El documento describe el método gráfico para resolver problemas de programación lineal. Explica que se grafican todas las restricciones en un mismo plano para delimitar la región factible. Luego, se grafica la función objetivo como un contorno que se mueve paralelamente sobre la región factible hasta alcanzar la solución óptima, que es el punto donde la función objetivo es máxima o mínima.

1. ADM- METODO GRAFICO
Gráfica de Restricciones
En esencia una restricción es una
limitación al modelo de programación
lineal.
PROGRAMACION LINEAL
Una restricción viene dada por una
PARTE 2 desigualdad.
El gráfico de una restricción está dado
MÉTODO GRAFICO por el gráfico de la desigualdad que
representa la restricción
Ing. José Villanueva
Restricciones en el Restricciones en el
modelo modelo
Todo modelo de programación En resumen se grafican el en
mismo plano tantas desigualdades
lineal presenta por lo general
como restricciones presente el
más de una restricción. modelo a trabajar
En un plano se grafican todas Al graficar todas las restricciones
las restricciones aplicables al se generará un área delimitada por
modelo de programación lineal. las mismas.
Ing. José Villanueva Ing. José Villanueva
Restricciones en el modelo
La región encerrada por todas las
Conjunto Factible
restricciones del modelo se le Es el conjunto de todos los
llamará región factible. valores no negativos de las
Siempre ocurrirá que, al añadir más variables de decisión que
restricciones, o bien se reduce el satisfacen todas las
conjunto factible o bien no se altera. restricciones
Nunca se podrá agrandar el simultáneamente
conjunto factible.
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2. ADM- METODO GRAFICO
Conjunto Factible
X2
Ejemplo
Graficar la región:
Si hablamos de un modelo 1 1.- 20X1 + 10 X2 <= 160
con dos variables de decisión 2 2.- 30X1 + 10 X2 >= 135
3.- 10X1 + 15X2 <= 150
el conjunto factible viene 4.- X1 - 3X2 <= 0
dado por pares que 3
4
corresponden a cada variable
de decisión. X1
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Función Objetivo Función Objetivo
Recordemos que la función objetivo viene
La representación gráfica de determinada de la siguiente forma:
la función objetivo será la Max AX1 + BX2
gráfica de un contorno. Para graficar la función objetivo se le
Un contorno es la gráfica de otorga un valor positivo arbitrario.
una recta y una familia de La función quedará de la siguiente forma:
rectas (paralelas a la inicial). AX1 + BX2 = K
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Función Objetivo
Ejemplo
Como la gráfica de la función
objetivo es la gráfica de un Graficar la siguiente
X2
contorno, entonces podemos función objetivo:
desplazar la recta inicial Max 3X1 + 5X2
paralelamente a sí misma y
corresponderá a la misma función
objetivo. Lo que cambiará es el valor Inicial:
de la función objetivo en cada 3X1 + 5X2 = 15
posición diferente X1
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3. ADM- METODO GRAFICO
X2
Ejemplo 6X1 + X2 < = 15 Función objetivo:
Graficar el siguiente modelo de
Max 2X1 + 7X2
programación lineal:
2X1 + 7X2 = 14
F.O. Max 2X1 + 7X2
sujeto a:
2X1 + 7X2 = 14
3X1 + 4X2 < = 12
X1 + 8X2 < = 8 X1 + 8X2 < = 8
6X1 + X2 < = 15 3X1 + 4X2 < = 12 X1
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Ejercicios Ejercicios
Graficar el siguiente modelo de
Graficar el siguiente modelo de
programación lineal
programación lineal
Función objetivo:
Función objetivo:
Max 5A + 6B
Max 3A + 7B
sujeto a:
sujeto a:
3A + 5B < = 30
6A + 11 B < = 66
2A + 3B < = 12
2A + B < = 10
A + 5B > = 15
0.5 A + 0.4 B > = 6
4A+B < = 8
A+B>=4
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Ejercicios
Graficar el siguiente modelo de
programación lineal
PROGRAMACION LINEAL
Función objetivo:
Max 12A + 10B
sujeto a: PARTE 3
6A + B < = 6 MÉTODO GRAFICO
9A + 4B < = 18
2 A + 5 B < = 20
A+B<=1
Ing. José Villanueva
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4. ADM- METODO GRAFICO
Solución Gráfica Solución Optima
Determinar el conjunto
factible.
