SlideShare una empresa de Scribd logo
PREDIMENSIONADO DE VIGAS

Introducción
      La viga es el elemento estructural utilizado para cubrir espacios, soportando el peso colocado encima del
elemento mediante la resistencia a las fuerzas internas de flexión y corte.
       En tal sentido el predimensionado de las vigas consiste en determinar las dimensiones necesarias para que
el elemento sea capaz de resistir la flexión y el corte, así como también debe tener dimensiones tales que la flecha
no sea excesiva. Así, el esquema para cumplir con los requisitos de una viga consiste en:


Determinar las               Cuantificar las                Predimensionar mediante              Comprobar las
    cargas                  fuerzas de diseño                 criterio de resistencia        dimensiones por rigidez

Fuerzas de diseño
       Los efectos que producen las cargas sobre una viga son de dos tipos: Fuerza Cortante (V) y Momento
Flector (M). La magnitud de estas fuerzas son variables a lo largo de la longitud de la viga, siendo así el objetivo
principal de determinar la magnitud de la fuerza cortante y el momento flector máximo aplicado en la viga (Vmax ;
Mmax). El procedimiento básico para cuantificar las fuerzas de diseño consiste en:
        1.   Asilar el elemento del sistema estructural,
        2.   determinar las reacciones por las ecuaciones estáticas o de las condiciones de apoyos,
        3.   realizar un corte en la sección donde se desea conocer la magnitud de las fuerzas internas con un
             plano perpendicular al eje del elemento,
        4.   las fuerzas internas se obtienen de aplicar el equilibrio sobre una de las dos porciones obtenidas por el
             corte.




                                               V        M




                            M         V




                                          Figura 1. Fuerza cortante y momento flector.



Facultad de Arquitectura y Diseño                                                               Sistemas Estructurales 20
Universidad de Los Andes, Venezuela                                                                 Prof. Jorge O. Medina
Fuerza cortante
        Definición
       Para mantener el equilibrio sobre el segmento de la viga en la Figura 1, se debe incluir la fuerza V, que
actúa perpendicular al eje y se denomina fuerza cortante. La fuerza cortante es igual a la suma de todas las
fuerzas verticales que actúan en la porción aislada ubicada en el lado izquierdo .
       Por otra parte, se observa que la magnitud de V es variable, ya que, la magnitud depende del punto donde
se realice el corte imaginario. Por lo tanto esta variabilidad es conveniente representarla gráficamente por
diagramas. En el caso de la fuerza cortante, el diagrama se denomina Diagrama de Fuerza Cortante (DFC) el
cual se indica en la Figura 4.

                                             V = ∑ Fvert izq                                                   (Ec. 1)


        Convenio de signos
       Dado que el valor de V obtenido por la suma de la porción de la izquierda es igual pero de sentido
contrario a la suma de las fuerzas de la porción de la derecha, para indicar cuando el valor de V es positivo o
negativo, en la figura 2 se señala el convenio empleado según la tendencia que tiene la fuerza sobre el elemento.




                               (+)                                                (-)
                                           Figura 2. Convenio de signos de V.


    Momento flector
        Definición
       Así como la fuerza cortante equilibra las fuerzas verticales, también se debe establecer un equilibrio en los
momentos hasta la sección evaluada de las fuerzas aplicadas sobre la viga en el segmento analizado. Este
momento interno se denomina momento flector y la magnitud es igual a la suma de los momentos sobre la
sección de corte, producidos por las fuerzas aplicadas en la porción de la izquierda.
       Así como la fuerza cortante, el momento flector es variable y se representa por el Diagrama de Momento
Flector (DMF).

                                      M = ∑ M izq = ∑ Fizq d F sec                                             (Ec. 2)


        Convenio de signos
      El convenio más extendido de momento flector positivo es cuando produce concavidad hacia arriba, tal
como lo indica la figura 3.




                                (+)                                                 (-)
                                           Figura 3. Convenio de signos de M.




Facultad de Arquitectura y Diseño                                                             Sistemas Estructurales 20
Universidad de Los Andes, Venezuela                                                               Prof. Jorge O. Medina
w




                                                                                                     DFC




                                                                                                     DMF




                                 Figura 4. Diagrama de fuerza cortante y momento flector de vigas.


    Relación de carga fuerza cortante y momento flector
        La carga se relaciona con la fuerza cortante y el momento flector, las cuales permiten un método
alternativo para dibujar los diagramas. Las relaciones están indicadas en la Ecuación 3 (Popov, 1996; Singer y
Pytel, 1982).

                                         V2 − V1 = ΔV = areac arg as
                                          M 2 − M 1 = ΔM = areaDFC
                                            dV
                                          w=                                                                                (Ec. 3)
                                            dx
                                            dM
                                         V=
                                             dx

Vigas hiperestáticas
       Las vigas que poseen reacciones redundantes o un exceso de restricciones, aumentan el número de
incógnitas sin el consecuente aumento de ecuaciones disponibles de la estática, por ello se denominan vigas
hiperestaticas o vigas estáticamente indeterminadas (véase figura 5). En todos estos problemas son válidas las
ecuaciones de equilibrio estático, ecuaciones necesarias pero no suficientes para resolver los problemas
hiperestáticos. Las ecuaciones complementarias se establecen partiendo de consideraciones de la geometría de la
deformación. En sistemas estructurales, por necesidad física, ciertos elementos o partes deben flexionarse
conjuntamente, torcerse juntos al mismo tiempo, alargarse juntos, etc., o bien, permanecer fijos. Formulando tales
observaciones cuantitativamente se obtienen las ecuaciones adicionales requeridas (Popov, 1996).

    Métodos
       Los mismos métodos para determinar la deformación de las vigas son válidos para la resolución de vigas
hiperestáticas, ya que las ecuaciones adicionales para hacer un sistema matemáticamente determinado son
tomadas de la elástica de la viga.
       Una forma alternativa de añadir ecuaciones, es considerar como desconocido o hiperestático los momentos
de los apoyos. Una vez determinados estos momentos también llamados momentos de continuidad, el cálculo de
reacciones se hace sencillo. Uno de estos métodos se denomina tres momentos y la otra distribución de momentos
o rigidez (Singer y Pytel, 1982).




Facultad de Arquitectura y Diseño                                                                          Sistemas Estructurales 20
Universidad de Los Andes, Venezuela                                                                            Prof. Jorge O. Medina
Tres Momentos
       Para un número cualquiera de tramos, n, es posible escribir n—1 ecuaciones de tal clase. Esto da
suficientes ecuaciones simultáneas para la determinación de momentos redundantes sobre los apoyos. Tal
fórmula de recurrencia se llama ecuación de los tres momentos, debido a los tres momentos desconocidos que
aparecen en ella y se escribe de la siguiente forma:

                                                                                       Número de
                                                                                       reacciones = 4



                                                                                       Número de
                                                                                       reacciones = 5



                                                                                       Número de
                                                                                       reacciones = 6




                                                                                       Número de reacciones =
                                                                                       2 * número de apoyos
                                             Figura 5. Tipos de vigas hiperestáticas


                                                           6 A1a1 6 A2 b2        ⎛h   h ⎞
             M 1 L1 + 2 M 2 (L1 + L2 ) + M 3 L2 +                +        = 6 EI ⎜ 1 + 3 ⎟
                                                                                 ⎜L      ⎟
                                                             L1     L2           ⎝ 1 L2 ⎠                                (Ec. 4)

       Donde:    M1≡ Momento primer apoyo;
                 M2≡ Momento segundo apoyo;
                 M3≡Momento tercer apoyo;
                  6 A1a1
                    L1     ≡ Término de cargas primer tramo;
                  6 A2b2
                    L2    ≡ Término de cargas segundo tramo;
                 h1≡ Diferencia de altura entre el primer y segundo apoyo;
                 h2≡ Diferencia de altura entre el segundo y tercer apoyo.




                                                 L1                           L2

                                          Figura 6. Esquema de viga de tres momentos

       La ecuación de tres momentos fue determinada en la suposición de momentos flectores positivos, según lo
indicado en la Figura 7.
       En un problema particular, donde se tienen más de dos tramos. Un número suficiente de ecuaciones
simultáneas para determinar los momentos desconocidos se obtiene imaginando sucesivamente los apoyos de
tramos contiguos (véase Figura 8). De manera similar ocurre cuando se tiene un solo tramo, donde se agregan
tramos con condiciones cero, para adaptarse a la ecuación de tres momentos.

Facultad de Arquitectura y Diseño                                                                       Sistemas Estructurales 20
Universidad de Los Andes, Venezuela                                                                         Prof. Jorge O. Medina
Figura 7. Convenio de signos (Singer y Pytel, 1982, p. 251).

                                 Caso 1




                                                 L1                        L2                L3




                                                                                =
                                                 L1                        L2

                                                                          +

                                                                           L2                L3

                                 Caso 2
                                                                                =




                                                                                 L




                                           L=0                                   L
                             Figura 8. Aplicaciones del método de Tres Momentos en otro tipo de vigas


Predimensionado de vigas por resistencia
       El criterio de resistencia se basa en el empleo del concepto de esfuerzo, para el caso de la fuerza cortante
se produce el esfuerzo cortante y el momento flector produce el esfuerzo de flexión.

    Esfuerzo de flexión
       La relación entre el momento flector y el esfuerzo de flexión se hace mediante la fórmula de la flexión,
señalada en la Ecuación 5.
        Esta ecuación indica que el esfuerzo de flexión es proporcional a la distancia al eje neutro, esta relación se
puede observar en la Figura 9. Asimismo, se observa que el esfuerzo es máximo en los bordes superiores e
inferiores de la viga, el valor de y para los bordes coincide con el valor del centroide de la sección por lo que el
esfuerzo es máximo para y=c. De esta manera el esfuerzo máximo se expresa según la Ecuación 6 (Singer y
Pytel, 1982).


Facultad de Arquitectura y Diseño                                                                       Sistemas Estructurales 20
Universidad de Los Andes, Venezuela                                                                         Prof. Jorge O. Medina
My
                                                        σ=                                                           (Ec. 5)
                                                                  I
       Donde:      σ ≡ Esfuerzo normal de flexión;
                   M ≡ Momento flector aplicado en la sección;
                   y ≡ distancia desde el eje neutro;
                   I ≡ Momento de inercia centroidal.




                                                  c

                           Eje neutro                                              y
                                                                                               CG
                                                                         M




                                             Figura 9. Distribución del esfuerzo de flexión.


                                             Mc         I                M
                                  σ max =       ; si S = tenemos σ max =                                             (Ec. 6)
                                              I         c                S
       Donde:      S ≡ Módulo de sección.

        El módulo de sección es la propiedad geométrica que establece las dimensiones de la viga. Es por ello, que
se determina el módulo de sección necesario para resistir la carga aplicada sobre la viga según la Ecuación 7, esta
indica la sección mínima que debe ser empleada para un esfuerzo admisible establecido según el tipo de material
a utilizar.

                                                                  M
                                                       S req ≥                                                       (Ec. 7)
                                                                 σ adm
       Donde:      Sreq ≡ Módulo de sección requerido;
                   σadm ≡ Esfuerzo de flexión admisible del material.

        Predimensionado por flexión para viga de Acero
       Para el predimensionado de vigas de acero se emplea un diseño plástico que examina el comportamiento
en todo el intervalo de carga, desde una carga pequeña hasta una carga que origina el colapso de la viga1.
       En la Figura 10 se indica una viga donde se incrementa la carga, se observa en la Figura 10.a, la viga sigue
un esfuerzo lineal según lo señalado anteriormente, en la Figura 10.b, el esfuerzo máximo es igual al de cedencia.
A partir de este momento el diagrama deja de ser lineal2 y la cedencia avanza hasta el eje neutro. El colapso es
cuando toda la sección tiene un esfuerzo de cedencia (véase Figura 10.d).
       El diseño de una viga de acero se realiza para el punto de colapso y aplicado el criterio de estados límites,
el momento de colapso o momento plástico Mp o Mn será el momento máximo resistente a flexión que debe ser
mayor o igual al momento producido por la carga Mu. Así, la Ecuación 7 para el caso de acero, bajo la condición
de colapso sería como la señala la Ecuación 8 y por lo tanto el tipo de sección a emplear en acero debe tener un
módulo plástico mayor al determinado por la ecuación (Segui, 2000).


