Columnas de concreto armado

CPICER - CURSO 2006 : “COLUMNAS DE HORMIGON ARMADO
SEGUN CODIGO CIRSOC 201 - 2005”

COLUMNAS DE HORMIGON ARMADO

Ing. Aníbal A. Manzelli

COLUMNAS DE HORMIGON ARMADO Lámina 1

SEGUN CODIGO CIRSOC 201 - 2005” 1
1 COLUMNAS DE Ho.Ao. NORMALES y ZUNCHADAS

2
2 DIAGRAMAS DE INTERACCION – DIAGRAMAS SIMPLIFICADOS

3
3 DIAGRAMA MOMENTO-CURVATURA – DIAGRAMAS SIMPLIFICADOS

4
4 COLUMNAS CON FLEXION BIAXIAL

5
5 DETALLES CONSTRUCTIVOS SEGÚN ACI 318 y PRAEH CIRSOC 201 2002

6
6 INTRODUCCION AL ANALISIS DE SEGUNDO ORDEN

7
7
ANALISIS DE LA COLUMNA BIARTICULADA

8
8 LONGITUDES EFECTIVAS (LUCES DE PANDEO) EN SISTEMAS DESPLAZABLES E
INDESPLAZABLES

9
9 SISTEMAS DESPLAZABLES E INDESPLAZABLES

10
10 EFECTOS DE LOS MOMENTOS FLEXORES EN LOS EXTREMOS


11 COLUMNAS DE SISTEMAS INDESPLAZABLES – METODOS SEGÚN ACI 318

12
12 COLUMNAS DE SISTEMAS DESPLAZABLES – METODOS SEGÚN ACI 318

13
13
APLICACIÓN DE TEORIAS DE SEGUNDO ORDEN PARA DETERMINAR
MOMENTOS FLEXORES

14
14 METODO P-∆ ITERATIVO

15
15 METODO P-∆ DIRECTO

16
16 ANALISIS GENERAL DE LOS EFECTOS DE ESBELTEZ

17
17 EFECTOS DE LA RIGIDEZ, DE LAS CARGAS SOSTENIDAS, DEL GIRO DE LAS
FUNDACIONES, ETC.

18
18 COMPARACIONES

19
19 EJEMPLOS DE APLICACION



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7

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INDESPLAZABLES

9

10


LEYES CONSTITUTIVAS DE LOS MATERIALES

fy
0,85 f’c

0,85 f’c

3,0(1-β1) 3,0 2,1 3,0
ε [0/00] (ADN420) ε [0/00]

HORMIGON ACERO

Donde:
β1 = 0,85 para f’c ≤ 30 Mpa

β1 = 0,85 – 0,05 (f’c – 30 MPa) / 7 ≥ 0,65 para f’c > 30 MPa


Determinación
de Pn y Mn
para una
determinada
deformación:


COLUMNAS CORTAS CON ESTRIBOS NORMALES

Fórmula de adición
COMPRESION PURA

RESISTENCIA n
'
[
φP = 0.80φ 0.85fc (Ag − Ast ) + fy Ast ]
MAXIMA CON Mu = 0

Donde:

Ag : Sección bruta de hormigón
Ast: Sección total de armadura

∅ = 0,65 para combinación de cargas según art.9.2:

U= 1,4 (D + F)
U= 1,2 (D+F+T) + 1,6(L+H) + 0,5 (Lr ó S ó R)
......................
Etc.

Para cargas gravitatoria, permanentes y sobrecargas, de uso en edificios normales:
U= 1,4 D
U= 1,2 D + 1,6 L


COLUMNAS CORTAS CON ZUNCHOS EN ESPIRAL

COMPRESION PURA Fórmula de adición

RESISTENCIA
MAXIMA CON Mu = 0
n
[
φP = 0.85φ 0.85fc (Ag − Ast) + fy Ast
'
]

Donde:

Ag : Sección bruta de hormigón
Ast: Sección total de armadura

∅ = 0,70 para combinación de cargas según art.9.2:

U= 1,4 (D + F)
U= 1,2 (D+F+T) + 1,6(L+H) + 0,5 (Lr ó S ó R)
......................
Etc.

Para cargas permanentes y sobrecargas de uso en edificios normales:
U= 1,4 D
U= 1,2 D + 1,6 L


Elementos comprimidos con zunchos en espiral:

f1 = f’c+4,1 f2 = f’c + 4,1 p

p

f y As
p As = Asp

f y As

2 .A sp
.f y
p =
d c .s


Elementos comprimidos con zunchos en espiral:

El aumento de la tensión última
f1 = f’c+4,1 p del hormigón del núcleo debe 2 .A sp .f y ρ s .f y
compensar la disminución de la p = =
sección por pérdida del d c .s 2
p recubrimiento.

πd c A sp 4A sp ρ s dc s
ρs = = A sp =
πd s2
dc s
c
4
4

f y As Ac
p
(0 ,85 f c' + 4 ,1p)A c = 0 ,85 f c' A g
f y As
dc

s: separación entre zunchos  Ag  f c'
ρ s ≥ 0.45  − 1
 Ac  fy
As = Asp

Cuantía volumétrica



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INDESPLAZABLES

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SEGUN CODIGO CIRSOC 201 - 2005” COLUMNAS CORTAS

FLEXION COMPUESTA RECTA

Diagramas de interacción

Pn ó φ Pn Pn , Mn

φ Pn , φ Mn
0,80 φ P0n

Mn ó φ Mn


Diagramas de
FLEXION COMPUESTA RECTA interacción

P Se puede calcular igual que con
DIN 1045 con los planos límites
ε cu = −0.003
φ P0n
φ = 0.65
0,80 φ P0n ε cu = −0.003

εy

0.005

φ = 0.90 M


SEGUN CODIGO CIRSOC 201 - 2005” Diagrama de interacción simplificado – Columnas rectangulares

[ ( )
φ.P0n = φ. 0.85.f'c . A g − A st + A st .fy ]
φ.Pn
[ ( )
φ.Pn(max) = φ ⋅ 0.80 ⋅ 0.85 ⋅ f'c . Ag − Ast + Ast ⋅ fy ]
φ.P0n φ.Pbn = φ ⋅ 0.43 ⋅ h ⋅ b.f'C
h 
φ.Pn(max) φ.Mbn = φ.Pbn .0.32.h + φ.[0.6.A se + 0.15.A ss ].fy . − d' 
2 

φ.Ptn = φ.A stotal .fy
φ.Pbn

φ.Mn φ.Mbn
φ.Mbn Ase Ass
h
φ.Ptn

b




Lámina
16


Programas de computadora



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INDESPLAZABLES

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SEGUN CODIGO CIRSOC 201 - 2005” Diagrama momento-curvatura simplificado
Columnas rectangulares

φ.Pn φ.Pn εcu = -0,003

φ.P0n d
φ.Pn(max)

φ.P εy = 0,0021
(para fy= 420 Mpa)
φ.Pbn

φ.Mn (1/r)
(1/r)P (1/r)max
φ.Mbn

(1/r)max≅ 2.εy / (0.9.d)≅ (εcu+εy)/ d

(1/r)max ≅ 0,005 / d para acero ADN 420



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INDESPLAZABLES

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FLEXION COMPUESTA OBLICUA

Reemplazo por flexión compuesta recta para columnas con
simetría según dos ejes y armadura en las cuatro caras.
Distintos métodos.

