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Interes efectivo equivalente-nominal

Interes efectivo

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Tasa nominal, tasa
efectiva y tasa
equivalente, tasa real
Tasa nominal, tasa efectiva y tasas equivalentes
Cuando se realiza una operación financiera, se pacta una tasa de interés
anual que rige durante el lapso que dure la operación, que se denomina
tasa nominal de interés.
Sin embargo, si el interés se capitaliza en forma semestral, trimestral o
mensual, la cantidad efectivamente pagada o ganada es mayor que si se
compone en forma anual. Cuando esto sucede, se puede determinar una
tasa efectiva anual.
Dos tasas de interés anuales con diferentes periodos de capitalización
serán equivalentes si al cabo de un año producen el mismo interés
compuesto.
¿Cuál es la tasa efectiva de interés que se recibe de un depósito bancario
de $1000 pactado a 4.8% de interés anual convertible mensualmente?
La tasa efectiva de interés es de 4.91%.
La tasa equivalente a una tasa anual de 4.8% convertible
mensualmente es de 4.91% convertible anualmente.
La relación entre ambas tasas puede verse como sigue:
sea
i = la tasa anual efectiva de interés,
j = la tasa de interés anual nominal y
m= el numero de periodos de capitalización al año.
Se ha establecido que ambas tasas son equivalentes si
producen el mismo interés al cabo de un año.
¿Cuál es la tasa efectiva de interés que se recibe de un depósito bancario
de $1000 pactado a 4.8% de interés anual convertible mensualmente?
Por lo tanto, C(1 + i) = C(1 + j/m)m
Dividiendo ambos miembros de la ecuación entre
C, tenemos:
(1 + i) = (1 + j/m)m
i = (1 + j/m)m - 1
Retomando el ejemplo anterior:
i = (1 + 0.048/12)12 - 1
i = (1 + 0.004)12 - 1
i = (1.049070) - 1
i = 0.049070
i = 4.91%
TASA NOMINAL Y TASA EFECTIVA
TASA NOMINAL ( j ) PERIODO CAPITALIZACION
ROTACION
VALOR(m)
TASA PERIODICA (j/m)
TASA EFECTIVA ANUAL (i)
i (%)
1 + i = (1+ j/m)m
40% año 1 0.40 1 + i = (1+ 0.40)1 40%
40% semestre 2 0.20 1 + i = (1+ 0.20)2 44%
40% trimestre 4 0.10 1 + i = (1+0.10)4 46.41%
40% mes 12 0.033333333 1 + i = (1+ 0.03333)12 48.21%
40% día 360 0.001111111 1 + i = (1+ 0.00111)360 49.15%
La tasa efectiva sube cada vez menos
Cuando una tasa nominal se capitaliza anualmente, entonces , al mismo tiempo es la tasa efectiva anual .
Aplicando directamente la fórmula se tiene:
i = (1 + j/m)m -1
i = (1 + 0.16/4)4 -
1 i = (1 + 0.04)4 - 1
i = (1.169859) - 1
i = 0.169859
i = 16.98%
¿Cuál es la tasa efectiva que se paga por un préstamo bancario de $250 000 que se
pactó a 16% de interés anual convertible trimestralmente?
Solución
(1 + i) = (1 + j/m)m i
= (1 + j/m)m -1
Es la tasa de interés que realmente se aplica en el período de
capitalización sobre el capital, para calcular los intereses. Se
identifica porque solamente aparece en la parte numérica seguida
del período de capitalización o liquidación de intereses; por
ejemplo, se dice “una tasa de interés del 3% mensual, del 9%
trimestral, del 15% semestral o del 32% anual”, y también se
denota como el 32% EA (el 32% efectivo anual). Es de advertir que
estas tasas anteriores no son equivalentes entre sí.
