las mostradas arriba—, o como una gráfica que dé una
imagen de la función.
Índice
[ocultar]
1 Historia
2 Introducción
3 Definición
o 3.1 Funciones con múltiples variables

12. o 3.2 Notación. Nomenclatura
o 3.3 Imagen e imagen inversa
o 3.4 Igualdad de funciones
4 Funciones inyectivas, suprayectivas y biyectivas
5 Álgebra de funciones
o 5.1 Composición de funciones
o 5.2 Función identidad
o 5.3 Función inversa
o 5.4 Restricción y extensión
6 Representación de funciones
7 Definición formal
8 Véase también
9 Referencias
10 Enlaces externos
Historia
Gottfried Leibniz acuñó el término «función» en en siglo XVII.
El concepto de función como un objeto matemático independiente,
susceptible de ser estudiado por sí solo, no apareció hasta los inicios
1
del cálculo en el siglo XVII. René Descartes, Isaac Newton y Gottfried
Leibniz establecieron la idea de función como dependencia entre dos
cantidades variables. Leibniz en particular acuñó los términos «función»,
«variable», «constante» y «parámetro». La notación f(x) fue utilizada por

13. primera vez por A.C. Clairaut, y por Leonhard Euler en su
2 3 4
obra Commentarii de San petersburgo en 1736.
Inicialmente, una función se identificaba a efectos prácticos con una
expresión analítica que permitía calcular sus valores. Sin embargo, esta
definición tenía algunas limitaciones: expresiones distintas pueden
arrojar los mismos valores, y no todas las «dependencias» entre dos
cantidades pueden expresarse de esta manera. En
1837 Dirichlet propuso la definición moderna de función numérica como
una correspondencia cualquiera entre dos conjuntos de números, que
asocia a cada número en el primer conjunto un único número del
segundo.
La intuición sobre el concepto de función también evolucionó.
Inicialmente la dependencia entre dos cantidades se imaginaba como
un proceso físico, de modo que su expresión algebraica capturaba la ley
física que correspondía a este. La tendencia a una mayor abstracción se
vio reforzada a medida que se encontraron ejemplos de funciones sin
expresión analítica o representación geométrica sencillas, o sin relación
con ningún fenómeno natural; y por los ejemplos «patológicos» como
funcionescontinuas sin derivada en ningún punto.
Durante el siglo XIX Julius Wilhelm Richard Dedekind, Karl
Weierstrass, Georg Cantor, partiendo de un estudio profundo de
los números reales, desarrollaron la teoría de funciones, siendo esta
[cita requerida]
teoría independiente del sistema de numeraciónempleado. Con
el desarrollo de la teoría de conjuntos, en los siglos XIX y XX surgió la
definición actual de función, como una correspondencia entre dos
conjuntos de objetos cualesquiera, no necesariamente
5
numéricos. También se asoció con otros conceptos vinculados como el
de relación binaria.
Introducción

14. Representación Gráfica de la trayectoria de un cuerpo acelerando a 0,66 m/s2.
Una función es un objeto matemático que se utiliza para expresar la
dependencia entre dos magnitudes, y puede presentarse a través de
varios aspectos complementarios. Un ejemplo habitual de función
numérica es la relación entre laposición y el tiempo en el movimiento de
un cuerpo.
2
Un móvil que se desplaza con una aceleración de 0,66 m/s recorre una
distancia d que está en función del tiempo transcurrido t. Se dice
que d es la variable dependiente de t, la variable independiente. Estas
magnitudes, calculadas a priori o medidas en un experimento, pueden
consignarse de varias maneras. (Se supone que el cuerpo parte en un
instante en el que se conviene que el tiempo es t = 0 s.)
Los valores de las variables pueden recogerse en una tabla, anotando la
distancia recorrida d en un cierto instante t, para varios momentos
distinos:
Tiempo t (s) Distancia d (m)
0,0 0,0
0,5 0,1