Compatibilizando deformaciones. Métodos iterativos.

Diagramas de interacción (“rosetas’).

Método de Bresler ( Arts. 10.3.5 y 10.3.6):

1 1 1 1 1
≥ = + −
Pu φPn φ P nx φ P ny φPn0

Programas de computadora


SEGUN CODIGO CIRSOC 201 - 2005” Método de Bresler
y

Muy = Pu ex DATOS : Pu M ux M uy
x
1 1 1 1
Mux= Pu ey = + −
φPn φ P nx φ P ny φPn0

φ Pn 0 = φ 0.85 f c' ( Ag − Ast ) + f y Ast 
 
φPn φPn

φPn0 φPn0

0,8φPn0 0,8φPn0
Pu≤ φPn
φPnx
φPny
φPbx
φPby

φMnx φMny
φMuy VERIFICAR
φMux
φPnt φPnt


CPICER - CURSO 2006 : “COLUMNAS DE HORMIGON ARMADO Método de Bresler - RESUMEN
1. Se determinan Pu , Mux y Muy.

2. Se estima la armadura.

3. Se determinan, en forma exacta o simplificada, los diagramas de interacción
para momentos alrededor del eje x y alrededor del eje y. Como alternativa,
pueden utilizarse los diagramas adimensionales incluidos en diversas
publicaciones.

4. Se obtienen los valores de φPnx , φPny y φPn0.

5. Se determina el valor de φPn con la expresión de Bresler.

6. Se debe verificar que Pu ≤ φPn

Nota:
La expresión de Bresler es más precisa cuando se cumple:
φPnx > φPbx y φPny > φPby

φPn φPn
φPn0 φPn0

0,8φPn0 0,8φPn0
φPnx
φPbx φPny
φPby

φMnx φMny
φMux φMuy
φPnt φPnt



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INDESPLAZABLES

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DIMENSIONES PARA EL DISEÑO DE ELEMENTOS COMPRIMIDOS

Columnas rectangulares (hormigonadas en obra)
• Lado mín. ≥ 200mm
• Diámetro mín. armadura principal db ≥ 12 mm
DIMENSIONES
MINIMAS A
Columnas circulares (hormigonadas en obra)
CONSIDERAR
• Diámetro mín. ≥ 250mm
• Diámetro mín. armadura principal db ≥ 12 mm

Columnas armadas con zunchos en espiral
• Diámetro mín. ≥ 300 mm
• Diámetro de los zunchos d ≥ 10mm

SECCION Se puede adoptar la sección
circular equivalente
EQUIVALENTE calculando todas las
magnitudes para dicha
sección: Ag ,As, cuantías,
resistencias, etc.


LIMITES PARA LA ARMADURA DE ELEMENTOS COMPRIMIDOS

ARMADURA DE
•ARMADURA MINIMA A’st ≥ 0.01 Ag
COLUMNAS

•ARMADURA MAXIMA A’st ≤ 0.08 Ag

• Para columnas sobredimensionadas, se puede
determinar la armadura para una sección efectiva
reducida no menor que el 50% del área total Ag.

• Por lo tanto, para este caso, la armadura mínima se
determina en función de esa sección efectiva reducida.


LIMITES PARA LA ARMADURA DE ELEMENTOS COMPRIMIDOS

NUMERO DE BARRAS
LONGITUDINALES

•4 BARRAS DENTRO DE ESTRIBOS CERRADOS RECTANGULARES
•3 BARRAS DENTRO DE ESTRIBOS CERRADOS TRIANGULARES.
•6 BARRAS RODEADAS POR ZUNCHOS EN ESPIRAL.

CUANTIA
VOLUMETRICA DE
 A g  f' c
LA ARMADURA ρ s ≥ 0.45 
 A − 1 
 f
COMPUESTA POR  c  y
ZUNCHOS EN
ESPIRAL
fy≤ 420 MPa



ESTRIBOS
DISPOSICION
DE ARMADURA :

Lámina
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DISPOSICION DE ARMADURA

Alternativa con ganchos



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INDESPLAZABLES

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SEGUN CODIGO CIRSOC 201 - 2005” EFECTO DE LA ESBELTEZ EN ELEMENTOS COMPRIMIDOS



e
A

e
∆ B

∆ e
C


CPICER - CURSO 2006 : “COLUMNAS DE HORMIGON ARMADO EFECTO DE LA ESBELTEZ EN ELEMENTOS COMPRIMIDOS
1 2
P M0=P.e P(∆o + ∆a) MII= M0 + P(∆o + ∆a) M=H.l/4

l
e ∆0 ∆a
+ ≡
H=1

3

Aprox. Parábola cuadrática
P

Integrando los diagramas:

1 M0 M0
II 5+ II 5 + II
MM MII ).l 2 . M = ( M ).l 2 .(1) ≅ 0.115.l 2 .(1)
2 ∆ = ∆0 + ∆a = ∫ EI
∂l = (
48 EI 48 r r

3 Valor máx. para
M MII 1 MII 1 2 1 1
2
∆ = ∆0 + ∆a = ∫ EI
∂l = .l 2 .
8 EI
= .l .( ) = 0.125.l 2 .( )
8 r r
diagrama rectangular
“3”


P

1 2
l e ∆0 ∆a
e M0=P.e ∆MII= P(∆o + ∆a) M=H.l/4

H=1

Aprox. Curva
P sinusoidal

Integrando diagramas 1 y 2

M.∆MII ∆MII .l 2 P.(∆ 0 + ∆ a ).l 2 P π 2 .EI
∆ = ∆0 + ∆a = ∆0 + ∫ EI
∂l = ∆ 0 + 2
π .EI
= ∆0 + 2
π .EI
= ∆ 0 + (∆ 0 + ∆ a ).
PE
PE =
l2

 P / PE  ∆0  P / PE 
∆ a = ∆ 0 .
∴ ∆ = ∆ 0 + ∆ 0 . =
 1 − P /P  1 − P /P  1 − P /P 
 E 
 E  E
k=1
P.∆ 0 M (1 + fF .P / PE ) M0 (1 + 0.23P / PE )
MC = M0 + P.∆ = M0 + = 0 =
1 − P / PE 1 − P / PE 1 − P / PE
El factor fF es función de la forma del diagrama M0. (P.E.,
M 0 .l 2 vale –0,38 para diagrama triangular con M0 en un extremo y
fF = 0 .23 ⇒ para → ∆ 0 = valor cero en el otro. Vale –0,18 para diagrama con
8 .EI momentos iguales en ambos extremos pero de distinto
signo).