        1
        Se entiende por colapso de una viga de acero, el punto en el cual toda la sección alcanza el esfuerzo de
cedencia.
        2
            Por no poder obtener un esfuerzo mayor al de cedencia según el diagrama elastoplastico perfecto.

Facultad de Arquitectura y Diseño                                                                   Sistemas Estructurales 20
Universidad de Los Andes, Venezuela                                                                     Prof. Jorge O. Medina
Figura 10. Esquema de falla para una viga de acero (Segui, 2000, p. 147).


                                                               Mu
                                                    Z req ≥
                                                              φb Fy
                                                                                                                           (Ec. 8)

       Donde     Zreq≡ Módulo de sección plástico requerido;
                 Mu ≡ Momento mayorado;
                 øb ≡ Factor de resistencia de viga; øb= 0,9;
                 Fy ≡ Esfuerzo de cedencia del acero del perfil.

        Predimensionado por flexión para viga de concreto armado
       Las vigas solo de concreto no son eficientes para resistir la flexión, ya que el concreto no soporta la
tracción generada por el momento flector, fallando antes de alcanzar la capacidad que tiene en compresión, por lo
tanto se colocan barras de acero en el extremo sometido a tracción con una capa de concreto que protege el acero
del fuego y la corrosión. Para garantizar el comportamiento de la viga hecha de dos materiales (concreto y acero)
se debe impedir el desplazamiento relativo de las barras de acero respecto al concreto.
        En la Figura 11 se indica una viga donde se incrementa la carga hasta la falla, en la Figura 11.c la viga
sigue un esfuerzo lineal según lo señalado anteriormente para esfuerzos menores al de rotura del concreto a
tracción, en 11.b. Cuando la carga aumenta, se sobrepasa la resistencia a tracción del concreto y se agrieta, por lo
tanto el esfuerzo de tracción solo es soportado por las barras de acero al desaparecer la contribución de la
resistencia del concreto por debajo de la línea neutra (véase Figura 11.e). Al seguir aumentando la carga
desaparece la relación lineal del esfuerzo y la deformación por lo que se produce la falla (véase Figura 11.f).
        El punto de colapso de una viga puede ser de dos formas, según la cantidad de acero a colocar. Si el acero
es limitado, el acero cede antes del concreto alcanzar la falla por lo que la deformación es alta así como el tamaño
de las grietas siendo visibles; el concreto por lo tanto falla por aplastamiento. Este tipo de falla es gradual y esta
precedido por grietas visibles así como una flecha evidente.




Facultad de Arquitectura y Diseño                                                                         Sistemas Estructurales 20
Universidad de Los Andes, Venezuela                                                                           Prof. Jorge O. Medina
Figura 11. Comportamiento de una viga de concreto armado (Nilson, 1999, p.65).

        Por otra parte, cuando el acero es empleado en grandes cantidades, no se llega al punto de cedencia del
acero cuando el concreto falla, en consecuencia no se observan grandes grietas ni deflexiones importantes. El
concreto falla por aplastamiento repentino sin ningún tipo de aviso. Debido a la naturaleza súbita de este tipo de
falla, es aconsejable colocar una cantidad de acero limitada para así tener una colapso que pueda ser anticipado y
tomar medidas antes que esto ocurra.

                                         M u ≤ φM n
                                                    ⎛         ρf y    ⎞ 2                                                      (Ec. 9)
                                         M n = ρf y ⎜1 − 0,59
                                                    ⎜                 ⎟bd ⇒ M n = Ru bd 2
                                                                      ⎟
                                                    ⎝          f c′   ⎠
       Donde:        fy≡ Esfuerzo de cedencia del acero de refuerzo;
                     fc´≡ Resistencia del concreto de compresión a los 28 días;
                     ø≡ Factor de minoración de resistencia a flexión, ø=0,9;
                     b≡ Ancho de la sección transversal de la viga (véase Figura 11.b);
                     d≡ Altura útil de la viga de concreto armado (véase Figura 11.b);
                     R≡ Resistencia nominal a la flexión de la viga de concreto armado.

       Debido a las particularidades3 del comportamiento en los elementos de concreto armado, el
predimensionado es distinto al indicado en la Ecuación 7, principalmente debido a que las dimensiones de una
viga de concreto armado son función de la cuantía de acero (ρ4). El predimensionado se basa en la ecuación
fundamental de los estados límites5, donde los efectos de la carga (Mu) deben ser menores a la capacidad
disminuida de la viga a flexión (øMn).


        3
        Elementos constituidos por dos materiales y las vigas deben fallar para deformaciones mayores a las de
la cedencia del acero.
        4
            La cuantía de acero es la relación del área de acero de la sección (As) con respecto al área neta de la

sección (Ag),    ρ = As A            .
                         g


        5   ∑ γ Q ≤ φR
                 i   i       n
                                 .


Facultad de Arquitectura y Diseño                                                                             Sistemas Estructurales 20
Universidad de Los Andes, Venezuela                                                                               Prof. Jorge O. Medina
Al igualar los efectos de la carga con la capacidad a flexión, obtenemos la Ecuación 10 que proporciona
las mínimas dimensiones de una viga de concreto armado capaz de resistir las cargas aplicadas (Nilson, 1999).

                                                             M u = φRu bd 2
                                                                                                              (Ec. 10)
                                                                   Mu
                                                             d=
                                                                        φRu b
       El propósito del predimensionado es obtener las dimensiones de la viga para una cuantía de acero (ρ6)
predeterminada. A continuación se indican dos metodologías que ambas conducen al mismo resultado.

        Método 1
        Se selecciona una ρ7 apropiada que este entre ρmax y ρmin,
                                ε cu    f c′
        ρb = 0,85β
                           ε cu + ε y   fy
                                               ;

              f c′ ≤ 280
        si                 kgf/cm2
        β = 0,85
        ε cu = 0,003
        Multiplicando el numerador y denominador por Es, tenemos
                             6300 f c′
        ρb = 0,852
                           6300 + f y f y
                                                   ,

        ρ max = γρb        γ=0,5 zona sísmica,
        γ=0,75 zona no sísmica,

        ρ min = 14 f
                     y
                            ,

                                                                     ⎛        ρf ⎞
                                                           Ru = ρf y ⎜1 − 0,59 y ⎟
                                                                     ⎜
                                                                     ⎝         f c′ ⎟
                                                                                    ⎠,
        Calcular el factor de resistencia a la flexión Ru,

        Determinar la altura útil d, según:
                                                         M u = φRu bd 2 ,

        Recordar que h = d + 5 ; h = 2;4 b ,           [ ]
                     h≥L
        Verificar               α   (Nilson y Winter, 1994).


        6
             La cuantía de acero es la relación del área de acero de la sección (As) con respecto al área neta de la
                    As
sección (Ag), ρ        .
                    Ag
        7
            Esta cuantía debe estar cercana al valor máximo.




Facultad de Arquitectura y Diseño                                                              Sistemas Estructurales 20
Universidad de Los Andes, Venezuela                                                                Prof. Jorge O. Medina
Método 2

                                                q = ρ f y f c′
        Seleccionar q=0,20 o q=0,18 (                            ),

                                                                                        qmin ≤ q ≤ qmax
        Comprobar que el valor seleccionado de q se encuentre dentro del intervalo,                       ,
                            6300
        qb = 0,85β
                          6300 + f y
                                           si
                                                f c′ ≤ 280 kgf/cm2,

        qmax = γqb γ=0,5 zona sísmica,

        γ=0,75 zona no sísmica,

        qmin = 14 ′
                 fc ,

        Calcular Ju
                         J u = 1− 0,59q ,

        Calcular el factor de resistencia a la flexión Ru,
                                                                      Ru = f c′qJ u ,

        Determinar la altura útil d, según:
                                                    M u = φRu bd 2 ,

        Recordar que h = d + 5 ; h = 2;4 b ,    [ ]
                     h≥L
        Verificar           α    (Arnal y Epelboim, 1985).
        El método 2 es más práctico por la introducción de dos variables q y Ju, aunque estas carecen de sentido
físico son herramientas para facilitar el cálculo, y q tiene la ventaja de ser invariable con respecto a la resistencia
del concreto (f´c) tal como se observa en las tablas a continuación.

        Tabla 1 Valores de φRu

         f´c (kgf/cm2)     φRu (kgf/cm2)
             150                23,81
             200                31,75
             210                33,34
             250                39,69
             280                44,45

    Esfuerzo cortante
       Al hacer una viga formada por varias capas, se observa que cada capa se desliza con respecto a las
contiguas, siendo la viga menos resistente que el caso de una viga maciza, porque la viga de la derecha posee
mayor deflexión ante la misma carga que la viga de la izquierda (véase Figura 12). Esto se debe a que para
compensar la resultante del esfuerzo de flexión se genera un esfuerzo cortante, solo es posible que se genere en
las vigas macizas, por lo que en las vigas de capas, al no poder formarse el esfuerzo de corte se deslizan las
capas.




Facultad de Arquitectura y Diseño                                                               Sistemas Estructurales 20
Universidad de Los Andes, Venezuela                                                                 Prof. Jorge O. Medina
P




                                Figura 12. Comparación entre viga formada por capas y viga maciza.

        Para determinar el esfuerzo cortante se observa que es función de la fuerza cortante vertical, la razón de
ello es que para conservar el equilibrio y la sección no tener una distorsión angular, se debe acompañar a un par
de fuerzas horizontales un par de fuerzas verticales, esto se nota al realizar el equilibrio sobre un elemento
diferencial de la viga. El esfuerzo cortante es máximo por lo general en el eje neutro, contrario a lo ocurrido por
flexión (véase Figura 13).

                                                                                                                 Ay
                                                                                                     CG
                                            c
                                                                                                d
                                                                           V        y                b
                      Eje neutro
                                                                                                    CG



                                           Figura 13. Distribución del esfuerzo cortante.


                                                            VQ
                                                      τ=                                                                 (Ec. 11)
                                                            bI
       Donde:    τ ≡ Esfuerzo cortante;
                 V ≡ Fuerza cortante;
                 Q ≡ momento de primer orden; Q=Ay d;
                 b ≡ ancho de la sección a una altura y;
                 I ≡ Momento de inercia;

        Corte en vigas de acero
      Los perfiles de acero poseen gran resistencia al corte, por lo que el corte en los perfiles consiste solo en
comprobar que le perfil calculado sea capaz de resistir el corte.

                                         Vu ≤ φVn ; Vn = 0,6 Fy Cv Aw                                                    (Ec. 12)


       Donde:    Vu≡ Corte aplicado sobre el perfil;
                 Vn≡ Corte resistente del perfil;
                 Aw≡ Area del alma del perfil, Aw=htw;
                 ø ≡ Factor de minoración de resistencia para vigas, ø=0,9;
                 Cv≡ coeficiente de corte según la proporción del alma.




Facultad de Arquitectura y Diseño                                                                         Sistemas Estructurales 20
Universidad de Los Andes, Venezuela                                                                           Prof. Jorge O. Medina
h
                                                            ≤ 69,6 ⇒ Cv = 1
                                                         tw
                                                       h               69,6
                                         69,6 <          ≤ 86,9 ⇒ Cv =                                                        (Ec. 13)8
                                                      tw                h
                                                                          tw
                                                          h         6199
                                              86,9 <        ⇒ Cv =       2
                                                         tw        ⎛h ⎞
                                                                   ⎜ t ⎟
                                                                   ⎝ w⎠
       Donde:      h≡ Altura del perfil;
                   tw≡ espesor del alma del perfil.

