Ejercicios Matemáticas Ingeniería telecomunicaciones

1. Escuela Técnica Superior de Ingeniería
Universidad de Sevilla
Grado en Ingeniería de las
Tecnologías de Telecomunicación
EJERCICIOS DE MATEMÁTICAS II
CURSO 2015-2016

2. Índice general
1. Derivación de funciones de varias variables 3
2. Aplicaciones de la derivada 6
3. Cálculo de Primitivas 10
4. Aplicaciones de la Integral 13
5. Integración Múltiple 16
6. Análisis Vectorial 20
2

3. Capítulo 1
Derivación de funciones de
varias variables
1. Hallar las derivadas parciales de primer orden de las funciones:
a)  = 
√
.
b)  = 2
2
.
c) ( ) = 
sen .
d)  =

2 + 2
.
2. Evaluar  y  en los puntos que se indican:
a) ( ) = arctan


en (2 −2).
b) ( ) =

 − 
en (1 −1).
3. Calcular las pendientes de las superficies en las direcciones de  e  en
el punto indicado:
a)  = 4 − 2
− 2
en (1 1 2).
b)  = −
cos  en (0 0 1).
4. Calcular todas las derivadas parciales de primer orden de las funciones:
a)  =
p
2 + 2 + 2.
b) (  ) = ln
p
2 + 2 + 2.
c)  = sen ( + 2 + 3).
3

4. Ejercicios de Matemáticas II. Ingeniería de Telecomunicación 4
5. Evaluar ,  y  en el punto dado.
a) (  ) =
p
32 + 2 − 22 en (1 −2 1).
b) (  ) =  sen ( + ) en (0 
2
 4).
6. Calcular las derivadas parciales de segundo orden de las funciones:
a)  = 2
− 2 + 32
.
b) ( ) = ln

2 + 2
.
c)  = 2
 + 
− 2
.
d) (  ) = −
sen .
7. Calcular


utilizando la regla de la cadena:
a)  =
p
2 + 2,  = cos ,  = 
.
b)  = 2
+ 2
+ 2
,  = 
cos ,  = 
sen ,  = 
.
8. Calcular


por derivación implícita:
a) ln
p
2 + 2 +  = 4.
b) cos  + tan  + 5 = 0.
9. Calcular


y


por derivación implícita:
a) 2
+ 2 + 2
= 1.
b) 
+  = 0.
10. Calcular las primeras derivadas parciales de  por derivación implícita:
a) 2
+ 2
+ 3
− 3 − 2
= 4.
b) cos () + sen  +  = 20.
11. Calcular la derivada direccional de la función en el punto y en la direc-
ción del vector dados:
a) ( ) = ,  = (2 3),  = (1 1).

5. Ejercicios de Matemáticas II. Ingeniería de Telecomunicación 5
b) ( ) = 
sen ,  = (1 
2
),  = (−1 0).
c) (  ) =  +  + 2
,  = (1 1 1),  = (2 1 − 1).
12. Hallar el gradiente de la función en el punto dado:
a)  = cos (2
+ 2
),  = (3 −4).
b)  = 32
 − 5 + 2
,  = (1 1 −2).
13. Hallar el gradiente de la función y el valor máximo de la derivada
direccional en el punto dado:
a) ( ) =  tan ,  = (2 
4
).
b) (  ) = 
,  = (2 0 −4).
14. Hallar un vector normal y la ecuación de la recta tangente a la curva
de nivel de ( ) =

2 + 2
que pasa por el punto  = (1 1).
15. Hallar las ecuaciones del plano tangente y de la recta normal a la su-
perficie dada en el punto  indicado:
a)  =


,  = (1 2 2).
b)  = 
(sen  + 1),  = (0 
2
 2).
c) 2
+ 3 − 2
= 4,  = (2 1 −2).
16. Calcular la ecuación de la recta tangente a la curva intersección de las
superficies dadas en el punto indicado:
a) 2
+ 2
= 5,  = ,  = (2 1 2).
b)  = 2
+ 2
,  +  + 6 = 33,  = (1 2 5).