15. 1,0 0,3
1,5 0,7
2,0 1,3
2,5 2,0
La gráfica en la imagen es una manera equivalente de presentar la
misma información. Cada punto de la curva roja representa una pareja
de datos tiempo-distancia, utilizando la correspondencia entre puntos
y coordenadas del plano cartesiano. También puede utilizarse un regla
o algoritmo que dicte como se ha de calcular d a partir de t. En este caso,
la distancia que recorre un cuerpo con esta aceleración está dada por la
expresión:
2
d = 0,33 × t ,
donde las magnitudes se expresan unidades del SI. De estos tres
modos se refleja que existe una dependencia entre ambas
magnitudes.
Una función también puede reflejar la relación de una variable
dependiente con varias variables independientes. Si el cuerpo del
ejemplo se mueve con una aceleración constante pero
indeterminada a, la distancia recorrida es una función entonces
2
de a y t; en particular, d = a·t /2. Las funciones también se utilizan
para expresar la dependencia entre otros objetos cualesquiera, no
solo los números. Por ejemplo, existe una función que a
cada polígono le asigna su número de lados; o una función que a
cada día de la semana le asigna el siguiente:
Lunes → Martes, Martes → Miércoles,..., Domingo → Lunes
Definición
La definición general de función hace referencia a la
dependencia entre los elementos de dos conjuntos dados.

16. Dados dos conjuntos A y B,
una función (también aplicación o mapeo) entre ellos es una
asociación6 f que a cada elemento de A le asigna
un único elemento de B.
Se dice entonces que A es el dominio (también conjunto de
partida o conjunto inicial) de f y que B es
su codominio (también conjunto de llegada o conjunto final).
Un objeto o valor genérico a en el dominio A se denomina
la variable independiente; y un objeto genérico b del
dominio B es la variable dependiente. También se les llama
valores de entrada y de salida, respectivamente. Esta definición
es precisa, aunque en matemáticas se utiliza unadefinición
formal más rigurosa, que construye las funciones como un
objeto concreto.
Ejemplos
Todos los números reales tienen un cubo, por lo que existe
la función «cubo» que a cada número en el dominio R le
asigna su cubo en el codominio R.
Exceptuando al 0, todos los números reales tienen un
único inverso. Existe entonces la función «inverso» cuyo
dominio son los números reales no nulos R {0}, y con
codominio R.
Cada mamífero conocido se clasifica en un género,
como Homo, Sus o Loxodonta. Existe por tanto una función
«clasificación en géneros» que asigna a cada mamífero de
la colección M = {mamíferos conocidos} su género. El
codominio de «clasificación en géneros» es la colección G =
{géneros de Mammalia}.
Existe una función «área» que a cada triángulo del plano
(en la colección T de todos ellos, su dominio), le asigna
su área, un número real, luego su codominio es R.
En unas elecciones en las que cada votante pueda emitir un
único voto, existe una función «voto» que asigna a cada

17. elector el partido que elija. En la imagen se muestra un
conjunto de electores E y un conjunto de partidos P, y una
función entre ellos.
Funciones con múltiples variables
Existen muchos ejemplos de funciones que «necesitan dos
valores» para ser calculadas, como la función «tiempo de
viaje» T, que viene dada por el cociente entre la distancia d y la
velocidad media v: cada pareja de números reales positivos (una
distancia y una velocidad) tiene asociada un número real
positivo (el tiempo de viaje). Por tanto, una función puede tener
dos (o más) variables independientes.
La noción de función de múltiples variables independientes no
necesita de una definición específica separada de la de función
«ordinaria». La generalidad de la definición anterior, en la que se
contempla que el dominio sea un conjunto de objetos
matemáticos arbitrarios, permite omitir la especificación de dos
(o más) conjuntos de variables independientes, A1 y A2, por
ejemplo. En lugar de ello, el dominio se toma como el conjunto
de las parejas (a1, a2), con primera componente en A1 y segunda
componente en A2. Este conjunto se denomina el producto
cartesiano de A1y A2, y se denota por A1 × A2.
De este modo las dos variables independientes quedan reunidas
en un solo objeto. Por ejemplo, en el caso de la función T, su
+ +
dominio es el conjunto R × R , el conjunto de parejas de
números reales positivos. En el caso de más de dos variables, la
definición es la misma, usando un conjunto ordenado de
múltiples objetos, (a1,..., an), una n-tupla. También el caso de
múltiples variables dependientes se contempla de esta manera.
Por ejemplo, una función división puede tomar dos números
naturales como valores de entrada (dividendo y divisor) y arrojar
dos números naturales como valores de salida (cociente y
resto). Se dice entonces que esta función tiene como dominio y
codominio el conjunto N × N.
Notación. Nomenclatura