        Corte en viga de concreto armado
       La resistencia de las vigas de concreto armado es producida por la suma de la resistencia al corte del
concreto más la resistencia al corte del acero, el acero resistente al corte se proporciona mediante estribos que
amarran las barras longitudinales y cubre el perímetro del núcleo de la sección9, de manera que el concreto en la
parte exterior del estribo es solo de recubrimiento, además las especificaciones establecen la separación
longitudinal de los estribos (s).




                                                                                                       s
                           Figura 14. Esquema de un estribo en la sección transversal y sección longitudinal.

       Partiendo de la filosofía de diseño de la norma, se establece la separación de los estribos según la fuerza
cortante aplicada y el corte resistente del concreto.

                                                                                          Av f y d
                          Vu ≤ φVn ; Vn = vc + vs ; vc = 0,53 f c′bd ; vs =                                                    (Ec. 14)
                                                                                             s
       Donde:      Vu≡ Corte aplicado en la sección;
                   Vn≡ Corte resistente de la viga;
                   ø ≡ Factor de minoración de resistencia al corte, ø= 0,75;
                   vc≡ Corte resistente del concreto;
                   vs≡ Corte resistente del acero;
                   Av≡ Area de acero de los estribos;
                   s≡ Separación de los estribos.



        8
            Ecuación válida para acero tipo PS-25.
        9
            Se denomian “núcleo de sección” a la porción de concreto encerrada por el estribo.




Facultad de Arquitectura y Diseño                                                                               Sistemas Estructurales 20
Universidad de Los Andes, Venezuela                                                                                 Prof. Jorge O. Medina
Pred
   dimensio
          onado de vigas por rigidez
                                   z
       Adicionalmeente al diseño de vigas por resistencia, se debe deter
                                o                                      rminar la defl
                                                                                    lexión máxim de una viga
                                                                                               ma            a
bajo u carga dada, ya que las e
     una                         especificacion de diseño incluyen un v
                                              nes                      valor máximo admisible par la deflexión
                                                                                                ra           n
y en a
     algunos casos el diseño de l viga queda d
                                la            determinado m por rigide que por resistencia.
                                                          más          ez
        Por otra par el estudio de rigidez de viga es imp
                   rte,        o               e            portante porqu los pisos e un edificio no se pueden
                                                                         ue           en                         n
flexio
     onar excesivammente, ya qu tiene un efecto psicológ
                               ue                            gico en los o
                                                                         ocupantes ade emás se debe minimizar o
                                                                                                   e
imped el deterioro de los mater
     dir           o            riales frágiles del acabado. A
                                                             Asimismo el e
                                                                         estudio de las deformaciones en las vigas
prove ecuaciones adicionales estas con las de equ
     ee            s            s,                          uilibrio perm
                                                                        miten resolver las vigas estáticamente
                                                                                       r                         e
indete
     erminadas o hiperestáticas.
        En la figura 15 se indica la deflexión o flecha por la variable y
                   a            a            n              r            y(x); esta constituye la dist
                                                                                                     tancia entre la
                                                                                                                   a
posici original d la viga y la posición que adquiere des
      ión         de            a             e             spués de aplic las cargas. La pendiente de una recta
                                                                         car                                       a
tangen a la posici deformada o elástica de la viga, esta definida por e valor de θ(x y represent el ángulo de
      nte          ión           a            e                          el             x)           ta            e
la recta tangente co respecto a la posición or
                   on                         riginal. Es im
                                                           mportante seña que las de
                                                                        alar           eflexiones determinadas por
estas s
      suposiciones s limitan a de
                   se            eflexiones que son pequeña en relación con la longitu del claro, por ello se dice
                                              e             as                         ud           p              e
que ta θ ≈ θ(x) en radianes.
     an




                  Figu 15. Variables q intervienen en la deformació de una viga (B
                     ura             que           e              ón             Beer y Johnston, 1993, p. 480).


   Métodos pa determ
   M        ara    minar la de
                             eformació en vigas
                                     ón
       Se utilizan v
                   varios método para determ
                                 os           minar la deform
                                                            mación en viga (doble integ
                                                                         as           gración, super
                                                                                                   rposición, área
                                                                                                                 a
de moomentos, viga conjugada, rigidez direc elementos finitos etc… todos está basados e los mismos
                    a                          cta,         s           …),           án          en
princi
     ipios pero difi
                   ieren en su téc
                                 cnica y objetiv
                                               vos.

       Superposici
                 ión
        Como métod alternativo para la evalu
                   do          o             uación de pend                            lástica se pued utilizar los
                                                            dientes y ordenadas de la el             den
resultados de algun tipos senci
                  nos           illos de cargas para obtene por suma de efectos, las s
                                              s,            er            e            soluciones corrrespondientes
a carg más comp
     gas          plicadas. Este procedimient llamado sup
                                              to             perposición, d
                                                                          determina la p
                                                                                       pendiente y deeflexión en un
                                                                                                                  n
punto mediante la suma de las pendientes o deflexiones p     producidas en ese mismo p
                                                                          n             punto, por ca una de las
                                                                                                     ada
cargas cuando actúan por separad (Singer y P
      s                         do            Pytel, 1982).

   Diseño por rigidez en vigas de acero
            r          n        e
        Para las estr            cero, la deflexión es un esta límite de servicio, no d resistencia, por lo que las
                    ructuras de ac                           ado                        de
deflexxiones deben ssiempre calcuularse con carg de servicio10. Para el cál
                                               gas           o            lculo de la flecha se emplea el módulo de
                                                                                                     a            e
      cidad del acer y el momen de inercia del perfil, la flecha máxim se compara con los valores admisibles
elastic             ro            nto                                    ma             a
para eestructuras de acero (Segui, 2000)


       10
            Cargas sin ser mayorad
                     n           das.




Faculta de Arquitectura y Diseño
      ad              a                                                                                  Sistemas Estructurales 20
                                                                                                                s                0
Universidad de Los And Venezuela
                     des,                                                                                    Prof Jorge O. Medin
                                                                                                                f.               na
Diseño por rigidez en vigas de concreto armado
       Para las vigas de concreto armado no es necesario determinar la flecha si se trata de elementos cuya
deformación no perjudique a elementos no estructurales, siempre y cuando se halla chequeado que h ≥ L α ;
donde los valores de α se indican en la Tabla 1. En caso de emplear valores de h menores a lo indicado en la
fórmula, se debe calcular la flecha para carga variable y comparar con la flecha admisible, el valor de I a emplear
en el cálculo de flecha se obtiene al aplicar la Ecuación 15 ya que el momento de inercia es un valor que oscila
entre el correspondiente a la sección completa y el de la sección completamente agrietada (González y Robles,
1997).

        Tabla 1. Valores de α

           Tipo de apoyo            α
        Simplemente apoyada        16
         1 extremo continuo       18,5
        2 extremos continuos       21
                Volado              8


                                             ⎛ M ag ⎞
                                                      3
                                                         ⎡ ⎛ M ag ⎞3 ⎤
                                        Ie = ⎜
                                             ⎜ M ⎟ I g + ⎢1 − ⎜ M ⎟ ⎥ I ag ≤ I g
                                                    ⎟         ⎜   ⎟
                                             ⎝ max ⎠     ⎢ ⎝ max ⎠ ⎥
                                                         ⎣           ⎦

                                                             2 f c′I g
                                                  M ag =                                                             (Ec. 15)
                                                                 yt

       Donde:     Mag≡ Momento de agrietamiento;
                  Mmax ≡ Momento máximo bajo cargas variable;
                  Ie ≡ Momento de inercia efectivo ;
                  Ig ≡ Momento de inercia de la sección completa;
                  Iag ≡ Momento de inercia de la sección agrietada transformada.


                    Para vigas con ambos extremos continuos     I e = 0,7 I c + 0,15(I e1 + I e 2 )

                                                                I
                              Para vigas con un extremo continuo e
                                                                      = 0,85I c + 0,15I ex                           (Ec. 16)

       Donde:     Ic ≡ Momento de inercia efectivo de la parte central;
                  Ie1 , Ie2 , Iex ≡ Momento de inercia efectivo en los extremos.


Referencias
−    Beer, F. y Johnston, E. (1993). Mecánica de Materiales. Santafé de Bogota, Colombia: McGraw-Hill
     Interamericanam S.A.
−    González, O. y Robles, F. (1997). Aspectos Fundamentales del Concreto Reforzado. México D.F., México:
     Editorial LIMUSA, S.A. de C.V.
−    Nilson, A. (1999). Diseño de estructuras de concreto. Santafé de Bogotá, Colombia: McGraw-Hill
     Interamericana, S.A.
−    Popov, E. (1996). Introducción a la mecánica de sólidos. México D.F., México: Editorial LIMUSA, S.A. de
     C.V.




Facultad de Arquitectura y Diseño                                                                     Sistemas Estructurales 20
Universidad de Los Andes, Venezuela                                                                       Prof. Jorge O. Medina
−    Segui, W. (2000). Diseño de estructuras de acero con LRFD. México D.F., México: Internacional Thomson
     Editores, S.A. de C.V.
−    Singer, F. y Pytel, A. (1982). Resistencia de materiales. México D.F., México: Editorial Harla, S.A. de C.V.




Facultad de Arquitectura y Diseño                                                            Sistemas Estructurales 20
Universidad de Los Andes, Venezuela                                                              Prof. Jorge O. Medina

Más contenido relacionado

La actualidad más candente

Tabla de modulos de elasticidad
Tabla de modulos de elasticidadTabla de modulos de elasticidad
Tabla de modulos de elasticidad
Javier Antonio Cárdenas Oliveros
 
puentes-linea-de-influencia-y-teorema-de-barret
puentes-linea-de-influencia-y-teorema-de-barretpuentes-linea-de-influencia-y-teorema-de-barret
puentes-linea-de-influencia-y-teorema-de-barret
Levis Carrion Ch
 
Proceso constructivo de obras de concreto simple
Proceso constructivo de  obras de concreto simpleProceso constructivo de  obras de concreto simple
Proceso constructivo de obras de concreto simple
UPAO
 
TEMAS 5 Y 6. CAPACIDAD DE CARGA DEL SUELO, CONSOLIDACIÓN Y ESFUERZO CORTANTE
TEMAS 5 Y 6. CAPACIDAD DE CARGA DEL SUELO, CONSOLIDACIÓN Y ESFUERZO CORTANTETEMAS 5 Y 6. CAPACIDAD DE CARGA DEL SUELO, CONSOLIDACIÓN Y ESFUERZO CORTANTE
TEMAS 5 Y 6. CAPACIDAD DE CARGA DEL SUELO, CONSOLIDACIÓN Y ESFUERZO CORTANTE
mariaedurans
 
Formulas y diagramas para el cálculos de vigas
Formulas y diagramas para el cálculos de vigasFormulas y diagramas para el cálculos de vigas
Formulas y diagramas para el cálculos de vigas
FRANKY HERNANDEZ ACOSTA
 
Análisis de vigas de concreto armado
Análisis de vigas de concreto armadoAnálisis de vigas de concreto armado
Análisis de vigas de concreto armado
José Grimán Morales
 
70 problemas de ha
70 problemas de ha70 problemas de ha
70 problemas de ha
oscar torres
 
capacidad portante de suelos
 capacidad portante de suelos capacidad portante de suelos
capacidad portante de suelos
kairope
 
Formulario vigas
Formulario vigasFormulario vigas
011 capitulo 3 lineas de influencia
011 capitulo 3 lineas de  influencia011 capitulo 3 lineas de  influencia
011 capitulo 3 lineas de influencia
43185121
 
Esfuerzo en vigas
Esfuerzo en vigas Esfuerzo en vigas
Esfuerzo en vigas
alianzalima123
 
Albañileria confinada y armada
Albañileria confinada y armadaAlbañileria confinada y armada
Albañileria confinada y armada
E_Valencia_R
 