6. Capítulo 2
Aplicaciones de la derivada
1. Determinar los valores máximos y mínimos absolutos de las siguientes
funciones, en el intervalo dado, y los puntos en los que se alcanzan:
a) () = 3
− 32
− 12 + 3, −2 ≤  ≤ 1.
b) () = 4
− 22
+ 3, 0 ≤  ≤ 4.
c) () = 13
, −1 ≤  ≤ 8.
d) () = 2 − ||, −1 ≤  ≤ 3.
e) () = | − 2| + | + 3|, −5 ≤  ≤ 5.
f ) () =
3
4
(2
− 1)23
, −3 ≤  ≤ 2 .
g) () =  + sen 2, − ≤  ≤ .
h) () = ln(cos ), −

4
≤  ≤

3
.
i) () = 
− 2, 0 ≤  ≤ 1.
2. Calcular los puntos críticos y los valores extremos (relativos y absolu-
tos) de cada una de las siguientes funciones:
a) () = 23
( + 2).
b) () = 
√
4 − 2.
c) () =
½
−2
− 2 + 4  ≤ 1
−2
+ 6 − 4 1  
d) () = 2
ln
1

.
6

7. Ejercicios de Matemáticas II. Ingeniería de Telecomunicación 7
3. Determinar los intervalos abiertos de crecimiento y decrecimiento de
las siguientes funciones. Obtener, si existen, los extremos relativos y
absolutos de cada función, indicando los puntos en los que se alcanzan.
a) () = −3
+ 22
.
b) () = 4
− 82
+ 16.
c) () =  − 6
√
 − 1.
d) () =
2
− 3
 − 2
,  6= 2.
e) () = sen 2, 0 ≤  ≤ .
f ) () =
√
3 cos  + sen , 0 ≤  ≤ 2.
4. Obtener los máximos y mínimos locales, los puntos de inflexión y los
intervalos donde las siguientes funciones son cóncavas o convexas:
a) () =
1
4
4
− 22
+ 4.
b) () =
3
4
(2
− 1)23
.
c) () =  + sen 2, −
2
3
≤  ≤
2
3
.
5. Dibujar las gráficas de las siguientes funciones, obteniendo previamente
los valores extremos, los puntos de inflexión y las asíntotas cuando
existan.
a) () = 43
− 4
, () =

√
2 + 1
, () = 2 − 23
.
b) () =
2
− 3
 − 2
, () =
8
2 + 1
, () =
1
2 − 1
.
c) () = −
2
− 2
2 − 1
, () =
4
+ 1
2
, () =
8
2 + 4
.
6. Se desea hacer una caja rectangular abierta con una pieza de cartón de
8  por 15 , cortando en las esquinas cuadrados de las mismas di-
mensiones y doblando hacia arriba los lados ¿Cuáles son las dimensiones
de la caja que puede hacerse de esta manera con el mayor volumen?
¿Cuál es ese volumen?

8. Ejercicios de Matemáticas II. Ingeniería de Telecomunicación 8
7. Una parcela rectangular en una granja estará limitada en uno de sus
lados por un río, y por los otros tres lados por una cerca electrificada
con un sólo alambre. Si se cuenta con 800 metros de alambre ¿cuál es la
mayor área que puede ocupar la parcela y cuáles son sus dimensiones?
8. Se desea diseñar un cartel cuya área de impresión es de 50 2
, con
márgenes superior e inferior de 4  y márgenes laterales de 2  cada
uno. ¿Qué dimensiones debe tener el cartel para minimizar la cantidad
de papel usado?
9. Determinar las dimensiones de un cilindro circular recto de volumen
máximo que se puede inscribir en una esfera de radio 10  ¿Cuál es
el volumen máximo?
10. Un triángulo cuya hipotenusa mide
√
3 metros de largo se hace girar
alrededor de uno de sus catetos para generar un cono circular recto.
Determinar el radio, la altura y el volumen del cono de mayor volumen
que se puede hacer de esta manera.
11. Un alambre de  metros de largo se corta en dos partes. Una pieza
se dobla para formar un triángulo equilátero y la otra se dobla para
formar un círculo. Si la suma de las áreas encerradas por cada parte es
mínima ¿cuáles son las dimensiones de cada parte?
12. Encontrar y clasificar los puntos críticos de las siguientes funciones:
a) ( ) = 22
+ 32
− 4 − 12 + 13.
b) ( ) = 2
p
2 + 2 + 3.
c) ( ) = (2
+ 42
)1−2−2
.
d) ( ) = 2
− 3 − 2
.
13. Calcular los extremos absolutos de ( ) en la región  que se indica:
a) ( ) = 12 − 3 − 2 y  es la región triangular en el plano 
de vértices (2 0), (0 1) y (1 2).
b) ( ) = 32
+22
−4 y  es la región del plano  acotada por
las gráficas de las funciones  = 2
y  = 1.
c) ( ) = 2
+  y  := {( ) ∈ R2
: || ≤ 2 || ≤ 3}.
d) ( ) = 2
+ 2 + 2
y  := {( ) ∈ R2
: 2
+ 2
≤ 8}.