=1

P.∆ 0 M (1 + fF .P / PE ) Expresión analítica
MC = M0 + P.∆ = M0 + = 0
1 − P / PE 1 − P / PE

M0 Momento de segundo adoptado por ACI 318
Mc = δ.M0 =
1 − P / PC

1 Factor de amplificación de momentos
δ=
1 − P / PC

π 2 .EI π 2 .EI k=1
PC = PE = Columna
(kl)2 l2 biarticulada

Comparación de factores de amplificación Comparación de factores de amplificación
Diagrama uniforme de momentos Diagrama triangular de momentos

15.00 12.00
10.00
10.00 8.00 ACI 318
ACI 318
d d 6.00
5.00
Analítica 4.00 Analítica
2.00
0.00 0.00
0.10 0.20 0.30 0.40 0.50 0.60 0.70 0.80 0.90 0.10 0.20 0.30 0.40 0.50 0.60 0.70 0.80 0.90
P/PE P/PE



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INDESPLAZABLES

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10



Aplicar “Análisis de segundo orden”con las siguientes
consideraciones:

• Comportamiento no lineal de los materiales

• Fisuración

• Deformación del elemento

• Desplazamiento lateral

• Duración de las cargas (deformación diferida)

• Retracción

• Efecto de las fundaciones

Se podrán utilizar métodos alternativos como los
indicados en los Arts. 10.11 , 10.12 y 10.13
expuestos en los puntos siguientes.


MOMENTOS AMPLIFICADOS- CONCEPTOS GENERALES

Módulo de elasticidad: E c = 4700 f c′ [MPa]

Momentos de inercia: Vigas 0.35 Ig
Columnas 0.70 Ig
Tabiques no fisurados 0.70 Ig
Para cargas de
servicio, se pueden Tabiques fisurados 0.35 Ig
utilizar estos valores
de momentos de Entrepisos sin vigas 0.25 Ig
inercia multiplicados
por 1.43 Areas 1.00 Ag



Deformación diferida:

I Su , permanente
I∞ = βd =
(1 + β d ) Su ,máxima



Luces de cálculo:

lc lu lu
lu lc



Longitudes efectivas de pandeo: k lu



Longitudes efectivas de pandeo: k lu
Valor de k:

Casos de Euler y variantes

Expresiones del BSCP (Art. C10.12.1)
(British Standard Code of Practice)

Expresiones útiles para
programación !!!


SEGUN CODIGO CIRSOC 201 - 2005” Nomogramas de Jackson y Moreland
(Art. C10.12.1)

Longitud efectiva
∑ I col Lcol
sup erior
0.70( I1 L1 + I 5 L5 )
k lu ψA = =
∑I vig Lvig 0.35( I 6 L6 + I 7 L7 )

6 5
7

1
3 4

2

∑ I col Lcol
inf erior
Sistemas Sistemas 0.70( I1 L1 + I 2 L2 )
ψB = =
indesplazables desplazables
∑I vig Lvig 0.35( I 3 L3 + I 4 L4 )



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INDESPLAZABLES

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MOMENTOS AMPLIFICADOS - PORTICOS INDESPLAZABLES

¿ Cuándo un pórtico o entrepiso se puede considerar
como INDESPLAZABLE ?:
Cuando es evidente

Cuando MII≤ 1,05 MI

Cuando ∑ P ∆0
Q= u
≤ 0,05
Vu lc
MI Momento en extremo de columna obtenido por análisis de
primer orden.
Q Índice de estabilidad.
Σ Pu Carga vertical total mayorada; sumatoria de todas las
cargas de columnas y tabiques en el nivel considerado.
∆0 Deformación horizontal relativa de primer orden,
determinada en forma elástica, debida a Vu y
correspondiente al extremo superior con respecto al
inferior del nivel considerado.
Vu Corte horizontal mayorado en el nivel considerado.
Donde:
lc Altura del elemento comprimido, medida desde centro a
centro de los nudos del pórtico.


SEGUN CODIGO CIRSOC 201 - 2005” ¿CUÁNDO UNA COLUMNA ES “INDESPLAZABLE”?
10.11
10.11
Consideremos el efecto P- ∆ en un entrepiso

Vu
∑P u ∆0

Vu
Rigidez = lc
∆0

∆ ∑ Pu
H= H
lc ∆
Vu ∑P u

Vu + H
Rigidez = lc
∆

∆0 M0 Es “indesplazable” cuando:
∆= M=
1− 0 ∑ u
∆ P ∆ ∑ Pu
1− 0 P − ∆ ≤ 0.05 Q ≤ 0.05
lc Vu lc Vu
∆ 0 ∑ Pu
≤ 0.05
Q lc Vu



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7

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INDESPLAZABLES

9

10


SEGUN CODIGO CIRSOC 201 - 2005” MOMENTOS AMPLIFICADOS - PORTICOS INDESPLAZABLES

¿ Cuándo se pueden ignorar los efectos de la esbeltez en
un pórtico o entrepiso INDESPLAZABLE ?:

kns lu  M1 
≤ 34 −12  ≤ 40
M 
r  2

M2 M2

M1 M1

Curvatura simple Curvatura doble

0≤ M1 / M2 ≤ 1 -1 ≤ M1 / M2 ≤ 0
r = 0,30 h para
r = 0,25 h para


10.12
10.12

¿ Cómo se tienen en cuenta los efectos de la esbeltez
en columnas pertenecientes a un pórtico o entrepiso
INDESPLAZABLE ?:

SI kns l u
> 100
r
EMPLEAR TEORIA DE SEGUNDO ORDEN

k ns l u
SI ≤ 100
r
MOMENTO AMPLIFICADO MC =δns M2


SEGUN CODIGO CIRSOC 201 - 2005” 10.12
10.12

MOMENTO AMPLIFICADO MC =δns M2

Cm π2E I
δ ns = ≥ 1,0 Pc =
1−
Pu (k l u )2
0,75 Pc
 0, 2 E c I g + E s I se

 1 + βd

Factor de M1 EI = ó
C m = 0, 6 + 0, 4 ≥ 0, 4  0, 4 E I
reducción M2
de la  c g

rigidez  1 + βd


• Coeficiente para columnas SIN CARGAS TRANSVERSALES entre apoyos !!!.
• Para columnas CON CARGAS TRANSVERSALES entre apoyos: Cm = 1

Este valor, φk, es un factor de reducción de rigidez. Tiene en cuenta la incertidumbre
en el valor de Pc y en las variables adoptadas en el método del momento amplificado.