TASA DE INTERÉS EFECTIVA
tener en cuenta
Es importante tener en cuenta que todas las operaciones
financieras se calculan con tasa de interés efectiva, así como
toda fórmula que se utilice para resolver problemas
financieros. Sin embargo, en la práctica muchas veces la
tasa viene expresada en otros términos; por tanto, lo que
debe hacerse en estos casos es convertirla a efectiva, o,
utilizando una calculadora financiera, esta
automáticamente hace la conversión a efectiva y desarrolla
la operación correspondiente.
Es la tasa de interés que, expresada anualmente, no capitaliza varias veces al
año. Por esta razón, la tasa nominal no refleja la realidad en cuanto a los
intereses devengados anualmente, y de ahí su nombre; a diferencia de la tasa
efectiva, que sí nos indica el verdadero interés devengado por un capital al final
del período respectivo. Sin embargo, en la mayor parte de las operaciones
financieras se utiliza la tasa nominal para expresar el tipo de interés que debe
pagarse o cobrarse en esa operación. Esto implica que para realizar los cálculos
de la operación financiera, lo primero que debe hacerse es convertir esta tasa
nominal a la tasa efectiva en cada período de capitalización, porque, como ya
se anotó, solo debemos utilizar la tasa efectiva por período.
TASA DE INTERÉS NOMINAL
La forma de denotar una de estas tasas es:
Cualquiera de las siguientes expresiones:
• El 36% nominal anual capitalizable trimestralmente.
• El 36% nominal capitalizable trimestralmente.
• El 36% nominal trimestral.
• El 36% capitalizable trimestralmente.
• El 36% anual liquidable por trimestre vencido.
• El 36% TV (TV: trimestre vencido).
• El 36% ATV (ATV: anual trimestre vencido).
La relación que existe entre una tasa nominal del j% capitalizable
m veces al año y la tasa del i% efectiva en cada uno de los m
períodos es la siguiente:
Así, por ejemplo, el 36% nominal trimestral corresponde a una
tasa efectiva trimestral del 9% (el 36%/4), y es esta la tasa que
debe utilizarse cada trimestre cuando la tasa pactada en la
operación financiera sea del 36% nominal trimestral.
m
i 
j
Supongamos que invertimos hoy $ 100 en una entidad que paga el 36%. Si el tiempo es
de un año, determinar el valor total acumulado al final del año.
La tasa trimestral para determinar los intereses es:
de tal manera que al cabo de cuatro trimestres se tendrá un total acumulado de: 100(1,09)4
= 141,16
Lo que quiere decir que los $ 100 invertidos inicialmente ganan un total de $ 41,16 de
intereses al cabo de un año; esto es, la tasa de interés efectivo anual en esta inversión fue
del 41,16%. Por esta razón, a la tasa del 36% se le llama nominal, dado que como cifra lo es
solo de nombre, puesto que la que mide la rentabilidad real es la tasa del 41,16% anual.
Debe tenerse en cuenta que algunas veces se habla, por ejemplo, del 30% nominal anual o
simplemente del 30% convertible anualmente, para indicar que es la tasa que capitaliza
una sola vez al año, es decir, que corresponde a una tasa efectiva anual del 30%.
4
i 
36%
 9%
m
i 
j
EJEMPLO
TASAS EQUIVALENTES
Se dice que dos tasas son equivalentes cuando ambas, operando en
condiciones diferentes, producen el mismo resultado.
En este caso, el concepto operar en condiciones diferentes hace referencia a
que ambas capitalizan en períodos diferentes. Así, por ejemplo, decimos que
el 3% mensual es equivalente al 9,27% trimestral y también al 42,57% anual.
Cuando estudiamos la tasa nominal vimos que una inversión por un año al
36% nominal trimestral ganaba al año el equivalente a una tasa del 41,16%
efectiva anual, de tal manera que estas dos tasas son equivalentes.
Una expresión básica en el manejo de tasas equivalentes es la que nos
permite calcular directamente la tasa anual equivalente a una tasa nominal y
viceversa.
Sea el i% la tasa trimestral que se pregunta, y tomando un tiempo de un trimestre para
cada una de las tasas, tenemos:
Por $ 1 invertido al principio del trimestre, se tendrá al final del primer diagrama un
total de: 1 + i, y, al final del segundo diagrama, un total de (1,03)3,
de tal manera que:
1 + i = (0,03)3; o sea: i = 9,27% trimestral.