9. Ejercicios de Matemáticas II. Ingeniería de Telecomunicación 9
e) ( ) =
4
(2 + 1)(2 + 1)
y
 := {( ) ∈ R2
:  ≥ 0  ≥ 0 2
+ 2
≤ 1}
14. Utilizar el método de los multiplicadores de Lagrange para hallar el
extremo que se pide con la restricción dada, siendo  e  positivos.
a) Minimizar ( ) = 2
− 2
, sujeto a  − 2 + 6 = 0.
b) Maximizar ( ) =
p
6 − 2 − 2, sujeto a  +  − 2 = 0.
c) Maximizar ( ) = 
, sujeto a 2
+ 2
= 8.
d) Minimizar ( ) = 2 + , sujeto a  = 32.
e) Minimizar (  ) = 2
+ 2
+ 2
, sujeto a  +  +  − 6 = 0.
f ) Maximizar (  ) = , sujeto a ++−32 = 0 −+ = 0.
g) Maximizar (  ) = +, sujeto a +2−6 = 0 −3 = 0.
15. Utilizar el método de los multiplicadores de Lagrange para hallar la
distancia mínima desde la recta 2 + 3 + 1 = 0 al punto (0 0).
16. Utilizar el método de los multiplicadores de Lagrange para hallar la
distancia mínima desde la circunferencia ( − 4)2
+ 2
= 0 al punto
(0 10).
17. Utilizar el método de los multiplicadores de Lagrange para hallar la
distancia mínima desde el plano  +  +  − 1 = 0 al punto (2 1 1).
18. Encontrar el punto más alto de la curva dada por la intersección de las
superficies 2
+ 2
+ 2
= 36 y 2 +  −  = 2.
19. Utilizar el método de los multiplicadores de Lagrange para hallar las
dimensiones de la caja rectangular de volumen máximo inscrita (con
sus aristas paralelas a los ejes coordenados) en el elipsoide
2
9
+
2
16
+
2
4
= 1
20. Determinar los puntos de la curva 2
+ 12 + 62
= 130 más cercanos
al origen.
21. Determinar los puntos más alto y más bajo de la elipse dada por la
intersección del cilindro 2
+ 2
= 1 y el plano 2 +  −  = 4.
22. Un cable de 120  de largo se corta en tres o menos piezas y cada
pieza se dobla para formar un cuadrado ¿Cómo deben hacerse los cortes
para minimizar la suma de las áreas? ¿Y para maximizarla?

10. Capítulo 3
Cálculo de Primitivas
1. Las siguientes integrales indefinidas se obtienen usando la linealidad de
la integral y la tabla de integrales inmediatas.
a)
Z
¡ 1
2 − 2
+ 3
¢
,
Z µ

√
 +
√

2
¶
,
Z
7 sen

3

b)
Z
(sen 2 − csc2
) ,
Z
(1 + tan2
) 
Z
1 + cos 4
2

2. Si  = () es una función derivable cuyo rango es un intervalo , y 
es continua en , entonces
Z
(()) 0
()  =
Z
() . Utilizando
este método de sustitución, calcular:
a)
Z
1
 −
√

,
Z

√
 − 1
,
Z
1 − 
2

b)
Z

cos 2
,
Z
2
√
 + 2 ,
Z
√
 sen2
(32
− 1) 
c)
Z r
3
− 3
11
,
Z
( − 1)10
,
Z
2 cos 
1 + sen2 