CPICER - CURSO 2006 : “COLUMNAS DE HORMIGON ARMADO 10.12
10.12 MOMENTOS AMPLIFICADOS - PORTICOS INDESPLAZABLES

MOMENTOS
AMPLIFICADOS
MC =δns M2

Curvatura simple

Curvatura doble



M1
Cm = 0,6 + 0,4 ≥ 0,4
M2
“a” “b” El valor de Cm se determina de
manera tal que el momento
amplificado sea el mismo en
ambas columnas,“a” y “b”.


MOMENTOS DE II ORDEN EN UNA COLUMNA “INDESPLAZABLE”

M2
Mc = = δ ns M 2
Pu
1−
0.75 Pc EI
Pc = π 2
( k lu )
2

1
δ ns =
Pu k ≤ 1.0
1−
0.75 Pc Curvatura simple

Pu Pu Pu
M1
M1 CmM2

ns
Mc
l ≅ kl
≡ Mc
e0= M2 / Pu

M2 M2
Curvatura simple Pu
M1≈ M 2


M2
Mc = = δ ns M 2 Pc = π 2
EI
Pu
( k lu )
2
1−
0.75 Pc
k ≤ 1.0
M c = δ ns M 2

Cm
δ ns =
Pu M1
1− Cm = 0.6 + 0.4 ≥ 0.40 Curvatura doble
0.75 Pc M2

ns
Pu Pu Pu Pu P
CmM2 u
M1
M1 CmM2
CmM2

l ≡ Mc
l ≡
Mc
≅ kl e0= CmM2 / Pu

M2
M2 CmM2 P
CmM2 u
Mc


SEGUN CODIGO CIRSOC 201 - 2005” MOMENTOS AMPLIFICADOS - PORTICOS INDESPLAZABLES

Excentricidad MINIMA :

EL MOMENTO MAYORADO M2 EN LA ECUACION MC =δns M2 DEBE
VERIFICAR:

M2 ≥ M2,mín = Pu (15 + 0,03 h)
(ALREDEDOR DE CADA EJE EN FORMA SEPARADA)

( 15 y 0,03 h se expresan en mm)

CUANDO SE VERIFIQUE QUE M2,mín > M2, se debe adoptar el coeficiente Cm = 1
ó calcularlo con la expresión :

M1
C m = 0 ,6 + 0 , 4 ≥ 0 ,4
M2
considerando el cociente de los momentos calculados para los extremos M1 y
M2.


10.12
10.12 MOMENTOS AMPLIFICADOS - PORTICOS INDESPLAZABLES

INDESPLAZABLE CON FLEXION OBLICUA?:

Para elementos comprimidos a flexión respecto de
ambos ejes principales, el momento respecto de cada eje
debe ser amplificado en forma separada, sobre la base
de las condiciones de restricción correspondientes a cada
eje.



12

13
13
MOMENTOS FLEXORES

14

15

16

17
FUNDACIONES, ETC.

18
18 COMPARACIONES

19


Art. 10.11.4
A. Es evidente que el sist. o nivel es indesplazable? ó
SI B. Es MII ≤ 1.05 MI ? ó
NO
C. Es Q =
∑P∆ u 0
≤ 0.05...........conVu ≠ 0 ? [Ec. 10.7]
Vu lc

MI Momento en extremo de columna obtenido por análisis de
Sistema o nivel
primer orden.
DESPLAZABLE
Q Índice de estabilidad. Aplicar
Art. 10.13

SISTEMAS O NIVELES INDESPLAZABLES

I

SEGUN CODIGO CIRSOC 201 - 2005” I
Art. 10.12.1

Calcular longitud efectiva kns. lu

Art. 10.11.5

NO SI
k ns .l u 100 ?
Es >
r Realizar análisis de
segundo orden según
r (radio de giro)
Art. 10.10.1
r=0.3h ; r=0.25h

Art. 10.12.2

SI
NO k ns .lu M
Es ≤ 34 − 12 1 ≤40
r M2
Para / M / ≥ / M1/
2
R
II
Dimensionamiento regular


II
SI
NO Hay cargas transversales en el
elemento comprimido, entre
apoyos ?

Cm = 1
Cm = 1 ó Cm= 0.6 + 0.4 M1 / M2 ≥ 0.4
[Ec.10-14]
Con /M2/ ≥ /M1/

M2 M2

M1 M1 III
Curvatura simple Curvatura doble

0≤ M1 / M2 ≤ 1 -1 ≤ M1 / M2 ≤ 0

Nota: En Ec.10-14, se debe utilizar el valor de
M2 obtenido en el análisis estructural, aún si
se aplica el valor mínimo dado por la Ec. 10-
15.


III

Calcular: M c = δ ns . M 2 [Ec.10 -9]

con valor mínimo: M 2
≥ Pu (15 mm + 0 . 03 h ) [Ec.10.15]
Cm
δ ns = ≥1 [Ec.10 -10]
Pu
1− u

0 . 75 Pc
c
donde:
π 2 .E .I
Pc =
c [Ec.1 0-14]
( k ns .l u ) 2

Adoptando:
0 . 2 E c I g + E s . I se 0 .4 E c I g
EI = [Ec.10 -12] ó EI = [Ec.10 -13]
1+ βd 1+ βd
Pu , PERMANENTE
siendo βd = (Si se adopta β d = 0 . 6 ⇒ EI = 0 . 24 E c I g )
Pu , MAXIMA

IV

IV
Calcular la armadura con los
valores de Pu y el momento
amplificado MC, utilizado, por
ejemplo, diagramas de
interacción.

En el caso de flexión OBLICUA,
los momentos de segundo orden
respectos de cada eje se
calcularán en forma separada, de
acuerdo a las condiciones de
sustentación correspondiente a
cada plano. Calcular armadura
con diagramas en roseta, fórmula
de Bresler, etc.

FIN



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13
13
MOMENTOS FLEXORES

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FUNDACIONES, ETC.