Esto quiere decir que el 9,27% trimestral es equivalente al 3% mensual.
EJEMPLO
(E→ E) ¿Qué tasa trimestral es equivalente al 3% mensual?
j/12 = [(1 + 0.035) 1/3-1]
j = 12 [(1 + 0.035) 1/3 -1]
j = 12 (1.011533 - 1)
j = 12 (0.011533)
j = 0.138398
¿Cuál es la tasa nominal j convertible mensualmente equivalente a una tasa de
14% convertible trimestralmente?
Por lo tanto, una tasa nominal de 13.84% convertible mensualmente es
equivalente a una tasa nominal de 14% convertible trimestralmente.
Otra vez puede verse que a mayor frecuencia de conversión se obtiene
un rendimiento mayor.
Solución:
Puesto que ambas tasas son convertibles en periodos distintos deben igualarse a su plazoanual.
a) Una tasa nominal j convertible mensualmente es igual a una tasa efectiva: i = (1 + j/12)12
b)Una tasa nominal de 14% convertible trimestralmente es igual a una tasa anual efectiva: i =
(1 + 0.14/4)4
Igualando ambas tasas efectivas se tiene:
(1 + j/12)12 = (1 +0.14/4)4
(1 + j/12)12/12 = (1 + 0.14/4)4/12
(1 + j/12) = (1 + 0.035)1/3
EJEMPLO
Representa la utilidad neta de una inversión de capital en una entidad
financiera. Es decir, la tasa real es el rendimiento por encima de la inflación
que se paga o se recibe en operaciones financieras. Está determinada en
función de la tasa efectiva y de la tasa inflacionaria, tal y como se muestra en
la Fórmula
Tasa real
En donde:
TR = Tasa real,
TE = Tasa efectiva,
TI = Tasa inflacionaria
Hallar la tasa real con la información
presentada del cuadro adjunto Considere una
Inflación anual del 3.5% para todos los
casos…
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  • 1. Tasa nominal, tasa efectiva y tasa equivalente, tasa real
  • 2. Tasa nominal, tasa efectiva y tasas equivalentes Cuando se realiza una operación financiera, se pacta una tasa de interés anual que rige durante el lapso que dure la operación, que se denomina tasa nominal de interés. Sin embargo, si el interés se capitaliza en forma semestral, trimestral o mensual, la cantidad efectivamente pagada o ganada es mayor que si se compone en forma anual. Cuando esto sucede, se puede determinar una tasa efectiva anual. Dos tasas de interés anuales con diferentes periodos de capitalización serán equivalentes si al cabo de un año producen el mismo interés compuesto.
  • 3. ¿Cuál es la tasa efectiva de interés que se recibe de un depósito bancario de $1000 pactado a 4.8% de interés anual convertible mensualmente? La tasa efectiva de interés es de 4.91%. La tasa equivalente a una tasa anual de 4.8% convertible mensualmente es de 4.91% convertible anualmente. La relación entre ambas tasas puede verse como sigue: sea i = la tasa anual efectiva de interés, j = la tasa de interés anual nominal y m= el numero de periodos de capitalización al año. Se ha establecido que ambas tasas son equivalentes si producen el mismo interés al cabo de un año.