3. Usar la integración por partes
Z
()0
()  = ()()−
Z
0
()() 
para calcular:
a)
Z
 sen(2) ,
Z
arctan  ,
Z
2
−2

b)
Z
ln2
 ,
Z
2
cos 3 ,
Z
ln 
2

10

11. Ejercicios de Matemáticas II. Ingeniería de Telecomunicación 11
c)
Z
cos
√
 ,
Z
sen (ln ) ,
Z
arcsen  
4. Utilizar la fórmula de integración por partes para obtener las siguientes
fórmulas de reducción:
a)
Z

cos   = 
sen  − 
Z
−1
sen  .
b)
Z

sen   = −
cos  + 
Z
−1
cos  .
c)
Z


 =



−


Z
−1

.
5. Con las fórmulas obtenidas en el ejercicio anterior, calcular:
a)
Z
4
cos  .
b)
Z
4
2
.
6. Para calcular algunas de las siguientes integrales, hay que descomponer
la fracción en suma de fracciones simples.
a)
Z
1
 + 1
,
Z
1
( + 1)2
,
Z
 + 1
2 + 2 + 3

b)
Z
1
2 + 2 + 3
,
Z
 + 3
2 + 2 + 3
,
Z
 + 3
3 − 4

c)
Z
2
−  + 2
3 − 1
,
Z
4
+ 2
− 1
3 + 
,
Z
1
(2 − 1)2

7. Aplicando cos2
 + sen2
 = 1 y cos2
 − sen2
 = cos 2, calcular:
a)
Z
cos2
 ,
Z
sen2
 ,
Z
cos2
 sen2
 .
b)
Z
cos5
 sen  ,
Z
cos5
 ,
Z
cos3
 sen2
 .
8. Las siguientes integrales pueden obtenerse mediante la fórmula de inte-
gración por partes, pero resultan más sencillas transformando los pro-
ductos de funciones en sumas con las fórmulas trigonométricas de la
página 539 de Larson. Calcular:
Z
cos 2 cos 6 
Z
cos 4 sen 6 
Z
sen 3 sen 6 

12. Ejercicios de Matemáticas II. Ingeniería de Telecomunicación 12
9. Para calcular integrales con el factor
√
2 − 2 es conveniente usar el
cambio de variables  =  sen . Si el factor es
√
2 + 2, se aplica el
cambio  =  tan . Para el factor
√
2 − 2, usar  =  sec  (Sección
8.4, página 543 de Larson). Calcular:
a)
Z
√
25 − 2 ,
Z

√
9 − 2
,
Z
3
√
2 + 4
.
b)
Z
8
2
√
4 − 2
,
Z

√
1 + 4
,
Z √
2 − 4

.
10. Calcular las siguientes integrales usando el método más adecuado en
cada caso:
a)
Z
1
√
( + 2)
,
Z
 tan2
 ,
Z
5
√
2 − 3 ,
Z
2
√
25 + 2
.
b)
Z
1
2 −  + 1
,
Z
5 + 31
32 − 4 + 11
,
Z
√
4 + 7 ,
Z
cos 
√
4 − sen2 
.
c)
Z
tan 
ln(cos )
,
Z
ln(1 + ) ,
Z
√
2 + 9 ,
Z
4
2 − 2
.
d)
Z

(2 + 2 + 2)2
,
Z
1
1 + cos 2
,
Z

√
1 + 2 .
e)
Z
42
+  + 1
43 + 

Z
43
−  + 1
3 + 1
,
Z
82
− 4 + 7
(2 + 1)(4 + 1)
.
f )
Z
sen2
 cos4
 ,
Z
2
1 + 22 .

13. Capítulo 4
Aplicaciones de la Integral
1. Determinar el área encerrada por las gráficas de las siguientes funciones:
a)  = 2
,  = −2
+ 4.
b)  = 4
− 42
+ 4,  = 2
.
c)  =
p
||, 5 =  + 6.
d)  = 22
,  = 0,  = 3.
e)  = 2 sen ,  = sen 2, 0 ≤  ≤ .
2. Determinar el área de la región en el primer cuadrante acotada por la
recta  = , la recta  = 2, la curva  = 12
y el eje .
3. La región encerrada por la parábola  = 2
y la recta  = 4 se divide en
dos regiones de igual área mediante una recta horizontal  = . Obtener
el valor de .
4. Determinar el área de la región acotada a la izquierda por  +  = 2, a
la derecha por  = 2
y arriba por  = 2.
5. Determinar el área de la región encerrada por la curva  = 23
y por
las rectas  = ,  = −1.
6. Calcular el volumen de un sólido que se encuentra entre los planos
 = −1 y  = 1. Las secciones transversales del sólido perpendicu-
lares al eje  entre esos planos son cuadrados cuyas bases van desde la
semicircunferencia  = −
√
1 − 2 a la semicircunferencia  =
√
1 − 2.
7. Calcular el volumen del sólido cuya base es la región acotada por las
gráficas de  = 3,  = 6 y  = 0 y las secciones perpendiculares al eje
 son rectángulos de altura 10.
13