18. La notación habitual para presentar una función f con
dominio A y codominio B es:
También se dice que f es una función «de A a B» o
«entre A y B». El dominio de una función f se denota también
por dom(f), D(f), Df, etc. Por f(a) se resume la operación o regla
que permite obtener el elemento de B asociado a un
6
cierto a ∈ A, denominado la imagen de a.
Ejemplos
La función «cubo» puede denotarse ahora como f: R → R,
3
con f(x) = x para cada número real x.
La función «inverso» es g: R {0} → R, con g(x) = 1/x para
cada x real y no nulo.
La función «clasificación en géneros» puede escribirse
como γ: M → G, donde γ(m) = Género de m, para cada
mamífero conocido m.
La función «área» se puede denotar como A: T → R, y
entonces A(t) = Área de t = B · H/2, donde t es un triángulo
del plano, B su base, y H su altura.
La función «voto» se puede escribir como v: E → P,
donde v(a) = Partido que a votó, para cada votante a.
La notación utilizada puede ser un poco más laxa, como por
ejemplo «la función f(n) = √n». En dicha expresión no se
especifica que conjuntos se toman como dominio y codominio.
En general, estos vendrán dados por el contexto en el que se
especifique dicha función. En el caso de funciones de varias
variables (dos, por ejemplo), la imagen del par (a1, a2) no se
denota por f((a1, a2)), sino por f(a1, a2), y similarmente para más
variables.
Existen además terminologías diversas en distintas ramas de las
matemáticas para referirse a funciones con determinados
dominios y codominios. Algunas bastante extendidas son:

19. Función real. f: R → R
Función compleja. f: C → C
n
Función escalar. f: R → R
n m
Función vectorial. f: R → R
En particular, las palabras «función», «aplicación», «mapeo», u
otras como «operador», «funcional», etc. pueden designar tipos
concretos de función según el contexto.
Imagen e imagen inversa
Artículo principal: Conjunto imagen.
Dado un conjunto de votantes y un conjunto de posible partidos, en
unas elecciones, el sentido del voto de cada individuo se puede
visualizar como una función.
Los elementos del codominio B asociados con algún elemento
del dominio A constituyen la imagen de la función.
Dada una función f : A → B, el elemento de B que corresponde a
un cierto elemento a del dominio A se denomina
la imagen de a, f(a).
El conjunto de las imágenes de cada elemento del dominio es
la imagen de la función f (también rango o recorrido de f). El
conjunto de las imágenes de un subconjunto cualquiera del
dominio, X ⊆ A, se denomina la imagen de X.