18
18 COMPARACIONES

19



0.2 Pc 1.0 Pc 1.2 Pc EI
Pc = π 2
L2
H=
4V0
EI EI EI EI
L

∆ 0
M0
H

I orden

M0
V0 V0 V0 V0

∆ 1.97 M0
P ∆
H + 2 .4 c
L

E fe c to P − ∆ ∆
δ s = = 1 .9 7
∆0

1.97 M0
1.97 1.97 1.97 1.97
V0 V0 V0 V0


SEGUN CODIGO CIRSOC 201 - 2005” ∆ 0
0.2 Pc 1.0 Pc 1.2 Pc
M0
H

I orden

V0 V0 V0 V0 M0
∆ 1.97 M0
P ∆
H + 2 .4 c
L
∆
E fe c to P − ∆
δ s = = 1 .9 7
∆0

1.97 M0
1.97 V0 1.97 V0 1.97 V0 1.97 V0

∆1 0.2 Pc 1.0 Pc 1.2 Pc
P ∆
H + 2 .4 c 1
L
∆1
E fe c to P − ∆ δ s = = 2 .5 0
1 0.97 0.82 0.78 ∆0
↓ R ig id e z

2.50 V0 2.42 V0 2.06 V0 1.98 V0

1.981 M0
2.5 2.42 2.06 1.98
M0 M0 M0 M0


SEGUN CODIGO CIRSOC 201 - 2005” MOMENTOS AMPLIFICADOS - PORTICOS DESPLAZABLES

El factor k para calcular la longitud efectiva de pandeo debe ser :
k>1



10.13
10.13

¿ Cuándo se pueden ignorar los efectos de la esbeltez en
un pórtico o entrepiso DESPLAZABLE ?:

CUANDO k lu / r < 22


10.13
MOMENTOS AMPLIFICADOS - PORTICOS DESPLAZABLES

DESPLAZABLE ?:

k ns l
SI u
> 100
r

EMPLEAR TEORIA DE SEGUNDO ORDEN

k ns l
SI
u
≤ 100
r
MOMENTOS AMPLIFICADOS EN LOS EXTREMOS DE LA
COLUMNA:
M1 = M1ns +δs M1s
M2 = M2ns +δs M2s

* M1ns y M2ns calculados para un pórtico indesplazable


INTRODUCCION A LOS EFECTOS DE LAS ESBELTEZ

Si Pu es aprox. constante se puede aplicar el principio de
superposición.

Du Du ∆

Hu
Hu
= +

ns s

M = M ns + δs M s

“INDESPLAZABLE” “DESPLAZABLE”


CPICER - CURSO 2006 : “COLUMNAS DE HORMIGON ARMADO MOMENTOS AMPLIFICADOS - PORTICOS DESPLAZABLES
10.13
10.13

¿ Cómo se determinan los valores de δs Ms (paraδs M1s
y δs M2s) en columnas pertenecientes a un pórtico o
entrepiso DESPLAZABLE ?:

TRES OPCIONES:

1. Análisis de segundo orden

2. Método directo P-∆

3. Factor de amplificación de momentos por
desplazamiento lateral
Nota:
Siempre se deben verificar todos los estados de cargas indicados en el Art. 9.2. Es decir, se
deben obtener las armaduras para cada uno de ellos y adoptar la mayor.


10.13
10.13
OPCION 1.
ANALISIS DE SEGUNDO ORDEN

• Momentos M y M2 calculados por análisis de segundo orden.
1
Rigideces según Art. 10.11.1.
•Método más utilizado: P-∆ iterativo.
•Si las deformaciones por torsión son importantes, debería
utilizarse un análisis de segundo orden 3D.

El factor de disminución de rigidez se toma
aproximadamente φk=0,875 en análisis de
Vigas 0.35 Ig
segundo orden. Ese valor está incorporado Columnas 0.70 Ig
en la tabla del reglamento. Este valor es
mayor que el adoptado en el método de la Tabiques no fisurados 0.70 Ig
amplificación de momentos (0,75).
Razones: Tabiques fisurados 0.35 Ig
. El valor de Ec utilizado en el análisis de
segundo orden se obtiene en función de f’c, Entrepisos sin vigas 0.25 Ig
mientras que las deformaciones se
corresponden con un valor de Ec que es Areas 1.00 Ag
función de valor medio f’m > f’c.
. El análisis de segundo orden es un modelo
más ajustado al fenómeno de segundo
orden en SD que el método de la
amplificación de momento.


10.13
MOMENTOS AMPLIFICADOS - PORTICOS DESPLAZABLES

EFECTO DE SEGUNDO ORDEN

PROCESO ITERATIVO HASTA
R≅0


OPCION 2.
METODO DIRECTO P-∆

• CALCULAR:
Ms
δ sM s = ≥ Ms
1−Q
Donde:
NOTA :
Σ P ∆
Q = u 0
V u lc Si δs > 1,5 usar
opción 1 ó 3

Q Índice de estabilidad.


SEGUN CODIGO CIRSOC 201 - 2005” MOMENTOS AMPLIFICADOS - PORTICOS DESPLAZABLES 10.13
10.13

OPCION 3.
FACTOR DE AMPLIFICACION

Ms
δs M s = ≥ Ms
∑ Pu
1−
0 ,75 ∑ Pc

Σ Pu la sumatoria de todas las cargas verticales en un piso,

Σ Pc la sumatoria de las cargas críticas de las columnas que resisten el desplazamiento
lateral de un piso,

π2E I
Pc la carga crítica determinada con la expresión Pc =
(k l )
u
2


10.13
10.13
MOMENTOS DE II ORDEN EN UNA COLUMNA “DESPLAZABLE”

∆ D u
D u ∆
Si la columna es muy
H
H u esbelta con alta
carga axial, el
u

= +
máximo momento
podría ocurrir entre
extremos.
s
ns

lu 35
>
r Pu
Pu
Pu
M1 M 1ns δ s M 1s f c' Ag

k lu = +

M2 M 2ns δ s M 2s
Mc
M 1 = M 1ns + δ s M 1s Cm M1
M c = δ ns M 2 δ ns = Cm = 0.6 + 0.4 ≥ 0.40
Pu M2
M 2 = M 2 ns + δ s M 2 s 1−
0.75 Pc


SEGUN CODIGO CIRSOC 201 - 2005” 10.13
10.13 MOMENTOS AMPLIFICADOS - PORTICOS DESPLAZABLES

Una columna perteneciente a un pórtico o entrepiso
DESPLAZABLE puede tener el mayor momento de
segundo orden entre los extremos de la misma, es
decir, no coincidente con los mismos:
CUANDO:
lu 35
>
r Pu
f 'c A g

En este caso, se debe calcular la columna para :

• La carga mayorada Pu
Cm
• Mc = δns M2 δns = ≥ 1,0
• M1 = M1ns +δs M1s Pu
1−
• M2 = M2ns +δs M2s 0,75Pc
• k = 1 ó k <1
•βd : de acuerdo a las cargas consideradas M
Cm = 0.6 + 0.4 1 ≥ 0.40
M2


10.13
10.13

ADEMAS DE LOS ESTADOS DE CARGAS QUE INCLUYEN
CARGAS HORIZONTALES, SE DEBE VERIFICAR LA
RESISTENCIA Y ESTABILIDAD DE LA ESTRUCTURA PARA
CARGAS GRAVITATORIAS MAYORADAS (1,2 D+ 1,6 L)

• La verificación se realizará de acuerdo a la opción adoptada para
el cálculo.