14. Ejercicios de Matemáticas II. Ingeniería de Telecomunicación 14
8. Calcular el volumen del sólido cuya base es el círculo 2
+ 2
≤ 1 y
cuyas secciones transversales son triángulos réctangulos isósceles deter-
minados por planos perpendiculares al eje , entre  = −1 e  = 1, con
uno de los catetos en el círculo.
9. Calcular el volumen del sólido que se genera por la región acotada por
las gráficas de  = 3
,  = 0 y  = 2 al girar alrededor del eje  y
alrededor de la recta  = 2.
10. Calcular el volumen del sólido que se genera por la región acotada por
las gráficas de  = 2
+ 1 y  =  + 3 al girar alrededor del eje  y
alrededor de la recta  = −1.
11. Calcular el volumen del sólido que se genera por la región acotada por
las gráficas de  = 2
y  = 4 al girar alrededor del eje , alrededor de
la recta  = 2 y alrededor de la recta  = 4.
12. El sólido que genera el círculo 2
+ 2
≤  cuando gira alrededor de la
recta  = , con    se denomina toro. Calcular el volumen del toro.
13. Se considera la región , acotada por la gráfica de una función positiva
 = () y por las rectas  =   0,  =   ,  = 0. Si el volumen
que se obtiene al hacer girar  alrededor del eje  es 4 y el que se
obtiene al girar la misma región alrededor de la recta  = −1 es 8
¿Cuál es el área de la región ?
14. Calcular el volumen del sólido generado por la región acotada por las
gráficas de  = 2 − 1,  =
√
 y  = 0 al girar alrededor del eje .
15. Calcular el volumen del sólido generado por la región acotada por las
gráficas de  =
sen 

,  = 0,  =

2
y  =  al girar alrededor del eje
.
16. Una esfera de radio 5 se perfora diametralmente con un taladro de radio
3 ¿Cuál es el volumen de la parte taladrada? ¿Cuál es el volumen de
la parte que queda en la esfera? Si quisiéramos que el volumen de la
parte taladrada y la parte que permanece en la esfera fuese el mismo
¿cuál debería ser la longitud del radio del taladro?
17. Determinar la longitud de arco de las siguientes curvas:
a)  = 13(2
+ 2)32
  ∈ [0 1].
b)  = 32
  ∈ [0 4].

15. Ejercicios de Matemáticas II. Ingeniería de Telecomunicación 15
c)  = (3
3) + (14)  ∈ [0 3].
18. Determinar el área de la superficie del tronco de cono que se genera
al hacer girar el segmento de recta  = (2) + (12) 1 ≤  ≤ 3,
alrededor del eje .
19. Determinar el área de la superficie que se obtiene al hacer girar la curva
 = 3
9 0 ≤  ≤ 2 alrededor del eje  y alrededor del eje .
20. Determinar el área de la superficie que se obtiene al hacer girar la curva
 = 2
√
4 −  0 ≤  ≤ 154 alrededor del eje .

16. Capítulo 5
Integración Múltiple
1. Calcular las siguientes integrales iteradas:
a)
Z 1
0
Z 2
0
( + )  .
b)
Z 
0
Z sen 
0
(1 + cos )  .
c)
Z 1
0
Z 
0
(
√
1 − 2)  .
d)
Z 1
0
Z √
1−2
0
( + )  .
2. Utilizar una integral iterada para calcular el área de la región limitada
por las gráficas:
a)
√
 +
√
 = 2,  = 0  = 0.
b) 2 − 3 = 0,  +  = 5  = 0.
c)
2
2
+
2
2
= 1.
3. Calcular la siguientes integrales iteradas. Si fuese necesario, cambiar el
orden de integración
a)
Z 2
0
Z 2


p
1 + 3  .
b)
Z 1
0
Z 1

sen 2
 .
16

17. Ejercicios de Matemáticas II. Ingeniería de Telecomunicación 17
4. Calcular la integral doble sobre la región que se indica
a)
ZZ