247723127 manual-de-modelado-de-edificio-en-etabs-javier-guevara-davila
247723127 manual-de-modelado-de-edificio-en-etabs-javier-guevara-davila247723127 manual-de-modelado-de-edificio-en-etabs-javier-guevara-davila
247723127 manual-de-modelado-de-edificio-en-etabs-javier-guevara-davila
Rafael Cine Paez
 
Prop geom aashto
Prop geom aashtoProp geom aashto
Prop geom aashto
Juan Victor Ortiz Flores
 
Tablas para metodo superposición
Tablas para metodo superposiciónTablas para metodo superposición
Tablas para metodo superposición
Gauddy Eleamelis Arcila Mora
 
Diseño de Cimentaciones Carlos Magdaleno
Diseño de Cimentaciones  Carlos MagdalenoDiseño de Cimentaciones  Carlos Magdaleno
Diseño de Cimentaciones Carlos Magdaleno
Adan Vazquez Rodriguez
 
ejercicios de estructuras isostáticas. analisis estructural
ejercicios de estructuras isostáticas. analisis estructuralejercicios de estructuras isostáticas. analisis estructural
ejercicios de estructuras isostáticas. analisis estructural
Ligia Elena Hinojosa de la Cruz
 
168418175 calculo-de-cargas-muertas-y-vivas
168418175 calculo-de-cargas-muertas-y-vivas168418175 calculo-de-cargas-muertas-y-vivas
168418175 calculo-de-cargas-muertas-y-vivas
Gus Renan
 
Rigidez tipos de estructuras
Rigidez tipos de estructurasRigidez tipos de estructuras
Rigidez tipos de estructuras
Walter Pacheco Javier
 
metodos energeticos
metodos energeticosmetodos energeticos
metodos energeticos
Jimmi Cari
 

La actualidad más candente (20)

Tabla de modulos de elasticidad
Tabla de modulos de elasticidadTabla de modulos de elasticidad
Tabla de modulos de elasticidad
 
puentes-linea-de-influencia-y-teorema-de-barret
puentes-linea-de-influencia-y-teorema-de-barretpuentes-linea-de-influencia-y-teorema-de-barret
puentes-linea-de-influencia-y-teorema-de-barret
 
Proceso constructivo de obras de concreto simple
Proceso constructivo de  obras de concreto simpleProceso constructivo de  obras de concreto simple
Proceso constructivo de obras de concreto simple
 
TEMAS 5 Y 6. CAPACIDAD DE CARGA DEL SUELO, CONSOLIDACIÓN Y ESFUERZO CORTANTE
TEMAS 5 Y 6. CAPACIDAD DE CARGA DEL SUELO, CONSOLIDACIÓN Y ESFUERZO CORTANTETEMAS 5 Y 6. CAPACIDAD DE CARGA DEL SUELO, CONSOLIDACIÓN Y ESFUERZO CORTANTE
TEMAS 5 Y 6. CAPACIDAD DE CARGA DEL SUELO, CONSOLIDACIÓN Y ESFUERZO CORTANTE
 
Formulas y diagramas para el cálculos de vigas
Formulas y diagramas para el cálculos de vigasFormulas y diagramas para el cálculos de vigas
Formulas y diagramas para el cálculos de vigas
 
Análisis de vigas de concreto armado
Análisis de vigas de concreto armadoAnálisis de vigas de concreto armado
Análisis de vigas de concreto armado
 
70 problemas de ha
70 problemas de ha70 problemas de ha
70 problemas de ha
 
capacidad portante de suelos
 capacidad portante de suelos capacidad portante de suelos
capacidad portante de suelos
 
Formulario vigas
Formulario vigasFormulario vigas
Formulario vigas
 
011 capitulo 3 lineas de influencia
011 capitulo 3 lineas de  influencia011 capitulo 3 lineas de  influencia
011 capitulo 3 lineas de influencia
 
Esfuerzo en vigas
Esfuerzo en vigas Esfuerzo en vigas
Esfuerzo en vigas
 
Albañileria confinada y armada
Albañileria confinada y armadaAlbañileria confinada y armada
Albañileria confinada y armada
 
247723127 manual-de-modelado-de-edificio-en-etabs-javier-guevara-davila
247723127 manual-de-modelado-de-edificio-en-etabs-javier-guevara-davila247723127 manual-de-modelado-de-edificio-en-etabs-javier-guevara-davila
247723127 manual-de-modelado-de-edificio-en-etabs-javier-guevara-davila
 
Prop geom aashto
Prop geom aashtoProp geom aashto
Prop geom aashto
 
Tablas para metodo superposición
Tablas para metodo superposiciónTablas para metodo superposición
Tablas para metodo superposición
 
Diseño de Cimentaciones Carlos Magdaleno
Diseño de Cimentaciones  Carlos MagdalenoDiseño de Cimentaciones  Carlos Magdaleno
Diseño de Cimentaciones Carlos Magdaleno
 
ejercicios de estructuras isostáticas. analisis estructural
ejercicios de estructuras isostáticas. analisis estructuralejercicios de estructuras isostáticas. analisis estructural
ejercicios de estructuras isostáticas. analisis estructural
 
168418175 calculo-de-cargas-muertas-y-vivas
168418175 calculo-de-cargas-muertas-y-vivas168418175 calculo-de-cargas-muertas-y-vivas
168418175 calculo-de-cargas-muertas-y-vivas
 
Rigidez tipos de estructuras
Rigidez tipos de estructurasRigidez tipos de estructuras
Rigidez tipos de estructuras
 
metodos energeticos
metodos energeticosmetodos energeticos
metodos energeticos
 

Destacado

Tipos de losas y vigas (construccion ll)
Tipos de losas y vigas (construccion ll)Tipos de losas y vigas (construccion ll)
Tipos de losas y vigas (construccion ll)
rosariomarianni
 
Materiales y Metodos contemporaneos
Materiales y Metodos contemporaneosMateriales y Metodos contemporaneos
Materiales y Metodos contemporaneos
Linette CR
 
Tipos de cimbras
Tipos de cimbrasTipos de cimbras
Tipos de cimbras
Gladis Hdez
 
Procesos de construcción losas
Procesos de construcción   losasProcesos de construcción   losas
Procesos de construcción losas
Jorge Campos
 
Tema 5. vigas y losas
Tema 5. vigas y losasTema 5. vigas y losas
Tema 5. vigas y losas
Lialbertm
 
APLICACIONES DE LA INTEGRAL DEFINIDA - Ing. Norma Quiroga
APLICACIONES DE LA INTEGRAL DEFINIDA - Ing. Norma QuirogaAPLICACIONES DE LA INTEGRAL DEFINIDA - Ing. Norma Quiroga
APLICACIONES DE LA INTEGRAL DEFINIDA - Ing. Norma Quiroga
Norma Quiroga
 
Tipos de losas
Tipos de losasTipos de losas

Destacado (7)

Tipos de losas y vigas (construccion ll)
Tipos de losas y vigas (construccion ll)Tipos de losas y vigas (construccion ll)
Tipos de losas y vigas (construccion ll)
 
Materiales y Metodos contemporaneos
Materiales y Metodos contemporaneosMateriales y Metodos contemporaneos
Materiales y Metodos contemporaneos
 
Tipos de cimbras
Tipos de cimbrasTipos de cimbras
Tipos de cimbras
 
Procesos de construcción losas
Procesos de construcción   losasProcesos de construcción   losas
Procesos de construcción losas
 
Tema 5. vigas y losas
Tema 5. vigas y losasTema 5. vigas y losas
Tema 5. vigas y losas
 
APLICACIONES DE LA INTEGRAL DEFINIDA - Ing. Norma Quiroga
APLICACIONES DE LA INTEGRAL DEFINIDA - Ing. Norma QuirogaAPLICACIONES DE LA INTEGRAL DEFINIDA - Ing. Norma Quiroga
APLICACIONES DE LA INTEGRAL DEFINIDA - Ing. Norma Quiroga
 
Tipos de losas
Tipos de losasTipos de losas
Tipos de losas
 

Similar a Vigas

Semana 8 fuerzas internas diagramas v-m
Semana 8   fuerzas internas  diagramas v-mSemana 8   fuerzas internas  diagramas v-m
Semana 8 fuerzas internas diagramas v-m
benedicto requez sanchez
 
Caculo de fuerzas.
Caculo de fuerzas.Caculo de fuerzas.
Caculo de fuerzas.
Jorge Muñoz Román
 
Sesion 1 1.1 fuerzas internas diagramas
Sesion 1   1.1 fuerzas internas diagramasSesion 1   1.1 fuerzas internas diagramas
Sesion 1 1.1 fuerzas internas diagramas
Julian La Torre
 
Deformacion en yugo izaje
Deformacion  en  yugo izajeDeformacion  en  yugo izaje
Deformacion en yugo izaje
Alejandro Franz Alvarez Peña
 
Apuntes resistencia de materiales iii
Apuntes resistencia de materiales iiiApuntes resistencia de materiales iii
Apuntes resistencia de materiales iii
Carlos Canal
 
Apuntes resistencia de materiales iii
Apuntes resistencia de materiales iiiApuntes resistencia de materiales iii
Apuntes resistencia de materiales iii
Moises MA
 
Apuntes resistencia de materiales iii
Apuntes resistencia de materiales iiiApuntes resistencia de materiales iii
Apuntes resistencia de materiales iii
Mauricio Rodelo Aguirre
 
Apuntes resistencia de materiales iii
Apuntes resistencia de materiales iiiApuntes resistencia de materiales iii
Apuntes resistencia de materiales iii
fsijest
 
Apuntes resistencia de materiales iii
Apuntes resistencia de materiales iiiApuntes resistencia de materiales iii
Apuntes resistencia de materiales iii
hfoviedor
 
Apuntes resistencia de materiales
Apuntes resistencia de materialesApuntes resistencia de materiales
Apuntes resistencia de materiales
Patoo Lopez
 
Mecanica de los solidos
Mecanica de los solidosMecanica de los solidos
Mecanica de los solidos
IngenierosPetroquimicos
 
Practica diagramas 2014_09_10
Practica diagramas 2014_09_10Practica diagramas 2014_09_10
Practica diagramas 2014_09_10
RUBENLOPEZ40
 
Fuerza v momento_flector
Fuerza v momento_flectorFuerza v momento_flector
Fuerza v momento_flector
wallky8520
 
Fuerza v momento_flector
Fuerza v momento_flectorFuerza v momento_flector
Fuerza v momento_flector
Karla Meixueiro Calderon
 
Fuerza v momento_flector
Fuerza v momento_flectorFuerza v momento_flector
Fuerza v momento_flector
rabitengel
 
Fuerza v momento_flector
Fuerza v momento_flectorFuerza v momento_flector
Fuerza v momento_flector
Julio Cësar Huillca Cano
 
Fuerza cortante (v) momento_flector (m)
Fuerza cortante (v) momento_flector (m)Fuerza cortante (v) momento_flector (m)
Fuerza cortante (v) momento_flector (m)
Orlando Butron Silisque
 
practicadiagramas1223333333gggggggggggggggggggggggggggggggggggggggggggggggggg...
practicadiagramas1223333333gggggggggggggggggggggggggggggggggggggggggggggggggg...practicadiagramas1223333333gggggggggggggggggggggggggggggggggggggggggggggggggg...
practicadiagramas1223333333gggggggggggggggggggggggggggggggggggggggggggggggggg...
201801331a
 
Significado de cortante y momento flector
Significado de cortante y momento flectorSignificado de cortante y momento flector
Significado de cortante y momento flector
Guido_Arce
 
Clase 1 diagramas de_estado
Clase 1 diagramas de_estadoClase 1 diagramas de_estado
Clase 1 diagramas de_estado
Mirna Ojeda
 

Similar a Vigas (20)

Semana 8 fuerzas internas diagramas v-m
Semana 8   fuerzas internas  diagramas v-mSemana 8   fuerzas internas  diagramas v-m
Semana 8 fuerzas internas diagramas v-m
 
Caculo de fuerzas.
Caculo de fuerzas.Caculo de fuerzas.
Caculo de fuerzas.
 