• Si no cumple con las condiciones impuestas, se deberán
redimensionar las secciones.

• El valor de βd será la relación entre la máxima carga axial
mayorada de larga duración y la máxima carga axial mayorada
total.


CPICER - CURSO 2006 : “COLUMNAS DE HORMIGON ARMADO VERIFICACION DE LA ESTABILIDAD GLOBAL BAJO CARGAS
10.13.6
10.13.6
GRAVITATORIAS

1 .2 D + 1 .6 L ∆0 d e s p la z a m ie n to e n I o r d e n
∆ ∆ d e s p la z a m ie n to e n II o r d e n
∆0
H
El pórtico verifica la estabilidad global bajo
Cualquiera cargas gravitatorias cuando:

∆
1) ≤ 2 .5
∆0

1 ∆ 0 ∑ Pu
2) δ s = ≤ 2.50 → ≤ 0.60
1− 0 ∑ u
∆ P Vu lc
Vu lc
βd =
∑P permanente

∑P total 1
3) δ s = ≤ 2.5
1− ∑ u
P
βd = ∑
P D +1.6(0.2 L )
1.2
Por ej, 0.75∑ Pc
∑P 1.2 D +1.6 L

En caso de no verificar se debe aumentar la rigidez del pórtico porque es muy
sensible a variaciones en la rigidez de columnas, fundaciones, etc.



OPCION 1.
VERIFICACION PARA
ANALISIS DE SEGUNDO ORDEN CARGAS MAYORADAS
GRAVITATORIAS (D y L). La
carga lateral puede ser
DEBE SER: ∆ II arbitraria o la
lat .
≤ 2 .5 correspondiente a cargas de
∆ Ilat .
viento, por ejemplo.

OPCION 2.
NO es necesario
METODO DIRECTO P-∆ VERIFICAR para CARGAS
MAYORADAS
GRAVITATORIAS si se
DEBE SER: ∑ Pu ∆0 adoptó el Método Directo,
Q= ≤ 0,6 ya que
Vu l c δs ≤ 1,5 => Q ≤ 0,33

OPCION 3.
FACTOR DE AMPLIFICACION VERIFICACION PARA
CARGAS MAYORADAS
GRAVITATORIAS (D y L)
DEBE SER: 0 < δs ≤ 2,5



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MOMENTOS FLEXORES

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FUNDACIONES, ETC.

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18 COMPARACIONES

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10.13 MOMENTOS AMPLIFICADOS - PORTICOS DESPLAZABLES
DIAGRAMA DE FLUJO
Art. 10.11.4
A. Es evidente que el sist. o nivel es indesplazable? ó
NO SI
II I
B. Es M ≤ 1.05 M ? ó

C. Es Q =
∑P∆ u 0
≤ 0.05...........conVu ≠ 0 ? [Ec. 10.7]
Vulc

MI Momento en extremo de columna obtenido por análisis de Sistema o nivel
primer orden. INDESPLAZABLE
Aplicar
Q Índice de estabilidad. Art. 10.12

SISTEMAS O NIVELES DESPLAZABLES III


SEGUN CODIGO CIRSOC 201 - 2005” III
Art. 10.12.1

Calcular longitud efectiva ks. lu

Art. 10.13.2

NO k s .l u
< 22 SI
Es r ?
R
V

Dimensionamiento regular


V

NO SI
Ks lu / r > 100 Se debe utilizar un
análisis de segundo
orden de acuerdo al
Art. 10.10.1 para
calcular las
solicitaciones en el
sistema estructural
analizado.

CALCULAR:

M1 = M1ns + δs M1s [Ec. 10-16]
M2 = M2ns + δs M2s [Ec. 10-17]

Mins : Momentos flexores debidos a cargas que no producen deformaciones
laterales apreciables.
Mis : Momentos flexores debidos a cargas que producen deformaciones
laterales apreciables.

OPCION 2 ó 3


2 OPCION 2. METODO DIRECTO P-∆

Calcular:
Ms
δ s .M s = ≥ Ms [Ec. 10-17]
1− Q
δs ≤ 1,5

A


SEGUN CODIGO CIRSOC 201 - 2005” A

VERIFICAR SI EL MAXIMO MOMENTO DE SEGUNDO ORDEN SE
ENCUENTRA ENTRE LOS EXTREMOS DE LA COLUMNA:

Art. 10.13.5
SI lu 35 NO MOMENTO
MOMENTO
> MAXIMO EN
MAXIMO r Pu EXTREMO DE
COLUMNA
ENTRE
EXTREMOS DE f 'c . Ag
LA COLUMNA

[Ec. 10-19]

3b.
2c Dimensionar
2a armadura con M1 , M2
y Nu


2a MOMENTO MAXIMO ENTRE EXTREMOS DE LA COLUMNA

Calcular de acuerdo al Art. 10.12.3:

M c , 2 = δ ns .M 2 [Ec.10-9]
M 2 = M 2 ns + δ s .M 2 s
M2 calculado de acuerdo al Art. 10.13.3 [Ec.10-16 y 10-17]
con valor mínimo: M 2 ≥ Pu (15mm+ 0.03h) [Ec.10.15]
Cm
δ ns = ≥1 M1 [Ec.10-10]
Pu Cm = 0.6 + 0.4 ≥ 0.40
1− M2
0.75Pc

(Si δns < 1, el momento máximo se encuentra en uno de los extremos)

π 2 .E.I
Pc = 2
[Ec.10-11]
(kns .lu )

Adoptando:
0.2 E c I g + Es .I se 0.4Ec I g
EI =− [Ec.10-12] ó EI = [Ec.10-13]
1+ βd 1+ βd

♦Calcular la armadura con el valor del esfuerzo axil Pu y el
momento Mc. 2c


2c

NO => El estado de cargas SI
analizado corresponde a cargas
gravitatorias solamente ? 2d
(1.2D + 1.6L)

CONTINUAR


VERIFICACION DE ESTABILIDAD GENERAL PARA CARGAS
2d GRAVITATORIAS MAYORADAS SEGÚN ART. 10.13.6.c

SI NO
∑ Pu ∆0
Q= ≤ 0,6
Vu l c

NO VERIFICA
Se deben
redimensionar
las secciones

VERIFICA
No existe riesgo de pandeo con cargas gravitatorias



3 OPCION 3. FACTOR DE AMPLIFICACION

Calcular:
Ms
δ s .M s = ≥ Ms [Ec. 10-18]
1−
∑ PU
0.75∑ PC

B


CPICER - CURSO 2006 : “COLUMNAS DE HORMIGON ARMADO Ms
SEGUN CODIGO CIRSOC 201 - 2005” δ s .M s = ≥ Ms
∑P
1−
U
V 0.75∑ P C

M Momento de primer orden
s
Σ P Carga vertical total mayorada ; sumatoria de todas las cargas de columnas y tabiques en el nivel
u
Σ P Sumatoria de todas las cargas críticas de las columnas y tabiques en el nivel considerado.
c
considerado.