 , donde  es el rectángulo con vértices (0 0), (0 5), (3 5)
y (3 0).
b)
ZZ


2 + 2
, donde  es el triángulo acotado por  = ,  =
2,  = 2.
c)
ZZ

−2 ln  , donde  es la región acotada por  = 4 − 2
,
 = 4 − .
d)
ZZ

 , donde  es la región del primer cuadrante acotada por
 =
√
25 − 2, 3 − 4 = 0,  = 0.
5. Calcular el volumen del sólido acotado por las gráficas de las siguientes
funciones:
a) 2
+ 2
= 1, 2
+ 2
= 1, en el primer octante.
b)  = ,  = 0,  = ,  = 1, en el primer octante.
c)  =  + , 2
+ 2
= 4, en el primer octante.
6. Calcular las siguientes integrales iteradas, usando coordenadas polares:
a)
Z 
0
Z √
2−2
0
  .
b)
Z 2
0
Z √
2−2
0
  .
c)
Z 2
0
Z 
0
p
2 + 2   +
Z 2
√
2
0
Z √
8−2
0
p
2 + 2  .
7. Calcular la integral doble sobre la región que se indica:
a)
ZZ

( + ) , donde  es la región acotada por 2
+ 2
≤ 4,
 ≥ 0,  ≥ 0.

18. Ejercicios de Matemáticas II. Ingeniería de Telecomunicación 18
b)
ZZ

arctan


, donde  es la región acotada por 2
+ 2
≥ 1,
2
+ 2
≤ 9,  ≥ 0,  ≥ 0.
8. Calcular el volumen del sólido acotado por las siguientes superficies:
a)  =
p
2 + 2,  = 0, 2
+ 2
= 25.
b) Interior al hemisferio  =
p
16 − 2 − 2 e interior al cilindro
2
+ 2
− 4 = 0
9. Calcular el valor de  tal que el volumen del sólido interior al hemisferio
 =
p
16 − 2 − 2 y exterior al cilindro 2
+ 2
= 2
sea la mitad del
volumen del hemisferio.
10. Hallar el área de la superficie dada por  = ( ) sobre la región 
en los siguientes casos:
a) ( ) = 8 + 2 + 2 y  = {( ) ∈ R2
: 2
+ 2
≤ 4}.
b) ( ) = 2 + 32
y  es el rectángulo de vértices (0 0), (0 4),
(3 4) y (3 0).
c) ( ) =
p
2 − 2 − 2 y  = {( ) ∈ R2
: 2
+ 2
≤ 2
 0    }.
11. Hallar el área de la porción de esfera 2
+ 2
+ 2
= 25 que está en el
interior del cilindro 2
+ 2
= 9.
12. Calcular las siguientes integrales iteradas:
a)
Z 1
0
Z 
0
Z 
0
   .
b)
Z 4
0
Z 2
0
Z 1−
0
 cos    .
13. Calcular mediante una integral triple el volumen del sólido acotado por
 = 9 − 2
,  = 0,  = 0,  = 2.
14. Calcular mediante una integral triple el volumen del sólido acotado por
 = 9 − 2
− 2
,  = 0.
15. Obtener las siguientes integrales en coordenadas cilíndricas y esféricas,
evaluando la más sencilla:

19. Ejercicios de Matemáticas II. Ingeniería de Telecomunicación 19
a)
Z 2
−2
Z √
4−2
−
√
4−2
Z 4
2+2
   .
b)
Z 
−
Z √
2−2
−
√
2−2
Z 
√
2−2−2

   .
16. Calcular el volumen del sólido interior a 2
+ 2
+ 2
= 2
y al cilindro
( − 2)2
+ 2
= (2)2
.
17. Calcular el volumen del sólido interior a 2
+ 2
+ 2
= 4 y al cono
 =
p
2 + 2.
18. Calcular el volumen del sólido comprendido entre 2
+ 2
+ 2
= 4 y
2
+ 2
+ 2
= 16 que es interior al cono  =
p
2 + 2.
19. Calcular
ZZ

4(2
+ 2
) , donde  es el paralelogramo con vértices
(1 0), (0 1), (−1 0) y (0 −1), realizando el cambio de variables  =
( + )2,  = ( − )2.
20. Calcular
ZZ