20. La imagen de una función f se denota por Im(f), y la de un
subconjunto X por f(X) o f[X]. En notación conjuntista las
imágenes de f y X se denotan:
La anti-imagen de cada partido es el conjunto de los electores que lo
votaron.
La imagen de una función f es un subconjunto del codominio de
la misma, pero no son necesariamente iguales: pueden existir
elementos en el codominio que no son la imagen de ningún
elemento del dominio, es decir, que no tienen preimagen.
La imagen inversa (también anti-imagen o preimagen) de un
elemento b del codominio B es el conjunto de elementos del
dominio A que tienen a b por imagen. Se denota por f−1(b).
La imagen inversa de un subconjunto cualquiera del
codominio, Y ⊆ B, es el conjunto de las preimágenes de cada
elemento de Y, y se escribe f−1(Y).
Así, la preimagen de un elemento del codominio puede no
contener ningún objeto o, por el contrario, contener uno o más
objetos, cuando a uno o varios elementos del dominio se les
asigna dicho elemento del codominio. En notación conjuntista,
se escriben:

21. Ejemplos
La imagen de la función cubo f es todo R, ya que todo
número real posee una raíz cúbica real. En particular, las
raíces cúbicas de los números positivos (negativos) son
positivas (negativas), por lo que se tiene, por
−1 + +
ejemplo, f (R ) =R .
El recorrido de la función inverso g no es igual a su
codominio, ya que no hay ningún número real x cuyo
inverso sea 0, 1/x = 0.
Para la función «clasificación en géneros» γ se tiene:
−1
γ(Perro) = Canis, y γ (Canis) = {Perro, coyote, chacal,...}.
Como el área es siempre un número positivo, el
+
recorrido de la función área A es R .
En el diagrama puede comprobarse que la imagen de la
función voto v no coincide con el codominio, ya que el
partido C no recibió ningún voto. Sin embargo puede
−1
verse que, por ejemplo, v (Partido A) tiene 2
elementos.
Igualdad de funciones
Dadas dos funciones, para que sean idénticas han de tener
el mismo dominio y codominio, y asignar la misma imagen a
cada elemento del dominio:
Dadas dos funciones f : A → B y g : C → D,
son iguales o idénticas si se cumple:
Tienen el mismo dominio: A = C
Tienen el mismo codominio: B = D
Asignan las mismas imágenes: para
cada x ∈ A = B, se tiene que f(x) = g(x)
Funciones inyectivas, suprayectivas y
biyectivas

22. Artículos principales: Función inyectiva, Función
suprayectiva y Función biyectiva.
La imagen inversa de un elemento del codominio puede ser
vacía, o contener varios objetos del dominio. Esto da lugar a
la siguiente clasificación:
Funciones Inyectiva No inyectiva
Sobreyectiv
a
Biyectiva
No
sobreyectiva
Se dice que una función f : A → B es inyectiva si
las imágenes de elementos distintos son
distintas:
o, de modo equivalente, si sólo asigna
imágenes idénticas a elementos idénticos:

23. Una función f : A → B se
dice suprayectiva (o sobreyectiva) si su
imagen es igual a su codominio:
o, de modo equivalente, si todo elemento del
codominio es la imagen de algún elemento
del dominio:
Las funciones inyectivas no repiten las imágenes: si b = f(a),
ningún otro a' tiene por imagen a b, por lo que la anti-
imagen de este último sólo contiene al elemento a. Las
funciones suprayectivas recorren todo el codominio, por lo
que ninguna anti-imagen puede estar vacía. La definición de
función suprayectiva asume que esta tiene un codominio
especificado previamente. De lo contrario, la noción de
suprayectividad no tiene sentido.
Cuando una función tiene ambas propiedades a la vez, se
dice que es una biyección entre ambos conjuntos:
Una función f : A → B se dice biyectiva si es
inyectiva y suprayectiva.
Las funciones biyectivas constituyen un «emparejamiento
perfecto» entre los elementos del dominio y el codominio:
cada elemento en A tiene una única «pareja» en B —como
todas las funciones—, y a cada elemento de B le
corresponde uno solo en A —al menos uno por ser
suprayectiva, y como mucho uno por ser inyectiva—.
Ejemplos.
La función cubo f: R → R es biyectiva. Es inyectiva
porque dos números reales que tienen el mismo cubo
son idénticos, y es suprayectiva porque Im(f) = R.