Sesion 1 1.1 fuerzas internas diagramas
Sesion 1   1.1 fuerzas internas diagramasSesion 1   1.1 fuerzas internas diagramas
Sesion 1 1.1 fuerzas internas diagramas
 
Deformacion en yugo izaje
Deformacion  en  yugo izajeDeformacion  en  yugo izaje
Deformacion en yugo izaje
 
Apuntes resistencia de materiales iii
Apuntes resistencia de materiales iiiApuntes resistencia de materiales iii
Apuntes resistencia de materiales iii
 
Apuntes resistencia de materiales iii
Apuntes resistencia de materiales iiiApuntes resistencia de materiales iii
Apuntes resistencia de materiales iii
 
Apuntes resistencia de materiales iii
Apuntes resistencia de materiales iiiApuntes resistencia de materiales iii
Apuntes resistencia de materiales iii
 
Apuntes resistencia de materiales iii
Apuntes resistencia de materiales iiiApuntes resistencia de materiales iii
Apuntes resistencia de materiales iii
 
Apuntes resistencia de materiales iii
Apuntes resistencia de materiales iiiApuntes resistencia de materiales iii
Apuntes resistencia de materiales iii
 
Apuntes resistencia de materiales
Apuntes resistencia de materialesApuntes resistencia de materiales
Apuntes resistencia de materiales
 
Mecanica de los solidos
Mecanica de los solidosMecanica de los solidos
Mecanica de los solidos
 
Practica diagramas 2014_09_10
Practica diagramas 2014_09_10Practica diagramas 2014_09_10
Practica diagramas 2014_09_10
 
Fuerza v momento_flector
Fuerza v momento_flectorFuerza v momento_flector
Fuerza v momento_flector
 
Fuerza v momento_flector
Fuerza v momento_flectorFuerza v momento_flector
Fuerza v momento_flector
 
Fuerza v momento_flector
Fuerza v momento_flectorFuerza v momento_flector
Fuerza v momento_flector
 
Fuerza v momento_flector
Fuerza v momento_flectorFuerza v momento_flector
Fuerza v momento_flector
 
Fuerza cortante (v) momento_flector (m)
Fuerza cortante (v) momento_flector (m)Fuerza cortante (v) momento_flector (m)
Fuerza cortante (v) momento_flector (m)
 
practicadiagramas1223333333gggggggggggggggggggggggggggggggggggggggggggggggggg...
practicadiagramas1223333333gggggggggggggggggggggggggggggggggggggggggggggggggg...practicadiagramas1223333333gggggggggggggggggggggggggggggggggggggggggggggggggg...
practicadiagramas1223333333gggggggggggggggggggggggggggggggggggggggggggggggggg...
 
Significado de cortante y momento flector
Significado de cortante y momento flectorSignificado de cortante y momento flector
Significado de cortante y momento flector
 
Clase 1 diagramas de_estado
Clase 1 diagramas de_estadoClase 1 diagramas de_estado
Clase 1 diagramas de_estado
 

Más de Viana Umaña, UES

MANUAL DE ETABS -libre-
MANUAL DE ETABS -libre-MANUAL DE ETABS -libre-
MANUAL DE ETABS -libre-
Viana Umaña, UES
 
ANÁLISIS URBANO DE COJUTEPEQUE
ANÁLISIS URBANO DE COJUTEPEQUEANÁLISIS URBANO DE COJUTEPEQUE
ANÁLISIS URBANO DE COJUTEPEQUE
Viana Umaña, UES
 
Patologia del acero
Patologia del aceroPatologia del acero
Patologia del acero
Viana Umaña, UES
 
RESTAURO HISTORICO
RESTAURO HISTORICORESTAURO HISTORICO
RESTAURO HISTORICO
Viana Umaña, UES
 
Analisis de mi casa
Analisis de mi casaAnalisis de mi casa
Analisis de mi casa
Viana Umaña, UES
 
Trabajo de san marcos3
Trabajo de san marcos3Trabajo de san marcos3
Trabajo de san marcos3
Viana Umaña, UES
 
Chateau Versailles
Chateau VersaillesChateau Versailles
Chateau Versailles
Viana Umaña, UES
 
Renacimiento En Alemania 2
Renacimiento En Alemania 2Renacimiento En Alemania 2
Renacimiento En Alemania 2
Viana Umaña, UES
 
Catedral De Leon
Catedral De LeonCatedral De Leon
Catedral De Leon
Viana Umaña, UES
 
Romanico Formal
Romanico FormalRomanico Formal
Romanico Formal
Viana Umaña, UES
 

Más de Viana Umaña, UES (10)

MANUAL DE ETABS -libre-
MANUAL DE ETABS -libre-MANUAL DE ETABS -libre-
MANUAL DE ETABS -libre-
 
ANÁLISIS URBANO DE COJUTEPEQUE
ANÁLISIS URBANO DE COJUTEPEQUEANÁLISIS URBANO DE COJUTEPEQUE
ANÁLISIS URBANO DE COJUTEPEQUE
 
Patologia del acero
Patologia del aceroPatologia del acero
Patologia del acero
 
RESTAURO HISTORICO
RESTAURO HISTORICORESTAURO HISTORICO
RESTAURO HISTORICO
 
Analisis de mi casa
Analisis de mi casaAnalisis de mi casa
Analisis de mi casa
 
Trabajo de san marcos3
Trabajo de san marcos3Trabajo de san marcos3
Trabajo de san marcos3
 
Chateau Versailles
Chateau VersaillesChateau Versailles
Chateau Versailles
 
Renacimiento En Alemania 2
Renacimiento En Alemania 2Renacimiento En Alemania 2
Renacimiento En Alemania 2
 
Catedral De Leon
Catedral De LeonCatedral De Leon
Catedral De Leon
 
Romanico Formal
Romanico FormalRomanico Formal
Romanico Formal
 

Último

PLAN DE TRABAJO DIA DEL LOGRO 2024 URP.docx
PLAN DE TRABAJO DIA DEL LOGRO 2024 URP.docxPLAN DE TRABAJO DIA DEL LOGRO 2024 URP.docx
PLAN DE TRABAJO DIA DEL LOGRO 2024 URP.docx
william antonio Chacon Robles
 
Lecciones 02 Un día en el ministerio de Jesús.docx
Lecciones 02 Un día en el ministerio de Jesús.docxLecciones 02 Un día en el ministerio de Jesús.docx
Lecciones 02 Un día en el ministerio de Jesús.docx
Alejandrino Halire Ccahuana
 
Plataformas de vídeo online (2 de julio de 2024)
Plataformas de vídeo online (2 de julio de 2024)Plataformas de vídeo online (2 de julio de 2024)
Plataformas de vídeo online (2 de julio de 2024)
Cátedra Banco Santander
 
ACERTIJO MATEMÁTICO DEL MEDALLERO OLÍMPICO. Por JAVIER SOLIS NOYOLA
ACERTIJO MATEMÁTICO DEL MEDALLERO OLÍMPICO. Por JAVIER SOLIS NOYOLAACERTIJO MATEMÁTICO DEL MEDALLERO OLÍMPICO. Por JAVIER SOLIS NOYOLA
ACERTIJO MATEMÁTICO DEL MEDALLERO OLÍMPICO. Por JAVIER SOLIS NOYOLA
JAVIER SOLIS NOYOLA
 
La Gatera de la Villa nº 52. Historia y patrimonio de Madrid.
La Gatera de la Villa nº 52. Historia y patrimonio de Madrid.La Gatera de la Villa nº 52. Historia y patrimonio de Madrid.
La Gatera de la Villa nº 52. Historia y patrimonio de Madrid.
La Gatera de la Villa
 
EJEMPLOS DE FLORA Y FAUNA DE LA COSTA PERUANA
EJEMPLOS DE FLORA Y FAUNA DE LA COSTA PERUANAEJEMPLOS DE FLORA Y FAUNA DE LA COSTA PERUANA
EJEMPLOS DE FLORA Y FAUNA DE LA COSTA PERUANA
dairatuctocastro
 
Enseñar a Nativos Digitales MP2 Ccesa007.pdf
Enseñar a Nativos Digitales MP2 Ccesa007.pdfEnseñar a Nativos Digitales MP2 Ccesa007.pdf
Enseñar a Nativos Digitales MP2 Ccesa007.pdf
Demetrio Ccesa Rayme
 
DIBUJANDO CON MATEMÁTICA LA GIMNASIA OLÍMPICA. Por JAVIER SOLIS NOYOLA
DIBUJANDO CON MATEMÁTICA LA GIMNASIA OLÍMPICA. Por JAVIER SOLIS NOYOLADIBUJANDO CON MATEMÁTICA LA GIMNASIA OLÍMPICA. Por JAVIER SOLIS NOYOLA
DIBUJANDO CON MATEMÁTICA LA GIMNASIA OLÍMPICA. Por JAVIER SOLIS NOYOLA
JAVIER SOLIS NOYOLA
 
Curación de contenidos (1 de julio de 2024)
Curación de contenidos (1 de julio de 2024)Curación de contenidos (1 de julio de 2024)
Curación de contenidos (1 de julio de 2024)
Cátedra Banco Santander
 
Reglamento del salón - Intensa-mente.pdf
Reglamento del salón - Intensa-mente.pdfReglamento del salón - Intensa-mente.pdf
Reglamento del salón - Intensa-mente.pdf
Adri G Ch
 
Imagenes-en-la-Comunicacion-Didactica.pdf
Imagenes-en-la-Comunicacion-Didactica.pdfImagenes-en-la-Comunicacion-Didactica.pdf
Imagenes-en-la-Comunicacion-Didactica.pdf
ShimmyKoKoBop
 
Transformando la Evaluacion con Inteligencia Artificial Ccesa007.pdf
Transformando la Evaluacion con Inteligencia Artificial  Ccesa007.pdfTransformando la Evaluacion con Inteligencia Artificial  Ccesa007.pdf
Transformando la Evaluacion con Inteligencia Artificial Ccesa007.pdf
Demetrio Ccesa Rayme
 
1. QUE ES UNA ESTRUCTURAOCTAVOASANTA TERESA .pptx
1. QUE ES UNA ESTRUCTURAOCTAVOASANTA TERESA .pptx1. QUE ES UNA ESTRUCTURAOCTAVOASANTA TERESA .pptx
1. QUE ES UNA ESTRUCTURAOCTAVOASANTA TERESA .pptx
nelsontobontrujillo
 
PLAN ANUAL DE TRABAJO (PAT) 2024 MINEDU PERÚ
PLAN ANUAL DE TRABAJO (PAT) 2024 MINEDU PERÚPLAN ANUAL DE TRABAJO (PAT) 2024 MINEDU PERÚ
PLAN ANUAL DE TRABAJO (PAT) 2024 MINEDU PERÚ
Ferrer17
 
Como hacer que te pasen cosas buenas MRE3 Ccesa007.pdf
Como hacer que te pasen cosas buenas  MRE3  Ccesa007.pdfComo hacer que te pasen cosas buenas  MRE3  Ccesa007.pdf
Como hacer que te pasen cosas buenas MRE3 Ccesa007.pdf
Demetrio Ccesa Rayme
 
fichas descriptivas para primaria 2023-2024
fichas descriptivas para primaria 2023-2024fichas descriptivas para primaria 2023-2024
fichas descriptivas para primaria 2023-2024
Verito51
 
Aplicaciones móviles de grabación (2 de julio de 2024)
Aplicaciones móviles de grabación (2 de julio de 2024)Aplicaciones móviles de grabación (2 de julio de 2024)
Aplicaciones móviles de grabación (2 de julio de 2024)
Cátedra Banco Santander
 