( − ) , donde  es el paralelogramo con vértices
(0 0), (4 0), (7 3) y (3 3), realizando el cambio de variables  = +,
 = .
21. Calcular
ZZ

−2
, donde  es la región del primer cuadrante com-
prendida entre las gráficas de  = 4,  = 2,  = 1 y  = 4,
realizando el cambio de variables  =
p
,  =
√
.
22. Calcular el volumen del sólido limitado superiormente por la superficie
 =
√
 + e inferiormente por la región  del plano  = 0 que está
acotada por el triángulo de vértices (0 0 0), (2 0 0), (0 2 0).

20. Capítulo 6
Análisis Vectorial
1. Determinar si el campo dado es conservativo. Si lo es, encontrar una
función potencial.
a) F( ) = (22
 2
2
).
b) F( ) =
µ

2 + 2


2 + 2
¶
.
c) F( ) = (
cos  
sen ).
d) F(  ) = (
 
 
).
e) F(  ) =
µ

2 + 2


2 + 2
 1
¶
.
2. Calcular la divergencia de los campos vectoriales:
a) F(  ) = (62
 −2
 0).
b) F(  ) = (sen  cos  2
).
3. Calcular las siguientes integrales de línea sobre la curva indicada.
a)
Z

4 , donde  es la curva r() = ( 2 − ) 0 ≤  ≤ 2.
b)
Z

8 , donde  es la curva r() = (12 5 3) 0 ≤  ≤ 2.
c)
Z

(2
+2
) , donde  es el segmento del eje  que va desde  = 0
hasta  = 3.
20

21. Ejercicios de Matemáticas II. Ingeniería de Telecomunicación 21
d)
Z

(2
+ 2
) , donde  es el trozo de circunferencia 2
+ 2
= 1,
recorrida en sentido antihorario de (1 0) a (0 1).
e)
Z

( + 4
√
) , donde  es el cuadrado cuyos vértices son (0 0),
(2 0),(2 2) y (0 2), recorrido en sentido antihorario.
4. Calcular
Z

F·dr para el campo vectorial F y la curva  parametrizada
por r(), en los siguientes casos:
a) F( ) = (3 4) y r() = (2 cos  2 sen ) 0 ≤  ≤ 2.
b) F( ) = (3 4) y r() = (
√
4 − 2) −2 ≤  ≤ 2.
c) F(  ) = (2
  −  ) y r() = ( 2
 2) 0 ≤  ≤ 1.
d) F(  ) = (2
 2
 2
) y r() =
¡
2 sen  2 cos  1
2
2
¢
 0 ≤  ≤ .
5. Calcular el trabajo realizado por el campo de fuerzas F( ) = (− −2)
sobre una partícula que se mueve a lo largo de la curva  = 3
desde
el punto (0 0) al punto (2 8).
6. Calcular el trabajo realizado por el campo de fuerzas F(  ) =
(  −5) sobre una partícula que se mueve a lo largo de la curva
r() = (2 sen  2 cos  2
)  0 ≤  ≤ 2.
7. Calcular
Z

(2 − )  + ( + 3)  sobre la trayectoria  indicada:
a)  es la unión del segmento de recta de (0 0) a (0 −3) y del seg-
mento de recta de (0 −3) a (2 −3).
b)  es la porción de la curva  = 1 − 2
que va desde (0 1) a (1 0).
8. Calcular
Z

F · dr, analizando previamente si el campo es conservativo:
a) F( ) = (2 2
+ 2
) y  es la unión de la porción de la elipse
2
25
+
2
16
= 1 desde (5 0) hasta (0 4), con la porción de la parábola
 = 4 − 2
 desde (0 4) hasta (2 0).