24. La función «inverso» g: R {0} → R es inyectiva, ya que
el inverso de cada número real no nulo es único (1/x =
1/y implica necesariamente que x = y). Sin embargo no
es suprayectiva, dado que Im(g) = R {0}.
La función de clasificación de mamíferos γ: M → G no
es inyectiva, ya que hay mamíferos distintos en el
mismo género (por ejemplo, γ(Yak) = γ(Toro) = Bos).
Sin embargo sí es suprayectiva, ya que en cada género
de mamíferos hay clasificada al menos una especie de
mamíferos.
La función área A: T → R no es sobreyectiva, ya que
+
Im(A) = R . Tampoco es inyectiva, ya que pueden
construirse con facilidad triángulos distintos con el
mismo área.
En la imagen pueden verse varios ejemplos de
funciones entre un conjunto de pinceles P y un conjunto
de caras C.
Álgebra de funciones
Con las funciones puede realizarse una operación de
composición con propiedades similares a las de
la multiplicación.
Composición de funciones

25. La composición g ∘ f actúa sobre el objeto x transformándolo
según f, y después transformando f(x) mediante g.
Artículo principal: Composición de funciones.
Dadas dos funciones, bajo ciertas condiciones podemos
usar los valores de salida de una de ellas como valores de
entrada para la otra., creando una nueva función.
Sean dos funciones f : A → B y g : C → D,
tales que el recorrido de la primera esté
contenido en el dominio de la segunda,
Im(f) ⊆ C. Entonces puede formarse
la composición de g con f, la
función g ∘ f : A → D que a cada a en el
dominio A le asocia el elemento (g ∘ f)(a)
= g(f(a)).

26. Es decir, la composición g ∘ f hace actuar primero la
función f sobre un elemento de A, y luego g sobre la imagen
que se obtenga:
La condición Im(f) ⊆ C asegura precisamente que este
segundo paso se pueda llevar a cabo.
Ejemplos
La imagen de la función «inverso» g es R {0} —puesto
que todo número real no nulo es el inverso de otro—, y
por tanto está contenido en el dominio de la función
cubo f, que es R. La composición f ∘ g: R {0}
3 3
→ R actúa entonces comof(g(x)) = f(1/x) = (1/x) = 1/x .
Dadas las funciones
reales h1: R → R y h2: R → R dadas por h1(x)
2
= x y h2(x) = x + 1, puede tomarse la composición en
ambos órdenes, h1 ∘ h2 y h2 ∘ h1. Sin embargo, son
funciones distintas, ya que:
2 2
(h1 ∘ h2)(x) = h1(h2(x)) = h1(x + 1) = (x + 1) = x + 2x + 1, y
2 2
(h2 ∘ h1)(x) = h2(h1(x)) = h2(x ) = x + 1
La función γ que clasifica los mamíferos en
géneros puede componerse con la
función ω: G → Or que clasifica los géneros de
mamíferos en órdenes —que forman el
conjunto Or—. La función ω ∘ γ asigna a cada
mamífero su orden:
(ω ∘ γ)(Humano) = ω(Homo) = Primate, (ω ∘ γ)(Guanaco) = ω(Lama) = Artiodactyla
Función identidad
Artículo principal: Función identidad.
En cualquier conjunto puede definirse una
función identidad, que teniendo como dominio
y codominio al propio conjunto, asocia cada
elemento consigo mismo.