Fichero Léxico / Pandemia Lingüística / USCO
Fichero Léxico / Pandemia Lingüística / USCOFichero Léxico / Pandemia Lingüística / USCO
Fichero Léxico / Pandemia Lingüística / USCO
mariahernandez632951
 
PLANIFICACION PARA NIVEL INICIAL FEBRERO 2023
PLANIFICACION PARA NIVEL INICIAL FEBRERO 2023PLANIFICACION PARA NIVEL INICIAL FEBRERO 2023
PLANIFICACION PARA NIVEL INICIAL FEBRERO 2023
MariaAngelicaMachica
 
PPT: Un día en el ministerio de Jesús.pptx
PPT: Un día en el ministerio de Jesús.pptxPPT: Un día en el ministerio de Jesús.pptx
PPT: Un día en el ministerio de Jesús.pptx
https://gramadal.wordpress.com/
 

Último (20)

PLAN DE TRABAJO DIA DEL LOGRO 2024 URP.docx
PLAN DE TRABAJO DIA DEL LOGRO 2024 URP.docxPLAN DE TRABAJO DIA DEL LOGRO 2024 URP.docx
PLAN DE TRABAJO DIA DEL LOGRO 2024 URP.docx
 
Lecciones 02 Un día en el ministerio de Jesús.docx
Lecciones 02 Un día en el ministerio de Jesús.docxLecciones 02 Un día en el ministerio de Jesús.docx
Lecciones 02 Un día en el ministerio de Jesús.docx
 
Plataformas de vídeo online (2 de julio de 2024)
Plataformas de vídeo online (2 de julio de 2024)Plataformas de vídeo online (2 de julio de 2024)
Plataformas de vídeo online (2 de julio de 2024)
 
ACERTIJO MATEMÁTICO DEL MEDALLERO OLÍMPICO. Por JAVIER SOLIS NOYOLA
ACERTIJO MATEMÁTICO DEL MEDALLERO OLÍMPICO. Por JAVIER SOLIS NOYOLAACERTIJO MATEMÁTICO DEL MEDALLERO OLÍMPICO. Por JAVIER SOLIS NOYOLA
ACERTIJO MATEMÁTICO DEL MEDALLERO OLÍMPICO. Por JAVIER SOLIS NOYOLA
 
La Gatera de la Villa nº 52. Historia y patrimonio de Madrid.
La Gatera de la Villa nº 52. Historia y patrimonio de Madrid.La Gatera de la Villa nº 52. Historia y patrimonio de Madrid.
La Gatera de la Villa nº 52. Historia y patrimonio de Madrid.
 
EJEMPLOS DE FLORA Y FAUNA DE LA COSTA PERUANA
EJEMPLOS DE FLORA Y FAUNA DE LA COSTA PERUANAEJEMPLOS DE FLORA Y FAUNA DE LA COSTA PERUANA
EJEMPLOS DE FLORA Y FAUNA DE LA COSTA PERUANA
 
Enseñar a Nativos Digitales MP2 Ccesa007.pdf
Enseñar a Nativos Digitales MP2 Ccesa007.pdfEnseñar a Nativos Digitales MP2 Ccesa007.pdf
Enseñar a Nativos Digitales MP2 Ccesa007.pdf
 
DIBUJANDO CON MATEMÁTICA LA GIMNASIA OLÍMPICA. Por JAVIER SOLIS NOYOLA
DIBUJANDO CON MATEMÁTICA LA GIMNASIA OLÍMPICA. Por JAVIER SOLIS NOYOLADIBUJANDO CON MATEMÁTICA LA GIMNASIA OLÍMPICA. Por JAVIER SOLIS NOYOLA
DIBUJANDO CON MATEMÁTICA LA GIMNASIA OLÍMPICA. Por JAVIER SOLIS NOYOLA
 
Curación de contenidos (1 de julio de 2024)
Curación de contenidos (1 de julio de 2024)Curación de contenidos (1 de julio de 2024)
Curación de contenidos (1 de julio de 2024)
 
Reglamento del salón - Intensa-mente.pdf
Reglamento del salón - Intensa-mente.pdfReglamento del salón - Intensa-mente.pdf
Reglamento del salón - Intensa-mente.pdf
 
Imagenes-en-la-Comunicacion-Didactica.pdf
Imagenes-en-la-Comunicacion-Didactica.pdfImagenes-en-la-Comunicacion-Didactica.pdf
Imagenes-en-la-Comunicacion-Didactica.pdf
 
Transformando la Evaluacion con Inteligencia Artificial Ccesa007.pdf
Transformando la Evaluacion con Inteligencia Artificial  Ccesa007.pdfTransformando la Evaluacion con Inteligencia Artificial  Ccesa007.pdf
Transformando la Evaluacion con Inteligencia Artificial Ccesa007.pdf
 
1. QUE ES UNA ESTRUCTURAOCTAVOASANTA TERESA .pptx
1. QUE ES UNA ESTRUCTURAOCTAVOASANTA TERESA .pptx1. QUE ES UNA ESTRUCTURAOCTAVOASANTA TERESA .pptx
1. QUE ES UNA ESTRUCTURAOCTAVOASANTA TERESA .pptx
 
PLAN ANUAL DE TRABAJO (PAT) 2024 MINEDU PERÚ
PLAN ANUAL DE TRABAJO (PAT) 2024 MINEDU PERÚPLAN ANUAL DE TRABAJO (PAT) 2024 MINEDU PERÚ
PLAN ANUAL DE TRABAJO (PAT) 2024 MINEDU PERÚ
 
Como hacer que te pasen cosas buenas MRE3 Ccesa007.pdf
Como hacer que te pasen cosas buenas  MRE3  Ccesa007.pdfComo hacer que te pasen cosas buenas  MRE3  Ccesa007.pdf
Como hacer que te pasen cosas buenas MRE3 Ccesa007.pdf
 
fichas descriptivas para primaria 2023-2024
fichas descriptivas para primaria 2023-2024fichas descriptivas para primaria 2023-2024
fichas descriptivas para primaria 2023-2024
 
Aplicaciones móviles de grabación (2 de julio de 2024)
Aplicaciones móviles de grabación (2 de julio de 2024)Aplicaciones móviles de grabación (2 de julio de 2024)
Aplicaciones móviles de grabación (2 de julio de 2024)
 
Fichero Léxico / Pandemia Lingüística / USCO
Fichero Léxico / Pandemia Lingüística / USCOFichero Léxico / Pandemia Lingüística / USCO
Fichero Léxico / Pandemia Lingüística / USCO
 
PLANIFICACION PARA NIVEL INICIAL FEBRERO 2023
PLANIFICACION PARA NIVEL INICIAL FEBRERO 2023PLANIFICACION PARA NIVEL INICIAL FEBRERO 2023
PLANIFICACION PARA NIVEL INICIAL FEBRERO 2023
 
PPT: Un día en el ministerio de Jesús.pptx
PPT: Un día en el ministerio de Jesús.pptxPPT: Un día en el ministerio de Jesús.pptx
PPT: Un día en el ministerio de Jesús.pptx
 