π 2 .E.I
Pc = 2
(EI de Ec- 10-12 ó Ec. 10-13 / ks > 1 / lu : altura libre )
(k s .lu )
Vu , PERMANENTE
βd =
Vu , MAXIMA
Vu Corte horizontal mayorado en el nivel considerado debido a acciones horizontales.

βd ≅ 0 si las cargas laterales son debidas al viento (V PERMANENTE≅ 0 )
u,

VI

SEGUN CODIGO CIRSOC 201 - 2005” B

VERIFICAR SI EL MAXIMO MOMENTO DE SEGUNDO ORDEN SE
ENCUENTRA ENTRE LOS EXTREMOS DE LA COLUMNA:

Art. 10.13.5
SI lu 35 NO MOMENTO
MOMENTO
> MAXIMO EN
MAXIMO r Pu EXTREMO DE
COLUMNA
ENTRE
EXTREMOS DE f 'c . Ag
LA COLUMNA

[Ec. 10-19]

3b.
3c Dimensionar
3a armadura con M1 , M2
y Nu


3a MOMENTO MAXIMO ENTRE EXTREMOS DE LA COLUMNA

Calcular de acuerdo al Art. 10.12.3:

M c , 2 = δ ns .M 2 [Ec.10-9]
M 2 = M 2 ns + δ s .M 2 s
M2 calculado de acuerdo al Art. 10.13.3 [Ec.10-16 y 10-17]
con valor mínimo: M 2 ≥ Pu (15mm+ 0.03h) [Ec.10.15]
Cm
δ ns = ≥1 M1 [Ec.10-10]
Pu Cm = 0.6 + 0.4 ≥ 0.40
1− M2
0.75Pc

(Si δns < 1, el momento máximo se encuentra en uno de los extremos)

π 2 .E.I
Pc = 2
[Ec.10-11]
(kns .lu )

Adoptando:
0.2 E c I g + Es .I se 0.4Ec I g
EI =− [Ec.10-12] ó EI = [Ec.10-13]
1+ βd 1+ βd

♦Calcular la armadura con el valor del esfuerzo axil Pu y el
momento Mc. 3c


3c

NO => El estado de cargas SI
analizado corresponde a cargas
gravitatorias solamente ? 3d
(1.2D + 1.6L)

CONTINUAR


VERIFICACION DE ESTABILIDAD GENERAL PARA CARGAS
3d GRAVITATORIAS MAYORADAS SEGÚN ART. 10.13.6.c

SI 1 NO
δs = ΣP
≤ 2.5
1− u
Σc
0.75 P
NO VERIFICA
Se deben
redimensionar
las secciones

VERIFICA
No existe riesgo de pandeo con cargas gravitatorias



RESUMEN

Pórtico Pórtico
desplazable indesplazable

No tener en cuenta (*)
klu /r < 22 la esbeltez klu /r < 34 – 12 (M1/M2)

Métodos (*)
22 < klu /r <100 100 > klu /r > 34 – 12 (M1/M2)
Aproximados

Análisis
klu /r > 100 P - ∆ (∗∗)
klu /r >100

(*) 34 – 12 (M1 / M2) < 40
(**) Se permite para cualquier relación de esbeltez



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MOMENTOS FLEXORES

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FUNDACIONES, ETC.

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18 COMPARACIONES

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Deformación diferida:

I Su , permanente
I∞ = βd =
(1 + β d ) Su ,máxima


EFECTO DEL GIRO DE LA FUNDACION

CONJUNTO COLUMNA- BASE
COLUMNA- ΣKc
ψ=
ΣKb
4E C I C IC ;EC; lc
ΣK c =
lC
ΣKb se reemplaza por la rigidez al giro de la base

M
Kf =
θf If ;A
y
P M.y ∆2
σ1 = σ2 = θf = σ1 ≥ σ2
Af If y
σ
ks = Coeficiente de balasto Para entrar en nomogramas
∆
Jackson - Moreland
σ2 M.y 1 M
θf = = . =
k s .y I f k s .y I f .k s
4E C I C
lC
K f = I f .k s ψ=
I f .k s

If: momento de inercia de la sup. de contacto de la base (considerada rígida)



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MOMENTOS FLEXORES

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FUNDACIONES, ETC.

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18 COMPARACIONES

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Ejemplo Nº 1
M2

PD= 450 kN
H-20 / ADN 420
l c= 5,90m PL= 250 kN
f’c= 20 MPa
l u= 5,40m e1= 25 mm
fy= 420 MPa
e2= 50 mm
M1= 0,5
M1 M2

1 S/ACI 318 Pu= 1,4 PD = 630 kN ⇒ M1= 15.750 kNmm / M2= 31.500 kNmm ≅ 3,15 tm

Pu= 1,2 PD + 1,6 PL= 940 kN => M1= 23.500 kNmm / M2= 47.000 kNmm ≅ 4,7 tm

2 Predimensionamiento: Ag> Pu . 1000 ≅ Pu . 1000 ≅ 80.000mm2
0,45 (f´c + fy rt) 0,45 (20 + 6,3)

∴ Se adopta sección 350 x 350 mm

3 Esbeltez: Klu = 1 x 5.400 = 51,4 > 34 – 12 M1 = 28
r 0,3 x 350 M2
4 Excentricidad mínima: e min= 15 mm + 0,03 . 350 mm= 25,5 mm < e2= 50 mm
E= 4.700 (f’c) -2= 21.019 MPa
5 EI = 0,4 Ec Ig Ig= 12,5 . 10 8 mm 4 ⇒ EI= 6,65 x 10 12
MPa mm
4

1 + βd
βd= 1,2 PD / (1,2 PD + 1,6 PL) = 0,58


6 Amplificación de momento flexor M2:

Mc=δ M2 d = Cm > 1 Cm= 0,6 + 0,4 M1 = 0,8
ns ns
1 – Pu / 0,75 Pc M2

PC = π . EI
2
π2. 6,65. 12 MPa mm4 = 2.252 kN M2= 4,7tm= 47.000 kNmm
=
(klu)2 (5400)2
M2>M2,min= 2,4 tm= 24.000 kNmm

δ ns 0,8
≅ 1,80 ⇒ Mc= 1,80 . 940 . 50KNmm = 84.600KNmm ≅ 8,5tm
1- 940 Deformación Total ⇒ e + ∆ = 90mm
0,75 . 2252
7 Dimensionamiento d/ h= 310/ 350mm 2 φ 20