  • 4. ¿Cuál es la tasa efectiva de interés que se recibe de un depósito bancario de $1000 pactado a 4.8% de interés anual convertible mensualmente? Por lo tanto, C(1 + i) = C(1 + j/m)m Dividiendo ambos miembros de la ecuación entre C, tenemos: (1 + i) = (1 + j/m)m i = (1 + j/m)m - 1 Retomando el ejemplo anterior: i = (1 + 0.048/12)12 - 1 i = (1 + 0.004)12 - 1 i = (1.049070) - 1 i = 0.049070 i = 4.91%
  • 5. TASA NOMINAL Y TASA EFECTIVA TASA NOMINAL ( j ) PERIODO CAPITALIZACION ROTACION VALOR(m) TASA PERIODICA (j/m) TASA EFECTIVA ANUAL (i) i (%) 1 + i = (1+ j/m)m 40% año 1 0.40 1 + i = (1+ 0.40)1 40% 40% semestre 2 0.20 1 + i = (1+ 0.20)2 44% 40% trimestre 4 0.10 1 + i = (1+0.10)4 46.41% 40% mes 12 0.033333333 1 + i = (1+ 0.03333)12 48.21% 40% día 360 0.001111111 1 + i = (1+ 0.00111)360 49.15% La tasa efectiva sube cada vez menos Cuando una tasa nominal se capitaliza anualmente, entonces , al mismo tiempo es la tasa efectiva anual .
  • 6. Aplicando directamente la fórmula se tiene: i = (1 + j/m)m -1 i = (1 + 0.16/4)4 - 1 i = (1 + 0.04)4 - 1 i = (1.169859) - 1 i = 0.169859 i = 16.98% ¿Cuál es la tasa efectiva que se paga por un préstamo bancario de $250 000 que se pactó a 16% de interés anual convertible trimestralmente? Solución (1 + i) = (1 + j/m)m i = (1 + j/m)m -1
  • 7. Es la tasa de interés que realmente se aplica en el período de capitalización sobre el capital, para calcular los intereses. Se identifica porque solamente aparece en la parte numérica seguida del período de capitalización o liquidación de intereses; por ejemplo, se dice “una tasa de interés del 3% mensual, del 9% trimestral, del 15% semestral o del 32% anual”, y también se denota como el 32% EA (el 32% efectivo anual). Es de advertir que estas tasas anteriores no son equivalentes entre sí. TASA DE INTERÉS EFECTIVA
  • 8. tener en cuenta Es importante tener en cuenta que todas las operaciones financieras se calculan con tasa de interés efectiva, así como toda fórmula que se utilice para resolver problemas financieros. Sin embargo, en la práctica muchas veces la tasa viene expresada en otros términos; por tanto, lo que debe hacerse en estos casos es convertirla a efectiva, o, utilizando una calculadora financiera, esta automáticamente hace la conversión a efectiva y desarrolla la operación correspondiente.
  • 9. Es la tasa de interés que, expresada anualmente, no capitaliza varias veces al año. Por esta razón, la tasa nominal no refleja la realidad en cuanto a los intereses devengados anualmente, y de ahí su nombre; a diferencia de la tasa efectiva, que sí nos indica el verdadero interés devengado por un capital al final del período respectivo. Sin embargo, en la mayor parte de las operaciones financieras se utiliza la tasa nominal para expresar el tipo de interés que debe pagarse o cobrarse en esa operación. Esto implica que para realizar los cálculos de la operación financiera, lo primero que debe hacerse es convertir esta tasa nominal a la tasa efectiva en cada período de capitalización, porque, como ya se anotó, solo debemos utilizar la tasa efectiva por período. TASA DE INTERÉS NOMINAL
  • 10. La forma de denotar una de estas tasas es: Cualquiera de las siguientes expresiones: • El 36% nominal anual capitalizable trimestralmente. • El 36% nominal capitalizable trimestralmente. • El 36% nominal trimestral. • El 36% capitalizable trimestralmente. • El 36% anual liquidable por trimestre vencido. • El 36% TV (TV: trimestre vencido). • El 36% ATV (ATV: anual trimestre vencido).