27. Dado un conjunto A, la función
identidad de A es la función
idA : A → A que a cada a ∈ A le
asocia idA(a) = a.
También se denota como IA. La función
identidad actúa como un elemento neutro al
componer funciones, ya que no «hace nada».
Dada una función cualquiera f : A → B se tiene:
Es decir, dado un elemento x ∈ A, se tiene que:
Función inversa
Artículo principal: Función inversa.
Una función puede tener inversa, es decir, otra
función que al componerla con ella resulte en
la identidad, del mismo modo que un número
multiplicado por su inverso da 1.
Dada una función f : A → B, se dice
que g : B → A es la inversa o recíproca de f si se
cumple:
La inversa se denota por g = f−1, y
tanto f como f−1 se dicen invertibles.
No todas las funciones son invertibles, sino que
solo aquellas que sean biyectivas poseen
inversa:

28. Toda función biyectiva f es
invertible, y su inversa f−1 es
biyectiva a su vez.
Recíprocamente, toda función
invertible f es biyectiva.
La notación para funciones inversas puede ser
confusa. Para un elemento del
−1
codominio b, f (b) puede denotar tanto la anti-
imagen de b (un subconjunto del dominio),
como a la imagen de b por la función inversa
de f (un elemento del dominio), en el caso de
que f sea invertible.
Ejemplos.
La función «exponencial» h: R → R, que
asocia a cada número real
x
su exponencial, h(x) = e , no es invertible,
ya que no es suprayectiva: ningún número
negativo pertenece a la imagen de h.
Existe una función que calcula el cambio
entre dos divisas. En el caso del cambio
de rupias a quetzales (las monedas de
la India y Guatemala), la conversión está
dada (en 2011) por:
Q(r) = 0,15 × r
Esta función de cambio tiene inversa, la
conversión recíproca de quetzales a
rupias:
R(q) = 6,65 × q
3
La función cubo f(x) = x es invertible, ya
que podemos definir la función inversa
−1 3
mediante la raíz cúbica, f (x) = √x.
La función de clasificación en
géneros γ: M → G no es invertible, ya que

29. no es inyectiva, y para cada género
pueden existir varios mamíferos
clasificados en él.
La función que asigna a cada día de la
semana su siguiente tiene por inversa la
función que asigna a cada día de la
semana su antecesor:
Lunes → Domingo, Martes → Lunes,..., Domingo → Lunes
Restricción y extensión
Artículo principal: Restricción de una función.
La función que asigna a cada mujer del
electorado su voto es una restricción de la
función que a cada miembro del electorado le
asigna su voto.
La restricción de una función dada es otra
función definida en una parte del dominio
de la original, pero que «actúa igual» que
esta. Se dice también que la primera es
una extensión de la segunda.
Dadas dos funciones f : A → B y g : C → D,
de forma que el dominio de g sea un
subconjunto del dominio de f, C ⊆ A, y
cuyas imágenes coinciden en este
subconjunto:

30. se dice entonces que g es
la restricción de f al subconjunto C, y
que f es una extensión de g.
La restricción de una función f: A → B a un
subconjunto C ⊆ A se denota por f|C.
Representación de funciones
Artículo principal: Representación gráfica de
una función.
Las funciones se pueden presentar de
distintas maneras:
usando una relación matemática
descrita mediante una expresión
matemática: ecuaciones de la
forma . Cuando la
relación es funcional, es decir
satisface la segunda condición de la
definición de función, se puede definir
una función que se dice definida por la
relación, A menos que se indique lo
contrario, se supone en tales casos
que el dominio es el mayor posible
(respecto a inclusión) y que el
codominio son todos los Reales. El
dominio seleccionado se llama
el dominio natural, de la función.
Ejemplo: y=x+2. Dominio natural es todos los reales.
Ejemplo: "Para todo x, número entero, y vale x más dos unidades".
Como tabulación: tabla que
permite representar algunos
valores discretos de la
función.