Vigas

  • 1. PREDIMENSIONADO DE VIGAS Introducción La viga es el elemento estructural utilizado para cubrir espacios, soportando el peso colocado encima del elemento mediante la resistencia a las fuerzas internas de flexión y corte. En tal sentido el predimensionado de las vigas consiste en determinar las dimensiones necesarias para que el elemento sea capaz de resistir la flexión y el corte, así como también debe tener dimensiones tales que la flecha no sea excesiva. Así, el esquema para cumplir con los requisitos de una viga consiste en: Determinar las Cuantificar las Predimensionar mediante Comprobar las cargas fuerzas de diseño criterio de resistencia dimensiones por rigidez Fuerzas de diseño Los efectos que producen las cargas sobre una viga son de dos tipos: Fuerza Cortante (V) y Momento Flector (M). La magnitud de estas fuerzas son variables a lo largo de la longitud de la viga, siendo así el objetivo principal de determinar la magnitud de la fuerza cortante y el momento flector máximo aplicado en la viga (Vmax ; Mmax). El procedimiento básico para cuantificar las fuerzas de diseño consiste en: 1. Asilar el elemento del sistema estructural, 2. determinar las reacciones por las ecuaciones estáticas o de las condiciones de apoyos, 3. realizar un corte en la sección donde se desea conocer la magnitud de las fuerzas internas con un plano perpendicular al eje del elemento, 4. las fuerzas internas se obtienen de aplicar el equilibrio sobre una de las dos porciones obtenidas por el corte. V M M V Figura 1. Fuerza cortante y momento flector. Facultad de Arquitectura y Diseño Sistemas Estructurales 20 Universidad de Los Andes, Venezuela Prof. Jorge O. Medina
  • 2. Fuerza cortante Definición Para mantener el equilibrio sobre el segmento de la viga en la Figura 1, se debe incluir la fuerza V, que actúa perpendicular al eje y se denomina fuerza cortante. La fuerza cortante es igual a la suma de todas las fuerzas verticales que actúan en la porción aislada ubicada en el lado izquierdo . Por otra parte, se observa que la magnitud de V es variable, ya que, la magnitud depende del punto donde se realice el corte imaginario. Por lo tanto esta variabilidad es conveniente representarla gráficamente por diagramas. En el caso de la fuerza cortante, el diagrama se denomina Diagrama de Fuerza Cortante (DFC) el cual se indica en la Figura 4. V = ∑ Fvert izq (Ec. 1) Convenio de signos Dado que el valor de V obtenido por la suma de la porción de la izquierda es igual pero de sentido contrario a la suma de las fuerzas de la porción de la derecha, para indicar cuando el valor de V es positivo o negativo, en la figura 2 se señala el convenio empleado según la tendencia que tiene la fuerza sobre el elemento. (+) (-) Figura 2. Convenio de signos de V. Momento flector Definición Así como la fuerza cortante equilibra las fuerzas verticales, también se debe establecer un equilibrio en los momentos hasta la sección evaluada de las fuerzas aplicadas sobre la viga en el segmento analizado. Este momento interno se denomina momento flector y la magnitud es igual a la suma de los momentos sobre la sección de corte, producidos por las fuerzas aplicadas en la porción de la izquierda. Así como la fuerza cortante, el momento flector es variable y se representa por el Diagrama de Momento Flector (DMF). M = ∑ M izq = ∑ Fizq d F sec (Ec. 2) Convenio de signos El convenio más extendido de momento flector positivo es cuando produce concavidad hacia arriba, tal como lo indica la figura 3. (+) (-) Figura 3. Convenio de signos de M. Facultad de Arquitectura y Diseño Sistemas Estructurales 20 Universidad de Los Andes, Venezuela Prof. Jorge O. Medina
  • 3. w DFC DMF Figura 4. Diagrama de fuerza cortante y momento flector de vigas. Relación de carga fuerza cortante y momento flector La carga se relaciona con la fuerza cortante y el momento flector, las cuales permiten un método alternativo para dibujar los diagramas. Las relaciones están indicadas en la Ecuación 3 (Popov, 1996; Singer y Pytel, 1982). V2 − V1 = ΔV = areac arg as M 2 − M 1 = ΔM = areaDFC dV w= (Ec. 3) dx dM V= dx Vigas hiperestáticas Las vigas que poseen reacciones redundantes o un exceso de restricciones, aumentan el número de incógnitas sin el consecuente aumento de ecuaciones disponibles de la estática, por ello se denominan vigas hiperestaticas o vigas estáticamente indeterminadas (véase figura 5). En todos estos problemas son válidas las ecuaciones de equilibrio estático, ecuaciones necesarias pero no suficientes para resolver los problemas hiperestáticos. Las ecuaciones complementarias se establecen partiendo de consideraciones de la geometría de la deformación. En sistemas estructurales, por necesidad física, ciertos elementos o partes deben flexionarse conjuntamente, torcerse juntos al mismo tiempo, alargarse juntos, etc., o bien, permanecer fijos. Formulando tales observaciones cuantitativamente se obtienen las ecuaciones adicionales requeridas (Popov, 1996). Métodos Los mismos métodos para determinar la deformación de las vigas son válidos para la resolución de vigas hiperestáticas, ya que las ecuaciones adicionales para hacer un sistema matemáticamente determinado son tomadas de la elástica de la viga. Una forma alternativa de añadir ecuaciones, es considerar como desconocido o hiperestático los momentos de los apoyos. Una vez determinados estos momentos también llamados momentos de continuidad, el cálculo de reacciones se hace sencillo. Uno de estos métodos se denomina tres momentos y la otra distribución de momentos o rigidez (Singer y Pytel, 1982). Facultad de Arquitectura y Diseño Sistemas Estructurales 20 Universidad de Los Andes, Venezuela Prof. Jorge O. Medina
  • 4. Tres Momentos Para un número cualquiera de tramos, n, es posible escribir n—1 ecuaciones de tal clase. Esto da suficientes ecuaciones simultáneas para la determinación de momentos redundantes sobre los apoyos. Tal fórmula de recurrencia se llama ecuación de los tres momentos, debido a los tres momentos desconocidos que aparecen en ella y se escribe de la siguiente forma: Número de reacciones = 4 Número de reacciones = 5 Número de reacciones = 6 Número de reacciones = 2 * número de apoyos Figura 5. Tipos de vigas hiperestáticas 6 A1a1 6 A2 b2 ⎛h h ⎞ M 1 L1 + 2 M 2 (L1 + L2 ) + M 3 L2 + + = 6 EI ⎜ 1 + 3 ⎟ ⎜L ⎟ L1 L2 ⎝ 1 L2 ⎠ (Ec. 4) Donde: M1≡ Momento primer apoyo; M2≡ Momento segundo apoyo; M3≡Momento tercer apoyo; 6 A1a1 L1 ≡ Término de cargas primer tramo; 6 A2b2 L2 ≡ Término de cargas segundo tramo; h1≡ Diferencia de altura entre el primer y segundo apoyo; h2≡ Diferencia de altura entre el segundo y tercer apoyo. L1 L2 Figura 6. Esquema de viga de tres momentos La ecuación de tres momentos fue determinada en la suposición de momentos flectores positivos, según lo indicado en la Figura 7. En un problema particular, donde se tienen más de dos tramos. Un número suficiente de ecuaciones simultáneas para determinar los momentos desconocidos se obtiene imaginando sucesivamente los apoyos de tramos contiguos (véase Figura 8). De manera similar ocurre cuando se tiene un solo tramo, donde se agregan tramos con condiciones cero, para adaptarse a la ecuación de tres momentos. Facultad de Arquitectura y Diseño Sistemas Estructurales 20 Universidad de Los Andes, Venezuela Prof. Jorge O. Medina
  • 5. Figura 7. Convenio de signos (Singer y Pytel, 1982, p. 251). Caso 1 L1 L2 L3 = L1 L2 + L2 L3 Caso 2 = L L=0 L Figura 8. Aplicaciones del método de Tres Momentos en otro tipo de vigas Predimensionado de vigas por resistencia El criterio de resistencia se basa en el empleo del concepto de esfuerzo, para el caso de la fuerza cortante se produce el esfuerzo cortante y el momento flector produce el esfuerzo de flexión. Esfuerzo de flexión La relación entre el momento flector y el esfuerzo de flexión se hace mediante la fórmula de la flexión, señalada en la Ecuación 5. Esta ecuación indica que el esfuerzo de flexión es proporcional a la distancia al eje neutro, esta relación se puede observar en la Figura 9. Asimismo, se observa que el esfuerzo es máximo en los bordes superiores e inferiores de la viga, el valor de y para los bordes coincide con el valor del centroide de la sección por lo que el esfuerzo es máximo para y=c. De esta manera el esfuerzo máximo se expresa según la Ecuación 6 (Singer y Pytel, 1982). Facultad de Arquitectura y Diseño Sistemas Estructurales 20 Universidad de Los Andes, Venezuela Prof. Jorge O. Medina
  • 6. My σ= (Ec. 5) I Donde: σ ≡ Esfuerzo normal de flexión; M ≡ Momento flector aplicado en la sección; y ≡ distancia desde el eje neutro; I ≡ Momento de inercia centroidal. c Eje neutro y CG M Figura 9. Distribución del esfuerzo de flexión. Mc I M σ max = ; si S = tenemos σ max = (Ec. 6) I c S Donde: S ≡ Módulo de sección. El módulo de sección es la propiedad geométrica que establece las dimensiones de la viga. Es por ello, que se determina el módulo de sección necesario para resistir la carga aplicada sobre la viga según la Ecuación 7, esta indica la sección mínima que debe ser empleada para un esfuerzo admisible establecido según el tipo de material a utilizar. M S req ≥ (Ec. 7) σ adm Donde: Sreq ≡ Módulo de sección requerido; σadm ≡ Esfuerzo de flexión admisible del material. Predimensionado por flexión para viga de Acero Para el predimensionado de vigas de acero se emplea un diseño plástico que examina el comportamiento en todo el intervalo de carga, desde una carga pequeña hasta una carga que origina el colapso de la viga1. En la Figura 10 se indica una viga donde se incrementa la carga, se observa en la Figura 10.a, la viga sigue un esfuerzo lineal según lo señalado anteriormente, en la Figura 10.b, el esfuerzo máximo es igual al de cedencia. A partir de este momento el diagrama deja de ser lineal2 y la cedencia avanza hasta el eje neutro. El colapso es cuando toda la sección tiene un esfuerzo de cedencia (véase Figura 10.d). El diseño de una viga de acero se realiza para el punto de colapso y aplicado el criterio de estados límites, el momento de colapso o momento plástico Mp o Mn será el momento máximo resistente a flexión que debe ser mayor o igual al momento producido por la carga Mu. Así, la Ecuación 7 para el caso de acero, bajo la condición de colapso sería como la señala la Ecuación 8 y por lo tanto el tipo de sección a emplear en acero debe tener un módulo plástico mayor al determinado por la ecuación (Segui, 2000). 1 Se entiende por colapso de una viga de acero, el punto en el cual toda la sección alcanza el esfuerzo de cedencia. 2 Por no poder obtener un esfuerzo mayor al de cedencia según el diagrama elastoplastico perfecto. Facultad de Arquitectura y Diseño Sistemas Estructurales 20 Universidad de Los Andes, Venezuela Prof. Jorge O. Medina
  • 7. Figura 10. Esquema de falla para una viga de acero (Segui, 2000, p. 147). Mu Z req ≥ φb Fy (Ec. 8) Donde Zreq≡ Módulo de sección plástico requerido; Mu ≡ Momento mayorado; øb ≡ Factor de resistencia de viga; øb= 0,9; Fy ≡ Esfuerzo de cedencia del acero del perfil. Predimensionado por flexión para viga de concreto armado Las vigas solo de concreto no son eficientes para resistir la flexión, ya que el concreto no soporta la tracción generada por el momento flector, fallando antes de alcanzar la capacidad que tiene en compresión, por lo tanto se colocan barras de acero en el extremo sometido a tracción con una capa de concreto que protege el acero del fuego y la corrosión. Para garantizar el comportamiento de la viga hecha de dos materiales (concreto y acero) se debe impedir el desplazamiento relativo de las barras de acero respecto al concreto. En la Figura 11 se indica una viga donde se incrementa la carga hasta la falla, en la Figura 11.c la viga sigue un esfuerzo lineal según lo señalado anteriormente para esfuerzos menores al de rotura del concreto a tracción, en 11.b. Cuando la carga aumenta, se sobrepasa la resistencia a tracción del concreto y se agrieta, por lo tanto el esfuerzo de tracción solo es soportado por las barras de acero al desaparecer la contribución de la resistencia del concreto por debajo de la línea neutra (véase Figura 11.e). Al seguir aumentando la carga desaparece la relación lineal del esfuerzo y la deformación por lo que se produce la falla (véase Figura 11.f). El punto de colapso de una viga puede ser de dos formas, según la cantidad de acero a colocar. Si el acero es limitado, el acero cede antes del concreto alcanzar la falla por lo que la deformación es alta así como el tamaño de las grietas siendo visibles; el concreto por lo tanto falla por aplastamiento. Este tipo de falla es gradual y esta precedido por grietas visibles así como una flecha evidente. Facultad de Arquitectura y Diseño Sistemas Estructurales 20 Universidad de Los Andes, Venezuela Prof. Jorge O. Medina