Para encontrar la solución
Dibujar la recta que óptima deslizamos o movemos
identifica el contorno de la la recta de la función objetivo
función objetivo. paralelamente á sí misma a lo
Determinar la solución largo de la región factible.
óptima
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Solución Optima Ejemplo
X2
solución óptima
La solución óptima es el
último punto de la región
Función objetivo
factible que toca la recta de es maximizar
la función objetivo en su
movimiento. función objetivo crece
X1
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Punto óptimo Restricciones Activas
Solución óptima:
Valores óptimos de las variables de
Una restricción es activa sólo si se
decisión cumple la igualdad entre el primer
Valor óptimo: miembro y el lado derecho cuando
se evalúa para los valores óptimos.
Es el valor de la función objetivo
evaluada en la solución óptima. Son aquellas que pasan por la
solución óptima
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5. ADM- METODO GRAFICO
Restricciones Inactivas Holgura y Excedente
Se dan holgura y excedente en
Una restricción es inactiva si al restricciones del tipo inactivas
evaluar la solución óptima en Excedente: es la diferencia entre el
la restricción se cumple primer miembro y el lado derecho de
estrictamente la desigualdad. una desigualdad del tipo > =.
Es aquella que no pasa por la Holgura: es la diferencia entre el
segundo y el primer miembro de una
solución óptima desigualdad de la forma < =.
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Puntos extremos Solución óptima
X2
Cuando el contorno del objetivo
Puntos extremos son los
óptimo coincide con una de las
vértices de la región o
3
2
recta se restricción sobre la
conjunto factible
frontera de la región factible se
1 presenta un caso de infinitas
4 soluciones óptimas
X1
Ing. José Villanueva Ing. José Villanueva
Método
1.- Graficar las restricciones sobre el
cuadrante no negativo de las variables
RESUMEN DEL MÉTODO DE de decisión.
SOLUCION PARA UN 2.- Dibujar el contorno de la función
objetivo.
MODELO DE 3.- Determine la dirección ascendente
del contorno de la función objetivo
MAXIMIZACIÓN
Ing. José Villanueva
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6. ADM- METODO GRAFICO
Método Método
4.- Encontrar el punto sobre el 6.- El valor óptimo se obtiene
conjunto factible que esté sobre evaluando la solución óptima
el contorno de máxima utilidad. en la función objetivo.
5.- Los valores de las variables 7.- Identificar las restricciones
de decisión de este último
activas e inactivas.
punto dan solución al modelo
Ing. José Villanueva Ing. José Villanueva
Modelo de Minimización Problemas no acotados
La única diferencia con la solución Se producen problemas no
al modelo de maximización es el acotados cuando el conjunto
sentido en el que se desplaza la factible se extiende
recta de contorno de la función indefinidamente en la dirección
objetivo. se debe buscar el sentido
del movimiento del contorno de
para el cual la función objetivo es
decreciente la función objetivo
Ing. José Villanueva Ing. José Villanueva
Ejemplo problema no
acotado Ejemplo
X2
X2
3 Conjunto factible
>= contorno F.O.
<= no acotado pero
2
<= con una solución
>= <=
1 <=
X1 X1
Ing. José Villanueva Ing. José Villanueva
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7. ADM- METODO GRAFICO
Problemas no Factibles Ejemplo
X2
Un problema de 3
programación lineal es no <=
<=
<=
4
factible o inconsistente 5 <=
2
cuando no existe un 1
conjunto factible, o el <=
conjunto factible es vacío. X1
Ing. José Villanueva Ing. José Villanueva
Situaciones posibles EJERCICIO
Hallar la solución gráfica para el siguiente modelo
1. El problema tiene una solución de programación lineal:
óptima
2.- El problema carece de solución F.O. Max 5X1 + 3X2
sujeto a :
óptima porque es no acotado 3X1 +2X2 < = 6
3.- El problema carece de solución X1 +4X2 < = 12
óptima porque es no factible. 7X1 +3X2 < =21
X1,X2 > = 0
Ing. José Villanueva Ing. José Villanueva
EJERCICIO
Hallar la solución gráfica para el siguiente modelo
de programación lineal:
F.O. MIN 4X1 + 7X2
sujeto a :
X1 +12X2 < = 6
9X1 +4X2 < = 18
2X1 +8X2 < = 32
X1,X2 > = 0
Ing. José Villanueva
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