31. Ejemplo:
Como pares
ordenados: pares
ordenados, muy usados
en teoría de grafos.
Ejemplo: A={(-2, 0),(-1, 1),(0, 2),(1, 3),... (x, x+2)}
Como gráfica: gráfic
a que permite
visualizar las
tendencias en la
función. Muy utilizada
para las funciones
continuas típicas
del cálculo, aunque
también las hay
para funciones
discretas.
Ejemplo:
5 X
4 X
3 X
2 X
1 X
0 X
y/x -2 -1 0 1 2 3
Definición
formal
Las funciones
pueden definirse en
términos de otros
objetos matemáticos,
como los conjuntos y

32. los pares ordenados.
En particular, una
función es un caso
particular de relación
binaria, luego su esta
definición está
basada en la que se
adopte para las
relaciones. En el
enfoque «extensivo»
se identifica una
función con
su gráfica:
Una función es un
conjunto f de pares
ordenados tal que no
contiene dos
pares distintos con la
misma primera
componente:
El dominio (la image
n) de la función es
entonces el conjunto
de primeras
(segundas)
componentes:
En la definición
extensiva no aparece
el concepto
de codominio como

33. conjunto potencial
donde está contenido
el recorrido. En
algunas áreas de las
matemáticas es
importante preservar
esta distinción, y por
tanto se usa una
7
definición distinta:
Una función es una
terna de
conjuntos f =
(A, B, G(f)),
el dominio,
el codominio y
el grafo de f, tales
que:
1. G(f)
⊂A
×B
2. Tod
o
elem
ento
del
dom
inio
tien
e
imag
en:
para
cada
a∈

34. A,
exist
e
un b
∈B
tal
que
(a, b
)
∈ G(
f)
3. Esta
imag
en
es
únic
a: si
(a, b
),
(a, c
)
∈ G(
f),
ento
nces
b=
c.
De este modo, puede
imponerse que dos
funciones con el
mismo grafo sean
distintas por tener
codominio distinto.

35. Véase
también
Anexo:Funcione
s matemáticas
Sucesión
matemática
Función lineal
Función
exponencial
Función
cuadrática
Representación
gráfica de una
función
Referencias
1. ↑ Esta
sección está
basada
en Pedro
Ponte, J.
(1992). «The
history of the
concept of
function and
some
educational
implications» (
en inglés,
pdf). The
Mathematics
Educator 3 (2)
. Consultado
el 10-12-
2011.

36. 2. ↑ Dunham,
William
(1999). Euler:
The Master of
Us All. The
Mathematical
Association of
America.
pp. 17.
3. ↑ Friedrich
Gauss, Carl
(1995).
Academia
Colombiana
de Ciencias
Exactas,
Físicas y
Naturales. ed.
4. ↑ Howard
Eves
(1990). Found
ations and
Fundamental
Concepts of
Mathematics (
3 edición).
Dover.
p. 235. ISBN 0-
486-69609-X.
5. ↑ Dorronsoro,
Jorge;
Hernández,
Eugenio
(1996). Núme
ros, grupos y

37. anillos.
Adison-
Wesley
Iberoamerican
a. ISBN 0-201-
65395-8.
a b
6. ↑ En
general una
función está
caracterizada
por una regla
o método que
describe la
asociación
entre los
elementos en
estos
conjuntos. Sin
embargo en
disciplinas
más
avanzadas de
las
matemáticas
esto no
siempre
ocurre, como
por ejemplo
con
las funciones
de elección.
Por ello la
definición
general de
función se
centra en la

38. asociación
entre los
objetos, y no
en la regla o
algoritmo.
7. ↑ Sobre la
diferencia
entre ambas
definiciones,
véase por
ejemplo Forst
er, Thomas
(2003). Ǥ1.3.
Notation for
sets and
relations» (en
inglés). Logic,
induction and
sets.
Cambridge
University
Press. ISBN 97
80521533614.
Dorronsoro,
Jorge;
Hernández,
Eugenio
(1996). Números
, grupos y
anillos. Adison-
Wesley
Iberoamericana.
ISBN 0-201-65395-8.
Enlaces
externos

39. Wikimedia
Commons alberg
a contenido
multimedia
sobre funciones
.
The Wolfram
Functions Site.
Archivo de
funciones
matemáticas.
FooPlot.
Graficador de
funciones
matemáticas.
Historia del
concepto de
función. Artículo
traducido
de MacTutor
History of
Mathematics
archive.