  • 11. La relación que existe entre una tasa nominal del j% capitalizable m veces al año y la tasa del i% efectiva en cada uno de los m períodos es la siguiente: Así, por ejemplo, el 36% nominal trimestral corresponde a una tasa efectiva trimestral del 9% (el 36%/4), y es esta la tasa que debe utilizarse cada trimestre cuando la tasa pactada en la operación financiera sea del 36% nominal trimestral. m i  j
  • 12. Supongamos que invertimos hoy $ 100 en una entidad que paga el 36%. Si el tiempo es de un año, determinar el valor total acumulado al final del año. La tasa trimestral para determinar los intereses es: de tal manera que al cabo de cuatro trimestres se tendrá un total acumulado de: 100(1,09)4 = 141,16 Lo que quiere decir que los $ 100 invertidos inicialmente ganan un total de $ 41,16 de intereses al cabo de un año; esto es, la tasa de interés efectivo anual en esta inversión fue del 41,16%. Por esta razón, a la tasa del 36% se le llama nominal, dado que como cifra lo es solo de nombre, puesto que la que mide la rentabilidad real es la tasa del 41,16% anual. Debe tenerse en cuenta que algunas veces se habla, por ejemplo, del 30% nominal anual o simplemente del 30% convertible anualmente, para indicar que es la tasa que capitaliza una sola vez al año, es decir, que corresponde a una tasa efectiva anual del 30%. 4 i  36%  9% m i  j EJEMPLO
  • 13. TASAS EQUIVALENTES Se dice que dos tasas son equivalentes cuando ambas, operando en condiciones diferentes, producen el mismo resultado. En este caso, el concepto operar en condiciones diferentes hace referencia a que ambas capitalizan en períodos diferentes. Así, por ejemplo, decimos que el 3% mensual es equivalente al 9,27% trimestral y también al 42,57% anual. Cuando estudiamos la tasa nominal vimos que una inversión por un año al 36% nominal trimestral ganaba al año el equivalente a una tasa del 41,16% efectiva anual, de tal manera que estas dos tasas son equivalentes. Una expresión básica en el manejo de tasas equivalentes es la que nos permite calcular directamente la tasa anual equivalente a una tasa nominal y viceversa.
  • 14. Sea el i% la tasa trimestral que se pregunta, y tomando un tiempo de un trimestre para cada una de las tasas, tenemos: Por $ 1 invertido al principio del trimestre, se tendrá al final del primer diagrama un total de: 1 + i, y, al final del segundo diagrama, un total de (1,03)3, de tal manera que: 1 + i = (0,03)3; o sea: i = 9,27% trimestral. Esto quiere decir que el 9,27% trimestral es equivalente al 3% mensual. EJEMPLO (E→ E) ¿Qué tasa trimestral es equivalente al 3% mensual?
  • 15. j/12 = [(1 + 0.035) 1/3-1] j = 12 [(1 + 0.035) 1/3 -1] j = 12 (1.011533 - 1) j = 12 (0.011533) j = 0.138398 ¿Cuál es la tasa nominal j convertible mensualmente equivalente a una tasa de 14% convertible trimestralmente? Por lo tanto, una tasa nominal de 13.84% convertible mensualmente es equivalente a una tasa nominal de 14% convertible trimestralmente. Otra vez puede verse que a mayor frecuencia de conversión se obtiene un rendimiento mayor. Solución: Puesto que ambas tasas son convertibles en periodos distintos deben igualarse a su plazoanual. a) Una tasa nominal j convertible mensualmente es igual a una tasa efectiva: i = (1 + j/12)12 b)Una tasa nominal de 14% convertible trimestralmente es igual a una tasa anual efectiva: i = (1 + 0.14/4)4 Igualando ambas tasas efectivas se tiene: (1 + j/12)12 = (1 +0.14/4)4 (1 + j/12)12/12 = (1 + 0.14/4)4/12 (1 + j/12) = (1 + 0.035)1/3 EJEMPLO
  • 16. Representa la utilidad neta de una inversión de capital en una entidad financiera. Es decir, la tasa real es el rendimiento por encima de la inflación que se paga o se recibe en operaciones financieras. Está determinada en función de la tasa efectiva y de la tasa inflacionaria, tal y como se muestra en la Fórmula Tasa real En donde: TR = Tasa real, TE = Tasa efectiva, TI = Tasa inflacionaria
  • 17. Hallar la tasa real con la información presentada del cuadro adjunto Considere una Inflación anual del 3.5% para todos los casos… EJEMPLO: tasa real