Nu= 940KN ≅ 94t Recubr.
2,5cm Estribos φ 8 c/ 320mm
Mu= 84.600KNmm ≅ 8,5tm
AS1= AS2= 6,0cm2 ⇒ Se adoptan 2 φ 20 (en c/cara)
2 φ 20

Comparación CIRSOC 201 – 1982 (DIN 1045)

P= 70t e1= 2,5cm e2= 5,0cm Sk= 5,90m ⇒
λ = 58,4 > 70; λ > 45 – 25 M1 ≅ 33
e= (0,65 . 5,0 + 0,35 . 2,5) cm= 4,13cm M2
e/d= 0,118 ⇒ f=6,28cm
Dimensionamiento:
Con N= 70t
M= 70 (4,13 + 6,28) tcm =7,3tm AS1= AS2= 7,3cm2

10,41cm



φPn 168t
∆ ≅ 0,11 . lu2 . (l/r)= 0,11 . (540)2 . 1,10 . 10-4 cm ≅ 3,5cm

135t

e ≅ 0,8 . 5cm= 4,0 cm ∴ e + ∆ ≅ 7.5 cm
94t

φPbn ≅ 65t Mc= 94 t . 0,075m= 7,1 tm

Considerando fluencia
lenta, etc.:
(1 + βd)= 1,58
φMn 11tm 8,5tm 1,61 . 10-4 1 (1/r)
cm ∆= 3,5 x 1,58 cm= 5,5 cm

1,10 . 10-4 1 e+ ∆= 9,5 cm= 95 mm
cm

Mc= 94 . 0,095 tm ≅ 8,9 tm


Ejemplo Nº 2

Columnas 45x45
* Sistema indesplazable
Vigas 30x45
* H- 20 / ADN 420
3,6m M2
1 Pu= 1,2PD+ 1,6PL= (80 + 95) t= 175 t

Lc= 7,2m Lu= 6,8m M2= -(1,2M2D+ 1,6M2D)= -(7,4+ 9,7) tm= -17,1tm M1= -0,83
M2
M1= 1,2M1D+ 1,6M1L= (7,4+ 6,8) tm = 14,2tm
3,6m M1

De Nomogramas
2 Se adopta columna 45x45
Jackson- Moreland
Tomando 0,7Ig p/cols.
3 Esbeltez: K lu = 0,92 .680 = 46 > 34- 12 (-0,83)= 44 40 0,35Ig p/vigas
r 0,3 . 45 Ψsup.≅ Ψ inf. ≅ 4,1
⇒ K= 0,92

4 Excentricidad mínima: e2,min= 15 mm + 0,03 . 450 mm = 28,5mm ≅ 2,9cm

∴ Min M= 175 . 0,029tm= /5,08/ tm < /M2/

5 EI: 0,4 Ec . Ig
1 + βd
Ec= 4.700 √ f´ca = 210.190 kg/cm2
Ig= 341.719 cm4
βd= 80 = 0,46 EI= 1,97 . 1010 kg.cm4
175 cm2


6 Amplificación de momentos

Mc= δns . M2 δns= Cm ≥1 Cm= 0,6+ 0,4 (-0,83)= 0,27 < 0,4
1- Pu
0,75Pc Cm= 0,4

Pc= π2. EI = π2. 1,97 . 1010 kg= 497 t
(klu)2 (0,92 . 680)2

δns= 0,4 = 0,75 < 1 ⇒ Se adopta δns= 1 ⇒ Mc= 17,1tm
1- 175
0,75 . 497
Recubr.
7 Dimensionamiento d/h= 40/ 45 10cm 3cm

Nu= 175t Arm. Long.
10cm
12 φ 16
Mu= 17,1tm
Estribos φ 6
c/ 25cm
As1= As2= 11,0 cm2 ⇒ Se adoptan 12 φ 16 (1,2%)

Comparación con CIRSOC 201- 1982 (DIN 1045) 40/45

P= 126 t M1= 10,4 tm M2= -12,2 tm Sk ≅ 0,90 . 720cm=648cm λ ≅ 50< 70
45- 25 M1 ≅ 66 ⇒
λ= 50< 66 N= 126
As1= As2= 12,1cm2
M2 No se considera M= 12,2 tm > 0,2 .d .N= 11,3 tm
efectos de 2º
orden



∆ ≅ 0,12 (klu2) (1/r)= 0,12 (0,92 . 680)2 0,7 . 10-4cm= 3,7 cm

φPn 288t e ≅ 0,4 . 10cm ≅ 4cm ∴ e + ∆ = 7,7 cm

230t
Mc= 175 . 0,077 tm ≅ 13,5 tm < 17,1tm= M2

175t
Considerando fluencia lenta, etc.:
φPbn= 102t (1 + βd)= 1,46

∆= 1,46 x 3,7cm = 5,4 cm
φMn
(1/ r)
24tm 15tm 0,7 . 10-4 1,2 . 10-1 e + ∆= 9,4 cm
cm cm
Mc= 175 . 0,094 tm = 16,5 tm < 17,1tm= M2
91t

NOTA : El momento flexor en el extremo de la columna, M2, es mayor que el momento de segundo orden, MC.



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CPICER - CURSO 2006 : “COLUMNAS DE HORMIGON ARMADO COLUMNAS DE Ho. Ao. SEGÚN ACI 318
. BIBLIOGRAFÍA BASICA

1. PRAEH CIRSOC 201 – 2005 / REGLAMENTO Y COMENTARIOS

2. CIRSOC - TABLAS PARA EL DISEÑO DE ELEMENTOS DE ESTRUCTURAS- Noviembre 2002

3. ACI 318 – 05

4. “Reinforced Concrete”- 4th Edition. James MacGregor. Prentice Hall.

5. “Essential Requirements for Reinforced Concrete Buildings” – ACI

6. “Aproximate Moment-Curvature Relationships for Slender Columns”. Aníbal A. Manzelli (UBA)
and Issam Harik (University of Kentucky). Journal of Structural Engineering. American Society
of Civil Engineers. Vol. 119 No. 4 April 1993.

7. “Prismatic and Nonprismatic Slender Columns and Bridge Piers”. Aníbal A. Manzelli (UBA) and
Issam Harik (University of Kentucky). Journal of Structural Engineering. American Society of
Civil Engineers. Vol. 119 No. 4 April 1993.

8. “A Second Order Analysis Technique for Nonprismatic Bridge Piers”, American Society of Civil
Engineers – Engineering Mechanics Division Conference, Ohio State University, Columbus ,
Ohio, May 19-22 1991, Vol.2, pp. 892-896.

9. “Concrete Structures – Euro-Design Handbook”. Ernst & Sohn.

10. “Reinforced Concrete Design”. Wang – Salmon. Addison-Wesley.

11. “Hormigón Armado”. O. Möller. UNR Editora.



FIN
COLUMNAS de Ho.Ao.

GRACIAS POR SU ATENCION !!!


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