22. Ejercicios de Matemáticas II. Ingeniería de Telecomunicación 22
b) F(  ) = (  ) y  es la unión de las curvas r1() =
( 2 ) 0 ≤  ≤ 4 y r2() = (2
  2
) 0 ≤  ≤ 2.
9. Calcular
Z

cos  sen  +sen  cos   siendo  una curva suave que
va desde (0 −) hasta (−32 2)
10. Verificar el teorema de Green para el campo F( ) = (2
 2
) y la
curva  que es la frontera de la región comprendida entre las gráficas
de  =   = 2
4.
11. Utilizar el teorema de Green para calcular
Z

( − )  + (2 − ) 
sobre la trayectoria dada:
a)  es la frontera de la región comprendida entre las gráficas de
 =  y de  = 2
− .
b)  es la frontera de la región interior a  =
√
25 − 2 y exterior a
 =
√
9 − 2.
12. Calcular
Z

(2)  + ( + )  donde  es la frontera de región
comprendida entre las gráficas de  = 0 y de  = 4 − 2
.
13. Calcular
Z

2 arctan()  + ln(2
+ 2
)  donde  es la elipse
( − 4)2
4
+
( − 4)2
1
= 1
14. Calcular
Z

  + ( + )  donde  es la frontera de región com-
prendida entre las gráficas de 2
+ 2
= 1 y de 2
+ 2
= 9.
15. Utilizar una integral de línea para calcular el área de la región acotada
por las gráficas de  = 2 + 1 y de  = 4 − 2
.
16. Calcular la ecuación del plano tangente a la superficie dada en el punto
que se indica:

23. Ejercicios de Matemáticas II. Ingeniería de Telecomunicación 23
a) Superficie parametrizada por r( ) = (+ − ), en el punto
(1 −1 1).
b) Superficie parametrizada por r( ) = (2 cos  3 sen  2
), en el
punto (0 6 4).
17. Calcular el área de la superficie r( ) = ( cos   sen  ), 0 ≤  ≤
2, 0 ≤  ≤ .
18. Calcular la integral de superficie
ZZ

(−2+) , para las siguientes
superficies:
a)  es la superficie  = 4 −  0 ≤  ≤ 4 0 ≤  ≤ 4.
b)  es la superficie  = 10 2
+ 2
≤ 4.
19. Calcular las siguientes integrales de superficie:
a)
ZZ

( + 5)  donde  es la superficie r( ) = (  2), 0 ≤
 ≤ 1, 0 ≤  ≤ 2.
b)
ZZ

()  donde  es la superficie r( ) = (2 cos  2 sen  ),
0 ≤  ≤ 2, 0 ≤  ≤ 2.
c)
ZZ

(2
+2
+2
)  donde  es la superficie  = +, 2
+2
≤ 1.
d)
ZZ

p
2 + 2 + 2  donde  es la superficie  =
p
2 + 2,
2
+ 2
≤ 4.
20. Hallar el flujo
ZZ

F · N , donde N el vector normal unitario dirigido
hacia arriba:
a) F(  ) = (3 −4 ) a través de la superficie  +  +  = 1 en
el primer octante.
b) F(  ) = (  ) a través de la superficie  = 9−2
−2
,  ≥ 0.
c) F(  ) = (4 −3 5) a través de la superficie  = 2
+2
, 2
+2
≤
4.

24. Ejercicios de Matemáticas II. Ingeniería de Telecomunicación 24
21. Verificar el teorema de la divergencia para:
a) F(  ) = (2 −2 2
) y la superficie  es el cilindro 2
+2
= 4,
0 ≤  ≤ .
b) F(  ) = (2 −  −2 +  ) y la superficie  es el plano  +
2 +  = 6 y los planos coordenados.
22. Utilizar el teorema de la divergencia para calcular
ZZ

F · N  en los
siguientes casos:
a) F(  ) = (2
 2
 2
) y  es la superficie  = 0,  = ,  = 0,
 = ,  = 0,  = .
b) F(  ) = (2
 −2 2
) y  es la superficie  =
p
2 − 2 − 2,
 = 0.
c) F(  ) = ( 2
 −) y  es la superficie 2
+ 2
= 4,  = 0,
 = 4.
d) F(  ) = ( 4 ) y  es la superficie 2
+ 2
+ 2
= 9.
23. Verificar el teorema de Stokes para:
a) F(  ) = (− + − −) y  dada por  =
p
1 − 2 − 2.
b) F(  ) = (  ) y  dada por 3+4+2 = 12 en el primer
octante.
24. Utilizar el teorema de Stokes para calcular
Z

F · dr donde  está
orientada en sentido antihorario:
a) F(  ) = (2
 2
 2
) y  es la curva frontera de  = 4−2
−2
,
 ≥ 0.
b) F(  ) = (2
  ) y  es la curva frontera de  =
p
4 − 2 − 2.