  • 8. Figura 11. Comportamiento de una viga de concreto armado (Nilson, 1999, p.65). Por otra parte, cuando el acero es empleado en grandes cantidades, no se llega al punto de cedencia del acero cuando el concreto falla, en consecuencia no se observan grandes grietas ni deflexiones importantes. El concreto falla por aplastamiento repentino sin ningún tipo de aviso. Debido a la naturaleza súbita de este tipo de falla, es aconsejable colocar una cantidad de acero limitada para así tener una colapso que pueda ser anticipado y tomar medidas antes que esto ocurra. M u ≤ φM n ⎛ ρf y ⎞ 2 (Ec. 9) M n = ρf y ⎜1 − 0,59 ⎜ ⎟bd ⇒ M n = Ru bd 2 ⎟ ⎝ f c′ ⎠ Donde: fy≡ Esfuerzo de cedencia del acero de refuerzo; fc´≡ Resistencia del concreto de compresión a los 28 días; ø≡ Factor de minoración de resistencia a flexión, ø=0,9; b≡ Ancho de la sección transversal de la viga (véase Figura 11.b); d≡ Altura útil de la viga de concreto armado (véase Figura 11.b); R≡ Resistencia nominal a la flexión de la viga de concreto armado. Debido a las particularidades3 del comportamiento en los elementos de concreto armado, el predimensionado es distinto al indicado en la Ecuación 7, principalmente debido a que las dimensiones de una viga de concreto armado son función de la cuantía de acero (ρ4). El predimensionado se basa en la ecuación fundamental de los estados límites5, donde los efectos de la carga (Mu) deben ser menores a la capacidad disminuida de la viga a flexión (øMn). 3 Elementos constituidos por dos materiales y las vigas deben fallar para deformaciones mayores a las de la cedencia del acero. 4 La cuantía de acero es la relación del área de acero de la sección (As) con respecto al área neta de la sección (Ag), ρ = As A . g 5 ∑ γ Q ≤ φR i i n . Facultad de Arquitectura y Diseño Sistemas Estructurales 20 Universidad de Los Andes, Venezuela Prof. Jorge O. Medina
  • 9. Al igualar los efectos de la carga con la capacidad a flexión, obtenemos la Ecuación 10 que proporciona las mínimas dimensiones de una viga de concreto armado capaz de resistir las cargas aplicadas (Nilson, 1999). M u = φRu bd 2 (Ec. 10) Mu d= φRu b El propósito del predimensionado es obtener las dimensiones de la viga para una cuantía de acero (ρ6) predeterminada. A continuación se indican dos metodologías que ambas conducen al mismo resultado. Método 1 Se selecciona una ρ7 apropiada que este entre ρmax y ρmin, ε cu f c′ ρb = 0,85β ε cu + ε y fy ; f c′ ≤ 280 si kgf/cm2 β = 0,85 ε cu = 0,003 Multiplicando el numerador y denominador por Es, tenemos 6300 f c′ ρb = 0,852 6300 + f y f y , ρ max = γρb γ=0,5 zona sísmica, γ=0,75 zona no sísmica, ρ min = 14 f y , ⎛ ρf ⎞ Ru = ρf y ⎜1 − 0,59 y ⎟ ⎜ ⎝ f c′ ⎟ ⎠, Calcular el factor de resistencia a la flexión Ru, Determinar la altura útil d, según: M u = φRu bd 2 , Recordar que h = d + 5 ; h = 2;4 b , [ ] h≥L Verificar α (Nilson y Winter, 1994). 6 La cuantía de acero es la relación del área de acero de la sección (As) con respecto al área neta de la As sección (Ag), ρ . Ag 7 Esta cuantía debe estar cercana al valor máximo. Facultad de Arquitectura y Diseño Sistemas Estructurales 20 Universidad de Los Andes, Venezuela Prof. Jorge O. Medina
  • 10. Método 2 q = ρ f y f c′ Seleccionar q=0,20 o q=0,18 ( ), qmin ≤ q ≤ qmax Comprobar que el valor seleccionado de q se encuentre dentro del intervalo, , 6300 qb = 0,85β 6300 + f y si f c′ ≤ 280 kgf/cm2, qmax = γqb γ=0,5 zona sísmica, γ=0,75 zona no sísmica, qmin = 14 ′ fc , Calcular Ju J u = 1− 0,59q , Calcular el factor de resistencia a la flexión Ru, Ru = f c′qJ u , Determinar la altura útil d, según: M u = φRu bd 2 , Recordar que h = d + 5 ; h = 2;4 b , [ ] h≥L Verificar α (Arnal y Epelboim, 1985). El método 2 es más práctico por la introducción de dos variables q y Ju, aunque estas carecen de sentido físico son herramientas para facilitar el cálculo, y q tiene la ventaja de ser invariable con respecto a la resistencia del concreto (f´c) tal como se observa en las tablas a continuación. Tabla 1 Valores de φRu f´c (kgf/cm2) φRu (kgf/cm2) 150 23,81 200 31,75 210 33,34 250 39,69 280 44,45 Esfuerzo cortante Al hacer una viga formada por varias capas, se observa que cada capa se desliza con respecto a las contiguas, siendo la viga menos resistente que el caso de una viga maciza, porque la viga de la derecha posee mayor deflexión ante la misma carga que la viga de la izquierda (véase Figura 12). Esto se debe a que para compensar la resultante del esfuerzo de flexión se genera un esfuerzo cortante, solo es posible que se genere en las vigas macizas, por lo que en las vigas de capas, al no poder formarse el esfuerzo de corte se deslizan las capas. Facultad de Arquitectura y Diseño Sistemas Estructurales 20 Universidad de Los Andes, Venezuela Prof. Jorge O. Medina
  • 11. P Figura 12. Comparación entre viga formada por capas y viga maciza. Para determinar el esfuerzo cortante se observa que es función de la fuerza cortante vertical, la razón de ello es que para conservar el equilibrio y la sección no tener una distorsión angular, se debe acompañar a un par de fuerzas horizontales un par de fuerzas verticales, esto se nota al realizar el equilibrio sobre un elemento diferencial de la viga. El esfuerzo cortante es máximo por lo general en el eje neutro, contrario a lo ocurrido por flexión (véase Figura 13). Ay CG c d V y b Eje neutro CG Figura 13. Distribución del esfuerzo cortante. VQ τ= (Ec. 11) bI Donde: τ ≡ Esfuerzo cortante; V ≡ Fuerza cortante; Q ≡ momento de primer orden; Q=Ay d; b ≡ ancho de la sección a una altura y; I ≡ Momento de inercia; Corte en vigas de acero Los perfiles de acero poseen gran resistencia al corte, por lo que el corte en los perfiles consiste solo en comprobar que le perfil calculado sea capaz de resistir el corte. Vu ≤ φVn ; Vn = 0,6 Fy Cv Aw (Ec. 12) Donde: Vu≡ Corte aplicado sobre el perfil; Vn≡ Corte resistente del perfil; Aw≡ Area del alma del perfil, Aw=htw; ø ≡ Factor de minoración de resistencia para vigas, ø=0,9; Cv≡ coeficiente de corte según la proporción del alma. Facultad de Arquitectura y Diseño Sistemas Estructurales 20 Universidad de Los Andes, Venezuela Prof. Jorge O. Medina
  • 12. h ≤ 69,6 ⇒ Cv = 1 tw h 69,6 69,6 < ≤ 86,9 ⇒ Cv = (Ec. 13)8 tw h tw h 6199 86,9 < ⇒ Cv = 2 tw ⎛h ⎞ ⎜ t ⎟ ⎝ w⎠ Donde: h≡ Altura del perfil; tw≡ espesor del alma del perfil. Corte en viga de concreto armado La resistencia de las vigas de concreto armado es producida por la suma de la resistencia al corte del concreto más la resistencia al corte del acero, el acero resistente al corte se proporciona mediante estribos que amarran las barras longitudinales y cubre el perímetro del núcleo de la sección9, de manera que el concreto en la parte exterior del estribo es solo de recubrimiento, además las especificaciones establecen la separación longitudinal de los estribos (s). s Figura 14. Esquema de un estribo en la sección transversal y sección longitudinal. Partiendo de la filosofía de diseño de la norma, se establece la separación de los estribos según la fuerza cortante aplicada y el corte resistente del concreto. Av f y d Vu ≤ φVn ; Vn = vc + vs ; vc = 0,53 f c′bd ; vs = (Ec. 14) s Donde: Vu≡ Corte aplicado en la sección; Vn≡ Corte resistente de la viga; ø ≡ Factor de minoración de resistencia al corte, ø= 0,75; vc≡ Corte resistente del concreto; vs≡ Corte resistente del acero; Av≡ Area de acero de los estribos; s≡ Separación de los estribos. 8 Ecuación válida para acero tipo PS-25. 9 Se denomian “núcleo de sección” a la porción de concreto encerrada por el estribo. Facultad de Arquitectura y Diseño Sistemas Estructurales 20 Universidad de Los Andes, Venezuela Prof. Jorge O. Medina
  • 13. Pred dimensio onado de vigas por rigidez z Adicionalmeente al diseño de vigas por resistencia, se debe deter o rminar la defl lexión máxim de una viga ma a bajo u carga dada, ya que las e una especificacion de diseño incluyen un v nes valor máximo admisible par la deflexión ra n y en a algunos casos el diseño de l viga queda d la determinado m por rigide que por resistencia. más ez Por otra par el estudio de rigidez de viga es imp rte, o e portante porqu los pisos e un edificio no se pueden ue en n flexio onar excesivammente, ya qu tiene un efecto psicológ ue gico en los o ocupantes ade emás se debe minimizar o e imped el deterioro de los mater dir o riales frágiles del acabado. A Asimismo el e estudio de las deformaciones en las vigas prove ecuaciones adicionales estas con las de equ ee s s, uilibrio perm miten resolver las vigas estáticamente r e indete erminadas o hiperestáticas. En la figura 15 se indica la deflexión o flecha por la variable y a a n r y(x); esta constituye la dist tancia entre la a posici original d la viga y la posición que adquiere des ión de a e spués de aplic las cargas. La pendiente de una recta car a tangen a la posici deformada o elástica de la viga, esta definida por e valor de θ(x y represent el ángulo de nte ión a e el x) ta e la recta tangente co respecto a la posición or on riginal. Es im mportante seña que las de alar eflexiones determinadas por estas s suposiciones s limitan a de se eflexiones que son pequeña en relación con la longitu del claro, por ello se dice e as ud p e que ta θ ≈ θ(x) en radianes. an Figu 15. Variables q intervienen en la deformació de una viga (B ura que e ón Beer y Johnston, 1993, p. 480). Métodos pa determ M ara minar la de eformació en vigas ón Se utilizan v varios método para determ os minar la deform mación en viga (doble integ as gración, super rposición, área a de moomentos, viga conjugada, rigidez direc elementos finitos etc… todos está basados e los mismos a cta, s …), án en princi ipios pero difi ieren en su téc cnica y objetiv vos. Superposici ión Como métod alternativo para la evalu do o uación de pend lástica se pued utilizar los dientes y ordenadas de la el den resultados de algun tipos senci nos illos de cargas para obtene por suma de efectos, las s s, er e soluciones corrrespondientes a carg más comp gas plicadas. Este procedimient llamado sup to perposición, d determina la p pendiente y deeflexión en un n punto mediante la suma de las pendientes o deflexiones p producidas en ese mismo p n punto, por ca una de las ada cargas cuando actúan por separad (Singer y P s do Pytel, 1982). Diseño por rigidez en vigas de acero r n e Para las estr cero, la deflexión es un esta límite de servicio, no d resistencia, por lo que las ructuras de ac ado de deflexxiones deben ssiempre calcuularse con carg de servicio10. Para el cál gas o lculo de la flecha se emplea el módulo de a e cidad del acer y el momen de inercia del perfil, la flecha máxim se compara con los valores admisibles elastic ro nto ma a para eestructuras de acero (Segui, 2000) 10 Cargas sin ser mayorad n das. Faculta de Arquitectura y Diseño ad a Sistemas Estructurales 20 s 0 Universidad de Los And Venezuela des, Prof Jorge O. Medin f. na
  • 14. Diseño por rigidez en vigas de concreto armado Para las vigas de concreto armado no es necesario determinar la flecha si se trata de elementos cuya deformación no perjudique a elementos no estructurales, siempre y cuando se halla chequeado que h ≥ L α ; donde los valores de α se indican en la Tabla 1. En caso de emplear valores de h menores a lo indicado en la fórmula, se debe calcular la flecha para carga variable y comparar con la flecha admisible, el valor de I a emplear en el cálculo de flecha se obtiene al aplicar la Ecuación 15 ya que el momento de inercia es un valor que oscila entre el correspondiente a la sección completa y el de la sección completamente agrietada (González y Robles, 1997). Tabla 1. Valores de α Tipo de apoyo α Simplemente apoyada 16 1 extremo continuo 18,5 2 extremos continuos 21 Volado 8 ⎛ M ag ⎞ 3 ⎡ ⎛ M ag ⎞3 ⎤ Ie = ⎜ ⎜ M ⎟ I g + ⎢1 − ⎜ M ⎟ ⎥ I ag ≤ I g ⎟ ⎜ ⎟ ⎝ max ⎠ ⎢ ⎝ max ⎠ ⎥ ⎣ ⎦ 2 f c′I g M ag = (Ec. 15) yt Donde: Mag≡ Momento de agrietamiento; Mmax ≡ Momento máximo bajo cargas variable; Ie ≡ Momento de inercia efectivo ; Ig ≡ Momento de inercia de la sección completa; Iag ≡ Momento de inercia de la sección agrietada transformada. Para vigas con ambos extremos continuos I e = 0,7 I c + 0,15(I e1 + I e 2 ) I Para vigas con un extremo continuo e = 0,85I c + 0,15I ex (Ec. 16) Donde: Ic ≡ Momento de inercia efectivo de la parte central; Ie1 , Ie2 , Iex ≡ Momento de inercia efectivo en los extremos. Referencias − Beer, F. y Johnston, E. (1993). Mecánica de Materiales. Santafé de Bogota, Colombia: McGraw-Hill Interamericanam S.A. − González, O. y Robles, F. (1997). Aspectos Fundamentales del Concreto Reforzado. México D.F., México: Editorial LIMUSA, S.A. de C.V. − Nilson, A. (1999). Diseño de estructuras de concreto. Santafé de Bogotá, Colombia: McGraw-Hill Interamericana, S.A. − Popov, E. (1996). Introducción a la mecánica de sólidos. México D.F., México: Editorial LIMUSA, S.A. de C.V. Facultad de Arquitectura y Diseño Sistemas Estructurales 20 Universidad de Los Andes, Venezuela Prof. Jorge O. Medina
  • 15. Segui, W. (2000). Diseño de estructuras de acero con LRFD. México D.F., México: Internacional Thomson Editores, S.A. de C.V. − Singer, F. y Pytel, A. (1982). Resistencia de materiales. México D.F., México: Editorial Harla, S.A. de C.V. Facultad de Arquitectura y Diseño Sistemas Estructurales 20 Universidad de Los Andes, Venezuela Prof. Jorge O. Medina